Dreieckswelle

Dreieckswelle
A bandlimited triangle wave pictured in the time domain and frequency domain.
A Bandlimited Dreieckswelle[1] abgebildet in der Zeitdomäne (oben) und der Frequenzdomäne (unten). Die Grundlage liegt bei 220 Hz (a3).
Allgemeine Information
Allgemeine Definition
Anwendungsgebiete Elektronik, Synthesizer
Domäne, Codomäne und Bild
Domain
Codomäne
Grundfunktionen
Parität Seltsam
Zeitraum 1
Spezielle Eigenschaften
Wurzel
Derivat Rechteckschwingung
die Fourierreihe

A dreieckige Welle oder Dreieckswelle ist ein Nicht-sinusoide Wellenform benannt nach seinem dreieckig Form. Es ist ein periodisch, stückweise linear, kontinuierlich echte Funktion.

Wie ein RechteckschwingungDie Dreieckswelle enthält nur ungerade Harmonische. Die höheren Harmonischen Abrollen viel schneller als in einer quadratischen Welle (proportional zum inversen Quadrat der harmonischen Zahl im Gegensatz zu nur dem Inversen).

Definitionen

Sinus, Quadrat, Dreieck und Sägezahn Wellenformen

Definition

Eine Dreieckswelle der Periode p Das umfasst den Bereich [0,1] ist definiert als:

wo ist der Bodenfunktion. Dies kann als der absolute Wert eines verschobenen Verschiebungen angesehen werden Sägezahnwelle.

Für eine Dreieckswelle, die sich über den Bereich erstreckt [–1,1] Der Ausdruck wird:

Eine allgemeinere Gleichung für eine Dreieckswelle mit Amplitude und Periode Verwendung der Modulo -Betrieb und absoluter Wert ist:

Dreieckswelle mit Amplitude = 5, Periode = 4

Zum Beispiel für eine Dreieckswelle mit Amplitude 5 und Periode 4:

Eine Phasenverschiebung kann erhalten werden, indem der Wert der geändert wird Begriff, und der vertikale Offset kann durch Veränderung des Wertes der angepasst werden Begriff.

Da dies nur den Modulo -Betrieb und den absoluten Wert verwendet, kann es verwendet werden, um einfach eine Dreieckswelle auf Hardware -Elektronik zu implementieren.

Beachten Sie, dass in vielen Programmiersprachen die % Der Betreiber ist ein Restbetreiber (mit Ergebnis des gleichen Zeichens wie die Dividende), nicht a Modulo -Operator; Der Modulo -Betrieb kann durch Verwendung erhalten werden ((x% p) + p)% p anstelle von x% p. In z.B. JavaScript führt dies zu einer Gleichung der Form 4 * a/p * math.abs (((x -p/4)%p)+p)%p - p/2) - a.

Beziehung zur Quadratwelle

Die Dreieckswelle kann auch als die ausgedrückt werden Integral- des Rechteckschwingung:

Ausdruck in trigonometrischen Funktionen

Eine Dreieckswelle mit Periode p und Amplitude a kann in Bezug auf ausgedrückt werden Sinus und Bogensieg (deren Wert reicht von -π/2 bis π/2):

Die Identität Kann verwendet werden, um von einer Dreiecks -Sinuswelle in eine dreieckige "Cosinus" -Welle zu konvertieren. Diese phasenverschobene Dreieckswelle kann auch mit ausgedrückt werden Kosinus und Arccosine:

Ausgedrückt als abwechselnde lineare Funktionen

Eine weitere Definition der Dreieckswelle mit Bereich von –1 bis 1 und Periode p, ist:

Harmonische

Animation der additiven Synthese einer Dreieckswelle mit zunehmender Anzahl von Harmonischen. Sehen Fourier -Analyse Für eine mathematische Beschreibung.

Es ist möglich, eine Dreieckswelle mit zu approximieren Additive Synthese durch Summieren von seltsamen Harmonischen der Grundlagen gleich π) und multiplizieren Sie die Amplitude der Harmonischen mit einem über das Quadrat ihrer Modusnummer. n (Dies entspricht einem über dem Quadrat ihrer relativen Frequenz zu dem grundlegend).

Das obige kann mathematisch wie folgt zusammengefasst werden:

wo N ist die Anzahl der Harmonischen, die in die Annäherung einbezogen werden sollen, t ist die unabhängige Variable (z. B. Zeit für Schallwellen), ist die grundlegende Häufigkeit und i ist das harmonische Etikett, das mit seiner Modusnummer bezogen wird .

Dieser unendliche die Fourierreihe Konvergiert schnell zur Dreieckswelle als N tendiert zur Unendlichkeit, wie in der Animation gezeigt.

Bogenlänge

Das Bogenlänge pro Periode für eine Dreieckswelle, gekennzeichnet durch s, wird in Bezug auf die Amplitude gegeben a und Periodenlänge p durch

Siehe auch

Verweise

  1. ^ Kraft, Sebastian; Zölzer, UDO (5. September 2017). "LP-Blit: Bandlimited Impuls Trainsynthese von Tiefpass-filterierten Wellenformen". Verfahren des 20. Internationale Konferenz über digitale Audioeffekte (DAFX-17). 20. Internationale Konferenz über digitale Audioeffekte (DAFX-17).Edinburgh.S. 255–259.