Zeitskala-Kalkül

Im Mathematik, Zeitskala-Kalkül ist eine Vereinigung der Theorie von Differenzgleichungen mit dem von Differentialgleichung, einheitlich integral und differentiell Infinitesimalrechnung mit dem Berechnung endlicher Unterschiedeeinen Formalismus zur Untersuchung von hybriden diskreten - kontinuierlichen Untersuchungen Dynamische Systeme. Es verfügt über Anwendungen in jedem Bereich, bei dem eine gleichzeitige Modellierung diskreter und kontinuierlicher Daten erforderlich ist. Es gibt eine neue Definition eines Derivats so, dass die Definition der Standarddifferenzierung entspricht, wenn man eine auf den reale Zahlen definierte Funktion unterscheidet. Wenn man jedoch eine Funktion verwendet, die auf den Ganzzahlen definiert ist Vorwärtsunterschied Operator.

Geschichte

Der Zeitskalel wurde 1988 vom deutschen Mathematiker Stefan Hilger eingeführt.^[1] Ähnliche Ideen wurden jedoch vorher verwendet und gehen zumindest zurück zur Einführung der Riemann -Stieltjes Integral, was Summen und Integrale vereint.

Dynamische Gleichungen

Viele Ergebnisse in Bezug auf Differentialgleichungen tragen leicht auf entsprechende Ergebnisse für Differenzgleichungen zu, während sich andere Ergebnisse vollständig von ihren unterscheiden zu können kontinuierlich Gegenstücke.^[2] Die Untersuchung dynamischer Gleichungen in Zeitskalen zeigt solche Diskrepanzen und hilft, zweimal nachzuweisen - aufgrund von Differentialgleichungen und erneut für Differenzgleichungen. Die allgemeine Idee ist es, ein Ergebnis für eine dynamische Gleichung zu beweisen, in der die Domäne des Unbekannten Funktion ist eine sogenannte Zeitskala (auch als zeitlich bezeichnet), die eine willkürliche geschlossene Teilmenge der Realität sein kann. Auf diese Weise gelten die Ergebnisse nicht nur für die einstellen von reale Nummern oder set von Ganzzahlen aber zu allgemeineren Zeitskalen wie a Cantor -Set.

Die drei beliebtesten Beispiele von Infinitesimalrechnung in der Zeitskalen sind Differentialrechnung, Differenzkalkül, und Quantenrechnung. Dynamische Gleichungen auf einer Zeitskala haben ein Potenzial für Anwendungen wie in Populationsdynamik. Zum Beispiel können sie Insektenpopulationen modellieren, die sich während der Saison kontinuierlich entwickeln, im Winter aussterben, während ihre Eier inkubieren oder ruhen und dann in einer neuen Saison schlüpfen, was zu einer nicht überlappenden Population führt.

Formale Definitionen

A Zeitstrahl (oder Kette messen) ist ein geschlossene Teilmenge des echte Linie ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$. Die gemeinsame Notation für eine allgemeine Zeitskala ist ${\ displaystyle \ mathbb {t}}$.

Die beiden am häufigsten auftretenden Beispiele für Zeitskalen sind die realen Zahlen ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ und die Diskrete Zeit Skala ${\ displayStyle h \ mathbb {z}}$.

Ein einzelner Punkt in einer Zeitskala ist definiert als:

${\ displayStyle t: t \ in \ mathbb {t}}$

Operationen in Zeitskalen

Der Vorwärtssprung, der Rückwärtssprung und die Körnigkeitsbetreiber auf einer diskreten Zeitskala

Das Vorwärtssprung und Rückwärtssprung Die Betreiber repräsentieren den nächsten Punkt in der Zeitskala rechts und links von einem bestimmten Punkt ${\ displayStyle t}$, beziehungsweise. Formal:

${\ displayStyle \ sigma (t) = \ inf \ {s \ in \ mathbb {t}: s> t \}}$ (Vorwärtsschalt-/Jump -Operator)

${\ displaystyle \ rho (t) = \ sup \ {s \ in \ mathbb {t}: s <t \}}$ (Rückwärtsschicht-/Jump -Operator)

Das Körnung ${\ displayStyle \ mu}$ ist der Abstand von einem Punkt bis zum nächsten Punkt rechts und wird gegeben durch:

${\ displayStyle \ mu (t) = \ sigma (t) -t.}$

Für eine rechtsvolle ${\ displayStyle t}$, ${\ displayStyle \ sigma (t) = t}$ und ${\ displayStyle \ mu (t) = 0}$.
Für eine linke Dense ${\ displayStyle t}$, ${\ displayStyle \ rho (t) = t.}$

Klassifizierung von Punkten

Mehrere Punkte auf einer Zeitskala mit unterschiedlichen Klassifizierungen

Für jeden ${\ displayStyle t \ in \ mathbb {t}}$, ${\ displayStyle t}$ ist:

• dicht gelassen wenn ${\ displayStyle \ rho (t) = t}$
• Richtig dicht wenn ${\ displayStyle \ sigma (t) = t}$
• links verstreut wenn ${\ displayStyle \ rho (t) <t}$
• Rechte verstreut wenn ${\ displayStyle \ sigma (t)> t}$
• dicht Wenn sowohl links dicht als auch rechts dicht
• isoliert Wenn beide links verstreut und rechts verstreut sind

Wie durch die Figur rechts dargestellt:

• Punkt ${\ displayStyle t_ {1}}$ ist dicht
• Punkt ${\ displayStyle t_ {2}}$ ist dicht gelassen und Rechte verstreut
• Punkt ${\ displayStyle t_ {3}}$ ist isoliert
• Punkt ${\ displayStyle t_ {4}}$ ist links verstreut und Richtig dicht

Kontinuität

Kontinuität einer Zeitskala wird als äquivalent zur Dichte neu definiert. Eine Zeitskala soll sein Rechtskontinuierlich am Punkt ${\ displayStyle t}$ Wenn es am Punkt richtig ist ${\ displayStyle t}$. Ebenso soll eine Zeitskala sein links kontinuierlich am Punkt ${\ displayStyle t}$ Wenn es an Punkt dicht bleibt ${\ displayStyle t}$.

Derivat

Nehmen Sie eine Funktion:

${\ displayStyle f: \ mathbb {t} \ to \ mathbb {r},},},}$

(wo R könnte jeder sein Banach -Raum, ist aber zur Einfachheit auf die reale Linie eingestellt).

Definition: die Delta -Derivat (auch Hilger -Derivat) ${\ displayStyle f^{\ delta} (t)}$ existiert, wenn und nur wenn:

Für jeden ${\ displayStyle \ varepsilon> 0}$ Es gibt eine Nachbarschaft ${\ displayStyle u}$ von ${\ displayStyle t}$ so dass:

$oder (t) -s \ rechts |}$

für alle ${\ displayStyle S}$ in ${\ displayStyle u}$.

Nehmen ${\ displaystyle \ mathbb {t} = \ mathbb {r}.}$ Dann ${\ displayStyle \ sigma (t) = t}$, ${\ displayStyle \ mu (t) = 0}$, ${\ displayStyle f^{\ delta} = f '}$; ist das in Standard verwendete Derivat Infinitesimalrechnung. Wenn ${\ displaystyle \ mathbb {t} = \ mathbb {z}}$ (das Ganzzahlen), ${\ displayStyle \ sigma (t) = t+1}$, ${\ displayStyle \ mu (t) = 1}$, ${\ displayStyle f^{\ delta} = \ delta f}$ ist der Vorwärtsdifferenzbetreiber in Differenzgleichungen verwendet.

Integration

Das Delta Integral wird als antiderivativ in Bezug auf das Delta -Derivat definiert. Wenn ${\ displayStyle f (t)}$ hat ein kontinuierliches Derivat ${\ displayStyle f (t) = f^{\ delta} (t)}$ man setzt

${\ displayStyle \ int _ {r}^{s} f (t) \ delta (t) = f (s) -f (r).}$

Laplace-Transformation und Z-Transformation

A Laplace-Transformation Kann für Funktionen auf Zeitskalen definiert werden, die dieselbe Transformationen für jede beliebige Zeitskala verwendet. Diese Transformation kann verwendet werden, um dynamische Gleichungen auf Zeitskalen zu lösen. Wenn die Zeitskala die nicht negativen Ganzzahlen ist, ist die Transformation gleich^[2] zu einem modifizierten Z-Transformation:

$$oder$$

Teildifferenzierung

Partielle Differentialgleichungen und Teildifferenzgleichungen werden als partielle dynamische Gleichungen in Zeitskalen einheitlich.^[3][4][5]

Mehrfachintegration

Mehrfachintegration In Zeitskalen wird in Bohner (2005) behandelt.^[6]

Stochastische dynamische Gleichungen in Zeitskalen

Stochastische Differentialgleichungen und stochastische Differenzgleichungen können auf Zeitskalen auf stochastische dynamische Gleichungen verallgemeinert werden.^[7]

Messen Sie die Theorie auf Zeitskalen

Mit jeder Zeitskala verbunden ist natürlich messen^[8][9] definiert über

${\ displaystyle \ mu ^{\ delta} (a) = \ lambda (\ rho ^{-1} (a)),},}$

wo ${\ displayStyle \ lambda}$ bezeichnet Lebesgue -Maßnahme und ${\ displayStyle \ rho}$ ist der Abwärtsschaltoperator definiert auf ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$. Das Delta Integral ist das übliche Lebesgue -Stieltjes Integral in Bezug auf diese Maßnahme

$oder$

und das Delta -Derivat stellt sich als die heraus Radon -Nikodym -Derivat in Bezug auf diese Maßnahme^[10]

${\ displayStyle f ^{\ delta} (t) = {\ frac {df} {d \ mu ^{\ delta}}} (t).}$

Verteilungen in Zeitskalen

Das Dirac Delta und Kronecker Delta sind in der Zeitskala einheitlich als die Hilger Delta:^[11][12]

$oder \ neq a \ end {cases}}}$

Integralgleichungen in Zeitskalen

Integrale Gleichungen und Summierungsgleichungen sind einheitlich als Integralgleichungen in Zeitskalen.

Fraktionsberechnung auf Zeitskalen

Bruchrechnung In Zeitskalen wird in Bastos, Mozyrska und Torres behandelt.^[13]

Siehe auch

• Analyse zu Fraktalen für dynamische Gleichungen auf a Cantor -Set.
• Analyse mehrerer Maßstäbe
• Mittelwerbung
• Krylov -Bogoliubov -Mittelungsmethode

Verweise

Weitere Lektüre

• Agarwal, Ravi; Bohner, Martin; O'Regan, Donal; Peterson, Allan (2002). "Dynamische Gleichungen zu Zeitskalen: Eine Umfrage". Journal of Computational and Applied Mathematics. 141 (1–2): 1–26. Bibcode:2002JCOAM.141 .... 1A. doi:10.1016/s0377-0427 (01) 00432-0.
• Dynamische Gleichungen in Zeitskalen Sonderausgabe von Journal of Computational and Applied Mathematics (2002)
• Dynamische Gleichungen und Anwendungen Sonderausgabe von Fortschritte bei Differenzgleichungen (2006)
• Dynamische Gleichungen zu Zeitskalen: qualitative Analyse und Anwendungen Sonderausgabe von Nichtlineare Dynamik- und Systemtheorie (2009)

Externe Links

• Die Baylor University Time Scales Group
• Timescalewiki.org