Wurmartige Kette

Das Wurmartige Kette (WLC) Modell in Polymerphysik wird verwendet, um das Verhalten von zu beschreiben Polymere das sind halbflexibel: ziemlich steif mit aufeinanderfolgenden Segmenten, die ungefähr in der gleichen Richtung zeigen, und mit Persistenzlänge innerhalb weniger Größenordnungen der Polymerlänge. Das WLC -Modell ist die kontinuierliche Version der Kratky–Porod Modell.

Modellelemente

Eine Abbildung des WLC -Modells mit Position und Tangentenvektoren der Einheit wie gezeigt.

Das WLC -Modell stellt sich eine kontinuierlich flexible vor isotrop Stange.^[1][2][3] Dies steht im Gegensatz zu der frei geplante Kette Modell, das nur flexibel zwischen diskreten, frei angelenkten Segmenten ist. Das Modell eignet sich besonders für die Beschreibung steiferer Polymere, wobei aufeinanderfolgende Segmente eine Art Kooperativität aufweisen: Die nahe gelegenen Segmente sind grob ausgerichtet. Bei Raumtemperatur nimmt das Polymer eine glatt gekrümmte Konformation an; bei ${\ displayStyle t = 0}$ K, das Polymer nimmt eine starre Stangenkonformation an.^[1]

Für ein Polymer mit maximaler Länge ${\ displayStyle l_ {0}}$, parametrisieren Sie den Pfad des Polymers als ${\ displayStyle s \ in (0, l_ {0})}$. Erlauben ${\ displayStyle {\ Hat {t}} (s)}$ der Tangentenvektor der Einheit an der Kette am Punkt sein ${\ displayStyle S}$, und ${\ displayStyle {\ vec {r}} (s)}$ Um der Positionsvektor entlang der Kette zu sein, wie rechts gezeigt. Dann:

$oder$ und die End-to-End-Entfernung $oder$ .^[1]

Die mit der Biegung des Polymers verbundene Energie kann geschrieben werden wie:

${\ displayStyle e = {\ frac {1} {2}} k_ {b} t \ int _ {0} ^{l_ {0}} p \ cdot \ links ({\ frac {\ partial ^{2 {2 {2 {2 {2 {{{{{{\ frac {\ partial ^{2} {{{{{\ frac {\ partial ^{2} {{{{{\ frac {\ partial ^{2 {2 {2). \ vec {r}} (s)} {\ partial s^{2}}} \ rechts)^{2} ds}$

wo ${\ displayStyle p}$ ist das charakteristische Polymer Persistenzlänge, ${\ displayStyle k_ {b}}$ ist der Boltzmann Konstante, und ${\ displayStyle t}$ ist die absolute Temperatur. Bei endlichen Temperaturen ist der End-to-End-Abstand des Polymers erheblich kürzer als die maximale Länge ${\ displayStyle l_ {0}}$. Dies wird durch thermische Schwankungen verursacht, die zu einer entschiedenen, zufälligen Konfiguration des ungestörten Polymers führen.

Die Ausrichtung des Polymers Korrelationsfunktion kann dann gelöst werden, und es folgt einem exponentiellen Abfall mit Zerfallskonstante 1/P:^[1][3]

$oder P}\,}$

Mittlere quadratische End-to-End-Entfernung als Funktion der Persistenzlänge.

Ein nützlicher Wert ist der mittlere quadratische End-to-End-Abstand des Polymers:^[1][3]

$oder } oder }^{L_ {0}} ds \ int _ {0}^{l_ {0}} \ Langle {\ Hat {t}} (s) \ cdot {\ Hat {t}} (s ') \ rangle ds ds '= \ int _ {0}^{l_ {0}} ds \ int _ {0}^{l_ {0}} e^{-\ links | S-S' \ rechts |/p} ds '}$

$oder }\richtig richtig]}$

Beachten Sie das in der Grenze von ${\ displayStyle l_ {0} \ gg p}$, dann ${\ displayStyle \ Langle r^{2} \ rangle = 2pl_ {0}}$. Dies kann verwendet werden, um zu zeigen, dass a Kuhn -Segment ist gleich doppelt so Persistenzlänge einer urmartigen Kette. In der Grenze von ${\ displayStyle l_ {0} \ ll P}$, dann ${\ displayStyle \ Langle r^{2} \ rangle = l_ {0}^{2}}$und das Polymer zeigt ein starres Stabverhalten.^[2] Die Figur nach rechts zeigt den Übergang von flexibel bis steifem Verhalten als die Persistenzlänge steigt.

Vergleich zwischen dem Wurm-ähnlichen Kettenmodell und experimentellen Daten aus der Dehnung von λ-DNA.^[4]

Biologische Relevanz

Experimentelle Daten aus der Dehnung von Lambda Phage DNA wird rechts gezeigt, wobei Kraftmessungen durch Analyse von bestimmt werden Brownianer Schwankungen von a Korn an die DNA gebunden. EIN Persistenzlänge von 51,35 nm und eine Konturlänge von 1318 nm wurden für das Modell verwendet, das durch die durchgezogene Linie dargestellt wird.^[4]

Andere biologisch wichtige Polymere, die effektiv als Wurm-ähnliche Ketten modelliert werden können, umfassen:

• Doppelstrang DNA (Persistenzlänge 40-50 nm) und RNA (Persistenzlänge 64 nm)^[3][5]
• Einzelsträngige DNA (Persistenzlänge 4 nm)^[6]
• unstrukturierte RNA (Persistenzlänge 2 nm) ^[7]
• unstrukturiert Proteine (Persistenzlänge 0,6-0,7 nm)^[8]
• Mikrotubuli (Persistenzlänge 0,52 cm) ^[9]
• Filamentöser Bakteriophagen^[10]

Streckende Wurm-ähnliche Kettenpolymere

Beim Dehnen verringert sich das zugängliche Spektrum der thermischen Schwankungen, was zu einer entropischen Kraft gegen die äußere Dehnung führt. Diese entropische Kraft kann aus der Betrachtung der Gesamtenergie des Polymers geschätzt werden:

$oder } P \ cdot \ links ({\ frac {\ partial^{2} {\ vec {r}} (s)} {\ partial s^{2}}} \ rechts)^{2} ds-xf}$.

Hier die Konturlänge wird dargestellt von ${\ displayStyle l_ {0}}$, das Persistenzlänge durch ${\ displayStyle p}$, Die Erweiterung wird durch dargestellt ${\ displayStyle x}$und externe Kraft wird durch dargestellt ${\ displayStyle f}$.

Laborinstrumente wie z. Rasterkraftmikroskopie (AFM) und Optische Pinzetten wurden verwendet, um das Kraft-abhängige Dehnungsverhalten von biologischen Polymeren zu charakterisieren. Eine Interpolationsformel, die sich dem Kraft-Extension-Verhalten mit etwa 15% relativem Fehler annähert, lautet:^[11]

$oder {-2}-{\ frac {1} {4}}+{\ frac {x} {l_ {0}}}}}$

Eine genauere Näherung für das Kraft-Erweiterungsverhalten mit einem relativen Fehler von etwa 0,01% beträgt:^[4]

$oder {-2}-{\ frac {1} {4}}+{\ frac {x} {l_ {0}}}+\ sum _ {i = 2}^{i = 7} \ alpha _ {i} \ links ({\ frac {x} {l_ {0}}} \ rechts)^{i}}$,

mit ${\ displaystyle \ alpha _ {2} =-0.5164228}$, ${\ displaystyle \ alpha _ {3} =-2.737418}$, ${\ displaystyle \ alpha _ {4} = 16.07497}$, ${\ displaystyle \ alpha _ {5} =-38.87607}$, ${\ displaystyle \ alpha _ {6} = 39.49944}$, ${\ displaystyle \ alpha _ {7} =-14.17718}$.

Eine einfache und genaue Annäherung an das Kraft-Erweiterungsverhalten mit etwa 1% relativem Fehler ist:^[12]

$oder {-2}-{\ frac {1} {4}}+{\ frac {x} {l_ {0}}}-0.8 \ links ({\ frac {x} {l_ {0}} \ rechts) ^{2.15}}$

Es wurde auch über eine Näherung für das Verhalten des Erweiterungskraft mit etwa 1% relativem Fehler berichtet:^[12]

$oder } T}}+1}}}}-{\ frac {10e^{\ sqrt [{4}] {900 {\ frac {k_ {b} t} {fp}}} {{\ sqrt {{\ {\ \ {\ \ {\ \ {\ \ {\ \ {\ \ {\ \ {\ \ {\ \ {\ \ {\ \ \ {\ frac {fp} {k_ {b} t}} \ links (e^{\ sqrt [{4}] {900 {\ frac {k_ {b} t} {fp}}}-1 \ rechts)^ {2}}}+oder {B} t}} \ rechts)^{2.2}}}}$

Erweiterbares wurmartiges Kettenmodell

Die elastische Reaktion aus der Ausdehnung kann nicht vernachlässigt werden: Polymere verlängern sich aufgrund externer Kräfte. Diese enthalpische Einhaltung wird für den Materialparameter berücksichtigt ${\ displayStyle k_ {0}}$und das System liefert den folgenden Hamiltonianer für signifikant erweiterte Polymere:

$oder {0}^{l_ {0}} p \ cdot \ links ({\ frac {\ partial^{2} {\ vec {r}} (s)} {\ partial s^{2}} \ rechts) ^{2} ds+{\ frac {1} {2}} {\ frac {k_ {0}} {l_ {0}}} x^{2} -xf}$Anwesend

Dieser Ausdruck enthält sowohl den entropischen Term, der Veränderungen in der Polymerkonformation beschreibt, als auch den enthalpischen Begriff, der die Dehnung des Polymers aufgrund der äußeren Kraft beschreibt. Abhängig von der angewendeten externen Kraft wurden mehrere Annäherungen für das Verhalten der Kraft-Erweiterung vorgebracht. Diese Annäherungen werden zur Dehnung der DNA unter physiologischen Bedingungen (in der Nähe neutral pH, der Ionenstärke von ungefähr 100 mM, Raumtemperatur) mit Dehnungsmodul um 1000 pn durchgeführt.^[13][14]

Für das Regime mit niedriger Kraft (F <ca. 10 pn) wurde die folgende Interpolationsformel abgeleitet:^[15]

${\displaystyle {\frac {FP}{k_{B}T}}={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x}{L_{0}}}+{\frac Oder {K_ {0}}}}$.

Für das Regime mit höherem Kraft, bei dem das Polymer erheblich erweitert ist, ist die folgende Näherung gültig:^[16]

$oder +{\ frac {f} {k_ {0}} \ rechts)}$.

Was den Fall ohne Erweiterung betrifft, wurde eine genauere Formel abgeleitet:^[4]

$oder 4}}+l+\ sum _ {i = 2}^{i = 7} \ alpha _ {i} \ links (l \ rechts)^{i}}$Anwesend

mit ${\ displayStyle l = {\ frac {x} {l_ {0}}}-{\ frac {f} {k_ {0}}}}$. Das ${\ displaystyle \ alpha _ {i}}$ Koeffizienten sind die gleichen wie die der oben beschriebenen Formel für das WLC -Modell ohne Elastizität.

Genaue und einfache Interpolationsformeln für das Verhalten der Kraft und Erweiterung für das erweiterbare kettenartige Kettenmodell sind:^[12]

${\displaystyle {\frac {FP}{k_{B}T}}={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x}{L_{0}}}+{\frac Oder Oder$

$oder } T}}+1}}}}-{\ frac {10e^{\ sqrt [{4}] {900 {\ frac {k_ {b} t} {fp}}} {{\ sqrt {{\ {\ \ {\ \ {\ \ {\ \ {\ \ {\ \ {\ \ {\ \ {\ \ {\ \ {\ \ \ {\ frac {fp} {k_ {b} t}} \ links (e^{\ sqrt [{4}] {900 {\ frac {k_ {b} t} {fp}}}-1 \ rechts)^ {2}}}+oder {B} t}} \ rechts)^{2.2}}}+{\ frac {f} {k_ {0}}}}}$

Siehe auch

• Ideale Kette
• Polymer
• Polymerphysik

Verweise

Weitere Lektüre

• Kratky, O.; Porod, G. (1949). "Röntgenuntersuchung Gelöster Fadenmoleküle". Recueil des Travaux Chimiques des Pays-Bas. 68 (12): 1106–1123. doi:10.1002/recl.19490681203.
• Marko, J. F.; Siggia, E. D. (1995). "DNNA strecken". Makromoleküle. 28 (26): 8759–8770. Bibcode:1995mamol..28.8759m. doi:10.1021/ma00130a008.
• Bustamante, C.; Marko, J. F.; Siggia, E. D.; Smith, S. (1994). "Entropische Elastizität der Lambda-Phagen-DNA". Wissenschaft. 265 (5178): 1599–1600. Bibcode:1994Sci ... 265.1599b. doi:10.1126/Science.8079175. PMID 8079175.
• Wang, M. D.; Yin, H.; Landick, R.; Gelles, J.; Block, S. M. (1997). "DNNA mit optischen Pinzetten dehnen". Biophysical Journal. 72 (3): 1335–1346. Bibcode:1997bpj .... 72.1335w. doi:10.1016/S0006-3495 (97) 78780-0. PMC 1184516. PMID 9138579.
• C. Bouchiat et al.,, "Schätzung der Persistenzlänge eines ornähnlichen Kettenmoleküls von Kraft-Erweiterungsmessungen", Biophysical Journal, Januar 1999, p. 409-413, vol. 76, Nr. 1