Szemerédi Regelmäßigkeit Lemma

Die Kanten zwischen Teilen verhalten sich in einer "zufälligen" Weise.

Szemerédi Regelmäßigkeit Lemma ist eines der mächtigsten Werkzeuge in Extremalische Graphentheorieinsbesondere bei der Untersuchung großer dichter Graphen. Es besagt, dass die Eckpunkte aller groß genug groß genug sind Graph kann in eine begrenzte Anzahl von Teilen aufgeteilt werden, so dass sich die Kanten zwischen verschiedenen Teilen fast zufällig verhalten.

Laut Lemma können wir es mit den Kantendichten zwischen einer begrenzten Anzahl von Teilen annähern, egal wie groß ein Diagramm ist. Zwischen zwei beliebigen Teilen wird die Verteilung der Kanten Pseudorandom gemäß der Kantendichte sein. Diese Näherungen liefern im Wesentlichen korrekte Werte für verschiedene Eigenschaften des Diagramms, z.

Aussage

Um Szemerédi von Lemma formell zu sagen, müssen wir formalisieren, was die Kantenverteilung zwischen Teilen, die sich „fast zufällig“ verhalten, wirklich bedeutet. Mit "fast zufällig" beziehen wir uns auf einen Begriff namens namens ε-Regelmäßigkeit. Um zu verstehen, was dies bedeutet, geben wir zunächst einige Definitionen an. In dem, was folgt G ist eine Grafik mit Scheitel einstellen V.

Definition 1. Lassen XAnwesendY sich disjunkt sein V. Das Kantendichte des Paares (XAnwesendY) ist definiert als:

${\ displayStyle d (x, y): = {\ frac {\ links | e (x, y) \ rechts |} {| x || y |}}}$

wo E(XAnwesendY) bezeichnet den Satz von Kanten mit einem Endscheitelpunkt in X und einer in Y.

Untermengenpaare eines regulären Paares sind in der Kantendichte dem ursprünglichen Paar ähnlich.

Wir nennen ein Paar Teile ε-Erregular, wenn Sie, wenn Sie eine große Teilmenge jedes Teils einnehmen, ihre Kantendichte nicht zu weit von der Kantendichte des Paares von Teilen entfernt ist. Formal,

Definition 2. Zum ε> 0, ein Paar Scheitelpunktsätze X und Y wird genannt ε-regulär, wenn für alle Teilmengen A⊆X, B⊆Y befriedigend |A| ≥ ε |X|, |B| ≥ ε |Y|, wir haben

${\ displaystyle \ links | d (x, y) -d (a, b) \ rechts | \ leq \ varepsilon.}$

Der natürliche Weg, um eine zu definieren ε-reguläre Partition sollte eine sein, bei der jedes Teilepaar ist ε-regulär. Einige Grafiken wie die jedoch halbe Grafikenmüssen viele Partitionen (aber einen kleinen Teil aller Paare) unregelmäßig sein.^[1] Also werden wir definieren ε-reguläre Partitionen sind eine, bei der die meisten Teilepaare sind ε-regulär.

Definition 3. Eine Partition von ${\ displayStyle v}$ hinein ${\ displayStyle K}$ Sets ${\ displayStyle {\ mathcal {p}} = \ {v_ {1}, \ ldots, v_ {k} \}}$ wird als ein genannt ${\ displayStyle \ varepsilon}$-reguläre Partition wenn

$oder \ varepsilon | v (g) |^{2}}$

Jetzt können wir das Lemma angeben:

Szemerédis Regelmäßigkeit Lemma. Für jeden ε> 0 und positiv ganze Zahl m Es gibt eine Ganzzahl M so dass wenn G ist eine Grafik mit zumindest M Scheitelpunkte, es gibt eine Ganzzahl k im Bereich m≤k≤M und ein ε-reguläre Partition des Scheitelpunktsatzes von G hinein k Sets.

Die gebundene M Für die Anzahl der Teile in der Partition der Grafik, die durch die Nachweise von Szemedis Regelmäßigkeit vorliegt, ist Lemma sehr groß, gegeben durch a O (ε^–5)-Level -iteriertes Exponential von m. Zu einer Zeit hoffte es, dass die wahre gebundene Grenze viel kleiner war, was mehrere nützliche Anwendungen gehabt hätte. Jedoch Gowers (1997) gefunden Beispiele für Grafiken, für die M wächst in der Tat sehr schnell und ist mindestens so groß wie ε^–1/16-Level -iteriertes Exponential von m. Insbesondere die bestgebundene hat genau 4 in der Grzegorczyk Hierarchieund so ist kein elementare rekursive Funktion.^[2]

Nachweisen

Die Grenzen der Unregelmäßigkeit, die Zeuge von Untergruppen beobachten, verfeinern jeden Teil der Partition.

Wir werden nach einem Algorithmus eine ε-reguläre Partition für einen bestimmten Diagramm finden. Eine grobe Umrisse:

1. Beginnen Sie mit einer willkürlichen Partition (könnte nur 1 Teil sein)
2. Während die Partition nicht ε-regulär ist:
   • Finden Sie die Teilmengen, die für jedes unregelmäßige Paar ε-Irizeität bezeugen.
   • Verfeinern Sie gleichzeitig die Partition mit allen Zeugen -Untergruppen.

Wir wenden eine Technik namens the an Energie inkrementiert um zu zeigen, dass dieser Prozess nach einer begrenzten Anzahl von Schritten endet. Grundsätzlich definieren wir einen Monovarianten, der in jedem Schritt um einen bestimmten Betrag erhöhen muss, aber er ist oben begrenzt und kann somit nicht auf unbestimmte Zeit erhöhen. Dieser Monovariante wird als "Energie" bezeichnet, da es ein ist ${\ displayStyle l^{2}}$ Anzahl.

Definition 4. Lassen UAnwesendW Untergruppen von V. Satz ${\ displayStyle | v | = n}$. Das Energie des Paares (UAnwesendW) ist definiert als:

$oder$

Für Partitionen $oder$ von U und $oder$ von WWir definieren die Energie als die Summe der Energien zwischen jedem Teilepaar:

$oder }^{l} q (u_ {i}, w_ {j})}$

Zum Schluss für eine Partition ${\ displayStyle {\ mathcal {p}} = \ {v_ {1}, \ ldots, v_ {k} \}}$ von Vdefinieren die Energie von ${\ displaystyle {\ mathcal {p}}}$ sein ${\ displayStyle q ({\ mathcal {p}}, {\ mathcal {p}})}$. Speziell,

$oder = \ sum _ {i = 1}^{k} \ sum _ {j = 1}^{k} {\ frac {| v_ {i} || v_ {j} |} {n^{2}}} d (v_ {i}, v_ {j})^{2}}$

Beachten Sie, dass die Energie zwischen 0 und 1 liegt, da die Kantendichte oben durch 1 begrenzt ist:

$oder oder }^{k} {\ frac {| v_ {i} || v_ {j} |} {n^{2}} = 1}$

Jetzt beginnen wir zunächst, dass die Energie bei der Verfeinerung nicht abnimmt.

Lemma 1. (Energie ist unter der Partitionierung nicht für alle Partitionen ${\ displaystyle {\ mathcal {p}} _ {u}}$ und ${\ displaystyle {\ mathcal {p}} _ {w}}$ von Scheitelpunkten ${\ displayStyle u}$ und ${\ displayStyle W}$, $oder$.

Nachweisen: Lassen $oder$ und $oder$. Wählen Sie Scheitelpunkte ${\ displayStyle x}$ einheitlich von ${\ displayStyle u}$ und ${\ displayStyle y}$ einheitlich von ${\ displayStyle W}$, mit ${\ displayStyle x}$ teilweise ${\ displayStyle u_ {i}}$ und ${\ displayStyle y}$ teilweise ${\ displayStyle w_ {j}}$. Definieren Sie dann die zufällige Variable ${\ displayStyle z = d (u_ {i}, w_ {j})}$. Schauen wir uns die Eigenschaften von an ${\ displayStyle z}$. Die Erwartung ist

$oder |}} {\ frac {| w_ {j} |} {| w |}} d (u_ {i}, w_ {j}) = {\ frac {e (u, w)} {| u || w |}} = d (u, w)}$

Der zweite Moment ist

$oder } {| U |}} {\ frac {| w_ {j} | {| w |}} d (u_ {i}, w_ {j})^{2} = {\ frac {n^{2} } {| U || w |}} q ({\ mathcal {p}} _ {u}, {\ mathcal {p} _ {w})}$

Durch Konvexität, $oder$. Um zu arrangieren, bekommen wir das $oder$ für alle ${\ displayStyle u, w}$.${\ displayStyle \ Square}$

Wenn jeder Teil von ${\ displaystyle {\ mathcal {p}}}$ wird weiter verteilt, die neue Partition wird als Verfeinerung von als Verfeinerung bezeichnet ${\ displaystyle {\ mathcal {p}}}$. Nun, wenn ${\ displayStyle {\ mathcal {p}} = \ {v_ {1}, \ ldots, v_ {m} \}}$Lemma 1 auf jedes Paar auftragen ${\ displayStyle (v_ {i}, v_ {j})}$ beweist das für jede Verfeinerung ${\ displaystyle {\ mathcal {p '}}}$ von ${\ displaystyle {\ mathcal {p}}}$, $oder$. Somit verliert der Verfeinerungsschritt im Algorithmus keine Energie.

Lemma 2. (Energy Boost Lemma) Wenn ${\ displayStyle (u, w)}$ ist nicht ${\ displayStyle \ varepsilon}$-regulär wie Zeuge von ${\ displayStyle u_ {1} \ subset u, w_ {1} \ subset W}$, dann,

$oder +\ varepsilon ^{4} {\ frac {| u || w |} {n ^{2}}}}$

Nachweisen: Definieren ${\ displayStyle z}$ wie oben. Dann,

$oder |}} \ links (q \ links (\ {u_ {1}, u \ backslash u_ {1} \}, \ {w_ {1}, w \ backslash w_ {1} \ \ rechts) -Q (u ,Wright)}$

Aber beobachte das ${\ displayStyle | z- \ mathbb {e} [z] | = | d (u_ {1}, w_ {1})-d (u, w) |$ mit Wahrscheinlichkeit $oder$(korrespondierend zu ${\ displayStyle x \ in u_ {1}}$ und ${\ displayStyle y \ in W_ {1}}$), Also

$oder oder CDOT \ varepsilon ^{2}}$ ${\ displayStyle \ Square}$

Jetzt können wir das Argument für Energieinkremente nachweisen, das zeigt, dass die Energie in jeder Iteration des Algorithmus erheblich zunimmt.

Lemma 3 (Energie inkrementiert Lemma) Wenn eine Partition ${\ displayStyle {\ mathcal {p}} = \ {v_ {1}, \ ldots, v_ {k} \}}$ von ${\ displayStyle v (g)}$ ist nicht ${\ displayStyle \ varepsilon}$-regulär, dann gibt es eine Verfeinerung ${\ displaystyle {\ mathcal {q}}}$ von ${\ displaystyle {\ mathcal {p}}}$ wo jeder ${\ displayStyle v_ {i}}$ wird in höchstem Maße aufgeteilt ${\ displayStyle 2^{k}}$ Teile so dass

$oder$

Nachweisen: Für alle ${\ displayStyle (i, j)}$ so dass ${\ displayStyle (v_ {i}, v_ {j})}$ ist nicht ${\ displayStyle \ varepsilon}$-regulär, finde ${\ displayStyle a^{i, j} \ subset v_ {i}}$ und ${\ displayStyle a^{j, i} \ subset v_ {j}}$ Diese Zeuge Unregelmäßigkeit (dies gleichzeitig für alle unregelmäßigen Paare tun). Lassen ${\ displaystyle {\ mathcal {q}}}$ eine häufige Verfeinerung von sein ${\ displaystyle {\ mathcal {p}}}$ durch ${\ displayStyle a^{i, j}}$'s. Jeder ${\ displayStyle v_ {i}}$ wird in höchstem Maße aufgeteilt ${\ displayStyle 2^{k}}$ Teile wie gewünscht. Dann,

${\ displayStyle q ({\ mathcal {q}}) = \ sum _ {(i, j) \ in [k]^{2}} q ({\ mathcal {q}} _ {v_ {i}},, oder oder not }}\varepsilon {\text{-regular}}}q({\mathcal {Q}}_{V_{i}},{\mathcal {Q}}_{V_{j}})}$

Wo ${\ displaystyle {\ mathcal {q}} _ {v_ {i}}}$ ist die Teilung von ${\ displayStyle v_ {i}}$ gegeben durch ${\ displaystyle {\ mathcal {q}}}$. Mit Lemma 1 ist die obige Menge mindestens

$oder _ {(V_ {i}, v_ {j}) {\ text {nicht}} \ varepsilon {\ text {-regular}} q (\ {a^{i, j}, v_ {i} \ Backslash a ^{i, j} \}, \ {a^{j, i}, v_ {j} \ backslash a^{j, i} \})}$

Seit ${\ displayStyle v_ {i}}$ wird nachgeschnitten ${\ displayStyle a^{i, j}}$ beim Erstellen ${\ displaystyle {\ mathcal {q}}}$, Also ${\ displaystyle {\ mathcal {q}} _ {v_ {i}}}$ ist eine Verfeinerung von ${\ displaystyle \ {a^{i, j}, v_ {i} \ Backslash a^{i, j} \}}$. Mit Lemma 2 ist die oben genannte Summe mindestens

$oder {\ text {nicht}} \ varepsilon {\ text {-regular}}} \ varepsilon$

Aber die zweite Summe ist zumindest ${\ displayStyle \ varepsilon ^{5}}$ seit ${\ displaystyle {\ mathcal {p}}}$ ist nicht ${\ displayStyle \ varepsilon}$-regulär, also leiten wir die gewünschte Ungleichheit ab. ${\ displayStyle \ Square}$

Beginnend von jeder Partition können wir Lemma 3 weiter anwenden, solange die resultierende Partition nicht ist ${\ displayStyle \ varepsilon}$-regulär. Aber in jeder Stufe steigt die Energie um ${\ displayStyle \ varepsilon ^{5}}$und es ist oben auf 1. dann kann dieser Vorgang höchstens wiederholt werden ${\ displayStyle \ varepsilon ^{-5}}$ Zeiten, bevor es endet und wir müssen eine haben ${\ displayStyle \ varepsilon}$-reguläre Partition.

Anwendungen

Graph Counting Lemma

Wenn wir über genügend Informationen über die Regelmäßigkeit eines Diagramms verfügen, können wir die Anzahl der Kopien eines bestimmten Untergraphen innerhalb des Diagramms bis zu einem geringen Fehler zählen.

Graph Counting Lemma. Lassen ${\ displayStyle H}$ ein Diagramm sein mit ${\ displayStyle v (h) = [k]}$, und lass ${\ displayStyle \ varepsilon> 0}$. Lassen ${\ displayStyle g}$ Bohne ${\ displayStyle n}$-Vertex -Diagramm mit Scheitelpunktsätzen ${\ displayStyle v_ {1}, \ dots, v_ {k} \ subseteq v (g)}$ so dass ${\ displayStyle (v_ {i}, v_ {j})}$ ist ${\ displayStyle \ varepsilon}$-reguliert wann immer ${\ displayStyle \ {i, j \} \ in e (h)}$. Dann die Anzahl der beschrifteten Kopien von ${\ displayStyle H}$ in ${\ displayStyle g}$ ist innen ${\ displayStyle e (h) \ varepsilon | v_ {1} | \ cdots | v_ {k} |}$ von

$oder ^{k} | v_ {i} | \ rechts).}$

Dies kann mit Szemerédis Regelmäßigkeit Lemma kombiniert werden, um das zu beweisen Diagrammentfernung Lemma. Das Diagrammentfernungs -Lemma kann verwendet werden, um zu beweisen Roths Theorem über arithmetische Fortschritte,^[3] und eine Verallgemeinerung davon, die Hypergraphentfernung Lemmakann verwendet werden, um zu beweisen Szemerédi's Theorem.^[4]

Die Grafikentfernung lemma verallgemeinert auf induzierte Subgraphen, durch Berücksichtigung von Kanten Änderungen anstelle von Kantendeletionen. Dies wurde von Alon, Fischer, Krivelevich und Szegedy im Jahr 2000 bewiesen.^[5] Dies erforderte jedoch eine stärkere Variation der Regelmäßigkeit von Lemma.

Szemerédis Regelmäßigkeit Lemma liefert keine aussagekräftigen Ergebnisse in spärliche Grafiken. Da spärliche Diagramme subkonstante Kantendichten haben, ${\ displayStyle \ varepsilon}$-regularität ist trivial zufrieden. Obwohl das Ergebnis rein theoretisch erscheint, einige Versuche ^[6][7] wurden zur Verwendung der Regelmäßigkeitsmethode als Komprimierungstechnik für große Grafiken hergestellt.

Frieze-Kannan-Regelmäßigkeit

Eine andere Regelmäßigkeit der Regelmäßigkeit wurde von Frieze und Kannan eingeführt, bekannt als schwache Regelmäßigkeit Lemma.^[8] Dieses Lemma definiert einen schwächeren Begriff der Regelmäßigkeit als den von Szemerédi, der bessere Grenzen verwendet und in effizienten Algorithmen verwendet werden kann.

Bei einer Grafik ${\ displayStyle g = (v, e)}$, eine Teilung seiner Eckpunkte ${\ displayStyle {\ mathcal {p}} = \ {v_ {1}, \ ldots, v_ {k} \}}$ wird gesagt, dass Frieze-kannan ${\ displayStyle \ Epsilon}$-regulär, wenn für ein Paar von Sätzen ${\ displayStyle S, t \ subseteq v}$:

${\ displayStyle \ links | e (s, t)-\ sum _ {i, j = 1}^{k} d (v_ {i}, v_ {j}) | \ cap v_ {j} | \ rechts | \ leq \ epsilon | v |^{2}}$

Die schwache Regelmäßigkeit Lemma für Graphen besagt, dass jede Grafik eine schwache hat ${\ displayStyle \ Epsilon}$-reguläre Partition in höchstens ${\ displayStyle 4 ^{\ Epsilon ^{-2}}}$ Teile.

Dieser Begriff kann erweitert werden auf Graphons durch Definition eines Sprungbretts. Bei einem Graphon ${\ displayStyle W}$ und eine Partition ${\ displaystyle {\ mathcal {p}}}$ von ${\ displayStyle [0,1]}$wir können definieren ${\ displayStyle w _ {\ mathcal {p}}}$ als Stufengraphon mit Schritten von gegeben durch ${\ displaystyle {\ mathcal {p}}}$ und Werte durch Mittelung angegeben ${\ displayStyle W}$ über jeden Schritt.

Eine Partition ${\ displaystyle {\ mathcal {p}}}$ ist schwach ${\ displayStyle \ Epsilon}$-regulär wenn:

$oder$

Die schwache Regelmäßigkeit Lemma für Graphons besagt, dass jeder Graphon eine schwache hat ${\ displayStyle \ Epsilon}$-reguläre Partition in höchstens ${\ displayStyle 4 ^{\ Epsilon ^{-2}}}$ Teile. Wie bei Szemerédis Regelmäßigkeit Lemma führt auch die schwache Regelmäßigkeit zu einem Zähl -Lemma.

Algorithmische Anwendungen

Eine der anfänglichen Motivationen für die Entwicklung der schwachen Regelmäßigkeit von Lemma war die Suche nach einer effizienten Algorithmus zur Schätzung der Maximaler Schnitt in einem dichte Grafik.^[8] Es wurde gezeigt, dass die Annäherung an das maximale Problem über 16/17 über 16/17 approximiert ist Np-harte,^[9] Eine algorithmische Version der schwachen Regelmäßigkeit Lemma liefert jedoch einen effizienten Algorithmus für die Annäherung an die Maximum-Cut für dichte Graphen innerhalb eines ${\ displayStyle \ epsilon n^{2}}$ Additivfehler.^[8] Diese Ideen wurden weiter zu effizienten Stichprobenalgorithmen zur Schätzung der Maximum in dichten Graphen entwickelt.^[10]

Die kleineren Grenzen der schwachen Regelmäßigkeit Lemma ermöglichen effiziente Algorithmen, um eine zu finden ${\ displayStyle \ Epsilon}$-reguläre Partition.^[11] Die Regelmäßigkeit der Grafik wurde weiter in verschiedenen Bereichen von verwendet Theoretische Informatik, wie zum Beispiel Matrix-Multiplikation^[12] und Kommunikationskomplexität.^[13]

Starke Regelmäßigkeit Lemma

Die starke Regelmäßigkeit von Lemma ist eine stärkere Variation der Regelmäßigkeit von Lemma, die nachgewiesen wurde Alon, Fischer, Krivelevich, und Szegedy in 2000.^[5] Intuitiv liefert es Informationen zwischen nichtregulären Paaren und könnte angewendet werden, um das zu beweisen induzierte Graphenentfernung Lemma.

Aussage

Für jede unendliche Folge von Konstanten ${\ displayStyle \ Epsilon _ {0} \ Geq \ Epsilon _ {1} \ Geq ...> 0}$Es gibt eine Ganzzahl ${\ displayStyle m}$ so dass für jede Grafik ${\ displayStyle g}$Wir können zwei (gerechte) Partitionen erhalten ${\ displaystyle {\ mathcal {p}}}$ und ${\ displaystyle {\ mathcal {q}}}$ so dass die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

• ${\ displaystyle {\ mathcal {q}}}$ verfeinert ${\ displaystyle {\ mathcal {p}}}$, das ist jeder Teil von ${\ displaystyle {\ mathcal {p}}}$ ist die Vereinigung einer Sammlung von Teilen in ${\ displaystyle {\ mathcal {q}}}$.
• ${\ displaystyle {\ mathcal {p}}}$ ist ${\ displayStyle \ Epsilon _ {0}}$-regulär und ${\ displaystyle {\ mathcal {q}}}$ ist ${\ displaystyle \ epsilon _ {| {\ mathcal {p}} |}}$-regulär.
• ${\ displayStyle q ({\ mathcal {q}}) <q ({\ mathcal {p}})+\ epsilon _ {0}}$
• ${\ displayStyle | {\ mathcal {q}} | \ leq m}$

Nachweisen

Wir wenden die Regelmäßigkeit Lemma wiederholt an, um die stärkere Version zu beweisen. Eine grobe Umrisse:

• Beginnen mit ${\ displaystyle {\ mathcal {p}} _ {0}}$ Bohne ${\ displayStyle \ Epsilon _ {0}}$ Regelmäßige Trennwand

• Wiederholt seine Verfeinerung finden ${\ displaystyle {\ mathcal {q}}}$ das ist ${\ displaystyle \ epsilon _ {| {\ mathcal {p}} |}}$ regulär. Wenn das Energieerhöhung von ${\ displaystyle {\ mathcal {q}} \ leq \ epsilon _ {0}}$Wir kehren einfach zurück ${\ displayStyle ({\ mathcal {p}}, {\ mathcal {q}})}$. Ansonsten ersetzen wir ${\ displaystyle {\ mathcal {p}}}$ mit ${\ displaystyle {\ mathcal {q}}}$ und fortsetzen.

Wir beginnen mit ${\ displaystyle {\ mathcal {p}} _ {0}}$ Bohne ${\ displayStyle \ Epsilon _ {0}}$ Regelmäßige Aufteilung von ${\ displayStyle g}$ mit ${\ displayStyle \ leq m (\ epsilon _ {0})}$ Teile. Hier ${\ displayStyle m (t)}}$ entspricht der Grenze von Teilen in regelmäßiger Lemma, wenn ${\ displayStyle \ epsilon = t}$.

Jetzt für ${\ displayStyle i = 0,1, \ cdots}$, legen wir fest ${\ displayStyle {\ mathcal {p_ {i+1}}}}$ ein ... sein ${\ displayStyle \ epsilon _ {| p_ {i} |}}$Regelmäßige Verfeinerung von ${\ displaystyle {\ mathcal {p_ {i}}}}$ mit $oder$ Teile. Durch das Argument des Energy Increments, $oder$. Da ist die Energie eingegrenzt ${\ displayStyle [0,1]}$, Es muss einige geben ${\ displayStyle i \ leq 1/\ epsilon _ {0} +1}$ so dass $oder$. Wir kehren zurück ${\ displayStyle ({\ mathcal {p}} _ {i}, {\ mathcal {p}} _ {i+1})}$ wie ${\ displayStyle ({\ mathcal {p}}, {\ mathcal {q}})}$.

Durch unsere Wahl von ${\ displayStyle {\ mathcal {p}} _ {i+1},},},}$ Die regulären und Verfeinerungsbedingungen halten. Der Energiezustand hält trivial. Jetzt streiten wir uns für die Anzahl der Teile. Wir verwenden die Induktion, um das zu zeigen ${\ displayStyle \ forall i}$Es gibt es ${\ displayStyle m_ {i}}$ so dass ${\ displayStyle | {\ mathcal {p}} _ {i} | \ leq m_ {i}}$. Indem man es einstellt ${\ displayStyle m_ {0} = m (\ epsilon _ {0})}$, wir haben ${\ displayStyle | {\ mathcal {p}} _ {0} | \ leq m_ {0}}$. Beachten Sie das, wann ${\ displayStyle | p_ {i} | \ leq m_ {i}}$, ${\ displayStyle | p_ {i+1} | \ leq m (\ epsilon _ {| p_ {i} |}) {\ mathcal {p} _ {i} | \ leq m (\ epsilon _ {| m_ | {i} |}) m_ {i}}$so konnten wir setzen ${\ displayStyle m_ {i+1} = m (\ epsilon _ {| m_ {i} |}) m_ {i}}$ und die Aussage gilt für ${\ displayStyle i+1}$. Indem man es einstellt ${\ displayStyle m = \ max _ {i \ leq 1/\ epsilon _ {0} +2} m_ {i}}$, wir haben ${\ displayStyle | p |, | q | \ leq M.}$

Anmerkungen zu Gerechter

Eine Partition ist gerecht, wenn sich die Größen zweier beliebiger Sätze höchstens von höchstens unterscheiden ${\ displayStyle 1}$. Durch die Gleichberechtigung in jeder Iterationsrunde könnte der Beweis der Regelmäßigkeit Lemma es gewohnt sein, die gerechte Version von Regelmäßigkeit Lemma zu beweisen. Und indem er die Regelmäßigkeit von Lemma durch seine gerechte Version ersetzt ${\ displaystyle {\ mathcal {p}}}$ und ${\ displaystyle {\ mathcal {q}}}$ sind gerechte Partitionen.

Eine nützliche Folgerung

Aussage

Für jede unendliche Folge von Konstanten ${\ displayStyle \ Epsilon _ {0} \ Geq \ Epsilon _ {1} \ Geq ...> 0}$Es gibt es ${\ displayStyle \ Delta> 0}$ so dass es eine Teilung gibt ${\ displaystyle {\ mathcal {p}} = {v_ {1}, ..., v_ {k}}}$ und Untergruppen ${\ displayStyle w_ {i} \ subset v_ {i}}$ für jeden ${\ displayStyle i}$ wo die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

• ${\ displayStyle | w_ {i} |> \ delta n}$
• ${\ displayStyle (w_ {i}, w_ {j})}$ ist ${\ displaystyle \ epsilon _ {| {\ mathcal {p}} |}}$-regulär für jedes Paar ${\ displayStyle 1 \ leq i \ leq j \ leq k}$
• $oder$ für alle aber ${\ displaystyle \ epsilon _ {0} | {\ mathcal {p}} |^{2}}$ Paare ${\ displayStyle 1 \ leq i \ leq j \ leq k}$

Motivation

Die Folge erforscht tiefer das kleine Energieerhöhung. Es gibt uns eine Partition zusammen mit Teilmengen mit großen Größen aus jedem Teil, die paarweise regelmäßig sind. Zusätzlich unterscheidet sich die Dichte zwischen den entsprechenden Teilmengenpaaren "nicht viel" von der Dichte zwischen den entsprechenden Teilen.

Beweis der Folge

Wir werden nur das schwächere Ergebnis beweisen, bei dem die zweite Bedingung nur erfordert ${\ displayStyle (w_ {i}, w_ {j})}$ sein ${\ displaystyle \ epsilon _ {| {\ mathcal {p}} |}}$-reguliert für ${\ displayStyle 1 \ leq i <j \ leq k}$. Die Vollversion kann durch die Auswahl von mehr Teilmengen von jedem Teil bewertet werden, die größtenteils regelmäßig sind und sie miteinander kombinieren.

Lassen ${\ displayStyle r = \ epsilon _ {0}^{3}/20}$. Wir wenden die starke Regelmäßigkeit Lemma an, um ein gerecht zu finden ${\ displaystyle {\ mathcal {p}}}$ das ist ein ${\ displayStyle r}$ reguläre Partition und gerecht ${\ displaystyle {\ mathcal {q}}}$ das ist ein ${\ displayStyle r/| p |^{4}}$ Regelmäßige Verfeinerung von ${\ displaystyle {\ mathcal {p}}}$ , so dass ${\ displayStyle q ({\ mathcal {q}})-q ({\ mathcal {p}}) \ leq r}$ und ${\ displayStyle | {\ mathcal {q}} | \ leq m}$.

Nehmen Sie das jetzt an ${\ displayStyle p = \ {v_ {1}, \ cdots, v_ {k} \}}$Wir wählen zufällig einen Scheitelpunkt aus ${\ displayStyle v_ {i}}$ von jedem ${\ displayStyle v_ {i}}$ und lass ${\ displayStyle w_ {i}}$ der Satz sein, der enthält ${\ displayStyle v_ {i}}$ in ${\ displaystyle {\ mathcal {q}}}$. Wir argumentieren, dass die Untergruppen ${\ displayStyle w_ {i}}$ Erfüllen Sie alle Bedingungen mit der Wahrscheinlichkeit ${\ displayStyle> 0}$.

Indem man es einstellt ${\ displaystyle \ delta = {\ frac {1} {2m}}}$ Die erste Bedingung ist seitdem trivial wahr, da ${\ displaystyle {\ mathcal {q}}}$ ist eine gerechte Partition. Seit ${\ displaystyle {\ frac {r} {| p |^{4}} {\ binom {n} {2}} \ leq \ epsilon _ {0} {\ frac {| v_ {i} | v_ {{{{{{{{{{{{{{{ j} |} {3 | p |^{2}}}}$ Vertexpaare leben zwischen unregelmäßigen Paaren in ${\ displaystyle {\ mathcal {q}}}$ , die Wahrscheinlichkeit, dass das Paar ${\ displayStyle w_ {i}}$ und ${\ displayStyle w_ {j}}$ ist unregelmäßig ${\ displaystyle \ leq {\ frac {1} {3 | p |^{2}}}}}$, durch Union gebunden, die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Paar ${\ displayStyle w_ {i}}$, ${\ displayStyle w_ {i}}$ ist unregelmäßig ${\ displayStyle \ Leq 1/3}$. Beachten Sie, dass

${\ displayStyle {\ begin {ausgerichtet} r & \ geq q ({\ mathcal {q}})-q ({\ mathcal {p}}) \\ & = \ sum _ {i, j} {\ frac {| V_ {i} || v_ {j} |} {n^{2}} \ mathbb {e} | d (w_ {i}, w_ {j})-d (v_ {i}, v_ {j} ) |^{2} \\ & \ Geq \ sum _ {i, j} {\ frac {1} {4 | p |^{2}} \ mathbb {e} | d (w_ {i}, w_ {j})-d (v_ {i}, v_ {j}) |^{2} \\ & = {\ frac {1} {4 | p |^{2}} \ mathbb {e} \ sum _ {i, j} | d (w_ {i}, w_ {j})-d (v_ {i}, v_ {j}) |^{2} \ end {aligned}}}$

Also durch Markovs Ungleichheit ${\ displayStyle p (\ sum _ {i, j} | d (w_ {i}, w_ {j})-d (v_ {i}, v_ {j}) |^{2} \ Geq 8 | P | ^{2} r) \ leq 1/2}$also mit Wahrscheinlichkeit ${\ displayStyle \ Geq 1/2}$höchstens ${\ displayStyle \ Epsilon _ {0} | P |^{2}}$ Paare könnten haben $oder$. Durch Gewerkschaftsgebundene die Wahrscheinlichkeit, dass alle Bedingungen bestehen ${\ displayStyle \ Geq 1-1/2-1/3> 0}$.

Geschichte und Verlängerungen

Gowers Konstruktion für die Untergrenze von Szemerédi -Regelmäßigkeit Lemma

Szemerédi (1975) stellte zuerst eine schwächere Version dieses Lemma ein, die auf zweigliedrige Grafiken beschränkt ist, um zu beweisen Szemerédi's Theorem,^[14] und in (Szemerédi 1978) Er hat das volle Lemma bewiesen.^[15] Erweiterungen der Regelmäßigkeitsmethode zu Hypergraphen wurden erhalten durch Rödl und seine Mitarbeiter^[16][17][18] und Gowers.^[19][20]

János Komlós, Gábor Sárközy und Endre Szemerédi später (1997) bewiesen in der Blow-up Lemma^[21][22] Dass sich die regulären Paare in Szemerédi -Regelmäßigkeit Lemma unter den richtigen Bedingungen wie vollständige zweigliedrige Diagramme verhalten. Das Lemma ermöglichte eine tiefere Erforschung der Natur von Einbettungen großer spärlicher Graphen in dichte Graphen.

Die erste konstruktive Version wurde von Alon, Duke, Lefmann, bereitgestellt, Rödl und Yuster.^[23] Anschließend, Fries und Kannan gab eine andere Version und erweiterte sie auf Hypergraphen.^[24] Später produzierten sie eine andere Konstruktion aufgrund von Alan Frieze und Ravi Kannan, die einzigartige Werte von Matrizen verwenden.^[25] Man kann effizientere nicht deterministische Algorithmen finden, wie in formell detailliert in Terence Tao's Blog^[26] und implizit in verschiedenen Papieren erwähnt.^[27][28][29]

Eine Ungleichheit von Terence Tao Erweitert die Regelmäßigkeit von Szemerédi Lemma, indem sie sie aus der Perspektive der Wahrscheinlichkeitstheorie und Informationstheorie anstelle der Graphentheorie überprüft.^[30] Terence Tao hat auch einen Beweis für das Lemma vorgelegt, das auf der Spektralheorie basiert, unter Verwendung der Adjazenzmatrizen von Graphen.^[31]

Es ist nicht möglich, eine Variante der Regelmäßigkeit von Lemma zu beweisen, in der alle Paare von Partitionssätzen regelmäßig sind. Einige Grafiken wie die halbe Grafikenmüssen viele Partitionen (aber einen kleinen Teil aller Paare) unregelmäßig sein.^[1]

Es ist eine gemeinsame Variante in der Definition eines ${\ displayStyle \ varepsilon}$-reguläre Partition, um zu verlangen, dass der Scheitelpunkt setzt alle die gleiche Größe, während die übrig gebliebenen Scheitelpunkte in einem "Fehler" -Set erfasst werden ${\ displayStyle v_ {0}}$ deren Größe höchstens ein ist ${\ displayStyle \ varepsilon}$-Fraktion der Größe des Scheitelpunktsatzes von ${\ displayStyle g}$.

Eine stärkere Variation der Regelmäßigkeit von Lemma wurde von Alon, Fischer, Krivelevich und Szegedy bewiesen, während er das induzierte Lemma der induzierten Graphenentfernung beweist. Dies funktioniert mit einer Sequenz von ${\ displayStyle \ varepsilon}$ anstelle von nur einem und zeigt, dass es eine Partition mit einer extrem regelmäßigen Verfeinerung gibt, bei der die Verfeinerung nicht zu groß ist.

Szemerédis Regelmäßigkeit Lemma kann so interpretiert werden, dass der Raum aller Grafiken ist total begrenzt (und daher Vorvergleich) in einer geeigneten Metrik (die Abstand abschneiden). Grenzen in dieser Metrik können durch dargestellt werden durch Graphons; Eine andere Version der Regelmäßigkeit Lemma besagt lediglich, dass der Raum der Graphons ist kompakt.^[32]

Verweise

Weitere Lektüre

• Komlós, J.; Simonovits, M. (1996), "Szemerédis Regelmäßigkeit Lemma und seine Anwendungen in der Graphentheorie", Kombinatorik, Paul Erdős ist achtzig, Vol. 2 (Keszthely, 1993), Bolyai Soc. Mathematik. Stud., Vol. 2, János Bolyai Math. Soc., Budapest, S. 295–352, HERR 1395865.
• Komlós, J.; Shokoufandeh, Ali; Simonovits, Miklós; Szemerédi, Endre (2002), "Die Regelmäßigkeit Lemma und ihre Anwendungen in der Graphentheorie", Theoretische Aspekte der Informatik (Teheran, 2000), Vorlesungsnotizen in Informatik, vol. 2292, Springer, Berlin, S. 84–112, doi:10.1007/3-540-45878-6_3, ISBN 978-3-540-43328-6, HERR 1966181.

Externe Links

• Edmonds, Chelsea; Koutsoukou-Argyraki, Angeliki; Paulson, Lawrence C. Szemerédi -Regelmäßigkeit Lemma (formale Beweisentwicklung in Isabelle/Hol, Archiv für formale Beweise)