Tensor

Die zweite Ordnung Cauchy Stress Tensor (${\ displaystyle \ mathbf {t}}$) beschreibt die Stresskräfte, die ein Material an einem bestimmten Punkt erlebt haben. Das Produkt ${\ displaystyle \ mathbf {t} \ cdot \ mathbf {v}}$ des Spannungstensors und eines Einheitsvektors ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$und in eine bestimmte Richtung zeigen, ist ein Vektor, der die Spannungskräfte beschreibt, die ein Material an dem von dem Spannungstensor beschriebenen Punkt entlang einer Ebene senkrecht zu Ebene zu ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$. Dieses Bild zeigt die Spannungsvektoren in drei senkrechten Richtungen, die jeweils durch ein Gesicht des Würfels dargestellt werden. Da der Spannungs-Tensor eine Kartierung beschreibt, die einen Vektor als Eingang nimmt und einen Vektor als Ausgang ergibt, handelt es sich um einen Tensor zweiter Ordnung.

Im Mathematik, a Tensor ist ein algebraisches Objekt das beschreibt a multilinear Beziehung zwischen Mengen algebraischer Objekte im Zusammenhang mit a Vektorraum. Objekte, die Tensoren zwischen inklusive zuordnen können Vektoren und Skalareund sogar andere Tensoren. Es gibt viele Arten von Tensoren, einschließlich Skalare und Vektoren (die die einfachsten Tensoren sind), Doppelvektoren, multilinear Karten zwischen Vektorräumen und sogar einigen Operationen wie dem Skalarprodukt. Tensoren sind definiert unabhängig von jedem Basisobwohl sie häufig von ihren Komponenten in einer Grundlage im Zusammenhang mit einem bestimmten Koordinatensystem bezeichnet werden.

Tensoren sind wichtig geworden in Physik Weil sie einen prägnanten mathematischen Rahmen für die Formulierung und Lösung von Physikproblemen in Bereichen wie zum Beispiel bieten Mechanik (betonen, Elastizität, Strömungsmechanik, Trägheitsmoment, ...), Elektrodynamik (elektromagnetischer Tensor, Maxwell Tensor, Permittivität, magnetische Suszeptibilität, ...), generelle Relativität (Stress -Energie -Tensor, Krümmungstensor, ...) und andere. In Anwendungen ist es üblich, Situationen zu untersuchen, in denen ein anderer Tensor an jedem Punkt eines Objekts auftreten kann. Zum Beispiel kann die Spannung innerhalb eines Objekts von einem Ort zum anderen variieren. Dies führt zum Konzept von a Tensorfeld. In einigen Bereichen sind Tensorfelder so allgegenwärtig, dass sie oft einfach als "Tensoren" bezeichnet werden.

Tullio Levi-Civita und Gregorio Ricci-Curbastro Popularisierte Tensoren im Jahr 1900 - Fortsetzung der früheren Arbeiten von Bernhard Riemann und Elwin Bruno Christoffel und andere - als Teil der Absolute Differentialrechnung. Das Konzept ermöglichte eine alternative Formulierung des Intrinsischen Differentialgeometrie von a vielfältig in Form der Riemann -Krümmungstensor.^[1]

Definition

Obwohl es scheinbar unterschiedlich ist, beschreiben die verschiedenen Ansätze zur Definition von Tensoren das gleiche geometrische Konzept mithilfe unterschiedlicher Sprache und auf verschiedenen Abstraktionsebenen.

Als mehrdimensionale Arrays

Ein Tensor kann als Array dargestellt werden (potenziell mehrdimensional). Genau wie a Vektor in einem (n n-dimensional Der Raum wird durch ein eindimensionales Array mit dargestellt n Komponenten in Bezug auf eine gegebene BasisJeder Tensor in Bezug auf eine Grundlage wird durch ein mehrdimensionales Array dargestellt. Zum Beispiel a linearer Bediener wird in einer Basis als zweidimensionales Quadrat dargestellt n × n Array. Die Zahlen im mehrdimensionalen Array sind als die bekannt Skalare Komponenten des Tensors oder einfach seiner sein Komponenten. Sie werden durch Indizes bezeichnet, die ihre Position im Array geben, wie Indexs und Superschriften, folgt dem symbolischen Namen des Tensors. Zum Beispiel die Komponenten einer Bestellung 2 Tensor T könnte bezeichnet werden T_ij, wo i und j sind Indizes von laufen von 1 zu noder auch von T ⁱ
_j. Unabhängig davon, ob ein Index als Superscript oder Index angezeigt wird, hängt von den nachstehend beschriebenen Transformationseigenschaften des Tensors ab. So während T_ij und T ⁱ
_j kann beide ausgedrückt werden als n durch n Matrizen und sind numerisch miteinander verwandt Index jonglierenDer Unterschied in ihren Transformationsgesetzen zeigt, dass es unsachgemäß wäre, sie zusammen hinzuzufügen. Die Gesamtzahl der Indizes, die erforderlich sind, um jede Komponente einzigartig zu identifizieren Abmessungen des Arrays und heißt das bestellen, Grad oder Rang des Tensors. Der Begriff "Rang" hat jedoch im Allgemeinen im Allgemeinen eine andere Bedeutung im Kontext von Matrizen und Tensoren.

So wie sich die Komponenten eines Vektors ändern, wenn wir das ändern Basis des Vektorraums ändern sich auch die Komponenten eines Tensors unter einer solchen Transformation. Jede Art von Tensor ist mit einem ausgestattet Transformationsgesetz Dies beschreibt, wie die Komponenten des Tensors auf a reagieren Basisänderung. Die Komponenten eines Vektors können auf zwei unterschiedliche Weise auf a reagieren Basisänderung (sehen Kovarianz und Verträge der Vektoren), wo die Neue Basisvektoren ${\ displaystyle \ mathbf {\ Hat {e}} _ {i}}$ werden in Bezug auf die alten Basisvektoren ausgedrückt ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {j}}$ wie,

$oder e} _ {j} r_ {i}^{j}.}$

Hier R ^j_i sind die Einträge der Veränderung der Basismatrix und im rechten Ausdruck die Summe Das Zeichen wurde unterdrückt: Dies ist das Einstein -Summierungskonvention, die in diesem Artikel verwendet werden.^{[Anmerkung 1]} Die Komponenten vⁱ eines Säulenvektors v verwandeln sich mit dem umgekehrt der Matrix RAnwesend

$oder$

wo der Hut die Komponenten in der neuen Basis bezeichnet. Dies wird a genannt kontravariant Transformationsgesetz, da sich die Vektorkomponenten durch die verwandeln umgekehrt der Veränderung der Basis. Im Gegensatz dazu die Komponenten, w_i, eines Kovektors (oder eines Reihenvektors), w, transformieren Sie mit der Matrix R selbst,

${\ displayStyle {\ Hat {W}} _ {i} = w_ {j} r_ {i}^{j}.}$

Dies wird a genannt Kovariante Transformationsgesetz, da sich die Covektorkomponenten durch die verwandeln Gleiche Matrix als Änderung der Basismatrix. Die Komponenten einer allgemeineren Tensor -Transformation durch eine Kombination aus kovarianten und kontravarianten Transformationen mit einem Transformationsgesetz für jeden Index. Wenn die Transformationsmatrix eines Index die inverse Matrix der Basistransformation ist, wird der Index aufgerufen kontravariant und ist herkömmlich mit einem oberen Index (SuperScript) bezeichnet. Wenn die Transformationsmatrix eines Index die Basisumwandlung selbst ist, wird der Index aufgerufen Kovariante und wird mit einem niedrigeren Index (Index) bezeichnet.

Als einfaches Beispiel ist die Matrix eines linearen Operators in Bezug auf eine Basis ein rechteckiges Array ${\ displayStyle t}$ Das verwandelt sich unter einer Änderung der Basismatrix ${\ displayStyle r = \ links (r_ {i}^{j} \ rechts)}$ durch ${\ displayStyle {\ Hat {t}} = r^{-1} tr}$. Für die einzelnen Matrixeinträge hat dieses Transformationsgesetz die Form $oder R_ {j '}^{j}}$ Der Tensor, der der Matrix eines linearen Operators entspricht, hat also einen Kovarianten- und einen kontravarianten Index: Er ist vom Typ (1,1).

Kombinationen von kovarianten und kontravarianten Komponenten mit demselben Index ermöglichen es uns, geometrische Invarianten auszudrücken. Beispielsweise kann die Tatsache, dass ein Vektor dasselbe Objekt in verschiedenen Koordinatensystemen ist, durch die folgenden Gleichungen unter Verwendung der oben definierten Formeln erfasst werden:

$oder ) _ {j}^{i} {v}^{j} \ rechts) \ links (\ mathbf {e} _ {k} r_ {i}^{k} \ rechts) = \ links (\ links (r) ^{-1} \ rechts) _ {j}^{i} r_ {i}^{k} \ rechts) {v}^{j} \ mathbf {e} _ {k} = \ delta _ {j} ^{k} {v}^{j} \ mathbf {e} _ {k} = {v}^{k} \, \ mathbf {e} _ {k} = {v}^{i} \, \, \, \ mathbf {e} _ {i}}$,

wo ${\ displayStyle \ Delta _ {j}^{k}}$ ist der Kronecker Delta, was ähnlich wie die funktioniert Identitätsmatrixund hat die Auswirkung von Umbenennen von Indizes (j hinein k in diesem Beispiel). Dies zeigt verschiedene Merkmale der Komponentennotation: die Fähigkeit, Begriffe nach Belieben neu zu arrangieren (Amtativität), die Notwendigkeit, unterschiedliche Indizes bei der Arbeit mit mehreren Objekten in demselben Ausdruck zu verwenden, die Fähigkeit, Indizes umzubenennen, und der Art und Weise, in der sich kontravariante und kovariante Tensoren so kombinieren, dass alle Instanzen der Transformationsmatrix und ihrer inversen Abbrechen so sind wie ${\ displaystyle {v}^{i} \, \ mathbf {e} _ {i}}$ kann sofort in allen Koordinatensystemen als geometrisch identisch gesehen werden.

In ähnlicher Weise hängt ein linearer Operator, der als geometrisches Objekt angesehen wird, nicht von der Grundlage ab: Es handelt sich nur um eine lineare Karte, die einen Vektor als Argument akzeptiert und einen anderen Vektor erzeugt. Das Transformationsgesetz, wie sich die Matrix der Komponenten eines linearen Operators mit der Grundlage ändert jeweilige Koordinatenrepräsentationen. Das heißt, die Komponenten ${\ displayStyle (tv)^{i}}$ werden gegeben von ${\ displayStyle (tv)^{i} = t_ {j}^{i} v^{j}}$. Diese Komponenten verwandeln sich seitdem kontravarant

$oder } = \ links [\ links (r^{-1} \ rechts) _ {i}^{i '} t_ {j}^{i} r_ {j'}^{j} \ rechts] \ links [\ links (r^{-1} \ rechts) _ {k}^{j '} v^{k} \ rechts] = \ links (r^{-1} \ rechts) _ {i}^{i'} (TV)^{i}.}$

Das Transformationsgesetz für eine Anordnung p + q Tensor mit p kontravariante Indizes und q Kovariante Indizes werden somit als gegeben

$oder links (r^{-1} \ rechts) _ {i_ {1}}^{i '_ {1}} \ cdots \ links (r^{-1} \ rechts) _ {i_ {p}^{ i '_ {p}}}$ ${\ displayStyle t_ {j_ {1}, \ ldots, j_ {q}}^{i_ {1}, \ ldots, i_ {p}}}$ $oder$

Hier bezeichnen die primierten Indizes Komponenten in den neuen Koordinaten, und die nicht primierten Indizes bezeichnen die Komponenten in den alten Koordinaten. Ein solcher Tensor soll in Ordnung sein oder Typ (p, q). Die Begriffe "Ordnung", "Typ", "Rang", "Valenz" und "Grad" werden manchmal für dasselbe Konzept verwendet. Hier wird der Begriff "Reihenfolge" oder "Gesamtreihenfolge" für die Gesamtdimension des Arrays (oder seine Verallgemeinerung in anderen Definitionen) verwendet. p + q Im vorhergehenden Beispiel und der Begriff "Typ" für das Paar, das die Anzahl der kontravarianten und kovarianten Indizes ergibt. Ein Tensor vom Typ (p, q) wird auch als a genannt (p, q)-Tensor kurz.

Diese Diskussion motiviert die folgende formale Definition:^[2][3]

Definition. Ein Tensor vom Typ (p, q) ist eine Zuordnung eines mehrdimensionalen Arrays

$oder$

zu jeder Basis f = (e₁, ..., e_n) von einem n-Dimensionaler Vektorraum So, wenn wir die Basisänderung anwenden

$oder i} r_ {n}^{i} \ rechts)}$

Dann folgt das mehrdimensionale Array dem Transformationsgesetz

$oder (R^{-1} \ rechts) _ {i_ {1}}^{i '_ {1}} \ cdots \ links (r^{-1} \ rechts) _ {i_ {p}}^{i '_{p}}}$ $oder$ $oder$

Die Definition eines Tensors als mehrdimensionales Array, das ein Transformationsgesetz erfüllt, geht auf die Arbeit von Ricci zurück.^[1]

Eine äquivalente Definition eines Tensors verwendet die Darstellungen des Allgemeine lineare Gruppe. Da ist ein Aktion der allgemeinen linearen Gruppe am Satz von allen bestellte Basen von einem n-Dimensionaler Vektorraum. Wenn ${\ displaystyle \ mathbf {f} = (\ mathbf {f} _ {1}, \ dots, \ mathbf {f} _ {n})}$ ist eine geordnete Basis und ${\ displayStyle r = \ links (r_ {j}^{i} \ rechts)}$ ist ein invertierbar ${\ displayStyle n \ Times n}$ Matrix, dann wird die Aktion gegeben

$oder }\Rechts).}$

Lassen F Sei der Satz aller geordneten Basen. Dann F ist ein Haupt homogener Raum für GL (n). Lassen W ein Vektorraum sein und lassen ${\ displayStyle \ rho}$ eine Darstellung von GL sein (n) an W (das ist ein Gruppe Homomorphismus ${\ displayStyle \ rho: {\ text {gl}} (n) \ to {\ text {gl}} (w)}$). Dann ein Tensor vom Typ ${\ displayStyle \ rho}$ ist ein äquivariante Karte ${\ displayStyle t: f \ bis w}$. Die Zweideutigkeit hier bedeutet das

${\ displayStyle t (fr) = \ rho \ links (r^{-1} \ rechts) t (f).}.}$

Wann ${\ displayStyle \ rho}$ ist ein Tensordarstellung Von der allgemeinen linearen Gruppe gibt dies die übliche Definition von Tensoren als mehrdimensionale Arrays. Diese Definition wird häufig verwendet, um Tensoren auf Verteilern zu beschreiben,^[4] und verallgemeinert leicht auf andere Gruppen.^[2]

Als multilineare Karten

Ein Nachteil der Definition eines Tensors unter Verwendung des mehrdimensionalen Array -Ansatzes ist, dass aus der Definition nicht ersichtlich ist, dass das definierte Objekt tatsächlich unabhängig ist, wie es von einem intrinsisch geometrischen Objekt erwartet wird. Obwohl es möglich ist zu zeigen, dass Transformationsgesetze tatsächlich die Unabhängigkeit von der Grundlage sicherstellen, wird manchmal eine intrinsischere Definition bevorzugt. Ein Ansatz, der in häufig in der Lage ist Differentialgeometrie soll Tensoren relativ zu einem festen (endlich-dimensionalen) Vektorraum definieren V, was normalerweise als ein bestimmter Vektorraum von einer geometrischen Bedeutung angesehen wird wie die Tangentenraum zu einem Verteiler.^[5] In diesem Ansatz ein Typ (p, q) Tensor T ist definiert als a Multilineare KarteAnwesend

${\ displaystyle t: \ unterbrace {v^{*} \ times \ dots \ times v^{*}} _ {p {\ text {Copies}} \ Times \ Underbrace {v \ times \ dots \ Times V} Times V} _ {q {\ text {Copies}}} \ rightarrow \ mathbf {r},},},},},},},},},},},},},},},},},},},},},}$

wo V^∗ ist das entsprechende Doppeler Raum von Kovektoren, die in jedem seiner Argumente linear sind. Das obige nimmt an V ist ein Vektorraum über dem reale Nummern, ℝ. Allgemeiner, V kann überall übernommen werden aufstellen F (z. B. die komplexe Zahlen), mit F ersetzen ℝ als Codomäne der multilinearen Karten.

Durch Anwenden einer multilinearen Karte T of type (p, q) auf eine Basis {e_j} zum V und eine kanonische Cobasis {εⁱ} zum V^∗Anwesend

$oder , \ ldots, {\ Boldsymbol {\ varepsilon}}^{i_ {p}}, \ mathbf {e} _ {j_ {1}}, \ ldots, \ mathbf {e} _ {j_ {{{{{{q}} \ richtig ),}$

a (p + q)-Dimensionales Array von Komponenten können erhalten werden. Eine andere Wahl der Basis liefert unterschiedliche Komponenten. Aber weil T In allen Argumenten linear, erfüllen die Komponenten das in der multilineare Array -Definition verwendete Tensor -Transformationsgesetz. Das mehrdimensionale Array von Komponenten von T So bilden Sie nach dieser Definition einen Tensor. Darüber hinaus kann ein solches Array als Komponenten einer multilinearen Karte realisiert werden T. Dies motiviert das Betrachten von multilinearen Karten als intrinsische Objekte, die den Tensoren zugrunde liegen.

Bei der Betrachtung eines Tensors als multilineare Karte ist es konventionell, die zu identifizieren Doppelte Dual V^∗∗ des Vektorraums V, d.h. der Raum der linearen Funktionale auf dem Doppelvektorraum V^∗mit dem Vektorraum V. Es gibt immer eine natürliche lineare Karte aus V zu seinem doppelten Dual, gegeben durch Bewertung einer linearen Form in V^∗ gegen einen Vektor in V. Diese lineare Mapping ist ein Isomorphismus in endlichen Dimensionen, und es ist oft zweckmäßig zu identifizieren V mit seinem doppelten Dual.

Verwenden von Tensorprodukten

Für einige mathematische Anwendungen ist ein abstrakterer Ansatz manchmal nützlich. Dies kann erreicht werden, indem Tensoren in Bezug auf Elemente von definiert werden Tensorprodukte von Vektorräumen, die wiederum durch a definiert werden Universelles Eigentum wie erklärt hier und hier.

A Typ (p, q) Tensor wird in diesem Zusammenhang als Element des Tensorprodukts von Vektorräumen definiert,^[6][7]

$oder } _ {q {\ text {Copies}}}.}$

Eine Basis v_i von V und Basis w_j von W natürlich eine Basis induzieren v_i ⊗ w_j des Tensorprodukts V ⊗ W. Die Komponenten eines Tensors T sind die Koeffizienten des Tensors in Bezug auf die von einer Basis erhaltene Grundlage {e_i} zum V und seine doppelte Basis {ε^j}, d.h.

$oder otimes \mathbf {e} _{i_{p}}\otimes {\boldsymbol {\varepsilon }}^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes {\boldsymbol {\varepsilon }}^{j_{q} }.}$

Unter Verwendung der Eigenschaften des Tensorprodukts kann gezeigt werden, dass diese Komponenten das Transformationsgesetz für einen Typ erfüllen (p, q) Tensor. Darüber hinaus gibt die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts a 1-zu-1 Korrespondenz zwischen den auf diese Weise definierten Tensoren und Tensoren definiert als multilineare Karten.

Diese Korrespondenz von 1 bis 1 kann auf folgende Weise archiviert werden, da es im endlichen dimensionalen Fall einen kanonischen Isomorphismus zwischen einem Vektorspace und seinem doppelten Dual gibt:

$oder *} \ rechts)^{*} \ cong \ operatorname {hom}^{2} \ links (u^{*} \ times v^{*}; \ mathbb {f} \ rechts)}$

Die letzte Zeile verwendet die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts, dass es eine 1 bis 1 -Korrespondenz zwischen Karten von vorhanden ist $oder$ und $oder$.^[8]

Tensorprodukte können in großer Allgemeinheit definiert werden - zum Beispiel, zum Beispiel, Mit willkürlichen Modulen über einen Ring. Grundsätzlich könnte man einen "Tensor" definieren, um einfach ein Element eines Tensorprodukts zu sein. Die Mathematikliteratur behält sich jedoch normalerweise den Begriff vor Tensor Für ein Element eines Tensorprodukts einer beliebigen Anzahl von Kopien eines einzelnen Vektorraums V und sein dual wie oben.

Tensoren in unendlichen Dimensionen

Diese Diskussion von Tensoren setzt bisher eine endliche Dimensionalität der beteiligten Räume aus, in denen die Räume der Tensoren, die jeweils dieser Konstruktionen erhalten haben, sind Natürlich isomorph.^{[Anmerkung 2]} Konstruktionen von Tensoren auf dem Tensorprodukt und multilinearer Zuordnungen können im Wesentlichen ohne Änderung verallgemeinert werden Vektorbündel oder zusammenhängende Scheiben.^[9] Für unendlich-dimensionale Vektorräume führen ungleiche Topologien zu ungleichsamen Tensor-Vorstellungen, und diese verschiedenen Isomorphismen können je nachdem, was genau mit einem Tensor zu verstehen ist (siehe Topologisches Tensorprodukt). In einigen Anwendungen ist es das Tensorprodukt von Hilbert -Räumen Das ist beabsichtigt, deren Eigenschaften dem endlich-dimensionalen Fall am ähnlichsten sind. Eine modernere Sicht ist, dass es die Tensors -Struktur ist als Symmetrische monoidale Kategorie Das kodiert eher für ihre wichtigsten Eigenschaften als für die spezifischen Modelle dieser Kategorien.^[10]

Tensorfelder

In vielen Anwendungen, insbesondere in Differentialgeometrie und Physik, ist es natürlich, einen Tensor mit Komponenten zu berücksichtigen, die Funktionen des Punktes in einem Raum sind. Dies war die Einstellung von Riccis ursprünglicher Arbeit. In der modernen mathematischen Terminologie wird ein solches Objekt a genannt Tensorfeld, oft einfach als Tensor bezeichnet.^[1]

In diesem Zusammenhang a Koordinatenbasis wird oft für die ausgewählt Tangentenvektorraum. Das Transformationsgesetz kann dann in Bezug auf das ausgedrückt werden Teilableitungen der Koordinatenfunktionen,

${\ displaystyle {\ bar {x}}^{i} \ links (x^{1}, \ ldots, x^{n} \ rechts),},},}$

Definieren einer Koordinatentransformation,^[1]

$oder {x}}^{1}, \ ldots, {\ bar {x}}^{n} \ rechts) = {\ frac {\ partial {\ bar {x}}^{i '_ {1}}}} oder } oder q}}} {\ partial {\ bar {x}}^{j '_ {q}}}} t_ {j_ {1} \ dots j_ {q}}^{i_ {1} \ dots i_ {p} } \ links (x^{1}, \ ldots, x^{n} \ rechts).}$

Beispiele

Ein elementares Beispiel für eine Kartierung, die als Tensor beschrieben werden kann, ist das Skalarprodukt, der zwei Vektoren einem Skalar ordnet. Ein komplexeres Beispiel ist das Cauchy Stress Tensor T, der einen Richtungseinheitsvektor nimmt v als Eingang und ordnet es dem Spannungsvektor ab T^(v), das ist die Kraft (pro Flächeneinheit), die durch Material auf der negativen Seite der Ebene orthogonal zu Material ausübt wird v gegen das Material auf der positiven Seite der Ebene, wodurch eine Beziehung zwischen diesen beiden Vektoren in der Abbildung (rechts) gezeigt wird. Das Kreuzprodukt, wo zwei Vektoren einem dritten zugeordnet sind, ist streng genommen kein Tensor, da er sein Zeichen unter diesen Transformationen ändert, die die Ausrichtung des Koordinatensystems ändern. Das Völlig antisymmetrisches Symbol ${\ displaystyle \ varepsilon _ {ijk}}$ Dennoch ermöglicht eine bequeme Handhabung des Kreuzprodukts in gleichermaßen orientierten dreidimensionalen Koordinatensystemen.

Diese Tabelle zeigt wichtige Beispiele für Tensoren auf Vektorräumen und Tensorfeldern auf Verteilern. Die Tensoren werden nach ihrem Typ klassifiziert (n, m), wo n ist die Anzahl der kontravarianten Indizes, m ist die Anzahl der kovarianten Indizes, und n + m gibt die Gesamtreihenfolge des Tensors an. Zum Beispiel a bilineare Form ist dasselbe wie a (0, 2)-tensor; ein Innenprodukt ist ein Beispiel für a (0, 2)-tensor, aber nicht alle (0, 2)-tensoren sind innere Produkte. In dem (0,, M)-ENTRY DES TABELLE, M Bezeichnet die Dimensionalität des zugrunde liegenden Vektorraums oder Verteilers, da für jede Dimension des Raums ein separater Index erforderlich ist, um diese Dimension auszuwählen, um einen maximal kovarianten antisymmetrischen Tensor zu erhalten.

Erhöhen eines Index auf einem (n, m)-tensor produziert eine (n + 1, m - 1)-tensor; Dies entspricht diagonal nach unten und links auf dem Tisch. Symmetrisch entspricht das Absenken eines Index diagonal nach oben und rechts auf der Tabelle. Kontraktion eines oberen mit einem unteren Index von a (n, m)-tensor produziert eine (n - 1, m - 1)-tensor; Dies entspricht diagonal nach oben und links auf dem Tisch.

Orientierung definiert durch einen geordneten Satz von Vektoren.

Die umgekehrte Orientierung entspricht der Negation des Außenprodukts.

Geometrische Interpretation der Klasse n Elemente in einem echten Außenalgebra zum n = 0 (signierter Punkt), 1 (gerichtetes Liniensegment oder Vektor), 2 (orientiertes Ebeneelement), 3 (Orientierter Volumen). Das äußere Produkt von n Vektoren können sich wie alle visualisiert werden n-Dimensionale Form (z. n-Parallelotop, n-Ellipsoid); mit Größe (Hypervolume), und Orientierung definiert durch das auf seinem n - 1-Dimensionale Grenze und auf welcher Seite der Innenraum ist.^[12][13]

Eigenschaften

Angenommen a Basis eines realen Vektorraums, z. B. einem Koordinatenrahmen im Umgebungsraum, kann ein Tensor als organisiert dargestellt werden Mehrdimensionales Array der numerischen Werte in Bezug auf diese spezifische Grundlage. Das Ändern der Basis transformiert die Werte im Array auf charakteristische Weise, die es zulässt definieren Tensoren als Objekte, die sich an dieses Transformationsverhalten halten. Zum Beispiel gibt es Invarianten von Tensoren, die unter einer Änderung der Grundlage erhalten werden müssen, wodurch nur bestimmte mehrdimensionale Arrays von Zahlen a Tensor. Vergleichen Sie dies mit dem darstellenden Array ${\ displaystyle \ varepsilon _ {ijk}}$ kein Tensor ist, für die Vorzeichenänderung unter Transformationen, die die Orientierung verändert.

Da sich die Komponenten der Vektoren und ihrer Duals unter der Änderung ihrer Dualbasen unterschiedlich verwandeln, gibt es a Kovariante und/oder kontravariante Transformationsgesetz Das bezieht sich auf die Arrays, die den Tensor in Bezug auf eine Basis und die in Bezug auf die andere darstellen. Die Anzahl der Zahlen von jeweils, Vektoren: n (kontravariant Indizes) und Dual Vektoren: m (Kovariante Indizes) im Eingang und Ausgang eines Tensors bestimmen die Typ (oder Wertigkeit) des Tensors, ein Paar natürlicher Zahlen (n, m), die die genaue Form des Transformationsgesetzes bestimmen. Das bestellen eines Tensors ist die Summe dieser beiden Zahlen.

Die Bestellung (auch Grad oder Rang) eines Tensors ist somit die Summe der Ordnungen seiner Argumente zuzüglich der Reihenfolge des resultierenden Tensors. Dies ist auch die Dimensionalität des Arrays von Zahlen, die zur Darstellung des Tensors in Bezug auf eine bestimmte Basis oder gleichwertig die Anzahl der zur Kennzeichnung jeder Komponente in diesem Array benötigten Indizes erforderlich sind. Beispielsweise wird in fester Basis eine lineare Standardkarte, die einen Vektor an einen Vektor ordnet, durch eine Matrix (ein 2-dimensionales Array) dargestellt und daher ein Tensor in 2nd Ordnung ist. Ein einfacher Vektor kann als 1-dimensionales Array dargestellt werden und ist daher ein Tensor der ersten Ordnung. Skalare sind einfache Zahlen und sind somit Tensoren in 0. Ordnung. Auf diese Weise repräsentiert der Tensor, der das Skalarprodukt darstellt, zwei Vektoren einnimmt und zu einem Skalar führt 2 + 0 = 2, das gleiche wie der Stress -Tensor, nimmt einen Vektor ein und gibt einen anderen zurück 1 + 1 = 2. Das ${\ displaystyle \ varepsilon _ {ijk}}$-Symbol, Die Zuordnung von zwei Vektoren zu einem Vektor hätte Ordnung, um Ordnung zu haben 2 + 1 = 3.

Die Sammlung von Tensoren auf einem Vektorraum und seine doppelten Formen a Tensoralgebra, was Produkte von willkürlichen Tensoren ermöglicht. Einfache Anwendungen von Tensoren der Ordnung 2, die als quadratische Matrix dargestellt werden kann, kann durch clevere Anordnung von transponierten Vektoren und durch Anwendung der Regeln für die Matrixmultiplikation gelöst werden. Das Tensorprodukt sollte jedoch nicht damit verwechselt werden.

Notation

Es gibt mehrere Notationalsysteme, die zur Beschreibung von Tensoren und zur Durchführung von Berechnungen verwendet werden.

RICCI -Kalkül

RICCI -Kalkül ist der moderne Formalismus und die Notation für Tensorindizes: Angabe innere und äußere Produkte, Kovarianz und Kontravarianz, Summierungen von Tensorkomponenten, Symmetrie und Antisymmetrie, und teilweise und Kovariante Derivate.

Einstein -Summierungskonvention

Das Einstein -Summierungskonvention mit dem Schreiben verzichten Summierungszeichendie Summation implizit lassen. Ein wiederholtes Indexsymbol wird zusammengefasst: wenn der Index i wird zweimal in einem bestimmten Begriff eines Tensorausdrucks verwendet, was bedeutet, dass der Begriff für alle summiert werden soll i. Auf diese Weise können verschiedene Indizespaare summiert werden.

Penrose Grafische Notation

Penrose Grafische Notation ist eine diagrammatische Notation, die die Symbole für Tensoren durch Formen und ihre Indizes durch Linien und Kurven ersetzt. Es ist unabhängig von Basiselementen und erfordert keine Symbole für die Indizes.

Zusammenfassung Indexnotation

Das Zusammenfassung Indexnotation ist eine Möglichkeit, Tensoren so zu schreiben, dass die Indizes nicht mehr als numerisch angesehen werden, sondern eher sind unbestimmt. Diese Notation erfasst die Ausdruckskraft von Indizes und die Basisunabhängigkeit der indexfreien Notation.

Komponentenfreie Notation

A Komponentenfreie Behandlung von Tensoren Verwendet eine Notation, die betont, dass Tensoren sich nicht auf irgendeine Grundlage verlassen und in Bezug auf die definiert ist Tensorprodukt von Vektorräumen.

Operationen

Es gibt mehrere Operationen auf Tensoren, die wieder einen Tensor produzieren. Die lineare Natur des Tensors impliziert, dass zwei Tensoren desselben Typs zusammengefügt werden können und dass Tensoren mit einem Skalar mit analogem zu den Ergebnissen multipliziert werden können Skalierung eines Vektors. Bei Komponenten werden diese Vorgänge einfach über Komponenten ausgeführt. Diese Operationen ändern den Tensortyp nicht; Es gibt aber auch Operationen, die einen Tensor verschiedener Typen erzeugen.

Tensorprodukt

Das Tensorprodukt nimmt zwei Tensoren, S und Tund produziert einen neuen Tensor, S ⊗ T, dessen Ordnung die Summe der Orden der ursprünglichen Tensoren ist. Wenn das Tensorprodukt als multilineare Karten beschrieben wird, multipliziert sie einfach die beiden Tensoren, d.h.

$oder , v_ {n}) t (v_ {n+1}, \ ldots, v_ {n+m}),},},},}$

Dies erzeugt erneut eine Karte, die in all seinen Argumenten linear ist. Bei Komponenten besteht der Effekt darin, die Komponenten der beiden Eingangsteoren paarweise zu multiplizieren, d.h.

$oder l+1} \ ldots i_ {l+n}} = s_ {j_ {1} \ ldots j_ {k}}^{i_ {1} \ ldots i_ {l}} t_ {j_ {k+1} \ ldots j_ {k+m}}^{i_ {l+1} \ ldots i_ {l+n}},},},}$

Wenn S ist vom Typ (l, k) und T ist vom Typ (n, m)dann das Tensorprodukt S ⊗ T hat Typ (l + n, k + m).

Kontraktion

Tensorkontraktion ist eine Operation, die einen Typ reduziert (n, m) Tensor zu einem Typ (n - 1, m - 1) Tensor, von dem der verfolgen ist ein Sonderfall. Dadurch reduziert es die Gesamtreihenfolge eines Tensors um zwei. Der Vorgang wird durch Summieren von Komponenten erreicht, für die ein angegebener kontravarianter Index mit einem angegebenen Kovariantenindex eine neue Komponente erstellt wird. Komponenten, für die diese beiden Indizes unterschiedlich sind, werden verworfen. Zum Beispiel a (1, 1)-tensor ${\ displayStyle t_ {i}^{j}}$ kann an einen Skalar durch Vertrag genommen werden durch ${\ displayStyle t_ {i}^{i}}$. Wo die Summierung wieder impliziert ist. Wenn der (1, 1)-tensor wird als lineare Karte interpretiert. Diese Operation wird als die bezeichnet verfolgen.

Die Kontraktion wird häufig in Verbindung mit dem Tensorprodukt verwendet, um einen Index von jedem Tensor abzuschließen.

Die Kontraktion kann auch anhand der Definition eines Tensors als Element eines Tensorprodukts von Kopien des Raums verstanden werden V mit dem Raum V^∗ durch die Zersetzung des Tensors zuerst in eine lineare Kombination aus einfachen Tensoren und dann einen Faktor von anwenden V^∗ zu einem Faktor von V. Zum Beispiel ein Tensor ${\ displayStyle t \ in v \ otimes v \ otimes v^{*}}$ kann als lineare Kombination geschrieben werden

$oder \ otimes w_ {n} \ otimes \ alpha _ {n}.}$

Die Kontraktion von T Auf dem ersten und letzten Slots ist dann der Vektor

$oder }) w_ {n}.}$

In einem Vektorraum mit einem Innenprodukt (auch bekannt als a metrisch) g, der Begriff Kontraktion wird zum Entfernen von zwei kontravarianten oder zwei kovarianten Indizes verwendet, indem eine Spur mit dem metrischen Tensor oder seiner Umkehrung gebildet wird. Zum Beispiel a (2, 0)-tensor ${\ displayStyle t^{ij}}$ kann an einen Skalar durch Vertrag genommen werden durch ${\ displaystyle t^{ij} g_ {ij}}$ (erneut unter der Annahme der Summierungskonvention).

Erhöhen oder Senkung eines Index

Wenn ein Vektorraum mit einem ausgestattet ist Nicht -Endgenerate bilineare Form (oder metrischer Tensor Wie in diesem Zusammenhang oft genannt wird) können Operationen definiert werden, die einen kontravarianten (oberen) Index in einen kovarianten (unteren) Index umwandeln und umgekehrt. Ein metrischer Tensor ist ein (symmetrisch) (symmetrisch) (0, 2)-tensor; Es ist daher möglich, einen oberen Index eines Tensors mit einem der unteren Indizes des metrischen Tensors im Produkt zu erkranken. Dies erzeugt einen neuen Tensor mit derselben Indexstruktur wie der vorherige Tensor, jedoch mit einem unteren Index, der im Allgemeinen in derselben Position des vertraglichen oberen Index gezeigt wird. Dieser Vorgang ist ziemlich grafisch als bekannt als Senkung eines Index.

Umgekehrt kann die umgekehrte Operation definiert und genannt werden Erhöhen eines Index. Dies entspricht einer ähnlichen Kontraktion des Produkts mit a (2, 0)-tensor. Dies inverser metrischer Tensor hat Komponenten, die die Matrix derjenigen des metrischen Tensors sind.

Anwendungen

Kontinuumsmechanik

Wichtige Beispiele werden von bereitgestellt von Kontinuumsmechanik. Die Belastungen in a Festkörper oder Fluid^[14] werden durch ein Tensorfeld beschrieben. Das Spannungstensor und Dehnungszensor sind beide Tensorfelder zweiter Ordnung und sind in einem allgemeinen linearen elastischen Material durch einen vierten Ordnung verwandt Elastizität Tensor aufstellen. Im Detail enthält der Tensor-Quantifizierungsspannung in einem 3-dimensionalen festen Objekt Komponenten, die bequem als 3 × 3-Array dargestellt werden können. Die drei Gesichter eines Würfels-infinitesimalen Volumensegments des Feststoffs unterliegen jeweils einer bestimmten Kraft. Die Vektorkomponenten der Kraft sind ebenfalls drei. Somit sind 3 × 3 oder 9 Komponenten erforderlich, um die Spannung bei diesem Würfel-förmigen Infinitesimalsegment zu beschreiben. Innerhalb der Grenzen dieses Feststoffs befindet sich eine ganze Masse unterschiedlicher Spannungsmengen, wobei jeweils 9 Mengen beschreiben müssen. Somit ist ein Tensor zweiter Ordnung erforderlich.

Wenn eine bestimmte Oberflächenelement Im Inneren des Materials wird das Material auf einer Seite der Oberfläche auf die andere Seite eine Kraft ausübt. Im Allgemeinen ist diese Kraft nicht orthogonal an der Oberfläche, aber sie hängt linear von der Ausrichtung der Oberfläche ab. Dies wird durch einen Tensor von beschrieben Typ (2, 0), in lineare Elastizität, oder genauer gesagt durch ein Tensorfeld des Typs (2, 0)da die Spannungen von Punkt zu Punkt variieren können.

Andere Beispiele aus der Physik

Gemeinsame Anwendungen umfassen:

• Elektromagnetischer Tensor (oder Faraday Tensor) in Elektromagnetismus
• Finite -Verformungs -Tensoren zur Beschreibung von Deformationen und Dehnungszensor zum Beanspruchung in Kontinuumsmechanik
• Permittivität und elektrische Anfälligkeit sind Tensoren in anisotrop Medien
• Vierzerz in generelle Relativität (z.B. Stress -Energie -Tensor), verwendet, um darzustellen Schwung Flüsse
• Sphärische Tensoroperatoren sind die Eigenfunktionen des Quanten Drehimpulsoperator in Sphärische Koordinaten
• Diffusionstensoren, die Grundlage von Diffusion Tensor Bildgebung, stellen die Diffusionsraten in biologischen Umgebungen dar
• Quantenmechanik und Quanten-Computing Verwenden Sie Tensorprodukte für die Kombination von Quantenzuständen

Anwendungen von Tensoren der Bestellung> 2

Das Konzept eines Tensors der beiden Orden zwei wird oft mit dem einer Matrix zusammengeführt. Tensoren höherer Ordnung erfassen jedoch Ideen, die in Wissenschaft und Ingenieurwesen wichtig sind, wie sie in zahlreichen Bereichen bei der Entwicklung nacheinander gezeigt wurden. Dies geschieht zum Beispiel im Bereich von Computer Vision, mit dem trifokaler Tensor Verallgemeinerung der Grundmatrix.

Das Feld von Nichtlineare Optik Untersucht die Veränderungen des Materials Polarisationsdichte unter extremen elektrischen Feldern. Die erzeugten Polarisationswellen hängen mit der Erzeugung zusammen elektrische Felder durch den nichtlinearen Suszeptibilitätstensor. Wenn die Polarisation P ist nicht linear proportional zum elektrischen Feld E, das Medium wird bezeichnet nichtlinear. Zu einer guten Annäherung (für ausreichend schwache Felder, vorausgesetzt, keine dauerhaften Dipolmomente sind vorhanden), P wird durch a gegeben Taylor -Serie in E deren Koeffizienten sind die nichtlinearen Anfälligkeiten:

$oder } \ chi _ {ijk}^{(2)} e_ {j} e_ {k}+\ sum _ {jk \ ell} \ chi _ {ijk \ ell}^{(3)} e_ {j} e_ { k} e _ {\ ell}+\ cdots. \!}$

Hier ${\ displaystyle \ chi ^{(1)}}$ ist die lineare Anfälligkeit, ${\ displaystyle \ chi ^{(2)}}$ gibt die Pockel -Effekt und zweite harmonische Generation, und ${\ displaystyle \ chi ^{(3)}}$ gibt die Kerr -Effekt. Diese Erweiterung zeigt, wie sich Tensoren höherer Ordnung in dem Thema auf natürliche Weise ergeben.

Verallgemeinerungen

Tensorprodukte von Vektorräumen

Die Vektorräume von a Tensorprodukt Ich muss nicht gleich sein, und manchmal werden die Elemente eines so allgemeineren Tensorprodukts als "Tensoren" bezeichnet. Zum Beispiel ein Element des Tensor -Produktraums V ⊗ W ist ein "Tensor" zweiter Ordnung in diesem allgemeineren Sinne,^[15] und eine Bestellung-d Tensor kann ebenfalls als Element eines Tensorprodukts von definiert werden d Verschiedene Vektorräume.^[16] Eine Art (n, m) Der zuvor definierte Tensor ist auch ein Tensor der Ordnung n + m In diesem allgemeineren Sinne. Das Konzept des Tensorprodukts Kann verlängert werden zum willkürlichen Module über einem Ring.

Tensoren in unendlichen Dimensionen

Der Begriff eines Tensors kann auf verschiedene Weise verallgemeinert werden unendliche Dimensionen. Eins zum Beispiel ist über die Tensorprodukt von Hilbert Räume.^[17] Eine andere Möglichkeit, die Idee des Tensors zu verallgemeinern, gemeinsam in Nichtlineare Analyse, ist über die Multilineare Kartendefinition wo anstatt endlichdimensionale Vektorräume und ihre zu verwenden Algebraische Dualsman verwendet unendlich dimensional Banach -Räume und ihre kontinuierlicher Dual.^[18] Tensoren leben also natürlich auf Banach -Verteiler^[19] und Fréchet -Verteiler.

Tensordichten

Angenommen, ein homogenes Medium füllt sich R³, so dass die Dichte des Mediums von einem einzigen beschrieben wird Skalar Wert ρ in kg m^–3. Die Masse in kg einer Region Ω wird durch Multiplizieren erhalten ρ durch das Volumen der Region Ωoder gleichwertig die Konstante integrieren ρ über die Region:

${\ displayStyle m = \ int _ {\ omega} \ rho \, dx \, dy \, dz}$

wo der kartesische Koordinaten xyz werden in m gemessen. Wenn die Längeneinheiten in CM geändert werden, müssen die numerischen Werte der Koordinatenfunktionen um den Faktor von 100 neu skaliert werden:

${\ displayStyle x '= 100x, \ quad y' = 100y, \ quad z '= 100z}$

Der numerische Wert der Dichte ρ muss sich dann auch durch verwandeln ${\ displayStyle 100^{-3} \ mathrm {m^{3}/cm^{3}}}}$ zu kompensieren, so dass der numerische Wert der Masse in kg immer noch durch Integral von gegeben ist ${\ displaystyle \ rho \, dx \, dy \, dz}$. Daher ${\ displayStyle \ rho '= 100^{-3} \ rho}$ (in Einheiten von kg cm^–3).

Allgemeiner, wenn der kartesische Koordinaten xyz eine lineare Transformation unterziehen, dann der numerische Wert der Dichte ρ muss sich um den Faktor des gegenseitigen Wertes des absoluten Werts der bestimmend der Koordinatentransformation, so dass das Integral invariant bleibt, durch die Änderung der Variablenformel zur Integration. Eine solche Menge, die nach dem gegenseitigen Wert des Absolutwerts der Determinanten der Koordinatenübergangskarte skaliert wird Skalare Dichte. Modellieren eine nicht konstante Dichte, ρ ist eine Funktion der Variablen xyz (a Skalarfeld) und unter a kurvilinear Veränderung der Koordinaten transformiert es durch den gegenseitigen gegenseitigen des Jacobian der Koordinatenänderung. Weitere Informationen zur intrinsischen Bedeutung finden Sie unter Dichte auf einem Verteiler.

Eine Tensordichte verwandelt sich wie ein Tensor unter einer Koordinatenänderung, außer dass sie zusätzlich einen Faktor des Absolutwerts der Determinanten des Koordinatenübergangs aufnimmt:^[20]

$oder det r |^{-w} \ links (r^{-1} \ rechts) _ {i_ {1}}^{i '_ {1} \ cdots \ links (r^{-1} \ rechts) _ {i_ {p}}^{i '_ {p}}}$ $oder$ $oder$

Hier w wird das Gewicht genannt. Im Allgemeinen wird jeder Tensor mit einer Kraft dieser Funktion oder ihres absoluten Wertes als Tensordichte oder als gewichteter Tensor bezeichnet.^[21][22] Ein Beispiel für eine Tensordichte ist die Stromdichte von Elektromagnetismus.

Unter einer affine Transformation der Koordinaten transformiert ein Tensor durch den linearen Teil der Transformation selbst (oder dessen Inverse) in jedem Index. Diese kommen aus dem rationale Darstellungen der allgemeinen linearen Gruppe. Dies ist jedoch nicht ganz das allgemeinste lineare Transformationsgesetz, das ein solches Objekt möglicherweise haben kann: Tensordichten sind nicht rational, aber immer noch halbisimpl Darstellungen. Eine weitere Klasse von Transformationen stammt aus der logarithmischen Darstellung der allgemeinen linearen Gruppe, einer reduzierbaren, aber nicht halbstisimen Darstellung,^[23] bestehend aus einem (x,y) ∈ R² mit dem Transformationsgesetz

${\ displayStyle (x, y) \ mapsto (x+y \ log \ links | \ det r \ rechts |, y).}$

Geometrische Objekte

Das Transformationsgesetz für einen Tensor verhält sich wie a Functor über die Kategorie der zulässigen Koordinatensysteme unter allgemeinen linearen Transformationen (oder anderen Transformationen innerhalb einer Klasse, wie z. Lokale Diffeomorphismen). Dies macht einen Tensor zu einem Sonderfall eines geometrischen Objekts, im technischen Sinne, dass es eine Funktion des Koordinatensystems ist, das unter Koordinatenänderungen funktorial funktorisch ist.^[24] Beispiele für Objekte, die allgemeinere Arten von Transformationsgesetzen befolgen, sind Jets und allgemeiner still, Natürliche Bündel.^[25][26]

Spinoren

Wenn Sie von einem wechseln Orthonormale Basis (genannt rahmen) zu einem anderen durch eine Rotation, die Komponenten einer Tensor -Transformation durch dieselbe Rotation. Diese Transformation hängt nicht vom Weg durch den Raum der Frames ab. Der Rahmenraum ist jedoch nicht Einfach verbunden (sehen Ausrichtung und Plattentrick): Es gibt kontinuierliche Wege im Bereich von Frames mit den gleichen Anfangs- und Endkonfigurationen, die nicht in den anderen verformbar sind. Es ist möglich, einen zusätzlichen diskreten Invarianten an jeden Rahmen anzuhängen, der diese Pfadabhängigkeit einbezieht und sich (lokal) als Werte von ± 1 herausstellt.^[27] EIN Spinor ist ein Objekt, das sich wie ein Tensor unter Rotationen im Rahmen verwandelt, abgesehen von einem möglichen Vorzeichen, das durch den Wert dieser diskreten Invariante bestimmt wird.^[28][29]

Vornehmend sind Spinoren Elemente der Spin -Darstellung der Rotationsgruppe, während Tensoren Elemente ihrer sind Tensor -Darstellungen. Sonstiges Klassische Gruppen haben Tensor-Darstellungen und damit auch Tensoren, die mit der Gruppe kompatibel sind, aber alle nicht kompakten klassischen Gruppen haben unendlich-dimensionale einheitliche Darstellungen.

Geschichte

Die Konzepte der späteren Tensoranalyse ergaben sich aus der Arbeit von Carl Friedrich Gauß in Differentialgeometrieund die Formulierung wurde stark von der Theorie von beeinflusst algebraische Formen und Invarianten entwickelten sich in der Mitte des neunzehnten Jahrhunderts.^[30] Das Wort "Tensor" selbst wurde 1846 von vorgestellt William Rowan Hamilton^[31] Etwas anderes zu beschreiben, was jetzt mit einem Tensor gemeint ist.^{[Notiz 3]} Die zeitgenössische Verwendung wurde von eingeführt von Woldemar Voigt 1898.^[32]

Tensor Calculus wurde um 1890 von 1890 entwickelt Gregorio Ricci-Curbastro unter dem Titel Absolute Differentialrechnungund ursprünglich 1892 von Ricci-Curbastro präsentiert.^[33] Es wurde für viele Mathematiker durch die Veröffentlichung von Ricci-Curbastro und durch die Veröffentlichung von Ricci-Curbastro zugänglich gemacht Tullio Levi-Civita1900 klassischer Text Méthodes de Calcul Différentiel Absolu et Leurs Anwendungen (Methoden des absoluten Differentialkalküls und deren Anwendungen).^[34]

Im 20. Jahrhundert wurde das Thema als bekannt als bekannt als Tensoranalyseund erreichte eine breitere Akzeptanz mit der Einführung von Einstein's Theorie von generelle Relativitätum 1915. Die allgemeine Relativitätstheorie wird vollständig in der Sprache der Tensoren formuliert. Einstein hatte mit großen Schwierigkeiten vom Geometer von ihnen erfahren Marcel Grossmann.^[35] Levi-Civita initiierte dann eine Korrespondenz mit Einstein, um Fehler zu korrigieren, die Einstein bei der Verwendung der Tensoranalyse gemacht hatte. Die Korrespondenz dauerte 1915–17 und wurde durch gegenseitigen Respekt gekennzeichnet:

Ich bewundere die Eleganz Ihrer Berechnungsmethode; Es muss schön sein, diese Felder über das Pferd der wahren Mathematik zu reiten, während die ähnlichen von uns zu Fuß mühsam den Weg machen müssen.

-Albert Einstein^[36]

Es wurde auch festgestellt, dass Tensoren in anderen Bereichen nützlich sind Kontinuumsmechanik. Einige bekannte Beispiele für Tensoren in Differentialgeometrie sind quadratische Formen wie zum Beispiel Metrische Tensoren, und die Riemann -Krümmungstensor. Das Außenalgebra von Hermann Grassmann, ab der Mitte des neunzehnten Jahrhunderts, ist selbst eine Tensortheorie und hoch geometrisch, aber es war einige Zeit, bis sie gesehen wurde, mit der Theorie von Differentialformen, wie natürlich einheitlich mit Tensorrechnung. Die Arbeit von Élie Cartan machte unterschiedliche Formen zu einer der grundlegenden Arten von Tensoren, die in der Mathematik verwendet werden.

Ab den 1920er Jahren wurde erkannt, dass Tensoren eine grundlegende Rolle spielen Algebraische Topologie (zum Beispiel in der Künneth Theorem).^[37] Entsprechend arbeiten in vielen Zweigen von Tensoren Arten von Tensoren Zusammenfassung Algebra, speziell in Homologische Algebra und Repräsentationstheorie. Multilineare Algebra kann in größerer Allgemeinheit entwickelt werden als für Skalare von a aufstellen. Zum Beispiel können Skalare von a kommen Ring. Aber die Theorie ist dann weniger geometrisch und berechnet technischer und weniger algorithmisch.^[38] Tensoren werden innerhalb verallgemeinert Kategoriestheorie durch das Konzept von Monoidale Kategorie, aus den 1960er Jahren.^[39]

Siehe auch

• Array -Datentypfür Tensorspeicher und Manipulation

Grundlegend

• Kartesischer Tensor
• Faserbündel
• Glossar der Tensortheorie
• Multilineare Projektion
• Einform
• Tensorprodukt von Modulen

Anwendungen

• Anwendung der Tensortheorie in Engineering
• Kontinuumsmechanik
• Kovariante Derivat
• Krümmung
• Diffusion Tensor MRT
• Einstein -Feldgleichungen
• Strömungsmechanik
• Schwere
• Multilineares Subspace -Lernen
• Riemannian Geometrie
• Struktur -Tensor
• Tensor -Zersetzung
• Tensorderivat
• Tensorsoftware

Erläuternder Vermerk

Verweise

Spezifisch

Allgemein

• Dieser Artikel enthält Material von Tensor auf Planetmath, die unter der Creative Commons Attribution/Share-Alike-Lizenz lizenziert ist.

Externe Links

• Weisstein, Eric W. "Tensor". Mathord.
• Ray M. Bowen und C. C. Wang (1976). Einführung in Vektoren und Tensoren, Vol 1: Lineare und multilineare Algebra. New York, NY.: Plenum Press. HDL:1969.1/2502. ISBN 9780306375088.{{}}: CS1 Wartung: Verwendet Autorenparameter (Link)
• Ray M. Bowen und C. C. Wang (2006). Einführung in Vektoren und Tensoren, Band 2: Vektor- und Tensoranalyse. HDL:1969.1/3609. ISBN 9780306375095.{{}}: CS1 Wartung: Verwendet Autorenparameter (Link)
• Eine Einführung in Tensoren für Studenten von Physik und Ingenieurwesen von Joseph C. Kolecki, Glenn Research Center, Cleveland, Ohio, veröffentlicht von von NASA
• Grundlagen der Tensoranalyse für Studierende von Physik und Ingenieurwesen mit Einführung in die Theorie der Relativitätstheorie von Joseph C. Kolecki, Glenn Research Center, Cleveland, Ohio, veröffentlicht von von NASA
• Eine Diskussion über die verschiedenen Ansätze für das Unterrichten von Tensoren und Empfehlungen von Lehrbüchern
• Sharipov, Ruslan (2004). "Schnelle Einführung in die Tensoranalyse". Arxiv:math.ho/0403252.
• Richard Feynmans Vortrag über Tensoren.