Spannung (Mechanik)

Betonen
Plastic Protractor Polarized 05375.jpg
Restbelastungen In einem Plastik -Provraktor werden von dem offenbart polarisiertes Licht.
Gemeinsame Symbole
σ
SI-Einheit Pascal
Andere Einheiten
LBF pro Quadratzoll (lbf/in2 ) psi, Bar
Im Si -Basiseinheiten Pa = kgm–1s–2
Abmessungen

Im Kontinuumsmechanik, betonen ist ein physikalische Größe. Es ergibt sich, wenn Kräfte mögen Spannung oder Kompression wirkt an einen Körper. Je größer diese Kraft und desto kleiner der Querschnittsbereich des Körpers, auf den er wirkt, desto größer ist der Stress. So wird der Stress in Newton pro Quadratmeter (N/m²) oder Pascal (PA) durcheinander gebracht.

Stress drückt die inneren Kräfte Das Nachbarn Partikel eines kontinuierlichen Materials, während Beanspruchung ist das Maß für die Verformung des Materials. Zum Beispiel wenn a fest Die vertikale Balken unterstützt einen Overhead GewichtJede Partikel im Stab drückt die Partikel unmittelbar darunter. Wenn ein Flüssigkeit ist in einem geschlossenen Behälter unter DruckJedes Teilchen wird von allen umgebenden Partikeln gedrückt. Die Behältermauern und die Druck-induzierende Oberfläche (wie ein Kolben) in (Newtonian) gegen sie gegen sie drücken Reaktion. Diese makroskopischen Kräfte sind tatsächlich das Nettoergebnis einer sehr großen Anzahl von intermolekularen Kräfte und Kollisionen zwischen den Partikeln in diesen Moleküle. Spannung wird häufig durch einen griechischen Kleinbuchstaben Sigma (dargestelltσ).

Dehnung in einem Material kann durch verschiedene Mechanismen entstehen, wie z. betonen wie von externen Kräften auf das Schüttgut angewendet (wie Schwere) oder zu seiner Oberfläche (wie wie Kontaktkräfte, externer Druck, oder Reibung). Irgendein Dehnung (Verformung) eines festen Materials erzeugt eine innere elastischer Stress, analog zur Reaktionskraft von a Frühling, das tendiert dazu, das Material in seinem ursprünglichen nicht deformierten Zustand wiederherzustellen. In Flüssigkeiten und Gase, nur Deformationen, die das Volumen verändern, erzeugen anhaltende elastische Spannung. Wenn sich die Verformung jedoch allmählich mit der Zeit ändert, wird es normalerweise einige geben Viskose Stress, gegen diese Veränderung. Elastische und viskose Belastungen werden normalerweise unter dem Namen kombiniert mechanische Spannung.

Mechanische Spannung

Es kann eine signifikante Stress bestehen, selbst wenn die Verformung vernachlässigbar oder nicht existent ist (eine häufige Annahme bei der Modellierung des Wasserflusses). Stress kann ohne externe Kräfte bestehen; eine solche eingebauter Stress ist zum Beispiel wichtig in Spannbeton und gehärtetes Glas. Stress kann auch einem Material ohne Anwendung von auferlegt werden Netzkräftezum Beispiel von Temperaturänderungen oder chemisch Zusammensetzung oder nach externen elektromagnetische Felder (wie in piezoelektrisch und magnetostriktiv Materialien).

Die Beziehung zwischen mechanischer Spannung, Verformung und der Änderungsrate der Verformung kann ziemlich kompliziert sein, obwohl a Lineare Näherung Kann in der Praxis angemessen sein, wenn die Mengen ausreichend klein sind. Stress, der sicher übersteigt Kraftgrenzen des Materials führt zu einer dauerhaften Verformung (wie z. Plastikfluss, Fraktur, Hohlraumbildung) oder sogar seine ändern Kristallstruktur und chemische Zusammensetzung.

In einigen Zweigen von Ingenieurwesen, der Begriff betonen wird gelegentlich in einem lockeren Sinne als Synonym für "interne Kraft" verwendet. Zum Beispiel bei der Analyse von Traversenkann es sich auf die Gesamttraktions- oder Kompressionskraft beziehen, die auf einen Strahl wirkt, und nicht auf die Kraft geteilt durch die Fläche seines Kreuzung.

Geschichte

römisch-era Brücke in Schweiz
Inka Brücke auf der Apurimac River

Menschen wissen seit der Antike über Stress in Materialien. Bis zum 17. Jahrhundert war dieses Verständnis weitgehend intuitiv und empirisch, obwohl dies die Entwicklung relativ fortgeschrittener Technologien wie dem nicht verhinderte zusammengesetzter Bogen und Glasbläserei.[1]

Insbesondere über mehrere Jahrtausende lernten Architekten und Bauherren, wie man sorgfältig geformte Holzbalken und Steinblöcke zusammenstellt Hauptstädte, Bögen, Kuppel, Traversen und die fliegende Strebepfeiler von Gothische Kathedralen.

Alte und mittelalterliche Architekten entwickelten einige geometrische Methoden und einfache Formeln, um die richtigen Größen von Säulen und Strahlen zu berechnen, aber das wissenschaftliche Verständnis von Stress wurde erst möglich, nachdem die erforderlichen Werkzeuge im 17. und 18. Jahrhundert erfunden wurden: Galileo Galilei'S streng experimentelle Methode, René Descartes's Koordinaten und analytische Geometrie, und Newton's Bewegungs- und Gleichgewichtsgesetze und Infinitesimalskalkül.[2] Mit diesen Werkzeugen, Augustin-Louis Cauchy war in der Lage, das erste strenge und allgemeine mathematische Modell für Stress in einem homogenen Medium zu geben. Cauchy beobachtete, dass die Kraft über eine imaginäre Oberfläche eine lineare Funktion ihres normalen Vektors war; und außerdem muss es eine symmetrische Funktion sein (ohne Gesamtimpuls).

Das Verständnis von Stress in Flüssigkeiten begann mit Newton, der eine unterschiedliche Formel für Reibungskräfte (Scherstress) parallel zur Verfügung stellte Laminarfluss.

Überblick

Definition

Spannung wird für alle Orientierungen der Grenze als die Kraft über eine "kleine" Grenze pro Fläche der Einheit dieser Grenze definiert.[3] Aus einer grundlegenden physikalischen Menge (Kraft) und einer rein geometrischen Menge (Fläche) abgeleitet wird, ist auch Stress eine grundlegende Menge, wie Geschwindigkeit. Drehmoment oder Energie, das kann ohne ausdrückliche Berücksichtigung der Art des Materials oder seiner physikalischen Ursachen quantifiziert und analysiert werden.

Nach den grundlegenden Räumlichkeiten der Kontinuumsmechanik ist Stress a makroskopisch Konzept. Die in ihrer Definition und Analyse berücksichtigten Partikel sollten nämlich gerade klein genug sein, um in Zusammensetzung und Zustand als homogen zu behandeln, aber immer noch groß genug, um zu ignorieren, um zu ignorieren Quanten Effekte und die detaillierten Bewegungen von Molekülen. Somit ist die Kraft zwischen zwei Partikeln tatsächlich der Durchschnitt einer sehr großen Anzahl von Atomkräften zwischen ihren Molekülen; und physikalische Größen wie Masse, Geschwindigkeit und Kräfte, die durch den Großteil dreidimensionaler Körper wie Schwerkraft wirken, wird als reibungslos über sie verteilt.[4]: S.90–106 Abhängig vom Kontext kann man auch annehmen, dass die Partikel groß genug sind, um die Mittelung anderer mikroskopischer Merkmale wie die Körner von a zu ermöglichen Metall Stange oder der Fasern von einem Stück von Holz.

Die Spannung über ein Oberflächenelement (gelbe Scheibe) ist die Kraft, die das Material auf der einen Seite (obere Kugel) auf der anderen Seite (Bodenkugel) auf das Material ausübt, geteilt durch den Bereich der Oberfläche.

Quantitativ wird die Spannung durch die ausgedrückt Cauchy Traction Vector T definiert als Traktionskraft F zwischen benachbarten Teilen des Materials über eine imaginäre Trennfläche S, geteilt durch den Bereich von S.[5]: S.41–50 In einem Fluid In Ruhe ist die Kraft senkrecht zur Oberfläche und der Vertraute Druck. In einem festoder in a fließen von viskous Flüssigkeit, die Kraft F kann nicht senkrecht zu sein S; Daher muss die Spannung über eine Oberfläche als Vektormenge angesehen werden, nicht als Skalar. Darüber hinaus hängen die Richtung und Größe im Allgemeinen von der Ausrichtung von ab S. Somit muss der Stresszustand des Materials durch a beschrieben werden Tensor, genannt (Cauchy) Stress -Tensor; die ein lineare Funktion Das bezieht sich auf die Normaler Vektor n einer Oberfläche S zum Traktionsvektor T über S. In Bezug auf alle Auserwählten KoordinatensystemDer Cauchy -Stress -Tensor kann als Symmetrische Matrix von 3 × 3 reellen Zahlen. Sogar innerhalb von a homogen Körper, der Stress -Tensor kann von Ort zu Ort variieren und sich im Laufe der Zeit ändern. Daher ist der Stress innerhalb eines Materials im Allgemeinen eine zeitlich variierende Tensorfeld.

Normal- und Scherspannung

Im Allgemeinen der Stress T das ein Partikel P gilt für ein anderes Teilchen Q über eine Oberfläche S kann eine Richtung im Verhältnis zu haben S. Der Vektor T kann als Summe von zwei Komponenten angesehen werden: die normal betonen (Kompression oder Spannung) senkrecht zur Oberfläche und der Scherstress Das ist parallel zur Oberfläche.

Wenn der normale Einheitsvektor n von der Oberfläche (zeigen von Q gegenüber P) wird angenommen, die normale Komponente kann durch eine einzelne Zahl ausgedrückt werden, die Skalarprodukt T · n. Diese Zahl wird positiv sein, wenn P ist "zieht" an Q (Zugspannung) und negativ, wenn P "drängt" gegen Q (Druckspannung) Die Scherkomponente ist dann der Vektor T - (T · n)n.

Einheiten

Die Dimension des Stresses ist die von Druckund daher werden seine Koordinaten üblicherweise in denselben Einheiten wie Druck gemessen: nämlich, Pascals (PA, das heißt, Newtons pro Quadratmeter) in dem Internationales System, oder Pfund pro Quadratzoll (psi) in der Imperiales System. Da mechanische Spannungen eine Million Pascals leicht überschreiten, ist MPA, das für Megapascal steht, eine häufige Spannungseinheit.

Ursachen und Wirkungen

Glasvase mit der Craquelé Wirkung. Die Risse sind das Ergebnis eines kurzen, aber intensiven Stress, der erzeugt wird, wenn das halbmolzene Stück kurz in Wasser getaucht wird.[6]

Stress in einem materiellen Körper kann auf mehrere physikalische Ursachen zurückzuführen sein, einschließlich externer Einflüsse und interner physikalischer Prozesse. Einige dieser Agenten (wie Schwerkraft, Veränderungen in Temperatur und Phaseund elektromagnetische Felder) wirken auf den Großteil des Materials und variieren kontinuierlich mit Position und Zeit. Andere Mittel (wie externe Belastungen und Reibung, Umgebungsdruck und Kontaktkräfte) können Spannungen und Kräfte verursachen, die auf bestimmte Oberflächen, Linien oder Punkte konzentriert sind. und möglicherweise auch in sehr kurzen Zeitintervallen (wie in der Impulse aufgrund von Kollisionen). Im aktive MaterieDie Selbstpropulsion von mikroskopischen Partikeln erzeugt makroskopische Spannungsprofile.[7] Im Allgemeinen wird die Stressverteilung in einem Körper als stückweise kontinuierliche Funktion von Raum und Zeit.

Umgekehrt korreliert Stress normalerweise mit verschiedenen Auswirkungen auf das Material, einschließlich Änderungen der physikalischen Eigenschaften wie Birrbrecher, Polarisation, und Permeabilität. Die Auferlegung von Stress durch ein externes Mittel schafft normalerweise einige Dehnung (Verformung) im Material, auch wenn es zu klein ist, um erkannt zu werden. In einem festen Materi Frühlingtendenziell dazu neigen, das Material in seinen ursprünglichen, nicht verformten Zustand wiederherzustellen. Flüssigkeitsmaterialien (Flüssigkeiten, Gase und Plasmen) per Definition kann sich nur Deformationen widersetzen, die ihr Volumen ändern würden. Wenn sich die Verformung jedoch mit der Zeit ändert, gibt es in der Regel in der Zeit einen viskosen Stress, der sich dieser Veränderung widersetzt. Solche Belastungen können entweder scher oder normal sein. Der molekulare Ursprung von Scherspannungen in Flüssigkeiten ist in dem Artikel auf angegeben Viskosität. Gleiches gilt für normale viskose Spannungen in Sharma (2019).[8]

Das Verhältnis zwischen Stress und Auswirkungen und Ursachen, einschließlich Verformung und Änderungsrate der Verformung, kann ziemlich kompliziert sein (obwohl a Lineare Näherung kann in der Praxis angemessen sein, wenn die Mengen klein genug sind). Stress, der sicher übersteigt Kraftgrenzen des Materials führt zu einer dauerhaften Verformung (wie z. Plastikfluss, Fraktur, Hohlraumbildung) oder sogar seine ändern Kristallstruktur und chemische Zusammensetzung.

Einfacher Stress

In einigen Situationen kann der Stress innerhalb eines Körpers durch eine einzelne Zahl oder durch einen einzelnen Vektor (eine Zahl und eine Richtung) angemessen beschrieben werden. Drei solche Einfacher Stress Situationen, die häufig im technischen Design auftreten, sind die Einheitlicher Normalstress, das Einfacher Scherspannung, und die Isotroper normaler Stress.[9]

Einheitlicher Normalstress

Idealisierter Stress in einem geraden Balken mit gleichmäßigem Querschnitt.

Eine häufige Situation mit einem einfachen Spannungsmuster ist, wenn ein gerader Stange mit gleichmäßigem Material und Querschnitt unterzogen wird Spannung durch entgegengesetzte Größenkräfte entlang seiner Achse. Wenn das System in ist Gleichgewicht und nicht mit der Zeit zu ändern und das Gewicht der Stange kann vernachlässigt werden, dann muss der obere Teil durch jeden transversalen Abschnitt des Balkens mit derselben Kraft am unteren Teil ziehen. F mit Kontinuität durch den vollen Querschnittsbereich, EIN. Daher kann die Spannung σ in der gesamten Balken über jede horizontale Oberfläche einfach durch die einzelne Zahl σ ausgedrückt werden, die einfach mit der Größe dieser Kräfte berechnet wird. Fund Querschnittsbereich,, A.

Wenn man sich dagegen vorstellt, dass der Balken parallel zur Achse entlang seiner Länge geschnitten wird, gibt es keine Kraft (daher keine Spannung) zwischen den beiden Hälften über den Schnitt.

Diese Art von Spannung kann (einfach) normaler Stress oder einheitlicher Stress bezeichnet werden. Insbesondere (uniaxial, einfach usw.) Zugspannung.[9] Wenn die Last ist Kompression An der Strecke, anstatt sie zu dehnen, ist die Analyse dieselbe, außer dass die Kraft die Kraft ist F und der Stress Änderungszeichen, und die Spannung wird als Druckspannung bezeichnet.

Das Verhältnis Kann nur ein durchschnittlicher Stress sein. Der Stress kann ungleichmäßig über den Querschnitt verteilt sein (mm), besonders in der Nähe der Befestigungspunkte (nn).

Diese Analyse setzt voraus, dass der Stress über den gesamten Querschnitt gleichmäßig verteilt ist. In der Praxis ist diese Annahme möglicherweise nicht gültig. In diesem Fall der Wert = F/A wird nur der durchschnittliche Stress sein, genannt technischer Stress oder Nenner Stress. Wenn jedoch die Länge der Bar L ist ein Vielfaches seines Durchmessers Dund es hat keine groben Mängel oder eingebauten Stress, dann kann angenommen werden, dass die Spannung über jeden Querschnitt, der mehr als ein paar Mal ist D von beiden Enden. (Diese Beobachtung ist als die bekannt Prinzip des Heiligen Venanten).

Normale Spannung tritt in vielen anderen Situationen neben axialen Spannungen und Kompressionen auf. Wenn ein elastischer Balken mit einem gleichmäßigen und symmetrischen Querschnitt in einem seiner Symmetrieebenen gebogen wird, ist der resultierende Biegespannung wird immer noch normal sein (senkrecht zum Querschnitt), variiert jedoch über dem Querschnitt: Der äußere Teil wird unter Zugspannung stehen, während der innere Teil komprimiert wird. Eine weitere Variante von normaler Spannung ist die Reifenstress das geschieht an den Wänden eines zylindrischen Rohr oder Schiff gefüllt mit Druckflüssigkeit.

Einfacher Scherspannung

Scherspannung in einer horizontalen Stange, die von zwei versetzten Blöcken beladen ist.

Eine weitere einfache Art von Spannung tritt auf, wenn eine gleichmäßig dicke Schicht aus elastischem Material wie Klebstoff oder Gummi fest an zwei steifen Körpern befestigt ist, die durch Kräfte parallel zur Schicht in entgegengesetzte Richtungen gezogen werden. oder ein Abschnitt eines weichen Metallstangens, der von den Kiefern von a geschnitten wird scherenartiges Werkzeug. Lassen F Sei die Größe dieser Kräfte und M Seien Sie die Mittelebene dieser Schicht. Genau wie im normalen Spannungsfall der Teil der Schicht auf einer Seite von M muss den anderen Teil mit der gleichen Kraft ziehen F. Angenommen, die Richtung der Kräfte ist bekannt, die Stress durch M kann einfach von der einzelnen Zahl ausgedrückt werden , berechnet einfach mit der Größe dieser Kräfte, F und der Querschnittsbereich, A.

Im Gegensatz zu normaler Stress ist dies jedoch Einfacher Scherspannung wird parallel zum in Betracht gezogenen Querschnitt und nicht senkrecht dazu gebracht.[9] Für jedes Flugzeug S das ist senkrecht zur Schicht, der nettoischen internen Kraft über Sund daher wird der Stress Null sein.

Wie bei einem axial beladenen Balken kann die Scherspannung in der Praxis nicht gleichmäßig über die Schicht verteilt werden. Also wie zuvor das Verhältnis F/A wird nur ein durchschnittlicher ("nominaler", "Engineering") Stress sein. Dieser Durchschnitt ist jedoch oft für praktische Zwecke ausreichend.[10]: S.292 Scherspannung wird auch beobachtet, wenn eine zylindrische Stange wie a Welle ist an seinen Enden entgegengesetzten Drehmomenten ausgesetzt. In diesem Fall ist die Scherbeanspruchung für jeden Querschnitt parallel zum Querschnitt, aber orientiertes tangential relativ zur Achse und nimmt mit dem Abstand von der Achse zu. In der mittleren Platte (das "Netz") von signifikanter Scherspannung von I-Träger unter Biegelasten aufgrund des Netzes, das die Endplatten einschränkt ("Flansche").

Isotropen Stress

Isotrope Zugspannung. Oben links: Jedes Gesicht eines Würfels homogenes Material wird von einer Kraft mit Größe gezogen F, gleichmäßig über das gesamte Gesicht aufgetragen, dessen Bereich ist A. Die Kraft über jeden Abschnitt S des Würfel müssen die unter dem Abschnitt angewendeten Kräfte ausgleichen. In den drei gezeigten Abschnitten sind die Kräfte F (oben rechts), F (unten links) und F (unten rechts); und der Bereich von S ist A, A und A, beziehungsweise. Also der Stress dagegen S ist F/A In allen drei Fällen.

Eine andere einfache Art von Spannung tritt auf, wenn der materielle Körper unter gleicher Kompression oder Spannung in alle Richtungen steht. Dies ist beispielsweise in einem Teil von Flüssigkeit oder Gas in Ruhe der Fall, sei es in einem Behälter oder als Teil einer größeren Flüssigkeitsmasse; oder in einem Würfel aus elastischem Material, der von gleichen senkrechten Kräften auf allen sechs Gesichtern gepresst oder gezogen wird-vorausgesetzt kann vernachlässigt werden.

In diesen Situationen erweist sich die Spannung über jede imaginäre innere Oberfläche als gleich groß und richtete sich immer senkrecht zur Oberfläche zur Oberfläche von der Orientierung der Oberfläche. Diese Art von Stress kann genannt werden Isotrope normal oder nur isotrop; Wenn es komprimiert ist, heißt es hydrostatischer Druck oder nur Druck. Gase können per Definition keine Zugspannungen standhalten, aber einige Flüssigkeiten können unter bestimmten Umständen überraschend große Mengen an isotropen Zugspannung standhalten. sehen Z-Tube.

Zylinderspannungen

Teile mit Rotationssymmetrie, wie Räder, Achsen, Rohre und Säulen, sind im Ingenieurwesen sehr häufig. Oft haben die Spannungsmuster, die in solchen Teilen auftreten Zylindrische Symmetrie. Die Analyse solcher Zylinderspannungen kann die Symmetrie nutzen, um die Dimension der Domäne und/oder des Spannungstensors zu verringern.

Allgemeiner Stress

Oft erleben mechanische Körper mehr als eine Art von Spannung gleichzeitig; das nennt man Kombinierter Stress. Bei Normal- und Scherspannung ist die Größe der Spannung für Oberflächen maximal, die senkrecht zu einer bestimmten Richtung sind und null über alle Oberflächen, die parallel zu sind . Wenn die Scherspannung nur über Oberflächen null ist, die senkrecht zu einer bestimmten Richtung sind, wird die Spannung aufgerufen Bixialund kann als die Summe von zwei normalen oder scherspannungen angesehen werden. Im allgemeinsten Fall genannt dreifacher StressDie Spannung ist über jedes Oberflächenelement ungleich Null.

Der Cauchy -Stress -Tensor

Spannungskomponenten in drei Dimensionen
Darstellung typischer Spannungen (Pfeile) über verschiedene Oberflächenelemente an der Grenze eines Teilchens (Kugel) in einem homogenen Material unter gleichmäßiger (aber nicht isotropem) triaxialer Spannung. Die normalen Spannungen der Hauptachsen betragen +5, +2 und -3 Einheiten.

Kombinierte Spannungen können nicht von einem einzelnen Vektor beschrieben werden. Selbst wenn das Material während des gesamten Körpervolumens auf die gleiche Weise gestresst wird, hängt die Spannung über jede imaginäre Oberfläche auf nicht triviale Weise von der Ausrichtung dieser Oberfläche ab.

Cauchy beobachtete jedoch, dass der Stressvektor über eine Oberfläche wird immer ein sein lineare Funktion der Oberfläche Normaler Vektor , der Einheitslänge-Vektor, der senkrecht dazu ist. Das ist, , wo die Funktion zufrieden

für alle Vektoren und alle echten Zahlen . Die Funktion , jetzt das genannt (Cauchy) Stress -Tensorbeschreibt den Stresszustand eines gleichmäßig gestressten Körpers vollständig. (Heute wird jede lineare Verbindung zwischen zwei physikalischen Vektormengen als a genannt Tensor, reflektiert Cauchys ursprüngliche Verwendung, um die "Spannungen" (Spannungen) in einem Material zu beschreiben.) In Tensorrechnung, wird als Tensor zweiter Ordnung von eingestuft Typ (0,2).

Wie jede lineare Karte zwischen Vektoren kann der Spannungs -Tensor in jedem Auserwählten dargestellt werden Kartesisches Koordinatensystem durch eine 3 × 3 -Matrix realer Zahlen. Je nachdem, ob die Koordinaten nummeriert sind oder benannt Die Matrix kann geschrieben werden als

oder
Der Stressvektor über eine Oberfläche mit Normaler Vektor (welches ist Kovariante - "Reihe; horizontal" - Vektor) mit Koordinaten ist dann ein Matrixprodukt (wobei t im oberen Index ist Transpositionund als Ergebnis bekommen wir Kovariante (Reihe) Vektor) (schauen Sie auf Cauchy Stress Tensor), das ist

Die lineare Beziehung zwischen und folgt aus den grundlegenden Gesetzen von Erhaltung der linearen Impuls und Statisches Gleichgewicht von Kräften und ist daher mathematisch genau für jedes Material und jede Stresssituation. Die Komponenten des Cauchy -Spannungs -Tensors an jedem Punkt in einem Material erfüllen die Gleichgewichtsgleichungen (Cauchys Bewegungsgleichungen für keine Beschleunigung). Darüber hinaus das Prinzip von Erhaltung des Winkelimpulses impliziert, dass der Stress -Tensor ist symmetrisch, das ist , , und . Daher kann der Spannungszustand des Mediums zu jedem Zeitpunkt und zu jedem Zeitpunkt nur durch sechs unabhängige Parameter und nicht durch neun angegeben werden. Diese können geschrieben werden

wo die Elemente werden als die genannt Orthogonale normale Belastungen (relativ zum gewählten Koordinatensystem) und das Orthogonale Scherspannungen.

Änderung der Koordinaten

Der Cauchy -Stress -Tensor gehorcht dem Tensor -Transformationsgesetz unter einer Änderung des Koordinatensystems. Eine grafische Darstellung dieses Transformationsgesetzes ist das Mohrs Kreis der Stressverteilung.

Als symmetrische 3 × 3 reale Matrix der Spannungstensor hat drei gegenseitig orthogonale Einheitenlänge Eigenvektoren und drei real Eigenwerte , so dass . Daher in einem Koordinatensystem mit Achsen Der Spannungstensor ist eine diagonale Matrix und hat nur die drei normalen Komponenten das Hauptspannungen. Wenn die drei Eigenwerte gleich sind, ist die Spannung ein isotrop Kompression oder Spannung, immer senkrecht zu einer Oberfläche, es gibt keine Scherspannung und der Tensor ist eine diagonale Matrix in einem Koordinatenrahmen.

Stress als Tensorfeld

Im Allgemeinen ist Stress nicht einheitlich über einen materiellen Körper verteilt und kann mit der Zeit variieren. Daher muss der Stress -Tensor für jeden Punkt und jeden Moment definiert werden infinitesimal Teilchen des Mediums, das diesen Punkt umgibt und die durchschnittlichen Spannungen in diesem Teilchen als Spannungen an dem Punkt nimmt.

Spannung in dünnen Tellern

A Tankwagen Hergestellt aus gebogenen und geschweißten Stahlplatten.

Künstliche Objekte werden häufig aus Bestandsplatten verschiedener Materialien durch Operationen hergestellt, die ihren im Wesentlichen zweidimensionalen Charakter wie Schneiden, Bohren, sanftes Biegen und Schweißen entlang der Kanten nicht ändern. Die Beschreibung des Stresses in Körpern kann vereinfacht werden, indem diese Teile eher als zweidimensionale Oberflächen als als dreidimensionale Körper modelliert werden.

In dieser Ansicht definiert man ein "Partikel" als ein infinitesimales Pflaster der Platte der Platte, so dass die Grenze zwischen benachbarten Partikeln zu einem Infinitesimal -Linienelement wird. Beide sind implizit in der dritten Dimension erweitert, normal bis (direkt durch die Platte). "Spannung" wird dann als Maß für die inneren Kräfte zwischen zwei benachbarten "Partikeln" über ihr gemeinsames Linienelement geteilt, geteilt durch die Länge dieser Linie. Einige Bestandteile des Spannungstensors können ignoriert werden, aber da Partikel in der dritten Dimension nicht infinitesimal sind, kann man das Drehmoment, das ein Partikel auf seine Nachbarn aufweist, nicht mehr ignorieren. Dieses Drehmoment wird als modelliert Biegespannung das ändert die tendenziell die Krümmung der Platte. Diese Vereinfachungen halten jedoch möglicherweise nicht an Schweißnähten, scharfen Biegungen und Falten (wo die Krümmungsradius ist vergleichbar mit der Dicke der Platte).

Spannung in dünnen Strahlen

Zur Stressmodellierung a Angel kann als eindimensional angesehen werden.

Die Analyse von Spannung kann auch für dünne Balken, Balken oder Drähte mit gleichmäßiger (oder sanft unterschiedlicher) Zusammensetzung und Querschnitt erheblich vereinfacht werden, die einem moderaten Biegen und Verdrehen unterzogen werden. Bei diesen Körpern kann man nur Querschnitte in Betracht ziehen, die senkrecht zur Achse des Stangens sind, und ein "Partikel" als ein Stück Draht mit infinitesimaler Länge zwischen zwei solcher Querschnitte neu definieren. Die gewöhnliche Spannung wird dann auf einen Skalar (Spannung oder Komprimierung des Balkens) reduziert, aber man muss auch a berücksichtigen Biegespannung (Das versucht, die Krümmung der Stange in eine Richtung senkrecht zur Achse zu ändern) und a Torsionsstress (Das versucht, es über seine Achse zu verdrehen oder zu twist).

Andere Beschreibungen von Stress

Der Cauchy -Stress -Tensor wird zur Spannungsanalyse von materiellen Körpern verwendet Kleine Verformungen Wenn die Unterschiede in der Stressverteilung in den meisten Fällen vernachlässigt werden können. Für große Deformationen auch genannt Endliche Verformungen, andere Stressmaße, wie die Erster und zweiter Piola -Kirchhoff -Stress -Tensoren, das Biot -Stress -Tensor, und die Kirchhoff Stress Tensor, sind erforderlich.

Feststoffe, Flüssigkeiten und Gase haben Stressfelder. Statische Flüssigkeiten unterstützen normale Spannung, fließen jedoch unter Scherstress. Ziehen um Viskose Flüssigkeiten kann Scherbeanspruchung (dynamischer Druck) unterstützen. Festkörper können sowohl Scher- als auch normale Stress unterstützen, mit dehnbar Materialien, die unter Schere versagen und spröde Materialien, die unter normalem Stress ausfallen. Alle Materialien haben temperaturabhängige Schwankungen der stressbedingten Eigenschaften, und Nicht-Newton-Materialien haben rateabhängige Variationen.

Verstärktes Glas Heckscheibe des Autos. Variationen des Glasstresss sind deutlich zu sehen, wenn sie durch a fotografiert werden Polarisationsfilter (unteres Bild).

Spannungsanalyse

Spannungsanalyse ist ein Zweig von Angewandte Physik Dies deckt die Bestimmung der inneren Verteilung der inneren Kräfte in festen Objekten ab. Es ist ein wesentliches Ingenieurwerkzeug für die Untersuchung und das Design von Strukturen wie Tunneln, Dämmen, mechanischen Teilen und Strukturrahmen unter vorgeschriebenen oder erwarteten Lasten. Es ist auch in vielen anderen Disziplinen wichtig; Zum Beispiel in der Geologie, um Phänomene zu studieren wie Plattentektonik, Vulkanismus und Lawinen; und in der Biologie, um die Anatomie der Lebewesen zu verstehen.

Ziele und Annahmen

Die Stressanalyse befasst sich im Allgemeinen mit Objekten und Strukturen, von denen angenommen werden kann, dass sie sich in makroskopisch befinden Statisches Gleichgewicht. Durch Newtons Bewegungsgesetze, alle externen Kräfte, die auf ein solches System angewendet werden, müssen durch interne Reaktionskräfte ausgeglichen werden.[11]: S.97 die fast immer Oberflächenkontaktkräfte zwischen benachbarten Partikeln sind - dh als Spannung.[5] Da sich jedes Teilchen im Gleichgewicht befinden muss, verbreitet sich diese Reaktionsspannung im Allgemeinen von Partikeln zu Partikeln, wodurch eine Spannungsverteilung im gesamten Körper entsteht.

Das typische Problem in der Stressanalyse besteht darin, diese internen Spannungen angesichts der externen Kräfte zu bestimmen, die auf das System wirken. Letzteres kann sein Körperkräfte (wie Schwerkraft oder magnetische Anziehung), die im gesamten Volumen eines Materials wirken;[12]: S.42–81 oder konzentrierte Belastungen (wie Reibung zwischen einer Achse und a Lager, oder das Gewicht eines Bahnrads auf einer Schiene), die sich vorstellen sollen, über einen zweidimensionalen Bereich oder entlang einer Linie oder an einzelnen Punkten zu reagieren.

In der Stressanalyse ignoriert man normalerweise die physikalischen Ursachen der Kräfte oder die genaue Natur der Materialien. Stattdessen geht es davon aus konstitutive Gleichungen.[13]

Methoden

Die Spannungsanalyse kann experimentell durchgeführt werden, indem Lasten auf das tatsächliche Artefakt oder das maßstabsgetreue Modell und die Messung der resultierenden Belastungen mit mehreren verfügbaren Methoden angewendet werden. Dieser Ansatz wird häufig für die Sicherheitszertifizierung und -überwachung verwendet. Die meisten Stressanalysen erfolgen jedoch durch mathematische Methoden, insbesondere während des Designs. Das Problem der grundlegenden Stressanalyse kann durch formuliert werden Eulers Bewegungsgleichungen für kontinuierliche Körper (die Konsequenzen von sind Newtons Gesetze Für Erhaltung von linear Momentum und Winkelimpuls) und die Euler-Cauchy-Stressprinzipzusammen mit den entsprechenden konstitutiven Gleichungen. Somit erhält man ein System von partielle Differentialgleichungen mit dem Stress -Tensorfeld und dem einbeziehen Dehnungszensor Feld, als unbekannte Funktionen zu bestimmen. Die externen Körperkräfte erscheinen in den Differentialgleichungen als unabhängige ("rechte Seite") Begriff, während die konzentrierten Kräfte als Randbedingungen erscheinen. Das Problem der grundlegenden Stressanalyse ist daher a Grenzwertproblem.

Stressanalyse für elastisch Strukturen basieren auf dem Theorie der Elastizität und Infinitesimale Stammtheorie. Wenn die angewandten Lasten dauerhafte Verformungen verursachen, muss man kompliziertere konstitutive Gleichungen verwenden, die die physikalischen Prozesse berücksichtigen können (beteiligte Prozesse (Plastikfluss, Fraktur, Phasenwechsel, etc.).

In der Regel werden jedoch in der Regel so konstruiert lineare Elastizität (die Verallgemeinerung von Hookes Gesetz für kontinuierliche Medien); Das heißt, die durch internen Spannungen verursachten Deformationen hängen linear mit ihnen zusammen. In diesem Fall sind die Differentialgleichungen, die den Spannungstensor definieren, linear und das Problem wird viel einfacher. Zum einen ist die Spannung an jedem Punkt auch eine lineare Funktion der Lasten. Bei kleinen Spannungen können selbst nichtlineare Systeme normalerweise als linear angesehen werden.

Vereinfachtes Modell eines Fachwerks für die Stressanalyse unter der Annahme eindimensionaler Elemente unter gleichmäßiger axialer Spannung oder Kompression.

Die Stressanalyse wird vereinfacht, wenn die physikalischen Abmessungen und die Verteilung der Lasten die Struktur als ein- oder zweidimensional behandelt werden. Bei der Analyse von Fachwerken kann beispielsweise das Spannungsfeld über jedes Mitglied einheitlich und einheitlich angenommen werden. Dann reduzieren sich die Differentialgleichungen auf einen endlichen Satz von Gleichungen (normalerweise linear) mit endlich vielen Unbekannten. In anderen Kontexten kann man das dreidimensionale Problem auf ein zweidimensionales Problem reduzieren und/oder die allgemeinen Spannungs- und Dehntensoren durch einfachere Modelle wie einheitliche Spannung/Komprimierung, einfache Scherung usw. ersetzen.

Für zwei- oder dreidimensionale Fälle muss man jedoch ein partielles Differentialgleichungsproblem lösen. Analytische oder geschlossene Lösungen für die Differentialgleichungen können erhalten werden, wenn die Geometrie, die konstitutiven Beziehungen und die Randbedingungen einfach genug sind. Andernfalls muss man im Allgemeinen auf numerische Näherungen wie die zurückgreifen Finite -Elemente -Methode, das Finite -Differenz -Methode, und die Grenzelementmethode.

Alternative Maßnahmen des Stresses

Andere nützliche Spannungsmaßnahmen sind die erste und zweite Piola -Kirchhoff -Stress -Tensoren, das Biot -Stress -Tensor, und die Kirchhoff Stress Tensor.

Piola -Kirchhoff -Stress -Tensor

Im Falle des Endliche Verformungen, das Piola -Kirchhoff -Stress -Tensoren Drücken Sie die Spannung relativ zur Referenzkonfiguration aus. Dies steht im Gegensatz zu der Cauchy Stress Tensor Dies drückt den Stress relativ zur vorliegenden Konfiguration aus. Bei unendlichen Deformationen und Rotationen sind die Tensoren Cauchy und Piola -Kirchhoff identisch.

Während der Cauchy -Stress -Tensor bezieht Spannungen in der aktuellen Konfiguration, die Verformung Gradient und Dehntensoren werden beschrieben, indem die Bewegung auf die Referenzkonfiguration in Verbindung gebracht wird. Somit befinden sich nicht alle Tensoren, die den Zustand des Materials beschreiben, entweder in der Referenz- oder der aktuellen Konfiguration. Durch die Beschreibung der Spannung, der Dehnung und der Verformung entweder in der Referenz- oder der Stromkonfiguration wird es einfacher, konstitutive Modelle zu definieren (z. B. ist der Tensor des Cauchy -Spannung zu einer reinen Drehung, während der Tensor des Verformungsdehnungsstamms invariant ist; daher verursachen Probleme bei der Definition bei der Definition. Ein konstitutives Modell, das einen unterschiedlichen Tensor in Bezug auf eine invariante während der reinen Rotation bezieht; wie per Definition müssen konstitutive Modelle für reine Rotationen invariant sein). Der 1. Piola -Kirchhoff -Stress -Tensor, ist eine mögliche Lösung für dieses Problem. Es definiert eine Familie von Tensoren, die die Konfiguration des Körpers entweder im Strom oder im Referenzzustand beschreibt.

Der 1. Piola -Kirchhoff -Stress -Tensor, bezieht Kräfte in der gegenwärtig ("räumliche") Konfiguration mit Bereichen in der Hinweis ("Material") Konfiguration.

wo ist der Verformungsgradient und ist der Jacobian bestimmend.

In Bezug auf Komponenten in Bezug auf eine Orthonormale BasisDer erste Piola -Kirchhoff -Stress wird gegeben

Da es unterschiedliche Koordinatensysteme bezieht, ist der 1. Piola -Kirchhoff -Stress a Zwei-Punkte-Tensor. Im Allgemeinen ist es nicht symmetrisch. Der 1. Piola -Kirchhoff -Stress ist die 3D -Verallgemeinerung des 1D -Konzepts von technischer Stress.

Wenn sich das Material ohne Veränderung des Spannungszustands (starre Drehung) dreht, variieren die Komponenten des 1. Piola -Kirchhoff -Spannungs -Spannungs -Tensors mit der Materialausrichtung.

Der 1. Piola -Kirchhoff -Stress ist Energiekonjugat zum Deformationsgradienten.

2. Piola -Kirchhoff -Stress -Tensor

Während die 1. Piola -Kirchhoff -Spannung Kräfte in der aktuellen Konfiguration auf Bereiche in der Referenzkonfiguration bezieht, ist der 2. Piola -Kirchhoff -Spannungszensor Bezieht Kräfte in der Referenzkonfiguration auf Bereiche in der Referenzkonfiguration. Die Kraft in der Referenzkonfiguration wird über eine Zuordnung erhalten, die die relative Beziehung zwischen der Kraftrichtung und dem Bereich der Fläche in der Referenzkonfiguration bewahrt.

Im Indexnotation in Bezug auf eine orthonormale Basis,,

Dieser Tensor, ein Ein-Punkte-Tensor, ist symmetrisch.

Wenn sich das Material ohne Veränderung des Spannungszustands (starre Drehung) dreht, bleiben die Komponenten des 2. Piola -Kirchhoff -Spannungs -Tensors unabhängig von der Materialorientierung konstant.

Der 2. Piola -Kirchhoff -Stress -Tensor ist Energiekonjugat an die Green -Lagrange -Finite -Dehnungs -Tensor.

Siehe auch

Verweise

  1. ^ Gordon, J. E. (2003). Strukturen oder, warum die Dinge nicht fallen (2. Da Capo Press Ed.). Cambridge, MA: Da Capo Press. ISBN 0306812835.
  2. ^ Jacob Lubliner (2008). "Plastizitätstheorie" Archiviert 2010-03-31 am Wayback -Maschine (überarbeitete Edition). Dover Publications. ISBN0-486-46290-0
  3. ^ Wai-Fah Chen und Da-Jian Han (2007), "Plastizität für Bauingenieure". J. Ross Publishing ISBN1-932159-75-4
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