Teilmenge

Euler -Diagramm zeigen
A ist eine Teilmenge von BAnwesendA⊂B, und umgekehrt B ist ein Superset von AAnwesendB⊃A.

Im Mathematik, einstellen A ist ein Teilmenge eines Satzes B ich falle Elemente von A sind auch Elemente von B; B ist dann a Superset von A. Es ist möglich für A und B gleichwertig sein; Wenn sie ungleich sind, dann A ist ein echte Teilmenge von B. Die Beziehung eines Satzes, der eine Untergruppe eines anderen ist, heißt Aufnahme (oder manchmal Eindämmung). A ist eine Teilmenge von B kann auch ausgedrückt werden als B einschließlich (oder enthält) A oder A ist enthalten (oder enthalten) in B.

Die Untergruppe definiert a Teilreihenfolge auf Sets. In der Tat die Untergruppen eines bestimmten Satzes Form a boolsche Algebra unter der Untergruppe, in der die Machen Sie mit und treffen Sie sich werden gegeben von Überschneidung und Unionund die Untergruppe selbst ist die Boolesche Einschlussbeziehung.

Definitionen

Wenn A und B sind Sets und jeder Element von A ist auch ein Element von B, dann:

A ist ein Teilmenge von B, bezeichnet durch ${\ displayStyle a \ subseteq b}$ , oder gleichwertig,
B ist ein Superset von A, bezeichnet durch ${\ displayStyle b \ supseteq A.}$

Wenn A ist eine Teilmenge von B, aber A ist nicht gleich zu B (d.h. Es gibt es mindestens ein Element von B, das kein Element von ist A), dann:

A ist ein richtig (oder strikt) Teilmenge von B, bezeichnet durch ${\ displayStyle a \ subsetneq b}$ , oder gleichwertig,
B ist ein richtig (oder strikt) Superset von A, bezeichnet durch ${\ displayStyle b \ supsetneq a}$ .

Das leeres Set, geschrieben ${\ displayStyle \ {\}}$ oder ${\ displayStyle \ varnothing,}$ ist eine Teilmenge eines beliebigen Satzes X und eine ordnungsgemäße Teilmenge eines beliebigen Satzes außer sich selbst, der Aufnahme Beziehung ${\ displayStyle \ subseteq}$ ist ein Teilreihenfolge am Set ${\ displayStyle {\ mathcal {p}} (s)}$ (das Leistungssatz von S- Die Menge aller Teilmengen von S^[1]) definiert von ${\ displayStyle a \ leq b \ iff a \ subseteq b}$ . Wir können auch teilweise bestellen ${\ displayStyle {\ mathcal {p}} (s)}$ durch umgekehrte Einschluss durch Definition ${\ displayStyle a \ leq b {\ text {if und nur wenn}} b \ subseteq A.}$

Bei quantifizierter Quantifizierung ${\ displayStyle a \ subseteq b}$ ist als ${\ displaystyle \ forall x \ links (x \ in a \ impliziert x \ in b \ rechts).}$ ^[2]

Wir können die Aussage beweisen ${\ displayStyle a \ subseteq b}$ durch Anwendung einer Proof -Technik, die als Elementargument bezeichnet wird^[3]:

Lassen Sie Sets A und B gegeben werden. Um zu beweisen, dass ${\ displayStyle a \ subseteq b,}$

vermuten das a ist ein besonderes, aber willkürlich ausgewähltes Element von a

Show das a ist ein Element von B.

Die Gültigkeit dieser Technik kann als Folge von gesehen werden Universelle Verallgemeinerung: Die Technik zeigt ${\ displayStyle c \ in a \ impliziert c \ in b}$ Für ein willkürlich ausgewähltes Element c. Die universelle Verallgemeinerung impliziert dann ${\ displaystyle \ forall x \ links (x \ in a \ impliziert x \ in b \ rechts),},},},},},},},}$ das entspricht zu ${\ displayStyle a \ subseteq b,}$ wie oben erwähnt.

Eigenschaften

Ein Satz A ist ein Teilmenge von B dann und nur dann, wenn Ihre Kreuzung ist gleich A.

Formal:

{\ displayStyle a \ subseteq b {\ text {if und nur wenn}} a \ cap b = a.}

Ein Satz A ist ein Teilmenge von B Wenn und nur wenn ihre Vereinigung gleich B.

Formal:

{\ displayStyle a \ subseteq b {\ text {if und nur wenn}} a \ cup b = b.}

A endlich einstellen A ist ein Teilmenge von B, wenn und nur wenn die Kardinalität ihrer Kreuzung entspricht der Kardinalität von A.

Formal:

{\ displayStyle a \ subseteq b {\ text {if und nur wenn}} | a \ cap b | = | a |.}

⊂ und ⊃ Symbole

Einige Autoren verwenden die Symbole ${\ displayStyle \ subset}$ und ${\ displayStyle \ supset}$ um anzuzeigen Teilmenge und Superset beziehungsweise; Das heißt, mit der gleichen Bedeutung wie und anstelle der Symbole ${\ displayStyle \ subseteq}$ und ${\ displayStyle \ supseteq.}$ ^[4] Zum Beispiel gilt es für diese Autoren für jeden Satz A das ${\ displayStyle a \ subset A.}$

Andere Autoren bevorzugen es, die Symbole zu verwenden ${\ displayStyle \ subset}$ und ${\ displayStyle \ supset}$ um anzuzeigen richtig (auch als streng bezeichnet) Untergruppe und richtig Superset jeweils; Das heißt, mit der gleichen Bedeutung wie und anstelle der Symbole ${\ displayStyle \ subetneq}$ und ${\ displayStyle \ supsetneq.}$ ^[5] Diese Verwendung macht ${\ displayStyle \ subseteq}$ und ${\ displayStyle \ subset}$ analog zum Ungleichheit Symbole ${\ displayStyle \ leq}$ und ${\ displayStyle <.}$ Zum Beispiel wenn ${\ displayStyle x \ leq y,}$ dann x kann gleich sein oder nicht gleich y, doch wenn ${\ displayStyle x <y,}$ dann x definitiv nicht gleich y, und ist weniger als y. Ebenso unter Verwendung der Konvention, die ${\ displayStyle \ subset}$ ist ordnungsgemäß, wenn ${\ displayStyle a \ subseteq b,}$ dann A kann gleich sein oder nicht gleich B, doch wenn ${\ displayStyle a \ subset b,}$ dann A definitiv nicht gleich B.

Beispiele für Untergruppen

Die regulären Polygone bilden eine Untergruppe der Polygone

Der Satz A = {1, 2} ist eine ordnungsgemäße Teilmenge von b = {1, 2, 3}, somit beide Ausdrücke ${\ displayStyle a \ subseteq b}$ und ${\ displayStyle a \ subsetneq b}$ sind wahr.
Der Satz d = {1, 2, 3} ist eine Teilmenge (aber aber nicht eine ordnungsgemäße Teilmenge) von e = {1, 2, 3}, also ${\ displayStyle d \ subseteq e}$ ist wahr und ${\ displayStyle d \ subsetneq e}$ ist nicht wahr (falsch).
Jeder Satz ist eine Teilmenge von sich selbst, aber keine ordnungsgemäße Teilmenge. ( ${\ displayStyle x \ subseteq x}$ ist wahr und ${\ displayStyle x \ subetneq x}$ ist falsch für jeden Satz X.)
Der Satz {x: x ist ein Primzahl größer als 10} ist eine ordnungsgemäße Teilmenge von {x: x ist eine ungerade Zahl von mehr als 10}
Der Satz von natürliche Zahlen ist eine ordnungsgemäße Teilmenge des Satzes von Rationale Zahlen; Ebenso der Satz von Punkten in a Liniensegment ist eine ordnungsgemäße Teilmenge der Punkte in einer Linie. Dies sind zwei Beispiele, in denen sowohl die Untergruppe als auch der gesamte Satz unendlich sind, und die Teilmenge hat das gleiche Kardinalität (Das Konzept, das der Größe, dh der Anzahl der Elemente, eines endlichen Satzes entspricht) als das Ganze; Solche Fälle können sich der anfänglichen Intuition widersetzen.
Der Satz von Rationale Zahlen ist eine ordnungsgemäße Teilmenge des Satzes von reale Nummern. In diesem Beispiel sind beide Sätze unendlich, aber der letztere Satz hat eine größere Kardinalität (oder Energie) als der erstere Set.

Ein weiteres Beispiel in einem Euler -Diagramm:

A ist eine ordnungsgemäße Teilmenge von B
C ist eine Teilmenge, aber keine ordnungsgemäße Teilmenge von B

Andere Eigenschaften der Inklusion

{\ displayStyle a \ subseteq b}

und

{\ displayStyle b \ subseteq c}

impliziert

{\ displayStyle a \ subseteq C.}

Einbeziehung ist die Kanonisch Teilreihenfolgein dem Sinne, dass jeder teilweise bestellte Set ${\ displayStyle (x, \ prepeq)}$ ist isomorph zu einer Sammlung von Sets, die durch Inklusion bestellt wurden. Das Ordnungszahlen sind ein einfaches Beispiel: Wenn jede Ordinal n wird mit dem Satz identifiziert ${\ displayStyle [n]}$ von allen Ordnern weniger oder gleich zu n, dann ${\ displayStyle a \ leq b}$ dann und nur dann, wenn ${\ displayStyle [a] \ subseteq [b].}$

Für die Leistungssatz ${\ displayStyle \ operatorname {\ mathcal {p}} (s)}$ eines Satzes S, die teilweise Reihenfolge der Aufnahme ist - up an eine Bestellen Sie den Isomorphismus-das kartesisches Produkt von ${\ displayStyle k = | s |}$ (das Kardinalität von S) Kopien der Teilordnung auf ${\ displayStyle \ {0,1 \}}$ für welche ${\ displayStyle 0 <1.}$ Dies kann durch Aufzählung veranschaulicht werden ${\ displayStyle s = \ links \ {s_ {1}, s_ {2}, \ ldots, s_ {k} \ rechts \},},}$ und assoziieren Sie sich mit jeder Untergruppe ${\ displayStyle t \ subseteq s}$ (d.h. jedes Element von ${\ displayStyle 2^{s}}$ ) das k-tupel von ${\ displayStyle \ {0,1 \}^{k},},},}$ von was der iDie Koordinate ist 1 wenn und nur wenn ${\ displayStyle s_ {i}}$ ist ein Mitglied von T.

Siehe auch

Verweise

^ Weisstein, Eric W. "Teilmenge". mathworld.wolfram.com. Abgerufen 2020-08-23.
^ Rosen, Kenneth H. (2012). Diskrete Mathematik und ihre Anwendungen (7. Aufl.). New York: McGraw-Hill. p.119. ISBN 978-0-07-338309-5.
^ Epp, Susanna S. (2011). Diskrete Mathematik mit Anwendungen (Viertes Ausgabe). p. 337. ISBN 978-0-495-39132-6.
^ Rudin, Walter (1987), Reale und komplexe Analyse (3. Aufl.), New York: McGraw-Hill, p. 6, ISBN 978-0-07-054234-1, HERR 0924157
^ Untergruppen und ordnungsgemäße Teilmengen (PDF), archiviert von das Original (PDF) 2013-01-23, abgerufen 2012-09-07

Literaturverzeichnis

Jech, Thomas (2002). Mengenlehre. Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.

Externe Links

Medien im Zusammenhang mit Untergruppen bei Wikimedia Commons
Weisstein, Eric W. "Teilmenge". Mathord.

[1] Weisstein, Eric W. "Teilmenge". mathworld.wolfram.com. Abgerufen 2020-08-23.

[2] Rosen, Kenneth H. (2012). Diskrete Mathematik und ihre Anwendungen (7. Aufl.). New York: McGraw-Hill. p.119. ISBN 978-0-07-338309-5.

[3] Epp, Susanna S. (2011). Diskrete Mathematik mit Anwendungen (Viertes Ausgabe). p. 337. ISBN 978-0-495-39132-6.

[4] Rudin, Walter (1987), Reale und komplexe Analyse (3. Aufl.), New York: McGraw-Hill, p. 6, ISBN 978-0-07-054234-1, HERR 0924157

[5] Untergruppen und ordnungsgemäße Teilmengen (PDF), archiviert von das Original (PDF) 2013-01-23, abgerufen 2012-09-07

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Mengenlehre
Überblick	Set (Mathematik)
Axiome	Adjunction Auswahl zählbar abhängig global Konstruktionsfähigkeit (v = l) Bestimmung Verlängerung Unendlichkeit Größeneinschränkung Paarung Leistungssatz Regelmäßigkeit Union Martins Axiom Axiomschema Ersatz Spezifikation
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