Tupel

Im Mathematik, a Tupel ist eine endliche geordnete Liste (Sequenz) von Elemente. Ein n-tupel ist ein Reihenfolge (oder bestellte Liste) von n Elemente, wo n ist ein nicht negatives ganze Zahl. Es gibt nur einen 0-Tupel, der als als bezeichnet wird das leere Tupel. Ein n-tuple ist induktiv definiert Nutzung der Konstruktion eines geordnetes Paar.

Mathematiker schreiben normalerweise Tupel, indem sie die Elemente in Klammern auflisten. "()"und durch Kommas getrennt; zum Beispiel, (2, 7, 4, 1, 7) bezeichnet ein 5-Tupel. Manchmal werden andere Symbole verwendet, um die Elemente zu umgeben, wie z. B. quadratische Klammern "[]" oder Winkelklammern "⟨⟩". Zahnspangen "{}" werden verwendet, um anzugeben Arrays In einigen Programmiersprachen, aber nicht in mathematischen Ausdrücken, da sie die Standardnotation für sind Sets. Der Begriff Tupel kann oft auftreten, wenn Sie andere mathematische Objekte diskutieren, wie z. Vektoren.

Im Informatik, Tupel gibt es in vielen Formen. Am meisten tippt Funktionelle Programmierung Sprachen implementieren Tupel direkt als product types,^[1] eng assoziiert mit Algebraische Datentypen, Musteranpassung, und Zerstörungsaufgabe.^[2] Viele Programmiersprachen bieten eine Alternative zu Tupel, bekannt als Datensatztypen, mit ungeordneten Elementen, die vom Label aufgerufen werden.^[3] Einige Programmiersprachen kombinieren geordnete Tupelprodukttypen und ungeordnete Datensatztypen in ein einzelnes Konstrukt, wie in C Strukturen und Haskell Records. Relationale Datenbanken kann ihre formell identifizieren Reihen (Aufzeichnungen) als Tupel.

Tupel treten auch in auf Relationale Algebra; beim Programmieren der Semantisches Web mit dem Ressourcenbeschreibung Framework (RDF); in Linguistik;^[4] und in Philosophie.^[5]

Etymologie

Der Begriff entstand als Abstraktion der Sequenz: Single, Paar/Double, Triple, Vierfach, Quintuple, Sextuple, Septuple, Octuple, ..., nTupel, ... wo die Präfixe aus dem entnommen werden Latein Namen der Ziffern. Das einzigartige 0-Tupel wird als Null-Tupel oder leeres Tupel bezeichnet. Ein 1 -Tupel wird als Single (oder Singleton) bezeichnet, ein 2 -Tupel wird als geordnetes Paar oder Paar bezeichnet, und ein 3 -Tupel wird als Dreifach (oder Triplett) bezeichnet. Die Nummer n Kann nicht negativ sein ganze Zahl. Zum Beispiel a komplexe Zahl kann als 2 -tupel von Real dargestellt werden, a Quaternion kann als 4 -tupel dargestellt werden, an Oktonion kann als 8 -tupel dargestellt werden und a Sedden kann als 16 -tupel dargestellt werden.

Obwohl diese Verwenden behandeln Us -uple Als Suffix war das ursprüngliche Suffix - PLE wie in "Triple" (dreifach) oder "Decuple" (zehnfache). Dies stammt aus Mittelalterliches Latein Plus (bedeutet "mehr") im Zusammenhang mit griechisch ‑Πλοῦς, das die klassische und späte Antiquitäten ersetzte - PLEX (bedeutet "gefaltet"), wie in "Duplex".^[6][a]

Namen für Tupel mit spezifischen Längen

Tupellänge, ${\ displayStyle n}$	Name	Alternative Namen
0	leeres Tupel	Null -Tupel / leere Sequenz / Einheit / keine übrig
1	Monupel	Single / Singleton / monad
2	Paar	doppeltes / geordnetes Paar / Zwei-PLE / TWIN / Dual / Duad / Dyad / Dowosome
3	verdreifachen	Dreifach- / Dreier / Dreier / Triplet / Triade / Bestellung
4	vervierfachen	Quad / Tetrad / Quartett / Vierfach
5	verfünffachen	Pentuple / Quint / Pentad
6	Sextuple	Hextuple / Hexad
7	Septupel	Heptuple / Heptad
8	Oktuple	Okta / Oktett / Oktad / Oktuplet
9	Nicht -uple	Nonad / Ennead
10	Dekupel	Dekad / Jahrzehnt (antiquiert)
11	Unaufmerksam	Hendecuple / Hendecad
12	Zwölffingerdarm	Dutzend / Duodecad
13	Tredecupel	Baker's Dutzend
14	Quattuordecuple	Doppelte Septupel
15	Quindecupel	Dreifachquintupel
16	SexDecupel	Vierfach Vierfach
17	Septendecuple
18	Oktodecupel
19	Novemdecuple
20	Vigintuple
21	Unvigintuple
22	Duovigintuple
23	Trevigintuple
24	Quattuorvigintuple
25	Quinvigintuple
26	sexvigintuple
27	Septenvigintuple
28	octovigintuple
29	novemvigintuple
30	Trigintuple
31	Unrigintuple
32	Duotrigintuple
33	Tritrigintuple
40	Quadragintuple
41	Unquadragintuple
50	Quinquagintuple
60	sexagintuple
70	Septuagintuple
80	Octogintuple
90	Nichts
100	Centuple
1.000	Millupel	Chiliade

Beachten Sie das für ${\ displayStyle N \ Geq 3}$Der Tupelname in der obigen Tabelle kann auch als Verb funktionieren, das "zum Multiplizieren [das direkte Objekt] mit dem Multiplizieren ist ${\ displayStyle n}$"; zum Beispiel" zu quintuple "bedeutet" mit 5 "zu multiplizieren. Wenn ${\ displayStyle n = 2}$dann ist das zugehörige Verb "verdoppeln". Es gibt auch ein Verb "Sesquiple", was "sich mit 3/2" multiplizieren. Theoretisch könnte "Monupel" auch in dieser Weise verwendet werden.

Eigenschaften

Die allgemeine Regel für die Identität von zwei n-Tupel ist

${\ displayStyle (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}) = (b_ {1}, b_ {2}, \ ldots, b_ {n})}$ dann und nur dann, wenn ${\ displayStyle a_ {1} = b_ {1}, {\ text {}} a_ {2} = b_ {2}, {\ text {}} \ ldots, {\ text {}} a_ {n} = b_ b_ {n}}$.

Somit hat ein Tupel Eigenschaften, die es von a unterscheiden einstellen:

1. Ein Tupel kann also mehrere Instanzen desselben Elements enthalten, also
   Tupel ${\ displayStyle (1,2,2,3) \ neq (1,2,3)}$; aber set ${\ displaystyle \ {1,2,2,3 \} = \ {1,2,3 \}}$.
2. Tupelelemente werden bestellt: Tupel ${\ displayStyle (1,2,3) \ neq (3,2,1)}$, aber festgelegt ${\ displaystyle \ {1,2,3 \} = \ {3,2,1 \}}$.
3. Ein Tupel hat eine begrenzte Anzahl von Elementen, während ein Satz oder a Multiset kann eine unendliche Anzahl von Elementen haben.

Definitionen

Es gibt mehrere Definitionen von Tupeln, die ihnen die im vorherigen Abschnitt beschriebenen Eigenschaften geben.

Tupel als Funktionen

Das ${\ displayStyle 0}$-tupel kann als die identifiziert werden leere Funktion. Zum ${\ displayStyle N \ Geq 1,}$ das ${\ displayStyle n}$-tupel ${\ displayStyle \ links (a_ {1}, \ ldots, a_ {n} \ rechts)}$ kann mit dem identifiziert werdensurjektiv) Funktion

$oder$

mit Domain

${\ displayStyle \ operatorname {domain} f = \ links \ {1, \ ldots, n \ rechts \} = \ links \ {i \ in \ mathbb {n}: 1 \ leq i \ leq n \ rechts \}}}$

und mit Codomäne

$oder$

das ist definiert bei $oder$ durch

${\ displayStyle f (i): = a_ {i}.}$

Das ist, ${\ displayStyle f}$ ist die Funktion definiert von

${\ displayStyle {\ begin {alignedat} {3} 1 \; & \ mapsto && \; a_ {1} \\\; & \; \; \ vdots && \; \\ n \; & \ Mapsto && \; a_ {n} \\\ end {alignedat}}}$

In diesem Fall die Gleichheit

$oder }$

notwendigerweise hält.

Tupel als Sätze von geordneten Paaren

Funktionen werden üblicherweise mit ihrem identifiziert Grafiken, was eine bestimmte Reihe von geordneten Paaren ist. In der Tat verwenden viele Autoren Diagramme als Definition einer Funktion. Mit dieser Definition von "Funktion" die obige Funktion ${\ displayStyle f}$ kann definiert werden als:

${\ displayStyle f ~: = ~ \ links \ {\ links (1, a_ {1} \ rechts), \ ldots, \ links (n, a_ {n} \ rechts) \ rechts \}.}$

Tupel als verschachtelte geordnete Paare

Eine andere Methode zur Modellierung von Tupeln in der festgelegten Theorie ist so verschachtelt bestellte Paare. Dieser Ansatz geht davon aus, dass der Begriff des geordneten Paares bereits definiert wurde.

1. Das 0-Tupel (d. H. Das leere Tupel) wird durch den leeren Satz dargestellt ${\ displayStyle \ leereSet}$.
2. Ein n-tuple, mit n > 0, kann definiert als ein geordnetes Paar seines ersten Eintrags und als als ein (n - 1)-tupel (die die verbleibenden Einträge enthält, wenn n > 1):

   ${\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ ldots, a_ {n}) = (a_ {1}, (a_ {2}, a_ {3}, \ ldots, a_ { n}))}$

Diese Definition kann rekursiv auf die angewendet werden (n - 1)-tuple:

${\ displayStyle (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ ldots, a_ {n}) = (a_ {1}, (a_ {2}, (a_ {3} (a_ {n}, \ leereSet) \ ldots))))}$

So zum Beispiel:

$oder (3, (4, \ leer))) \\\ end {ausgerichtet}}}$

Eine Variante dieser Definition beginnt, Elemente aus dem anderen Ende abzuwehren:

1. Das 0-Tupel ist das leere Set ${\ displayStyle \ leereSet}$.
2. Zum n > 0:

   $oder n-1}), a_ {n})}$

Diese Definition kann rekursiv angewendet werden:

$oder a_ {3}), \ ldots), a_ {n})}$

So zum Beispiel:

${\ displayStyle {\ begin {ausgerichtet} (1,2,3) & = (((\ leereSet, 1), 2), 3) \\ (1,2,3,4) & = ((((\) leereset, 1), 2), 3), 4) \\\ end {ausgerichtet}}}$

Tupel als verschachtelte Sets

Verwendung Kuratowskis Darstellung für ein bestelltes PaarDie zweite Definition oben kann in Bezug auf rein neu formuliert werden Mengenlehre:

1. Das 0-Tupel (d. H. Das leere Tupel) wird durch den leeren Satz dargestellt ${\ displayStyle \ leereSet}$;
2. Lassen ${\ displayStyle x}$ Bohne n-tupel ${\ displayStyle (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n})}$, und lass ${\ displaystyle x \ rightarrow b \ äquiv (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}, b)}$. Dann, ${\ displaystyle x \ rightarrow b \ äquiv \ {\ {x \}, \ {x, b \} \}}$. (Der richtige Pfeil, ${\ displayStyle \ rightarrow}$, könnte als "benachbart mit" gelesen werden.)

In dieser Formulierung:

$oder , 1 \} \} \\ &&& = & \ {\ {\ leerSet \}, \ {\ leerSet, 1 \} \} \\ &&& \\ (1,2) & = & (1) \ rightarrow 2 & = & \ {\ {(1) \}, \ {(1), 2 \} \} \\ &&& = & \ {\ {\ {\ {\ leeret \}, \ {\ leereset, 1 \} \}} \}, \\ &&&& \ {\ {\ {\ leerSet \}, \ {\ leeret, 1 \} \}, 2 \} \} \\ &&&& \\ (1,2,3) & = & (1) , 2) \ rightarrow 3 & = & \ {\ {(1,2) \}, \ {(1,2), 3 \} \} \\ & \ \ {\ {\ {\ {\ {\ {{{{{{{{{{{{{\ { \ leereSet \}, \ {\ leerSet, 1 \} \} \}, \\ &&&& \ {\ {\ {\ leeret \}, \ {\ leerSet, 1 \} \}, 2 \} \} \ \} , \\ &&&& \ {\ {\ {\ {\ {\ leeret \}, \ {\ leeret, 1 \} \} \}, \\ &&& \ {\ {\ {\ leeret \}, \ {\ leer , 1 \} \}, 2 \} \}, 3 \} \} \\\ End {Array}}}$

n-Tupel von m-Sets

Im Diskrete Mathematik, besonders Kombinatorik und endlich Wahrscheinlichkeitstheorie, n-Tupel entstehen im Kontext verschiedener Zählprobleme und werden informeller als geordnete Längelisten behandelt n.^[7] n-Tupel, deren Einträge von einem Satz von stammen m Elemente werden auch genannt Arrangements mit Wiederholung, Permutationen eines Multisetes und in einer nicht englischen Literatur, Variationen mit der Wiederholung. Die Anzahl der n-Tupel von an m-Set ist mⁿ. Dies folgt aus dem kombinatorischen Produktregel.^[8] Wenn S ist ein endlicher Satz von Kardinalität mDiese Zahl ist die Kardinalität der n-falten Kartesische Kraft S × S × ⋯ × S. Tupel sind Elemente dieses Produktsatzes.

Typentheorie

Im Typentheorie, häufig verwendet in Programmiersprachen, ein Tupel hat eine Produktart; Dies behebt nicht nur die Länge, sondern auch die zugrunde liegenden Arten jeder Komponente. Formal:

${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}):{\mathsf {T}}_{1}\times {\mathsf {T}}_{2}\times \ ldots \ times {\ mathsf {t}} _ {n}}$

und die Projektionen sind Term Constructors:

$oder ldots, ~ \ pi _ {n} (x): {\ mathsf {t}} _ {n}}$

Das Tupel mit markierten Elementen, die in der verwendet werden Relationales Modell hat ein Aufnahmetyp. Beide Typen können als einfache Erweiterungen der definiert werden Einfach tippte Lambda -Kalkül.^[9]

Der Begriff eines Tupels in der Typtheorie und die in der festgelegten Theorie hängen folgendermaßen zusammen: Wenn wir das natürliche betrachten Modell einer Typtheorie und verwenden Sie die Scott -Klammern, um die semantische Interpretation anzuzeigen, dann besteht das Modell aus einigen Sätzen ${\ displayStyle s_ {1}, s_ {2}, \ ldots, s_ {n}}$ (Hinweis: Die Verwendung von Kursivschrift hier, die Sätze von Typen unterscheidet) so, dass:

$oder {2}, ~ \ ldots, ~ [\! [{\ Mathsf {t}} _ {n}] \!] = S_ {n}}$

und die Interpretation der grundlegenden Begriffe ist:

$oder \ in [\! [{\ mathsf {t}} _ {2}] \!], ~ \ ldots, ~ [\! [x_ {n}] \!] \ in [\! [{\ mathsf {t }}_{n}]\!]}$.

Das n-tuple der Typtheorie hat die natürliche Interpretation als n-tuple der festgelegten Theorie:^[10]

${\ displayStyle [\! [(x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n})] \!] = (\, [\! [x_ {1}] \!], [\! [x_ {2}] \!], \ ldots, [\! [x_ {n}] \!] \,)}$

Das Gerätetyp hat als semantische Interpretation das 0-Tupel.

Siehe auch

• Arity
• Koordinatenvektor
• Exponentielles Objekt
• Formelle Sprache
• OLAP: Mehrdimensionale Ausdrücke
• Prime k-tupel
• Relation (mathematics)
• Reihenfolge
• Tufespace

Anmerkungen

Verweise

Quellen

• D'Angelo, John P.;West, Douglas B. (2000), Mathematisches Denken/Problemlösung und Beweise (2. Aufl.), Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-014412-6
• Keith Devlin, Die Freude an Sätzen.Springer Verlag, 2. Aufl., 1993, ISBN0-387-94094-4, S. 7–8
• Abraham Adolf Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel, Azriel Lévy, Grundlagen der schulischen Set -Theorie, Elsevier -Studien in Logic Vol.67, 2. Auflage, überarbeitet, 1973,, ISBN0-7204-2270-1, p.33
• Gaisi TakutiW. M. Zaring, Einführung in die axiomatische Set -Theorie, Springer Gtm 1, 1971, ISBN978-0-387-90024-7, p.14
• George J. Tourlakis, Vorlesungsnotizen in Logik und festgelegter Theorie.Band 2: Theorie festlegen, Cambridge University Press, 2003, ISBN978-0-521-75374-6, S. 182–193

Externe Links

• Die Wörterbuchdefinition von Tupel bei wiktionary