Variable (Mathematik)

Im Mathematik, a Variable (aus Latein Variabilis, "veränderbar") ist a Symbol und Platzhalter für (historisch) a Anzahl Das kann sich ändern oder (heutzutage) alle mathematisches Objekt. Insbesondere kann eine Variable a darstellen Nummer, a Vektor, a Matrix, a Funktion, das Argument einer Funktion, a einstellen, oder an Element eines Satzes.^[1]

Algebraische Berechnungen Bei Variablen, als ob sie explizite Zahlen wären, lösen eine Reihe von Problemen in einer einzelnen Berechnung. Zum Beispiel die quadratische Formel Löst jeden quadratische Gleichung durch Ersetzen der numerischen Werte der Koeffizienten des gegebenen Gleichung für die Variablen, die sie darstellen. Im Mathematische Logik, a Variable ist entweder ein Symbol, das ein nicht spezifiziert darstellt Begriff der Theorie (a meta-variable) oder ein grundlegendes Objekt der Theorie, das manipuliert wird, ohne sich auf ihre mögliche intuitive Interpretation zu beziehen.

Notation

Variablen werden im Allgemeinen durch einen einzelnen Buchstaben bezeichnet, am häufigsten aus dem Lateinisches Alphabet und seltener von der griechisch, die Kleinbuchstaben oder Kapital sein können. Auf dem Brief kann ein Index: eine Nummer (wie in $x 2$ ), eine andere Variable ( $x i$ ) ein Wort oder eine Abkürzung eines Wortes ( $x gesamt$ ) oder ein mathematischer Ausdruck ( $x 2 i + 1$ ). Unter dem Einfluss von InformatikEinige variable Namen in reiner Mathematik bestehen aus mehreren Buchstaben und Ziffern. Folgen René Descartes (1596–1650), Buchstaben zu Beginn des Alphabets wie (z.a, b, c) werden üblicherweise für bekannte Werte und Parameter und Buchstaben am Ende des Alphabets verwendet, z.x, y, z) werden üblicherweise für Unbekannte und Funktionsvariablen verwendet.^[2] In gedruckter Mathematik besteht die Norm darin, Variablen und Konstanten in einer kursiven Schrift festzulegen.^[3]

Zum Beispiel ein General quadratische Funktion ist konventionell geschrieben als ${\ displayStyle ax^{2}+bx+c \,}$ , wo a, b und c sind Parameter (auch genannt Konstanten, weil sie sind ständige Funktionen), während x ist die Variable der Funktion. Eine explizitere Möglichkeit, diese Funktion zu bezeichnen, ist ${\ displaystyle x \ mapstox^{2}+bx+c \,},}$ , was den Funktionsargument-Status von verdeutlicht x und der konstante Status von a, b und c. Seit c tritt in einem Begriff auf, der eine konstante Funktion von ist x, es heißt das ständiger Begriff.^[4]

Spezifische Zweige und Anwendungen der Mathematik haben spezifische Regeln der Namensgebung Für Variablen. Variablen mit ähnlichen Rollen oder Bedeutungen werden häufig aufeinanderfolgende Buchstaben oder denselben Buchstaben mit unterschiedlichen Einweisen zugewiesen. Zum Beispiel die drei Achsen in 3D Raum koordinieren werden herkömmlich genannt x, y, und z. In der Physik werden die Namen von Variablen weitgehend durch die bestimmt physikalische Größe Sie beschreiben, aber es gibt verschiedene Namenskonventionen. Eine Konvention folgte oft ein Wahrscheinlichkeit und Statistiken ist zu verwenden X, Y, Z für die Namen von zufällige Variablen, halten x, y, z für Variablen, die entsprechende besser definierte Werte darstellen.

Spezifische Arten von Variablen

Es ist üblich, dass Variablen unterschiedliche Rollen in derselben mathematischen Formel spielen, und Namen oder Qualifikation wurden eingeführt, um sie zu unterscheiden. Zum Beispiel der General Kubikgleichung

{\ displayStyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d = 0,}

wird als fünf Variablen interpretiert: vier, $a, b, c, d$ , die als Zahlen und die fünfte Variable angesehen werden, $x,$ wird als ein verstanden Unbekannt Nummer. Um sie zu unterscheiden, die Variable $x$ wird genannt ein Unbekannterund die anderen Variablen werden genannt Parameter oder Koeffizienten, oder manchmal Konstanten, obwohl diese letzte Terminologie für eine Gleichung falsch ist und für die reserviert werden sollte Funktion definiert durch die linke Seite dieser Gleichung.

Im Kontext von Funktionen der Begriff Variable bezieht sich häufig auf die Argumente der Funktionen. Dies ist normalerweise in Sätzen wie "der Fall"Funktion einer realen Variablen"," $x$ ist die Variable der Funktion $f : x \mapsto f (x)$ "," $f$ ist eine Funktion der Variablen $x$ "(bedeutet, dass das Argument der Funktion durch die Variable bezeichnet wird $x$ ).

Im gleichen Zusammenhang Variablen, die unabhängig von $x$ definieren ständige Funktionen und werden daher genannt Konstante. Zum Beispiel a Integrationskonstante ist eine willkürliche konstante Funktion, die zu einem bestimmten hinzugefügt wird antiderivativ um die anderen Antiderivate zu erhalten. Weil die starke Beziehung zwischen Polynome und Polynomfunktion, Der Begriff "Konstante" wird häufig verwendet, um die Koeffizienten eines Polynoms zu bezeichnen, bei denen es sich um konstante Funktionen der Unbestimmungen handelt.

Diese Verwendung von "Konstante" als Abkürzung der "konstanten Funktion" muss von der normalen Bedeutung des Wortes in der Mathematik unterschieden werden. EIN Konstante, oder Mathematische Konstante ist eine gut und eindeutig definierte Zahl oder ein anderes mathematisches Objekt wie beispielsweise die Zahlen 0, 1, $π$ und die Identitätselement von a Gruppe. Da eine Variable ein mathematisches Objekt darstellt, wird ein Buchstaben, der eine Konstante darstellt, häufig als Variable bezeichnet. Dies ist insbesondere der Fall von $e$ und $π$ , auch wenn sie repräsentieren Eulers Nummer und $3.14159 ...$

Andere spezifische Namen für Variablen sind:

Ein Unbekannt ist eine Variable in einem Gleichung für das muss gelöst werden.
Ein unbestimmt ist ein Symbol, das allgemein als Variable bezeichnet wird und in a erscheint Polynom oder ein Formale Machtserie. Formell gesehen ist ein Unbestimmtes keine Variable, sondern a Konstante in dem Polynomring oder der Ring von Formale Machtserie. Aufgrund der starken Beziehung zwischen Polynomen oder Machtreihen und der Funktionen Da sie definieren, betrachten viele Autoren Unbestimmungen als eine besondere Art von Variablen.
A Parameter ist eine Menge (normalerweise eine Zahl), die Teil der Eingabe eines Problems ist und während der gesamten Lösung dieses Problems konstant bleibt. Zum Beispiel in Mechanik Die Masse und die Größe eines festen Körpers sind Parameter für das Studium seiner Bewegung. Im Informatik, Parameter Hat eine andere Bedeutung und bezeichnet ein Argument einer Funktion.
Freie Variablen und gebundene Variablen
A zufällige Variable ist eine Art von Variable, die in verwendet wird Wahrscheinlichkeitstheorie und seine Anwendungen.

Alle diese Konfessionen von Variablen sind von semantisch Natur und die Art des Berechnens mit ihnen (Syntax) ist für alle gleich.

Abhängige und unabhängige Variablen

Im Infinitesimalrechnung und seine Anwendung auf Physik und andere Wissenschaften ist es eher üblich, eine Variable zu betrachten, sagen wir $y$ , deren mögliche Werte vom Wert einer anderen Variablen abhängen, beispielsweise vom Wert $x$ . In mathematischer Hinsicht die abhängig Variable $y$ repräsentiert den Wert von a Funktion von $x$ . Um Formeln zu vereinfachen, ist es häufig nützlich, dasselbe Symbol für die abhängige Variable zu verwenden $y$ und die Funktionszuordnung $x$ auf zu $y$ . Zum Beispiel hängt der Zustand eines physikalischen Systems von messbaren Größen wie dem ab Druck, das Temperatur, Die räumliche Position, ... und all diese Mengen variieren, wenn sich das System entwickelt, dh sie sind Funktion der Zeit. In den Formeln, die das System beschreiben, werden diese Größen durch Variablen dargestellt, die von der Zeit abhängig sind und daher implizit als Funktionen der Zeit angesehen werden.

Daher in einer Formel a abhängige Variable ist eine Variable, die implizit eine Funktion einer anderen (oder mehreren anderen) Variablen ist. Ein unabhängige Variable ist eine Variable, die nicht abhängig ist.^[5]

Die Eigenschaft einer Variablen, die abhängig oder unabhängig ist, hängt häufig von der Sichtweise ab und ist nicht intrinsisch. Zum Beispiel in der Notation $f (x, y, z)$ Die drei Variablen können alle unabhängig sein und die Notation stellt eine Funktion von drei Variablen dar. Andererseits, wenn $y$ und $z$ darauf ankommen $x$ (sind abhängigen Variablen) dann repräsentiert die Notation eine Funktion der Single unabhängige Variable $x$ .^[6]

Beispiele

Wenn man eine Funktion definiert f von dem reale Nummern zu den realen Zahlen von

{\ displayStyle f (x) = x^{2}+\ sin (x+4)}

dann x ist eine variable Stellung für die Streit der definierten Funktion, die jede reelle Zahl sein kann.

In der Identität

{\ displayStyle \ sum _ {i = 1}^{n} i = {\ frac {n^{2}+n} {2}}}

Die Variable i ist eine Summierungsvariable, die wiederum jeden der Ganzzahlen 1, 2, ..., n (Es heißt auch Index weil seine Variation über einen diskreten Satz von Werten liegt) während n ist ein Parameter (es variiert nicht innerhalb der Formel).

In der Theorie von Polynome, ein Polynom von Grad 2 wird allgemein als bezeichnet als als Axt² + BX + c, wo a, b und c werden genannt Koeffizienten (Es wird angenommen, dass sie festgelegt sind, d. H. Parameter des betrachteten Problems) x wird als Variable bezeichnet. Beim Studium dieses Polynoms für seine Polynomfunktion Dies x steht für das Funktionsargument. Beim Studium des Polynoms als Objekt an sich, x wird als unbestimmt angesehen und würde stattdessen häufig mit einem Großbuchstaben geschrieben, um diesen Status anzuzeigen.

Die häufigsten Variablen

a, b, c, d (manchmal ausgedehnt auf e, f) für Parameter oder Koeffizienten
a₀, a₁, a₂, ... für Situationen, in denen unterschiedliche Buchstaben unpraktisch sind
a_i oder u_i für die i-Th Term von a Reihenfolge oder der i-Die Koeffizient von a Serie
e zum Eulers Nummer
f, g, h zum Funktionen (wie in ${\ displayStyle f (x)}$ )
i für die imaginäre Einheit
i, j, k (manchmal l oder h) für variieren Ganzzahlen oder Indizes in einem Indizierte Familie, oder Einheitsvektoren
l und w für die Länge und Breite einer Figur
l Auch für eine Zeile oder in der Zahltheorie für eine Primzahl nicht gleich gleich p
n (mit m als zweite Wahl) für eine feste Ganzzahl, wie z. B. eine Anzahl von Objekten oder die Grad von einem Gleichung
p Für ein Primzahl oder ein Wahrscheinlichkeit
q Für ein Primärleistung oder ein Quotient
r Für ein Radius, a Rest oder ein Korrelationskoeffizient
t zum Zeit
x, y, z für die drei Kartesischen Koordinaten von einem Punkt in Euklidische Geometrie oder die entsprechende Äxte
z Für ein komplexe Zahl, oder in Statistik a Normale zufällige Variable
α, β, γ, θ, φ zum Winkelmaßnahmen
ε (mit δ als zweite Wahl) für eine willkürlich kleine positive Zahl
λ für ein Eigenwert
Σ (Kapital -Sigma) für eine Summe oder σ (Kleinbuchstaben Sigma) in Statistiken für die Standardabweichung^[7]
μ Für ein bedeuten

Geschichte

In alten Werken wie z. Euklid's Elemente, einzelne Buchstaben beziehen sich auf geometrische Punkte und Formen. Im 7. Jahrhundert, Brahmagupta verwendete verschiedene Farben, um die Unbekannten in algebraischen Gleichungen in der darzustellen Brāhmasphuṭasiddhānta. Ein Abschnitt dieses Buches heißt "Gleichungen mehrerer Farben".^[8]

Ende des 16. Jahrhunderts, François Viète stellte die Idee vor, bekannte und unbekannte Zahlen durch Buchstaben darzustellen, heutzutage Variablen, und die Idee, mit ihnen zu berechnen, als wären sie Zahlen - und um das Ergebnis durch einen einfachen Ersatz zu erzielen. Viètes Übereinkommen bestand darin, Konsonanten für bekannte Werte und Vokale für Unbekannte zu verwenden.^[9]

1637, René Descartes "Erfunden Sie die Übereinkommen, Unbekannte in Gleichungen zu vertreten durch x, y, und zund bekannt von a, b, und c".^[10] Im Gegensatz zu Viètes Kongress wird Descartes 'immer noch häufig verwendet. Die Geschichte des Briefes X in Mathematik wurde in einem 1887 diskutiert Wissenschaftlicher Amerikaner Artikel.^[11]

Ab den 1660er Jahren, Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz unabhängig entwickelte Infinitesimale Kalkül, was im Wesentlichen darin besteht, zu untersuchen, wie eine infinitesimal Variation von a variable Menge induziert eine entsprechende Variation einer anderen Menge, die a ist Funktion der ersten Variablen. Fast ein Jahrhundert später, Leonhard Euler fixierte die Terminologie des infinitesimalen Kalküls und führte die Notation ein $y = f (x)$ für eine Funktion $f$ , es ist Variable $x$ und sein Wert $y$ . Bis zum Ende des 19. Jahrhunderts das Wort Variable fast ausschließlich auf die bezeichnet Argumente und die Werte von Funktionen.

In der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts schien es, dass das Fundament des Infinitesimalen -Kalküls nicht formalisiert war, um sich mit offensichtlichen Paradoxien wie einem nirgends befassen zu können differenzierbar kontinuierliche Funktion. Um dieses Problem zu lösen, Karl Weierstrass führte einen neuen Formalismus ein, der aus dem Ersatz des intuitiven Begriffs von ersetzt wurde Grenze durch eine formale Definition. Der ältere Begriff der Grenze war "wann der Variable $x$ variiert und neigt dazu $a$ , dann $f (x)$ tendiert zu $L$ ", ohne eine genaue Definition von" Tends ". Weierstrass ersetzte diesen Satz durch die Formel

{\ displayStyle (\ forall \ epsilon> 0) (\ existiert \ eta> 0) (\ forall x) \; | x-a | <\ eta \ rightarrow | l-f (x) | <\ epsilon,}

in dem keines der fünf Variablen als variierend angesehen wird.

Diese statische Formulierung führte zum modernen Begriff der Variablen, die einfach ein Symbol ist, das a darstellt mathematisches Objekt Das ist entweder unbekannt oder kann durch ein Element eines gegebenen Ersatzs ersetzt werden einstellen (z. B. der Satz von reale Nummern).

Siehe auch

Verweise

^ Stover & Weisstein.
^ Edwards Art. 4
^ Hosch 2010, p.71.
^ Foerster 2006, p.18.
^ Edwards Art. 5
^ Edwards Art. 6
^ Weisstein, Eric W. "Summe". mathworld.wolfram.com. Abgerufen 14. Februar, 2022.
^ Tabak 2014, p.40.
^ Fraleigh 1989, p.276.
^ Sorell 2000, p. 19.
^ Wissenschaftlicher Amerikaner. Munn & Company. 3. September 1887. p. 148.

Literaturverzeichnis

Edwards, Joseph (1892). Eine elementare Abhandlung über den Differentialkalkül (2. Aufl.). London: Macmillan und Co.
Foerster, Paul A. (2006). Algebra und Trigonometrie: Funktionen und Anwendungen (Classics ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-165711-3.
Fraleigh, John B. (1989). Ein erster Kurs in abstrakter Algebra (4. Aufl.). USA: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-52821-3.
Hosch, William L., ed. (2010). Der Britannica -Leitfaden für Algebra und Trigonometrie. Britannica Educational Publishing. ISBN 978-1-61530-219-2.
Menger, Karl (1954). "Über Variablen in Mathematik und Naturwissenschaften". Das britische Journal für die Philosophie der Wissenschaft. Universität von Chicago Press. 5 (18): 134–142. doi:10.1093/bjps/v.18.134. JStor 685170.
Peregrin, Jaroslav (2000). "Variablen in der natürlichen Sprache: Woher kommen sie?" (PDF). In Böttner, Michael; Thaumel, Wolf (Hrsg.). Variablenfreie Semantik. Osnabrück Secolo. S. 46–65. ISBN 978-3-929979-53-4.
Quine, Willard V. (1960). "Variablen weg erklären" (PDF). Verfahren der American Philosophical Society. Amerikanische philosophische Gesellschaft. 104 (3): 343–347. JStor 985250.
Sorell, Tom (2000). Descartes: Eine sehr kurze Einführung. New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-285409-4.
Stover, Christopher; Weisstein, Eric W. "Variable".In Weisstein, Eric W. (Hrsg.). Wolfram Mathworld. Wolfram -Forschung. Abgerufen November 22, 2021.
Tabak, John (2014). Algebra: Sets, Symbole und die Sprache des Denkens. Infobase Publishing. ISBN 978-0-8160-6875-3.

[1] Stover & Weisstein.

[E004-2] Edwards Art. 4

[3] Hosch 2010, p.71.

[4] Foerster 2006, p.18.

[5] Edwards Art. 5

[6] Edwards Art. 6

[7] Weisstein, Eric W. "Summe". mathworld.wolfram.com. Abgerufen 14. Februar, 2022.

[8] Tabak 2014, p.40.

[9] Fraleigh 1989, p.276.

[10] Sorell 2000, p. 19.

[11] Wissenschaftlicher Amerikaner. Munn & Company. 3. September 1887. p. 148.

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