Subtraktion

Subtraktion ist ein Arithmetische Operation Dies stellt den Betrieb des Entfernens von Objekten aus einer Sammlung dar. Die Subtraktion wird durch die Signierung Minuszeichen, −. Zum Beispiel gibt es im angrenzenden Bild 5 - 2 Pfirsiche - 5 Pfirsiche mit 2 weggenommen, was zu insgesamt 3 Pfirsiche führt. deshalb, die Unterschied von 5 und 2 ist 3; das ist, 5 - 2 = 3. Während hauptsächlich mit natürlichen Zahlen in verbunden ist Arithmetik, Subtraktion kann auch das Entfernen oder Verringern von physikalischen und abstrakten Größen unter Verwendung verschiedener Arten von Objekten darstellen, einschließlich Negative Zahlen, Brüche, irrationale Zahlen, Vektoren, Dezimalstellen, Funktionen und Matrizen.^[1]

Die Subtraktion folgt mehreren wichtigen Mustern. es ist antikommutativ, was bedeutet, dass das Ändern der Reihenfolge das Zeichen der Antwort ändert. Es ist auch nicht assoziativ, was bedeutet, dass wenn man mehr als zwei Zahlen subtrahiert, die Reihenfolge, in der die Subtraktion durchgeführt wird, von Bedeutung ist. Da 0 ist der additive Identität, Subtraktion davon ändert keine Zahl. Die Subtraktion folgt auch vorhersehbare Regeln für verwandte Operationen, wie z. Zusatz und Multiplikation. All diese Regeln können sein bewiesen, beginnend mit der Subtraktion von Ganzzahlen und verallgemeinern durch die reale Nummern und darüber hinaus. Allgemein Binäre Operationen Dies folgt diesen Mustern, die in untersucht werden Zusammenfassung Algebra.

Die Durchführung der Subtraktion auf natürliche Zahlen ist eine der einfachsten numerischen Aufgaben. Die Subtraktion sehr kleiner Zahlen ist für kleine Kinder zugänglich. Im Grundschulbildung Zum Beispiel wird den Schülern beigebracht, Zahlen in der abzuziehen Dezimal System, beginnend mit einzelnen Ziffern und zunehmend schwierigeren Problemen.

In fortgeschrittener Algebra und in Computeralgebra, ein Ausdruck, der Subtraktion betrifft wie A − B wird im Allgemeinen als Kurzbeschreibung für die Zugabe behandelt A + ( -B). Daher, A − B enthält zwei Begriffe, nämlich A und -B. Dies ermöglicht einen einfacheren Einsatz von Assoziativität und Amtativität.

Notation und Terminologie

Die Subtraktion wird normalerweise mit dem geschrieben Minuszeichen " -" zwischen den Begriffen; das ist in Infixnotation. Das Ergebnis wird mit einem ausgedrückt Gleiches Zeichen. Zum Beispiel,

${\ displayStyle 2-1 = 1}$ (ausgesprochen als "zwei minus eins gleich"))

${\ displayStyle 4-2 = 2}$ (ausgesprochen als "vier minus zwei gleich sind zwei")

${\ displayStyle 6-3 = 3}$ (ausgesprochen als "sechs minus drei gleich drei")

${\ displayStyle 4-6 = -2}$ (ausgesprochen als "vier minus sechs gleich negativ zwei")

Es gibt auch Situationen, in denen die Subtraktion "verstanden" wird, obwohl kein Symbol erscheint:

• Eine Spalte mit zwei Zahlen mit der unteren Zahl in Rot zeigt normalerweise an, dass die untere Zahl in der Spalte subtrahiert werden soll, wobei die folgende Differenz unter einer Zeile geschrieben wird. Dies ist am häufigsten in der Buchhaltung.

Formal ist die abzugste Zahl als die bekannt als die Subtrahend,^[2][3] Während die Zahl, von der sie abgezogen wird, ist die Minuend.^[2][3] Das Ergebnis ist das Unterschied.^[2][3][1][4] Das ist,

${\ displayStyle {\ rm {minuend}}-{\ rm {subtrahend}} = {\ rm {Differenz}}}$.

All diese Terminologie stammt aus Latein. "Subtraktion" ist ein Englisch Wort, das aus dem Latein abgeleitet ist Verb Subtrahere, was wiederum a ist Verbindung von Sub "von unter" und Trahere "ziehen". Somit zu subtrahieren ist zu Zeichnen von unten, oder zu wegbringen.^[5] Verwendung der Gerundivum Suffix -nd führt zu "Subtrahend", "Sache, die abtrahiert werden müssen".^[a] Ebenso von minuere "Um zu reduzieren oder zu verringern", bekommt man "minuend", was bedeutet, dass "Sache verringert werden".

Von Ganzzahlen und realen Zahlen

Ganzzahlen

Stellen Sie sich a vor Liniensegment von Länge b mit dem linken Ende beschriftet a und das rechte Ende beschriftet c. Ab a, es braucht b Schritte nach rechts zu erreichen c. Diese Bewegung rechts wird mathematisch durch modelliert Zusatz:

a + b = c.

Aus c, es braucht b Schritte zum links zurückkommen zu a. Diese Bewegung nach links wird durch Subtraktion modelliert:

c − b = a.

Jetzt ein Zeilensegment mit den Zahlen 1, 2, und 3. Aus Position 3 dauert es nicht nach links, um um 3 zu bleiben, also 3 - 0 = 3. Links dauert es 2 Schritte, um zu Position 1 zu gelangen. 3 - 2 = 1. Dieses Bild ist nicht ausreichend, um zu beschreiben, was passieren würde, nachdem 3 Schritte links von Position 3 unternommen werden sollen. Um eine solche Operation darzustellen, muss die Linie verlängert werden.

Willkürlich subtrahieren natürliche ZahlenMan beginnt mit einer Linie, die jede natürliche Zahl (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...) enthält. Ab 3 dauert es 3 Schritte nach links, um 0 zu erreichen, also 3 - 3 = 0. Aber 3 - 4 ist immer noch ungültig, da es wieder die Linie verlässt. Die natürlichen Zahlen sind kein nützlicher Kontext für die Subtraktion.

Die Lösung besteht darin, die zu berücksichtigen ganze Zahl Zahlenlinie (..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...). Auf diese Weise dauert es 4 Schritte links von 3, um zu –1 zu gelangen:

3 - 4 = –1.

Natürliche Zahlen

Subtraktion von natürliche Zahlen ist nicht abgeschlossen: Die Differenz ist keine natürliche Zahl, es sei denn, der Minuend ist größer oder gleich dem Subtrahend. Zum Beispiel kann 26 nicht von 11 abgezogen werden, um eine natürliche Zahl zu ergeben. Ein solcher Fall verwendet einen von zwei Ansätzen:

1. Schließen Sie, dass 26 nicht von 11 abgezogen werden kann; Die Subtraktion wird a Teilfunktion.
2. Geben Sie die Antwort als eine ganze Zahl darstellen a negative ZahlDas Ergebnis von Subtrahieren von 26 von 11 beträgt –15.

Reale Nummern

Das aufstellen realer Zahlen können definiert werden, indem nur zwei binäre Operationen, Addition und Multiplikation zusammen mit Unary Operations Nachgeben Zusatzstoff und multiplikativ Inversen. Die Subtraktion einer reellen Zahl (der Subtrahend) von einem anderen (minuend) kann dann als Hinzufügung des Minuends und der additiven Umkehrung der Subtrahend definiert werden. Zum Beispiel, 3 - π = 3 + ( - -π). Alternativ, anstatt diese unären Operationen zu verlangen, die binären Operationen der Subtraktion und Aufteilung kann als grundlegend angesehen werden.

Eigenschaften

Antikommutivität

Subtraktion ist antikommutativWenn man die Begriffe in einem Differenz nach rechts umkehrt, ist das Ergebnis das negative des ursprünglichen Ergebniss. Symbolisch, wenn a und b sind dann zwei Zahlen

a − b = - ((b − a).

Nicht-Assoziativität

Subtraktion ist nicht assoziativ, was auftaucht, wenn man versucht, wiederholte Subtraktion zu definieren. Im Allgemeinen der Ausdruck

"a − b − c"

kann definiert werden, um beide zu bedeuten (a − b) - c oder a - (b − c), aber diese beiden Möglichkeiten führen zu unterschiedlichen Antworten. Um dieses Problem zu lösen, muss man eine festlegen Operationsreihenfolge, mit unterschiedlichen Bestellungen, die unterschiedliche Ergebnisse liefern.

Vorgänger

Im Kontext von Ganzzahlen, Subtraktion von eines spielt auch eine besondere Rolle: für jede Ganzzahl a, die ganze Zahl (a - 1) ist die größte Ganzzahl weniger als a, auch bekannt als Vorgänger von a.

Maßeinheiten

Beim Subtrahieren von zwei Zahlen mit Messeinheiten wie z. Kilogramm oder PfundSie müssen die gleiche Einheit haben. In den meisten Fällen hat der Unterschied die gleiche Einheit wie die ursprünglichen Zahlen.

Prozentsätze

Änderungen in Prozentsätze kann in mindestens zwei Formen gemeldet werden, prozentuale Veränderung und Prozentpunkt Rückgeld. Prozentualer Veränderung repräsentiert die relative Veränderung zwischen den beiden Mengen als Prozentsatz Prozentpunkt Änderung ist einfach die Zahl, die durch Subtrahieren der beiden Prozentsätze erhalten wird.^[6][7][8]

Nehmen wir beispielsweise an, dass 30% der in einer Fabrik hergestellten Widgets defekt sind. Sechs Monate später sind 20% der Widgets defekt. Die prozentuale Veränderung ist 20% - 30%/30% = -1/3 = –33+1/3%, während die Prozentpunktänderung –10 Prozentpunkte beträgt.

Im Computer

Das Komplementmethoden ist eine Technik, mit der eine Zahl nur unter Verwendung der Addition von positiven Zahlen von einer anderen abgebaut wird. Diese Methode wurde üblicherweise in verwendet Mechanische Taschenrechnerund wird immer noch in der Moderne verwendet Computers.

Binär Ziffer	Einsen' ergänzen
0	1
1	0

Eine Binärzahl subtrahieren y (die Subtrahend) aus einer anderen Zahl x (der Minuend), die "ergänzen sich" y wird hinzugefügt zu x und einer wird zur Summe hinzugefügt. Die führende Ziffer "1" des Ergebnisses wird dann verworfen.

Die Methode der Komplemente ist besonders in Binärdateien (Radix 2) nützlich, da das Komplement von der One sehr leicht erhalten wird, indem jedes Bit invertiert ("0" auf "1" und umgekehrt). Und 1 hinzuzufügen, um das Komplement der beiden zu erhalten, kann durch Simulation eines Übertragers in das am wenigsten signifikante Bit durchgeführt werden. Zum Beispiel:

  01100100 (x, gleich dezimal 100) - 00010110 (y, gleich Dezimal 22)

wird die Summe:

  01100100 (x) + 11101001 (Eins 'Komplement von y) + 1 (um die beiden der beiden zu erhalten) ———————————— 101001110

Das Ablegen des ersten "1" gibt die Antwort: 01001110 (gleich Dezimaler 78)

Der Unterricht der Subtraktion in Schulen

Methoden, die verwendet werden, um die Subtraktion zu lehren Grundschule Variieren von Land zu Land und innerhalb eines Landes werden zu unterschiedlichen Zeiten unterschiedliche Methoden angewendet. In dem, was in den Vereinigten Staaten als bekannt ist als Traditionelle Mathematik, einem bestimmten Prozess wird den Schülern am Ende des 1. Jahr (oder im 2. Jahr) für die Verwendung mit multi-bigitischen ganzen Zahlen beigebracht und wird entweder in der vierten oder fünften Klasse erweitert, um aufzunehmen, um aufzunehmen Dezimalrepräsentationen von Bruchzahlen.

In Amerika

Fast alle amerikanischen Schulen unterrichten derzeit eine Subtraktionsmethode unter Verwendung von Kreditaufnahmen oder Umgruppierung (dem Zersetzungsalgorithmus) und einem System von Markierungen, die als Krücken bezeichnet werden.^[9][10] Obwohl eine Kreditmethode zuvor in Lehrbüchern bekannt und veröffentlicht worden war, verbreitete sich die Verwendung von Krücken in amerikanischen Schulen danach William A. Brownell veröffentlichte eine Studie, in der die Krücken für die Schüler, die diese Methode verwendeten, von Vorteil waren.^[11] Dieses System hat sich schnell anfing und die anderen Methoden der Subtraktion in Amerika zu diesem Zeitpunkt verdrängte.

In Europa

Einige europäische Schulen setzen eine Subtraktionsmethode an, die als österreichische Methode bezeichnet wird und auch als Zusatzmethode bezeichnet wird. Diese Methode gibt es keine Ausleihe. Es gibt auch Krücken (Markierungen, um das Gedächtnis zu unterstützen), die je nach Land variieren.^[12][13]

Vergleich der beiden Hauptmethoden

Beide Methoden brechen die Subtraktion als Prozess einer Ziffer -Subtraktionen nach Platzwert auf. Beginnend mit einer am wenigsten signifikanten Ziffer eine Subtraktion des Subtrahends:

s_j s_j–1 ... s₁

Aus dem Minuend

m_k m_k–1 ... m₁,

wo jeweils s_i und m_i ist eine Ziffer, fährt durch Aufschreiben fort m₁ − s₁, m₂ − s₂und so weiter, so lange wie s_i überschreitet nicht m_i. Andernfalls, m_i wird um 10 erhöht und eine andere Ziffer wird geändert, um für diesen Anstieg zu korrigieren. Die amerikanische Methode korrigiert, indem versucht wird, die Minuend -Ziffer zu verringern m_i+1 durch eins (oder die Ausleihe links fortsetzen, bis eine Ziffer ungleich Null vorliegt). Die europäische Methode korrigiert durch Erhöhen der Subtrahend -Ziffer s_i+1 einzeln.

Beispiel: 704 - 512.

$oder } oder \ rm {rest \; oder \; Differenz}} \\\ end {Array}}}$

Der Minuend beträgt 704, der Subtrahend ist 512. Die Minuend -Ziffern sind m₃ = 7, m₂ = 0 und m₁ = 4. Die Subtrahend -Ziffern sind s₃ = 5, s₂ = 1 und s₁ = 2. Ab dem einzigen Ort ist 4 nicht weniger als 2, also wird der Differenz 2 in den Ort des Ergebnisses geschrieben. An den zehn Platz ist 0 weniger als 1, so dass die 0 um 10 erhöht wird und der Unterschied zu 1, der 9 ist, an den Ten der Zehn geschrieben wird. Die amerikanische Methode korrigiert für die Zehnteile von zehn, indem die Ziffer im Hunderten des Minuend um eins um eins gesenkt wird. Das heißt, die 7 wird durch eine 6 getroffen und ersetzt. Die Subtraktion erfolgt dann an den Hunderten, wobei 6 mindestens 5 ist, sodass der Unterschied in den Hundertstaaten des Ergebnisses niedergeschrieben wird. Wir sind jetzt fertig, das Ergebnis ist 192.

Die österreichische Methode reduziert die 7 auf 6 nicht. Vielmehr erhöht sie die Subtrahend -Hundert -Ziffer um eins. Eine kleine Marke wird in der Nähe oder unter dieser Ziffer (je nach Schule) hergestellt. Dann verläuft die Subtraktion, indem er nach der Erhöhung um 1 gefragt wird, und 5 wird hinzugefügt, macht 7. Die Antwort ist 1 und wird an den Hundertstaaten des Ergebnisses geschrieben.

Es gibt eine zusätzliche Subtilität, in der der Schüler immer eine mentale Subtraktionstabelle in der amerikanischen Methode einsetzt. Die österreichische Methode ermutigt den Schüler häufig, die Additionstabelle mental umgekehrt zu verwenden. Im obigen Beispiel wird der Schüler gebeten, zu überlegen, welche Zahl, wenn sie um 1 erhöht wird, und 5, anstatt 1 bis 5 zu erweitern, und abtraht, dass der Schüler von 7 erhöht wird, und 5 macht 7.

Subtraktion von Hand

Österreichische Methode

Beispiel:

• 

  1 + ... = 3

• 

  Der Unterschied wird unter die Zeile geschrieben.

• 

  9 + ... = 5
  Die erforderliche Summe (5) ist zu klein.

• 

  Also fügen wir 10 hinzu und setzen eine 1 unter den nächsten höheren Platz in der Subtrahend.

• 

  9 + ... = 15
  Jetzt können wir den Unterschied wie zuvor finden.

• 

  (4 + 1) + ... = 7

• 

  Der Unterschied wird unter die Zeile geschrieben.

• 

  Der Gesamtunterschied.

Subtraktion von links nach rechts

Beispiel:

• 

  7 - 4 = 3
  Dieses Ergebnis ist nur in Stifte eingestuft.

• 

  Da die nächste Ziffer des Minuend kleiner ist als die Subtrahend, subtrahieren wir einen von unserem Bleistift und fügen mental zehn zum nächsten hinzu.

• 

  15 - 9 = 6

• 

  Da die nächste Ziffer im Minuend nicht kleiner ist als die Subtrahend, behalten wir diese Zahl.

• 

  3 - 1 = 2

Amerikanische Methode

Bei dieser Methode wird jede Ziffer der Subtrahend von der obigen Ziffer von rechts nach links abgezogen. Wenn die obere Zahl zu klein ist, um die untere Zahl davon abzuziehen, fügen wir 10 hinzu; Diese 10 wird von der oberen Ziffer nach links "geliehen", von denen wir 1 abziehen. Anschließend subtrahieren wir die nächste Ziffer und Ausleihe nach Bedarf, bis jede Ziffer abgezogen wurde. Beispiel:

• 

  3 - 1 = ...

• 

  Wir schreiben den Unterschied unter der Linie.

• 

  5 - 9 = ...
  Der Minuend (5) ist zu klein!

• 

  Also fügen wir 10 hinzu. Die 10 wird von der Ziffer links "ausgeliehen", die um 1 sinkt.

• 

  15 - 9 = ...
  Jetzt funktioniert die Subtraktion, und wir schreiben den Unterschied unter die Zeile.

• 

  6 - 4 = ...

• 

  Wir schreiben den Unterschied unter der Linie.

• 

  Der Gesamtunterschied.

Zuerst handeln

Eine Variante der amerikanischen Methode, bei der alle Kreditaufnahmen vor der gesamten Subtraktion durchgeführt werden.^[14]

Beispiel:

• 

  1 - 3 = nicht möglich.
  Wir fügen eine 10 in die 1. hinzu, da die 10 aus dem nahe gelegenen 5 "geliehen" wird, der 5 wird um 1 gesenkt.

• 

  4 - 9 = nicht möglich.
  Also gehen wir wie in Schritt 1 vor.

• 

  Von rechts nach links arbeiten:
  11 - 3 = 8

• 

  14 - 9 = 5

• 

  6 - 4 = 2

Teilunterschiede

Die partielle Unterschiede unterscheidet sich von anderen vertikalen Subtraktionsmethoden, da keine Kreditaufnahme oder Trage stattfindet. An ihrer Stelle, ein Orte plus oder minus Zeichen, je nachdem, ob der Minuend größer oder kleiner ist als der Subtrahend. Die Summe der Teilunterschiede ist die Gesamtdifferenz.^[15]

Beispiel:

• 

  Die kleinere Zahl wird von der größeren abzugs:
  700 - 400 = 300
  Da der Minuend größer ist als der Subtrahend, hat dieser Unterschied ein Pluszeichen.

• 

  Die kleinere Zahl wird von der größeren abzugs:
  90 - 50 = 40
  Da der Minuend kleiner als der Subtrahend ist, hat dieser Unterschied ein minus Zeichen.

• 

  Die kleinere Zahl wird von der größeren abzugs:
  3 - 1 = 2
  Da der Minuend größer ist als der Subtrahend, hat dieser Unterschied ein Pluszeichen.

• 

  +300 - 40 + 2 = 262

Nichtvertische Methoden

Zusammenzählen

Anstatt die Differenzendifferung nach Ziffer zu finden, kann man die Zahlen zwischen dem Subtrahend und dem Minuend zählen.^[16]

Beispiel: 1234 - 567 = kann in den folgenden Schritten gefunden werden:

• 567 + 3 = 570
• 570 + 30 = 600
• 600 + 400 = 1000
• 1000 + 234 = 1234

Fügen Sie den Wert von jedem Schritt hinzu, um die Gesamtdifferenz zu erhalten: 3 + 30 + 400 + 234 = 667.

Die Subtraktion aufbrechen

Eine andere Methode, die nützlich ist für Kopfrechnen soll die Subtraktion in kleine Schritte aufteilen.^[17]

Beispiel: 1234 - 567 = kann auf folgende Weise gelöst werden:

• 1234 - 500 = 734
• 734 - 60 = 674
• 674 - 7 = 667

Gleiche Änderung

Die gleiche Änderungsmethode verwendet die Tatsache, dass das Hinzufügen oder Subtrahieren derselben Zahl von Minuend und Subtrahend die Antwort nicht ändert. Man fügt einfach die Menge hinzu, die erforderlich ist, um Nullen in der Subtrahend zu erhalten.^[18]

Beispiel:

"1234 - 567 =" kann wie folgt gelöst werden:

• 1234 - 567 = 1237 - 570 = 1267 - 600 = 667

Siehe auch

• Abnahme
• Elementararithmetik
• Komplementmethoden
• Negative Zahl
• Plus und abzüglich Zeichen

Anmerkungen

Verweise

Literaturverzeichnis

• Brownell, W. A. (1939).Lernen als Reorganisation: Eine experimentelle Studie in Arithmetik der dritten Klasse, Duke University Press.
• Subtraktion in den Vereinigten Staaten: Eine historische Perspektive, Susan Ross, Mary Pratt-Cotter, Der Mathematik -Pädagoge, Vol.8, Nr. 1 (Original Publikation) und Vol.10, Nr. 1 (Nachdruck.) PDF

Externe Links

• "Subtraktion", Enzyklopädie der Mathematik, EMS Press, 2001 [1994]
• Druckbare Arbeitsblätter: Subtraktionsarbeitsblätter, Eine Ziffernsubtraktion, Zweistellige Subtraktion, Vierstellige Subtraktion, und Weitere Subtraktionsarbeitsblätter
• Subtraktionsspiel bei Schnitt
• Subtraktion auf einem japanischen Abakus ausgewählt von Abakus: Geheimnis der Perle