Transfinite Zahl

Im Mathematik, Transfinite Zahlen sind Zahlen, die "sind"unendlich"In dem Sinne, dass sie größer sind als alle endlich Zahlen, aber nicht unbedingt Absolut unendlich. Dazu gehören die Transfinite Cardinals, welche sind Kardinalzahlen Wird verwendet, um die Größe der unendlichen Sets und die zu quantifizieren Transfinite Ordinale, welche sind Ordnungszahlen Wird verwendet, um eine Bestellung von unendlichen Sätzen bereitzustellen.[1][2] Der Begriff transfinite wurde von geprägt von Georg Cantor im Jahr 1895,[3][4][5][6] wer wollte einige der Auswirkungen des Wortes vermeiden unendlich im Zusammenhang mit diesen Objekten, die dennoch nicht waren endlich. Nur wenige zeitgenössische Schriftsteller teilen diese Bedenken; Es wird nun akzeptiert, dass sie transfinite Cardinals und Ordinale als verweisen unendliche Zahlen. Trotzdem bleibt auch der Begriff "transfinite" verwendet.

Definition

Endlich natürliche Zahl kann auf mindestens zwei Arten verwendet werden: als Ordinal und als Kardinal. Kardinalnummern geben die Größe der Sätze an (z. B. eine Tasche mit fünf Murmeln), während ordinale Nummern die Reihenfolge eines Mitglieds innerhalb eines bestellten Satzes angeben[7] (z. B. "der dritte Mann von links" oder "der 27. Januarag"). Wenn diese beiden Konzepte auf transfinitische Zahlen ausgedehnt werden, werden sie unterschiedlich. Eine transfinite Kardinalzahl wird verwendet, um die Größe eines unendlich großen Satzes zu beschreiben,[2] Während eine transfinitische Ordinal verwendet wird, um den Ort innerhalb eines geordneten Sets zu beschreiben.[7][Fehlgeschlagene Überprüfung] Die bemerkenswertesten ordinalen und kardinalen Zahlen sind jeweils:

  • (Omega): Die niedrigste transfinitische Ordnungszahl. Es ist auch das Auftragsart des natürliche Zahlen unter ihrer üblichen linearen Bestellung.
  • (Aleph-Null): Die erste transfinite Kardinalzahl. Es ist auch das Kardinalität der natürlichen Zahlen. Wenn die Axiom der Wahl hält, die nächst höhere Kardinalzahl ist Aleph-eins, Wenn nicht, kann es andere Kardinäle geben, die mit Aleph-eins unvergleichlich und größer als Aleph-Null sind. In jedem Fall gibt es keine Kardinäle zwischen Aleph-Null und Aleph-One.

Das Kontinuumshypothese ist der Vorschlag, dass es keine mittleren Kardinalzahlen dazwischen gibt und die Kardinalität des Kontinuums (die Kardinalität des Satzes von reale Nummern):[2] oder gleich ist die Kardinalität der reellen Zahlen. Im Zermelo -Fraenkel -Set -TheorieWeder die Kontinuumshypothese noch ihre Negation können nachgewiesen werden.

Einige Autoren, einschließlich P. Suppes und J. Rubin, verwenden den Begriff transfinite kardinal sich auf die Kardinalität von a beziehen Dedekind-infinites Set in Kontexten, in denen dies möglicherweise nicht "unendlich kardinal" entspricht; das heißt in Kontexten, in denen die Axiom zählbarer Wahl wird nicht angenommen oder ist nicht bekannt. Angesichts dieser Definition sind Folgendes alle gleichwertig:

  • ist ein transfinite Kardinal. Das heißt, es gibt ein Dedekind Infinite Set so dass die Kardinalität von ist
  • Es gibt einen Kardinal so dass

Obwohl transfinitische Ordinale und Kardinäle beide nur die natürlichen Zahlen verallgemeinern, andere Zahlensysteme, einschließlich der Hyperreale Zahlen und surreale Zahlen, verallgemeinerungen der reale Nummern.[8]

Beispiele

In Cantors Theorie der Ordnungszahlen muss jede ganzzahlige Zahl einen Nachfolger haben.[9] Die nächste Ganzzahl nach all den regulären, das ist die erste unendliche Ganzzahl, wird benannt . In diesem Zusammenhang, ist größer als , und , und sind noch größer. Arithmetische Ausdrücke, die enthalten Geben Sie eine Ordnungsnummer an und kann als die Menge aller Ganzzahlen bis zu dieser Zahl betrachtet werden. Eine gegebene Zahl hat im Allgemeinen mehrere Ausdrücke, die sie darstellen. Es gibt jedoch eindeutig Cantor -Normalform das repräsentiert es,[9] im Wesentlichen eine endliche Abfolge von Ziffern, die Koeffizienten von absteigenden Kräften von verleihen .

Nicht alle unendlichen Ganzzahlen können jedoch durch eine Normalform in Cantor dargestellt werden, und die erste, die nicht kann, wird durch die Grenze angegeben und wird bezeichnet .[9] ist die kleinste Lösung für und die folgenden Lösungen Geben Sie noch größere Ordnungen und können befolgt werden, bis man die Grenze erreicht , was die erste Lösung für . Dies bedeutet, dass man eine unendliche Abfolge von Namen überlegen muss, um alle Transfinite -Ganzzahlen festzulegen: Wenn man eine einzelne größte Ganzzahl angeben würde, kann man immer seinen größeren Nachfolger erwähnen. Aber wie von Cantor festgestellt wird, ermöglicht dies auch nur, dass man die niedrigste Klasse von transfiniten Zahlen erreicht: Diejenigen, deren Setsgröße der Kardinalzahl entspricht .

Siehe auch

Verweise

  1. ^ "Definition der transfiniten Nummer | Dictionary.com". www.dictionary.com. Abgerufen 2019-12-04.
  2. ^ a b c "Transfinite Nummern und festgelegte Theorie". www.math.utah.edu. Abgerufen 2019-12-04.
  3. ^ "Georg Cantor | Biographie, Beiträge, Bücher und Fakten". Enzyklopädie Britannica. Abgerufen 2019-12-04.
  4. ^ Georg Cantor (November 1895). "Beiträge Zurgründe der Transfiniten Mengenlehre (1)". Mathematische Annalen. 46 (4): 481–512.
  5. ^ Georg Cantor (Juli 1897). "Beiträge Zurgründe der Transfiniten Mengenlehre (2)". Mathematische Annalen. 49 (2): 207–246.
  6. ^ Georg Cantor (1915). Philip E.B. Jourdain (Hrsg.). Beiträge zur Gründung der Theorie der transfiniten Zahlen (PDF). New York: Dover Publications, Inc. Englische Übersetzung von Cantor (1895, 1897).
  7. ^ a b Weisstein, Eric W. "Ordinalzahl". mathworld.wolfram.com. Abgerufen 2019-12-04.
  8. ^ Beyer, W. A.; Louck, J. D. (1997), "Transfinite Funktion Iteration und surreale Zahlen", Fortschritte in der angewandten Mathematik, 18 (3): 333–350, doi:10.1006/aama.1996.0513, HERR 1436485
  9. ^ a b c John Horton Conway, (1976) Auf Zahlen und Spielen. Academic Press, ISBN 0-12-186350-6. (Siehe Kapitel 3.)

Literaturverzeichnis