Vektorraum

Vektoraddition und Skalarmultiplikation: Ein Vektor v (blau) wird zu einem anderen Vektor hinzugefügt w (Rot, obere Illustration). Unter, w wird um den Faktor 2 gedehnt, der die Summe ergibt v + 2w.

Im Mathematik, Physik, und Ingenieurwesen, a Vektorraum (auch a genannt linearer Raum) ist ein einstellen deren Elemente, oft genannt Vektoren, kann sein hinzugefügt zusammen und multipliziert ("skaliert") nach Zahlen genannt Skalare. Skalare sind oft reale Nummern, kann aber sein komplexe Zahlen oder allgemeiner Elemente von irgendeiner aufstellen. Die Abläufe der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation müssen bestimmte Anforderungen erfüllen, genannt Vektor -Axiome. Die Begriffe Echter Vektorraum und Komplexer Vektorraum werden oft verwendet, um die Art der Skalare anzugeben: Echter Koordinatenraum oder Komplexer Koordinatenraum.

Vektorräume verallgemeinern Euklidische Vektoren, die die Modellierung von ermöglichen physikalische Quantitäten, wie zum Beispiel Kräfte und GeschwindigkeitDas hat nicht nur eine Größe, sondern auch eine Richtung. Das Konzept der Vektorräume ist von grundlegender Bedeutung für Lineare Algebrazusammen mit dem Konzept von Matrix, was das Computer in Vektorräumen ermöglicht. Dies bietet eine prägnante und synthetische Möglichkeit zum Manipulieren und Studieren Systeme der linearen Gleichungen.

Vektorräume sind durch ihre gekennzeichnet Abmessungen, was grob gesagt die Anzahl der unabhängigen Richtungen im Raum spezifiziert. Dies bedeutet, dass für zwei Vektorräume mit derselben Dimension die Eigenschaften, die nur von der Vektorraumstruktur abhängen, genau gleich sind (technisch gesehen sind die Vektorräume isomorph). Ein Vektorraum ist endlich-dimensional Wenn seine Dimension a ist natürliche Zahl. Ansonsten ist es unendlich dimensionalund seine Dimension ist ein unendlich kardinal. Endlich-dimensionale Vektorräume treten auf natürliche Weise in Geometrie und verwandte Bereiche. In vielen Bereichen der Mathematik treten unendlich dimensionale Vektorräume auf. Zum Beispiel, Polynomringe sind Zähler unendlich-dimensionale Vektorräume und viele Funktionsräume habe den Kardinalität des Kontinuums als Dimension.

Viele Vektorräume, die in der Mathematik berücksichtigt werden, sind auch mit anderen ausgestattet Strukturen. Dies ist der Fall von Algebren, die einschließen Feldverlängerungen, Polynomringe, assoziative Algebren und Lügen Sie Algebren. Dies ist auch der Fall von Topologische Vektorräume, die einschließen Funktionsräume, innere Produkträume, Normierte Räume, Hilbert Räume und Banach -Räume.

Definition und grundlegende Eigenschaften

In diesem Artikel werden Vektoren fett dargestellt, um sie von Skalaren zu unterscheiden.[NB 1]

Ein Vektorraum über a aufstellen F ist ein einstellen V zusammen mit zwei Binäre Operationen Das erfüllt die acht unten aufgeführten Axiome. In diesem Zusammenhang die Elemente von V werden allgemein genannt Vektorenund die Elemente vonF werden genannt Skalare.

  • Die erste Operation, genannt Vektor Addition oder einfach Zusatz weist zwei beliebige Vektoren zuv und w in V ein dritter Vektor in V das wird allgemein als geschrieben als v + wund nannte das Summe dieser beiden Vektoren.
  • Die zweite Operation, genannt Skalarmultiplikation, Zuweist einem Skalar zugewiesena in F und jeder Vektorv in V Ein weiterer Vektor in V, was bezeichnet wirdav.[NB 2]

Um einen Vektorraum zu haben, müssen diese beiden Operationen die acht Anhänger erfüllen Axiome Das muss für jeden zufrieden sein u, v und w in V, und a und b in F.[1]

Axiom Bedeutung
Assoziativität Vektorabzug u + (v + w) = ((u + v) + w
Amtativität Vektorabzug u + v = v + u
Identitätselement Vektorabzug Es gibt ein Element 0V, genannt Null -Vektor, so dass v + 0 = v für alle vV.
Inverse Elemente Vektorabzug Für jeden vVEs gibt ein Element vV, genannt Additive Inverse von v, so dass v + ( -v) = 0.
Kompatibilität der skalaren Multiplikation mit Feldmultiplikation a(bv) = ((ab)v [NB 3]
Identitätselement der Skalarmultiplikation 1v = v, wo 1 bezeichnet die multiplikative Identität in F.
Verbreitung der skalaren Multiplikation in Bezug auf die Vektoraddition a(u + v) = au + av
Verteilung der skalaren Multiplikation in Bezug auf die Feldzusatz (a + b)v = av + bv

Wenn das Skalarfeld das ist reale Nummern Der Vektorraum wird a genannt Echter Vektorraum. Wenn das Skalarfeld das ist komplexe ZahlenDer Vektorraum wird a genannt Komplexer Vektorraum. Diese beiden Fälle sind die häufigsten, aber Vektorräume mit Skalaren in einem willkürlichen Bereich F werden auch allgemein berücksichtigt. Ein solcher Vektorraum wird als eine genannt F-Vektorraum oder ein Vektorraum über F.

Eine äquivalente Definition eines Vektorraums kann gegeben werden, was viel prägnanter, aber weniger elementar ist: Die ersten vier Axiome sagen, dass ein Vektorraum ein ist Abelsche Gruppe unter Zusatz, und die vier Restexiome sagen, dass die Skalarmultiplikation a Homomorphismus Ring aus dem Bereich F in die Endomorphismus -Ring dieser Gruppe.

Die Subtraktion von zwei Vektoren kann definiert werden als

Direkte Folgen der Axiome umfassen das für jeden und hat man

  • impliziert oder

Verwandte Konzepte und Eigenschaften

Ein Vektor v in R2 (blau) in Bezug auf verschiedene Basen ausgedrückt: Verwenden der Verwendung der Standardbasis von R2: v = xe1 + ye2 (schwarz) und benutze ein anderes, nichtsenkrecht Basis: v = f1 + f2 (rot).
Lineare Kombination
Ein Satz gegeben G von Elementen von a F-Vektorraum V, eine lineare Kombination von Elementen von G ist ein Element von V der Form
wo und Die Skalare werden als die genannt Koeffizienten der linearen Kombination.
Lineare Unabhängigkeit
Das Element einer Untergruppe G von a F-Vektorraum V sollen sein linear unabhängig Wenn kein Element von G kann als lineare Kombination der anderen Elemente von geschrieben werden G. Äquivalent sind sie linear unabhängig, wenn zwei lineare Kombinationen des Elements von G definieren das gleiche Element von V Wenn und nur wenn sie die gleichen Koeffizienten haben. Außerdem sind sie linear unabhängig, wenn eine lineare Kombination nur dann zum Nullvektor führt, wenn alle ihre Koeffizienten Null sind.
Linearer Unterraum
A linearer Unterraum oder Vektor -Unterraum W eines Vektorraums V ist eine nicht leere Untergruppe von V das ist abgeschlossen unter Vektoraddition und Skalarmultiplikation; das heißt, die Summe von zwei Elementen von W und das Produkt eines Elements von V von einem Skalar gehören zu W. Dies impliziert, dass jede lineare Kombination von Elementen von W gehört W. Ein linearer Unterraum ist ein Vektorraum für die induzierte Addition und die skalare Multiplikation. Dies bedeutet, dass die Schließeigenschaft impliziert, dass die Axiome eines Vektorraums erfüllt sind.
Die Schließungseigenschaft impliziert auch das jeder Überschneidung von linearen Unterteilen ist ein linearer Unterraum.
Lineare Spannweite
Bei einer Teilmenge G eines Vektorraums V, das lineare Spannweite oder einfach das Spanne von G ist der kleinste lineare Unterraum von V das beinhaltet Gin dem Sinne, dass es sich um den Schnittpunkt aller linearen Unterbereiche handelt, die enthalten G. Die Spannweite von G ist auch der Satz aller linearen Kombinationen von Elementen von G.
Wenn W ist die Spannweite von Gman sagt das G Spannweiten oder erzeugt W, und das G ist ein Spannungssatz oder ein Generierungssatz von W.
Basis und Abmessungen
Eine Untergruppe eines Vektorraums ist a Basis Wenn seine Elemente linear unabhängig sind und den Vektorraum überspannen. Jeder Vektorraum hat mindestens eine Basis, im Allgemeinen viele (siehe Basis (lineare Algebra) § Beweis dafür, dass jeder Vektorraum eine Grundlage hat). Darüber hinaus haben alle Grundlagen eines Vektorraums dasselbe Kardinalität, was genannt wird Abmessungen des Vektorraums (siehe Dimensionstheorem für Vektorräume). Dies ist eine grundlegende Eigenschaft von Vektorräumen, die im Rest des Abschnitts detailliert ist.

Basen sind ein grundlegendes Instrument für die Untersuchung von Vektorräumen, insbesondere wenn die Dimension endlich ist. Im unendlich-dimensionalen Fall die Existenz von unendlichen Basen, die oft genannt werden Hamel -Basen, abhängig von der Axiom der Wahl. Daraus folgt, dass im Allgemeinen keine Basis explizit beschrieben werden kann. Zum Beispiel die reale Nummern einen unendlich-dimensionalen Vektorraum über dem bilden Rationale Zahlen, für die keine spezifische Grundlage bekannt ist.

Betrachten Sie eine Basis eines Vektorraums V von Dimension n über ein Feld F. Die Definition einer Basis impliziert, dass jeder kann geschrieben werden

mit in Fund dass diese Zersetzung einzigartig ist. Die Skalare werden als die genannt Koordinaten von v auf der Basis. Sie sollen auch die sein Koeffizienten der Zersetzung von v auf der Basis. Man sagt auch, dass die n-Tupel der Koordinaten ist die Koordinatenvektor von v auf der Grundlage seit dem Satz des n-Tupel von Elementen von F ist ein Vektorraum für Komponenten Addition und skalare Multiplikation, deren Dimension ist n.

Das Eins-zu-eins-Korrespondenz Zwischen den Vektoren und ihren Koordinatenvektoren karten die Vektoraddition und die skalare Multiplikation mit einer Skalarmultiplikation. Es ist also a Vektorraum Isomorphismus, was es ermöglicht, Argumente und Berechnungen von Vektoren in Argumentation und Berechnungen ihrer Koordinaten zu übersetzen. Wenn diese Koordinaten wiederum als angeordnet sind MatrizenDiese Argumentation und Berechnungen zu Koordinaten können als Argumentation und Berechnungen zu Matrizen präzise ausgedrückt werden. Außerdem a lineare Gleichung Das Zusammenhang mit Matrizen kann in a erweitert werden System der linearen Gleichungenund umgekehrt kann jedes solche System in eine lineare Gleichung auf Matrizen verdichtet werden.

Also zusammenfassend endlich-dimensional Lineare Algebra kann in drei äquivalenten Sprachen ausgedrückt werden:

  • Vektorräume, die präzise und koordinatefreie Aussagen liefern,
  • Matrizen, die bequem sind, um genaue explizite Berechnungen auszudrücken,
  • Systeme der linearen Gleichungen, die mehr elementare Formulierungen liefern.

Geschichte

Vektorräume stammen aus affine Geometrieüber die Einführung von Koordinaten in der Ebene oder im dreidimensionalen Raum. Um 1636 französische Mathematiker René Descartes und Pierre de Fermat Gegründet analytische Geometrie Durch die Identifizierung von Lösungen für eine Gleichung von zwei Variablen mit Punkten in einer Ebene Kurve.[2] Um geometrische Lösungen zu erreichen, ohne Koordinaten zu verwenden, Bolzano Einführte im Jahr 1804 bestimmte Operationen zu Punkten, Linien und Flugzeugen, die Vorgänger von Vektoren sind.[3] Möbius (1827) stellte den Begriff von vor Barycentric -Koordinaten. Bellavitis (1833) führte den Begriff eines Zweibeins ein, d. H. Ein orientiertes Segment eines, dessen Enden der Ursprung sind und der andere ein Ziel.[4] Die Vektoren wurden mit der Präsentation von überprüft komplexe Zahlen durch Argand und Hamilton und der Beginn von Quaternionen Durch die letztgenannte.[5] Sie sind Elemente in R2 und R4; Behandeln Sie sie mit lineare Kombinationen geht zurück zu Laguerre Im Jahr 1867, der auch definierte Systeme der linearen Gleichungen.

Im Jahr 1857, Cayley stellte die vor Matrixnotation Dies ermöglicht eine Harmonisierung und Vereinfachung von lineare Karten. Um die selbe Zeit, Grassmann untersuchte den von Möbius initiierten Barycentric Calculus. Er stellte sich vor, dass abstrakte Objekte mit Operationen ausgestattet waren.[6] In seiner Arbeit die Konzepte von lineare Unabhängigkeit und Abmessungen, ebenso gut wie Skalare Produkte sind anwesend. Tatsächlich übertrifft Grassmanns Arbeit von 1844 den Rahmen von Vektorräumen, da er auch über die Multiplikation in Betracht geführt hat, zu dem, was heute genannt wird Algebren. Italienischer Mathematiker Peano war der erste, der 1888 die moderne Definition von Vektorräumen und linearen Karten gab.[7]

Eine wichtige Entwicklung von Vektorräumen ist auf den Bau von zurückzuführen Funktionsräume durch Henri Lebesgue. Dies wurde später von formalisiert von Banach und Hilbert, um 1920.[8] Zu dieser Zeit, Algebra und das neue Feld von Funktionsanalyse begann zu interagieren, insbesondere mit Schlüsselkonzepten wie wie Räume von p-integrierbare Funktionen und Hilbert Räume.[9] Zu diesem Zeitpunkt wurden auch die ersten Studien zu unendlich-dimensionalen Vektorräumen durchgeführt.

Beispiele

Pfeile im Flugzeug

Das erste Beispiel eines Vektorraums besteht aus Pfeile in einem festen Flugzeug, beginnend an einem festen Punkt. Dies wird in der Physik verwendet, um zu beschreiben Kräfte oder velocities. Angesichts der zwei solchen Pfeile, v und w, das Parallelogramm Von diesen beiden Pfeilen enthält ein diagonaler Pfeil, der auch am Ursprung beginnt. Dieser Neupfeil wird der genannt Summe der beiden Pfeile und wird bezeichnet v + w. Im Sonderfall von zwei Pfeilen auf derselben Linie ist ihre Summe der Pfeil auf dieser Linie, dessen Länge die Summe oder die Differenz der Längen ist, je nachdem, ob die Pfeile dieselbe Richtung haben. Eine andere Operation, die mit Pfeilen durchgeführt werden kann reelle Zahl a, der Pfeil, der die gleiche Richtung hat wie v, wird aber erweitert oder geschrumpft, indem er seine Länge mit multipliziert a, wird genannt Multiplikation von v durch a. Es ist bezeichnet av. Wann a ist negativ, av ist definiert als der Pfeil, der stattdessen in die entgegengesetzte Richtung zeigt.

Das Folgende zeigt einige Beispiele: wenn a = 2, der resultierende Vektor aw hat die gleiche Richtung wie w, ist aber auf die doppelte Länge von gestreckt w (rechtes Bild unten). Äquivalent, 2w ist die Summe w + w. Darüber hinaus, (–1)v = -v hat die entgegengesetzte Richtung und die gleiche Länge wie v (Blauer Vektor, der im richtigen Bild nach unten zeigt).

Vector addition: the sum v + w (black) of the vectors v (blue) and w (red) is shown. Scalar multiplication: the multiples −v and 2w are shown.

Zweites Beispiel: Ordnungsgeordnete Zahlenpaare

Ein zweites Schlüsselbeispiel eines Vektorraums wird durch Paare realer Zahlen bereitgestellt x und y. (Die Reihenfolge der Komponenten x und y ist signifikant, also wird ein solches Paar auch als als als genannt geordnetes Paar.) Ein solches Paar ist geschrieben als (x, y). Die Summe von zwei solchen Paaren und der Multiplikation eines Paares mit einer Zahl ist wie folgt definiert:

und

Das erste Beispiel oben reduziert sich auf dieses Beispiel, wenn ein Pfeil durch ein Paar von dargestellt wird Kartesischen Koordinaten von seinem Endpunkt.

Raum koordinieren

Das einfachste Beispiel eines Vektorraums über einem Feld F ist das Feld F selbst (wie es ein ist Abelsche Gruppe Zum Hinzufügen eines Teils der Anforderungen an a aufstellen), ausgestattet mit seiner Addition (es wird Vektorabschluss) und eine Multiplikation (es wird zu einer Skalarmultiplikation). Allgemeiner alle, alle n-Tupel (Längesequenzen n))

(a1, a2, ..., an)

von Elementen ai von F einen Vektorraum bilden, der normalerweise bezeichnet wird Fn und genannt a Raum koordinieren.[10] Der Fall n = 1 ist das oben genannte einfachste Beispiel, in dem das Feld F wird auch als Vektorraum über sich selbst angesehen. Der Fall F = R und n = 2 (Also R2) wurde in der obigen Einführung diskutiert.

Komplexe Zahlen und andere Feldverlängerungen

Der Satz von komplexe Zahlen C, das heißt Zahlen, die in der Form geschrieben werden können x + iy zum reale Nummern x und y wo i ist der imaginäre EinheitBilden Sie einen Vektorraum über die Realität mit der üblichen Ergänzung und Multiplikation: (x + iy) + (a + ib) = ((x + a) + i(y + b) und c ≤ (x + iy) = ((cx) + i(cy) für reale Zahlen x, y, a, b und c. Die verschiedenen Axiome eines Vektorraums ergeben sich aus der Tatsache, dass dieselben Regeln für komplexe Zahl Arithmetik gelten.

Tatsächlich ist das Beispiel komplexer Zahlen im Wesentlichen das gleiche wie (das heißt, es ist es isomorph an) den Vektorraum der oben genannten geordneten Paare von reellen Zahlen: Wenn wir an die komplexe Zahl denken x + i y als Darstellung des geordneten Paares (x, y) in dem Komplexe Ebene Dann sehen wir, dass die Regeln für Addition und Skalarmultiplikation genau denen im früheren Beispiel entsprechen.

Allgemeiner, Feldverlängerungen Bieten Sie eine weitere Klasse von Beispielen für Vektorräume, insbesondere in Algebra und Algebraische Zahlentheorie: ein Feld F enthält a kleineres Feld E ist ein E-Vektorraum nach der angegebenen Multiplikation und Additionsvorgänge von F.[11] Zum Beispiel sind die komplexen Zahlen ein Vektorraum über Rund die Feldverlängerung ist ein Vektorraum über Q.

Funktionsräume

Zugabe von Funktionen: Die Summe des Sinus und der exponentiellen Funktion ist mit

Funktionen von einem festen Satz Ω zu einem Feld F Bilden Sie auch Vektorräume, indem Sie zusätzliche und skalare Multiplikationspunkte durchführen. Das heißt, die Summe von zwei Funktionen f und g ist die Funktion (f + g) gegeben durch

(f + g) (w) = f(w) + g(w),

und ähnlich zur Multiplikation. Solche Funktionsräume treten in vielen geometrischen Situationen auf, wenn Ω ist der echte Linie oder an Intervall, oder andere Untergruppen von R. Viele Vorstellungen in Topologie und Analyse, wie z. Kontinuität, Integrierbarkeit oder Differenzierbarkeit sind in Bezug auf Linearität gut erzogen: Summen und skalare Vielfalt von Funktionen, die ein solches Eigentum besitzen, haben noch diese Eigenschaft.[12] Daher sind die solchen Funktionen Vektorräume, deren Studie gehört Funktionsanalyse.

Lineare Gleichungen

Systeme von Homogene lineare Gleichungen sind eng mit Vektorräumen verbunden.[13] Zum Beispiel die Lösungen von

a + 3b + c = 0
4a + 2b + 2c = 0

werden durch Dreifach a, b = a/2, und c = –5a/2. Sie bilden einen Vektorraum: Summen und skalare Multiplikatoren solcher Dreier erfüllen immer noch die gleichen Verhältnisse der drei Variablen; So sind sie auch Lösungen. Matrizen kann verwendet werden, um mehrere lineare Gleichungen wie oben in eine Vektorgleichung zu kondensieren, nämlich

Ax = 0,

wo ist die Matrix, die die Koeffizienten der gegebenen Gleichungen enthält, x ist der Vektor (a, b, c), Ax bezeichnet die Matrixprodukt, und 0 = (0, 0) ist der Nullvektor. In ähnlicher Weise die homogenen Lösungen Lineare Differentialgleichungen Formen Sie Vektorräume. Zum Beispiel,

f'' (x) + 2f'(x) + f(x) = 0

ergibt f(x) = a ex + bx ex, wo a und b sind willkürliche Konstanten und ex ist der natürliche exponentielle Funktion.

Lineare Karten und Matrizen

Die Beziehung von zwei Vektorräumen kann durch ausgedrückt werden lineare Karte oder lineare Transformation. Sie sind Funktionen Das spiegelt die Vektor -Raumstruktur wider, dh sie bewahren Summen und Skalare Multiplikation:

und f(a · v) = a · f(v) für alle v und w in V, alle a in F.[14]

Ein Isomorphismus ist eine lineare Karte f: VW so dass es eine gibt inverse Karte g: WV, was eine Karte ist, sodass die beiden möglich sind Kompositionen fg: WW und gf: VV sind Identitätskarten. Äquivalent, f ist beide eins zu eins (injektiv) und auf (surjektiv).[15] Wenn es einen Isomorphismus gibt zwischen V und W, die beiden Räume sollen sein isomorph; Sie sind dann im Wesentlichen identisch wie Vektorräume, da alle Identitäten, die sich anhalten V sind, über f, transportiert zu ähnlichen in Wund umgekehrt über g.

Beschreibung eines Pfeilvektors v durch seine Koordinaten x und y ergibt einen Isomorphismus von Vektorräumen.

Zum Beispiel sind die "Pfeile in der Ebene" und "geordnete Zahlenpaare" -Vektorräume in der Einführung isomorph: ein planarer Pfeil v Abfahrt am Ursprung von einigen (fest) Koordinatensystem kann als geordnetes Paar ausgedrückt werden, indem man die berücksichtigt x- und y-komponent des Pfeils, wie im Bild rechts gezeigt. Umgekehrt gegeben ein Paar (x, y), der Pfeil vorbei x nach rechts (oder links, wenn x ist negativ) und y hoch (unten, wenn y ist negativ) dreht den Pfeil zurück v.

Lineare Karten VW zwischen zwei Vektorräumen bilden einen Vektorraum HomF(V, W)auch bezeichnet L (V, W), oder (V, W).[16] Der Raum der linearen Karten von V zu F wird genannt Doppelvektorraum, bezeichnet V.[17] Über das Injektiv natürlich Karte VV∗∗, jeder Vektorraum kann in seine eingebettet werden bidual; Die Karte ist ein Isomorphismus, wenn der Raum endlich dimensional ist.[18]

Einmal eine Basis von V wird ausgewählt, lineare Karten f: VW werden vollständig bestimmt, indem die Bilder der Basisvektoren angegeben werden, weil jedes Element von V wird als lineare Kombination von ihnen einzigartig ausgedrückt.[19] Wenn schwach V = dim W, a 1-zu-1-Korrespondenz zwischen festen Basen von V und W führt zu einer linearen Karte, die jedes Basiselement von ordnet V zum entsprechenden Grundelement von W. Es ist ein Isomorphismus nach seiner Definition.[20] Daher sind zwei Vektorräume isomorph, wenn ihre Dimensionen übereinstimmen und umgekehrt. Eine andere Möglichkeit, dies auszudrücken, ist, dass jeder Vektorraum ist vollständig klassifiziert (bis zu Isomorphismus) durch seine Dimension, eine einzelne Zahl. Insbesondere alle n-Dimensional F-Vektorraum V ist isomorph zu Fn. Es gibt jedoch keinen "kanonischen" oder bevorzugten Isomorphismus; Eigentlich ein Isomorphismus φ: FnV entspricht der Wahl einer Grundlage von V, durch Abbildung der Standardbasis von Fn zu V, via φ. Die Freiheit der Auswahl einer bequemen Basis ist im unendlich-dimensionalen Kontext besonders nützlich. sehen unter.[Klarstellung erforderlich]

Matrizen

Eine typische Matrix

Matrizen sind ein nützlicher Begriff, lineare Karten zu codieren.[21] Sie werden als rechteckige Scalare wie im Bild rechts geschrieben. Irgendein m-durch-n Matrix A führt zu einer linearen Karte von Fn zu Fm, nach folgenden

, wo bezeichnet Summe,

oder verwenden die Matrix-Multiplikation der Matrix A mit dem Koordinatenvektor x:

xAx.

Darüber hinaus nach Auswahl der Basen von V und W, irgendein lineare Karte f: VW wird durch eine Matrix durch diese Zuordnung einzigartig dargestellt.[22]

Das Volumen davon parallelepiped ist der absolute Wert der Determinante der 3-mal-3-Matrix, die von den Vektoren gebildet wird r1, r2, und r3.

Das bestimmend det (A) von a quadratische Matrix A ist ein Skalar, der zeigt, ob die zugehörige Karte ein Isomorphismus ist oder nicht: Um so ausreichend und notwendig zu sein, ist die Determinante ungleich Null.[23] Die lineare Transformation von Rn entsprechend einem echten n-durch-n Matrix ist Ausrichtungserhaltung Wenn und nur wenn seine Determinante positiv ist.

Eigenwerte und Eigenvektoren

Endomorphismen, lineare Karten f: VVsind besonders wichtig, da in diesem Fall Vektoren v kann mit ihrem Bild unter verglichen werden f, f(v). Jeder Vektor ungleich Null v befriedigend λv = f(v), wo λ ist ein Skalar, wird als eine genannt Eigenvektor von f mit Eigenwert λ.[NB 4][24] Äquivalent, v ist ein Element der Kernel des Unterschieds fλ · Ausweis (wo id das ist das Identitätskarte VV). Wenn V ist endlichdimensional, dies kann unter Verwendung von Determinanten umformuliert werden: f Eigenwert haben λ ist äquivalent zu

det (fλ · Id) = 0.

Durch die Ausgabe der Definition der Determinante kann der Ausdruck auf der linken Seite eine Polynomfunktion in gesehen werden λ, genannt charakteristisches Polynom von f.[25] Wenn das Feld F ist groß genug, um eine Null dieses Polynoms zu enthalten (was automatisch für vorkommt F Algebraisch geschlossen, wie zum Beispiel F = C) Jede lineare Karte hat mindestens einen Eigenvektor. Der Vektorraum V kann eine besitzen oder nicht Eigenbasis, eine Basis bestehend aus Eigenvektoren. Dieses Phänomen wird von der bestimmt Jordanische kanonische Form der Karte.[26][NB 5] Die Menge aller Eigenvektoren, die einem bestimmten Eigenwert von entsprechen f bildet einen Vektorraum, der als der bekannt ist Eigenspace entsprechend dem Eigenwert (und f) fraglich. Um das zu erreichen Spektralsatz, Die entsprechende Aussage im unendlich-dimensionalen Fall, die Maschinerie der Funktionsanalyse ist erforderlich, siehe unter.[Klarstellung erforderlich]

Grundkonstruktionen

Zusätzlich zu den oben genannten konkreten Beispielen gibt es eine Reihe linearer algebraischer Standardkonstruktionen, die Vektorräume in Bezug auf die angegebenen ergibt. Zusätzlich zu den unten angegebenen Definitionen sind sie auch durch gekennzeichnet durch Universelle Eigenschaften, die ein Objekt bestimmen X durch Angabe der linearen Karten von X zu einem anderen Vektorraum.

Unterteile und Quotientsräume

Eine Linie durch die Ursprung (blau, dick) in R3 ist ein linearer Unterraum. Es ist der Schnittpunkt von zwei Flugzeuge (grün und gelb).

Ein nicht leerer Teilmenge W eines Vektorraums V das wird unter Hinzufügung und Skalarmultiplikation geschlossen (und enthält daher die 0-Vektor von V) wird a genannt linearer Unterraum von Voder einfach ein Unterraum von V, wenn der Umgebungsraum eindeutig ein Vektorraum ist.[27][NB 6] Unterbereiche von V sind Vektorräume (über demselben Feld) für sich. Der Schnittpunkt aller Unterräume, die einen bestimmten Satz enthalten S von Vektoren heißt es Spanneund es ist der kleinste Unterraum von V mit dem Satz enthalten S. In Bezug auf Elemente ausgedrückt ist die Spanne der Unterraum, der aus allen besteht lineare Kombinationen von Elementen von S.[28]

Ein linearer Unterraum der Dimension 1 ist a Vektorlinie. Ein linearer Unterraum der Dimension 2 ist a Vektorebene. Ein linearer Unterraum, der alle Elemente enthält, aber eine der Basis des Umgebungsraums ist a Vektorhyperebene. In einem Vektorraum der endlichen Dimension n, eine Vektorhyperebene ist somit ein Teil des Dimensions n – 1.

Das Gegenstück zu Teilräumen ist Quotient Vektorräume.[29] Angesichts eines beliebigen Unterraums WV, der Quotientsraum V/W (""V Modulo W") wird wie folgt definiert: als Set besteht es aus v + W = {{v + w: wW}, wo v ist ein willkürlicher Vektor in V. Die Summe von zwei solcher Elemente v1 + W und v2 + W ist (v1 + v2) + W, und eine Skalarvervielfachung wird durch gegeben a · (v + W) = ((a · v) + W. Der entscheidende Punkt in dieser Definition ist das v1 + W = v2 + W dann und nur dann, wenn der Unterschied von v1 und v2 besteht in W.[NB 7] Auf diese Weise "vergibt" Informationen, die im Unterraum enthalten sind W.

Das Kernel ker (f) einer linearen Karte f: VW besteht aus Vektoren v das werden zugeordnet 0 in W.[30] Der Kernel und der Bild ich bin(f) = {f(v): vV} sind Unterbereiche von V und W, beziehungsweise.[31] Die Existenz von Kernel und Bildern ist Teil der Aussage, dass die Kategorie von Vektorräumen (über einem festen Feld F) ist ein Abelsche Kategorie, das heißt ein Korpus mathematischer Objekte und strukturpräsentierender Karten zwischen ihnen (a Kategorie) Das verhält sich ähnlich dem Kategorie von Abelschen Gruppen.[32] Aus diesem Grund viele Aussagen wie die Erster Isomorphismus -Theorem (auch genannt Rang -Nullity -Theorem in matrixbezogenen Begriffen)

V / ker (f) ≡ IM (f).

und der zweite und dritte Isomorphismus -Theorem kann auf eine Weise formuliert und bewiesen werden, die den entsprechenden Aussagen für sehr ähnlich ist Gruppen.

Ein wichtiges Beispiel ist der Kern einer linearen Karte xAx Für einige feste Matrix A, wie Oben.[Klarstellung erforderlich] Der Kern dieser Karte ist der Unterraum der Vektoren x so dass Ax = 0, was genau die Menge von Lösungen für das System homogener linearer Gleichungen ist A. Dieses Konzept erstreckt sich auch auf lineare Differentialgleichungen

, wo die Koeffizienten ai sind Funktionen in x, zu.

In der entsprechenden Karte

,

das Derivate der Funktion f linear erscheinen (im Gegensatz zu f'' (x)2, zum Beispiel). Da Differenzierung ein lineares Verfahren ist (dh,, (f + g) '= f' + g und (c·f) '= c·f für eine Konstante c) Diese Zuordnung ist linear, als a genannt linearer Differentialoperator. Insbesondere die Lösungen für die Differentialgleichung D(f) = 0 einen Vektorraum bilden (über R oder C).

Direktes Produkt und direkte Summe

Das direktes Produkt von Vektorräumen und der direkte Summe Vektorräume sind zwei Möglichkeiten, eine indizierte Familie von Vektorräumen in einen neuen Vektorraum zu kombinieren.

Das direktes Produkt einer Familie von Vektorräumen Vi besteht aus dem Satz aller Tupel (vi)iI, die für jeden Index festlegen i in einigen Indexsatz I ein Element vi von Vi.[33] Zusatz- und Skalarmultiplikation wird komponentius durchgeführt. Eine Variante dieser Konstruktion ist die direkte Summe (auch genannt Koprodukt und bezeichnet ), wo nur Tupel mit endlich vielen ungleich Null Vektoren zulässig sind. Wenn der Index festgelegt ist I ist endlich, die beiden Konstruktionen sind sich einig, aber im Allgemeinen sind sie unterschiedlich.

Tensorprodukt

Das Tensorprodukt VF W, oder einfach VWvon zwei Vektorräumen V und W ist eine der zentralen Vorstellungen von Multilineare Algebra Dies befasst sich mit Ausweitung von Vorstellungen wie linearen Karten auf mehrere Variablen. Eine Landkarte g: V × WX wird genannt bilinear wenn g ist in beiden Variablen linear v und w. Das heißt, für fest w die Karte vg(v, w) ist linear im obigen Sinne und ebenfalls für fest v.

Das Tensorprodukt ist ein bestimmter Vektorraum, der a ist Universal- Empfänger bilineare Karten g, folgendermaßen. Es ist definiert als der Vektorraum, der aus endlichen (formalen) Summen von Symbolen besteht, die genannt werden Tensoren

v1w1 + v2w2 + ⋯ + vnwn,

Vorbehaltlich der Regeln

a · (vw) = ((a · v) ⊗ w = v ⊗ (a · w), wo a ist ein Skalar,
(v1 + v2) ⊗ w = v1w + v2w, und
v ⊗ (w1 + w2) = vw1 + vw2.[34]
Kommutatiagramm Darstellung der universellen Eigenschaft des Tensorprodukts.

Diese Regeln stellen sicher, dass die Karte f von dem V × W zu VW das karten a Tupel (v, w) zu vw ist bilinear. Die Universalität gibt an, die gegeben haben irgendein Vektorraum X und irgendein bilineare Karte g: V × WXEs gibt eine einzigartige Karte u, im Diagramm gezeigt mit einem gepunkteten Pfeil, dessen Komposition mit f gleich g: u(vw) = g(v, w).[35] Dies nennt man die Universelles Eigentum des Tensorprodukts, einer Instanz der Methode - die in fortgeschrittenen abstrakten Algebra verwendet werden -, um Objekte indirekt zu definieren, indem Karten aus oder an dieses Objekt angegeben werden.

Vektorräume mit zusätzlicher Struktur

Aus der Sicht der linearen Algebra werden Vektorräume so weit verstanden, dass jeder Vektorraum durch seine Dimension bis zum Isomorphismus charakterisiert ist. Allerdings Vektorräume an sich Bieten Sie keinen Rahmen an, um die Frage zu bewältigen - entscheidend für die Analyse -, ob eine Abfolge von Funktionen konvergiert zu einer anderen Funktion. Ebenso ist lineare Algebra nicht angepasst, um damit umzugehen unendliche SerieDa der Additionbetrieb nur endlich viele Begriffe hinzugefügt werden kann. Daher die Bedürfnisse von Funktionsanalyse Erfordern Sie zusätzliche Strukturen.

Ein Vektorraum kann a gegeben werden Teilreihenfolge ≤, unter denen einige Vektoren verglichen werden können.[36] Zum Beispiel, n-Dimensionaler realer Raum Rn Kann durch Vergleich seiner Vektoren bestellt werden. Bestellte Vektorräume, zum Beispiel Riesz Räumesind grundlegend für Lebesgue integration, was auf der Fähigkeit beruht, eine Funktion als Unterschied zweier positiver Funktionen auszudrücken

,

wo bezeichnet den positiven Teil von und der negative Teil.[37]

Normierte Vektorräume und innere Produkträume

"Mess" Vektoren erfolgt durch Angabe a Norm, ein Datum, das die Längen von Vektoren misst, oder nach einem Innenprodukt, was Winkel zwischen Vektoren misst. Normen und innere Produkte werden bezeichnet und , beziehungsweise. Das Datum eines inneren Produkts beinhaltet auch, dass Vektorenlängen definiert werden können, indem die zugehörige Norm definiert wird . Vektorräume, die mit solchen Daten ausgestattet sind Normierte Vektorräume und innere Produkträume, beziehungsweise.[38]

Raum koordinieren Fn kann mit dem Standard ausgestattet werden Skalarprodukt:

Im R2Dies spiegelt den gemeinsamen Begriff des Winkels zwischen zwei Vektoren wider x und y, bis zum Gesetz des Cosinus:

Aus diesem Grund befriedigend zwei Vektoren werden genannt senkrecht. Eine wichtige Variante des Standard -Punktprodukts wird in verwendet Minkowski -Raum: R4 mit dem Lorentz -Produkt ausgestattet

[39]

Im Gegensatz zum Standard -Punkt -Produkt ist es nicht positiv definitiv: nimmt auch negative Werte auf, zum Beispiel für . Die vierte Koordinate herausgreifen -entsprechend der Zeitim Gegensatz zu drei Raumdimensionen-nützt es für die mathematische Behandlung von Spezielle Relativität.

Topologische Vektorräume

Konvergenzfragen werden durch Berücksichtigung von Vektorräumen behandelt V ein kompatibles tragen Topologie, eine Struktur, die es einem ermöglicht, über Elemente zu sprechen, die sein nahe beieinander.[40][41] Kompatibel hier bedeutet, dass Addition und Skalarmultiplikation sein müssen kontinuierliche Karten. Grob, wenn x und y in V, und a in F variieren um eine begrenzte Menge, dann auch x + y und ax.[NB 8] Um den Betrag anzugeben, den ein Skalar ändert, ändert sich das Feld F muss auch eine Topologie in diesem Zusammenhang tragen; Eine gemeinsame Wahl sind die Real- oder komplexen Zahlen.

In solch Topologische Vektorräume man kann berücksichtigen Serie von Vektoren. Das unendliche Summe

bezeichnet die Grenze der entsprechenden endlichen partiellen Summen der Sequenz (fi)iN von Elementen von V. Zum Beispiel die fi könnte (reale oder komplexe) Funktionen sein Funktionsraum VIn diesem Fall ist die Serie a Funktionserie. Das Konvergenzart der Serie hängt von der Topologie ab, die dem Funktionsraum auferlegt wird. In solchen Fällen, punktuelle Konvergenz und einheitliche Konvergenz sind zwei prominente Beispiele.

Einheit "Kugeln" in R2 bestehen aus Ebenenvektoren von Norm 1. Dargestellt sind die Einheitskugeln in verschiedenen p-norms, zum p = 1, 2 und ∞. Der größere Diamant zeigt Punkte von 1-Norm entspricht 2.

Ein Weg, um die Existenz von Grenzen bestimmter unendlicher Serien zu gewährleisten, besteht darin, die Aufmerksamkeit auf Räume zu beschränken, in denen Cauchy -Sequenz hat eine Grenze; Ein solcher Vektorraum wird genannt Komplett. Ungefähr ein Vektorraum ist vollständig, sofern er alle erforderlichen Grenzen enthält. Zum Beispiel der Vektorraum von Polynomen auf dem Einheitsintervall [0,1], ausgestattet mit dem Topologie der einheitlichen Konvergenz ist nicht vollständig, da jede kontinuierliche Funktion auf [0,1] durch eine Sequenz von Polynomen durch die gleichmäßig angenähert werden kann Weierstrass -Annäherungstheorem.[42] Im Gegensatz dazu der Raum von alle Kontinuierliche Funktionen auf [0,1] mit derselben Topologie sind abgeschlossen.[43] Eine Norm führt zu einer Topologie, indem es definiert, dass eine Abfolge von Vektoren vn konvergiert zu v dann und nur dann, wenn

Banach- und Hilbert -Räume sind vollständige topologische Vektorräume, deren Topologien jeweils durch eine Norm und ein inneres Produkt verabreicht werden. Ihre Studie - ein Schlüsselstück von Funktionsanalyse-Fokussiert auf unendlich-dimensionalen Vektorräumen, da alle Normen für endlich-dimensionale topologische Vektorräume denselben Begriff der Konvergenz führen.[44] Das Bild rechts zeigt die Äquivalenz des 1-Norms und des ∞-Norms an R2: Da sich die Einheit "Bälle" einschließen, konvergiert eine Sequenz in einer Norm, wenn sie auch in der anderen Norm auch ist, eine Sequenz auf Null. Im unendlich-dimensionalen Fall wird es jedoch im Allgemeinen ungleiche Topologien geben, wodurch die Untersuchung topologischer Vektorräume ohne zusätzliche Daten reicher ist als die von Vektorräumen.

Aus konzeptioneller Sicht sollten alle Begriffe im Zusammenhang mit topologischen Vektorräumen der Topologie übereinstimmen. Zum Beispiel anstatt alle linearen Karten zu betrachten (auch genannt Funktionale) VW, Karten zwischen topologischen Vektorräumen müssen kontinuierlich sein.[45] Insbesondere die (topologischer) Doppelraum V besteht aus kontinuierlichen Funktionen VR (oder zu C). Das Fundamentale Hahn -Banach -Theorem befasst sich mit der Trennung von Unterteilen geeigneter topologischer Vektorräume durch kontinuierliche Funktionale.[46]

Banach -Räume

Banach -Räume, Vorgestellt von Stefan Banach, sind vollständige normierte Vektorräume.[47]

Ein erstes Beispiel ist der Vektorraum bestehend aus unendlichen Vektoren mit echten Einträgen Deren -Norm gegeben durch

zum und .

Die Topologien auf dem unendlich-dimensionalen Raum sind ungleich für verschiedene . Zum Beispiel die Abfolge von Vektoren, in dem das erste Komponenten sind und die folgenden sind , konvergiert zur Null -Vektor zum, aber nicht für:

, aber

Allgemeiner als Sequenzen realer Zahlen, Funktionen sind mit einer Norm ausgestattet, die die obige Summe durch die ersetzt Lebesgue Integral

Der Raum von Integrierbare Funktionen auf einem gegebenen Domain (zum Beispiel ein Intervall) zufriedenstellendund mit dieser Norm ausgestattet werden genannt LeBesgue -Räume, bezeichnet .[NB 9]

Diese Räume sind vollständig.[48] (Wenn man das verwendet Riemann Integral Stattdessen ist der Raum nicht vollständig, die als Rechtfertigung für die Integrationstheorie von Lebesgue angesehen werden kann.[NB 10]) Konkret bedeutet dies, dass für jede Sequenz von Lebesgue-integrierbaren Funktionenmit, die Erkrankung erfüllen

Es gibt eine Funktion Zugehörigkeit zum Vektorraum so dass

Imposante Begrenzungsbedingungen nicht nur für die Funktion, sondern auch für ihre Derivate führt zu Sobolev Räume.[49]

Hilbert Räume

Die nachfolgenden Schnappschüsse zeigen eine Summe von 1 bis 5 Begriffen, die eine periodische Funktion (blau) durch endliche Summe von Sinusfunktionen (rot) annähern.

Komplette innere Produkträume sind als bekannt als Hilbert Räume, zu Ehren von David Hilbert.[50] Der Hilbert -Raum L2(Ω), mit innerem Produkt gegeben durch

wo bezeichnet die Komplexes Konjugat von g(x),[51][NB 11] ist ein Schlüsselfall.

Per Definition konvergiert in einem Hilbert -Raum jede Cauchy -Sequenz zu einer Grenze. Umgekehrt eine Abfolge von Funktionen finden fn Bei wünschenswerten Eigenschaften, die einer bestimmten Grenzfunktion annähern, ist gleichermaßen wichtig. Frühe Analyse, in dem Deckmantel der Taylor -Annäherung, etablierte eine Annäherung von differenzierbare Funktionen f durch Polynome.[52] Bis zum Stone -Will -Strass -Theorem, jede kontinuierliche Funktion auf [a, b] kann so genau wie gewünscht von einem Polynom angenähert werden.[53] Eine ähnliche Approximationstechnik von trigonometrische Funktionen wird allgemein genannt Fourier -Erweiterungund wird viel im Ingenieurwesen angewendet, siehe unter.[Klarstellung erforderlich] Allgemeiner und konzeptioneller wird der Satz eine einfache Beschreibung der "Grundfunktionen" oder in abstrakten Hilbert -Räumen aus, welche grundlegenden Vektoren ausreichen, um einen Hilbert -Raum zu erzeugen Hin dem Sinne, dass die Schließung von ihrer Spanne (dh endliche lineare Kombinationen und Grenzen dieser) sind der gesamte Raum. Eine solche Reihe von Funktionen wird a genannt Basis von Hseine Kardinalität ist als die bekannt Hilbert Raumdimension.[NB 12] Der Satz zeigt nicht nur geeignete Basisfunktionen als ausreichend für Annäherungszwecke, sondern auch zusammen mit dem Gram -Schmidt -Prozesses ermöglicht es einem, a zu konstruieren Basis der orthogonalen Vektoren.[54] Solche orthogonalen Basen sind die Hilbert-Raumverallgemeinerung der Koordinatenachsen bei endlich-dimensionalem Euklidischer Raum.

Die Lösungen für verschiedene Differentialgleichung kann in Bezug auf Hilbert -Räume interpretiert werden. Beispielsweise führen viele Bereiche in Physik und Technik zu solchen Gleichungen und häufig Lösungen mit bestimmten physikalischen Eigenschaften als Basisfunktionen, häufig orthogonal.[55] Als Beispiel aus der Physik die zeitabhängige Schrödinger Gleichung in Quantenmechanik beschreibt die Änderung der physikalischen Eigenschaften in der Zeit mit a partielle Differentialgleichung, deren Lösungen genannt werden Wellenfunktionen.[56] Bestimmte Werte für physikalische Eigenschaften wie Energie oder Impuls entsprechen Eigenwerte eines bestimmten (linear) Differentialoperator und die zugehörigen Wellenfunktionen werden genannt Eigenstaaten. Das Spektralsatz zersetzt einen linearen Kompaktoperator Auf Funktionen in Bezug auf diese Eigenfunktionen und ihre Eigenwerte einwirken.[57]

Algebren über Feldern

A Hyperbel, gegeben durch die Gleichung xy = 1. Das Koordinatenring von Funktionen zu dieser Hyperbel wird gegeben R[x, y] / ((x · y - 1)ein unendlich dimensionaler Vektorraum über R.

Allgemeine Vektorräume besitzen keine Multiplikation zwischen Vektoren. Ein Vektorraum mit einem zusätzlichen bilinearer Operator Die Definition der Multiplikation von zwei Vektoren ist ein Algebra über ein Feld.[58] Viele Algebren stammen aus Funktionen für ein geometrisches Objekt: Da Funktionen mit Werten in einem bestimmten Feld punktuell multipliziert werden können, bilden diese Entitäten Algebren. Zum Beispiel ist der Stein -Will -Strud -Theorem auf Banach -Algebren die sowohl Banach -Räume als auch Algebren sind.

Kommutative Algebra nutzt sehr Ringe von Polynomen in einer oder mehreren Variablen eingeführt Oben.[Klarstellung erforderlich] Ihre Multiplikation ist beides kommutativ und assoziativ. Diese Ringe und ihre Quotienten bilden die Grundlage von Algebraische Geometrie, weil sie sind Funktionsringe algebraischer geometrischer Objekte.[59]

Ein weiteres entscheidendes Beispiel sind Lügen Sie Algebren, die weder kommutativ noch assoziativ sind, sondern das Versäumnis, dies zu sein, ist durch die Einschränkungen begrenzt ([x, y] bezeichnet das Produkt von x und y):

Beispiele sind der Vektorraum von n-durch-n Matrizen mit [x, y] = xyyx, das Kommutator von zwei Matrizen und R3, ausgestattet mit dem Kreuzprodukt.

Das Tensoralgebra T(V) ist eine formelle Methode, um Produkten zu jedem Vektorraum hinzuzufügen V um eine Algebra zu erhalten.[61] Als Vektorraum wird es durch Symbole überspannt, einfach als einfach genannt Tensoren

v1v2 ⊗ ⋯ ⊗ vn, bei dem die Grad n variiert.

Die Multiplikation erfolgt durch Verkettung solcher Symbole Verteilungsrecht unter Hinzufüg und erfordert, dass die Skalare Multiplikation mit dem Tensorprodukt ⊗ pendelt, ähnlich wie mit dem Tensorprodukt zweier Vektorräume, die eingeführt wurden Oben.[Klarstellung erforderlich] Im Allgemeinen gibt es keine Beziehungen zwischen v1v2 und v2v1. Das Erzwingen von zwei solchen Elementen führt zu dem Symmetrische Algebra, während er zwingen v1v2 = - v2v1 ergibt die Außenalgebra.[62]

Wenn ein Feld, F wird explizit angegeben, ein häufig verwendeter Begriff ist verwendet F-Algebra.

Verwandte Strukturen

Vektorbündel

Ein Möbius -Streifen. Lokal, es sieht aus wie U × R.

A Vektorbündel ist eine Familie von Vektorräumen, die durch a kontinuierlich parametrisiert wurden topologischer Raum X.[63] Genauer gesagt ein Vektor -Bündel über X ist ein topologischer Raum E ausgestattet mit einer kontinuierlichen Karte

π: EX

so dass für jeden x in X, das Faser π–1(x) ist ein Vektorraum. Der Fall dim V = 1 wird als a genannt Linienbündel. Für jeden Vektorraum V, die Projektion X × VX macht das Produkt X × V in ein "triviales" Vektorbündel. Vektorbündel vorbei X müssen sein örtlich ein Produkt von X und einiger (fester) Vektorraum V: für jeden x in X, da ist ein Nachbarschaft U von x so dass die Einschränkung von π auf π–1(U) ist isomorph[NB 13] zum trivialen Bündel U × VU. Trotz ihres lokalen trivialen Charakters können Vektorbündel (abhängig von der Form des darunter liegenden Raums X) im großen "verdreht" sein (dh das Bündel muss nicht (global isomorph) das triviale Bündel sein X × V). Zum Beispiel die Möbiusband kann als Linienbündel über dem Kreis gesehen werden S1 (durch Identifizierung offener Intervalle mit der realen Linie). Es unterscheidet sich jedoch von der Zylinder S1 × R, weil letzteres ist orientierbar während das erstere nicht ist.[64]

Eigenschaften bestimmter Vektorbündel liefern Informationen über den zugrunde liegenden topologischen Raum. Zum Beispiel die Tangentenbündel besteht aus der Sammlung von Tangentenräume parametrisiert durch die Punkte eines differenzierbaren Verteilers. Das Tangentenbündel des Kreises S1 ist global isomorph zu S1 × R, da es ein globales ungleich Null gibt Vektorfeld an S1.[NB 14] Dagegen durch die haariger Ball TheoremEs gibt kein (tangentes) Vektorfeld auf der 2-Sphäre S2 Welches ist überall ungleich Null.[65] K-Theory Untersucht die Isomorphismusklassen aller Vektorbündel über einen topologischen Raum.[66] Zusätzlich zur Vertiefung topologischer und geometrischer Einsichten hat es rein algebraische Konsequenzen, wie die Klassifizierung von endlich-dimensionalem Real Divisionalgebras: R, C, das Quaternionen H und die Oktonionen O.

Das Cotangent Bündel eines differenzierbaren Verteilers besteht an jedem Punkt des Verteilers des Duals des Tangentenraums, der Cotangent Space. Abschnitte von diesem Bündel sind bekannt als Differentielle Einsformen.

Module

Module sind zu Ringe Welche Vektorräume sind für Felder: dieselben Axiome, auf einen Ring angewendet R anstelle eines Feldes F, Ertragsmodule.[67] Die Theorie der Module im Vergleich zu Vektorräumen wird durch das Vorhandensein von Ringelementen kompliziert, die nicht haben multiplikative Inversen. Zum Beispiel müssen Module keine Basen haben, wie die Z-modul (das heißt, Abelsche Gruppe) Z/2Z zeigt an; Diese Module, die (einschließlich aller Vektorräume) vorliegen, sind als bekannt als Kostenlose Module. Trotzdem kann ein Vektorraum kompakt definiert werden als Modul über ein Ring die ein aufstellenmit den Elementen, die als Vektoren bezeichnet werden. Einige Autoren verwenden den Begriff Vektorraum Module über a zu bedeuten Divisionsring.[68] Die algebro-geometrische Interpretation von kommutativen Ringen über ihre Spektrum erlaubt die Entwicklung von Konzepten wie z. lokal freie Moduledas algebraische Gegenstück zu Vektorbündeln.

Affine und projektive Räume

Ein Effine -Ebene (hellblau) in R3. Es ist ein zweidimensionaler Unterraum, der von einem Vektor verschoben wird x (rot).

Grob, affine Räume sind Vektorräume, deren Ursprünge nicht angegeben sind.[69] Genauer gesagt ist ein affine Raum ein Set mit a freier transitiver Vektorraum Aktion. Insbesondere ein Vektorraum ist ein affiner Raum über sich selbst auf der Karte

V × VV, (v, a) ↦ a + v.

Wenn W ist ein Vektorraum, dann ist ein affine Unterraum eine Teilmenge von W erhalten durch Übersetzung eines linearen Unterraums V durch einen festen Vektor xW; Dieser Raum wird mit bezeichnet durch x + V (es ist ein Coset von V in W) und besteht aus allen Vektoren der Form x + v zum vV. Ein wichtiges Beispiel ist der Raum der Lösungen eines Systems inhomogener linearer Gleichungen

Ax = b

Verallgemeinerung des homogenen Falls Oben, was durch Einstellen gefunden werden kann b = 0 in dieser Gleichung.[Klarstellung erforderlich][70] Der Raum der Lösungen ist der affine Unterraum x + V wo x ist eine bestimmte Lösung der Gleichung, und V ist der Raum der Lösungen der homogenen Gleichung (der Nullraum von A).

Der Satz eindimensionaler Unterbereiche eines festgelegten endlichdimensionalen Vektorraums V ist bekannt als Projektivraum; Es kann verwendet werden, um die Idee von zu formalisieren parallel Linien, die sich in Unendlichkeit kreuzen.[71] Grassmannianer und Fahnenverteiler verallgemeinern Sie dies durch Parametisierung der linearen Unterschiede der festen Dimension k und Flaggen von Unterteilen.

Verwandte konzepte

Spezifische Vektoren in einem Vektorraum
Vektoren in bestimmten Vektorräumen
  • Spaltenvektor, eine Matrix mit nur einer Spalte. Die Spaltenvektoren mit einer festen Anzahl von Zeilen bilden einen Vektorraum.
  • Reihenvektor, eine Matrix mit nur einer Reihe. Die Zeilenvektoren mit einer festen Anzahl von Spalten bilden einen Vektorraum.
  • Koordinatenvektor, das n-tupel des Koordinaten eines Vektors auf a Basis von n Elemente. Für einen Vektorraum über a aufstellen F, diese n-Tupel bilden den Vektorraum (Wenn der Betrieb punktuell Addition und skalare Multiplikation ist).
  • Verschiebungsvektor, ein Vektor, der die Position der Position eines Punktes relativ zu einer vorherigen Position angibt. Verschiebungsvektoren gehören zum Vektorraum von Übersetzungen.
  • Positionsvektor von einem Punkt der Verschiebungsvektor von einem Referenzpunkt (genannt der genannt Ursprung) auf den Punkt. Ein Positionsvektor repräsentiert die Position eines Punktes in a Euklidischer Raum oder an Offine Space.
  • Geschwindigkeitsvektor, der Derivat in Bezug auf die Zeit des Positionsvektors. Es hängt nicht von der Wahl des Ursprungs ab und gehört somit zum Vektorraum der Übersetzungen.
  • Pseudovektor, auch genannt Axialvektor
  • Kovektorein Element der Dual eines Vektorraums. In einem (n innerer ProduktraumDas innere Produkt definiert einen Isomorphismus zwischen dem Raum und seinem Dual, der es schwierig macht, einen Kovektor von einem Vektor zu unterscheiden. Die Unterscheidung wird deutlich, wenn man die Koordinaten (nicht orthogonal) ändert.
  • Tangentenvektorein Element der Tangentenraum von a Kurve, a auftauchen Oder allgemeiner a Differentialverteiler An einem bestimmten Punkt (diese Tangentenräume sind natürlich mit einer Struktur des Vektorraums ausgestattet)
  • Normaler Vektor oder einfach normal, im euklidischen Raum oder allgemeiner in einem inneren Produktraum, einem Vektor, der an einem Punkt senkrecht zu einem Tangentenraum ist.
  • Gradient, der Koordinatenvektor der Teilableitungen von a Funktion mehrerer realer Variablen. In einem euklidischen Raum gibt der Gradient die Größe und Richtung maximaler Anstieg von a Skalarfeld. Der Gradient ist ein Kovektor, der für a normal ist Levelkurve.
  • Viervektor, in dem Relativitätstheorie, ein Vektor in einem vierdimensionalen realen Vektorraum genannt Minkowski -Raum

Siehe auch

Anmerkungen

  1. ^ Es ist auch üblich, insbesondere in der Physik, Vektoren mit einem Pfeil oben zu bezeichnen: Insbesondere bei höherer Mathematik ist es auch üblich, keine typografische Methode zur Unterscheidung von Vektoren von anderen mathematischen Objekten zu verwenden.
  2. ^ Skalare Multiplikation darf nicht mit dem verwechselt werden Skalarprodukt, was ein zusätzlicher Betrieb auf bestimmten Vektorräumen ist, genannt innere Produkträume. Skalare Multiplikation ist eine Multiplikation eines Vektors durch Ein Skalar, der einen Vektor produziert, während das Skalarprodukt eine Multiplikation von zwei Vektoren ist, die einen Skalar produzieren.
  3. ^ Dieses Axiom ist kein assoziatives EigentumDa es sich auf zwei verschiedene Operationen bezieht, skalare Multiplikation und Feldmultiplikation. Es ist also unabhängig von der Assoziativität der Feldmultiplikation, die von Feld -Axiomen angenommen wird.
  4. ^ Die Nomenklatur stammt aus Deutsch "Eigen", was eigen oder angemessen bedeutet.
  5. ^ Siehe auch Jordan -Chevalley -Zersetzung.
  6. ^ Dies ist normalerweise der Fall, wenn ein Vektorraum auch als als als angesehen wird Offine Space. In diesem Fall enthält ein linearer Unterraum die Null -Vektor, während ein affine Unterraum ihn nicht unbedingt enthält.
  7. ^ Einige Autoren (wie Roman2005) Entscheiden Sie sich dafür, damit zu beginnen Äquivalenzbeziehung und leiten die Betonform von ab V/W davon.
  8. ^ Diese Anforderung impliziert, dass die Topologie zu a führt einheitliche Struktur, Bourbaki1989, CH. II
  9. ^ Das Dreiecksungleichung zum wird von der bereitgestellt Minkowski -Ungleichheit. Aus technischen Gründen muss man im Kontext von Funktionen Funktionen identifizieren, die zustimmen fast überall um eine Norm zu bekommen und nicht nur a Seminorm.
  10. ^ "Viele Funktionen in von LeBesgue -Maß, das unbegrenzt ist, kann nicht in das klassische Riemann -Integral integriert werden. So wären integrierbare Räume von Riemann nicht vollständig in der Norm und die orthogonale Zersetzung würden für sie nicht gelten. Dies zeigt einen der Vorteile der Lebesgue -Integration. ", Dudley1989, §5.3, p. 125
  11. ^ Zum p ≠ 2, Lp(Ω) ist kein Hilbert -Raum.
  12. ^ Eine Grundlage eines Hilbert -Raums ist nicht dasselbe wie eine Grundlage im Sinne linearer Algebra Oben.[Klarstellung erforderlich] Für die Unterscheidung wird letzteres dann genannt Hamelbasis.
  13. ^ Das heißt, es gibt eine Homomorphismus von π–1(U) zu V × U Dies beschränkt sich auf lineare Isomorphismen zwischen Fasern.
  14. ^ Ein Linienbündel wie das Tangentenbündel von S1 ist trivial, wenn und nur wenn es ein gibt Sektion Das verschwindet nirgends, siehe Husemoller1994, Korollar 8.3. Die Abschnitte des Tangentenbündels sind gerecht Vektorfelder.

Zitate

  1. ^ römisch2005, CH. 1, p. 27
  2. ^ Bourbaki1969, CH. "Algèbre Linéaire et algèbre multilinéaire", S. 78–91.
  3. ^ Bolzano1804.
  4. ^ Dorier (1995)
  5. ^ Hamilton1853.
  6. ^ Grassmann2000.
  7. ^ Peano1888, CH. Ix.
  8. ^ Banach1922.
  9. ^ Dorier1995, Moore1995.
  10. ^ Lang1987, CH. I.1
  11. ^ Lang2002, CH. V.1
  12. ^ Lang1993, CH. Xii.3., P. 335
  13. ^ Lang1987, CH. Vi.3.
  14. ^ römisch2005, CH. 2, p. 45
  15. ^ Lang1987, CH. IV.4, Folgendes, p. 106
  16. ^ Lang1987Beispiel IV.2.6
  17. ^ Lang1987, CH. Vi.6
  18. ^ Halmos1974, p. 28, Ex. 9
  19. ^ Lang1987, Satz IV.2.1, p. 95
  20. ^ römisch2005, Th. 2.5 und 2.6, p. 49
  21. ^ Lang1987, CH. V.1
  22. ^ Lang1987, CH. V.3., Folgerung, p. 106
  23. ^ Lang1987, Satz VII.9.8, p. 198
  24. ^ römisch2005, CH. 8, p. 135–156
  25. ^ Lang1987, CH. Ix.4
  26. ^ römisch2005, CH. 8, p. 140.
  27. ^ römisch2005, CH. 1, p. 29
  28. ^ römisch2005, CH. 1, p. 35
  29. ^ römisch2005, CH. 3, p. 64
  30. ^ Lang1987, CH. IV.3.
  31. ^ römisch2005, CH. 2, p. 48
  32. ^ Mac Lane1998
  33. ^ römisch2005, CH. 1, S. 31–32
  34. ^ Lang2002, CH. Xvi.1
  35. ^ römisch2005, Th. 14.3. Siehe auch Yoneda Lemma.
  36. ^ Schaefer & Wolff1999, S. 204–205
  37. ^ Bourbaki2004, CH. 2, p. 48
  38. ^ römisch2005, CH. 9
  39. ^ Naber2003, CH. 1.2
  40. ^ Treves1967
  41. ^ Bourbaki1987
  42. ^ Kreyszig 1989, §4.11-5
  43. ^ Kreyszig 1989, §1.5-5
  44. ^ Choquet1966, Satz III.7.2
  45. ^ Treves1967, p. 34–36
  46. ^ Lang1983, Cor. 4.1.2, p. 69
  47. ^ Treves1967, CH. 11
  48. ^ Treves1967, Satz 11.2, p. 102
  49. ^ Evans1998, CH. 5
  50. ^ Treves1967, CH. 12
  51. ^ Dennery & Krzywicki1996, S.190
  52. ^ Lang1993, Th. Xiii.6, p. 349
  53. ^ Lang1993, Th. III.1.1
  54. ^ Choquet1966, Lemma III.16.11
  55. ^ Kreyszig1999, Kapitel 11
  56. ^ Griffiths1995, Kapitel 1
  57. ^ Lang1993, CH. Xvii.3
  58. ^ Lang2002, CH. Iii.1, p. 121
  59. ^ Eisenbud1995, CH. 1.6
  60. ^ Varadarajan1974
  61. ^ Lang2002, CH. Xvi.7
  62. ^ Lang2002, CH. Xvi.8
  63. ^ Spivak1999, CH. 3
  64. ^ Kreyszig1991, §34, p. 108
  65. ^ Eisenberg & Guy1979
  66. ^ Atiyah1989
  67. ^ Artin1991, CH. 12
  68. ^ Grillet, Pierre Antoine. Zusammenfassung Algebra. Vol. 242. Springer Science & Business Media, 2007.
  69. ^ Meyer2000Beispiel 5.13.5, p. 436
  70. ^ Meyer2000, Übung 5.13.15–17, p. 442
  71. ^ Koxeter1987
  72. ^ a b Weisstein, Eric W. "Vektor". mathworld.wolfram.com. Abgerufen 2020-08-19.

Verweise

Algebra

Analyse

  • Bourbaki, Nicolas (1987), Topologische Vektorräume, Elemente der Mathematik, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13627-9
  • Bourbaki, Nicolas (2004), Integration i, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-41129-1
  • Braun, Martin (1993), Differentialgleichungen und ihre Anwendungen: Eine Einführung in die angewandte Mathematik, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97894-9
  • BSE-3 (2001) [1994], "Tangentialebene", Enzyklopädie der Mathematik, EMS Press
  • Choquet, Gustave (1966), Topologie, Boston, MA: Akademische Presse
  • Dennery, Philippe; Krzywicki, Andre (1996), Mathematik für Physiker, Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-69193-0
  • Dudley, Richard M. (1989), Reale Analyse und Wahrscheinlichkeit, The Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series, Pacific Grove, CA: Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, ISBN 978-0-534-10050-6
  • Dunham, William (2005), Die Kalkülgalerie, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-09565-3
  • Evans, Lawrence C. (1998), Partielle Differentialgleichungen, Providence, R.I .: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0772-9
  • Folland, Gerald B. (1992), Fourier -Analyse und ihre Anwendungen, Brooks-Cole, ISBN 978-0-534-17094-3
  • Gasquet, Claude; Witomski, Patrick (1999), Fourier -Analyse und Anwendungen: Filterung, numerische Berechnung, Wavelets, Texte in Applied Mathematics, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98485-8
  • Ifeachor, Emmanuel C.; Jervis, Barrie W. (2001), Digitale Signalverarbeitung: Ein praktischer Ansatz (2. Aufl.), Harlow, Essex, England: Prentice-Hall (veröffentlicht 2002), ISBN 978-0-201-59619-9
  • Krantz, Steven G. (1999), Ein Panorama der harmonischen Analyse, Carus Mathematical Monographs, Washington, DC: Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-031-2
  • Kreyszig, Erwin (1988),, Advanced Engineering Mathematics (6. Aufl.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-85824-9
  • Kreyszig, Erwin (1989), Einführungsfunktionale Analyse mit Anwendungen, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50459-7, HERR 0992618
  • Lang, Serge (1983), Echte Analyse, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-14179-5
  • Lang, Serge (1993), Reale und funktionale Analyse, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94001-4
  • Loomis, Lynn H. (1953), Eine Einführung in die abstrakte harmonische Analyse, Die Universitätsserie in höherer Mathematik, Toronto-New York-London: D. Van Nostrand Company, Inc., S. x+190, HDL:2027/uc1.b4250788
  • Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologische Vektorräume. Reine und angewandte Mathematik (zweite Ausgabe). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
  • Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topologische Vektorräume. Gtm. Vol. 8 (zweite Ausgabe). New York, NY: Springer New York Impressger Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
  • Treves, François (1967), Topologische Vektorräume, Verteilungen und Kerne, Boston, MA: Akademische Presse

Historische Referenzen

Weitere Referenzen

Externe Links