Topologie

Möbius Strips, die nur eine Oberfläche und eine Kante haben, sind eine Art Objekt, das in der Topologie untersucht wird.

Im Mathematik, Topologie (von dem griechisch Wörter τόπος, 'Ort, Ort' und λόγος, "Studie") befasst sich mit den Eigenschaften von a geometrisches Objekt das sind unter konserviert unter kontinuierlich Verformungen, wie zum Beispiel Dehnung, verdrehen, zerknittert und Biegung; Das heißt, ohne Löcher zu schließen, Löcher zu öffnen, zu reißen, zu kleben oder durch sich selbst zu gehen.

A topologischer Raum ist ein einstellen mit einer Struktur ausgestattet, a genannt Topologie, was es ermöglicht, eine kontinuierliche Verformung von Unterbereichen zu definieren und allgemeiner alle Arten von Kontinuität. Euklidische Räumeund allgemeiner, allgemeiner, Metrikräume sind Beispiele für einen topologischen Raum, da jede Entfernung oder Metrik eine Topologie definiert. Die in der Topologie betrachteten Deformationen sind Homomorphismen und Homotopien. Eine Eigenschaft, die unter solchen Verformungen invariant ist, ist a Topologisches Eigentum. Grundlegende Beispiele für topologische Eigenschaften sind: die Abmessungen, was es ermöglicht, zwischen a zu unterscheiden Linie und ein auftauchen; Kompaktheit, was es ermöglicht, zwischen einer Linie und einem Kreis zu unterscheiden; Verbundenheit, was es ermöglicht, einen Kreis von zwei nicht intersektierenden Kreisen zu unterscheiden.

Die Ideen, die Topologie zugrunde liegen Gottfried Leibniz, der im 17. Jahrhundert das vorstellte geometria situs und analysis situs. Leonhard Euler's Sieben Brücken von Königsberg Problem und Polyeder -Formel sind wohl die ersten Theoreme des Feldes. Der Begriff Topologie wurde vorgestellt von Johann Benedict Listing Im 19. Jahrhundert wurde die Idee eines topologischen Raums jedoch erst in den ersten Jahrzehnten des 20. Jahrhunderts entwickelt.

Eine dreidimensionale Darstellung eines verdickten Kräfelknoten, das einfachste Nichttrivialknoten

Motivation

Der motivierende Einblick hinter der Topologie ist, dass einige geometrische Probleme nicht von der genauen Form der beteiligten Objekte abhängen, sondern von der Art und Weise, wie sie zusammengestellt werden. Zum Beispiel haben das Quadrat und der Kreis viele Eigenschaften gemeinsam: Sie sind beide eine dimensionale Objekte (aus topologischer Sicht) und beide trennen die Ebene in zwei Teile, den Teil innen und den Teil außerhalb.

In einem der ersten Papiere in Topologie zeigte Leonhard Euler, dass es unmöglich war, eine Route durch die Stadt Königsberg (jetzt) ​​zu finden Kaliningrad) Das würde jede seiner sieben Brücken genau einmal überqueren. Dieses Ergebnis hing nicht von den Längen der Brücken oder von ihrer Entfernung voneinander ab, sondern nur von den Konnektivitätseigenschaften: welche Brücken verbinden, zu welchen Inseln oder Flussern. Dies Sieben Brücken von Königsberg Das Problem führte zum Zweig der Mathematik, bekannt als als Graphentheorie.

Eine kontinuierliche Verformung (eine Art Homomorphismus) eines Bechers in einen Donut (Torus) und einer (Hollosen) Kuh in eine Kugel

Ebenso das haariger Ball Theorem der algebraischen Topologie sagt, dass "man das Haar nicht flach auf einer haarigen Kugel kämmen kann, ohne eine zu erzeugen Wirbel. "Diese Tatsache überzeugt für die meisten Menschen sofort, obwohl sie möglicherweise nicht die formalere Aussage des Satzes erkennen, dass es kein nicht unaufhaltsames kontinuierliches gibt Tangentenvektorfeld auf der Sphäre. Wie mit dem Brücken von KönigsbergDas Ergebnis hängt nicht von der Form der Kugel ab; Es gilt für jede Art von glattem Blob, solange er keine Löcher hat.

Um mit diesen Problemen umzugehen, die nicht auf der genauen Form der Objekte beruhen, muss man klar sein, welche Eigenschaften diese Probleme haben tun sich verlassen auf. Aus diesem Bedarf entsteht der Begriff des Homomorphismus. Die Unmöglichkeit, jede Brücke zu überqueren, gilt nur einmal für eine Anordnung von Brücken homomorph für diejenigen in Königsberg, und der haarige Ball -Theorem gilt für jeden Raum zu homeomorph in einer Kugel.

Intuitiv sind zwei Plätze homeomorph, wenn einer ohne Schneiden oder Kleben in den anderen deformiert werden kann. Ein traditioneller Witz ist, dass ein Topologe eine Kaffeetasse nicht von einem Donut unterscheiden kann, da ein ausreichend geschmeidiger Donut durch Erzeugung eines Grübchens und das Vergrößerung des Lochs in einen Griff zu einer Kaffeetasse umgestaltet werden kann.^[1]

Homomorphismus kann als die grundlegendste angesehen werden Topologische Äquivalenz. Ein anderer ist Homotopie Äquivalenz. Dies ist schwieriger zu beschreiben, ohne technisch zu werden, aber die wesentliche Vorstellung ist, dass zwei Objekte homotopisch äquivalent sind, wenn beide aus einem größeren Objekt "Quetschen" entstehen.

Äquivalenzklassen des lateinischen Alphabets in der ohne Serif-Schriftart

Homomorphismus	Homotopie Äquivalenz

Ein Einführungsmittel Übung ist die Einstufung der Großbuchstaben der englisches Alphabet nach Homomorphismus und Homotopie -Äquivalenz. Das Ergebnis hängt von der verwendeten Schriftart und davon ab, ob die Striche, die die Buchstaben aussetzen, eine gewisse Dicke aufweisen oder ideale Kurven ohne Dicke sind. Die Figuren hier verwenden die serifenlos Unzählige Schriftart und wird angenommen, dass sie aus idealen Kurven ohne Dicke bestehen. Die Homotopie -Äquivalenz ist eine grobe Beziehung als Homomorphismus; Eine Homotopy -Äquivalenzklasse kann mehrere Homomorphism -Klassen enthalten. Der oben beschriebene einfache Fall der oben beschriebenen Homotopie -Äquivalenz kann hier verwendet werden, um zu zeigen, dass zwei Buchstaben homotopy äquivalent sind. Zum Beispiel kann O in P und im Schwanz des P zum "Loch" -Teil gequetscht werden.

Homeomorphism -Kurse sind:

• Keine Löcher, die mit C, G, I, J, L, M, N, S, U, V, W und Z entsprechen;
• Keine Löcher und drei Schwänze, die mit E, F, T und Y entsprechen;
• Keine Löcher und vier Schwänze, die mit x entsprechen;
• ein Loch und kein Schwanz, der mit D und O entspricht;
• ein Loch und ein Schwanz, der mit p und q entspricht;
• ein Loch und zwei Schwänze, die mit A und R entsprechen;
• zwei Löcher und kein Schwanz, der mit B entspricht; und
• eine Balken mit vier Schwänzen, die mit H und k entsprechend korrespondieren; die "Bar" auf der K ist fast zu kurz, um zu sehen.

Homotopieklassen sind größer, da die Schwänze bis zu einem Punkt nach unten gequetscht werden können. Sie sind:

• Ein Loch,
• zwei Löcher und
• keine Löcher.

Um die Buchstaben korrekt zu klassifizieren, müssen wir zeigen, dass zwei Buchstaben in derselben Klasse gleichwertig sind und zwei Buchstaben in verschiedenen Klassen nicht gleichwertig sind. Im Falle von Homeomorphismus kann dies durch Auswahl von Punkten erfolgen und ihre Entfernung trennen die Buchstaben unterschiedlich. Zum Beispiel sind x und y nicht homeomorph, da das Entfernen des Mittelpunkts der x vier Teile verlässt; Unabhängig davon, welcher Punkt in Y diesem Punkt entspricht, kann seine Entfernung höchstens drei Teile zurücklassen. Der Fall der Homotopie -Äquivalenz ist schwieriger und erfordert ein aufwändigeres Argument, das eine algebraische Invariante zeigt, wie die Grundgruppe, unterscheidet sich in den angeblich unterschiedlichen Klassen.

Brieftopologie hat praktische Relevanz in Schablone Typografie. Zum Beispiel, Braggadocio Schriftstellungsschablonen bestehen aus einem verbundenen Stück Material.

Geschichte

Das Sieben Brücken von Königsberg war ein von Euler gelöstes Problem.

Die Topologie als gut definierte mathematische Disziplin stammt aus dem frühen Teil des 20. Jahrhunderts, aber einige isolierte Ergebnisse können mehrere Jahrhunderte zurückverfolgt werden.^[2] Darunter sind bestimmte Fragen in der Geometrie untersucht durch Leonhard Euler. Sein 1736 Papier auf der Sieben Brücken von Königsberg wird als eine der ersten praktischen Anwendungen der Topologie angesehen.^[2] Am 14. November 1750 schrieb Euler an einen Freund, dass er die Bedeutung des Kanten von a Polyeder. Dies führte zu seinem Polyeder -Formel, V − E + F = 2 (wo V, E, und F Zeigen Sie jeweils die Anzahl der Eckpunkte, Kanten und Gesichter des Polyeders an). Einige Behörden betrachten diese Analyse als den ersten Satz, der die Geburt der Topologie signalisiert.^[3]

Weitere Beiträge wurden von geleistet von Augustin-Louis Cauchy, Ludwig Schläfli, Johann Benedict Listing, Bernhard Riemann und Enrico Betti.^[4] Die Auflistung führte den Begriff "Topologie" in vor Vorstudien Zur Topologie, geschrieben in seiner Heimat Deutsch, 1847, nachdem er das Wort zehn Jahre in Korrespondenz verwendet hatte, bevor er als erstes Auftritt in gedruckter Auftritt war.^[5] Die englische Form "Topologie" wurde 1883 im Nachruf von Listing in der Zeitschrift verwendet Natur Unterscheidung "qualitative Geometrie von der gewöhnlichen Geometrie, in der quantitative Beziehungen hauptsächlich behandelt werden".^[6]

Ihre Arbeit wurde korrigiert, konsolidiert und stark erweitert durch Henri Poincaré. 1895 veröffentlichte er sein bahnbrechendes Papier auf Analyse Situs, was die nun bekannten Konzepte als vorstellte als Homotopie und Homologie, die jetzt als Teil von als Teil von angesehen werden Algebraische Topologie.^[4]

Vereinheitlich der Arbeit an Funktionsräumen von Georg Cantor, Vito Volterra, Cesare Arzelà, Jacques Hadamard, Giulio Ascoli und andere, Maurice Fréchet stellte die vor metrischer Raum im Jahr 1906.^[7] Ein metrischer Raum wird heute als Sonderfall eines allgemeinen topologischen Raums angesehen, wobei ein bestimmter topologischer Raum möglicherweise zu vielen unterschiedlichen Metrikplätzen führt. Im Jahr 1914, Felix Hausdorff geprägt den Begriff "topologischer Raum" und gab die Definition für das, was jetzt genannt wird Hausdorff Raum.^[8] Derzeit ist ein topologischer Raum eine geringfügige Verallgemeinerung von Hausdorff -Räumen, die 1922 von 1922 gegeben wurde Kazimierz Kuratowski.^[9]

Die moderne Topologie hängt stark von den Ideen der festgelegten Theorie ab, die von Georg Cantor im späteren Teil des 19. Jahrhunderts entwickelt wurde. Cantor hat nicht nur die grundlegenden Ideen der festgelegten Theorie festgelegt, sondern überlegte, dass Point in Betracht gezogen wird Euklidischer Raum als Teil seines Studiums von die Fourierreihe. Für weitere Entwicklungen siehe Point-Set-Topologie und algebraische Topologie.

Die 2022 Abel -Preis wurde vergeben an Dennis Sullivan "Für seine bahnbrechenden Beiträge zur Topologie im weitesten Sinne und insbesondere in seinen algebraischen, geometrischen und dynamischen Aspekten".^[10]

Konzepte

Topologien an Sets

Der Begriff Topologie bezieht sich auch auf eine bestimmte mathematische Idee, die im Bereich der Mathematik als Topologie von zentraler Bedeutung ist. Informell erzählt eine Topologie, wie sich Elemente eines Sets räumlich miteinander beziehen. Das gleiche Satz kann unterschiedliche Topologien haben. Zum Beispiel die echte Linie, das Komplexe Ebene, und die Cantor -Set kann als das gleiche Set mit verschiedenen Topologien betrachtet werden.

Formal, lassen Sie X ein Set sein und lassen τ sei a Familie von Teilmengen von X. Dann τ wird als Topologie bezeichnet X wenn:

1. Sowohl das leere Set als auch X sind Elemente von τ.
2. Jede Vereinigung von Elementen von τ ist ein Element von τ.
3. Jeder Schnittpunkt endlich vieler Elemente von τ ist ein Element von τ.

Wenn τ ist eine Topologie auf Xdann das Paar (X, τ) wird als topologischer Raum bezeichnet. Die Notation X_τ kann verwendet werden, um einen Satz zu bezeichnen X mit der jeweiligen Topologie ausgestattet τ. Per Definition ist jede Topologie a π-System.

Die Mitglieder von τ werden genannt Offene Sets in X. Eine Teilmenge von X soll geschlossen sein, wenn seine Komplement in ist τ (Das heißt, seine Ergänzung ist offen). Eine Teilmenge von X kann offen, geschlossen sein, beide (a Clopen -Set) oder weder. Das leere Set und X selbst sind immer sowohl geschlossen als auch offen. Eine offene Teilmenge von X das enthält einen Punkt x wird als a genannt Nachbarschaft von x.

Kontinuierliche Funktionen und Homeomorphismen

Eine kontinuierliche Transformation kann eine Kaffeetasse in einen Donut verwandeln.
Keramikmodell von Keenan Crane und Henry Segerman.

A Funktion oder Karte von einem topologischen Raum zum anderen heißt kontinuierlich Wenn das umgekehrte Bild einer offenen Menge geöffnet ist. Wenn die Funktion die ordnet reale Nummern Zu den realen Zahlen (beide Räume mit der Standardtopologie) ist diese Definition von kontinuierlich der Definition von kontinuierlich in entspricht Infinitesimalrechnung. Wenn eine kontinuierliche Funktion ist eins zu eins und auf zuund wenn die Umkehrung der Funktion ebenfalls kontinuierlich ist, wird die Funktion als Homomorphismus bezeichnet und der Bereich der Funktion wird als homomorph für den Bereich bezeichnet. Eine andere Möglichkeit zu sagen, dass die Funktion eine natürliche Erweiterung der Topologie hat. Wenn zwei Plätze homeomorph sind, haben sie identische topologische Eigenschaften und gelten topologisch als gleich. Der Würfel und die Sphäre sind heimomorph, ebenso wie die Kaffeetasse und der Donut. Aber der Kreis ist für den Donut nicht homeomorph.

Verteiler

Während topologische Räume extrem unterschiedlich und exotisch sein können, konzentrieren sich viele Bereiche der Topologie auf die bekanntere Klasse von Räumen, die als Verteiler bekannt sind. EIN vielfältig ist ein topologischer Raum, der dem euklidischen Raum in der Nähe jedes Punktes ähnelt. Genauer gesagt jeder Punkt von einem n-Dimensionaler Verteiler hat a Nachbarschaft das ist homomorph zum euklidischen Raum der Dimension n. Linien und Kreise, aber nicht Abbildung acht, sind eindimensionale Verteiler. Zweidimensionale Verteiler werden ebenfalls genannt Oberflächen, obwohl nicht alle Oberflächen sind Verteiler. Beispiele sind die Flugzeug, die Kugel und der Torus, die alle ohne Selbstinterktion in drei Dimensionen realisiert werden können, und die Klein Flasche und Real Projective Ebene, was nicht (das heißt, alle ihre Erkenntnisse sind Oberflächen, die keine Verteiler sind).

Themen

Allgemeine Topologie

Allgemeine Topologie ist der Zweig der Topologie, der sich mit den grundlegenden Set-theoretischen Definitionen und Konstruktionen in der Topologie befasst.^[11][12] Es ist die Grundlage für die meisten anderen Topologiezweige, einschließlich Differentialtopologie, geometrischer Topologie und algebraischer Topologie. Ein anderer Name für die allgemeine Topologie ist die Point-Set-Topologie.

Das Grundobjekt der Studie ist Topologische Räume, die Sets mit a ausgestattet sind Topologie, das heißt eine Familie von Untergruppen, genannt Offene Sets, welches ist abgeschlossen unter endlich Schnittpunkte und (endlich oder unendlich) Gewerkschaften. Die grundlegenden Konzepte der Topologie, wie z. Kontinuität, Kompaktheit, und Verbundenheit, kann in Bezug auf offene Sets definiert werden. Intuitiv bringen kontinuierliche Funktionen in der Nähe von Punkten zu nahe gelegenen Punkten. Kompakte Sets sind solche, die endlich viele willkürlich kleine Größe bedeckt werden können. Verbundene Sets sind Sets, die nicht in zwei Teile unterteilt werden können, die weit voneinander entfernt sind. Die Wörter in der Nähe, willkürlich klein, und weit auseinander kann alle durch Verwendung offener Sets hergestellt werden. Auf einem bestimmten Raum können mehrere Topologien definiert werden. Das Ändern einer Topologie besteht darin, die Sammlung offener Sets zu ändern. Dies ändert sich, welche Funktionen kontinuierlich sind und welche Teilmengen kompakt oder verbunden sind.

Metrikräume sind eine wichtige Klasse von topologischen Räumen, in denen der Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten durch eine Funktion definiert wird, die als a metrisch. In einem metrischen Raum ist ein offener Satz eine Vereinigung von offenen Scheiben, wo eine offene Festplatte Radius r zentriert um x ist der Satz aller Punkte, deren Abstand zu x ist weniger als r. Viele Gemeinschaftsräume sind topologische Räume, deren Topologie durch eine Metrik definiert werden kann. Dies ist der Fall von der echte Linie, das Komplexe Ebenereal und komplex Vektorräume und Euklidische Räume. Eine Metrik vereinfacht viele Beweise.

Algebraische Topologie

Die algebraische Topologie ist ein Zweig der Mathematik, der Tools von verwendet Algebra topologische Räume zu untersuchen.^[13] Das grundlegende Ziel ist es, algebraische Invarianten zu finden, die klassifizieren Topologische Räume bis zu Homomorphismus, obwohl sie normalerweise am homotopischen Äquivalenz klassifizieren.

Das wichtigste dieser Invarianten sind Homotopiegruppen, Homologie und Kohomologie.

Obwohl die algebraische Topologie in erster Linie Algebra verwendet, um topologische Probleme zu untersuchen, ist es manchmal auch möglich, topologische Probleme zu lösen, um algebraische Probleme zu lösen. Die algebraische Topologie ermöglicht beispielsweise einen bequemen Beweis, dass jede Untergruppe von a freie Gruppe ist wieder eine freie Gruppe.

Differentialtopologie

Differentiale Topologie ist das Feld, mit dem man sich befasst differenzierbare Funktionen an Differenzierbare Verteiler.^[14] Es ist eng mit dem verwandt mit Differentialgeometrie Und zusammen bilden sie die geometrische Theorie differenzierbarer Verteiler.

Insbesondere berücksichtigt die differentielle Topologie die Eigenschaften und Strukturen, die nur a erfordern glatte Struktur auf einem Verteiler definiert werden. Glatte Verteiler sind "weicher" als Verteiler mit zusätzlichen geometrischen Strukturen, die als Obstruktionen für bestimmte Arten von Äquivalenzen und als Obstruktionen wirken können Verformungen Das existiert in der Differentialtopologie. Zum Beispiel Volumen und Riemannsche Krümmung sind Invarianten, die verschiedene geometrische Strukturen auf demselben glatten Verteiler unterscheiden können - das heißt, man kann bestimmte Verteiler sanft "überflachen", aber es erfordert möglicherweise, den Raum zu verzerren und die Krümmung oder das Volumen zu beeinflussen.

Geometrische Topologie

Die geometrische Topologie ist ein Zweig der Topologie, der sich hauptsächlich auf niedrigdimensionale konzentriert Verteiler (Das heißt, Räume der Abmessungen 2, 3 und 4) und ihre Wechselwirkung mit der Geometrie, aber auch eine höherdimensionale Topologie.^[15] Einige Beispiele für Themen in der geometrischen Topologie sind Orientierbarkeit, Behandeln von Zersetzungen, Lokale Flachheit, zerknittert und planar und höherdimensional Schönflies Theorem.

In hochdimensionaler Topologie, charakteristische Klassen sind eine grundlegende Invariante und Operationstheorie ist eine Schlüsseltheorie.

Die niedrigdimensionale Topologie ist stark geometrisch, wie sich in der widerspiegelt Uniformisationstheorem In 2 Dimensionen - jede Oberfläche lässt eine konstante Krümmungsmetrik zu; Geometrisch hat es eine von 3 möglichen Geometrien: positiv Krümmung/sphärisch, null Krümmung/flach und negative Krümmung/hyperbolisch - und die Geometrisierungsvermeidung (jetzt Satz) In 3 Dimensionen-jeder 3-Manniuf kann in Stücke geschnitten werden, von denen jedes eine von acht möglichen Geometrien hat.

2-dimensionale Topologie kann als untersucht werden Komplexe Geometrie in einer Variablen (Riemann Oberflächen sind komplexe Kurven) - jeweils durch den Uniformisierungssatz konforme Klasse von Metriken entspricht einer einzigartigen komplexen, und die 4-dimensionale Topologie kann aus Sicht der komplexen Geometrie in zwei Variablen (komplexe Oberflächen) untersucht werden, obwohl nicht jedes 4-Manniflold eine komplexe Struktur zulässt.

Verallgemeinerungen

Gelegentlich muss man die Tools der Topologie verwenden, aber eine "Reihe von Punkten" ist nicht verfügbar. Im sinnlose Topologie man berücksichtigt stattdessen die Gitter von offenen Mengen als Grundbegriff der Theorie,^[16] während Grothendieck -Topologien sind Strukturen auf willkürlicher Weise definiert Kategorien das ermöglicht die Definition von Scheiben in diesen Kategorien und damit die Definition allgemeiner Kohomologie -Theorien.^[17]

Anwendungen

Biologie

Die Topologie wurde verwendet, um verschiedene biologische Systeme einschließlich Moleküle und Nanostrukturen zu untersuchen (z. B. membrane Objekte^[18]). Im Speziellen, Kreislauftopologie und Knotentheorie wurden ausgiebig angewendet, um die Topologie gefalteter Proteine ​​und Nukleinsäuren zu klassifizieren und zu vergleichen. Kreislauftopologie Klassifiziert gefaltete molekulare Ketten basierend auf der paarweisen Anordnung ihrer Intra-Ketten-Kontakte und Kettenübergänge. Knotentheorie, ein Zweig der Topologie, wird in der Biologie verwendet, um die Auswirkungen bestimmter Enzyme auf DNA zu untersuchen. Diese Enzyme schneiden, verdrehen und wiederherstellen die DNA, wodurch ein Knoting mit beobachtbaren Effekten wie langsamer ist Elektrophorese.^[19] Die Topologie wird auch in verwendet Evolutionsbiologie die Beziehung zwischen darstellen Phänotyp und Genotyp.^[20] Phänotypische Formen, die ganz unterschiedlich erscheinen, können nur durch wenige Mutationen getrennt werden, abhängig davon, wie genetische Veränderungen während der Entwicklung zu phänotypischen Veränderungen zugeordnet werden. In der Neurowissenschaft wurden topologische Größen wie die Euler -Eigenschaft und die Betti -Zahl verwendet, um die Komplexität der Aktivitätsmuster in neuronalen Netzwerken zu messen.

Informatik

Topologische Datenanalyse Verwendet Techniken aus der algebraischen Topologie, um die große Struktur eines Satzes zu bestimmen (z. B. festzustellen, ob eine Punktwolke sphärisch ist oder Toroidal). Die Hauptmethode, die durch die topologische Datenanalyse verwendet wird, ist:

1. Ersetzen Sie eine Reihe von Datenpunkten durch eine Familie von Einfachere Komplexe, indiziert durch einen Proximity -Parameter.
2. Analysieren Sie diese topologischen Komplexe über algebraische Topologie - insbesondere über die Theorie von anhaltende Homologie.^[21]
3. Codieren die persistente Homologie eines Datensatzes in Form einer parametrisierten Version von a Betti -Nummer, was als Barcode bezeichnet wird.^[21]

Mehrere Zweige von Programmiersprache Semantik, wie zum Beispiel Domain -Theorie, werden mit Topologie formalisiert. In diesem Zusammenhang, Steve Vickersauf Arbeiten durch Samson Abramsky und Michael B. Smyth charakterisiert topologische Räume als Boolesche oder Hey -Algebren über offene Sets, die als charakterisiert sind halbkassbar (äquivalent, endlich beobachtbar) Eigenschaften.^[22]

Physik

Die Topologie ist für Physik in Bereichen wie relevant Physik der kondensierten Materie,^[23] Quantenfeldtheorie und Physikalische Kosmologie.

Die topologische Abhängigkeit mechanischer Eigenschaften bei Festkörpern ist in Disziplinen von Interesse Maschinenbau und Materialwissenschaften. Elektrische und mechanische Eigenschaften hängen von der Anordnung und den Netzwerkstrukturen von ab Moleküle und Elementareinheiten in Materialien.^[24] Das Druckfestigkeit von zerknittert Topologien werden untersucht, um die hohe Stärke für Gewicht solcher Strukturen zu verstehen, die größtenteils leer sind.^[25] Topologie ist von weiterer Bedeutung in Kontaktmechanik wo die Abhängigkeit von Steifheit und Reibung von der Dimensionalität von Oberflächenstrukturen ist Gegenstand von Interesse an Anwendungen in der Mehrkörperphysik.

A Topologische Quantenfeldtheorie (oder topologische Feldtheorie oder TQFT) ist eine Quantenfeldtheorie, die berechnet Topologische Invarianten.

Obwohl TQFTs von Physikern erfunden wurden, sind sie auch von mathematischem Interesse und sind unter anderem mit dem Zusammenhang mit anderen Dingen. Knotentheoriedie Theorie von Vier-Manifolds in der algebraischen Topologie und zur Theorie von Modulflächen in der algebraischen Geometrie. Donaldson, Jones, Witten, und BONTSEVICH habe alle gewonnen Feldermedaillen für Arbeiten im Zusammenhang mit der topologischen Feldtheorie.

Die topologische Klassifizierung von Calabi -Yau -Verteiler hat wichtige Auswirkungen in Stringtheorie, wie verschiedene Verteiler verschiedene Arten von Saiten aufrechterhalten können.^[26]

In der Kosmologie kann die Topologie verwendet werden, um das Gesamt zu beschreiben Form des Universums.^[27] Dieser Forschungsbereich ist allgemein bekannt als Raumzeittopologie.

In kondensierter Angelegenheit kommt eine relevante Anwendung auf die topologische Physik aus der Möglichkeit, einen Einwegstrom zu erhalten, was ein Strom ist, der vor Rückstreuung geschützt ist. Es wurde zuerst in Elektronik mit dem Berühmten entdeckt Quantenhalle -Effektund dann in anderen Bereichen der Physik verallgemeinert, zum Beispiel in der Photonik^[28] durch F.D.M Haldane.

Robotik

Die möglichen Positionen von a Roboter kann durch a beschrieben werden vielfältig genannt Konfigurationsraum.^[29] In der Gegend von BewegungsplanungMan findet Pfade zwischen zwei Punkten im Konfigurationsraum. Diese Pfade repräsentieren eine Bewegung des Roboters des Roboters Gelenke und andere Teile in die gewünschte Pose.^[30]

Spiele und Rätsel

Gefälligkeitsrätsel basieren auf topologischen Aspekten der Formen und Komponenten des Puzzles.^[31][32][33]

Faserkunst

Um eine kontinuierliche Verbindung von Teilen in einer modularen Konstruktion zu erzeugen, ist es notwendig, einen ungebrochenen Pfad in einer Reihenfolge zu schaffen, die jedes Stück umgibt und jede Kante nur einmal durchquert. Dieser Prozess ist eine Anwendung der Eulerianischer Weg.^[34]

Siehe auch

Verweise

Zitate

Literaturverzeichnis

• Aleksandrov, P.S. (1969) [1956], "Kapitel XVIII -Topologie", in Aleksandrov, A.D.; Kolmogorov, A.N.; Lavrent'ev, M. A. (Hrsg.), Mathematik / Inhalt, Methoden und Bedeutung (2. Aufl.), Der M.I.T. Drücken Sie
• Croom, Fred H. (1989), Prinzipien der Topologie, Saunders College Publishing, ISBN 978-0-03-029804-2
• Richeson, D. (2008), Eulers Juwel: Die Polyederformel und die Geburt der Topologie, Princeton University Press

Weitere Lektüre

• Ryszard Engelking, Allgemeine Topologie, Heldermann Verlag, Sigma -Serie in Pure Mathematics, Dezember 1989, ISBN3-88538-006-4.
• Bourbaki; Elemente der Mathematik: Allgemeine Topologie, Addison - Wesley (1966).
• Breitenberger, E. (2006). "Johann Benedict Listing". In James, I. M. (Hrsg.). Geschichte der Topologie. North Holland. ISBN 978-0-444-82375-5.
• Kelley, John L. (1975). Allgemeine Topologie. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90125-1.
• Brown, Ronald (2006). Topologie und Gruppen. Bücherligel. ISBN 978-1-4196-2722-4. (Bietet eine gut motivierte, geometrische Darstellung der allgemeinen Topologie und zeigt die Verwendung von Groupoiden bei der Diskussion Van Kampens Theorem, Räume abdecken, und Umlaufräume.))
• Wacław Sierpiński, Allgemeine Topologie, Dover Publications, 2000, ISBN0-486-41148-6
• Pickover, Clifford A. (2006). The Möbius Strip: Dr. August Möbius 'wunderbare Band in Mathematik, Spielen, Literatur, Kunst, Technologie und Kosmologie. Thunder's Mundpresse. ISBN 978-1-56025-826-1. (Bietet eine beliebte Einführung in Topologie und Geometrie)
• Gemignani, Michael C. (1990) [1967], Grundtopologie (2. Aufl.), Dover Publications Inc., ISBN 978-0-486-66522-1

Externe Links

• "Topologie, allgemein", Enzyklopädie der Mathematik, EMS Press, 2001 [1994]
• Grundtopologie: Ein erster Kurs Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov.
• Topologie bei Curlie
• Der topologische Zoo bei Das Geometriezentrum.
• Topologieatlas
• Topology Course Lecture Notes Aisling McCluskey und Brian McMaster, Topology Atlas.
• Topologie -Glossar
• Moskau 1935: Topologie in Richtung Amerika bewegen, ein historischer Aufsatz von Hassler Whitney.