Trémaux Baum

Im Graphentheorie, a Trémaux Baum von einem ungerichtete Grafik ist eine Art von Art von Spannungsbaum, verallgemeinern Tiefe-First-Suche Bäume. Sie werden durch die Eigenschaft definiert, die jede Kante von verbindet ein Vorfahr -Dezendant -Paar im Baum. Trémamux-Bäume sind nach Charles Pierre Trémaux benannt, einem französischen Autor des 19. Jahrhunderts, der eine Form der Tiefe-First-Suche als Strategie für verwendet hat Labyrinthe Labyrinthe.[1][2] Sie wurden auch genannt Normale Spannbäumeinsbesondere im Kontext von unendlichen Graphen.[3][4]

Alle Tiefe-First-Suchbäume und alles Hamiltonsche Wege sind Trémamux -Bäume. In endlichen Graphen ist jeder Trémamux-Baum ein Tiefen-First-Suchbaum, aber obwohl die Tiefe-First-Suche selbst von Natur aus sequentiell ist, können Trémaux-Bäume durch einen randomisierten parallelen Algorithmus in der Komplexitätsklasse konstruiert werden RNC. Sie können verwendet werden, um die zu definieren Baumtiefe einer Grafik und als Teil der Links-Rechts-Planaritätstest Zum Testen, ob eine Grafik a ist Planare Graph. Eine Charakterisierung von Trémamux-Bäumen in der monadischen zweiten Ordnung Logik der Grafiken Ermöglicht die Einbeziehung von Diagrammeigenschaften Orientierungen effizient erkannt werden, um Grafiken von begrenzt zu machen Baumbreite Verwendung Courcelle's Theorem.

Nicht jedes unendlich verbundene Diagramm verfügt über einen Trémaux-Baum, und nicht jeder unendliche Trémaux-Baum ist ein Tiefen-First-Suchbaum. Die Diagramme mit Trémamux -Bäumen können durch charakterisiert werden Verbotene Minderjährige. Ein unendlicher Trémamux -Baum muss genau einen unendlichen Weg für jeden haben Ende des Diagramms und die Existenz eines Trémaux -Baum Metrikräume.

Definition und Beispiele

Ein Trémaux -Baum für eine Grafik , ist ein Spannungsbaum mit der Eigenschaft, die für jede Kante in , einer der beiden Endpunkte und ist ein Vorfahr des anderen. Um ein Spannbaum zu sein, darf er nur Kanten verwenden , und schließen Sie jeden Scheitelpunkt mit einem einzigartigen endlichen Weg zwischen jedem Eckpaar ein. Um die Beziehung zwischen Vorfahren und Abkommen in diesem Baum zu definieren, muss eine seiner Eckpunkte als Wurzel bezeichnet werden.

Wenn ein endliches Diagramm eine hat Hamiltonianischer WegDann erzeugt es einen Trémaux -Baum, diesen Weg an einem seiner beiden Endpunkte zu verwurzeln. Für einen solchen Weg ist jedes Eckpaar ein Vorfahr -Dezendant -Paar.

In der unten gezeigten Grafik ist der Baum mit den Kanten 1–3, 2–3 und 3–4 ein Trémamux -Baum, wenn er an Scheitelpunkt 1 oder Scheitelpunkt 2 verwurzelt ist 1–2, was (für diese Auswahl der Wurzel) ein Vorfahr-Descendant-Paar verbindet.

Undirected graph.svg

Das Wurzeln desselben Baumes am Scheitelpunkt 3 oder am Scheitelpunkt 4 erzeugt jedoch einen verwurzelten Baum, der kein Trémamux -Baum ist, da mit dieser Wurzel 1 und 2 kein Vorfahrer mehr sind und sich gegenseitig nachkommen.

In endlichen Graphen

Existenz

Jede endliche in Verbindung gebracht ungerichtete Grafik Hat mindestens einen Trémamux -Baum.[4] Man kann einen solchen Baum konstruieren, indem man a durchführt Tiefe-First-Suche und Verbinden Sie jeden Scheitelpunkt (außer dem Startscheitel der Suche) mit dem früheren Scheitelpunkt, aus dem er entdeckt wurde. Der auf diese Weise konstruierte Baum wird als Tiefen-First-Suchbaum bezeichnet. Wenn ist eine willkürliche Kante in der Grafik, und ist der frühere der beiden Scheitelpunkte, die von der Suche erreicht werden sollen, dann muss zum Subtree gehören, der von abfällt im Tiefen-ersten Suchbaum, da die Suche notwendigerweise entdeckt wird Während es diesen Unterbaum untersucht, entweder von einem der anderen Scheitelpunkte im Subtree oder, ohne dass dies, von, aus direkt. Jeder endliche Trémamux-Baum kann als Tiefe-First-Suchbaum erzeugt werden: wenn ist ein Trémamux-Baum mit einer endlichen Grafik, und eine Tiefe-First-Suche untersucht die Kinder in Von jedem Scheitelpunkt vor der Erforschung anderer Scheitelpunkte wird es notwendigerweise generiert als Tiefe-First-Suchbaum.

Parallelkonstruktion

Ungelöstes Problem in der Informatik:

Gibt es eine deterministische Parallele NC Algorithmus zum Bau von Trémaux -Bäumen?

(mehr ungelöste Probleme in der Informatik)

es ist P-Complete Um den Trémamux-Baum zu finden, der durch einen sequentialen Suchalgorithmus zu finden ist, in dem die Nachbarn jedes Scheitelpunkts in der Reihenfolge ihrer Identität durchsucht werden.[5] Trotzdem ist es möglich, einen anderen Trémamux -Baum von einem randomisierten zu finden Parallelalgorithmus, zeigt, dass der Bau von Trémamux -Bäumen zur Komplexitätsklasse gehört RNC. Der Algorithmus basiert auf einem anderen randomisierten parallelen Algorithmus, um zu finden Perfekte Matchings mit Minimumgewicht in 0-1-gewichteten Graphen.[6] Ab 1997 war es nicht bekannt NC.[7] Wenn Übereinstimmungen in NC gefunden werden können, können auch Trémamux -Bäume.[6]

Logischer Ausdruck

Es ist möglich, die Eigenschaft auszudrücken, die ein Satz von Kanten mit einer Auswahl des Wurzelscheitelpunkts bildet einen Trémamux-Baum in der monadischen zweiten Ordnung Logik der Grafikenund genauer gesagt in der Form dieser Logik, die MSO bezeichnet2, was die Quantifizierung über Scheitelpunkt- und Kantensätze ermöglicht. Diese Eigenschaft kann als Konjunktion der folgenden Eigenschaften ausgedrückt werden:

  • Die Grafik wird durch die Kanten in verbunden . Dies kann logisch als Anweisung ausgedrückt werden mit genau einem Endpunkt in der angegebenen Teilmenge.
  • ist acyclisch. Dies kann logisch als Anweisung ausgedrückt werden, dass es keine nicht leere Untergruppe gibt von für den jeder Scheitelpunkt entweder auf null oder zwei Kanten von vorgenommen wird .
  • Jede Kante nicht in verbindet ein Eckpunktpaar von Ahnen, in dem ein Vorfahren in der Deskendierung verbindet, in . Dies gilt, wenn beide Endpunkte von gehören zu einem Weg in . Es kann logisch als Anweisung ausgedrückt werden, dass für alle Kanten Es gibt eine Untergruppe von so dass genau zwei Eckpunkte, einer von ihnen , sind einer einzigen Kante von vorfall und so, dass beide Endpunkte von sind mindestens eine Kante von vorbehaltlich .

Sobald ein Trémaux -Baum auf diese Weise identifiziert wurde, kann man eine beschreiben Orientierung der angegebenen Grafik, auch in monadischer Logik zweiter Ordnung, durch Angabe des Satzes von Kanten, deren Ausrichtung vom Stammendpunkt bis zum Nachkommenendpunkt stammt. Die restlichen Kanten außerhalb dieses Satzes müssen in die andere Richtung ausgerichtet sein. Diese Technik ermöglicht es Diagrammeigenschaften, die Orientierungen in der monadischen Logik zweiter Ordnung festlegen, so Baumbreite Verwendung Courcelle's Theorem.[8]

Verwandte Eigenschaften

Wenn eine Grafik eine hat Hamiltonianischer WegDann ist dieser Weg (an einem seiner Endpunkte verwurzelt) auch ein Trémamux -Baum. Die ungerichteten Grafiken, für die jeder Trémaux -Baum diese Form hat Zyklusgraphen, Komplette Diagrammeund ausgeglichen Komplette zweigliedrige Grafiken.[9]

Trémamux -Bäume sind eng mit dem Konzept des Konzepts verwandt Baumtiefe. Die Baumtiefe einer Grafik kann als die kleinste Zahl definiert werden für das es eine Grafik gibt , mit einem Trémamux -Baum der Tiefe , so dass ist ein Untergraphen von . Die begrenzte Baumtiefe in einer Familie von Graphen entspricht der Existenz eines Pfades, der nicht als a auftreten kann Graph Minor der Grafiken in der Familie. Viele harte Rechenprobleme in Diagramme haben Algorithmen, die sind Fix-Parameter-Traktable bei parametrisierter Baumstiefe ihrer Eingänge.[10]

Trémaux -Bäume spielen auch eine Schlüsselrolle in der Fraysseix -Rosenstiehl -Planaritätskriterium Zum Testen, ob ein bestimmtes Diagramm ist Planar. Nach diesem Kriterium eine Grafik ist planar, wenn für einen bestimmten Trémamux -Baum von Die verbleibenden Kanten können konsistent nach links oder rechts vom Baum platziert werden, unterliegt Einschränkungen, die die gleichen Platzierung gegenseitig verhindern.[11]

In unendlichen Graphen

Existenz

Nicht jede unendliche Grafik hat einen normalen Spannungsbaum. Zum Beispiel a Komplette Graph auf an unzähliger Set von Scheitelpunkten hat keinen: Ein normaler Spannungsbaum in einem vollständigen Diagramm kann nur ein Pfad sein, aber ein Pfad hat nur eine zählbare Anzahl von Eckpunkten. Allerdings jede Grafik auf a Zählbar von Scheitelpunkten hat einen normalen Spannungsbaum.[3][4]

Selbst in zählbaren Diagrammen kann es nicht gelingen, die gesamte Grafik zu erforschen.[3] Und nicht jeder normale Spannungsbaum kann durch eine Tiefensuche erzeugt werden: Um ein Tiefen-First-Suchbaum zu sein, muss ein zählbarer normaler Spannungsbaum nur einen unendlichen Pfad oder einen Knoten mit unendlich vielen Kindern (und nicht beides) haben.

Minderjährige

Wenn ein unendliches Diagramm hat einen normalen Spannungsbaum, so wird jeder verbunden Graph Minor von . Daraus folgt, dass die Grafiken, die normale Spannbäume haben verboten Minderjährige. Eine der beiden Klassen verbotener Minderjähriger besteht aus Bipartitale Grafiken Auf welcher Seite der zweistärkbaren Seite ist die andere Seite unzählbar und jeder Scheitelpunkt hat unendlich einen Grad. Die andere Klasse von verbotenen Minderjährigen besteht aus bestimmten Grafiken, die abgeleitet sind Aronszajn Bäume.[12]

Die Details dieser Charakterisierung hängen von der Auswahl der set-theoretischen Axiomatisierung ab, die zur Formalisierung der Mathematik verwendet wird. Insbesondere in Modellen der festgelegten Theorie, für die Martins Axiom ist wahr und die Kontinuumshypothese ist falsch, die Klasse der zweigliedrigen Graphen in dieser Charakterisierung kann durch einen einzelnen verbotenen Moll ersetzt werden. Für Modelle, in denen die Kontinuumshypothese wahr ist, enthält diese Klasse Diagramme, die in der kleinen Reihenfolge miteinander unvergleichlich sind.[13]

Enden und Metrizierbarkeit

Normale Spannbäume sind auch eng mit dem verwandt endet von einem unendlichen Graphen, Äquivalenzklassen unendlicher Pfade, die intuitiv in die gleiche Richtung gehen. Wenn ein Diagramm einen normalen Spannungsbaum hat, muss dieser Baum genau einen unendlichen Pfad für jedes der Enden der Grafik haben.[14]

Ein unendliches Diagramm kann verwendet werden, um a zu bilden topologischer Raum durch Betrachten der Grafik selbst als Einfacher Komplex und Hinzufügen a auf unendlich zeigen Für jedes Ende der Grafik. Mit dieser Topologie hat ein Diagramm einen normalen Spannungsbaum, wenn sein Satz von Scheitelpunkten in eine zählbare Vereinigung von zerlegt werden kann geschlossene Sets. Darüber hinaus kann dieser topologische Raum durch a dargestellt werden metrischer Raum Wenn und nur wenn die Grafik einen normalen Spannungsbaum hat.[14]

Verweise

  1. ^ Sogar Shimon (2011), Graphalgorithmen (2. Aufl.), Cambridge University Press, S. 46–48, ISBN 978-0-521-73653-4.
  2. ^ Sedgewick, Robert (2002), Algorithmen in C ++: Graphalgorithmen (3. Aufl.), Pearson Education, S. 149–157, ISBN 978-0-201-36118-6.
  3. ^ a b c Soukup, Lajos (2008), "Infinite Combinatorics: von endlich bis unendlich", Horizont der Kombinatorik, Bolyai Soc. Mathematik. Stud., Vol. 17, Berlin: Springer, S. 189–213, doi:10.1007/978-3-540-77200-2_10, ISBN 978-3-540-77199-9, HERR 2432534. Siehe insbesondere Satz 3, p. 193.
  4. ^ a b c Diestel, Reinhard (2017), Graphentheorie, Graduiertentexte in Mathematics, Vol. 173 (5. Aufl.), Berlin: Springer, S. 34–36, 220–221, 247, 251–252, doi:10.1007/978-3-662-53622-3, ISBN 978-3-662-53621-6, HERR 3644391
  5. ^ Reif, John H. (1985), "Tiefe-First-Suche ist von Natur aus sequentiell", Informationsverarbeitungsbriefe, 20 (5): 229–234, doi:10.1016/0020-0190 (85) 90024-9, HERR 0801987.
  6. ^ a b Aggarwal, a.; Anderson, R. J. (1988), "A Random NC Algorithmus für die erste Suche der Tiefe ", Combinatorica, 8 (1): 1–12, doi:10.1007/bf02122548, HERR 0951989.
  7. ^ Karger, David R.; Motwani, Rajeev (1997), "und NC Algorithmus für minimale Schnitte ", Siam Journal über Computing, 26 (1): 255–272, doi:10.1137/s0097539794273083, HERR 1431256.
  8. ^ Courcelle, Bruno (1996), "Über die Expression von Grapheneigenschaften in einigen Fragmenten monadischer Logik zweiter Ordnung" (PDF), in Immerman, Neil; Kolaitis, Phokion G. (Hrsg.), Proc. DESCR. Komplex. Finite Modelle, Dimacs, Vol. 31, Amer. Mathematik. Soc., S. 33–62, HERR 1451381.
  9. ^ Chartrand, Gary; Kronk, Hudson V. (1968), "zufällig nachvollziehbare Grafiken", Siam Journal über angewandte Mathematik, 16 (4): 696–700, doi:10.1137/0116056, HERR 0234852.
  10. ^ Nešetřil, Jaroslav; Ossona de Mendez, Patrice (2012), "Kapitel 6. Bäume der begrenzten Höhen und Baumtiefe", Sparsity: Grafiken, Strukturen und Algorithmen, Algorithmen und Kombinatorik, Vol. 28, Heidelberg: Springer, S. 115–144, doi:10.1007/978-3-642-27875-4, ISBN 978-3-642-27874-7, HERR 2920058.
  11. ^ de Fraysseix, Hubert; Rosenstiehl, Pierre (1982), "Eine Tiefe-First-Suchcharakterisierung der Planarität", Graphentheorie (Cambridge, 1981), Ann. Diskrete Mathematik., Vol. 13, Amsterdam: North-Holland, S. 75–80, HERR 0671906; de Fraysseix, Hubert; Ossona de Mendez, Patrice; Rosenstiehl, Pierre (2006), "Trémamux Trees and Planarity", Internationales Journal of Foundations of Computer Science, 17 (5): 1017–1029, Arxiv:Math/0610935, doi:10.1142/s0129054106004248, HERR 2270949.
  12. ^ Diestel, Reinhard; Anführer, Imre (2001), "Normale Spannbäume, Aronszajn -Bäume und Minderjährige ausgeschlossen" (PDF), Zeitschrift der London Mathematical Society, Zweite Serie, Serie, 63 (1): 16–32, doi:10.1112/s0024610700001708, HERR 1801714.
  13. ^ Bowler Nathan; Geschke, Stefan; Pitz, Max (2016), Minimale Hindernisse für normale Spannbäume, Arxiv:1609.01042, Bibcode:2016ArXIV160901042B
  14. ^ a b Diestel, Reinhard (2006), "Endräume und Spannungsbäume", Journal of Combinatorial Theory, Serie B, 96 (6): 846–854, doi:10.1016/j.jctb.2006.02.010, HERR 2274079.