Tetraeder

Regelmäßiges Tetraeder
(Klicken Sie hier, um das rotierende Modell zu erhalten)
Typ	Platonischer Feststoff
Shortcode	3> 2z
Elemente	F = 4, E = 6 V = 4 (χ = 2)
Gesichter von Seiten	4 {3}
Conway Notation	T
Schläfli -Symbole	{3,3}
	H {4,3}, S {2,4}, sr {2,2}
Gesichtskonfiguration	V3.3.3
Wythoff -Symbol	3 | 2 3 | 2 2 2
Coxeter -Diagramm	=
Symmetrie	Td, EIN3, [3,3], (*332)
Rotationsgruppe	T, [3,3]+(332)
Verweise	U01, C15, W1
Eigenschaften	regulär, konvexDeltaeder
Dieder -Winkel	70,528779 ° = ARCCOS ( 1⁄3))
3.3.3 (Scheitelpunktfigur))	Selbstdoppelte (Dual Polyeder))
Netz

Im Geometrie, a Tetraeder (Plural: Tetraeder oder Tetraedrons), auch bekannt als a dreieckig Pyramide, ist ein Polyeder zusammengesetzt aus vier dreieckig Gesichter, sechs gerade Kantenund vier Scheitelpunktecken. Das Tetraeder ist das einfachste aller gewöhnlichen Konvexe Polyeder und der einzige, der weniger als 5 Gesichter hat.^[1]

Das Tetraeder ist das dreidimensional Fall des allgemeineren Konzepts von a Euklidisch Simplexund kann also auch als a genannt werden 3-Simplex.

Das Tetraeder ist eine Art von Art von Pyramide, was ein Polyeder mit einer Wohnung ist Polygon Basis- und dreieckige Gesichter, die die Basis mit einem gemeinsamen Punkt verbinden. Im Fall eines Tetraeders ist die Basis ein Dreieck (eine der vier Gesichter kann als Basis angesehen werden), sodass ein Tetraeder auch als "dreieckige Pyramide" bekannt ist.

Wie alle Konvexe PolyederEin Tetraeder kann aus einem einzigen Blatt Papier gefaltet werden. Es hat zwei wie Netze.^[1]

Für jedes Tetraeder gibt es eine Kugel (genannt die Umfang) auf denen alle vier Eckpunkte liegen und eine andere Sphäre (die Inssphere) Tangente zu den Gesichtern des Tetraeders.^[2]

Regelmäßiges Tetraeder

A Regelmäßiges Tetraeder ist ein Tetraeder, in dem alle vier Gesichter sind Gleichseitige Dreiecke. Es ist einer der fünf regulären Platonische Feststoffe, die seit der Antike bekannt sind.

In einem regulären Tetraeder sind alle Gesichter gleich groß und die gleiche Form (kongruent) und alle Kanten sind die gleiche Länge.

Allein reguläre Tetraeder tun nicht Tessellate (Raum füllen), aber wenn er wechselte mit Regelmäßige Oktaedra Im Verhältnis von zwei Tetraeder zu einem Oktaeder bilden sie die Wechselte Kubikwabe, was eine Tessellation ist. Einige Tetraeder, die nicht regelmäßig sind, einschließlich der Schläfli orthoscheme und die Hill Tetraeder, kann Tessellate.

Das reguläre Tetraeder ist selbst-duisch, was bedeutet, dass es sein Dual ist ein weiterer regulärer Tetraeder. Das Verbindung Figur mit zwei solchen doppelten Tetraeder Form a Sternte Oktaeder oder Stella Octangula.

Koordinaten für ein reguläres Tetraeder

Die folgenden kartesischen Koordinaten definieren die vier Scheitelpunkte eines Tetraeders mit Kantenlänge 2, zentriert am Ursprung und zwei Ebenenkanten:

${\ displaystyle \ links (\ PM 1,0,-{\ frac {1} {\ sqrt {2}} \ rechts) \ quad {\ mbox {und}} \ quad \ links (0, \ pm 1,, {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ rechts)}$

Symmetrisch als 4 Punkte auf dem ausgedrückt Einheitskugel, Zentroid am Ursprung, mit niedrigerer Gesichtsniveau, sind die Eckpunkte:

$oder$

${\ displayStyle v_ {2} = \ links (-{\ sqrt {\ frac {2} {9}}}, {\ sqrt {\ frac {2} {3}},-{\ frac {1 {1 {1 {1 {1 {1 {1 {1 {1 {1 {1) {9 {\} {{{{1 {9). 3}} \ rechts)}$

${\ displayStyle v_ {3} = \ links (-{\ sqrt {\ frac {2} {9}}},-{\ sqrt {\ frac {2} {3}},-{\ frac {1}}} {3}} \ rechts)}$

${\ displayStyle v_ {4} = (0,0,1)}$

mit der Kantenlänge von ${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {8} {3}}}}$.

Ein weiterer Satz von Koordinaten basiert auf einem abwechselnd Würfel oder Demicube mit Kantenlänge 2. Diese Form hat Coxeter -Diagramm und Schläfli -Symbol H {4,3}. Das Tetraeder in diesem Fall hat die Kantenlänge 2√2. Das Invertieren dieser Koordinaten erzeugt das doppelte Tetraeder, und das Paar bildet zusammen das stellierte Oktaeder, dessen Eckpunkte die des ursprünglichen Würfels sind.

Tetraeder: (1,1,1), (1, –1, –1), (–1,1, –1), (–1, –1,1)

Dual Tetraedron: (–1, –1, –1), (–1,1,1), (1, –1,1), (1,1, –1)

Winkel und Entfernungen

Für ein normales Tetraeder der Kantenlänge a:

Gesichtsbereich	${\ displayStyle a_ {0} = {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} a^{2} \,}$
Oberfläche[3]	${\ displayStyle a = 4 \, a_ {0} = {\ sqrt {3}} a^{2} \,}$
Höhe der Pyramide[4]	$oder$
Schwerpunkt und Scheitelpunktabstand	${\displaystyle {\frac {3}{4}}\,h={\frac {\sqrt {6}}{4}}\,a={\sqrt {\frac {3}{8}}}\ ,a\,}$
Kante zur entgegengesetzten Kanteabstand	${\ displayStyle l = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \, a \,}$
Volumen[3]	${\ displayStyle v = {\ frac {1} {3}} a_ {0} h = {\ frac {\ sqrt {2} {12}} a^{3} = {\ frac {a^{3}} {3} {3} {{{3} } {6 {\ sqrt {2}}}} \,}$
Face-Verstex-Kantenwinkel	$oder$ (ca. 54,7356 °)
Face-Ed-Kanten-Face-Winkel, d.h.[3]	$oder$ (ca. 70,5288 °)
Scheitelpunkt-Zentrum-Vertex-Winkel,[5] Der Winkel zwischen Linien vom Tetraeder -Zentrum zu zwei beliebigen Eckpunkten. Es ist auch der Winkel zwischen Plateau Grenzen an einem Scheitelpunkt. In der Chemie heißt es das Tetraedrisch -Bindungswinkel. Dieser Winkel (in Radians) ist auch die Länge des kreisförmigen Bogens in der Einheitskugel, die sich aus zentral projizierter Rand des Tetraeders in die Kugel ergeben.	$oder$ (ca. 109,4712 °)
Solider Winkel an einem von einem Gesicht unterbedeckten Scheitelpunkt	${\ displaystyle \ arccos \ links ({\ frac {23} {27}} \ rechts)}$ (ca. 0,55129 Steradier) (ca. 1809.8 Quadratgrad))
Radius von Umfang[3]	$oder$
Radius von Inssphere Das ist Tangente zu Gesichtern[3]	${\ displayStyle r = {\ frac {1} {3}} r = {\ frac {a} {\ sqrt {24}}} \,}$
Radius von MidSphere Das ist Tangente für Kanten[3]	$oder$
Radius von Exsphene	${\ displayStyle r _ {\ mathrm {e}} = {\ frac {a} {\ sqrt {6}} \,},}$
Entfernung zum Exsphere -Zentrum vom gegenüberliegenden Scheitelpunkt	${\displaystyle d_{\mathrm {VE} }={\frac {\sqrt {6}}{2}}a={\sqrt {\frac {3}{2}}}a\,}$

In Bezug auf die Basisebene die Neigung eines Gesichts (2√2) ist doppelt so hoch wie eine Kante (√2), entspricht der Tatsache, dass die horizontal Entfernung von der Basis bis zur Apex entlang einer Kante ist doppelt so Median eines Gesichts. Mit anderen Worten, wenn C ist der Schwerpunkt der Basis, der Abstand von C zu einem Scheitelpunkt der Basis ist doppelt so C bis zum Mittelpunkt eines Randes der Basis. Dies ergibt sich aus der Tatsache, dass sich die Mediane eines Dreiecks an seinem Schwerpunkt kreuzen, und dieser Punkt teilt jeden von ihnen in zwei Segmenten, von denen einer doppelt so lang ist wie der andere (siehe nachweisen).

Für ein normales Tetraeder mit Seitenlänge a, Radius R seiner umschreibenden Kugel und Entfernungen d_i Von einem willkürlichen Punkt im 3-Raum bis zu seinen vier Eckpunkten haben wir^[6]

${\ displayStyle {\ begin {ausgerichtet} {\ frac {d_ {1}^{4}+d_ {2}^{4}+d_ {3}^{4}+d_ {4}^{4} {3 {4 {4} {4}^{4} {4 {4 {4} {4} {3 {4 {4 {4}^{4} {3 4}}+{\ frac {16r^{4}} {9}} & = \ links ({\ frac {d_ {1}^{2}+d_ {2}^{2}+d_ {3}^ {2}+d_ {4}^{2}} {4}}+{\ frac {2r^{2}} {3} \ rechts)^{2}; \\ 4 \ links (a^{4) }+d_ {1}^{4}+d_ {2}^{4}+d_ {3}^{4}+d_ {4}^{4} \ rechts) & = \ links (a^{2} +d_ {1}^{2}+d_ {2}^{2}+d_ {3}^{2}+d_ {4}^{2} \ rechts)^{2}. \ end {ausgeteilt}}}} }$

Isometrien des regulären Tetraeders

Die Eckpunkte von a Würfel kann in zwei Gruppen von vier Gruppen eingeteilt werden, die jeweils ein reguläres Tetraeder bilden (siehe oben und auch Animation, die eines der beiden Tetraeder im Würfel zeigen). Das Symmetrien eines regulären Tetraeders entspricht der Hälfte derjenigen eines Würfels: denen, die die Tetraeder auf sich selbst kartieren, und nicht zueinander.

Das Tetraeder ist der einzige platonische Feststoff, der sich nicht selbst zugeordnet wird Punktinversion.

Das reguläre Tetraeder hat 24 Isometrien, die die bilden Symmetriegruppe T_d, [3,3], (*332), isomorph zum Symmetrische Gruppe, S₄. Sie können wie folgt kategorisiert werden:

• T, [3,3]⁺, (332) ist isomorph zu Wechselgruppe, A₄ (die Identität und 11 richtige Rotationen) mit Folgendem Konjugationsklassen (In Klammern werden die Permutationen der Eckpunkte oder entsprechend den Gesichtern und der Repräsentation der Einheit Quaternion):
  • Identität (Identität; 1)
  • Drehung um eine Achse durch einen senkrechten Scheitelpunkt, senkrecht zur gegenüberliegenden Ebene, durch einen Winkel von ± 120 °: 4 Achsen, 2 pro Achse zusammen 8 ((1 2 3), etc.; 1 ± i ± j ± k/2)
  • Drehung um einen Winkel von 180 °, so dass eine Kante an die gegenüberliegende Kante kartiert: 3 ((1 2) (3 4), etc.; i, j, k)
• Reflexionen in einer Ebene senkrecht zu einer Kante: 6
• Reflexionen in einer Ebene in Kombination mit einer 90 ° -Drotation um eine Achse senkrecht zur Ebene: 3 Achsen, 2 pro Achse, zusammen 6; Äquivalent sind sie 90 ° -Wechseln in Kombination mit Inversion (Inversion (x wird auf - abgebildetx): Die Rotationen entsprechen denen des Würfels über Angesicht zu Angesichtsachsen

Orthogonale Projektionen des regulären Tetraeders

Das regelmäßige Tetraeder hat zwei besondere orthogonale Projektionen, einer zentriert sich auf einen Scheitelpunkt oder äquivalent auf einem Gesicht und eine auf einer Kante. Das erste entspricht dem a₂ Koxeterebene.

Orthographische Projektion

Zentriert von	Gesicht/Scheitelpunkt	Rand
Bild
Projektiv Symmetrie	[3]	[4]

Querschnitt des regulären Tetraeders

Die beiden schief senkrechten gegenüberliegenden Kanten von a Regelmäßiges Tetraeder Definieren Sie eine Reihe paralleler Ebenen. Wenn eines dieser Ebenen das Tetraeder schneidet, ist der resultierende Querschnitt a Rechteck.^[7] Wenn sich die Kreuzung in der Nähe einer der Kanten befindet, ist das Rechteck lang und dünn. Auf halber Strecke zwischen den beiden Kanten ist die Kreuzung a Quadrat. Das Seitenverhältnis des Rechtecks ​​kehrt beim Übergeben an diesem halben Punkt um. Für den Mittelpunktquadrat -Schnittpunkt durchquert die resultierende Grenzlinie jedes Gesicht des Tetraeders ähnlich. Wenn das Tetraeder in dieser Ebene halbiert wird, werden beide Hälften Keile.

Diese Eigenschaft gilt auch für Tetragonale Disphenoide bei Anwendung auf die beiden Spezialkantenpaare.

Sphärische Fliesen

Das Tetraeder kann auch als als dargestellt werden sphärische Fliesenund über a auf das Flugzeug projiziert Stereografische Projektion. Diese Projektion ist konform, erhaltene Winkel, aber keine Bereiche oder Längen. Gerade Linien auf der Kugel werden als kreisförmige Bögen in der Ebene projiziert.

Orthographische Projektion	Stereografische Projektion

Helical Stapeling

Regelmäßige Tetraeder können von Angesicht zu Angesicht in a gestapelt werden chiral aperiodische Kette genannt die Boerdijk -Coxeter -Helix.

Im vier Dimensionen, all das konvexe Regelmäßige 4-Polytopen mit tetraedrischen Zellen (die 5-Zelle, 16-Zelle und 600-Zelle) kann als Fliesen der 3-Sphäre durch diese Ketten, die im dreidimensionalen Raum der Grenzfläche des 4-Polytopen periodisch werden.

Unregelmäßige Tetraeder

Tetraedrische Symmetrie -Untergruppenbeziehungen

Tetraedrische Symmetrien in tetraedrischen Diagrammen

Tetraeder, die keine vier gleichseitigen Gesichter haben, werden von den Symmetrien, die sie besitzen, kategorisiert und benannt.

Wenn alle drei Paare entgegengesetzter Kanten eines Tetraeders sind aufrecht, dann wird es als als genannt Orthozentrischer Tetraeder. Wenn nur ein Paar gegenüberliegende Kanten senkrecht sind, wird es a genannt Semi-orthocentric Tetraeder.

Ein Isodynamisches Tetraeder ist einer, in dem die Cevians das verbindet sich den Eckpunkten mit dem Anreize der entgegengesetzten Gesichter sind gleichzeitig.

Ein Isogones Tetraeder hat gleichzeitige Cevians, die den Eckpunkten zu den Kontaktpunkten der entgegengesetzten Gesichter mit dem verbinden Beschriftete Kugel des Tetraeders.

Trirektanguläre Tetraeder

In einem Trirektangular Tetraeder Die drei Gesichtswinkel bei eines Scheitelpunkt sind rechte Winkel, wie an der Ecke eines Würfels.

Kepler entdeckte die Beziehung zwischen dem Würfel, dem regulären Tetraeder und dem trirektangulären Tetraeder.^[8]

Disphenoide

Ein Isosceles Tetraeder, also called a Diskussionist ein Tetraeder, wo alle vier Gesichter sind kongruent Zu den akutwinkligen Dreiecken und alle zwei Kanten, die sich zueinander entgegenbringen, haben gleiche Längen. Das reguläre Tetraeder ist ein Sonderfall des Dissphenoids (obwohl ein Tetraeder mit gleichseitigen Gesichtern normalerweise nicht als Disphenoid bezeichnet wird).

Orthoscheme

A 3-orthoscheme ist ein Tetraeder, wo alle vier Gesichter sind Rechte Dreiecke.^[a] Ein Orthoschem ist ein unregelmäßiges Simplex das ist das konvexer Rumpf von a Baum in denen alle Kanten senkrecht senkrecht sind. In einer dreidimensionalen Orthoscheme besteht der Baum aus drei senkrechten Kanten, die alle vier Scheitelpunkte in einem linearen Pfad verbinden, der zwei rechtwinklige Kurven macht. Das 3-orthoscheme ist ein Tetraeder mit zwei rechten Winkeln an jedem von zwei Eckpunkten, also ist ein anderer Name dafür Birectangular Tetraeder. Es wird auch als a genannt Quadrirektangular Tetraeder, weil es vier rechte Winkel enthält.^[9]

Coxeter nennt auch quadrirektanguläre Tetraeder charakteristische Tetraeder, wegen ihrer integralen Beziehung zu den regulären Polytopen und ihren Symmetriegruppen.^[10] Zum Beispiel ist der Sonderfall eines 3-Aorthokemes mit senkrechten Kanten gleicherlänge charakteristisch für den Würfel, was bedeutet, dass der Würfel in Fälle dieses Orthoschems unterteilt werden kann. Wenn seine drei senkrechten Kanten von Einheitenlänge sind, sind die verbleibenden Kanten zwei von Länge √2 und eine von Länge √3So sind alle Kanten Kanten oder Diagonale des Würfels. Der Würfel kann in sechs solcher 3-orthoscheme zerlegt werden Vier verschiedene Arten, mit allen sechs umgeht gleich √3 Würfeldiagonale. Der Würfel kann auch in 48 zerlegt werden kleiner Fälle derselben charakteristischen 3-orthokeme (nur in einer Richtung durch alle seine Symmetrieebenen gleichzeitig).^[b] Das charakteristische Tetraeder des Würfels ist ein Beispiel für a Heronische Tetraeder.

Jedes reguläre Polytop, einschließlich des regulären Tetraeders, hat seine charakteristische Orthoscheme.^[c] Es gibt ein 3-orthokeme charakteristisches Tetraeder des regulären Tetraeders. Das reguläre Tetraeder ist in 24 Fälle seines charakteristischen Tetraeder unterteilt durch seine Symmetrieebenen.

Wenn das Tetraeder die Kantenlänge 2 hat, haben die sechs Kanten des charakteristischen Tetraeders Längen ${\ displaystyle {\ sqrt {\ tfrac {1} {3}}}}$, ${\ displayStyle 1}$, ${\ displaystyle {\ sqrt {\ tfrac {4} {3}}}}$ (das äußere rechte Dreiecksgesicht, das charakteristisches Dreieck des Tetraeders) plus ${\ displaystyle {\ sqrt {\ tfrac {3} {2}}}}$, ${\ displaystyle {\ sqrt {\ tfrac {1} {2}}}}$, ${\ displaystyle {\ sqrt {\ tfrac {1} {6}}}}$ (Kanten, die die sind charakteristische Radien des Tetraeders).^[13] Der 3-Kanten-Weg entlang orthogonaler Ränder des Orthoschems ist ${\ displayStyle 1}$, ${\ displaystyle {\ sqrt {\ tfrac {1} {3}}}}$, ${\ displaystyle {\ sqrt {\ tfrac {1} {6}}}}$Zuerst von einem Tetraederscheitel bis zu einem Tetraeder -Kantenzentrum, dann 90 ° in ein Tetraeder -Gesichtszentrum und dann um 90 ° in das Tetraeder -Zentrum. Das Orthoschem hat vier unterschiedliche rechte Dreiecksgesichter. Das äußere Gesicht ist a 30-60-90 Dreieck Das ist ein Sechstel eines Tetraeder-Gesichts. Die drei Gesichter im Inneren des Tetraeders sind: ein rechtes Dreieck mit Kanten ${\ displayStyle 1}$, ${\ displaystyle {\ sqrt {\ tfrac {1} {2}}}}$, ${\ displaystyle {\ sqrt {\ tfrac {3} {2}}}}$, ein richtiges Dreieck mit Kanten ${\ displaystyle {\ sqrt {\ tfrac {1} {6}}}}$, ${\ displaystyle {\ sqrt {\ tfrac {1} {3}}}}$, ${\ displaystyle {\ sqrt {\ tfrac {1} {2}}}}$und ein richtiges Dreieck mit Kanten ${\ displaystyle {\ sqrt {\ tfrac {1} {6}}}}$, ${\ displaystyle {\ sqrt {\ tfrac {4} {3}}}}$, ${\ displaystyle {\ sqrt {\ tfrac {3} {2}}}}$.

Raumfüllende Tetraeder

A Raumfüllendes Tetraeder Packungen mit direkt kongruenten oder enantiomorph (Spiegelbild) Kopien von sich selbst in Fliesenraum.^[14] Der Würfel kann in sechs 3-orthoschemes zerlegt werden, drei linkshändige und drei rechtshändige (jeweils an jedem Würfelgesicht), und Würfel können den Raum füllen, so Tetraeder in diesem Sinne.^[d] Ein Disphenoid kann im direkt kongruenten Sinne ein raumfüllter Tetraeder sein, wie in der Tetraedrische Wabenschweißung. Regelmäßige Tetraeder kann jedoch nicht alleine den Raum füllen.^[e]

Grundlegende Bereiche

Ein unregelmäßiges Tetraeder, das das ist Grunddomäne^[15] von a Symmetriegruppe ist ein Beispiel für a Goursat Tetraeder. Die Goursat Tetraeder erzeugen alle regulären Polyeder (und viele andere gleichmäßige Polyeder) durch Spiegelreflexionen, ein Prozess als als bezeichnet als Wythoffs kaleidoskopischer Konstruktion.

Für Polyeder arrangiert Wythoffs Konstruktion drei Spiegel in den Winkeln zueinander, wie in a Kaleidoskop. Im Gegensatz zu einem zylindrischen Kaleidoskop befinden sich Wythoffs Spiegel in drei Gesichtern eines Goursat -Tetraeders, so dass sich alle drei Spiegel an einem einzigen Punkt kreuzen.^[f]

Unter den Goursat Tetraeder, die dreidimensionale Erzeugung erzeugen Waben Wir können ein Orthoschem (das charakteristische Tetraeder des Würfels), ein Doppelorthoschlem (das charakteristische Tetraeder des Würfels an seinem Spiegelbild) und das räumlich fillende Disphenoid erkennen, und das veranschaulicht Oben.^[10] Das Disphenoid ist das doppelte Orthoschem, das mit seinem Spiegelbild (ein Vierfach-Orthoscheme) ausgestattet ist. So können alle drei dieser Goursat -Tetraeder und alle Polyeder, die sie durch Reflexionen erzeugen, sein in charakteristische Tetraeder des Würfels zerlegt.

Isometrien unregelmäßiger Tetraeder

Die Isometrien eines unregelmäßigen (nicht markierten) Tetraeders hängen von der Geometrie des Tetraeders ab, wobei 7 Fälle möglich sind. Jeweils a 3-dimensionale Punktgruppe gebildet. Zwei weitere Isometrien (C.₃, [3]⁺) und (s₄, [2⁺, 4⁺]) kann existieren, wenn die Gesichts- oder Kantenmarkierung enthalten ist. Tetraedrische Diagramme sind für jeden Typ unten enthalten, wobei die Kanten durch isometrische Äquivalenz gefärbt sind und für einzigartige Kanten grau gefärbt sind.

Tetraeder Name				Rand Gleichwertigkeit Diagramm	Beschreibung
Symmetrie
Schön.	Cox.	Kugel.	Ord.
Regelmäßiges Tetraeder					Vier Gleichgewicht Dreiecke Es bildet die Symmetriegruppe Td, isomorph zum Symmetrische Gruppe, S4. Ein normaler Tetraeder hat Coxeter -Diagramm und Schläfli -Symbol {3,3}.
Td T	[3,3] [3,3]+	*332 332	24 12
Dreieckige Pyramide					Ein Gleichgewicht Dreiecksbasis und drei gleich Isosceles Dreieckseiten Es gibt 6 Isometrien, die den 6 Isometrien der Basis entsprechen. Als Permutationen der Eckpunkte sind diese 6 Isometrien die Identität 1, (123), (132), (12), (13) und (23), die die Symmetriegruppe bilden C3v, isomorph zum Symmetrische Gruppe, S3. Eine dreieckige Pyramide hat Schläfli -Symbol {3} ∨ ().
C3v C3	[3] [3]+	*33 33	6 3
Spiegelte Sphenoid					Zwei gleich Skalene Dreiecke mit einer gemeinsamen Basiskante Dies hat zwei Paare gleicher Kanten (1,3) (1,4) und (2,3), (2,4) und ansonsten keine Kanten gleich. Die einzigen beiden Isometrien sind 1 und die Reflexion (34), die der Gruppe geben Csauch isomorph zum zyklische Gruppe, Z2.
Cs =C1H =C1V	[]	*	2
Unregelmäßiger Tetraeder (Keine Symmetrie)					Vier ungleiche Dreiecke Seine einzige Isometrie ist die Identität, und die Symmetriegruppe ist die triviale Gruppe. Ein unregelmäßiges Tetraeder hat Schläfli symbol () ∨ () ∨ () ∨ ().
C1	[]+	1	1
Disphenoide (Vier gleiche Dreiecke)
Tetragonaler Diskussion					Vier gleich Isosceles Dreiecke Es hat 8 Isometrien. Wenn die Kanten (1,2) und (3,4) zu den anderen 4 unterschiedliche Länge haben, sind die 8 Isometrien die Identität 1, Reflexionen (12) und (34) und 180 ° Rotationen (12) (34). (13) (24), (14) (23) und unangemessen D2d. Ein tetragonales Disphenoid hat Coxeter -Diagramm und Schläfli Symbol S {2,4}.
D2d S4	[2+, 4] [2+, 4+]	2*2 2 ×	8 4
Rhombischer Disphenoid					Vier gleich Skalene Dreiecke Es hat 4 Isometrien. Die Isometrien sind 1 und die 180 ° -Drotationen (12) (34), (13) (24), (14) (23). Dies ist das Klein vier Gruppen V4 oder Z22, präsent als die Punktgruppe D2. Ein rhombisches Diskussion hat Coxeter -Diagramm und Schläfli Symbol SR {2,2}.
D2	[2,2]+	222	4
Verallgemeinerte Disphenoide (2 Paare gleicher Dreiecke)
Digonales Diskussion					Zwei Paare gleicher Isosceles Dreiecke Dies ergibt zwei gegenüberliegende Kanten (1,2) und (3,4), die senkrecht, aber unterschiedliche Längen sind, und dann sind die 4 Isometrien 1, Reflexionen (12) und (34) und die 180 ° -Drotation (12) (34) (34). . Die Symmetriegruppe ist C2V, isomorph zum Klein vier Gruppen V4. Ein digonales Disphenoid hat Schläfli -Symbol {} ∨ {}.
C2V C2	[2] [2]+	*22 22	4 2
Phyllischer Dissphenoid					Zwei Paare gleicher Skalene oder Isosceles Dreiecke Dies hat zwei Paare gleicher Kanten (1,3) (2,4) und (1,4), (2,3), aber ansonsten keine Kanten gleich. Die einzigen beiden Isometrien sind 1 und die Rotation (12) (34), was der Gruppe ergibt C2 isomorph zum zyklische Gruppe, Z2.
C2	[2]+	22	2

Allgemeine Eigenschaften

Volumen

Das Volumen eines Tetraeders wird durch die Pyramidenvolumenformel angegeben:

${\ displayStyle v = {\ frac {1} {3}} a_ {0} \, h \,}$

wo A₀ ist der Bereich der Base und h ist die Höhe von der Basis bis zur Spitze. Dies gilt für jede der vier Auswahlmöglichkeiten der Basis, sodass die Entfernungen von den Spitzen zu den entgegengesetzten Gesichtern umgekehrt proportional zu den Bereichen dieser Gesichter sind.

Für ein Tetraeder mit Eckpunktena = (a₁, a₂, a₃)Anwesendb = (b₁, b₂, b₃)Anwesendc = (c₁, c₂, c₃), undd = (d₁, d₂, d₃)das Volumen ist 1/6|det(a − d, b − d, c − d) |, oder eine andere Kombination von Eckpaaren, die einfach angeschlossen sind Graph. Dies kann mit a neu geschrieben werden Skalarprodukt und ein Kreuzprodukt, nachgeben

${\ displaystyle v = {\ frac {| (\ mathbf {a} -\ mathbf {d}) \ cdot ((\ mathbf {b} -\ mathbf {d}) \ times (\ mathbf {c} -\ mathbf {d})) |} {6}}.}$

Wenn der Ursprung des Koordinatensystems so ausgewählt wird, dass sie mit dem Scheitelpunkt übereinstimmen d, dann d = 0, Also

$oder$

wo a, b, und c drei Kanten darstellen, die sich an einem Scheitelpunkt treffen, und a · (b × c) ist ein Skalar -Triple -Produkt. Vergleich dieser Formel mit der zur Berechnung des Volumes von a parallelepipedWir schließen daraus, dass das Volumen eines Tetraeders gleich ist 1/6 des Volumens aller parallelepiped, die drei konvergierende Kanten damit teilt.

Der absolute Wert des Skalar -Triple -Produkts kann als folgende absolute Werte von Determinanten dargestellt werden:

$oder$ oder $oder$ wo $oder , B_ {3}), \\\ mathbf {c} = (c_ {1}, c_ {2}, c_ {3}), \ end {cases}}}$ werden als Zeilen- oder Spaltenvektoren ausgedrückt.

Somit

$oder oder Mathbf {c} & \ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {c} & \ mathbf {c^{2} \ end {vmatrix}}}}}}}}$ wo ${\ displayStyle {\ begin {cases} \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = ab \ cos {\ gamma}, \\\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {c} = bc \ cos {\ {\ \ {\ \ {\ \ \ {\ \ \ {\ \ \ {\ \ \ {\ \ \ {\ \ \ {\ \ \ {\ \ \ {\ \ \ {\ \ \ {\ \ \ {\ \ \ \ {\ \ \ \ \ {\ \ \ \ \ \ \ {\ \ \ cdot \ cdot \ \ \ \ \ \ \ displayStyle. Alpha}, \\\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c} = ac \ cos {\ beta}. \ end {cases}}}$

was gibt

${\ displayStyle v = {\ frac {abc} {6}} {\ sqrt {1+2 \ cos {\ alpha} \ cos {\ beta} \ cos {\ gamma}-\ cos ^{2 {\ \ alpha }-\ cos ^{2} {\ beta}-\ cos ^{2} {\ gamma}}}, \,}$

wo α, β, γ Sind die Ebenenwinkel im Scheitelpunkt auftreten d. Der Winkel α, ist der Winkel zwischen den beiden Kanten, die den Scheitelpunkt verbinden d zu den Eckpunkten b und c. Der Winkel β, tut dies für die Eckpunkte a und c, während γ, wird durch die Position der Eckpunkte definiert a und b.

Wenn wir das nicht benötigen d = 0 dann

${\ displayStyle 6 \ cdot v = \ links | \ det \ links ({\ begin {matrix} a_ {1} & b_ {1} & c_ {1} & d_ {1} \\ a_ {2} & b_ {2} & c_ {{{{{{{{{{{) 2} & d_ {2} \\ a_ {3} & b_ {3} & c_ {3} & d_ {3} \\ 1 & 1 & 1 & 1 \ end {Matrix}} \ rechts) \ rechts | \ ,.}$

Angesichts der Abstände zwischen den Scheitelpunkten eines Tetraeders kann das Volumen mit dem berechnet werden Cayley -Menger -Determinante:

${\ displaystyle 288 \ cdot v^{2} = {\ begin {vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & d_ {12}^{2} & d_ {13}^{2} & d_ {14 {2 {2} {2} {2 {12 {12 {12 {12 }^{2} & 0 & d_ {23}^{2} & d_ {24}^{2} \\ 1 & d_ {13}^{2} & d_ {23}^{2} & 0 & d_ {34}^{2 {2 \\ 1 & d_ {14}^{2} & d_ {24}^{2} & d_ {34}^{2} & 0 \ end {vmatrix}}}}$

wo die Indexs i, j ∈ {1, 2, 3, 4} die Eckpunkte darstellen {a, b, c, d} und d_ij ist der paarweise Abstand zwischen ihnen - d. H. Die Länge der Kante, die die beiden Scheitelpunkte verbindet. Ein negativer Wert der Determinante bedeutet, dass ein Tetraeder nicht mit den gegebenen Entfernungen konstruiert werden kann. Diese Formel, manchmal genannt Tartaglia -Formel, ist im Wesentlichen auf den Maler zurückzuführen Piero della Francesca Im 15. Jahrhundert als dreidimensionales Analogon des 1. Jahrhunderts Herons Formel Für den Bereich eines Dreiecks.^[16]

Bezeichnen a, b, c drei Kanten sein, die sich an einem Punkt treffen, und x, y, z die gegenüberliegenden Kanten. Lassen V das Volumen des Tetraeders sein; dann^[17]

$oder c^{2} z^{2}+xyz}} {12}}}$

wo

$oder \\ z & = a^{2}+b^{2} -z^{2}. \ End {ausgerichtet}}}$

Die obige Formel verwendet sechs Kantenlängen und die folgende Formel verwendet drei Kantenlängen und drei Winkel.

${\ displayStyle v = {\ frac {abc} {6}} {\ sqrt {1+2 \ cos {\ alpha} \ cos {\ beta} \ cos {\ gamma}-\ cos ^{2 {\ \ alpha }-\ cos ^{2} {\ Beta}-\ cos ^{2} {\ gamma}}}}}$

Heron-Formel für das Volumen eines Tetraeders

Wenn U, V, W, u, v, w sind Längen der Kanten des Tetraeders (erste drei bilden ein Dreieck; mit u Gegenteil U, v Gegenteil V, w Gegenteil W), dann^[18]

$oder +q+r-s)}} {192 \, u \, v \, w}}}$

wo

$oder Ende {ausgerichtet}}}$

$oder = (u-v+w) \, (v+w+u), & y & = (v-w+u) \, (w-u+v), \\ z & = (v-w+u) \,, (W+u+v)$

Volumenteiler

Jede Ebene mit einem Bimedier (Stecker der Mittelpunkt der entgegengesetzten Kanten) eines Tetraeders Halbierungen das Volumen des Tetraeders.^[19]

Nichteuklidischer Volumen

Für Tetraedra in hyperbolischer Raum oder in dreidimensionaler Elliptische Geometrie, das Diedralwinkel des Tetraeders bestimmen seine Form und damit sein Volumen. In diesen Fällen wird das Volumen von der gegeben Murakami -Yano -Formel.^[20] Im euklidischen Raum verändert die Skalierung eines Tetraeders sein Volumen, aber nicht seine diedrischen Winkel, sodass keine solche Formel existieren kann.

Abstand zwischen den Kanten

Zwei beliebige gegenüberliegende Kanten einer Tetraeder liegen auf zwei verzerrte Linienund der Abstand zwischen den Kanten wird als Abstand zwischen den beiden Schießerleitungen definiert. Lassen d Seien Sie der Abstand zwischen den Schießlinien, die durch entgegengesetzte Kanten gebildet werden a und b − c Wie berechnet hier. Dann wird eine weitere Volumenformel gegeben

$oder$

Eigenschaften analog zu denen eines Dreiecks

Das Tetraeder hat viele Eigenschaften, die zu denen eines Dreiecks analog sind, darunter eine Inssphere, eine Umgebung, mediale Tetraeder und Exsphene. Es gibt jeweils Zentren wie Anreiz, Umfang, Excenters, Spieker Center und Punkte wie ein Schwerpunkt. Es gibt jedoch im Allgemeinen kein Orthozentrum im Sinne der sich überschneidenden Höhen.^[21]

Gaspard Monge fand ein Zentrum, das in jedem Tetraeder existiert, das jetzt als das bekannt ist Monge Point: Der Punkt, an dem sich die sechs Midplanes eines Tetraeders überschneiden. Eine Mittelebene ist definiert als eine Ebene, die orthogonal zu einer Kante ist, die zwei beliebige Scheitelpunkte verbindet, die auch den Schwerpunkt einer gegenüberliegenden Kante enthält, die durch Verbinden der beiden anderen Scheitelpunkte gebildet wird. Wenn sich die Höhen des Tetraeders überschneiden, überschneiden sich der Monge -Punkt und der Orthozentrum, der Klasse von zu geben Orthozentrischer Tetraeder.

Eine orthogonale Linie fiel vom Monge Point zu jedem Gesicht trifft, das im Mittelpunkt des Liniensegments zwischen dem Orthocenter dieses Gesichts und dem Fuß der Höhe vom gegenüberliegenden Scheitelpunkt gefallen ist.

Ein Liniensegment, der einen Scheitelpunkt eines Tetraeders mit dem verbindet Schwerpunkt des entgegengesetzten Gesichts heißt a Median und ein Liniensegment, das die Mittelpunkte von zwei gegenüberliegenden Kanten verbindet, heißt a Bimedier des Tetraeders. Daher gibt es vier Mediane und drei Bimedier in einem Tetraeder. Diese sieben Liniensegmente sind alle gleichzeitig an einem Punkt namens das Schwerpunkt des Tetraeders.^[22] Zusätzlich sind die vier Mediane in einem Verhältnis von 3: 1 durch den Schwerpunkt unterteilt (siehe Commandino's Theorem). Der Schwerpunkt eines Tetraeders ist der Mittelpunkt zwischen seinem Monge -Punkt und seinem Umfang. Diese Punkte definieren die Euler -Linie des Tetraeders, das analog zu dem ist Euler -Linie eines Dreiecks.

Das Neun-Punkte-Kreis des allgemeinen Dreiecks hat ein Analogon in der Umfang des medialen Tetraeders eines Tetraeders. Es ist der Zwölfpunkt Kugel und neben den Zentroiden der vier Gesichter des Referenz -Tetraeders durchläuft es vier Ersatz Euler PunkteEin Drittel des Weges vom Monge zeigen auf jeden der vier Eckpunkte. Schließlich geht es durch die vier Basispunkte der orthogonalen Linien, die von jedem Euler -Punkt zum Gesicht fallen, der den Scheitelpunkt nicht enthält, der den Euler -Punkt erzeugt.^[23]

Das Zentrum T der zwölf Punkte sphäre liegt auch auf der Euler-Linie. Im Gegensatz zu seinem dreieckigen Gegenstück befindet sich dieses Zentrum ein Drittel des Weges vom Monge Point M in Richtung des Umfangs. Auch eine orthogonale Linie durch T Zu einem ausgewählten Gesicht ist Coplanar mit zwei anderen orthogonalen Linien auf demselben Gesicht. Das erste ist eine orthogonale Linie, die durch den entsprechenden Eulerpunkt zum gewählten Gesicht verläuft. Die zweite ist eine orthogonale Linie, die durch den Schwerpunkt des gewählten Gesichts führt. Diese orthogonale Linie durch das zwölf-Punkte-Zentrum liegt auf halbem Weg zwischen der orthogonalen Linie der Euler Point und der orthogonalen Zentrum. Darüber hinaus liegt das zwölf-Punkte-Zentrum für jedes Gesicht im Mittelpunkt des entsprechenden Euler-Punktes und des Orthocenter für dieses Gesicht.

Der Radius der Zwölfpunktkugel ist ein Drittel des Zirkumradius des Referenz-Tetraeders.

Es gibt eine Beziehung zwischen den Winkeln, die durch die Gesichter eines allgemeinen Tetraeders gemacht werden, das durch gegeben wurde^[24]

${\displaystyle {\begin{vmatrix}-1&\cos {(\alpha _{12})}&\cos {(\alpha _{13})}&\cos {(\alpha _{14})}\ \\ cos {(\ alpha _ {12})} &-1 & \ cos {(\ alpha _ {23})} & \ cos {(\ alpha _ {24})} \\ cos {(\ alpha _ {13})} & \ cos {(\ alpha _ {23})} &-1 & \ cos {(\ alpha _ {34})} \\\ cos {(\ alpha _ {14})} & \ cos {(\ alpha _ {24})} & \ cos {(\ alpha _ {34})} &-1 \\\ end {vmatrix}} = 0 \,}$

wo α_ij ist der Winkel zwischen den Gesichtern i und j.

Das Geometrischer Median Von den Scheitelpunktpositionskoordinaten eines Tetraeders und seines isogonischen Zentrums sind unter Umständen verbunden, die zu denen analog zu den für ein Dreieck beobachteten sind. Lorenz Lindelöf stellte fest, dass es ein Punkt ist, der einem bestimmten Tetraeder ein Punkt ist, der jetzt als isogonisches Zentrum bekannt ist. O, bei dem die durch die Gesichter unterbedeckten festen Winkel gleich sind, mit einem gemeinsamen Wert von π sr und bei dem die Winkel, die von entgegengesetzten Kanten unterbezogen werden, gleich sind.^[25] Ein fester Winkel von π sr ist ein Viertel des gesamten Raums. Wenn alle festen Winkel an den Eckpunkten eines Tetraeders kleiner als π sr sind, sind O liegt im Tetraeder und weil die Summe der Entfernungen von O zu den Eckpunkten ist ein Minimum, O fällt mit dem zusammen Geometrischer Median, M, der Eckpunkte. Für den Fall, dass der feste Winkel an einem der Eckpunkte, vmisst dann genau π sr, dann O und M koinzidieren v. Wenn jedoch ein Tetraeder einen Scheitelpunkt hat, vmit fester Winkel größer als π sr, M entspricht immer noch v, aber O liegt außerhalb des Tetraeders.

Geometrische Beziehungen

Ein Tetraeder ist ein 3-Simplex. Im Gegensatz zu den anderen platonischen Feststoffen sind alle Scheitelpunkte eines regulären Tetraeders gleichbleibig voneinander (sie sind die einzige mögliche Anordnung von vier äquidistanten Punkten im 3-dimensionalen Raum).

Ein Tetraeder ist ein Dreieck Pyramideund das reguläre Tetraeder ist Selbstdoppelte.

Ein normaler Tetraeder kann in a eingebettet werden Würfel In zwei Arten, so dass jeder Scheitelpunkt ein Scheitelpunkt des Würfels ist und jede Kante eine Diagonale eines der Würfelgesichter ist. Für eine solche Einbettung die Kartesischen Koordinaten des Eckpunkte sind

(+1, +1, +1);

(–1, –1, +1);

(–1, +1, −1);

(+1, –1, −1).

Dies ergibt ein Tetraeder mit Kantenlänge 2√2, zentriert auf den Ursprung. Für das andere Tetraeder (was ist Dual zum ersten) umkehren alle Zeichen. Diese beiden Tetraeder-Eckpunkte zusammen sind die Eckpunkte eines Würfels, die zeigen, dass das reguläre Tetraeder das 3- ist.Demicube.

Das Volumen dieses Tetraeders beträgt ein Drittel das Volumen des Würfels. Die Kombination beider Tetraeder gibt einen regulären Polyedrische Verbindung genannt Verbindung von zwei Tetraeder oder Stella Octangula.

Das Innere der Stella Octangula ist eine Oktaederund entsprechend ist ein reguläres Oktaeder das Ergebnis des Abschneidens von einem regulären Tetraeder, vier reguläre Tetraeder mit der Hälfte der linearen Größe (d. H.,, korrigieren das Tetraeder).

Die oben genannte Einbettung unterteilt den Würfel in fünf Tetraeder, von denen eines regelmäßig ist. Tatsächlich ist fünf die Mindestanzahl von Tetraeder, die zum Zusammensetzen eines Würfels erforderlich sind. Um dies zu sehen, fügt jeder Tetraeder hinzu, der von einem Tetraeder mit Basistetraeder mit 4 Scheitelpunkten hinzugefügt wird, und fügt höchstens 1 neue Scheitelpunkte hinzu, sodass mindestens 4 weitere hinzugefügt werden müssen, um einen Würfel zu erstellen, der 8 Scheitelpunkte hat.

Tetraeder in der regulären Tetraeder einschreiben Verbundung von fünf Würfeln gibt zwei reguläre Verbindungen mit fünf und zehn Tetraeder.

Regelmäßige Tetraeder kann nicht Tessellate Raum obwohl dieses Ergebnis wahrscheinlich genug ist, dass dies wahrscheinlich genug ist Aristoteles behauptete, es sei möglich. Zwei reguläre Tetraeder können jedoch mit einem Oktaeder kombiniert werden, der a gibt Rhomboedron das kann Raum als das fliesen Tetraedrisch-oktaedrische Wabe.

Es sind jedoch mehrere unregelmäßige Tetraeder bekannt, von denen Kopien den Raum fliesen können, zum Beispiel die charakteristische Orthoschem des Würfels und die Diskussion des Tetraedrische Wabenschweißung. Die vollständige Liste bleibt ein offenes Problem.^[26]

Wenn man die Anforderung entspannt, dass die Tetraeder die gleiche Form hat, kann man den Raum nur auf viele verschiedene Arten fliesen. Zum Beispiel kann man ein Oktaeder in vier identische Tetraeder teilen und sie wieder mit zwei regulären kombinieren. (Als Seitennote: Diese beiden Arten von Tetraeder haben das gleiche Volumen.)

Das Tetraeder ist einzigartig unter den Uniformes Polyeder im Besitz keiner parallelen Gesichter.

Ein Gesetz der Sinus für Tetraeder und den Raum aller Formen der Tetraeder

Eine Folge der üblichen Gesetz der Sinus ist das in einem Tetraeder mit Eckpunkten O, A, B, C, wir haben

$oder$

Man kann die beiden Seiten dieser Identität als entsprechende Orientierungen der Oberfläche im Uhrzeigersinn und gegen den Uhrzeigersinn betrachten.

Einen der vier Eckpunkte in die Rolle von stecken O Ergibt vier solcher Identitäten, aber höchstens drei von ihnen sind unabhängig: Wenn die "im Uhrzeigersinn" von drei von ihnen multipliziert werden und das Produkt als gleich dem Produkt der "gegen den Uhrzeigersinn" derselben drei Identitäten entspricht und gleich Dann werden gemeinsame Faktoren von beiden Seiten aufgehoben, das Ergebnis ist die vierte Identität.

Drei Winkel sind die Winkel eines Dreiecks, wenn ihre Summe 180 ° (π -Radian) beträgt. Welche Bedingung in 12 Winkeln ist notwendig und ausreichend, damit sie die 12 Winkel eines Tetraeders sind? Offensichtlich muss die Summe der Winkel einer Seite des Tetraeders 180 ° betragen. Da es vier solcher Dreiecke gibt, gibt es vier solcher Einschränkungen für Summen von Winkeln und die Anzahl der Anzahl von Freiheitsgrade wird dadurch von 12 auf 8 reduziert. Die vier durch dieses Sinusgesetz angegebenen Beziehungen verringern die Anzahl der Freiheitsgrade von 8 auf nicht 4, sondern 5, da die vierte Einschränkung nicht unabhängig von den ersten drei ist. Somit ist der Raum aller Formen der Tetraeder 5-dimensional.^[27]

Gesetz des Cosinus für Tetraeder

Lassen {P₁ ,P₂, P₃, P₄} Seien Sie die Punkte eines Tetraeders. Sei δ_i Sei der Bereich des Gesichts gegenüber dem Vertex P_i und lass θ_ij Sei der Dieder -Winkel zwischen den beiden Gesichtern des Tetraeder neben der Kante P_iP_j.

Das Gesetz des Cosinus Für dieses Tetraeder,^[28] Dies bezieht die Bereiche der Gesichter des Tetraeders zu den diedrischen Winkeln um einen Scheitelpunkt, wird durch die folgende Beziehung angegeben:

$oder Delta _ {j} \ delta _ {k} \ cos \ theta _ {il}+\ delta _ {j} \ delta _ {l} \ cos \ theta _ {ik}+\ delta _ {k} \ delta _ {l} \ cos \ theta _ {ij})}$

Innenausstattung

Lassen P Seien Sie jeder Innenraum eines Tetraeders des Volumens V für die die Eckpunkte sind A, B, C, und Dund für die die Bereiche der entgegengesetzten Gesichter sind F_a, F_b, F_c, und F_d. Dann^{[29]: S.62,#1609}

${\ displayStyle pa \ cdot f _ {\ mathrm {a}}+pb \ cdot f _ {\ mathrm {b}}+pc \ cdot f _ {\ mathrm {c}}+pd \ cdot f {{\ mathrm {d {d}}} \ Geq 9V.}$

Für Scheitelpunkte A, B, C, und D, Innenausstattung Pund Füße J, K, L, und M der Senkrechte von P zu den Gesichtern und vermuten, dass die Gesichter gleiche Bereiche haben^{[29]: S.226,#215}

${\ displayStyle pa+pb+pc+pd \ geq 3 (pj+pk+pl+pm).}$

Inradius

Bezeichnung des Inradius eines Tetraeders als r und die inradii seiner dreieckigen Gesichter als r_i zum i = 1, 2, 3, 4, wir haben^{[29]: S.81,#1990}

${\ displaystyle {\ frac {1} {r_ {1}^{2}}}+{\ frac {1} {r_ {2}^{2}} {{\ frac {1 {r_ {3}}} {{r_ {3} ^{2}}}+oder$

mit Gleichheit, wenn und nur wenn das Tetraeder regelmäßig ist.

Wenn A₁, A₂, A₃ und A₄ bezeichnen die Fläche jedes Gesichters, den Wert von r wird gegeben von

${\ displayStyle r = {\ frac {3v} {a_ {1}+a_ {2}+a_ {3}+a_ {4}}}}$.

Diese Formel wird durch die Teile des Tetraeders in vier Tetraeder erhalten, deren Punkte die drei Punkte eines der ursprünglichen Gesichter und des Anreizes sind. Seit der vier Subtradra die Band füllen, haben wir ${\ displayStyle v = {\ frac {1} {3}} a_ {1} r+{\ frac {1} {3}} a_ {2} r+{\ frac {1} {3}} a_ {3} r+{{\ frac {1 {3}} a_ {3} r+ {\ frac {1} {3}} a_ {4} r}$.

Circumradius

Bezeichnen den Zirkumradius eines Tetraeders als R. Lassen a, b, c Seien Sie die Längen der drei Kanten, die sich an einem Scheitelpunkt treffen, und A, B, C Die Länge der gegenüberliegenden Kanten. Lassen V Sei das Volumen des Tetraeders. Dann^[30][31]

$oder$

Umfang

Das Umfang eines Tetraeders kann als Schnittpunkt von drei Halbierendeebenen gefunden werden. Eine Bisektorebene ist definiert als die Ebene, auf die zentriert ist, und orthogonal bis zu einem Rand des Tetraeders. Mit dieser Definition das Umfangscenter C eines Tetraeders mit Eckpunkten x₀,x₁,x₂,x₃ kann als Matrixvektorprodukt formuliert werden:^[32]

$oder \ rechts]^{t} \\\ links [x_ {2} -x_ {0} \ rechts]^{t} \\\ links [x_ {3} -x_ {0} \ rechts]^{t} \ End {Matrix}} \ rechts) & \ & {\ text {und}} & \ & b = {\ frac {1} {2} \ links ({\ begin {matrix} \ | x_ {1} \ |^ Oder } \ |^{2}-\ | x_ {0} \ |^{2} \ end {matrix}} \ rechts) \\\ end {ausgerichtet}}}$

Im Gegensatz zum Schwerpunkt kann das Umfang nicht immer auf der Innenseite eines Tetraeders liegen. Analog zu einem stumpfen Dreieck befindet sich das Umfang außerhalb des Objekts für ein stumpfes Tetraeder.

Schwerpunkt

Das Massenzentrum des Tetraeders berechnet als die arithmetisches Mittel seiner vier Eckpunkte siehe Schwerpunkt.

Gesichter

Die Summe der Bereiche von drei Gesichtern ist größer als die Fläche des vierten Gesichts.^{[29]: S.225,#159}

Ganzzahl Tetraheder

Es gibt Tetraeder mit ganzzahligen Kantenlängen, Gesichtsbereichen und Volumen. Diese nennt man Heronische Tetraheder. Ein Beispiel hat eine Kante von 896, die gegenüberliegende Kante von 990 und die anderen vier Kanten von 1073; Zwei Gesichter sind Isosceles Dreiecke mit Bereichen von 436800 und die anderen beiden sind isoskeln mit Bereichen von 47120, während das Volumen ist 124185600.^[33]

Ein Tetraeder kann ein ganzzahliges Volumen und aufeinanderfolgende ganze Zahlen als Kanten haben. Ein Beispiel ist das mit den Kanten 6, 7, 8, 9, 10 und 11 und Band 48.^[34]

Verwandte Polyeder und Verbindungen

Ein normaler Tetraeder kann als Dreieck gesehen werden Pyramide.

Regelmäßige Pyramiden
Digonal	Dreieckig	Quadrat	Pentagonal	Sechseckig	Heptagonal	Achteckig	Enneagonal	Decagagagagonal ...
Unangemessen	Regulär	Gleichgewicht		Isosceles

Ein reguläres Tetraeder kann als degeneriertes Polyeder angesehen werden, ein Uniform Digonal Antiprismus, wo Basispolygone reduziert werden Digonen.

Familie von Uniform n-Gonal Antiprismen

Antiprismusname	Digonaler Antiprismus	(Trigonal) Dreieckiger Antiprismus	(Tetragonal) Quadratischer Antiprismus	Pentagonal Antiprismus	Hexagonaler Antiprismus	Heptagonal Antiprismus	Achteckiger Antiprismus	Enneagonal antiprism	Dezagagagagonaler Antiprismus	Hendecagonal Antiprismus	Dodecagonal Antiprismus	...	Apeirogonaler Antiprismus
Polyederbild												...
Kugelfliesenbild												Flugzeugfliesenbild
Scheitelpunktkonfiguration.	2.3.3.3	3.3.3.3	4.3.3.3	5.3.3.3	6.3.3.3	7.3.3.3	8.3.3.3	9.3.3.3	10.3.3.3	11.3.3.3	12.3.3.3	...	∞.3.3.3

Ein reguläres Tetraeder kann als degeneriertes Polyeder, ein einheitliches Dual gesehen werden Digonal Trapezader, enthält 6 Scheitelpunkte in zwei Sätzen kolineare Kanten.

Familie von n-Gonales Trapezader

Trapezader Name	Digonales Trapezedron (Tetraeder))	Trigonales Trapezedron	Tetragonales Trapezedron	Pentagonales Trapezedron	Hexagonales Trapezedron	Heptagonales Trapezedron	Oktagonales Trapezedron	Decagonal Trapezohedron	Dodecagonal Trapezohedron	...	Apeirogonales Trapezedron
Polyeder Bild										...
Sphärische Fliesen Bild										Flugzeugfliesen Bild
Gesichtskonfiguration	V2.3.3.3	V3.3.3.3	V4.3.3.3	V5.3.3.3	V6.3.3.3	V7.3.3.3	V8.3.3.3	V10.3.3.3	V12.3.3.3	...	V∞.3.3.3

Ein auf das Tetraeder angewendetes Kürzungsprozess erzeugt eine Reihe von Uniformes Polyeder. Das Abschneiden von Kanten bis zu Punkten erzeugt die Oktaeder als korrigiertes Tetraeder. Der Vorgang wird als Birektifizierung abgeschlossen, die die ursprünglichen Gesichter auf Punkte reduziert und das selbstdoppelte Tetraeder erzeugt.

Familie der einheitlichen tetraedrischen Polyeder
Symmetrie: [3,3], (*332)							[3,3]+(332)
{3,3}	T {3,3}	r {3,3}	T {3,3}	{3,3}	rr {3,3}	Tr {3,3}	sr {3,3}
Duals zu gleichmäßiger Polyeder
V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

Dieses Polyeder ist topologisch als Teil der Sequenz von regulärem Polyeder mit verwandt Schläfli -Symbole {3,n}, weiter in die Hyperbolische Ebene.

*n32 Symmetriemutation von regulären Köhren: {3,n}
Sphärisch				Euklid.	Kompaktes Hyper.		Paraco.	Nicht kompakt hyperbolisch
3.3	33	34	35	36	37	38	3∞	312i	39i	36i	33i

Das Tetraeder ist topologisch mit einer Reihe von regulären Polyeder und Zeilen mit Order-3 verwandt vertex figures.

*n32 Symmetrie -Mutation von regulären Köhren: {n,3}
Sphärisch				Euklidisch	Kompakte Hyperbe.		Paraco.	Nicht kompakt hyperbolisch
{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞, 3}	{12i, 3}	{9i, 3}	{6i, 3}	{3i, 3}

• Verbindungen von Tetraheder
• 

  Zwei Tetraeder in einem Würfel

• 

  Fünf -Tetraeder -Verbindung

• 

  Zehn Tetraeder Verbindung

Ein interessantes Polyeder kann aus konstruiert werden Fünf sich kreuzt Tetraeder. Dies Verbindung Von fünf Tetraeder ist seit Hunderten von Jahren bekannt. Es taucht regelmäßig in der Welt von auf Origami. Der Beitritt zu den zwanzig Scheitelpunkten würde eine normale Bildung bilden Dodecaeder. Es gibt beides linkshändig und Rechtshändig Formen, die sind Spiegelbilder von einander. Überlagerung beider Formen ergibt a Zehn Tetraeder Verbindung, in denen die zehn Tetraeder als fünf Paare von angeordnet sind Stellae Octangulae. Eine Stella Octangula ist eine Verbindung von zwei Tetraeder in zwei Position und ihre acht Eckpunkte definieren einen Würfel als ihren konvexen Rumpf.

Das Square Hosohedron ist ein weiteres Polyeder mit vier Gesichtern, aber es hat keine dreieckigen Gesichter.

Das Szilassi Polyeder und das Tetraeder sind die einzigen zwei bekannten Polyeder, in denen jedes Gesicht eine Kante miteinander hat. Außerdem die Császár Polyeder (selbst ist das Dual von Szilassi Polyeders) und das Tetraeder sind die einzigen zwei bekannten Polyeder, in denen jede diagonale an den Seiten liegt.

Anwendungen

Numerische Analyse

Im numerische Analyse, komplizierte dreidimensionale Formen werden üblicherweise in oder in oder angenähert durch eine Polygonales Netz unregelmäßig Tetraeder Bei der Einrichtung der Gleichungen für Finite -Elemente -Analyse vor allem in der Numerische Lösung von partielle Differentialgleichungen. Diese Methoden haben große Anwendungen in praktischen Anwendungen in Computerflüssigkeitsdynamik, Aerodynamik, elektromagnetische Felder, Tiefbau, Chemieingenieurwesen, Marinearchitektur und -technikund verwandte Felder.

Baustatik

Ein Tetraeder mit steifen Kanten ist von Natur aus starr. Aus diesem Grund wird es oft verwendet, um Rahmenstrukturen wie z. Spaceframes.

Luftfahrt

Bei einigen Flugplätze, ein großer Rahmen in Form eines Tetraeders mit zwei mit einem dünnen Material bedeckten Seiten ist auf einem rotierenden Drehpunkt montiert und zeigt immer in den Wind. Es ist groß genug gebaut, um aus der Luft gesehen zu werden, und wird manchmal beleuchtet. Sein Zweck ist es, als Verweis auf Piloten zu dienen, die die Windrichtung anzeigen.^[35]

Chemie

Die Tetraederform ist in der Natur in der Natur zu sehen kovalent gebunden Moleküle. Alle sp³-Hybridisiert Atome sind von Atomen umgeben (oder Einzelelektronenpaare) an den vier Ecken eines Tetraeders. Zum Beispiel in a Methan Molekül (CH
₄) oder an Ammonium Ion (NH⁺
₄), vier Wasserstoffatome umgeben ein zentrales Kohlenstoff- oder Stickstoffatom mit tetraedrischer Symmetrie. Aus diesem Grund wird eine der führenden Zeitschriften in der organischen Chemie genannt Tetraeder. Das Zentralwinkel zwischen zwei beliebigen Eckpunkten eines perfekten Tetraeder ist Arccos ( - -1/3) oder ungefähr 109,47 °.^[5]

Wasser, H
₂Ohat auch eine tetraedrische Struktur mit zwei Wasserstoffatomen und zwei einzelnen Elektronenpaaren um die zentralen Sauerstoffatome. Seine tetraedrische Symmetrie ist jedoch nicht perfekt, da die einzelnen Paare mehr als die einzelnen O -H -Bindungen abgewiesen werden.

Quartär Phasendiagramme von Gemischen chemischer Substanzen werden grafisch als Tetraeder dargestellt.

Jedoch quaternäre Phasendiagramme in Nachrichtentechnik werden grafisch auf einer zweidimensionalen Ebene dargestellt.

Strom und Elektronik

Wenn sechs gleich Widerstände sind gelötet Um ein Tetraeder zu bilden, ist der zwischen zwei beliebige Scheitelpunkte gemessene Widerstand halb der eines Widerstands.^[36][37]

Seit Silizium ist der häufigste Halbleiter benutzt in Festkörperelektronikund Silizium hat a Wertigkeit Von vier hat die tetraedrische Form der vier chemischen Bindungen in Silizium einen starken Einfluss darauf, wie Kristalle von Siliziumform und welche Formen sie annehmen.

Farbraum

Tetraeder werden in Farbraumumwandlungsalgorithmen spezifisch für Fälle verwendet, in denen die Luminanzachse diagonal den Farbraum (z. B. RGB, CMY) abweist.^[38]

Spiele

Das Königliches Spiel von UrAus 2600 v. Chr. wurde mit einem Satz tetraedrischer Würfel gespielt.

Besonders in Rollenspiel, dieser Feststoff ist als a bekannt 4-seitiger Würfel, einer der häufigsten Polyedrische Würfel, wobei die Nummer gerollt ist und am oberen Scheitelpunkt am Boden oder am oberen Scheitelpunkt angezeigt wird. Etwas Zauberwürfel-ähnliche Rätsel sind tetraedrisch, wie die Pyraminx und Pyramorphix.

Geologie

Das Tetraedrische Hypothese, ursprünglich veröffentlicht von William Lowthian Green die Bildung der Erde erklären,^[39] war im frühen 20. Jahrhundert beliebt.^[40][41]

Waffen

Etwas Calrops basieren auf Tetraeder, da ein Spike nach oben zeigt, unabhängig davon, wie sie landen, und kann leicht durch Schweißen von zwei gebogenen Nägeln zusammengestellt werden.

Zeitgenössische Kunst

Der österreichische Künstler Martina Schettina erstellte ein Tetraeder mit Verwendung Fluoreszenzlampen. Es wurde auf der Light Art Biennale Österreich 2010 gezeigt.^[42]

Es wird als Albumkunstwerk verwendet, umgeben von schwarzen Flammen auf Das Ende aller Dinge kommen durch Mudvayne.

Popkultur

Stanley Kubrick ursprünglich beabsichtigt Monolith in 2001: Ein Weltraum -Odyssey ein Tetraeder sein, laut Marvin Minsky, ein kognitiver Wissenschaftler und Experte für künstliche Intelligenz wer beriet Kubrick auf der Hal 9000 Computer und andere Aspekte des Films. Kubrick verschrottete die Idee, das Tetraeder als einen Besucher zu benutzen, der sah, dass Filmmaterial nicht erkannte, was es war, und er wollte nichts im Film, dass reguläre Leute nicht verstanden hatten.^[43]

Tetraedrische Grafik

Tetraedrische Grafik
Eckpunkte	4
Kanten	6
Radius	1
Durchmesser	1
Umfang	3
Automorphismen	24
Chromatische Zahl	4
Eigenschaften	Hamiltonian, regulär, symmetrisch, Entfernung, Entfernungstransitiv, 3-Vertex-verbunden, Planare Graph
Tabelle mit Grafiken und Parametern

Das Skelett des Tetraeders (bestehend aus den Eckpunkten und Kanten) bildet a Graph, mit 4 Scheitelpunkten und 6 Kanten. Es ist ein Sonderfall der Komplette Graph, K₄, und Raddiagramm, W₄.^[44] Es ist einer von 5 Platonische Grafiken, jeweils ein Skelett von seinem Platonischer Feststoff.

3-fache Symmetrie

Siehe auch

• Boerdijk -Coxeter -Helix
• Möbius -Konfiguration
• Caltrop
• Demihypercube und Simplex – n-Dimensionale Analoga
• Pentachoron -4-dimensionales Analogon
• Synergetics (Fuller)
• Tetraedrisch -Drachen
• Tetraedrische Zahl
• Tetraederpackung
• Dreieckige Dipyramide - Bau
• Trirektangular Tetraeder
• Orthoschem

Anmerkungen

Verweise

Literaturverzeichnis

• Kepler, Johannes (1619). Harmonices Mundi (die Harmonie der Welt). Johann Planck.
• Coxeter, H.S.M. (1973). Regelmäßige Polytope (3. Aufl.). New York: Dover.

Externe Links

• Weisstein, Eric W. "Tetraeder". Mathord.
• Kostenlose Papiermodelle eines Tetraeders und vieler anderer Polyeder
• Ein erstaunlicher Raumfüllung, nicht regulärer Tetraeder Das enthält auch eine Beschreibung eines "rotierenden Rings von Tetraeder", auch als als bekannt Kaleidocycle.

Grundlegend konvex regulär und einheitliche Polytope in Abmessungen 2–10
Familie	An	Bn	I2(p) / Dn	E6 / E7 / E8 / F4 / G2	Hn
Regelmäßiges Vieleck	Dreieck	Quadrat	P-Gon	Hexagon	Pentagon
Uniformes Polyeder	Tetraeder	Oktaeder • Würfel	Demicube		Dodecaeder • ICOSASADRON
Uniformes Polychoron	Pentachoron	16-Zelle • Tesseract	Demitesseract	24-Zell	120-Zelle • 600-Zelle
Einheitlicher 5-Polytope	5-Simplex	5-Aorthoplex • 5-Kube	5-Demyube
Einheitlicher 6-Polytope	6-Simplex	6-Aorthoplex • 6-Kube	6-Demyube	122 • 221
Uniform 7-Polytope	7-Simplex	7-Aorthoplex • 7-Kube	7-Demyube	132 • 231 • 321
Einheitlicher 8-Polytope	8-Simplex	8-Aorthoplex • 8-Kube	8-Demyube	142 • 241 • 421
Uniform 9-Polytope	9-Simplex	9-Aorthoplex • 9-Kube	9-Demyube
Uniform 10-polytope	10-Simplex	10-Aorthoplex • 10-cube	10-Demyube
Uniform n-Polytope	n-Simplex	n-Orthoplex • n-Würfel	n-Demicube	1K2 • 2K1 • k21	n-Pentagonal Polytope
Themen: Polytopenfamilien • Regelmäßiges Polytop • Liste der regulären Polytope und Verbindungen