Unzähliger Set

Im Mathematik, ein unzähliger Set (oder Unbegründbar unendlich set)^[1] ist ein Infinite Set das enthält zu viele Elemente sein zählbar. Die Unaufmerksamkeit eines Satzes hängt eng mit seinem zusammen Kardinalzahl: Ein Satz ist unzähliger, wenn seine Kardinalzahl größer ist als die des Satzes aller natürliche Zahlen.

Charakterisierungen

Es gibt viele äquivalente Charakterisierungen der Unzählbarkeit. Ein Satz X ist unzähliger, wenn und nur wenn eine der folgenden Bedingungen gilt:

• Es gibt kein Injektivfunktion (Daher Nr Bijection) aus X auf die natürliche Zahlen.
• X ist nicht leer und für jedes ω-Reihenfolge von Elementen von XEs gibt mindestens ein Element von X, das nicht enthalten ist. Das ist, X ist nicht leer und es gibt keine surjektive Funktion von den natürlichen Zahlen bis X.
• Das Kardinalität von X ist weder endlich noch gleich zu ${\ displayStyle \ Aleph _ {0}}$ (Aleph-Nulldie Kardinalität der natürliche Zahlen).
• Der Satz X hat Kardinalität streng größer als ${\ displayStyle \ Aleph _ {0}}$.

Die ersten drei dieser Charakterisierungen können in gleichwertiger Ausstattung nachgewiesen werden Zermelo -Fraenkel -Set -Theorie ohne das Axiom der WahlAber die Äquivalenz des dritten und vierten kann nicht ohne zusätzliche Auswahlprinzipien nachgewiesen werden.

Eigenschaften

• Wenn ein unzähliges Set X ist eine Untergruppe von Set Y, dann Y ist unzähliger.

Beispiele

Das bekannteste Beispiel eines unzähligen Satzes ist der Satz R von allen reale Nummern; Cantors diagonales Argument zeigt, dass dieses Set unzählige ist. Die Diagonalisierungs -Proof -Technik kann auch verwendet werden, um zu zeigen Sequenzen von natürliche Zahlen und das Set von allen Untergruppen der natürlichen Zahlen. Die Kardinalität von R wird oft das genannt Kardinalität des Kontinuumsund bezeichnet von ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$, oder ${\ displayStyle 2^{\ Aleph _ {0}}}$, oder ${\ displayStyle \ Beth _ {1}}$ (Beth-One).

Das Cantor -Set ist eine unzählige Teilmenge von R. Das Cantor -Set ist a fraktal und hat Hausdorff -Dimension größer als Null, aber weniger als eins (R hat Dimension eins). Dies ist ein Beispiel für die folgende Tatsache: jede Teilmenge von R der Hausdorff -Dimension streng größer als Null muss unzählige sein.

Ein weiteres Beispiel für einen unzähligen Satz ist der Satz von allen Funktionen aus R zu R. Dieser Satz ist sogar "unzähliger" als " R in dem Sinne, dass die Kardinalität dieses Sets ist ${\ displayStyle \ Beth _ {2}}$ (Beth-zwei), was größer ist als ${\ displayStyle \ Beth _ {1}}$.

Ein abstrakteres Beispiel für einen unzähligen Satz ist der Satz aller zählbaren Ordnungszahlen, gekennzeichnet durch ω oder ω₁.^[1] Die Kardinalität von ω wird bezeichnet ${\ displayStyle \ Aleph _ {1}}$ (Aleph-eins). Es kann angezeigt werden, indem Sie die verwenden Axiom der Wahl, das ${\ displayStyle \ Aleph _ {1}}$ ist der kleinste unzählige Kardinalnummer. So entweder ${\ displayStyle \ Beth _ {1}}$Die Kardinalität der Realität ist gleich ${\ displayStyle \ Aleph _ {1}}$ oder es ist streng größer. Georg Cantor war der erste, der die Frage vorschlug, ob ${\ displayStyle \ Beth _ {1}}$ ist gleich ${\ displayStyle \ Aleph _ {1}}$. In 1900, David Hilbert stellte diese Frage als erste seiner 23 Probleme. Die Aussage das ${\ displayStyle \ Aleph _ {1} = \ Beth _ {1}}$ wird jetzt das genannt Kontinuumshypotheseund ist bekannt als unabhängig von der Zermelo -Fraenkel -Axiome zum Mengenlehre (einschließlich der Axiom der Wahl).

Ohne das Axiom der Wahl

Ohne das Axiom der WahlEs könnte Kardinalitäten existieren unvergleichlich zu ${\ displayStyle \ Aleph _ {0}}$ (nämlich die Kardinalitäten von Dedekind-Finite unendliche Sätze). Die Sätze dieser Kardinalitäten erfüllen die ersten drei charakterisierenden charakterisierten, nicht jedoch die vierte Charakterisierung. Da diese Sets im Sinne von Kardinalität nicht größer sind als die natürlichen Zahlen, möchten einige sie möglicherweise nicht unzähliger bezeichnen.

Wenn das Axiom der Wahl gilt, sind die folgenden Bedingungen auf einem Kardinal ${\ displayStyle \ kappa}$ sind äquivalent:

• ${\ displayStyle \ kappa \ nleq \ Aleph _ {0};}$
• ${\ displayStyle \ kappa> \ areph _ {0};}$ und
• ${\ displayStyle \ kappa \ Geq \ Aleph _ {1}}$, wo ${\ displayStyle \ Aleph _ {1} = | \ Omega _ {1} |}$ und ${\ displayStyle \ Omega _ {1}}$ ist das Mindeste anfängliche Ordinal größer als ${\ displayStyle \ Omega.}$

Diese können jedoch alle unterschiedlich sein, wenn das Axiom der Wahl fehlschlägt. Es ist also nicht offensichtlich, welches die angemessene Verallgemeinerung der "Unzureichbarkeit" ist, wenn das Axiom fehlschlägt. Es kann am besten sein, das Wort in diesem Fall zu vermeiden und anzugeben, welche dieser einen Mittelwerte.

Siehe auch

• Aleph -Nummer
• Beth -Nummer
• Erster unzähliger Ordinal
• Injektivfunktion

Verweise

Literaturverzeichnis

• Halmos, Paul, Naive Set -Theorie. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Nachgedruckt von Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN0-387-90092-6 (Springer-Verlag-Edition). Nachdruck von Martino Fine Books, 2011. ISBN978-1-61427-131-4 (Taschenbuchausgabe).
• Jech, Thomas (2002), Mengenlehre, Springer -Monographien in Mathematik (3. Jahrtausend.), Springer, ISBN 3-540-44085-2

Externe Links

• Beweise es R ist unzähliger