Tautologische Einform

Im Mathematik, das Tautologische Einform ist ein besonderes 1-Form definiert auf dem Cotangent Bündel ${\ displayStyle t^{*} q}$ von a vielfältig ${\ displayStyle Q.}$ Im PhysikEs wird verwendet, um eine Korrespondenz zwischen der Geschwindigkeit eines Punktes in einem mechanischen System und seinem Impuls zu erzeugen und so eine Brücke zwischen der Brücke zu liefern Lagrange -Mechanik mit Hamiltonsche Mechanik (auf dem Verteiler ${\ displayStyle q}$).

Das Außenableitung dieser Form definiert a Sympplektische Form geben ${\ displayStyle t^{*} q}$ die Struktur von a Sympplektisch vielfältig. Die tautologische Einform spielt eine wichtige Rolle bei der Beziehung des Formalismus von Hamiltonsche Mechanik und Lagrange -Mechanik. Die tautologische Einform wird manchmal auch als genannt Liouville Einform, das Poincaré Einform, das kanonisch Einform, oder der Sympplektisches Potential. Ein ähnliches Objekt ist das kanonisches Vektorfeld auf der Tangentenbündel.

Um die tautologische Einform zu definieren, wählen Sie ein Koordinatendiagramm aus ${\ displayStyle u}$ an ${\ displayStyle t^{*} q}$ und ein kanonische Koordinate System auf ${\ displayStyle u.}$ Wählen Sie einen willkürlichen Punkt ${\ displayStyle m \ in t^{*} q.}$ Per Definition von Cotangent Bündel, ${\ displayStyle m = (q, p),},},}$ wo ${\ displayStyle q \ in q}$ und ${\ displayStyle p \ in t_ {q}^{*} q.}$ Die tautologische Einform ${\ displaystyle \ theta _ {m}: t_ {m} t^{*} q \ to \ mathbb {r}}$ wird gegeben von

mit ${\ displayStyle n = \ mathop {\ text {dim}} q}$ und ${\ displayStyle (p_ {1}, \ ldots, p_ {n}) \ in u \ subseteq \ mathbb {r} ^{n}}$ die Koordinatenrepräsentation von sein ${\ displayStyle p.}$

Alle Koordinaten auf ${\ displayStyle t^{*} q}$ das bewahrt diese Definition bis zu einem totalen Differential (genaue Form), kann als kanonische Koordinaten bezeichnet werden; Transformationen zwischen verschiedenen kanonischen Koordinatensystemen werden als bezeichnet als Kanonische Transformationen.

Das kanonische symplectische Form, auch bekannt als die Poincaré Zwei-Form, wird gegeben durch

Die Erweiterung dieses Konzepts auf allgemeine Faserbündel ist als die bekannt Lötenform. Nach Konvention verwendet man den Ausdruck "kanonische Form", wenn das Formular eine eindeutige kanonische Definition hat, und man verwendet den Begriff "Lötformular", wenn eine willkürliche Wahl getroffen werden muss. Im Algebraische Geometrie und Komplexe Geometrie Der Begriff "kanonisch" ist aufgrund der Verwirrung mit dem entmutigt kanonische Klasseund der Begriff "tautologisch" wird bevorzugt, wie in Tautologisches Bündel.

Physikalische Interpretation

Die Variablen ${\ displayStyle q_ {i}}$ sollen verstanden werden als Verallgemeinerte Koordinaten, damit ein Punkt ${\ displayStyle q \ in q}$ ist ein Punkt in Konfigurationsraum. Der Tangentenraum ${\ displayStyle tq}$ entspricht Geschwindigkeiten, so dass wenn ${\ displayStyle q}$ bewegt sich entlang eines Weges ${\ displayStyle q (t),}$ die sofortige Geschwindigkeit bei ${\ displayStyle t = 0}$ entspricht einem Punkt

auf dem Tangentenverteiler ${\ displayStyle tq,}$ Für den angegebenen Ort des Systems am Punkt ${\ displayStyle q \ in Q.}$ Geschwindigkeiten sind für die angemessen Lagrange -Formulierung der klassischen Mechanik, aber in der Hamiltonsche FormulierungMan arbeitet mit Impulse und nicht mit Geschwindigkeiten; Die tautologische Einform ist ein Gerät, das Geschwindigkeiten in Impulse umwandelt.

Das heißt, die tautologische Einform weist dem Schwung einen numerischen Wert zu ${\ displayStyle p}$ Für jede Geschwindigkeit ${\ displayStyle {\ dot {q}},},}$ Und mehr: Es tut so, dass sie "in die gleiche Richtung" und linear zeigen, dass die Größen proportional wachsen. Es wird "tautologisch" genannt, gerade weil "natürlich", Geschwindigkeit und Impulse notwendigerweise proportional zu einem anderen sind. Es ist eine Art von Lötenform, Weil es "klebt" oder "Soldaten" jede Geschwindigkeit zu einem entsprechenden Impuls. Die Wahl des Klebens ist einzigartig; Jeder Momentum -Vektor entspricht per Definition nur einem Geschwindigkeitsvektor. Die tautologische Einform kann als Gerät für die Konvertierung von Lagrange-Mechanik in die Hamiltonsche Mechanik angesehen werden.

Koordinatefreie Definition

Die tautologische 1-Form kann auch ziemlich abstrakt wie eine Form auf Phasenraum. Lassen ${\ displayStyle q}$ ein Verteiler sein und ${\ displayStyle m = t^{*} q}$ sei der Cotangent Bündel oder Phasenraum. Lassen

Sei die kanonische Faserbündelprojektion und lassen sei der induziert Tangentenkarte. Lassen ${\ displayStyle m}$ sich einsetzen auf ${\ displayStyle M.}$ Seit ${\ displayStyle m}$ Ist das Kotangent -Bündel, wir können verstehen ${\ displayStyle m}$ eine Karte des Tangentenraums sein ${\ displayStyle q = \ pi (m)}$:

Das heißt, wir haben das ${\ displayStyle m}$ ist in der Faser von ${\ displayStyle q.}$ Die tautologische Einform ${\ displayStyle \ theta _ {m}}$ am Punkt ${\ displayStyle m}$ wird dann definiert sein

Es ist eine lineare Karte

und so

Sympplektisches Potential

Das symplectische Potential ist im Allgemeinen etwas freier und nur lokal definiert: Es ist jede Einformation ${\ displayStyle \ phi}$ so dass ${\ displayStyle \ Omega = -d \ phi}$; Tatsächlich unterscheiden sich die sympplektischen Potentiale von der kanonischen 1-Form durch a geschlossene Form.

Eigenschaften

Die tautologische Einform ist die einzigartige Einform, die "absagt" zurückziehen. Das heißt, lass ${\ displayStyle \ Beta}$ 1-Form auf sein ${\ displayStyle Q.}$ ${\ displayStyle \ Beta}$ ist ein Sektion ${\ displayStyle \ Beta: q \ to t^{*} q.}$ Für eine willkürliche 1-Form ${\ displayStyle \ Omega}$ an ${\ displayStyle t^{*} q,}$ Der Rückzug von ${\ displayStyle \ Omega}$ durch ${\ displayStyle \ Beta}$ ist per Definition, ${\ displayStyle \ Beta ^{*} \ Omega: = \ Omega \ circ \ Beta _ {*}.}$ Hier, ${\ displayStyle \ Beta _ {*}: tq \ to tt^{*} q}$ ist der vorstoßen von ${\ displayStyle \ Beta.}$ Wie ${\ displayStyle \ Beta,}$ ${\ displayStyle \ Beta ^{*} \ Omega}$ ist eine 1-Form auf ${\ displayStyle Q.}$ Die tautologische Einform ${\ displayStyle \ theta}$ ist die einzige Form mit der Eigenschaft, die ${\ displayStyle \ Beta ^{*} \ theta = \ Beta,},}$ Für jede 1-Form ${\ displayStyle \ Beta}$ an ${\ displayStyle Q.}$

Nachweisen.

Für ein Diagramm ${\ displayStyle (\ {q^{i} \} _ {i = 1}^{n}, u)}$ an ${\ displayStyle q}$ (wo ${\ displayStyle u \ subseteq \ mathbb {r} ^{n}),},}$ Lassen ${\ displaystyle \ {p_ {i}, q^{i} \} _ {i = 1}^{n}}$ die Koordinaten sein ${\ displayStyle t^{*} q,}$ Wo die Faserkoordinaten ${\ displaystyle \ {p_ {i} \} _ {i = 1}^{n}}$ sind mit der linearen Basis verbunden ${\ displaystyle \ {dq^{i} \} _ {i = 1}^{n}.}.$ Nach Annahme für jeden ${\ displayStyle {\ mathbf {q}} = (q^{1}, \ ldots, q^{n}) \ in u,}$ $$oder$$ oder $${\ displayStyle \ mathbf {q} = (q^{1}, \ ldots, q^{n}) \ {\ stackrel {\ beta} {\ to}} \ (\ unterbrace {q^{1}, \ \ \ \}} \ (\ unterbrace {q^{1}, \ ldots, q^{n}} _ {\ mathbf {q}}, \ unterbrace {\ beta _ {1} (\ mathbf {q}), \ ldots, \ beta _ {n} (\ mathbf {q}} _ {\ mathbf {p}})).}$$ Es folgt dem $$oder \ partial} {\ partial q^{i}}} {\ biggl |} _ {\ beta (\ mathbf {q})}+\ sum _ {j = 1}^{n} {\ frac {\ partial \ \ Beta _ {j}} {\ partial q^{i}}} {\ biggl |} _ {\ mathbf {q}} \ cdot {\ frac {\ partial} {\ partial p_ {j}} {\ \ biggl |} _ {\ beta (\ mathbf {q})}}$$ das impliziert das $${\ displaystyle (\ beta^{*} \, dq^{i}) \ links ({\ partial /\ partial q^{j} \ rechts) _ {\ mathbf {q} = dq^{i} \ links [\ beta _ {*} \ links ({\ partial /\ partial q^{j}} \ rechts) _ {\ mathbf {q}} \ rechts] = \ Delta _ {ij}.}$$ Schritt 1. Wir haben $$oder \ beta _ {*} \ links (\ partial /\ partial q^{i} \ rechts) _ {\ mathbf {q}} \ rechts) = \ links (\ sum _ {j = 1}^{n} p_ oder = \ beta _ {i} (\ mathbf {q}) = \ beta \ links (\ partial /\ partial q^{i} \ right) _ {\ mathbf {q}}. \ end {Aligned}}}}$$ Schritt 1'. Zur Vollständigkeit geben wir nun einen koordinatenfreien Beweis dafür ${\ displayStyle \ Beta ^{*} \ theta = \ Beta,},}$ Für jede 1-Form ${\ displayStyle \ Beta.}$ Beobachten Sie das intuitiv für jeden ${\ displayStyle q \ in q}$ und ${\ displayStyle p \ in t_ {q}^{*} q,}$ die lineare Karte ${\ displayStyle d \ pi _ {(q, p)}}$ in der Definition von ${\ displayStyle \ theta}$ projiziert den Tangentenraum ${\ displayStyle t _ {(q, p)} t^{*} q}$ auf seinen Unterraum ${\ displayStyle t_ {q} q.}$ Als Folge für jeden ${\ displayStyle q \ in q}$ und ${\ displayStyle v \ in t_ {q} q,}$ $${\ displayStyle d \ pi _ {\ beta (q)} (\ beta _ {*q} v) = v,}$$ wo ${\ displayStyle \ Beta _ {*q}}$ ist die Instanz von ${\ displayStyle \ Beta _ {*}}$ am Punkt ${\ displayStyle q \ in q,}$ das ist, $$oder$$ Anwendung der koordinatenfreien Definition von ${\ displayStyle \ theta}$ zu ${\ displaystyle \ theta _ {\ beta (q)},},}$ erhalten $$oder {\ beta (q)} (\ beta _ {*q} v)) = \ Beta (q) v.}$$ Schritt 2. Es reicht aus, das zu zeigen ${\ displayStyle \ alpha = 0}$ wenn ${\ displayStyle \ Beta ^{*} \ alpha = 0,}$ Für jede Einform ${\ displayStyle \ Beta.}$ Lassen $$oder sum _ {i = 1}^{n} \ alpha _ {p_ {i}} (\ mathbf {p}, \ mathbf {q}) \, dp_ {i},}$$ wo $oder }).}$ Ersetzen ${\ displayStyle v = \ links (\ partial /\ partial q_ {i} \ rechts) _ {\ mathbf {q}}}$ in die Identität ${\ displaystyle \ alpha (\ beta _ {*} v) = 0}$ erhalten $$oder } /\ partial q^{i}) _ {\ mathbf {q} \ \ cdot \ alpha (\ partial /\ partial p_ {j}) _ {\ beta (\ mathbf {q})} = 0,}}$$ oder gleichwertig für jede Wahl von ${\ displayStyle n}$ Funktionen ${\ displaystyle p_ {i} = \ beta _ {i} (\ mathbf {q}),},},},}$ $${\ displaystyle \ alpha _ {q^{i}} (\ mathbf {p}, \ mathbf {q})+\ sum _ {j = 1}^{n} \ partial p_ {j}/\ partial q^ {i} \ cdot \ alpha _ {p_ {j}} (\ mathbf {p}, \ mathbf {q}) = 0.}$$ Lassen ${\ displayStyle \ Beta = \ sum _ {j = 1}^{n} c_ {j} dq^{j},}$ wo ${\ displayStyle c_ {j} = {\ text {const}}.}$ In diesem Fall, ${\ displayStyle \ Beta _ {j} = c_ {j}.}$ Für jeden ${\ displaystyle \ mathbf {q} \ in u}$ und ${\ displayStyle c_ {j} \ in \ mathbb {r},},}$ $$oder }} = 0.}$$ Dies zeigt, dass ${\ displaystyle \ alpha _ {q^{i}} (\ mathbf {p}, \ mathbf {q}) = 0}$ an ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n} \ times u,}$ und die Identität $$oder q}) = 0}$$ Muss für eine willkürliche Wahl der Funktionen halten ${\ displaystyle p_ {i} = \ beta _ {i} (\ mathbf {q}).}.}.$ Wenn ${\ displayStyle \ Beta = \ sum _ {j = 1}^{n} c_ {j} q^{j} dq^{j}}$ (mit ${\ displayStyle {}^{j}}$ Superscript angeben) dann ${\ displayStyle \ Beta _ {j} = c_ {j} q^{j},},}$ und die Identität wird $$oder q^{j}} = 0,}$$ für jeden ${\ displaystyle \ mathbf {q} \ in u}$ und ${\ displayStyle c_ {j} \ in \ mathbb {r}.}$ Seit ${\ displaystyle c_ {j} = p^{j}/q^{j},},},}$ wir sehen das ${\ displaystyle \ alpha _ {p_ {i}} (\ mathbf {p}, \ mathbf {q}) = 0,}$ so lange wie ${\ displayStyle q^{j} \ neq 0}$ für alle ${\ displayStyle j.}$ Andererseits die Funktion ${\ displaystyle \ alpha _ {p_ {i}}}$ ist kontinuierlich und daher ${\ displaystyle \ alpha _ {p_ {i}} (\ mathbf {p}, \ mathbf {q}) = 0}$ an ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n} \ times u.}$

Also, durch die Kommutation zwischen dem Rückzug und dem Außenableitscher,,

Aktion

Wenn ${\ displayStyle H}$ ist ein Hamiltonian auf der Cotangent Bündel und ${\ displayStyle x_ {h}}$ ist es Hamiltonian Flowdann die entsprechende Aktion ${\ displayStyle S}$ wird gegeben von

In prosaischeren Begriffen stellt der Hamiltonsche Fluss die klassische Flugbahn eines mechanischen Systems dar, das dem gehorcht Hamilton-Jakobi-Bewegungsgleichungen. Der Hamiltonsche Fluss ist das Integral des Hamiltonschen Vektorfelds, und so schreibt man mit traditioneller Notation für Aktion-Winkelvariablen:

mit dem Integral, das über den Verteiler übernommen wird, der durch Halten der Energie definiert wird ${\ displayStyle e}$ Konstante: ${\ displayStyle h = e = {\ text {const}}.}$

Auf metrischen Räumen

Wenn der Verteiler ${\ displayStyle q}$ Hat einen Riemannianer oder Pseudo-Riemannianer metrisch ${\ displayStyle g,}$ dann können entsprechende Definitionen in Bezug auf angegeben werden Verallgemeinerte Koordinaten. Insbesondere, wenn wir die Metrik als Karte einnehmen

dann definieren und

In verallgemeinerten Koordinaten ${\ displayStyle (q^{1}, \ ldots, q^{n}, {\ dot {q}}^{1}, \ ldots, {\ dot {q}}^{n})}}$ an ${\ displayStyle tq,}$ hat man

und

Die Metrik ermöglicht es, eine Einheit-Radius-Kugel in zu definieren ${\ displayStyle t^{*} q.}$ Die auf diese Kugel beschränkte kanonische Einform bildet a Kontaktstruktur; Die Kontaktstruktur kann verwendet werden, um die zu erzeugen Geodätische Fluss für diese Metrik.

Verweise

• Ralph Abraham und Jerrold E. Marsden, Grundlagen der Mechanik, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN0-8053-0102-x Siehe Abschnitt 3.2.