Ober- und Untergrenze

In diesem Artikel geht es um genaue Grenzen. Für asymptotische Grenzen siehe Big O Notation.
Ein Satz mit Obergrenzen und seiner am wenigsten Obergrenze

In Mathematik, besonders in Ordnungstheorie, ein obere Grenze oder Majorant[1] von a Teilmenge S von einigen vorbestellter Satz (K, ≤) ist ein Element von K das ist größer als oder gleich wie Jedes Element von S.[2][3] Doppelt, a Untergrenze oder Minderjähriger von S ist definiert als ein Element von K das ist weniger oder gleich jedem Element von S. Ein Satz mit einer oberen (unteren) gebundenen soll sein von oben begrenzt oder Majorized[1] (beziehungsweise von unten begrenzt oder geringfügig) durch diese gebundene. Die Begriffe Oben beschränkt (unten begrenzt) werden auch in der mathematischen Literatur für Sets mit oberen (jeweils unteren) Grenzen verwendet.[4]

Beispiele

Zum Beispiel, 5 ist eine untere Grenze für den Satz S = {5, 8, 42, 34, 13934} (als Untergruppe der Ganzzahlen oder von der reale Nummernusw.) und so ist auch 4. Auf der anderen Seite, 6 ist keine Untergrenze für S Da ist es nicht kleiner als jedes Element in S.

Der Satz S = {42} hat 42 sowohl eine Obergrenze als auch eine untere Grenze; Alle anderen Zahlen sind entweder eine Obergrenze oder eine untere Grenze dafür S.

Jede Untergruppe der natürliche Zahlen hat eine untere Grenze, da die natürlichen Zahlen je nach Konvention ein kleines Element haben (0 oder 1). Eine unendliche Untergruppe der natürlichen Zahlen kann nicht von oben begrenzt werden. Eine unendliche Untergruppe der Ganzzahlen kann von unten begrenzt oder von oben begrenzt werden, aber nicht beides. Eine unendliche Untergruppe der Rationale Zahlen kann von unten begrenzt werden oder nicht und kann von oben begrenzt werden oder nicht.

Jede endliche Untergruppe eines nicht leeren Total bestelltes Set hat sowohl obere als auch untere Grenzen.

Funktionen

Die Definitionen können auf verallgemeinert werden Funktionen und sogar zu Funktionen.

Eine Funktion beigefügt f mit Domain D und ein vorbestellter Satz (K, ≤) wie Codomäne, ein Element y von K ist eine Obergrenze von f wenn y ≥ f(x) für jeden x in D. Die Obergrenze heißt Scharf Wenn die Gleichheit für mindestens einen Wert von gilt x. Es zeigt an, dass die Einschränkung optimal ist und daher nicht weiter reduziert werden kann, ohne die Ungleichheit zu ungültig zu machen.

Ebenso eine Funktion g auf Domain definiert D und das gleiche Codomäne haben (K, ≤) ist eine Obergrenze von f, wenn g(x) ≥ f(x) für jeden x in D. Die Funktion g wird weiterhin eine Obergrenze einer Reihe von Funktionen, wenn es sich um eine Obergrenze von handelt jeder Funktion in diesem Satz.

Der Begriff der Untergrenze für (Sätze von) Funktionen wird analog definiert, indem ≥ durch ≤ ersetzt wird.

Enge Grenzen

Eine Obergrenze soll a sein enge Obergrenze, a am wenigsten Obergrenze, oder ein Supremum, wenn kein kleinerer Wert eine Obergrenze ist. In ähnlicher Weise soll eine untere Grenze a sein enge Untergrenze, a greatest lower bound, oder an Infimum, wenn kein größerer Wert eine untere Grenze ist.

Exakte Obergrenzen

Eine Obergrenze u einer Untergruppe S eines vorbestellten Satzes (K, ≤) soll ein genaue Obergrenze zum S Wenn jedes Element von K das ist streng gesteuert von u wird auch durch ein Element von gesteuert S. Exakte Obergrenzen von Reduzierte Produkte von lineare Bestellungen spielen eine wichtige Rolle in PCF -Theorie.[5]

Siehe auch

Verweise

  1. ^ a b Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topologische Vektorräume. Gtm. Vol. 8. New York, NY: Springer New York Impressner Springer. p. 3. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
  2. ^ Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1991). Algebra. Vorsehung, RI: American Mathematical Society. p.145. ISBN 0-8218-1646-2.
  3. ^ "Obergrenze Definition (illustriertes Mathematikwörterbuch)". www.mathsifun.com. Abgerufen 2019-12-03.
  4. ^ Weisstein, Eric W. "Obere Grenze". mathworld.wolfram.com. Abgerufen 2019-12-03.
  5. ^ Kojman, Menachem. "Genaue Obergrenzen und ihre Verwendung in der festgelegten Theorie".