Surreale Nummer

Eine Visualisierung des surrealen Zahlenbaums.

Im Mathematik, das surreale Nummer System ist a total bestellt richtige Klasse enthält das reale Nummern ebenso gut wie unendlich und Infinitesimale Zahlen, jeweils größer oder kleiner in absoluter Wert als jede positive reelle Zahl. Die Surreals teilen viele Eigenschaften mit den Realität, einschließlich der üblichen arithmetischen Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Teilung); Als solche bilden sie eine Bestellter Feld.[a] Wenn in formuliert Von Neumann -Bernays -Gödel -Set -Theorie, Die surrealen Zahlen sind ein universell geordnetes Feld in dem Sinne, dass alle anderen geordneten Felder wie die Rationals, die Realität, die rationale Funktionen, das Levi-Civita-Feld, das Superreal -Zahlen (einschließlich der Hyperreale Zahlen) kann als Unterfelder der Surreals verwirklicht werden.[1] Die Surreals enthalten auch alle transfinite Ordnungszahlen; Die Arithmetik auf ihnen wird von der gegeben natürliche Operationen. Es wurde auch gezeigt (in von Neumann -Bernays -Gödel -Set -Theorie), dass das maximale Hyperrealfeld der maximalen Klasse ist isomorph zum maximalen klassensurrealen Feld.

Geschichte des Konzepts

Erforschung der Gehen Sie Endgame durch John Horton Conway führte zur ursprünglichen Definition und Konstruktion der surrealen Zahlen.[2] Conways Konstruktion wurde in eingeführt Donald Knuth's 1974 Buch Surreale Zahlen: Wie zwei Ex-Students sich der reinen Mathematik verwendeten und totales Glück fanden. In seinem Buch, das die Form eines Dialogs annimmt, prägte Knuth den Begriff surreale Zahlen Für das, was Conway einfach genannt hatte Zahlen.[3] Conway übernahm später Knuths Amtszeit und verwendete Surreals für die Analyse von Spielen in seinem Buch von 1976 Auf Zahlen und Spielen.

Ein separater Weg zur Definition der Surreals begann 1907, wann Hans Hahn eingeführt Hahn -Serie als Verallgemeinerung von Formale Machtserie, und Hausdorff stellte bestimmte geordnete Sets ein, die aufgerufen wurden ηα-Sets Für Ordinale α und fragte, ob es möglich sei, eine kompatible geordnete Gruppe oder Feldstruktur zu finden. 1962 verwendete Norman Alling eine modifizierte Form der Hahn -Serie, um solche geordneten Felder zu konstruieren, die mit bestimmten Ordnern α verbunden sind die surrealen Zahlen.[4]

Wenn die Surreals als "nur" ein reales geschlossenes Feld mit der richtigen Klassengröße betrachtet werden, behandelt Alling 1962 den Fall von stark unzugänglichen Kardinälen, die natürlich als ordnungsgemäße Klassen angesehen werden können, indem die kumulative Hierarchie des Universums eine Stufe über dem Kardinal abgeschnitten wird, und alles verdient dementsprechend viel Anerkennung für die Entdeckung/Erfindung der Surreals in diesem Sinne. Es gibt eine wichtige zusätzliche Feldstruktur für die Surreals, die jedoch durch diese Linse nicht sichtbar ist, nämlich den Begriff eines "Geburtstages" und der entsprechenden natürlichen Beschreibung der Surreals als Ergebnis eines schneidenden Prozesses an ihren Geburtstagen durch Conway. Diese zusätzliche Struktur ist für ein modernes Verständnis der surrealen Zahlen von grundlegender Bedeutung geworden, und Conway wird somit die Anerkennung dafür erhalten, dass die Surreals, wie wir sie heute kennen, entdeckt - alltäglich schenkt sich Conway in einem Papier von 1985 vor seinem Buch zu diesem Thema volle Anerkennung.[5]

Überblick

In der Conway -Konstruktion,[6] Die surrealen Zahlen werden in Stufen konstruiert, zusammen mit einer Bestellung ≤, so dass für zwei surreale Zahlen a und b, ab oder ba. (Beide können halten, in diesem Fall a und b sind äquivalent und bezeichnen dieselbe Zahl.) Jede Zahl wird aus einem geordneten Paar von Teilmengen, die bereits erstellt wurden, gebildet: gegebene Untergruppen L und R von Zahlen, so dass alle Mitglieder von L sind streng weniger als alle Mitglieder von Rdann das Paar { L | R } repräsentiert eine Zahl zwischen dem Wert zwischen allen Mitgliedern von L und alle Mitglieder von R.

Verschiedene Untergruppen definieren möglicherweise die gleiche Zahl: { L | R } und { L ' | R' } kann die gleiche Zahl definieren, auch wenn LL ' und RR'. (Ein ähnliches Phänomen tritt auf, wenn Rationale Zahlen werden als Quotienten von Ganzzahlen definiert: 1/2 und 2/4 sind unterschiedliche Darstellungen der gleichen rationalen Zahl.) So streng genommen sind die surrealen Zahlen also Äquivalenzklassen von Repräsentationen von Form { L | R } Das bezeichnet die gleiche Zahl.

In der ersten Bauphase gibt es keine bisher vorhandenen Zahlen, sodass die einzige Darstellung das leere Satz verwenden muss: {| }. Diese Darstellung, wo L und R beide leer sind, wird 0 als 0 bezeichnet. Nachfolgende Stadien ergeben Formen wie

{0 | } = 1
{1 | } = 2
{2 | } = 3

und

{| 0} = –1
{| –1} = –2
{| –2} = –3

Die Ganzzahlen sind somit in den surrealen Zahlen enthalten. (Die obigen Identitäten sind Definitionen, in dem Sinne, dass die rechte Seite ein Name für die linke Seite ist. Dass die Namen tatsächlich angemessen sind ). In ähnlicher Weise Repräsentationen wie z.

{0 | 1} = 1/2
{0 | 1/2 } = 1/4
{ 1/2 | 1} = 3/4

entstehen, damit die dyadische Rationale (Rationale Zahlen, deren Nenner Kräfte von 2 sind) sind in den surrealen Zahlen enthalten.

Nach einer unendlichen Anzahl von Stufen werden unendliche Untergruppen verfügbar, so dass alle reelle Zahl a kann durch dargestellt werden durch { La | Ra }, wo La ist der Satz aller dyadischen Rationalen weniger als a undRa ist der Satz aller dyadischen Rationals größer als a (erinnert an a Dedekind Cut). Somit sind die realen Zahlen auch in die Surreals eingebettet.

Es gibt auch Darstellungen wie

{0, 1, 2, 3, ... | } = ω
{0 | 1,, 1/2, 1/4, 1/8, ...} = ε

wobei ω eine transfinitische Zahl größer ist als alle Ganzzahlen und ε ein unendlichessimaler als 0, aber weniger als jede positive reelle Zahl. Darüber hinaus können die Standard-arithmetischen Operationen (Zugabe, Subtraktion, Multiplikation und Aufteilung) auf diese nicht realen Zahlen auf eine Weise erweitert werden, die die Sammlung surrealer Zahlen in ein geordnetes Feld verwandelt, so dass man über 2ω oder ω-sprechen kann 1 und so weiter.

Konstruktion

Surreale Zahlen sind induktiv konstruiert wie Äquivalenzklassen von Paare von surrealen Zahlensätzen, die durch die Bedingung eingeschränkt sind, dass jedes Element des ersten Satzes kleiner ist als jedes Element des zweiten Satzes. Die Konstruktion besteht aus drei voneinander abhängigen Teilen: der Konstruktionsregel, der Vergleichsregel und der Äquivalenzregel.

Formen

A bilden ist ein Paar surrealer Zahlen, die als seine genannt werden links eingestellt und sein Rechte Set. Ein Formular mit links eingestellt L und richtige Set R ist geschrieben { L | R }. Wann L und R Als Elementlisten werden die Zahnspangen um sie herum weggelassen.

Eine oder beide der linke und rechte Set eines Formulars können der leere Satz sein. Die Form {{} | {}} mit dem linken und rechten Satz leer ist ebenfalls geschrieben {| }.

Numerische Formen und ihre Äquivalenzklassen

Bauregel

Eine Form { L | R } ist numerisch Wenn der Schnittpunkt von L und R ist das leere Satz und jedes Element von R ist größer als jedes Element von L, laut dem Ordnungsbeziehung ≤ gegeben durch die Vergleichsregel unten.

Die numerischen Formen werden in Äquivalenzklassen platziert; Jede solche Äquivalenzklasse ist a surreale Nummer. Die Elemente des linken und rechten Satzes einer Form stammen aus dem Universum der surrealen Zahlen (nicht von Formen, aber von ihnen Äquivalenzklassen).

Äquivalenzregel

Zwei numerische Formen x und y sind Formen derselben Zahl (liegen in derselben Äquivalenzklasse), wenn und nur wenn beides xy und yx.

Ein Beziehung bestellen muss sein antisymmetrisch, d.h. es muss die Eigenschaft haben, die x = y (i. e., xy und yx sind beide wahr) nur wenn x und y sind das gleiche Objekt. Dies ist bei der surrealen Nummer nicht der Fall Formen, ist aber wahr durch Konstruktion für surreal Zahlen (Äquivalenzklassen).

Die Äquivalenzklasse enthält {| } ist mit 0 bezeichnet; mit anderen Worten, {| } ist eine Form der surrealen Nummer 0.

Befehl

Die rekursive Definition surrealer Zahlen wird durch Definition des Vergleichs abgeschlossen:

Gegebene numerische Formen x = {{ XL | XR } und y = {{ YL | YR }, xy dann und nur dann, wenn:

  • Es gibt kein xLXL so dass yxL (Jedes Element im linken Teil von x ist kleiner als y), und
  • Es gibt kein yRYR so dass yRx (Jedes Element im richtigen Teil von y ist größer als x).

Ein Vergleich yc zwischen einer Form y und eine surreale Nummer c wird durch Auswahl einer Form durchgeführt z aus der Äquivalenzklasse c und bewerten yz; und ebenfalls für cx und zum Vergleich bc zwischen zwei surrealen Zahlen.

Induktion

Diese Gruppe von Definitionen ist rekursivund erfordert irgendeine Form von mathematische Induktion Definieren des Universums von Objekten (Formen und Zahlen), die darin auftreten. Die einzigen surrealen Zahlen, die durch erreichbar sind Endliche Induktion sind die dyadische Brüche; Ein breiteres Universum ist angesichts einer Form von erreichbar Transfinite Induktion.

Induktionsregel

  • Es gibt eine Generation S0 = {0}, in dem 0 aus der einzelnen Form {| besteht }.
  • Gegeben Ordinalzahl n, die Generation Sn ist die Menge aller surrealen Zahlen, die von der Bauregel aus Teilmengen von generiert werden .

Der Basisfall ist tatsächlich ein Sonderfall der Induktionsregel, wobei 0 als Etikett für die "kleinste Ordinal" genommen wird. Da gibt es nein Si mit i < 0, the expression ist das leere Set; Die einzige Untergruppe des leeren Satzes ist der leere Satz und daher S0 besteht aus einer einzelnen surrealen Form {| } in einer einzelnen Äquivalenzklasse 0.

Für jede endliche Ordnungszahl n, Sn ist geordnet durch die durch die Vergleichsregel über die surreale Zahlen induzierte Ordnung.

Die erste Iteration der Induktionsregel erzeugt die drei numerischen Formen {| 0} <{| } <{0 | } (die Form {0 | 0} ist nicht numerisch, weil 0 ≤ 0). Die Äquivalenzklasse mit {0 | } ist mit 1 und der Äquivalenzklasse bezeichnet, die {| enthält | 0} ist –1 gekennzeichnet. Diese drei Etiketten haben eine besondere Bedeutung für die Axiome, die a definieren Ring; Sie sind die additive Identität (0), die multiplikative Identität (1) und die additive Inverse von 1 (-1). Die nachstehend definierten arithmetischen Operationen stimmen mit diesen Etiketten überein.

Für jeden i < nda jede gültige Form in Si ist auch eine gültige Form in Sn, alle Zahlen in Si erscheinen auch in Sn (als Supersets ihrer Darstellung in Si). (Der Set Union -Ausdruck erscheint in unserer Konstruktionsregel und nicht in der einfacheren Form Sn–1so dass die Definition auch sinnvoll ist, wenn n ist ein Ordinal begrenzen.) Zahlen in Sn Das sind ein Supersatz einer Reihe in Si sollen gewesen sein vererbt von Generation i. Der kleinste Wert von α, für den eine bestimmte surreale Zahl in erscheint Sα wird als seine genannt Geburtstag. Zum Beispiel ist der Geburtstag von 0 0 und der Geburtstag von –1 1.

Eine zweite Iteration der Konstruktionsregel ergibt die folgende Reihenfolge der Äquivalenzklassen:

{| −1} = {| −1, 0} = {| −1, 1} = {| –1, 0, 1}
< { | 0 } = { | 0, 1 }
< { −1 | 0 } = { −1 | 0, 1 }
< { | } = { −1 | } = { | 1 } = { −1 | 1 }
< { 0 | 1 } = { −1, 0 | 1 }
< { 0 | } = { −1, 0 | }
< { 1 | } = { 0, 1 | } = { −1, 1 | } = { −1, 0, 1 | }

Der Vergleich dieser Äquivalenzklassen ist unabhängig von der Auswahl der Form konsistent. Drei Beobachtungen folgen:

  1. S2 Enthält vier neue surreale Zahlen. Zwei enthalten extreme Formen: {| –1, 0, 1} enthält alle Zahlen aus früheren Generationen in seinem rechten Satz und {–1, 0, 1 | } enthält alle Zahlen aus früheren Generationen im linken Satz. Die anderen haben eine Form, die alle Zahlen früherer Generationen in zwei nicht leere Sätze unterteilt.
  2. Jede surreale Nummer x Das existierte in der vorherigen "Generation" auch in dieser Generation und umfasst mindestens eine neue Form: eine Partition aller Zahlen außer x von früheren Generationen in einen linken Satz (alle Zahlen weniger als x) und eine rechte Menge (alle Zahlen größer als x).
  3. Die Äquivalenzklasse einer Zahl hängt nur vom maximalen Element ihres linken Satzes und dem minimalen Element des rechten Satzes ab.

Die informellen Interpretationen von {1 | } und {| −1} sind "die Zahl kurz nach 1" bzw. "die Zahl kurz vor −1"; Ihre Äquivalenzklassen sind mit 2 und –2 bezeichnet. Die informellen Interpretationen von {0 | 1} und {–1 | 0} sind "die Zahl auf halbem Weg zwischen 0 und 1" und "die Zahl auf halbem Weg zwischen –1 bzw. 0"; Ihre Äquivalenzklassen sind gekennzeichnet 1/2 und -1/2. Diese Etiketten werden auch durch die Regeln für surreale Addition und Multiplikation im Folgenden gerechtfertigt.

Die Äquivalenzklassen in jeder Phase n der Induktion kann durch ihre gekennzeichnet sein n-vollständige Formulare (jeweils so viele Elemente wie möglich früherer Generationen in den linken und rechten Sätzen). Entweder enthält dieses vollständige Formular jeder Zahl aus früheren Generationen im linken oder rechten Satz. In diesem Fall ist dies die erste Generation, in der diese Zahl auftritt. Oder es enthält alle Zahlen aus früheren Generationen, aber eines. In diesem Fall handelt es sich um eine neue Form dieser einen Nummer. Wir behalten die Etiketten aus der vorherigen Generation für diese "alten" Zahlen und schreiben die obige Bestellung mit den alten und neuen Etiketten:

–2 <−1 < - 1/2 < 0 < 1/2 < 1 < 2.

Die dritte Beobachtung erstreckt sich auf alle surrealen Zahlen mit endlichen linken und rechten Sätzen. (Für unendliche linke oder rechte Sätze gilt dies in einer veränderten Form, da unendliche Mengen möglicherweise kein maximales oder minimales Element enthalten.) Die Zahl {1, 2 | 5, 8} entspricht daher {2 | 5}; Man kann feststellen, dass dies Formen von 3 sind, indem man die verwendet Geburtstagseigentum, was eine Folge der obigen Regeln ist.

Geburtstagseigentum

Eine Form x = {{ L | R } in der Generation auftreten n stellt eine Zahl dar, die von einer früheren Generation geerbt wurde i < n Wenn und nur wenn es eine Nummer in gibt Si das ist größer als alle Elemente von L und weniger als alle Elemente der R. (Mit anderen Worten, wenn L und R sind bereits durch eine Zahl getrennt, die zu einem früheren Stadium erstellt wurde, dann x repräsentiert keine neue Zahl, sondern eine bereits konstruierte.) Wenn x repräsentiert eine Zahl aus jeder Generation früher als nEs gibt eine solche Generation iund genau eine Nummer c damit am wenigsten i Wie sein Geburtstag, der dazwischen liegt L und R; x ist eine Form davon c. Mit anderen Worten, es liegt in der Äquivalenzklasse in Sn Das ist ein Supersatz der Darstellung von c in der Generation i.

Arithmetik

Die Zugabe, Negation (additive Inverse) und Multiplikation der surrealen Zahl Formen x = {{ XL | XR } und y = {{ YL | YR } werden durch drei rekursive Formeln definiert.

Negation

Verneinung einer bestimmten Zahl x = {{ XL | XR } wird definiert von

,

wo die Negation eines Satzes S von Zahlen wird durch den Satz der negierten Elemente von angegeben S:

.

Diese Formel beinhaltet die Negation des surrealen Zahlen im linken und rechten Sets von erscheinen x, was als Ergebnis der Auswahl einer Form der Zahl, der Bewertung der Negation dieser Form und der Einnahme der Äquivalenzklasse der resultierenden Form zu verstehen ist. Dies ist nur sinnvoll, wenn das Ergebnis unabhängig von der Auswahl der Form des Operanden gleich ist. Dies kann induktiv unter Verwendung der Tatsache nachgewiesen werden, dass die Zahlen in auftreten XL und XR werden aus Generationen früher als dem gezeichnet, in dem die Form der Form ist x tritt zunächst auf und beobachtet den Sonderfall:

.

Zusatz

Die Definition von Addition ist auch eine rekursive Formel:

,

wo

.

Diese Formel umfasst Summen eines der ursprünglichen Operanden und eine surreale Zahl, die vom linken oder rechten Satz des anderen entnommen wird. Es kann in den Sonderfällen induktiv nachgewiesen werden:

0 + 0 = {| } + {| } = {| } = 0
x + 0 = x + {| } = { XL + 0 | XR + 0} = { XL | XR } = x
0 + y = {| } + y = {0 + YL | 0 + YR } = { YL | YR } = y

Zum Beispiel:

1/2 + 1/2 = {0 | 1} + {0 | 1} = {0 + 1/2, 1/2 + 0 | 1 + 1/2, 1/2 + 1} = { 1/2 | 3/2 },

Was durch die Geburtstagseigenschaft eine Form von 1. ist, dies rechtfertigt das im vorherige Abschnitt verwendete Etikett.

Multiplikation

Die Multiplikation kann auch rekursiv definiert werden, beginnend von den Sonderfällen mit 0, die multiplikative Identität 1 und seine additive inverse -1:

Die Formel enthält arithmetische Ausdrücke, an denen die Operanden und deren linke und rechte Sätze beteiligt sind, wie z. B. den Ausdruck das erscheint im linken Satz des Produkts von x und y. Dies wird als die Anzahl der Zahlen verstanden, die durch Auswahl aller möglichen Kombinationen von Mitgliedern von Erzeugung erzeugt werden und und ersetzen sie in den Ausdruck.

Zum Beispiel um zu zeigen, dass das Quadrat von 1/2 ist 1/4:

Aufteilung

Die Definition der Teilung erfolgt im Hinblick auf die gegenseitige und Multiplikation:

wo[6]: 21

für positiv y. Nur positiv yL sind in der Formel zulässig, wobei nicht positive Begriffe ignoriert werden (und yR sind immer positiv). Diese Formel beinhaltet nicht nur eine Rekursion in der Lage, durch Zahlen von links und rechts Teilen zu teilen y, aber auch eine Rekursion darin, dass die Mitglieder der linken und rechten Sätze von 1/y selbst. 0 ist immer ein Mitglied des linken Satzes von 1/yund das kann verwendet werden, um mehr Begriffe rekursiv zu finden. Zum Beispiel wenn y = 3 = {2 | }, dann kennen wir einen linken Begriff von 1/3 wird 0 sein. Dies bedeutet wiederum 1+ (2-3) 0/2 = 1/2 ist ein richtiger Begriff. Das heisst

ist eine linke Begriff. Das heisst

wird ein richtiger Begriff sein. Fortsetzung, das gibt das

Für negativ y, 1/y wird gegeben von

Wenn y = 0, dann 1/y ist nicht definiert.

Konsistenz

Es kann gezeigt werden, dass die Definitionen von Negation, Addition und Multiplikation in dem Sinne konsistent sind:

  • Addition und Negation werden rekursiv in Bezug auf "einfachere" Additions- und Negationsschritte definiert, sodass Operationen auf Zahlen mit Geburtstag n wird irgendwann vollständig in Bezug auf Operationen bei Zahlen mit Geburtstagen weniger als ausdrückt n;
  • Die Multiplikation wird rekursiv in Bezug auf Ergänzungen, Negationen und "einfachere" Multiplikationsschritte definiert, so dass das Produkt von Zahlen mit Geburtstag n wird irgendwann vollständig in Bezug auf Summen und Unterschiede von Produkten von Zahlen mit weniger Geburtstagen ausgedrückt als weniger als n;
  • Solange die Operanden gut definierte surreale Zahlenformen sind (jedes Element des linken Satzes ist geringer als jedes Element des rechten Satzes), sind die Ergebnisse erneut genau definierte surreale Zahlenformen.
  • Die Operationen können auf erweitert werden auf Zahlen (Äquivalenzklassen von Formen): Das Ergebnis der Negation x oder hinzufügen oder multiplizieren x und y wird die gleiche Zahl unabhängig von der Wahl der Form von darstellen x und y; und
  • Diese Operationen gehorchen den Assoziativität, Niveau, additiver Inverse und Verteiler -Axiomen in der Definition von a aufstellen, mit additiver Identität 0 = {| } und multiplikative Identität 1 = {0 | }.

Mit diesen Regeln kann man nun überprüfen, ob die in den ersten Generationen gefundenen Zahlen ordnungsgemäß beschriftet wurden. Die Bauregel wird wiederholt, um mehr Generationen von Surreals zu erhalten:

S0 = {0}
S1 = {−1 <0 <1}
S2 = {−2 <−1 < - 1/2 < 0 < 1/2 < 1 < 2}
S3 = {−3 <−2 < - 3/2 < −1 < − 3/4 < − 1/2 < − 1/4 < 0 < 1/4 < 1/2 < 3/4 < 1 < 3/2 < 2 < 3 }
S4 = {−4 <−3 <... < - < - 1/8 < 0 < 1/8 < 1/4 < 3/8 < 1/2 < 5/8 < 3/4 < 7/8 < 1 < 5/4 < 3/2 < 7/4 < 2 < 5/2 < 3 < 4 }

Arithmetischer Schließung

Für jeden natürliche Zahl (endliche Ordinal) n, alle Zahlen in generierten in Sn sind dyadische Brüche, d.h. kann als ein geschrieben werden irreduzibler Bruch a/2b, wo a und b sind Ganzzahlen und 0 ≤ b < n.

Die Menge aller surrealen Zahlen, die in einigen erzeugt werden Sn für endlich n kann als bezeichnet als als S = . Man kann die drei Klassen bilden

von welchem S ist die Gewerkschaft. Keine Person Sn wird unter Hinzufügung und Multiplikation geschlossen (außer S0), aber S ist; Es ist der Unterring der Rationals, die aus allen dyadischen Fraktionen bestehen.

Es gibt unendliche Ordnungszahlen β, für die die surreale Zahlen mit einem Geburtstag weniger als β unter den verschiedenen arithmetischen Operationen geschlossen ist.[7] Für jedes ordinale α, die surreale Anzahl surrealer Zahlen mit einem Geburtstag von weniger als β = ωα (Verwendung Kräfte von ω) wird unter Hinzufügung geschlossen und bildet eine Gruppe; Für Geburtstag weniger als ωωα Es ist unter Multiplikation geschlossen und bildet einen Ring;[b] und zum Geburtstag weniger als eine (Ordinal) Epsilon -Nummer εα Es ist unter multiplikativem Inversen geschlossen und bildet ein Feld. Die letzteren Mengen werden auch unter der exponentiellen Funktion geschlossen, wie von Kruskal und Gonshor definiert.[7][8]: CH. 10[7]

Es ist jedoch immer möglich, eine surreale Zahl zu konstruieren, die größer ist als jedes Mitglied einer Reihe von Surreals (durch Einbeziehung der Menge auf der linken Seite des Konstruktors) und somit die Sammlung surrealer Zahlen ein richtige Klasse. Mit ihrer Bestellung und algebraischen Operationen bilden sie eine Bestellter Feld, mit der Einschränkung, dass sie nicht a bilden einstellen. Tatsächlich ist es das größte geordnete Feld, da jedes geordnete Feld ein Unterfeld der surrealen Zahlen ist.[1] Die Klasse aller surrealen Zahlen wird durch das Symbol bezeichnet .

Unendlichkeit

Definieren Sω als die Menge aller surrealen Zahlen, die von der Bauregel aus Teilmengen von Untergruppen erzeugt werden S. (Dies ist der gleiche induktive Schritt wie zuvor, da die Ordnungszahl ω die kleinste Ordinal ist, die größer ist kann nur in einer festgelegten Theorie durchgeführt werden, die eine solche Vereinigung ermöglicht.) Eine einzigartige unendlich große positive Zahl tritt in auf Sω:

Sω Enthält auch Objekte, die als die identifiziert werden können Rationale Zahlen. Zum Beispiel die ω-Vervollständigungsform der Fraktion 1/3 wird gegeben durch:

.

Das Produkt dieser Form von 1/3 Bei einer beliebigen Form von 3 ist eine Form, deren linke Menge nur Zahlen von weniger als 1 enthält und deren rechte Menge nur Zahlen mehr als 1 enthält; Die Geburtstagseigenschaft impliziert, dass dieses Produkt eine Form von 1 ist.

Nicht nur den Rest der Rationale Zahlen erscheinen in Sω; die verbleibenden endlichen reale Nummern auch tun. Zum Beispiel,

.

Die einzigen Unendlichkeiten in Sω sind ω und −ω; Aber es gibt andere nicht reale Zahlen in Sω unter den Realen. Betrachten Sie die kleinste positive Zahl in Sω:

.

Diese Zahl ist größer als Null, aber weniger als alle positiven dyadischen Fraktionen. Es ist daher ein infinitesimal Zahl, oft mit ε gekennzeichnet. Die ω-vollständige Form von ε (jeweils -ε) entspricht der ω-Completenform von 0, mit der Ausnahme, dass 0 im linken (jeweils rechts) Satz enthalten ist. Die einzigen "reinen" Infinitesimals in Sω sind ε und sein additiver Inverse -ε; Hinzufügen von dyadischem Bruch y produziert die Zahlen y± ε, die auch darin liegen Sω.

Man kann die Beziehung zwischen ω und ε bestimmen, indem man bestimmte Formen von ihnen multipliziert, um zu erhalten:

ω · ε = {ε · S+ | ω · S+ + S + ε · S }.

Dieser Ausdruck ist in einer festgelegten Theorie nur gut definiert Sω2. In einem solchen System kann man nachweisen, dass alle Elemente des linken ω -Satzes ωSω·Sωε sind positive Infinitesimals und alle Elemente des rechten Satzes sind positive Infinitäten und daher ω ωSω·Sωε ist die älteste positive endliche Zahl, 1. Folglich, 1/ε = ω. Einige Autoren verwenden systematisch ω–1 anstelle des Symbols ε.

Inhalt von Sω

Gegeben x = {{ L | R } in Sωgenau eines der folgenden ist wahr:

  • L und R sind beide leer, in welchem ​​Fall x = 0;
  • R ist leer und eine Ganzzahl n≥0 ist größer als jedes Element von L, in welchem ​​Fall x entspricht der kleinsten solchen Ganzzahl n;
  • R ist leer und keine Ganzzahl n ist größer als jedes Element von L, in welchem ​​Fall x gleich +ω;
  • L ist leer und eine Ganzzahl n≤0 ist geringer als jedes Element von R, in welchem ​​Fall x entspricht der größten solchen Ganzzahl n;
  • L ist leer und keine Ganzzahl n ist weniger als jedes Element von R, in welchem ​​Fall x gleich ω;
  • L und R sind beide nicht leer und:
    • Einige dyadische Bruchs y ist "streng dazwischen" L und R (größer als alle Elemente von L und weniger als alle Elemente von R), in welchem ​​Fall x entspricht der ältesten solcher dyadischen Fraktion y;
    • Kein dyadischer Bruch y liegt streng dazwischen L und R, aber ein dyadischer Bruch ist größer als oder gleich allen Elementen von L und weniger als alle Elemente von R, in welchem ​​Fall x gleich y+Ε;
    • Kein dyadischer Bruch y liegt streng dazwischen L und R, aber ein dyadischer Bruch ist größer als alle Elemente von L und weniger als oder gleich allen Elementen von R, in welchem ​​Fall x gleich y- ε;
    • Jede dyadische Fraktion ist entweder größer als ein Element von R oder weniger als ein Element von L, in welchem ​​Fall x ist eine reelle Zahl, die als dyadische Fraktion keine Darstellung hat.

Sω ist kein algebraisches Feld, da es unter arithmetischen Operationen nicht geschlossen ist; Betrachten Sie ω+1, dessen Form

lügt in keiner Zahl in Sω. Die maximale Untergruppe von Sω Das ist geschlossen, wenn (endliche Reihe) arithmetischer Operationen das reelle Zahlenfeld ist, das durch Auslassen der Unendlichkeiten ± ω, den Infinitesimalen ± ε und den infinitesimalen Nachbarn erhalten wird y± ε von jeder dyadischen Fraktion von unglücklicher Null y.

Diese Konstruktion der realen Zahlen unterscheidet sich von der Dedekind schneidet von Standardanalyse insofern beginnt es eher von dyadischen Fraktionen als von allgemeinen Rationalen und identifiziert natürlich jede dyadische Fraktion in Sω mit seinen Formen in früheren Generationen. (Die ω-kompletten Formen realer Elemente von Sω befinden sich in eins-zu-eins-Korrespondenz mit den Realität, die von Dedekind Cuts erhalten wurden, unter der Voraussetzung, dass Dedekind Reals, die rationalen Zahlen entsprechen eine identifizierbare Phase in der surrealen Konstruktion; Sie sind nur die Teilmenge Q von Sω enthält alle Elemente x so dass x b = a für einige a und etwas ungleich Null b, beide gezeichnet von S. Durch das demonstrieren Q wird unter individuellen Wiederholungen der surrealen arithmetischen Operationen geschlossen, man kann zeigen, dass es sich um ein Feld handelt. Und indem man das zeigt, dass jedes Element von Q ist erreichbar von S durch eine endliche Serie (nicht länger als zwei) von arithmetischen Operationen einschließlich multiplikativer Inversionman kann das zeigen Q ist streng kleiner als die Teilmenge von Sω identifiziert mit den Realität.

Der Satz Sω hat das gleiche Kardinalität Als reale Zahlen R. Dies kann durch die Ausstellung von surjektiven Zuordnungen von gezeigt werden Sω zum Intervall der geschlossenen Einheit I von R und umgekehrt. Kartierung Sω auf zu I ist Routine; Kartenzahlen weniger als oder gleich ε (einschließlich −ω) bis 0, Zahlen größer oder gleich 1 - ε (einschließlich ω) bis 1 und Zahlen zwischen ε und 1 - ε zu ihrem Äquivalent in in I (Kartierung der Infinitesimaler Nachbarn y± ε jeder dyadischen Fraktion y, zusammen mit y selbst, zu y). Zu karten I auf zu Sω, kartieren Sie das (offene) zentrale Drittel (1/3, 2/3) von I auf {| } = 0; das zentrale Drittel (7/9, 8/9) des oberen Drittels nach {0 | } = 1; und so weiter. Dies kartiert ein nicht leeres offenes Intervall von I auf jedes Element von Smonoton. Der Rückstand von I besteht aus dem Cantor -Set 2ω, jeder Punkt, dessen einzigartig durch eine Partition der zentralen drittlichen Intervalle in linke und rechte Sätze identifiziert wird, die genau einer Form entsprechen { L | R } in Sω. Dadurch wird der Kantor in eins-zu-eins-Korrespondenz mit den surrealen Zahlen mit Geburtstag ω gesetzt.

Transfinite Induktion

Weiterhin die transfinite Induktion darüber hinaus durchführen Sω erzeugt mehr ordinale Zahlen α, die jeweils als größte surreale Zahl mit Geburtstag α dargestellt werden. (Dies ist im Wesentlichen eine Definition der ordinalen Zahlen, die sich aus der transfiniten Induktion ergeben.) Die erste solche Ordinal ist ω+1 = {ω | }. Es gibt eine weitere positive unendliche Zahl in der Generation ω+1:

ω - 1 = {1, 2, 3, 4, ... | ω}.

Die surreale Zahl ω - 1 ist keine Ordinal; Der Ordinal ω ist nicht der Nachfolger eines Ordnungswesens. Dies ist eine surreale Zahl mit Geburtstag ω+1, die mit ω - 1 gekennzeichnet ist, wenn sie mit der Summe von zusammenfällt ω = {1, 2, 3, 4, ... | } und −1 = {| 0}. In ähnlicher Weise gibt es in der Generation ω+1 zwei neue Infinitesimalzahlen:

2ε = ε + ε = {ε | 1 + ε, 1/2 + ε, 1/4 + ε, 1/8 + ε, ...} und
ε/2 = ε · 1/2 = {0 | ε}.

In einer späteren Stufe der transfiniten Induktion gibt es eine Zahl größer als ω+k Für alle natürlichen Zahlen k:

2ω = ω+ω = {ω+1, ω+2, ω+3, ω+4, ... | }

Diese Zahl kann mit ω+ω ​​markiert werden, da ihr Geburtstag ω+ω (die erste ordinale Zahl von ω durch den Nachfolgervorgang nicht erreichbar ist) und weil sie mit der surrealen Summe von ω und ω zusammenfällt; Es kann auch mit 2ω gekennzeichnet sein, da es mit dem Produkt von zusammenfällt ω = {1, 2, 3, 4, ... | } und 2 = {1 | }. Es ist die zweite Grenze ordinal; Das Erreichen von ω über den Konstruktionsschritt erfordert eine transfinite Induktion ein

Dies beinhaltet eine unendliche Vereinigung von unendlichen Sätzen, die eine "stärkere" theoretische Operation ist als die vorherige transfinite Induktion erforderlich.

Notiere dass der konventionell Die Addition und Multiplikation von Ordnern fällt nicht immer mit diesen Operationen über ihre surrealen Darstellungen zusammen. Die Summe der Ordinals 1+ω ist gleich ω, die surreale Summe ist jedoch kommutativ und erzeugt 1+ω = ω+1> ω. Die Addition und Multiplikation der surrealen Zahlen, die mit Ordnern verbunden sind Natürliche Summe und Naturprodukt von Ordnern.

So wie 2ω größer ist als ω+n für jede natürliche Zahl nEs gibt eine surreale Nummer ω/2 Das ist unendlich, aber kleiner als ω -n für jede natürliche Zahl n. Das ist, ω/2 wird definiert von

ω/2 = {{ S | ω - S }

wo auf der rechten Seite die Notation xY wird verwendet, um zu bedeuten { xy: yY }. Es kann als Produkt von ω und der Form {0 | identifiziert werden 1} von 1/2. Der Geburtstag von ω/2 ist die Grenze ordinal ω2.

Kräfte von ω und der Normalform der Conway

Klassifizieren Sie die "Befehle" der unendlichen und infinitesimalen surrealen Zahlen, auch bekannt als als Archimedan Klassen, Conway, die jeder surrealen Zahl assoziiert sind x die surreale Nummer

  • ωx = {0, r ωxL | s ωxR },

wo r und s Bereich über die positiven realen Zahlen. Wenn x < y dann ωy ist "unendlich größer" als ωx, in dem es größer ist als r ωx Für alle realen Zahlen r. Die Kräfte von ω erfüllen auch die Bedingungen

  • ωx ωy = ωx+y,
  • ωx = 1/ωx,

Sie verhalten sich also so, wie man erwarten würde, dass die Befugnisse sich verhalten.

Jede Leistung von ω hat auch das erlösende Merkmal, das zu sein einfachste surreale Zahl in seiner archimedischen Klasse; Umgekehrt enthält jede archimedische Klasse innerhalb der surrealen Zahlen ein einzigartiges einfachste Mitglied. So für jede positive surreale Zahl x Es wird immer eine positive reale Anzahl existieren r und eine surreale Nummer y so dass x-rωy ist "unendlich kleiner" als x. Der Exponent y ist der "Basis ω Logarithmus" von x, definiert auf den positiven Surreals; Es kann gezeigt werden, dass Protokollω ägt die positiven Surreals auf die Surreals und das

Protokollω(xy) = logω(x) + logω(y).

Dies wird durch transfinitische Induktion erweitert, so dass jede surreale Zahl eine "normale Form" hat, die analog zur Cantor -Normalform Für Ordnungszahlen. Dies ist die Normalform der Conway: Jede surreale Zahl x kann einzigartig geschrieben werden als

x = r0ωy0 + r1ωy1 + ...,

wo jeder rα ist eine reelle Zahl ungleich Null und die yαs bilden eine streng abnehmende Sequenz surrealer Zahlen. Diese "Summe" kann jedoch unendlich viele Begriffe haben und im Allgemeinen die Länge einer willkürlichen Ordnungszahl. (Null entspricht natürlich dem Fall einer leeren Sequenz und ist die einzige surreale Zahl ohne führende Exponent.)

Auf diese Weise angesehen, die surrealen Zahlen ähneln a Power Series Fieldmit der Ausnahme, dass die abnehmenden Exponentensequenzen durch eine Ordinallänge begrenzt werden müssen und nicht so lange dienen dürfen wie die Klasse der Ordinale. Dies ist die Grundlage für die Formulierung der surrealen Zahlen als Hahn -Serie.

Lücken und Kontinuität

Im Gegensatz zu den reellen Zahlen hat eine (ordnungsgemäße) Teilmenge der surrealen Zahlen keine am wenigsten obere (oder untere) gebundene Bindung, es sei denn, sie hat ein maximales (minimales) Element. Conway definiert[6] eine Lücke als {{L|R} so dass jedes Element von L ist weniger als jedes Element von R, und LR = ; Dies ist keine Zahl, da mindestens eine der Seiten eine richtige Klasse ist. Obwohl ähnlich, sind Lücken nicht ganz gleich wie Dedekind schneidet,[c] Aber wir können trotzdem über eine Fertigstellung sprechen der surrealen Zahlen mit der natürlichen Ordnung, die a ist (richtige Klassengröße) lineares Kontinuum.[9]

Zum Beispiel gibt es keine positiven unendlichen Surreal, sondern die Lücke

∞ = {x: ∃ n: x < n | x: ∀ n: x > n}

ist größer als alle realen Zahlen und weniger als alle positiven unendlichen Surreals und ist daher die am wenigsten Obergrenze der Realität in . Ebenso die Lücke = {{| } ist größer als alle surrealen Zahlen. (Das ist ein Esoterisch Wortspiel: Bei der allgemeinen Konstruktion von Ordinalen ist α "" die Menge der Ordinale kleiner als α, und wir können diese Äquivalenz verwenden, um zu schreiben α = {α | } in den Surreals; bezeichnet die Klasse der Ordnungszahlen und weil ist Cofinal in wir haben { | } = { | } = durch Erweiterung.)

Mit ein bisschen set-theoretische Pflege,[d] kann mit einer Topologie ausgestattet werden, wo die Offene Sets sind Gewerkschaften von offenen Intervallen (indiziert durch ordnungsgemäße Sätze) und kontinuierliche Funktionen können definiert werden.[9] Ein Äquivalent von Cauchy -Sequenzen kann auch definiert werden, obwohl sie von der Klasse der Ordinale indiziert werden müssen; Diese werden immer konvergieren, aber die Grenze kann entweder eine Zahl oder eine Lücke sein, die als ausgedrückt werden kann

mit aα abnehmen und keine untere Grenze haben . (Alle diese Lücken können selbst als Cauchy -Sequenzen verstanden werden, aber es gibt andere Arten von Lücken, die keine Grenzen sind, wie z. B. ∞ und ).[9]

Exponentialfunktion

Basierend auf unveröffentlichten Arbeiten von Kruskal, eine Konstruktion (durch transfinitische Induktion), die das reale erweitert Exponentialfunktion exp (x) (mit Basis e) zu den Surreals wurde von Gonshor durchgetragen.[8]: CH. 10

Andere Exponentiale

Das Kräfte von ω Die Funktion ist auch eine exponentielle Funktion, hat jedoch nicht die für eine Erweiterung der Funktion auf dem Real gewünschten Eigenschaften. Es wird jedoch bei der Entwicklung der Basis benötigt.e exponentiell, und es ist diese Funktion, die gemeint ist, wenn die Notation ωx wird im Folgenden verwendet.

Wann y ist eine dyadische Fraktion, die Leistungsfunktion x, xxy Kann aus Multiplikation, multiplikativer Inverse und Quadratwurzel bestehen, die alle induktiv definiert werden können. Seine Werte werden vollständig durch die Grundbeziehung bestimmt xy+z = xy· xzund wo definiert es notwendigerweise mit jedem anderen übereinstimmt Exponentiation das kann existieren.

Grundlegende Induktion

Die Induktionsschritte für das surreale Exponential basieren auf der Serienerweiterung für das echte Exponential,

Insbesondere jene Teilsummen, die von Basisalgebra als positiv angezeigt werden können, aber weniger als alle späteren. Zum x positiv diese werden bezeichnet [x]n und alle teilweisen Summen einschließen; zum x negativ, aber endlich, [x]2n+1 bezeichnet die seltsamen Schritte in der Serie von der ersten mit einem positiven realen Teil (was immer existiert). Zum x Negativ unendlich, die ungeraden partiellen Summen nehmen streng ab und die [x]2n+1 Notation bezeichnet das leere Satz, es stellt sich jedoch heraus, dass die entsprechenden Elemente in der Induktion nicht benötigt werden.

Die Beziehungen, die real halten x < y sind dann

Exp x · [y - x]n < exp y

und

Exp y · [x - y]2n+1 < exp x,

und dies kann mit der Definition auf die Surreals ausgedehnt werden

Exp z = {0, exp zL · [z - ZL]n , exp zR · [z - ZR]2n+1 | Exp zR / [zR–Z]n , exp zL / [zL–Z]2n+1 }.

Dies ist für alle surrealen Argumente gut definiert (der Wert existiert und hängt nicht von der Wahl von ab zL und zR).

Ergebnisse

Mit dieser Definition gilt Folgendes:[e]

  • exp ist eine streng zunehmende positive Funktion, x < y ⇒ 0 <exp x < exp y
  • Exp erfüllt exp (x+y) = exp x · Exp y
  • Exp ist eine Übersicht (auf ) und hat eine gut definierte Inverse, log = exp–1
  • EXP stimmt mit der üblichen exponentiellen Funktion in den Realstunden zusammen (und damit exp 0 = 1, exp 1 = e)
  • Zum x Infinitesimal, der Wert der formalen Power -Serie (Taylor -Expansion) von exp ist gut definiert und fällt mit der induktiven Definition zusammen
    • Wann x ist in Conway-Normalform angegeben, der Satz von Exponenten im Ergebnis ist gut geordnet und die Koeffizienten sind endliche Summen, die direkt die normale Form des Ergebnisses ergeben (mit einem führenden 1)
    • In ähnlicher Weise für x infinitesimal nahe 1, log x wird durch die Expansion der Power -Serie von gegeben x – 1
  • Für positive unendliche x, exp x ist auch unendlich
    • Wenn x hat die Form ωα (α> 0), exp x hat die Form ωωβ wobei β eine streng zunehmende Funktion von α ist. Tatsächlich gibt es eine induktiv definierte Bijection g: : α ↦ β deren Umkehrung auch induktiv definiert werden kann
    • Wenn x ist "rein unendlich" mit normaler Form x = Σα <βrαωaα wo alle aα > 0, dann Exp x = ωΣα <βrαωg(aα)
    • In ähnlicher Weise für x = ωΣα <βrαωbα, die Umkehrung wird gegeben durch Protokoll x = Σα <βrαωg–1(bα)
  • Jede surreale Zahl kann als Summe eines reinen unendlichen, realen und infinitesimalen Teils geschrieben werden, und das Exponential ist das Produkt der oben angegebenen Teilergebnisse
    • Die normale Form kann durch Multiplizieren des unendlichen Teils (eine einzelne Leistung von ω) und das reale Exponential in die Leistungsserie, die aus dem Infinitesimal resultiert, multiplizieren
    • Umgekehrt bringt die Aufteilung des führenden Begriffs der normalen Form eine surreale Zahl in die Form zu Σγ <δtγωbγ) ·r· (1 + σα <βsαωaα), zum aα < 0, wobei jeder Faktor eine Form hat, für die oben ein Weg zur Berechnung des Logarithmus angegeben wurde; Die Summe ist dann der allgemeine Logarithmus
      • Obwohl es keine allgemeine induktive Definition von log (im Gegensatz zu Exp) gibt, werden die Teilergebnisse in Bezug auf solche Definitionen angegeben. Auf diese Weise kann der Logarithmus explizit berechnet werden, ohne dass er sich auf die Umkehrung des Exponentials bezieht.
  • Die exponentielle Funktion ist viel größer als jede endgültige Leistung
    • Für jeden positiven Unendlichen x und alle endlichen n, exp (x)/xn ist unendlich
    • Für jede ganze Zahl n und surreal x > n2, exp (x)> xn. Diese stärkere Einschränkung ist eine der Ressayre -Axiome für den Realen Exponentialfeld[7]
  • Exp erfüllt alle Ressayre -Axiome für das reale exponentielle Feld[7]
    • Die Surreals mit Exponential sind ein Elementarerweiterung des wirklichen exponentiellen Feldes
    • Für εβ Eine ordinale Epsilon -Nummer, die Reihe von surrealen Zahlen mit Geburtstag weniger als εβ Konstituieren Sie ein Feld, das unter Exponentialen geschlossen ist und ebenfalls eine elementare Erweiterung des realen Exponentialfeldes ist

Beispiele

Das surreale Exponential wird im Wesentlichen durch sein Verhalten der positiven Kräfte von ω angegeben, d. H. Die Funktion g (a), kombiniert mit einem bekannten Verhalten bei endlichen Zahlen. Es werden nur Beispiele für die ersteren angegeben. Zusätzlich, g (a) = a gilt für einen großen Teil seines Bereichs, zum Beispiel für jede endliche Zahl mit positivem realem Teil und jeglicher unendlicher Zahl, die weniger als einige iterierte Leistung von ω ist (ω (ω) (ωω··ω für eine Reihe von Ebenen).

  • exp ω = ωω
  • Exp ω1/ω = ω und log ω = ω1/ω
  • exp (ω · log ω) = exp (ω · ω1/ω) = ωω(1 + 1/ω)
    • Dies zeigt, dass die Funktion "Leistung von ω" nicht mit EXP kompatibel ist, da die Kompatibilität einen Wert von ω erfordern würdeω hier
  • exp ε0 = ωωε0 + 1
  • log ε0 = ε0 / ω

Exponentiation

Eine allgemeine Exponentiation kann definiert werden als xy = exp (y · Protokoll x)Ausdrücken wie eine Interpretation wie 2ω = exp (ω · log 2) = ωlog 2 · ω. Auch hier ist es wichtig, diese Definition von der Funktion "Kräfte der ω" zu unterscheiden, insbesondere wenn ω als Basis auftreten kann.

Surkomplexzahlen

A Surcomplex -Nummer ist eine Reihe der Form a+bi, wo a und b sind surreale Zahlen und i ist die Quadratwurzel von –1.[10][11] Die Surkomplexzahlen bilden eine Algebraisch geschlossen aufstellen (außer als richtige Klasse), isomorph zum algebraischer Schließung des Feldes, das durch Erweiterung der Erzeugung erzeugt wird Rationale Zahlen durch eine richtige Klasse von Algebraisch unabhängig transzendental Elemente. Bis zum Feld IsomorphismusDiese Tatsache charakterisiert das Gebiet der Surkomplexnummern in einer festen festgelegten Theorie.[6]: Th.27

Spiele

Die Definition von surrealen Zahlen enthielt eine Einschränkung: Jedes Element von L muss streng geringer sein als jedes Element von R, wenn diese Einschränkung gesenkt wird Spiele. Alle Spiele sind gemäß dieser Regel konstruiert:

Bauregel
Wenn L und R sind zwei Sätze von Spielen dann {{ L | R } ist ein Spiel.

Addition, Negation und Vergleich werden sowohl für surreale Zahlen als auch für Spiele auf die gleiche Weise definiert.

Jede surreale Nummer ist ein Spiel, aber nicht alle Spiele sind surreale Zahlen, z. das Spiel { 0 | 0 } ist keine surreale Nummer. Die Klasse der Spiele ist allgemeiner als die Surreals und hat eine einfachere Definition, aber es fehlen einige der schöneren Eigenschaften surrealer Zahlen. Die Klasse der surrealen Zahlen bildet a aufstellen, aber die Klasse der Spiele nicht. Die Surreals haben a Gesamtbestellung: Bei zwei Surreals sind sie entweder gleich oder einer ist größer als der andere. Die Spiele haben nur eine Teilreihenfolge: Es gibt Paare von Spielen, die weder gleich, größer als und weniger als einander sind. Jede surreale Zahl ist entweder positiv, negativ oder Null. Jedes Spiel ist entweder positiv, negativ, Null, oder verschwommen (unvergleichlich mit Null, wie {1 | −1}).

Ein Wechsel in einem Spiel betrifft den Spieler, dessen Umzug es für ein Spiel aus den in L (für den linken Spieler) oder R (für den rechten Spieler) verfügbaren Spiele auswählt und dieses ausgewählte Spiel an den anderen Spieler weitergibt. Ein Spieler, der sich nicht bewegen kann, weil die Wahl aus dem leeren Set stammt, hat verloren. Ein positives Spiel ist ein Sieg für den linken Spieler, ein negatives Spiel für den rechten Spieler, ein Null -Spiel für den zweiten Spieler, um sich zu bewegen, und a Fuzzy -Spiel für den ersten Spieler, der sich bewegt.

Wenn x, y, und z sind surreals und x=y, dann x z=y z. jedoch, wenn x, y, und z sind Spiele und x=ydann ist es nicht immer wahr, dass x z=y z. Beachten Sie, dass "=" hier Gleichheit bedeutet, nicht die Identität.

Anwendung auf kombinatorische Spieltheorie

Die surrealen Zahlen wurden ursprünglich durch Studien des Spiels motiviert gehen,[2] Und es gibt zahlreiche Verbindungen zwischen beliebten Spielen und den Surreals. In diesem Abschnitt werden wir eine aktivierte Verwendung verwenden Spiel Für das mathematische Objekt {l | r} und das Kleinbuchstaben Spiel Für Freizeitspiele wie Schach oder gehen.

Wir betrachten Spiele mit diesen Eigenschaften:

  • Zwei Spieler (benannt Links und Recht)
  • Deterministisch (Das Spiel in jedem Schritt hängt vollständig von den Entscheidungen ab, die die Spieler treffen, und nicht von einem zufälligen Faktor)
  • Keine versteckten Informationen (wie Karten oder Kacheln, die sich ein Spieler versteckt)
  • Die Spieler wechseln sich abwechselnd ab (das Spiel kann in einer Runde mehrere Bewegungen zulassen oder nicht)
  • Jedes Spiel muss in einer begrenzten Anzahl von Bewegungen enden
  • Sobald es keine rechtlichen Schritte für einen Spieler gibt, endet das Spiel und dieser Spieler verliert

Für die meisten Spiele bietet die anfängliche Boardposition den beiden Spielern keinen großen Vorteil. Im Laufe des Spiels und ein Spieler beginnt zu gewinnen, werden Brettpositionen auftreten, bei denen dieser Spieler einen klaren Vorteil hat. Für die Analyse von Spielen ist es nützlich, ein Spiel mit jeder Boardposition zu verbinden. Der Wert einer bestimmten Position ist das Spiel {l | r}, wobei l die Wertemenge aller Positionen ist, die in einer einzigen Bewegung von links erreicht werden können. In ähnlicher Weise ist R der Satz von Werten aller Positionen, die in einer einzigen Bewegung nach rechts erreicht werden können.

Das Null -Spiel (genannt 0) ist das Spiel, bei dem L und R beide leer sind. Der Spieler, der sich als nächstes bewegt (L oder R), verliert sofort. Die Summe von zwei Spielen g = {l1 | R1} und h = {l2 | R2} ist definiert als das Spiel G + H = {l1 + h, g + l2 | R1 + H, G + R2}, bei dem der Spieler, der sich bewegt, in welcher der Spiele in jeder Phase spielen soll, und der Verlierer ist immer noch der Spieler, der keinen legalen Schritt hat. Man kann sich zwei Schachbretter zwischen zwei Spielern vorstellen, wobei die Spieler alternativ Bewegungen machen, aber mit völliger Freiheit, auf welchem ​​Brett sie spielen soll. Wenn g das Spiel ist {l | R}, -g ist das Spiel {-r | -L}, d. H. Mit der Rolle der beiden Spieler umgekehrt. Es ist einfach, g - g = 0 für alle Spiele G zu zeigen (wobei G - H als G + (-h) definiert ist).

Diese einfache Möglichkeit, Spiele mit Spielen zu verbinden, führt zu einem sehr interessanten Ergebnis. Angenommen, zwei perfekte Spieler spielen ein Spiel, das mit einer bestimmten Position beginnt, deren zugehörige Spiele ist x. Wir können alle Spiele wie folgt in vier Klassen einteilen:

  • Wenn x> 0 dann links gewinnt, unabhängig davon, wer zuerst spielt.
  • Wenn x <0 dann rechts gewinnt, unabhängig davon, wer zuerst spielt.
  • Wenn x = 0 dann wird der Spieler, der den zweiten Platz geht, gewinnen.
  • Wenn x || 0 Dann wird der Spieler, der zum ersten Mal geht, gewinnen.

Allgemeiner können wir G> H als g - h> 0 und ähnlich für <, = und || definieren.

Die Notation g || H bedeutet, dass G und H unvergleichlich sind. G || H entspricht G - H || 0, d. H. Das G> H, g <h und g = h sind alle falsch. Unvergleichliche Spiele sind manchmal zu sein verwirrt miteinander, weil der eine oder andere von einem Spieler bevorzugt werden kann, je nachdem, was dazu hinzugefügt wird. Ein mit Null verwirrter Spiel soll sein verschwommen, im Gegensatz zu positiv, negativ oder Null. Ein Beispiel für ein unscharfes Spiel ist Stern (*).

Manchmal, wenn sich ein Spiel dem Ende nähert, zersetzt es sich in mehrere kleinere Spiele, die nicht interagieren, außer dass jeder Spieler an der Reihe zu sich nur in einem von ihnen das Bewegen ermöglicht. Zum Beispiel füllt sich das Board langsam mit Teilen, bis es nur ein paar kleine Inseln mit leerem Raum gibt, in denen sich ein Spieler bewegen kann. Jede Insel ist wie ein separates Spiel von Go, gespielt auf einem sehr kleinen Brett. Es wäre nützlich, wenn jedes Subgame separat analysiert werden könnte, und dann die Ergebnisse kombiniert, um eine Analyse des gesamten Spiels zu ergeben. Dies scheint nicht einfach zu sein. Zum Beispiel könnte es zwei Unterspiele geben, bei denen derjenige gewinnt, der sich zuerst bewegt, aber wenn sie zu einem großen Spiel kombiniert werden, ist es nicht mehr der erste Spieler, der gewinnt. Glücklicherweise gibt es eine Möglichkeit, diese Analyse durchzuführen. Der folgende Satz kann angewendet werden:

Wenn sich ein großes Spiel in zwei kleinere Spiele zersetzt und die kleinen Spiele Spiele von miteinander verbunden haben x und ydann wird das große Spiel ein assoziiertes Spiel von haben x+y.

Ein Spiel, das aus kleineren Spielen besteht disjunktive Summe Von diesen kleineren Spielen, und der Satz besagt, dass die von uns definierte Additionsmethode gleichbedeutend mit der disjunktiven Summe der Addends entspricht.

Historisch gesehen entwickelte Conway die Theorie der surrealen Zahlen in umgekehrter Reihenfolge, wie sie hier präsentiert wurde. Er analysierte Gehen Sie Endspieleund erkannte, dass es nützlich wäre, eine Möglichkeit zu haben, die Analysen nicht-interagierender Subgames zu einer Analyse ihrer zu kombinieren disjunktive Summe. Daraus erfand er das Konzept eines Spiels und des Additionsbetreibers dafür. Von dort ging er fort, eine Definition von Negation und Vergleich zu entwickeln. Dann bemerkte er, dass eine bestimmte Klasse von Spielen interessante Eigenschaften hatte; Diese Klasse wurde zu den surrealen Zahlen. Schließlich entwickelte er den Multiplikationsbetreiber und bewies, dass die Surreals tatsächlich ein Feld sind und dass er sowohl die Realität als auch die Ordinale umfasst.

Alternative Erkenntnisse

Alternative Ansätze für die surrealen Zahlen ergänzen die Ausstellung von Conway in Bezug auf Spiele.

Zeichenweiterung

Definitionen

In dem, was jetzt genannt wird Unterschriftenexpansion oder Anmelde einer surrealen Zahl ist eine surreale Nummer a Funktion Deren Domain ist ein Ordinal- und wessen Codomäne ist {−1, +1}.[8]: CH. 2 Dies entspricht Conways L-R-Sequenzen.[6]

Definieren Sie das binäre Prädikat "einfacher als" auf Zahlen von x ist einfacher als y wenn x ist ein echte Teilmenge von y, d.h. Wenn DOM (x) <dom (y) und x(α) = y(α) für alle α <dom (x).

Für surreale Zahlen definieren die binäre Beziehung <lexikografische Ordnung (mit der Konvention, dass "undefinierte Werte" größer als –1 und weniger als 1). So x < y Wenn einer der folgenden Aussagen gilt:

  • x ist einfacher als y und y(DOM (DOM (x)) = + 1;
  • y ist einfacher als x und x(DOM (DOM (y)) = - 1;
  • Es gibt eine Nummer z so dass z ist einfacher als x, z ist einfacher als y, x(DOM (DOM (z)) = - 1 und y(DOM (DOM (z)) = + 1.

Äquivalent, sei δ (x,y) = min ({dom (x), dom (y)} ∪ {α: α <Dom (Dom (x) ∧ α <dom (y) ∧ x(α) ≠ y(α)}), so dass x = y wenn und nur wenn δ (x,y) = dom (x) = dom (y). Dann für Zahlen x und y, x < y Wenn und nur wenn einer der folgenden Aussagen gilt:

  • δ (x,y) = dom (x) ∧ δ (x,y) <dom (y) ∧ y(δ (x,y)) = + 1;
  • δ (x,y) <dom (x) ∧ δ (x,y) = dom (y) ∧ x(δ (x,y)) = - 1;
  • δ (x,y) <dom (x) ∧ δ (x,y) <dom (y) ∧ x(δ (x,y)) = - 1 ∧ y(δ (x,y)) = + 1.

Für Zahlen x und y, xy dann und nur dann, wenn x < yx = y, und x > y dann und nur dann, wenn y < x. Ebenfalls xy dann und nur dann, wenn yx.

Die Beziehung <ist <ist transitivund für alle Zahlen x und ygenau einer von x < y, x = y, x > y, Holds (Gesetz von Trichotomie). Dies bedeutet, dass <ist a lineare Reihenfolge (außer dass <ist eine richtige Klasse).

Für Zahlensätze, L und R so dass ∀xLyR (x < y), es gibt eine eindeutige Zahl z so dass

  • xL (x < z) ∧ ∀yR (z < y),
  • Für eine beliebige Zahl w so dass ∀xL (x < w) ∧ ∀yR (w < y), w = z oder z ist einfacher als w.

Außerdem, z ist konstruktibel von L und R durch transfinite Induktion. z ist die einfachste Zahl zwischen L und R. Lassen Sie die eindeutige Zahl z mit σ (σ (L,R).

Für eine Nummer xDefinieren Sie den linken Set L(x) und richtiger Set R(x) durch

  • L(x) = { x|α: α <dom (x) ∧ x(α) = + 1};
  • R(x) = { x|α: α <dom (x) ∧ x(α) = - 1},

dann σ (L(x),R(x)) = x.

Ein Vorteil dieser alternativen Erkenntnis ist, dass Gleichheit Identität ist, keine induktiv definierte Beziehung. Im Gegensatz zu Conways Verwirklichung der surrealen Zahlen erfordert das Sign-Expansion jedoch einen vorherigen Bau der Ordnungen, während die Ordnungen in Conway als besondere Fälle von Surreals konstruiert werden.

Es können jedoch ähnliche Definitionen getroffen werden, die die Notwendigkeit einer vorherigen Konstruktion der Ordinale beseitigen. Zum Beispiel könnten wir die Surreals die (rekursiv definierte) Funktionsklasse sein, deren Domäne eine Teilmenge der Surreals ist, die die Transitivitätsregel erfüllen ∀g ∈ Dom f (∀h ∈ Dom g (h ∈ Dom f )) und deren Bereich { -, +} ist. "Einfacher als" ist jetzt sehr einfach definiert -x ist einfacher als y wenn x ∈ Dom y. Die Gesamtordnung wird durch Berücksichtigung definiert x und y als Sätze geordneter Paare (als Funktion ist normalerweise definiert): entweder x = y, oder sonst die surreale Nummer z = xy ist in der Domäne von x oder die Domäne von y (oder beides, aber in diesem Fall müssen die Zeichen nicht zustimmen). Wir haben dann x < y wenn x(z) = - oder y(z) = + (oder beides). Das Konvertieren dieser Funktionen in Zeichensequenzen ist eine einfache Aufgabe. ordnen Sie die Elemente von DOM an f in der Reihenfolge der Einfachheit (d. H. Einbeziehung) und dann die Zeichen aufschreiben, die f Zuordnet jedem dieser Elemente in Ordnung. Die Ordnungen treten dann natürlich als surreale Zahlen auf, deren Bereich { +} ist.

Addition und Multiplikation

Die Summe x + y von zwei Zahlen, x und y, wird durch Induktion auf DOM definiert (x) und dom (y) durch x + y = σ (L,R), wo

  • L = {{ u + y: uL(x)} ∪ { x + v: vL(y)},
  • R = {{ u + y: uR(x)} ∪ { x + v: vR(y)}.

Die additive Identität wird durch die Zahl 0 = {} angegeben, d.h. Die Zahl 0 ist die eindeutige Funktion, deren Domäne die Ordinal 0 und die additive Umkehrung der Zahl ist x ist die Zahl - x, gegeben von DOM ( - - x) = dom (x) und für α <dom (x), ( - x) (α) = - 1 wenn x(α) = + 1 und ( - - x) (α) = + 1 wenn x(α) = - 1.

Daraus folgt, dass eine Zahl x ist positiv wenn und nur wenn 0 <dom (x) und x(0) = + 1 und x ist Negativ wenn und nur wenn 0 <dom (x) und x(0) = - 1.

Das Produkt xy von zwei Zahlen, x und y, wird durch Induktion auf DOM definiert (x) und dom (y) durch xy = σ (L,R), wo

  • L = {{ uy + xvUV: uL(x), vL(y)} ∪ { uy + xvUV: uR(x), vR(y)},
  • R = {{ uy + xvUV: uL(x), vR(y)} ∪ { uy + xvUV: uR(x), vL(y)}.

Die multiplikative Identität wird durch die Zahl 1 = {(0,+ 1)} angegeben. d.h. Die Zahl 1 hat eine Domäne, die der Ordinal 1 und 1 (0) = + 1 entspricht.

Korrespondenz mit Conways Verwirklichung

Die Karte aus Conways Erkenntnis zur Unterzeichnung von Erweiterungen ist gegeben durch f({{ L | R }) = σ (M,S), wo M = {{ f(x): xL } und S = {{ f(x): xR }.

Die umgekehrte Karte von der alternativen Erkenntnis bis zur Erkenntnis von Conway ist gegeben durch g(x) = { L | R }, wo L = {{ g(y): yL(x) } und R = {{ g(y): yR(x)}.

Axiomatischer Ansatz

In einem anderen Ansatz zu den Surreals, gegeben von Alling,[11] Die explizite Konstruktion wird insgesamt umgangen. Stattdessen wird ein Satz von Axiomen angegeben, dass ein bestimmter Ansatz für die Surreals erfüllen muss. Ähnlich wie das Axiomatischer Ansatz Für die Realität garantieren diese Axiome die Einzigartigkeit gegenüber Isomorphismus.

Ein Triple ist ein surreales Nummernsystem, wenn und nur wenn der folgende Fall ist:

  • < is a Gesamtbestellung Über
  • b ist eine Funktion von auf zu die Klasse aller Ordnungen (b wird als "Geburtstagsfunktion" bezeichnet ).
  • Lassen A und B Untergruppen von so dass für alle xA und yB, x < y (Verwenden Sie die Terminologie von Alling, 〈 A,B 〉 Ist ein "Conway Cut" von ). Dann gibt es ein einzigartiges z so dass b (z) ist minimal und für alle xA und alles yB, x < z < y. (Dieses Axiom wird oft als "Conway's Einfachheitstheorem" bezeichnet.)
  • Außerdem, wenn eine Ordinal α ist größer als B (x) für alle xA, B, dann b (z)α. (Alling ruft ein System auf, das dieses Axiom ein "volles surreales Zahlensystem" erfüllt.)

Sowohl Conways ursprüngliche Konstruktion als auch der Schloss-Expansionskonstruktion von Surreals erfüllen diese Axiome.

Angesichts dieser Axiome alling[11] leitet Conways ursprüngliche Definition von ≤ ab und entwickelt surreale Arithmetik.

Einfachheit hierarchie

Eine Konstruktion der surrealen Zahlen als maximaler binärer Pseudo-Baum mit Einfachheit (Vorfahr) und die Reihenfolge der Beziehungen auf Philip Ehrlich zurückzuführen ist,[12] Der Unterschied von der üblichen Definition eines Baumes besteht darin, dass die Menge der Vorfahren eines Scheitelpunkts gut geordnet ist, aber möglicherweise kein maximales Element (unmittelbarer Vorgänger) hat. Mit anderen Worten, der Ordenstyp dieses Satzes ist eine allgemeine Ordnungszahl, nicht nur eine natürliche Zahl. Diese Konstruktion erfüllt auch die Axiome von Alling und kann leicht der Darstellung von Sign-Sequence zugeordnet werden.

Hahn -Serie

Alling[11]: Th. 6.55, p. 246 beweist auch, dass das Feld der surrealen Zahlen (als geordnetes Feld) auf dem Gebiet von isomorph ist Hahn -Serie mit realen Koeffizienten auf der Wertgruppe surrealer Zahlen selbst (die Serie Darstellung entspricht der normalen Form einer surrealen Zahl, wie oben definiert). Dies bietet eine Verbindung zwischen surrealen Zahlen und konventionelleren mathematischen Ansätzen zur geordneten Feldtheorie.

Dieser Isomorphismus bringt die surrealen Zahlen zu einem geschätzten Feld, in dem die Bewertung die additive Umkehrung des Exponenten des führenden Terms in der Normalform der Conway ist, z. B. ν (ω) = -1. Der Bewertungsring besteht dann aus den endlichen surrealen Zahlen (Zahlen mit einem realen und/oder infinitesimalen Teil). Der Grund für die Zeicheninversion ist, dass die Exponenten in der Normalform in Conway einen umgekehrten, gut geordneten Satz darstellen, während die Hahn-Serie in Bezug auf (nicht umgekehrte) gut geordnete Teilmengen der Wertgruppe formuliert werden.

Beziehung zu Hyperreals

Philip Ehrlich hat einen Isomorphismus zwischen Conways maximaler surrealer Zahl und dem Maximaler konstruiert Hyperreals in Von Neumann -Bernays -Gödel -Set -Theorie.[12]

Siehe auch

Anmerkungen

  1. ^ In der ursprünglichen Formulierung verwendet Von Neumann -Bernays -Gödel -Set -Theorie, Die Surreals bilden eher eine ordnungsgemäße Klasse als einen Satz, also den Begriff aufstellen ist nicht genau richtig; Wenn diese Unterscheidung wichtig ist, verwenden einige Autoren Feld oder Feld, um auf eine ordnungsgemäße Klasse zu verweisen, die die arithmetischen Eigenschaften eines Feldes hat. Man kann ein echtes Feld erhalten, indem man die Konstruktion auf a begrenzt Grothendieck Universeein Set mit der Kardinalität einiger ergibt stark unzugänglicher Kardinaloder durch Verwendung einer Form der festgelegten Theorie, in der Konstruktionen von Transfinite Rekursion Halten Sie an einer zählbaren Ordinal auf, wie z. Epsilon nichts.
  2. ^ Die dyadische Fraktionen sind die einfachste nicht triviale Gruppe und Ring dieser Art; Es besteht aus den surrealen Zahlen mit einem Geburtstag von weniger als ω = ω1 = ωω0.
  3. ^ Die Definition einer Lücke lässt die Bedingungen eines Dedekinds aus L und R nicht leer sein und das L Sie haben kein größtes Element und auch die Identifizierung eines Schnitts mit dem kleinsten Element in R Wenn man existiert.
  4. ^ Wichtig ist, dass es keine Behauptung gibt, dass die Sammlung von Cauchy -Sequenzen eine Klasse in der NBG -Set -Theorie darstellt.
  5. ^ Selbst die trivialste dieser Gleichheiten kann die transfinite Induktion beinhalten und einen separaten Satz darstellen.

Verweise

  1. ^ a b Bajnok, Béla (2013). Eine Einladung zur abstrakten Mathematik. ISBN 9781461466369. Satz 24.29. Das surreale Zahlensystem ist das größte geordnete Feld
  2. ^ a b O'Connor, J.J.; Robertson, E.F.,, Conway -Biographie, abgerufen 2008-01-24
  3. ^ Knuth, Donald. "Surreale Zahlen". Stanford. Abgerufen 25. Mai 2020.
  4. ^ Alling, Norman L. (1962), "über die Existenz von realverzählten Feldern, die η sindα-Sets von Strom ℵ ℵα. ", Trans. Amer. Mathematik. SOC., 103: 341–352, doi:10.1090/S0002-9947-1962-0146089-x, HERR 0146089
  5. ^ Alling, Norman (Januar 1985), "Conways Feld der surrealen Zahlen" (PDF), Trans. Amer. Mathematik. SOC., 287 (1): 365–386, doi:10.1090/s0002-9947-1985-0766225-7, abgerufen 2019-03-05
  6. ^ a b c d e Conway, John H. (2000-12-11) [1976]. Auf Zahlen und Spielen (2 ed.). CRC Press. ISBN 9781568811277.
  7. ^ a b c d e Van Den Dries, Lou; Ehrlich, Philip (Januar 2001). "Felder surrealer Zahlen und Exponentiation". Fundamenta Mathematicae. Warszawa: Institut für Mathematik der polnischen Akademie der Wissenschaften. 167 (2): 173–188. doi:10.4064/fm167-2-3. ISSN 0016-2736.
  8. ^ a b c Gonshor, Harry (1986). Eine Einführung in die Theorie der surrealen Zahlen. London Mathematical Society Lecture Note Series. Vol. 110. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511629143. ISBN 9780521312059.
  9. ^ a b c Rubinstein-Salzedo, Simon; Swaminathan, Ashvin (2015-05-19). "Analyse zu surrealen Zahlen". Arxiv:1307.7392v3 [math.ca].
  10. ^ Surreale Vektoren und das Spiel des CutblocksJames Prop, 22. August 1994.
  11. ^ a b c d Alling, Norman L. (1987). Grundlagen der Analyse über surreale Zahlenfelder. Mathematikstudien 141. North-Holland. ISBN 0-444-70226-1.
  12. ^ a b Philip Ehrlich (2012). "Das absolute arithmetische Kontinuum und die Vereinigung aller Zahlen großartig und klein" (PDF). Das Bulletin der symbolischen Logik. 18 (1): 1–45. doi:10.2178/BSL/1327328438. S2CID 18683932. Archiviert von das Original (PDF) Am 2017-10-07. Abgerufen 2017-06-08.

Weitere Lektüre

  • Donald Knuthursprüngliche Ausstellung: Surreale Zahlen: Wie zwei Ex-Students sich der reinen Mathematik verwendeten und totales Glück fanden, 1974, ISBN0-201-03812-9. Weitere Informationen finden Sie unter Die offizielle Homepage des Buches.
  • Ein Update des klassischen Buches von 1976, das die surrealen Zahlen definiert und ihre Verbindungen zu Spielen erkundet: John Conway, Auf Zahlen und Spielen, 2. Aufl., 2001, ISBN1-56881-127-6.
  • Ein Update des ersten Teils des Buches von 1981, in dem surreale Zahlen und die Analyse von Spielen an ein breiteres Publikum vorgestellt wurden: Berlekamp, ​​Conway und Guy, Gewinnwege für Ihre mathematischen Stücke, vol. 1, 2. Aufl., 2001, ISBN1-56881-130-6.
  • Martin Gardner, Penrose -Kacheln zu Falltür -Chiffren, W. H. Freeman & Co., 1989, ISBN0-7167-1987-8, Kapitel 4. Ein nicht-technischer Überblick; Nachdruck des 1976 Wissenschaftlicher Amerikaner Artikel.
  • Polly Shulman, "Infinity plus eins und andere surreale Zahlen", Entdecken, Dezember 1995.
  • Eine detaillierte Behandlung surrealer Zahlen: Norman L. Alling, Grundlagen der Analyse über surreale Zahlenfelder, 1987, ISBN0-444-70226-1.
  • Eine Behandlung von Surreals basierend auf der Realisierung der Sign-Expansion: Harry Gonshor, Eine Einführung in die Theorie der surrealen Zahlen, 1986, ISBN0-521-31205-1.
  • Eine detaillierte philosophische Entwicklung des Konzepts der surrealen Zahlen als allgemeines Zahlenkonzept: Alain Badiou, Anzahl und Zahlen, New York: Polity Press, 2008, ISBN0-7456-3879-1 (Taschenbuch), ISBN0-7456-3878-3 (Hardcover).
  • Das Univalent Foundations -Programm (2013). Homotopie -Typ Theorie: Univalente Grundlagen der Mathematik. Princeton, NJ: Institut für fortgeschrittenes Studium. HERR 3204653. Die surrealen Zahlen werden im Kontext von untersucht Homotopie -Typ Theorie In Abschnitt 11.6.

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