Zeitfolgen

Zeitreihe: Zufallsdaten plus Trend mit Best-Fit-Zeile und verschiedenen angewandten Filtern

Im Mathematik, a Zeitfolgen ist eine Reihe von Datenpunkte in der zeitlichen Reihenfolge indexiert (oder aufgelistet oder grafisch). Am häufigsten ist eine Zeitreihe a Reihenfolge auf aufeinanderfolgende gleiche Zeitpunkte aufgenommen. Somit ist es eine Abfolge von diskrete Zeit Daten. Beispiele für Zeitreihen sind Höhen des Ozeans Gezeiten, zählt Sonnenfleckenund der tägliche Schließwert der Dow Jones Industrial Average.

Eine Zeitreihe wird sehr häufig über a aufgetragen Diagramm ausführen (Das ist zeitlich Liniendiagramm). Zeitreihen werden in verwendet Statistiken, Signalverarbeitung, Mustererkennung, Ökonometrie, Mathematische Finanzierung, Wettervorhersage, Erdbebenvorhersage, Elektroenzephalographie, Steuerungstechnik, Astronomie, Kommunikationstechnikund größtenteils in jedem Bereich von Angewandt Wissenschaft und Ingenieurwesen was beinhaltet zeitlich Messungen.

Zeitfolgen Analyse Enthält Methoden zur Analyse von Zeitreihendaten, um aussagekräftige Statistiken und andere Merkmale der Daten zu extrahieren. Zeitfolgen Vorhersage ist die Verwendung von a Modell Zu den zukünftigen Werten vorherzusagen, die auf zuvor beobachteten Werten basieren. Während Regressionsanalyse wird häufig so verwendet, dass diese Art der Analyse normalerweise nicht als "Zeitreihenanalyse" bezeichnet wird, was sich insbesondere auf Beziehungen zwischen verschiedenen Zeitpunkten innerhalb einer einzelnen Serie bezieht. Unterbrochene Zeitreihen Die Analyse wird verwendet, um Änderungen in der Entwicklung einer Zeitreihe von zuvor nach einer Intervention zu erkennen, die die zugrunde liegende Variable beeinflussen kann.

Zeitreihendaten haben eine natürliche zeitliche Bestellung. Dies macht die Zeitreihenanalyse unterscheidet sich von Querschnittsstudien, in dem es keine natürliche Reihenfolge der Beobachtungen gibt (z. B. die Erklärung der Löhne der Menschen in Bezug auf ihre jeweiligen Bildungsniveaus, bei denen die Daten der Einzelpersonen in beliebiger Reihenfolge eingegeben werden könnten). Die Zeitreihenanalyse unterscheidet sich ebenfalls von räumliche Datenanalyse wo sich die Beobachtungen typischerweise auf geografische Orte beziehen (z. B. Berücksichtigung der Immobilienpreise durch den Standort sowie die intrinsischen Eigenschaften der Häuser). EIN stochastisch Das Modell für eine Zeitreihe wird im Allgemeinen die Tatsache widerspiegeln, dass Beobachtungen eng zusammenhängender miteinander verbunden sind als die Beobachtungen weiter voneinander entfernt. Darüber hinaus nutzen Zeitreihenmodelle häufig die natürliche Einweg-Bestellung, so dass die Werte für einen bestimmten Zeitraum als aus vergangenen Werten und nicht aus zukünftigen Werten abgeleitet werden (siehe Zeitverkehrsfähigkeit).

Die Zeitreihenanalyse kann an angewendet werden echt bewertet, kontinuierliche Daten, diskret numerisch Daten oder diskrete symbolische Daten (d. H. Sequenzen von Zeichen wie Buchstaben und Wörter in der Englische Sprache[1]).

Analysemethoden

Methoden zur Zeitreihenanalyse können in zwei Klassen unterteilt werden: Frequenzbereich Methoden und Zeitdomäne Methoden. Erstere umfassen Spektralanalyse und Wavelet -Analyse; Letzteres umfassen Autokorrelation und Kreuzkorrelation Analyse. Im Zeitbereich können Korrelation und Analyse filterähnlich verwendet werden Skalierte KorrelationMilderung der Notwendigkeit, im Frequenzbereich zu arbeiten.

Darüber hinaus können Zeitreihen -Analysetechniken unterteilt sein in parametrisch und nicht parametrisch Methoden. Das parametrische Ansätze annehmen, dass die zugrunde liegenden Stationärer stochastischer Prozess hat eine bestimmte Struktur, die unter Verwendung einer kleinen Anzahl von Parametern beschrieben werden kann (z. B. mit einem autoregressiv oder gleitendes Durchschnittsmodell). In diesen Ansätzen besteht die Aufgabe darin, die Parameter des Modells zu schätzen, die den stochastischen Prozess beschreiben. Im Gegensatz, Nicht parametrische Ansätze ausdrücklich die Kovarianz oder der Spektrum des Prozesses, ohne davon auszugehen, dass der Prozess eine bestimmte Struktur hat.

Methoden zur Zeitreihenanalyse können ebenfalls unterteilt werden in linear und nichtlinear, und univariate und multivariate.

Paneldaten

Eine Zeitreihe ist eine Art von Art von Paneldaten. Paneldaten sind die allgemeine Klasse, ein mehrdimensionaler Datensatz, während ein Zeitreihendatensatz ein eindimensionales Panel ist (wie a ist a Querschnittsdatensatz). Ein Datensatz kann Merkmale sowohl von Paneldaten als auch von Zeitreihendaten aufweisen. Eine Möglichkeit zu sagen ist zu fragen, was einen Datensatz aus den anderen Datensätzen einzigartig macht. Wenn es sich bei der Antwort um das Zeitdatenfeld handelt, ist dies ein Zeitreihen -Datensatzkandidat. Wenn die Ermittlung eines eindeutigen Datensatzes ein Zeitdatenfeld und eine zusätzliche Kennung erfordert, die nicht mit der Zeit zu tun hat (z. B. Studenten -ID, Aktiensymbol, Ländercode), dann ist es Panel -Datenkandidaten. Wenn die Differenzierung auf der Nicht-Zeit-Kennung liegt, ist der Datensatz ein Querschnittsdatensatzkandidat.

Analyse

Für Zeitreihen stehen verschiedene Arten von Motivation und Datenanalyse zur Verfügung, die für verschiedene Zwecke geeignet sind.

Motivation

Im Zusammenhang mit Statistiken, Ökonometrie, Quantitative Finanzen, Seismologie, Meteorologie, und Geophysik Das Hauptziel der Zeitreihenanalyse ist Vorhersage. Im Zusammenhang mit Signalverarbeitung, Steuerungstechnik und Nachrichtentechnik Es wird zur Signalerkennung verwendet. Andere Anwendungen sind in Data Mining, Mustererkennung und maschinelles Lernen, wo die Zeitreihenanalyse verwendet werden kann für Clustering,[2][3] Einstufung,[4] Abfrage nach Inhalten,[5] Anomalieerkennung ebenso gut wie Vorhersage.[6]

Explorationsanalyse

Tuberkulose-Inzidenz USA 1953-2009
Weitere Informationen: Explorationsanalyse

Eine einfache Möglichkeit, eine reguläre Zeitreihe zu untersuchen, ist manuell mit a Liniendiagramm. Ein Beispiel -Diagramm ist rechts für die Tuberkulose -Inzidenz in den Vereinigten Staaten angezeigt, die mit einem Tabellenkalkulationsprogramm hergestellt wurde. Die Anzahl der Fälle wurde auf eine Geschwindigkeit pro 100.000 standardisiert und die prozentuale Veränderung pro Jahr in dieser Rate wurde berechnet. Die fast stetig abfallene Linie zeigt, dass die TB-Inzidenz in den meisten Jahren abnahm, aber die prozentuale Veränderung dieser Rate variierte um bis zu +/- 10%, wobei 1975 und in den frühen neunziger Jahren „Surges“ und um die frühen neunziger Jahre. Die Verwendung beider vertikaler Achsen ermöglicht den Vergleich von zwei Zeitreihen in einer Grafik.

Eine Studie über Unternehmensdatenanalysten ergab zwei Herausforderungen für die explorative Zeitreihenanalyse: Entdeckung der Form interessanter Muster und das Finden einer Erklärung für diese Muster.[7] Visuelle Tools, die Zeitreihendaten als darstellen Wärmekartenmatrizen kann dazu beitragen, diese Herausforderungen zu bewältigen.

Andere Techniken sind:

  • Autokorrelation Analyse zur Untersuchung serielle Abhängigkeit
  • Spektralanalyse Untersuchung von zyklischem Verhalten, das nicht mit dem Zusammenhang mit dem Zusammenhang mit Saisonalität. Zum Beispiel variiert die Sonnenfleckenaktivität über 11 -jährige Zyklen.[8][9] Weitere häufige Beispiele sind himmlische Phänomene, Wettermuster, neuronale Aktivität, Rohstoffpreise und wirtschaftliche Aktivität.
  • Trennung in Komponenten, die Trend, Saisonalität, langsame und schnelle Variation und zyklische Unregelmäßigkeit darstellen: siehe Trendschätzung und Zersetzung der Zeitreihen

Kurvenanpassung

Hauptartikel: Kurvenanpassung

Kurvenanpassung[10][11] ist der Prozess der Konstruktion a Kurve, oder Mathematische Funktion, das hat die beste Passform für eine Reihe von Daten Punkte,[12] möglicherweise Einschränkungen unterliegen.[13][14] Kurvenanpassung kann beide beinhalten Interpolation,[15][16] wo eine genaue Passform für die Daten erforderlich ist oder Glättung,[17][18] in der eine "glatte" Funktion konstruiert wird, die ungefähr den Daten passt. Ein verwandtes Thema ist Regressionsanalyse,[19][20] das konzentriert sich mehr auf Fragen von statistische Inferenz wie viel Unsicherheit in einer Kurve vorhanden ist, die zu Daten entspricht, die mit zufälligen Fehlern beobachtet werden. Anpassungskurven können als Hilfe für die Datenvisualisierung verwendet werden.[21][22] Werte einer Funktion abzuleiten, bei der keine Daten verfügbar sind,[23] und die Beziehungen zwischen zwei oder mehr Variablen zusammenzufassen.[24] Extrapolation bezieht sich auf die Verwendung einer angepassten Kurve jenseits der Angebot der beobachteten Daten,[25] und unterliegt einem Grad der Unsicherheit[26] Da es die Methode widerspiegelt, die verwendet wird, um die Kurve so zu konstruieren, wie sie die beobachteten Daten widerspiegelt.

Die Konstruktion wirtschaftlicher Zeitreihen beinhaltet die Schätzung einiger Komponenten für einige Daten von Interpolation zwischen Werten ("Benchmarks") für frühere und spätere Daten. Die Interpolation ist die Schätzung einer unbekannten Menge zwischen zwei bekannten Größen (historischen Daten) oder Schlussfolgerungen über fehlende Informationen aus den verfügbaren Informationen ("Lesen zwischen den Zeilen").[27] Die Interpolation ist nützlich, wenn die Daten zu den fehlenden Daten verfügbar sind und deren Trend, Saisonalität und längerfristige Zyklen bekannt sind. Dies erfolgt häufig mit einer verwandten Serie, die für alle relevanten Daten bekannt ist.[28] Alternative Polynom -Interpolation oder Spline -Interpolation wird dort verwendet, wo stückweise Polynom Funktionen sind in Zeitintervalle gepasst, so dass sie reibungslos zusammenpassen. Ein anderes Problem, das eng mit der Interpolation zusammenhängt, ist die Näherung einer komplizierten Funktion durch eine einfache Funktion (auch genannt Regression). Der Hauptunterschied zwischen Regression und Interpolation besteht darin, dass die Polynomregression ein einzelnes Polynom ergibt, das den gesamten Datensatz modelliert. Die Spline -Interpolation ergibt jedoch eine stückweise kontinuierliche Funktion, die aus vielen Polynomen besteht, um den Datensatz zu modellieren.

Extrapolation ist der Schätzprozess über den ursprünglichen Beobachtungsbereich hinaus den Wert einer Variablen auf der Grundlage ihrer Beziehung zu einer anderen Variablen. Das ist vergleichbar mit Interpolation, was Schätzungen zwischen bekannten Beobachtungen erzeugt, aber die Extrapolation ist größer. Unsicherheit und ein höheres Risiko, bedeutungslose Ergebnisse zu erzielen.

Funktionsnäherung

Hauptartikel: Funktionsnäherung

Im Allgemeinen fordert uns ein Funktionsnäherproblem auf, a auszuwählen Funktion Unter einer genau definierten Klasse, die eine Zielfunktion auf aufgabenspezifische Weise genau übereinstimmt ("näher“). Man kann zwei Hauptklassen von Funktionsannäherungsproblemen unterscheiden: Erstens für bekannte Zielfunktionen, Approximationstheorie ist der Zweig von numerische Analyse Das untersucht, wie bestimmte bekannte Funktionen (zum Beispiel, Spezialfunktionen) kann durch eine bestimmte Klasse von Funktionen angenähert werden (zum Beispiel, zum Beispiel, Polynome oder rationale Funktionen) Das hat oft wünschenswerte Eigenschaften (kostengünstige Berechnung, Kontinuität, integrale und Grenzwerte usw.).

Zweitens die Zielfunktion, rufen Sie sie auf g, kann unbekannt sein; Anstelle einer expliziten Formel nur eine Reihe von Punkten (eine Zeitreihe) der Form (x, g(x)) wird gestellt. Abhängig von der Struktur der Domain und Codomäne von g, verschiedene Techniken zum Annäherung g kann anwendbar sein. Zum Beispiel wenn g ist eine Operation auf der reale Nummern, Techniken von Interpolation, Extrapolation, Regressionsanalyse, und Kurvenanpassung kann verwendet werden. Wenn die Codomäne (Bereich oder Zielsatz) von g ist ein endliches Set, einer befasst sich mit a Einstufung Problem stattdessen. Ein verwandtes Problem von online Zeitreihennäherung[29] ist es, die Daten in Einpass zusammenzufassen und eine ungefähre Darstellung zu konstruieren, die eine Vielzahl von Zeitreihenabfragen mit Grenzen für den Worst-Case-Fehler unterstützen kann.

In gewissem Maße die unterschiedlichen Probleme (Regression, Einstufung, Fitnessnäherung) haben eine einheitliche Behandlung in erhalten Statistische Lerntheorie, wo sie als als angesehen werden als überwachtes Lernen Probleme.

Vorhersage und Prognose

Im Statistiken, Vorhersage ist ein Teil von statistische Inferenz. Ein besonderer Ansatz für solche Inferenz ist als bekannt als prädiktive Inferenz, aber die Vorhersage kann innerhalb der verschiedenen Ansätze zur statistischen Inferenz durchgeführt werden. Eine Beschreibung der Statistiken ist in der Tat, dass es ein Mittel zur Übertragung von Wissen über eine Stichprobe einer Bevölkerung auf die gesamte Bevölkerung und auf andere verwandte Bevölkerungsgruppen bietet, was nicht unbedingt der Vorhersage über die Zeit ist. Wenn Informationen über die Zeit übertragen werden, oft in bestimmte Zeitpunkte, wird der Prozess als bezeichnet als Vorhersage.

  • Vollständig gebildete statistische Modelle für Stochastische Simulation Zwecke, um alternative Versionen der Zeitreihe zu generieren, die das darstellen, was in Zukunft über nicht spezifische Zeitperioden passieren könnte
  • Einfache oder vollständig gebildete statistische Modelle, um das wahrscheinliche Ergebnis der Zeitreihe in naher Zukunft zu beschreiben, angesichts der Kenntnis der neuesten Ergebnisse (Prognose).
  • Die Prognose für Zeitreihen wird normalerweise mit automatisierten statistischen Softwarepaketen und Programmiersprachen wie z. Julia, Python, R, SAS, SPSS und viele andere.
  • Die Prognose in großen Daten kann mit erfolgen Apache Funken Mit der Spark-TS-Bibliothek ein Paket von Drittanbietern.[30]

Einstufung

Hauptartikel: Statistische Klassifizierung

Zuweisen von Zeitreihenmuster einer bestimmten Kategorie, z. B. Identifizieren Sie ein Wort basierend auf einer Reihe von Handbewegungen in Zeichensprache.

Signalschätzung

Siehe auch: Signalverarbeitung und Schätztheorie

Dieser Ansatz basiert auf Harmonische Analyse und Filterung von Signalen in der Frequenzbereich Verwendung der Fourier-Transformation, und Spektraldichteschätzung, deren Entwicklung während dessen erheblich beschleunigt wurde Zweiter Weltkrieg von Mathematiker Norbert WienerElektroingenieure Rudolf E. Kálmán, Dennis Gabor und andere zum Filtern von Signalen aus Rauschen und Vorhersage von Signalwerten zu einem bestimmten Zeitpunkt. Sehen Kalman -Filter, Schätztheorie, und Digitale Signalverarbeitung

Segmentierung

Hauptartikel: Zeitreihensegmentierung

Aufteilung einer Zeitreihen in eine Abfolge von Segmenten. Es ist häufig der Fall, dass eine Zeitreihen als Abfolge einzelner Segmente mit jeweils eigene charakteristische Eigenschaften dargestellt werden kann. Zum Beispiel kann das Audiosignal aus einem Telefonkonferenz in Stücke unterteilt werden, die der Zeit entsprechen, in der jede Person sprach. In der Zeitreihensegmentierung ist es das Ziel, die Segmentgrenzpunkte in der Zeitreihen zu identifizieren und die mit jedem Segment verbundenen dynamischen Eigenschaften zu charakterisieren. Man kann dieses Problem mithilfe der Verwendung angehen Erkennung von Wechselnoder durch Modellierung der Zeitreihen als ein ausgefeilteres System wie ein lineares Markov-Jump-System.

Modelle

Modelle für Zeitreihendaten können viele Formen haben und unterschiedlich darstellen stochastische Prozesse. Bei der Modellierung von Variationen auf der Ebene eines Prozesses sind drei breite Klassen von praktischer Bedeutung die autoregressiv (AR) Modelle, die integriert (I) Modelle und die gleitender Durchschnitt (MA) Modelle. Diese drei Klassen hängen linear von früheren Datenpunkten ab.[31] Kombinationen dieser Ideen produzieren Autoregressiven gleitenden Durchschnitt (Arma) und Autoregressive integrierte gleitende Durchschnitt (Arima) Modelle. Das Autoregressive fraktioniert integrierte gleitende Durchschnitt (ARFIMA) Modell verallgemeinert die ersteren drei. Erweiterungen dieser Klassen, die mit vektorwertigen Daten befasst sind Vektorautoregression. Eine zusätzliche Reihe von Erweiterungen dieser Modelle steht zur Verwendung zur Verfügung, bei der die beobachtete Zeitreihen von einigen "erzwungenen" Zeitreihen (die möglicherweise keinen kausalen Effekt auf die beobachteten Serie erzwingen): die Unterscheidung vom multivariaten Fall ist das ist das Die Forcing -Reihe kann deterministisch oder unter der Kontrolle des Experimentators sein. Für diese Modelle werden die Akronyme mit einem endgültigen "X" für "exogen" erweitert.

Die nichtlineare Abhängigkeit des Niveaus einer Serie zu früheren Datenpunkten ist von Interesse, teilweise aufgrund der Möglichkeit, a zu produzieren chaotisch Zeitfolgen. Noch wichtiger ist jedoch, dass empirische Untersuchungen den Vorteil der Verwendung von Vorhersagen, die von nichtlinearen Modellen abgeleitet wurden, gegenüber denen aus linearen Modellen wie zum Beispiel in Nichtlineare autoregressive exogene Modelle. Weitere Verweise auf nichtlineare Zeitreihenanalyse: (Kantz und Schreiber),[32] und (abarbanel)[33]

Unter anderen Arten nichtlinearer Zeitreihenmodelle gibt es Modelle, die die Varianzänderungen im Laufe der Zeit darstellen (Heteroskedastizität). Diese Modelle repräsentieren Autoregressive bedingte Heteroskedastizität (Arch) und die Sammlung umfasst eine Vielzahl von Repräsentationen (Garch, Tarch, Egarch, Figarch, Cgarch usw.). Hier sind Änderungen der Variabilität mit den jüngsten vergangenen Werten der beobachteten Serie bezogen oder mit den jüngsten vergangenen Werten vorhergesagt. Dies steht im Gegensatz zu anderen möglichen Darstellungen lokal unterschiedlicher Variabilität, bei denen die Variabilität als in einem von einem separaten zeitlich variierenden Prozess modelliert werden kann doppelt stochastisches Modell.

In jüngsten Arbeiten zu modellfreien Analysen haben Wavelet-transformierende Methoden (z. B. lokal stationäre Wavelets und Wavelet-zersetzte neuronale Netze) Gunst erlangt. Multiscale (oft als Multiresistholl bezeichnet) Techniken zersetzen eine bestimmte Zeitreihe und versuchen, die Zeitabhängigkeit auf mehreren Skalen zu veranschaulichen. Siehe auch Markov Switching Multifractal (MSMF) -Techniken zur Modellierung der Volatilitätsentwicklung.

A Verstecktes Markov -Modell (Hmm) ist ein statistisches Markov -Modell, bei dem das modellierte System als Markov -Prozess mit nicht beobachteten (versteckten) Zuständen angenommen wird. Ein HMM kann als der einfachste angesehen werden Dynamisches Bayes'sche Netzwerk. HMM -Modelle sind in großem Umfang verwendet in Spracherkennungzum Übersetzen einer Zeitreihe gesprochener Wörter in Text.

Notation

Für die Zeitreihenanalyse wird eine Reihe verschiedener Notationen verwendet. Eine gemeinsame Notation, die eine Zeitreihe angibt X das wird durch die indiziert natürliche Zahlen ist geschrieben

X = (X1, X2, ...).

Eine weitere häufige Notation ist

Y = (Yt: t ∈ T),

wo T ist der [y [Indexsatz]].

Bedingungen

Es gibt zwei Sätze von Bedingungen, unter denen ein Großteil der Theorie aufgebaut ist:

Ergodizität impliziert Stationarität, aber das Gegenteil ist nicht unbedingt der Fall. Die Stationarität wird normalerweise eingeteilt in strenge Stationarität und weitsichtig oder Stationarität zweiter Ordnung. Sowohl Modelle als auch Anwendungen können unter jeder dieser Bedingungen entwickelt werden, obwohl die Modelle im letzteren Fall als nur teilweise angegeben sind.

Darüber hinaus kann die Zeitreihenanalyse angewendet werden, wo sich die Serie befinden saisonal stationär oder nicht stationär. Situationen, in denen sich die Amplituden von Frequenzkomponenten mit der Zeit ändern Zeitfrequenzanalyse das nutzt a Zeit -Frequenz -Darstellung einer Zeitreihen oder eines Signals.[34]

Werkzeug

Zu den Tools zur Untersuchung von Zeitreihendaten gehören:

Mittel

Zeitreihenmetriken oder Merkmale Das kann für Zeitreihen verwendet werden Einstufung oder Regressionsanalyse:[37]

Visualisierung

Zeitreihen können mit zwei Kategorien von Diagramme visualisiert werden: überlappende Diagramme und getrennte Diagramme. Überlappende Diagramme zeigen alle Zeitserien auf demselben Layout an, während getrennte Diagramme sie auf verschiedenen Layouts vorstellen (jedoch zum Vergleichszweck ausgerichtet).[41]

Überlappende Diagramme

  • Geflochtene Grafiken
  • Zeilendiagramme
  • Hanggrafiken
  • Gapchartfr

Getrennte Diagramme

  • Horizontgrafiken
  • Reduziertes Liniendiagramm (kleine Vielfachen)
  • Silhouette Graph
  • Rundsilhouette -Diagramm

Siehe auch

Verweise

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Weitere Lektüre

Externe Links