Venn-Diagramm

Venn -Diagramm, das den Großbuchstaben zeigt Glyphen geteilt von der griechisch, Latein, und kyrillisch Alphabete

A Venn-Diagramm ist eine weit verbreitete Diagramm Stil, der die logische Beziehung zwischen zeigt Sets, populär von John Venn (1834–1923) in den 1880er Jahren. Die Diagramme werden verwendet, um Grundschule zu unterrichten Mengenlehreund um einfache festgelegte Beziehungen in zu veranschaulichen Wahrscheinlichkeit, Logik, Statistiken, Linguistik und Informatik. Ein Venn -Diagramm verwendet einfache geschlossene Kurven, die auf einer Ebene gezogen wurden, um Sätze darzustellen. Sehr oft sind diese Kurven Kreise oder Ellipsen.

Ähnliche Ideen wurden vor Venn vorgeschlagen. Christian Weise 1712 (Nucleus Logicoe Wiesianoe) und Leonhard Euler (Briefe an eine deutsche Prinzessin) kam 1768 beispielsweise ähnliche Ideen. Die Idee wurde von Venn in populär gemacht Symbolische Logik, Kapitel V "Diagrammatische Darstellung", 1881.

Einzelheiten

Ein Venn -Diagramm kann auch als a genannt werden Diagramm einstellen oder Logikdiagramm. Es ist ein Diagramm, das zeigt alle Mögliche logische Beziehungen zwischen einer endlichen Sammlung verschiedener Sätze. Diese Diagramme zeigen Elemente als Punkte in der Ebene und setzt als Regionen in geschlossenen Kurven. Ein Venn -Diagramm besteht aus mehreren überlappenden geschlossenen Kurven, normalerweise Kreisen, die jeweils einen Satz darstellen. Die Punkte in einer gekennzeichneten Kurve S Elemente des Satzes darstellen S, während Punkte außerhalb der Grenze Elemente darstellen, nicht im Satz S. Dies eignet sich für intuitive Visualisierungen; Zum Beispiel die Menge aller Elemente, die Mitglieder beider Sätze sind S und T, bezeichnet S∩T und lesen "den Schnittpunkt von S und T", wird visuell durch den Bereich der Überlappung der Regionen dargestellt S und T.^[1]

In Venn -Diagrammen werden die Kurven auf jede mögliche Weise überlappt und zeigen alle möglichen Beziehungen zwischen den Sätzen. Sie sind daher ein besonderer Fall von Euler -Diagramme, die nicht unbedingt alle Beziehungen zeigen. Venn -Diagramme wurden um 1880 von John Venn konzipiert. Sie werden verwendet, um die Elementar -Set -Theorie zu unterrichten und einfache festgelegte Beziehungen in Wahrscheinlichkeit, Logik, Statistik, Linguistik und Informatik zu veranschaulichen.

Ein Venn -Diagramm, in dem die Fläche jeder Form proportional zu der Anzahl der enthält Elemente ist proportional (oder skaliert) Venn-Diagramm.

Beispiel

Setzt a (Kreaturen mit zwei Beinen) und B (Kreaturen, die fliegen)

Dieses Beispiel umfasst zwei Sätze A und B, die hier als farbige Kreise dargestellt werden. Der orangefarbene Kreis Set A repräsentiert alle Arten von Lebewesen, die zweibeinig sind. Der blaue Kreis Set B repräsentiert die Lebewesen, die fliegen können. Jede separate Art von Kreatur kann sich irgendwo im Diagramm als Punkt vorstellen. Lebewesen, die fliegen können und Haben Sie zwei Beine - beispielsweise Papageien - dann in beiden Sätzen, so dass sie Punkten in der Region entsprechen, in der sich die blauen und orangefarbenen Kreise überlappen. Diese überlappende Region würde nur diese Elemente (in diesem Beispiel Kreaturen) enthalten, die sowohl Mitglieder von A (zweibeinige Kreaturen) als auch von B (Flying Creatures) sind.

Menschen und Pinguine sind zweibetal, ebenso wie im orangefarbenen Kreis, aber da sie nicht fliegen können, erscheinen sie im linken Teil des orangefarbenen Kreises, wo er sich nicht mit dem blauen Kreis überlappt. Mücken können fliegen, haben aber sechs, nicht zwei Beine. Der Punkt für Mücken liegt also im Teil des blauen Kreises, der sich nicht mit dem orangefarbenen überlappt. Kreaturen, die nicht zweibeinig sind und nicht fliegen können (zum Beispiel Wale und Spinnen), würden alle durch Punkte außerhalb beiden Kreise dargestellt.

Die kombinierte Region der Sets A und B heißt die Union von a und b, gekennzeichnet durch A ∪ b.^[2] Die Vereinigung enthält in diesem Fall alle Lebewesen, die entweder zweibeinig sind oder fliegen können (oder beides).

Die in A und B enthaltene Region, in der sich die beiden Sätze überlappen, heißt die Überschneidung von a und b, gekennzeichnet durch A ∩ b.^[2] In diesem Beispiel ist der Schnittpunkt der beiden Sätze nicht leer, weil dort sind Punkte, die Kreaturen repräsentieren, in denen sich befinden beide Die orange und blauen Kreise.

Geschichte

Buntglas Fenster mit Venn -Diagramm in Gonville und Caius College, Cambridge

Venn -Diagramme wurden 1880 von vorgestellt John Venn In einem Papier mit dem Titel "über die diagrammatische und mechanische Darstellung von Aussagen und Argumentationen"^[3] in dem Philosophisches Magazin und Journal of Science,^[4] über die verschiedenen Möglichkeiten zur Darstellung Aussagen durch Diagramme.^[5][6][7] Die Verwendung dieser Arten von Diagrammen in formelle Logik, entsprechend Frank Ruskey und Mark Weston ist "keine einfache Geschichte, um zu verfolgen, aber es ist sicher, dass die Diagramme, die im Volksmund mit Venn verbunden sind Nutzung, und war der erste, der sie verallgemeinert hat.^[8]

Venn selbst benutzte den Begriff "Venn Diagramm" nicht und bezeichnete seine Erfindung als "als"Eulerianische Kreise".^[7] Zum Beispiel schreibt Venn im Eröffnungssatz seines Artikels von 1880: "Schemata der diagrammatischen Repräsentation wurden in den letzten Jahrhundert so vertraulich in logische Abhandlungen eingeführt, dass viele Leser, sogar diejenigen, die kein professionelles Studium der Logik gemacht haben Seien Sie mit der allgemeinen Natur und dem Objekt solcher Geräte vertraut.^[5][6] Lewis Carroll (Charles L. Dodgson) Enthält "Venns Diagrammmethode" sowie "Eulers Methode of Diagramme" in einem "Anhang, der an die Lehrer" seines Buches gerichtet ist " Symbolische Logik (4. Ausgabe 1896 veröffentlicht). Der Begriff "Venn -Diagramm" wurde später von verwendet Clarence Irving Lewis 1918 in seinem Buch Eine Umfrage zur symbolischen Logik.^[8][9]

Venn -Diagramme sind den Euler -Diagrammen sehr ähnlich, die im 18. Jahrhundert von Leonhard Euler erfunden wurden.^{[Anmerkung 1][10][11]} Margaret Baron hat das bemerkt Leibniz (1646–1716) produzierten im 17. Jahrhundert ähnliche Diagramme vor Euler, aber ein Großteil davon war unveröffentlicht.^[12] Sie beobachtet auch noch frühere Euler-ähnliche Diagramme von Ramon Llull Im 13. Jahrhundert.^[13]

Im 20. Jahrhundert wurden Venn -Diagramme weiterentwickelt. David Wilson Henderson zeigte 1963, dass die Existenz von einem n-Venn -Diagramm mit n-falten Rotationssymmetrie impliziert das n war ein Primzahl.^[14] Er zeigte auch, dass solche symmetrischen Venn -Diagramme existieren, wenn n ist fünf oder sieben. Im Jahr 2002 fand Peter Hamburger symmetrische Venn -Diagramme für n = 11 und 2003 zeigten Griggs, Killian und Savage, dass für alle anderen Primzahlen symmetrische Venn -Diagramme existieren. Diese kombinierten Ergebnisse zeigen, dass rotational symmetrische Venn -Diagramme existieren, wenn und nur wenn n ist eine Primzahl.^[15]

Venn -Diagramme und Euler -Diagramme wurden als Teil des Unterrichts in der festgelegten Theorie als Teil des Neue Mathematik Bewegung in den 1960er Jahren. Seitdem wurden sie auch im Lehrplan anderer Bereiche wie Lesen übernommen.^[16]

Überblick

Ein Venn -Diagramm besteht aus einer Sammlung einfacher geschlossener Kurven in einer Ebene. Laut Lewis,^[9] Das "Prinzip dieser Diagramme ist das Klassen [oder Sets] durch Regionen in einer solchen Beziehung zueinander dargestellt werden, dass alle möglichen logischen Beziehungen dieser Klassen in demselben Diagramm angegeben werden können. Das heißt, das Diagramm verlässt zunächst Raum für mögliche Beziehung der Klassen, und die tatsächliche oder gegebene Beziehung kann dann angegeben werden, indem angibt, dass ein bestimmter Bereich null ist oder nicht null ist. "^{[9]: 157}

Venn -Diagramme umfassen normalerweise Überlappungen Kreise. Das Innere des Kreises repräsentiert symbolisch die Elemente des Satzes, während das Äußere Elemente darstellt, die keine Mitglieder des Satzes sind. Zum Beispiel kann in einem Venn-Diagramm mit zwei Sätzen ein Kreis die Gruppe aller darstellen hölzern Objekte, während der andere Kreis die Menge aller Tabellen darstellt. Die überlappende Region oder Überschneidungwürde dann den Satz aller Holztische darstellen. Andere Formen als Kreise können wie unten von Venns eigenen höheren Diagrammen verwendet werden. Venn -Diagramme enthalten im Allgemeinen keine Informationen zu den relativen oder absoluten Größen (Kardinalität) von Sätzen. Das heißt, sie sind schematisch Diagramme, die im Allgemeinen nicht skaliert sind.

Venn -Diagramme ähneln Euler -Diagrammen. Ein Venn -Diagramm für jedoch n Komponentensätze müssen alle 2 enthaltenⁿ Hypothetisch mögliche Zonen, die einer Kombination aus Einschluss oder Ausschluss in jeder der Komponentensätze entsprechen.^[17] Euler -Diagramme enthalten nur die tatsächlich möglichen Zonen in einem bestimmten Kontext. In Venn -Diagrammen kann eine schattierte Zone eine leere Zone darstellen, während in einem Euler -Diagramm die entsprechende Zone im Diagramm fehlt. Zum Beispiel, wenn ein Satz darstellt Milchprodukte und ein anderer KäseDas Venn -Diagramm enthält eine Zone für Käse, die keine Milchprodukte sind. Angenommen, dies im Kontext Käse Das Euler-Diagramm bedeutet eine Art Milchprodukt, die Käsezone vollständig in der Milchproduktzone enthalten ist-es gibt keine Zone für (nicht vorhanden) Nicht-Milchkäse. Dies bedeutet, dass Euler-Diagramme mit zunehmendem Konturen in der Regel weniger visuell komplex sind als das äquivalente Venn-Diagramm, insbesondere wenn die Anzahl der nicht leeren Kreuzungen gering ist.^[18]

Der Unterschied zwischen Euler- und Venn -Diagrammen ist im folgenden Beispiel zu sehen. Nehmen Sie die drei Sätze:

• ${\ displayStyle a = \ {1, \, 2, \, 5 \}}$
• ${\ displaystyle b = \ {1, \, 6 \}}$
• ${\ displayStyle c = \ {4, \, 7 \}}$

Das Euler und das Venn -Diagramm dieser Sets sind:

• 

  Euler -Diagramm

• 

  Venn-Diagramm

Erweiterungen auf eine höhere Anzahl von Sätzen

Venn -Diagramme stellen normalerweise zwei oder drei Sätze dar, es gibt jedoch Formulare, die höhere Zahlen ermöglichen. Im Folgenden bilden vier kreuzende Kugeln das Venn -Diagramm mit der höchsten Ordnung, das die Symmetrie von a hat Simplex und kann visuell vertreten werden. Die 16 Kreuzungen entsprechen den Eckpunkten von a Tesseract (oder die Zellen von a 16-Zelle, beziehungsweise).

Für eine höhere Anzahl von Mengen ist ein gewisser Verlust der Symmetrie in den Diagrammen unvermeidbar. Venn war daran interessiert, "symmetrische Figuren ... elegant in sich" zu finden,^[10] das stellte eine höhere Anzahl von Sätzen dar und er entwickelte eine elegant Vier-Satz-Diagramm mit Ellipsen (siehe unten). Er gab auch eine Konstruktion für Venn -Diagramme für irgendein Anzahl der Sätze, bei denen jede aufeinanderfolgende Kurve, die einen Satz eingrenzt, mit früheren Kurven abgrenzt, beginnend mit dem Dreikreisdiagramm.

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  Venns Konstruktion für vier Sätze (Verwendung Graucode Um zu berechnen, bedeutet die Ziffer 1 im Satz und die Ziffer 0 bedeutet nicht im Satz)

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  Venns Konstruktion für fünf Sätze

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  Venns Konstruktion für sechs Sätze

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  Venns Vier-Set-Diagramm mit Ellipsen

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  Nicht-Beispiel: Dies Euler -Diagramm ist nicht Ein Venn -Diagramm für vier Sätze, da es nur 14 Regionen hat (und nicht 2⁴ = 16 Regionen); Es gibt keinen Bereich, in dem sich nur die Gelb und Blau oder nur die roten und grünen Kreise treffen.

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  Fünf-Set-Venn-Diagramm mit kongruenten Ellipsen in einem fünffachen rotationssymmetrisch Arrangement durch Branko Grünbaum. Etiketten wurden für eine größere Lesbarkeit vereinfacht. zum Beispiel, A bezeichnet A ∩ B^c ∩ C^c ∩ D^c ∩ E^c, während BCE bezeichnet A^c ∩ B ∩ C ∩ D^c ∩ E.

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  Sechs-Set-Venn-Diagramm aus nur Dreiecken (interaktive Version)

Edwards -Venn -Diagramme

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  Drei Sätze

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  Vier Sätze

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  Fünf Sätze

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  Sechs Sets

Anthony William Fairbank Edwards konstruierte eine Reihe von Venn -Diagrammen für eine höhere Anzahl von Mengen durch Segmentierung der Oberfläche einer Kugel, die als Edwards -VNN -Diagramme bekannt wurde.^[19] Zum Beispiel können drei Sätze leicht dargestellt werden, indem drei Hemisphären der Kugel rechtwinklig genommen werden (rechtwinklig (x= 0,, y= 0 und z= 0). Ein viertes Set kann der Darstellung hinzugefügt werden, indem eine Kurve ähnlich der Naht eines Tennisballs genommen wird, die um den Äquator auf und ab landet, und so weiter. Die resultierenden Sets können dann wieder in ein Flugzeug projiziert werden, um zu geben Zahnrad Diagramme mit zunehmender Anzahl von Zähnen - wie hier gezeigt. Diese Diagramme wurden beim Entwerfen von a entwickelt Buntglas Fenster in Erinnerung an Venn.^[19]

Andere Diagramme

Edwards -Venn -Diagramme sind Topologisch äquivalent zu Diagrammen entwickelt von durch Branko Grünbaum, die sich auf die Überschneidung basierten Polygone mit zunehmender Anzahl von Seiten. Sie sind auch zweidimensionale Darstellungen von Hypercubes.

Henry John Stephen Smith ähnlich entwickelt n-Set -Diagramme verwenden Sinus Kurven^[19] mit der Reihe von Gleichungen

$$oder 1 {\ text {und}} i \ in \ mathbb {n}.}$$

Charles Lutwidge Dodgson (auch bekannt als Lewis Carroll) entwickelte ein Fünf-Set-Diagramm, das als bekannt ist Carrolls Platz. Joaquin und Boyles hingegen schlugen ergänzende Regeln für das Standard -Venn -Diagramm vor, um bestimmte Problemfälle zu berücksichtigen. In Bezug Logik erster Ordnung und festgelegte Theorie zur Behandlung kategorischer Aussagen als Aussagen zu Sätzen. Darüber hinaus schlagen sie vor, einzelne Aussagen als Aussagen zu behandeln Mitgliedschaft setzen. Um beispielsweise die Aussage "A is f" in diesem umgesetzten Venn -Diagramm darzustellen, kann ein kleiner Buchstabe "A" in den Kreis platziert werden, der den Satz F darstellt.^[20]

Verwandte konzepte

Venn -Diagramm als Wahrheitstabelle

Venn -Diagramme entsprechen Wahrheitstabellen Für die Aussagen ${\ displayStyle x \ in a}$, ${\ displayStyle x \ in B}$usw. in dem Sinne, dass jede Region des Venn -Diagramms einer Zeile der Wahrheitstabelle entspricht.^[21][22] Dieser Typ ist auch als Johnston -Diagramm bekannt. Eine andere Möglichkeit, Sets zu repräsentieren, ist mit John F. Randolphs's R-Diagramme.

Siehe auch

• Existenzielle Grafik (durch Charles Sanders Peirce)
• Logische Verbindungen
• Information diagram
• Marquand -Diagramm (und als weitere Ableitung Veitch -Diagramm und Karnaugh -Karte)
• Sphärische Oktaeder -Eine stereografische Projektion eines regulären Oktaeders macht ein Venn-Diagramm mit drei Sätzen, da drei orthogonale große Kreise, die jeweils Raum in zwei Hälften teilen.
• Drei Kreise Modell
• Triquetra
• Vesica Piscis

Anmerkungen

Verweise

Weitere Lektüre

• Mahmoodian, Ebadollah S.; Rezaie, M.; Vatan, F. (März 1987). "Verallgemeinerung des Venn -Diagramms" (PDF). 18. jährliche iranische Mathematikkonferenz. Teheran und Isfahan, Iran. Archiviert von das Original (PDF) Am 2017-05-01. Abgerufen 2017-05-01.
• Edwards, Anthony William Fairbank (1989-01-07). "Venn -Diagramme für viele Sätze". Neuer Wissenschaftler. 121 (1646): 51–56.
• Watkinson, John (1990). "4.10. Hamming -Distanz". Codierung für digitale Aufzeichnung. Stoneham, MA, USA: Fokuspresse. S. 94–99, Ausklappzeiten in Backsleeve. ISBN 978-0-240-51293-8. (NB. Das Buch verfügt über ein 3-seitiges Ausklappen eines sieben-Bit-zylindrischen Venn-Diagramms.)
• Stewart, Ian (Juni 2003) [1992]. "Kapitel 4. Zahnräder des Geistes". Noch eine gute Mathematik, in die du mich eingebettet hast (Nachdruck von 1. Aufl.).Mineola, New York, USA: Dover Publications, Inc. (W. H. Freeman).S. 51–64. ISBN 978-0-486-43181-9.
• Glassner, Andrew (2004)."Venn und jetzt". Morphs, Schläger und Montagen: computergestützte Fantasie.Wellesley, MA, USA: A. K. Peters.S. 161–184. ISBN 978-1568812311.
• Mamakani, Khalegh; Ruskey, Frank (2012-07-27). "Eine neue Rose: Das erste einfache symmetrische 11-Venn-Diagramm". p. 6452. Arxiv:1207.6452. Bibcode:2012ArXIV1207.6452m. Archiviert vom Original am 2017-05-01. Abgerufen 2017-05-01.

Externe Links

• "Venn-Diagramm", Enzyklopädie der Mathematik, EMS Press, 2001 [1994]
• Lewis Carrolls Logikspiel - Venn vs. Euler bei Schnitt
• Sechs Sets Venn -Diagramme aus Dreiecken
• Interaktive sieben Sätze Venn Diagramm
• VBVenn Ein kostenloses Open-Source-Programm zum Berechnen und Grafieren quantitativer Zweikreis-Venn-Diagramme