Dreidimensionaler Raum

Eine Darstellung einer dreidimensionalen Darstellung Kartesisches Koordinatensystem mit dem x-Axis zeigt auf den Beobachter.

Dreidimensionaler Raum (Auch: 3D -Raum, 3-Raum oder selten, tri-dimensionaler Raum) ist eine geometrische Einstellung, in der drei Werte (genannt Parameter) sind erforderlich, um die zu bestimmen Position eines Elements (d. h., Punkt). Dies ist die informelle Bedeutung des Begriffs Abmessungen.

Im Mathematik, a Tupel von n Zahlen kann als die verstanden werden Kartesischen Koordinaten eines Ortes in einem n-Dimensional Euklidischer Raum. Der Satz davon n-Tupel werden üblicherweise bezeichnet und kann an die identifiziert werden n-Dimensionaler euklidischer Raum. Wann n = 3Dieser Raum wird genannt Dreidimensionaler euklidischer Raum (oder einfach euklidischer Raum, wenn der Kontext klar ist).[1] Es dient als Modell des physischen Universum (Wenn Relativitätstheorie wird nicht berücksichtigt), in dem alle bekannt sind Angelegenheit existiert. Während dieser Raum die überzeugendste und nützlichste Möglichkeit bleibt, die Welt so zu modellieren, wie er erlebt wird,[2] Es ist nur ein Beispiel für eine Vielzahl von Räumen in drei Abmessungen genannt 3-Manifolds. In diesem klassischen Beispiel, wenn sich die drei Werte auf Messungen in unterschiedlichen Richtungen beziehen (Koordinaten), alle drei Richtungen können ausgewählt werden, vorausgesetzt, das Vektoren In diese Richtungen liegen nicht alle in demselben 2-Raum (Flugzeug). Darüber hinaus können diese drei Werte in diesem Fall durch eine beliebige Kombination von drei aus den Begriffen ausgewählten Begriffen gekennzeichnet werden Breite/Breite, Höhe/Tiefe, und Länge.

In der euklidischen Geometrie

Koordinatensystem

In Mathematik, analytische Geometrie (auch als kartesische Geometrie bezeichnet) beschreibt jeden Punkt im dreidimensionalen Raum mittels dreier Koordinaten. Drei Koordinatenachsen werden gegeben, jeder senkrecht zu den anderen beiden an der Ursprung, der Punkt, an dem sie überqueren. Sie sind normalerweise beschriftet x, y, und z. Im Vergleich zu diesen Achsen wird die Position eines beliebigen Punktes im dreidimensionalen Raum durch ein geordnetes Dreifach von gegeben reale Nummern, jede Zahl gibt den Abstand dieses Punktes von der Ursprung gemessen entlang der gegebenen Achse, die gleich dem Abstand dieses Punktes von der Ebene entspricht, die durch die anderen beiden Achsen bestimmt werden.[3]

Weitere beliebte Methoden zur Beschreibung des Standorts eines Punktes im dreidimensionalen Raum umfassen Zylindrische Koordinaten und Sphärische Koordinatenobwohl es unendlich viele mögliche Methoden gibt. Für mehr siehe Euklidischer Raum.

Unten finden Sie Bilder der oben genannten Systeme.

Linien und Flugzeuge

Zwei unterschiedliche Punkte bestimmen immer a (gerade) Linie. Drei verschiedene Punkte sind entweder kollinear oder eine einzigartige Ebene bestimmen. Andererseits können vier verschiedene Punkte entweder kollinear sein, Coplanar, oder bestimmen Sie den gesamten Raum.

Zwei unterschiedliche Linien können sich entweder überschneiden, sein parallel oder sein verzerrt. Zwei parallele Linien, oder Zwei schneidende Linien, liegen in einer einzigartigen Ebene, also sind verzerrte Linien Linien, die sich nicht treffen und nicht in einer gemeinsamen Ebene liegen.

Zwei unterschiedliche Ebenen können sich entweder in einer gemeinsamen Linie treffen oder parallel sind (d. H. Nicht treffen). Drei verschiedene Ebenen, von denen kein Paar parallel ist, können sich entweder in einer gemeinsamen Linie treffen, sich in einem einzigartigen gemeinsamen Punkt treffen oder keinen gemeinsamen Sinn haben. Im letzten Fall sind die drei Schnittpunkte jedes Flugpaares gegenseitig parallel.

Eine Linie kann in einer bestimmten Ebene liegen, diese Ebene in einem einzigartigen Punkt schneiden oder parallel zur Ebene sein. Im letzten Fall gibt es in der Ebene Linien, die parallel zur angegebenen Linie sind.

A Hyperebene ist ein Unterraum einer Dimension, die weniger als die Dimension des vollen Raums ist. Die Hyperebenen eines dreidimensionalen Raums sind die zweidimensionalen Unterbereiche, dh die Ebenen. In Bezug auf kartesische Koordinaten erfüllen die Punkte eines Hyperebens eine einzige lineare Gleichungso werden Flugzeuge in diesem 3-Raum durch lineare Gleichungen beschrieben. Eine Linie kann durch ein Paar unabhängiger linearer Gleichungen beschrieben werden, was eine Ebene mit dieser Linie als gemeinsame Kreuzung darstellt.

Varignons Satz gibt an, dass die Mittelpunkte eines Vierecks in ℝ3 Form a Parallelogrammund daher sind Coplanar.

Kugeln und Bälle

A Perspektivprojektion von einer Kugel auf zwei Dimensionen

A Kugel im 3-Raum (auch a genannt 2-Sphäre Da es sich um ein zweidimensionales Objekt handelt) besteht aus der Menge aller Punkte im 3-Raum in festem Abstand r aus einem zentralen Punkt P. Der von der Kugel umgeschlossene Feststoff wird a genannt Ball (oder genauer gesagt a 3-Ball). Das Volumen des Balls wird gegeben

.

Eine andere Art von Kugel ergibt sich aus einem 4-Ball, dessen dreidimensionale Oberfläche die ist 3-Sphäre: Punkte äquidistisch dem Ursprung des euklidischen Raums 4. Wenn ein Punkt Koordinaten hat, P(x, y, z, w), dann x2 + y2 + z2 + w2 = 1 charakterisiert diese Punkte auf der mit dem Ursprung zentrierten Einheit 3-Prenghere.

Polytope

In drei Dimensionen gibt es neun reguläre Polytope: die fünf konvexen Platonische Feststoffe und die vier nicht konvexen Kepler-Poinot Polyeder.

Regelmäßige Polytope in drei Dimensionen
Klasse Platonische Feststoffe Kepler-Poinot Polyeder
Symmetrie Td Oh Ih
Coxetergruppe A3, [3,3] B3, [4,3] H3, [5,3]
Befehl 24 48 120
Regulär
Polyeder
Tetrahedron.svg
{3,3}
Hexahedron.svg
{4,3}
Octahedron.svg
{3,4}
Dodecahedron.svg
{5,3}
Icosahedron.svg
{3,5}
SmallStellatedDodecahedron.jpg
{5/2,5}
GreatDodecahedron.jpg
{5,5/2}
GreatStellatedDodecahedron.jpg
{5/2,3}
GreatIcosahedron.jpg
{3,5/2}

Oberflächen der Revolution

A auftauchen Erzeugt durch Drehung eines Flugzeugs Kurve etwa eine feste Linie in ihrer Ebene als Achse wird a genannt Oberfläche der Revolution. Die Ebenenkurve wird die genannt Generatrix der Oberfläche. Ein Abschnitt der Oberfläche, der durch Überschneiden der Oberfläche mit einer Ebene, die senkrecht (orthogonal) zur Achse ist, ein Kreis ist.

Es treten einfache Beispiele auf, wenn die Generatrix eine Zeile ist. Wenn die Generatrix -Linie die Achsenlinie schneidet, ist die Revolutionoberfläche ein rechts kreisförmig Kegel mit Scheitelpunkt (Apex) den Schnittpunkt. Wenn jedoch Generatrix und Achse parallel sind, ist die Revolutionoberfläche ein kreisförmiges Zylinder.

Quadrische Oberflächen

In Analogie mit dem Kegelabschnitte, die Satz von Punkten, deren kartesische Koordinaten die allgemeine Gleichung des zweiten Grades erfüllen, nämlich,

wo A, B, C, F, G, H, J, K, L und M sind echte Zahlen und nicht alle A, B, C, F, G und H sind null, wird als a genannt Quadrische Oberfläche.[4]

Es gibt sechs Arten von nicht entengter Quadrische Oberflächen:

  1. Ellipsoid
  2. Hyperboloid eines Blattes
  3. Hyperboloid von zwei Blättern
  4. Elliptischer Kegel
  5. Elliptisches Paraboloid
  6. Hyperbolisches Paraboloid

Die degenerierten Quadrikflächen sind der leere Satz, ein einzelner Punkt, eine einzelne Linie, eine einzelne Ebene, ein Flugzeugpaar oder ein quadratischer Zylinder (eine Oberfläche, die aus einem nicht entenkten Kegelabschnitt in einer Ebene besteht π und alle Zeilen von 3 durch diesen Kegel, der normal ist für π).[4] Elliptische Kegel werden manchmal auch als degenerierte Quadrikflächen angesehen.

Sowohl das Hyperboloid eines Blattes als auch das hyperbolische Paraboloid sind Regierte Oberflächen, was bedeutet, dass sie aus einer Familie von geraden Linien zusammengesetzt werden können. Tatsächlich hat jeder zwei Familien von Linien, die Mitglieder jeder Familie sind disjunkt und jedes Mitglied eine Familie, die sich mit nur einer Ausnahme, jedes Mitglied der anderen Familie, überschneidet.[5] Jede Familie wird a genannt Regulus.

In linearer Algebra

Eine andere Möglichkeit, dreidimensionalen Raum zu betrachten Lineare Algebra, wo die Idee der Unabhängigkeit von entscheidender Bedeutung ist. Der Raum hat drei Dimensionen, weil die Länge von a Kasten ist unabhängig von seiner Breite oder Breite. In der technischen Sprache der linearen Algebra ist der Raum dreidimensional, da jeder Punkt im Raum durch eine lineare Kombination von drei Unabhängigen beschrieben werden kann Vektoren.

Punktprodukt, Winkel und Länge

Ein Vektor kann als Pfeil dargestellt werden. Die Größe des Vektors ist seine Länge und seine Richtung ist die Richtung, in die die Pfeilpunkte angezeigt werden. Ein Vektor in 3 Kann durch eine geordnete dreifache reelle Zahlen dargestellt werden. Diese Zahlen werden die genannt Komponenten des Vektors.

Das Punktprodukt von zwei Vektoren A = [A1, A2, A3] und B = [B1, B2, B3] ist definiert als:[6]

Die Größe eines Vektors A wird bezeichnet durch ||A||. Das Punktprodukt eines Vektors A = [A1, A2, A3] mit sich selbst ist

was gibt

die Formel für die Euklidische Länge des Vektors.

Ohne Bezug auf die Komponenten der Vektoren, das Punktprodukt von zwei euklidischen Vektoren ungleich Null A und B wird gegeben von[7]

wo θ ist der Winkel zwischen A und B.

Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt oder Vektorprodukt ist ein Binäroperation auf zwei Vektoren in dreidimensionaler Platz und wird durch das Symbol × bezeichnet. Das Kreuzprodukt a × b der Vektoren a und b ist ein Vektor, der ist aufrecht zu beiden und daher normal zum Flugzeug, das sie enthält. Es hat viele Anwendungen in Mathematik, Physik, und Ingenieurwesen.

Der Raum und das Produkt bilden eine Algebra über ein Feld, was auch nicht ist kommutativ Noch assoziativ, ist aber a Lügen Sie Algebra mit dem Kreuzprodukt ist die Lüge.

Man kann in n Dimensionen nehmen das Produkt von n - 1 Vektoren, um einen Vektor senkrecht zu allen zu produzieren. Wenn das Produkt jedoch auf nicht triviale binäre Produkte mit Vektorergebnissen beschränkt ist, existiert es nur in drei und Sieben Dimensionen.[8]

Das Kreuzprodukt in Bezug auf ein rechtshändiges Koordinatensystem

In Kalkül

Gradient, Divergenz und Locken

In einem rechteckigen Koordinatensystem wird der Gradient gegeben

Die Abweichung von a kontinuierlich differenzierbar Vektorfeld F = U i + V j + W k ist gleich dem Skalar-Valierte Funktion:

Erweitert in Kartesischen Koordinaten (sehen Del in zylindrischen und sphärischen Koordinaten zum sphärisch und zylindrisch Koordinaten Darstellungen), die Locken × × F ist für F zusammengesetzt aus [Fx, Fy, Fz]:

wo i, j, und k sind die Einheitsvektoren für die x-,, y-, und z-Axes. Dies erweitert sich wie folgt:[9]

Linienintegrale, Oberflächenintegrale und Volumenintegrale

Für einige Skalarfeld f: URnR, die Linie integral entlang a stückweise glatt Kurve CU ist definiert als

wo r: [a, b] → C ist ein willkürlicher Bijektiv Parametrisierung der Kurve C so dass r(a) und r(b) Geben Sie die Endpunkte von C und .

Für ein Vektorfeld F: URnRn, die Linie integral entlang a stückweise glatt Kurve CU, in der Richtung von r, ist definiert als

wo ist der, die, das Skalarprodukt und r: [a, b] → C ist ein Bijektiv Parametrisierung der Kurve C so dass r(a) und r(b) Geben Sie die Endpunkte von C.

A Oberflächenintegral ist eine Verallgemeinerung von Mehrere Integrale Integration über Oberflächen. Es kann als das betrachtet werden Doppelintegral Analog des Linienintegral. Um eine explizite Formel für das Oberflächenintegral zu finden, müssen wir Parametrize die Oberfläche von Interesse, S, durch Betrachtung eines Systems von krumminare Koordinaten an S, wie Breiten-und Längengrad auf einen Kugel. Lassen Sie eine solche Parametrisierung sein x(s, t), wo (s, t) variiert in einigen Regionen T in dem Flugzeug. Dann wird das Oberflächenintegral gegeben

wo der Ausdruck zwischen Balken auf der rechten Seite der ist Größe des Kreuzprodukt des Teilableitungen von x(s, t) und ist als Oberfläche bekannt Element. Bei einem Vektorfeld v an S, das ist eine Funktion, die jedem zuweist x in S ein Vektor v(x), das Oberflächenintegral kann in Bezug auf die Definition des Oberflächenintegrals eines Skalarfeldes definiert werden. Das Ergebnis ist ein Vektor.

A Volumenintegral bezieht sich auf ein Integral- über eine 3-dimensional Domain.

Es kann auch a bedeuten Dreifachintegral Innerhalb einer Region D in R3 von a Funktion und wird normalerweise geschrieben als:

Grundsatz der Linienintegrale

Das Grundsatz der Linienintegrale, sagt, dass a Linienintegral durch ein Gradient Das Feld kann bewertet werden, indem das ursprüngliche skalare Feld an den Endpunkten der Kurve bewertet wird.

Lassen . Dann

Stokes 'Theorem

Stokes 'Theorem bezeichnet die Oberflächenintegral des Locken von a Vektorfeld F über einer Oberfläche σ in euklidischer Dreiraum zum Linienintegral des Vektorfeldes über seine Grenze ∂σ:

Abweichungstheorem

Vermuten V ist eine Teilmenge von (Im Falle des n = 3, V repräsentiert ein Volumen im 3D -Raum) nämlich kompakt und hat a stückweise glatte Grenze S (auch angezeigt mit V = S). Wenn F ist ein kontinuierlich differenzierbares Vektorfeld, das in einer Nachbarschaft von definiert ist V, dann ist die Abweichungstheorem sagt:[10]

\oiint

Die linke Seite ist a Volumenintegral über das Volumen V, die rechte Seite ist die Oberflächenintegral über die Grenze des Bandes V. Der geschlossene Verteiler V ist ganz allgemein die Grenze von V Orientiert durch äußeres Zeigung Normalen, und n ist das normale Feld des äußeren Zeigungsgeräts der Grenze V. (dS kann als Abkürzung für verwendet werden nds.))

In der Topologie

Wikipedia's Globe Logo in 3-D

Der dreidimensionale Raum hat eine Reihe topologischer Eigenschaften, die ihn von Räumen anderer Dimensionszahlen unterscheiden. Zum Beispiel sind mindestens drei Dimensionen erforderlich, um a zu binden Knoten in einem Stück Schnur.[11]

Im Differentialgeometrie Die generischen dreidimensionalen Räume sind 3-Manifolds, was lokal ähnelt .

In endlicher Geometrie

Viele Ideen der Dimension können mit getestet werden Endliche Geometrie. Die einfachste Instanz ist PG (3,2), was hat Fano -Flugzeuge als seine zweidimensionalen Unterschiede. Es ist eine Instanz von Galois Geometrieein Studium von projektive Geometrie Verwendung endliche Felder. So für jedes Galois -Feld GF (q), da ist ein Projektivraum PG (3,q) von drei Dimensionen. Zum Beispiel alle drei verzerrte Linien in PG (3,q) sind in genau einem enthalten Regulus.[12]

Siehe auch

Anmerkungen

  1. ^ "Euklidischer Raum - Enzyklopädie der Mathematik". Encyclopediaofmath.org. Abgerufen 2020-08-12.
  2. ^ "Euklidischer Raum | Geometrie". Enzyklopädie Britannica. Abgerufen 2020-08-12.
  3. ^ Hughes-Hallett, Deborah; McCallum, William G.; Gleason, Andrew M. (2013). Kalkül: Single und Multivariable (6 ed.). John Wiley. ISBN 978-0470-88861-2.
  4. ^ a b Brannan, Esplen & Gray 1999, S. 34–5
  5. ^ Brannan, Esplen & Gray 1999, S. 41–2
  6. ^ Anton 1994, p. 133
  7. ^ Anton 1994, p. 131
  8. ^ WS Massey (1983). "Kreuzprodukte von Vektoren in höherdimensionalen euklidischen Räumen". Das amerikanische mathematische monatliche. 90 (10): 697–701. doi:10.2307/2323537. JStor 2323537. Wenn man nur drei grundlegende Eigenschaften des Kreuzprodukts benötigt, stellt sich heraus, dass ein Kreuzprodukt von Vektoren nur im dreidimensionalen und 7-dimensionalen euklidischen Raum existiert.
  9. ^ Arfken, p. 43.
  10. ^ M. R. Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Vektoranalyse. Schaums Umrisse (2. Aufl.). USA: McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
  11. ^ Rolfsen, Dale (1976). Knoten und Links. Berkeley, Kalifornien: Veröffentlichen oder umkommen. ISBN 0-914098-16-0.
  12. ^ Albrecht Beutelspacher & Ute Rosenbaum (1998) Projektive Geometrie, Seite 72, Cambridge University Press ISBN0-521-48277-1

Verweise

  • Anton, Howard (1994), Elementare lineare Algebra (7. Aufl.), John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-58742-2
  • Arfken, George B. und Hans J. Weber. Mathematische Methoden für Physiker, Akademische Presse; 6 Ausgabe (21. Juni 2005). ISBN978-0-12-059876-2.
  • Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1999), Geometrie, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59787-6

Externe Links