Stochastischer Prozess

Eine computersimulierte Verwirklichung von a Wiener oder Brownsche Bewegung Prozess auf der Oberfläche einer Kugel. Der Wiener -Prozess wird weithin als der am meisten untersuchte und zentrale stochastische Prozess in der Wahrscheinlichkeitstheorie angesehen.^[1][2][3]

Im Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Felder, a stochastisch (/stoʊˈkæstɪk/) oder zufälliger Prozess ist ein mathematisches Objekt normalerweise definiert als a Familie von zufällige Variablen. Stochastische Prozesse werden weithin als verwendet als Mathematische Modelle von Systemen und Phänomenen, die zufällig zu variieren scheinen. Beispiele sind das Wachstum von a bakteriell Bevölkerung, an elektrischer Strom schwankend durch Thermisches Rauschen, oder die Bewegung von a Gas Molekül.^[1][4][5] Stochastische Prozesse haben Anwendungen in vielen Disziplinen wie z. Biologie,^[6] Chemie,^[7] Ökologie,^[8] Neurowissenschaften,^[9] Physik,^[10] Bildverarbeitung, Signalverarbeitung,^[11] Kontrolltheorie,^[12] Informationstheorie,^[13] Informatik,^[14] Kryptographie^[15] und Telekommunikation.^[16] Darüber hinaus scheinbar zufällige Veränderungen in Finanzmärkte haben die umfassende Verwendung stochastischer Prozesse in motiviert Finanzen.^[17][18][19]

Anwendungen und die Untersuchung von Phänomenen haben wiederum den Vorschlag neuer stochastischer Prozesse inspiriert. Beispiele für solche stochastischen Prozesse sind die Wiener -Prozess oder Brownaner Bewegungsprozess,^[a] benutzt von Louis Bachelier Preisänderungen an der Studienänderungen an der Pariser Börse,^[22] und die Poisson -Prozess, benutzt von A. K. Erlang Untersuchung der Anzahl der Telefonanrufe in einem bestimmten Zeitraum.^[23] Diese beiden stochastischen Prozesse werden als die wichtigste und zentralste in der Theorie stochastischer Prozesse angesehen.^[1][4][24] und wurden in verschiedenen Umgebungen und Ländern wiederholt und unabhängig vor und nach Bachelier und Erlang entdeckt.^[22][25]

Der Begriff Zufällige Funktion wird auch verwendet, um sich auf einen stochastischen oder zufälligen Prozess zu beziehen,^[26][27] weil ein stochastischer Prozess auch als zufälliges Element in a interpretiert werden kann Funktionsraum.^[28][29] Die Begriffe stochastischer Prozess und zufälliger Prozess werden austauschbar verwendet, oft ohne spezifisch mathematischer Raum Für den Satz, der die Zufallsvariablen indiziert.^[28][30] Aber oft werden diese beiden Begriffe verwendet, wenn die Zufallsvariablen von der indiziert werden Ganzzahlen oder an Intervall des echte Linie.^[5][30] Wenn die Zufallsvariablen durch die indiziert werden Kartesische Ebene oder einige höherdimensionale Euklidischer Raumund dann wird die Sammlung von Zufallsvariablen normalerweise als a bezeichnet zufälliges Feld stattdessen.^[5][31] Die Werte eines stochastischen Prozesses sind nicht immer Zahlen und können Vektoren oder andere mathematische Objekte sein.^[5][29]

Basierend auf ihren mathematischen Eigenschaften können stochastische Prozesse in verschiedene Kategorien zusammengefasst werden, darunter auch, einschließlich Zufällige Spaziergänge,^[32] Martingales,^[33] Markov Prozesse,^[34] Lévy -Prozesse,^[35] Gaußsche Prozesse,^[36] zufällige Felder,^[37] Erneuerungsprozesse, und Verzweigungsprozesse.^[38] Die Untersuchung stochastischer Prozesse verwendet mathematisches Wissen und Techniken aus Wahrscheinlichkeit, Infinitesimalrechnung, Lineare Algebra, Mengenlehre, und Topologie^[39][40][41] sowie Zweige von Mathematische Analyse wie zum Beispiel Echte Analyse, Theorie messen, Fourier -Analyse, und Funktionsanalyse.^[42][43][44] Die Theorie stochastischer Prozesse wird als wichtiger Beitrag zur Mathematik angesehen^[45] und es ist weiterhin ein aktives Thema der Forschung aus theoretischen Gründen und Anwendungen.^[46][47][48]

Einführung

Ein stochastischer oder zufälliger Prozess kann als eine Sammlung von zufälligen Variablen definiert werden, die durch einen mathematischen Satz indiziert wird, was bedeutet, dass jede zufällige Variable des stochastischen Prozesses ein einzigartiges Element im Satz assoziiert ist.^[4][5] Der Satz, der zum Index der Zufallsvariablen verwendet wird Indexsatz. Historisch gesehen war der Indexsatz etwas Teilmenge des echte Linie, so wie die natürliche ZahlenWenn der Index die Interpretation der Zeit festlegt.^[1] Jede zufällige Variable in der Sammlung nimmt Werte aus demselben mathematischer Raum bekannt als Zustandsraum. Dieser Zustandsraum kann beispielsweise die Ganzzahlen, die reale Linie oder sein ${\ displayStyle n}$-Dimensionaler euklidischer Raum.^[1][5] Ein Zuwachs ist die Menge, die ein stochastischer Prozess zwischen zwei Indexwerten ändert, die häufig als zwei Zeitpunkte interpretiert werden.^[49][50] Ein stochastischer Prozess kann viele haben Ergebnisse, aufgrund seiner Zufälligkeit und eines einzelnen Ergebniss eines stochastischen Prozesses wird unter anderem a genannt, a Stichprobenfunktion oder Realisierung.^[29][51]

Ein einzelner Computer simuliert Stichprobenfunktion oder Realisierungunter anderem eines dreidimensionalen Wiener- oder Brownschen Bewegungsprozesses für die Zeit 0 ≤ T ≤ 2. Der Indexsatz dieses stochastischen Prozesses ist die nicht negative Zahlen, während sein Zustandsraum dreidimensionaler euklidischer Raum ist.

Klassifizierungen

Ein stochastischer Prozess kann auf unterschiedliche Weise klassifiziert werden, beispielsweise durch seinen Zustandsraum, seinen Indexsatz oder die Abhängigkeit zwischen den Zufallsvariablen. Eine gemeinsame Art der Klassifizierung ist durch die Kardinalität des Indexsatzes und des Zustandsraums.^[52][53][54]

Wenn der Indexsatz eines stochastischen Prozesses eine endliche oder zählbare Anzahl von Elementen, wie z. Diskrete Zeit.^[55][56] Wenn der Indexsatz ein Intervall der realen Linie ist, soll die Zeit sein kontinuierlich. Die beiden Arten von stochastischen Prozessen werden jeweils als bezeichnet diskrete Zeit und stochastische Prozesse kontinuierlicher Zeit.^[49][57][58] Stochastische diskrete stochastische Prozesse werden als leichter zu untersuchen, da kontinuierliche Zeitprozesse fortgeschrittenere mathematische Techniken und Kenntnisse erfordern, insbesondere aufgrund des Indexsatzes unzähliger.^[59][60] Wenn der Indexsatz die Ganzzahlen oder eine Teilmenge davon ist, kann der stochastische Prozess auch als a genannt werden zufällige Sequenz.^[56]

Wenn der Zustandsraum die Ganzzahlen oder natürliche Zahlen ist, wird der stochastische Prozess als a genannt diskret oder Integer-bewertetes stochastischer Prozess. Wenn der Zustandsraum die reale Linie ist, wird der stochastische Prozess als als bezeichnet Realer stochastischer Prozess oder ein Prozess mit kontinuierlichem Zustandsraum. Wenn der Staatsraum ist ${\ displayStyle n}$-Dimensionaler euklidischer Raum, dann wird der stochastische Prozess als a genannt ${\ displayStyle n}$-Dimensional Vektorprozess oder ${\ displayStyle n}$-Vektorprozess.^[52][53]

Etymologie

Das Wort stochastisch in Englisch wurde ursprünglich als Adjektiv mit der Definition "zur Vermutung" verwendet und stammt aus a griechisch Wort, das "auf eine Marke, Vermutung" und die bedeutet Oxford Englisch Wörterbuch gibt dem Jahr 1662 als frühestes Ereignis.^[61] In seiner Arbeit über Wahrscheinlichkeit Ars Conjectandi, ursprünglich in Latin im Jahr 1713, veröffentlicht, Jakob Bernoulli verwendete die Phrase "ars culpectandi sive stochastice", die in "die Kunst des Vermutungen oder Stochastiks" übersetzt wurde.^[62] Dieser Satz wurde unter Bezugnahme auf Bernoulli verwendet, von Ladislaus Bortkiewicz^[63] Wer 1917 auf Deutsch das Wort schrieb Stochastik mit einem Sinn, der zufällig ist. Der Begriff stochastischer Prozess Erschienen zuerst in englischer Sprache in einer Zeitung von 1934 von 1934 von Joseph Doob.^[61] Für den Begriff und eine bestimmte mathematische Definition zitierte Doob ein weiteres Papier von 1934, wo der Begriff Stochastischer Prozeß wurde auf Deutsch von verwendet von Aleksandr Khinchin,^[64][65] Obwohl der deutsche Begriff beispielsweise 1931 von Andrei Kolmogorov verwendet wurde.^[66]

Nach dem Oxford English Dictionary frühes Ereignis des Wortes zufällig Auf Englisch mit seiner aktuellen Bedeutung, die sich auf Zufall oder Glück bezieht, stammt aus dem 16. Jahrhundert, während frühere Verwendung im 14. Jahrhundert als Substantiv gestartet wurde, was "Ungestüm, große Geschwindigkeit, Kraft oder Gewalt bedeutet (beim Reiten, Laufen, auffällig usw.) ". Das Wort selbst stammt aus einem mittleren französischen Wort, das "Geschwindigkeit, Eile" bedeutet, und es wird wahrscheinlich von einem französischen Verb abgeleitet, das "rennen" oder "galoppieren" bedeutet. Der erste schriftliche Erscheinen des Begriffs zufälliger Prozess Vordaten stochastischer Prozess, was das Oxford English Dictionary auch als Synonym angibt und in einem Artikel von verwendet wurde Francis Edgeworth veröffentlicht 1888.^[67]von oben

Terminologie

Die Definition eines stochastischen Prozesses variiert,^[68] Ein stochastischer Prozess wird jedoch traditionell als eine Sammlung von zufälligen Variablen definiert, die von einigen festgelegt werden.^[69][70] Die Begriffe zufälliger Prozess und stochastischer Prozess werden als Synonyme angesehen und austauschbar verwendet, ohne dass der Indexsatz genau angegeben ist.^{[28][30][31][71][72][73]} Beide "Sammlung",^[29][71] oder "Familie" werden verwendet^[4][74] Anstelle von "Index set", manchmal die Begriffe "Parametersatz", manchmal "^[29] oder "Parameterraum"^[31] werden verwendet.

Der Begriff Zufällige Funktion wird auch verwendet, um sich auf einen stochastischen oder zufälligen Prozess zu beziehen,^[5][75][76] Obwohl es manchmal nur verwendet wird, wenn der stochastische Prozess reale Werte nimmt.^[29][74] Dieser Begriff wird auch verwendet, wenn die Indexsätze andere mathematische Räume als die reale Linie sind.^[5][77] während die Begriffe stochastischer Prozess und zufälliger Prozess werden normalerweise verwendet, wenn der Indexsatz als Zeit interpretiert wird,^[5][77][78] und andere Begriffe werden verwendet, wie z. zufälliges Feld Wenn der Indexsatz ist ${\ displayStyle n}$-Dimensionaler euklidischer Raum ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n}}$ oder ein vielfältig.^[5][29][31]

Notation

Ein stochastischer Prozess kann unter anderem bezeichnet werden ${\ displayStyle \ {x (t) \} _ {t \ in t}}$,^[57] ${\ displaystyle \ {x_ {t} \} _ {t \ in t}}$,^[70] ${\ displayStyle \ {x_ {t} \}}$^[79] ${\ displayStyle \ {x (t) \}}$ oder einfach als ${\ displayStyle x}$ oder ${\ displayStyle x (t)}$, obwohl ${\ displayStyle x (t)}$ wird als eine angesehen Missbrauch der Funktionsnotation.^[80] Zum Beispiel, ${\ displayStyle x (t)}$ oder ${\ displayStyle x_ {t}}$ werden verwendet, um auf die Zufallsvariable mit dem Index zu verweisen ${\ displayStyle t}$und nicht der gesamte stochastische Prozess.^[79] Wenn der Indexsatz ist ${\ displayStyle t = [0, \ Inty)}}$dann kann man zum Beispiel schreiben, ${\ displayStyle (x_ {t}, t \ geq 0)}$ den stochastischen Prozess zu bezeichnen.^[30]

Beispiele

Bernoulli -Prozess

Eines der einfachsten stochastischen Prozesse ist die Bernoulli -Prozess,^[81] Welches ist eine Sequenz von unabhängig und identisch verteilt (IID) Zufallsvariablen, wobei jede zufällige Variable entweder den Wert 1 oder Null nimmt, beispielsweise eine mit Wahrscheinlichkeit ${\ displayStyle p}$ und Null mit Wahrscheinlichkeit ${\ displayStyle 1-p}$. Dieser Vorgang kann mit dem wiederholten Umdrehen einer Münze verknüpft werden, wobei die Wahrscheinlichkeit, einen Kopf zu erhalten, ist ${\ displayStyle p}$ und sein Wert ist eins, während der Wert eines Schwanzes Null ist.^[82] Mit anderen Worten, ein Bernoulli -Prozess ist eine Folge von zufälligen Variablen von Iid Bernoulli.^[83] wo jeder Münzflip ein Beispiel für a ist Bernoulli -Versuch.^[84]

Zielloser Spaziergang

Zufällige Spaziergänge sind stochastische Prozesse, die normalerweise als Summen von definiert werden iid Zufällige Variablen oder zufällige Vektoren im euklidischen Raum, daher sind es Prozesse, die sich in der diskreten Zeit ändern.^{[85][86][87][88][89]} Einige verwenden aber auch den Begriff, um sich auf Prozesse zu beziehen, die sich in der kontinuierlichen Zeit ändern.^[90] insbesondere der im Finanzwesen verwendete Wiener -Prozess, der zu einer gewissen Verwirrung geführt hat, was zu seiner Kritik führt.^[91] Es gibt andere verschiedene Arten von zufälligen Spaziergängen, sodass ihre Staatsräume andere mathematische Objekte wie Gitter und Gruppen sein können, und im Allgemeinen sind sie stark untersucht und haben viele Anwendungen in verschiedenen Disziplinen.^[90][92]

Ein klassisches Beispiel für einen zufälligen Spaziergang ist als das bekannt Einfacher Zufallsspaziergang, was ein stochastischer Prozess in diskreter Zeit mit den Ganzzahlen als Zustandsraum ist und auf einem Bernoulli -Prozess basiert, wobei jede Bernoulli -Variable entweder den Wert positiv oder negativ nimmt. Mit anderen Worten, der einfache zufällige Walk findet auf den Ganzzahlen statt und sein Wert steigt um eins mit Wahrscheinlichkeit, beispielsweise um eins. ${\ displayStyle p}$, oder nimmt mit Wahrscheinlichkeit um eins ab ${\ displayStyle 1-p}$Der Indexsatz dieses zufälligen Walks sind also die natürlichen Zahlen, während sein Zustandsraum die ganzen Zahlen sind. Wenn die ${\ displayStyle p = 0,5}$Dieser Zufallsspaziergang wird als symmetrischer Zufallsspaziergang bezeichnet.^[93][94]

Wiener -Prozess

Der Wiener -Prozess ist ein stochastischer Prozess mit stationär und unabhängige Inkremente das sind normal verteilt Basierend auf der Größe der Schritte.^[2][95] Der Wiener -Prozess ist nach benannt Norbert Wiener, der seine mathematische Existenz bewiesen hat, aber der Prozess wird auch als Brownaner Bewegungsprozess oder nur die Brownsche Bewegung aufgrund seiner historischen Verbindung als Modell für als Modell bezeichnet Brownsche Bewegung in Flüssigkeiten.^[96][97][98]

Realisierungen von Wiener -Prozessen (oder Brownschen Bewegungsprozessen) mit Drift (Drift (blau) und ohne Drift (rot).

Der Wiener -Prozess spielt eine zentrale Rolle in der Wahrscheinlichkeitstheorie und wird häufig als der wichtigste und untersuchte stochastische Prozess mit Verbindungen zu anderen stochastischen Prozessen angesehen.^{[1][2][3][99][100][101][102]} Sein Indexsatz und der Zustandsraum sind die nicht negativen Zahlen bzw. reellen Zahlen, sodass er sowohl kontinuierliche Index-Set als auch Zustände Platz hat.^[103] Der Prozess kann jedoch allgemeiner definiert werden, damit sein Zustandsraum sein kann ${\ displayStyle n}$-Dimensionaler euklidischer Raum.^{[92][100][104]} Wenn die bedeuten Von jedem Inkrement ist Null, dann soll der resultierende Wiener- oder Brownsche Bewegungsprozess keine Drift haben. Wenn der Mittelwert des Inkrements für zwei Zeitpunkte gleich der Zeitdifferenz ist multipliziert mit einer Konstante ${\ displayStyle \ mu}$, was eine reelle Zahl ist, dann soll der resultierende stochastische Prozess Drift haben ${\ displayStyle \ mu}$.^{[105][106][107]}

Fast sicher, ein Stichprobenweg eines Wiener -Prozesses ist überall kontinuierlich Nirgendwo differenzierbar. Es kann als kontinuierliche Version des einfachen Zufalls Walk betrachtet werden.^[50][106] Der Prozess tritt als mathematische Grenze anderer stochastischer Prozesse wie bestimmte zufällige Spaziergänge auf, die skaliert sind,^[108][109] Welches ist Gegenstand von Donskers Satz oder Invarianzprinzip, auch als funktionales Zentralgrenze -Theorem bezeichnet.^{[110][111][112]}

Der Wiener -Prozess ist Mitglied einiger wichtiger Familien stochastischer Prozesse, einschließlich Markov -Prozesse, Lévy -Prozesse und Gaußschen Prozesse.^[2][50] Der Prozess hat auch viele Anwendungen und ist der Hauptprozess, der im stochastischen Kalkül verwendet wird.^[113][114] Es spielt eine zentrale Rolle bei der quantitativen Finanzierung,^[115][116] wo es zum Beispiel im Black -Scholes -Merton -Modell verwendet wird.^[117] Der Prozess wird auch in verschiedenen Bereichen verwendet, einschließlich der Mehrheit der Naturwissenschaften sowie einiger Zweige der Sozialwissenschaften, als mathematisches Modell für verschiedene zufällige Phänomene.^{[3][118][119]}

Poisson -Prozess

Der Poisson -Prozess ist ein stochastischer Prozess, der unterschiedliche Formen und Definitionen hat.^[120][121] Es kann als Zählungsprozess definiert werden, bei dem es sich um einen stochastischen Prozess handelt, der die zufällige Anzahl von Punkten oder Ereignissen bis zu einem bestimmten Zeitpunkt darstellt. Die Anzahl der Punkte des Prozesses, die sich im Intervall von Null bis zu einer bestimmten Zeit befinden, ist eine zufällige Poisson -Variable, die von dieser Zeit und einem bestimmten Parameter abhängt. Dieser Prozess hat die natürlichen Zahlen als Zustandsraum und die nicht negativen Zahlen als Indexsatz. Dieser Prozess wird auch als Poisson -Zählprozess bezeichnet, da er als Beispiel für einen Zählprozess interpretiert werden kann.^[120]

Wenn ein Poisson -Prozess mit einer einzigen positiven Konstante definiert wird, wird der Prozess als homogener Poisson -Prozess bezeichnet.^[120][122] Der homogene Poisson -Prozess ist Mitglied wichtiger Klassen stochastischer Prozesse wie Markov -Prozesse und Lévy -Prozesse.^[50]

Der homogene Poisson -Prozess kann auf unterschiedliche Weise definiert und verallgemeinert werden. Es kann so definiert werden, dass sein Indexsatz die reale Linie ist, und dieser stochastische Prozess wird auch als stationärer Poisson -Prozess bezeichnet.^[123][124] Wenn die Parameterkonstante des Poisson-Prozesses durch eine nicht negative integrierbare Funktion von ersetzt wird ${\ displayStyle t}$Der resultierende Prozess wird als inhomogener oder nichthomogener Poisson -Prozess bezeichnet, bei dem die durchschnittliche Dichte der Prozesspunkte nicht mehr konstant ist.^[125] Der Poisson -Prozess ist ein wichtiger Prozess für mathematische Modelle, bei dem Anwendungen für Modelle von Ereignissen, die zufällig in bestimmten Zeitfenstern auftreten, ein wichtiger Prozess in der Warteschlange -Theorie dient.^[126][127]

Auf der realen Linie definiert der Poisson -Prozess kann als stochastischer Prozess interpretiert werden.^[50][128] unter anderen zufälligen Objekten.^[129][130] Aber dann kann es auf dem definiert werden ${\ displayStyle n}$-Dimensionaler euklidischer Raum oder andere mathematische Räume,^[131] wo es oft als zufällige oder zufällige Zählmaßnahme anstelle eines stochastischen Prozesses interpretiert wird.^[129][130] In dieser Umgebung ist der Poisson -Prozess, der auch als Poisson Point -Prozess bezeichnet wird, eines der wichtigsten Objekte in der Wahrscheinlichkeitstheorie, sowohl aus Anwendungen als auch aus theoretischen Gründen.^[23][132] Es wurde jedoch angemerkt, dass der Poisson -Prozess nicht so viel Aufmerksamkeit erhält, wie es sollte, teilweise darauf, dass er oft nur auf der realen Linie und nicht auf anderen mathematischen Räumen berücksichtigt wird.^[132][133]

Definitionen

Stochastischer Prozess

Ein stochastischer Prozess wird als eine Sammlung von zufälligen Variablen definiert, die auf einem gemeinsamen definiert sind Wahrscheinlichkeitsraum ${\ displayStyle (\ Omega, {\ mathcal {f}}, p)}$, wo ${\ displayStyle \ Omega}$ ist ein Probenraum, ${\ displaystyle {\ mathcal {f}}}$ ist ein ${\ displayStyle \ sigma}$-Algebra, und ${\ displayStyle p}$ ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß; und die zufälligen Variablen, indiziert durch einige festgelegt ${\ displayStyle t}$alle nehmen Werte im selben mathematischen Raum ein ${\ displayStyle S}$, was sein muss messbar in Bezug auf einige ${\ displayStyle \ sigma}$-Algebra ${\ displayStyle \ sigma}$.^[29]

Mit anderen Worten, für einen bestimmten Wahrscheinlichkeitsraum ${\ displayStyle (\ Omega, {\ mathcal {f}}, p)}$ und ein messbarer Raum ${\ displayStyle (s, \ sigma)}}$, ein stochastischer Prozess ist eine Sammlung von ${\ displayStyle S}$-Valierte zufällige Variablen, die geschrieben werden können wie:^[81]

${\ displayStyle \ {x (t): t \ in t \}.}$

Historisch gesehen in vielen Problemen aus den Naturwissenschaften ein Punkt ${\ displayStyle t \ in t}$ hatte die Bedeutung der Zeit so ${\ displayStyle x (t)}$ ist eine zufällige Variable, die einen zum Zeitpunkt beobachteten Wert darstellt ${\ displayStyle t}$.^[134] Ein stochastischer Prozess kann auch als geschrieben werden ${\ displayStyle \ {x (t, \ omega): t \ in t \}}$ um zu reflektieren, dass es tatsächlich eine Funktion von zwei Variablen ist, ${\ displayStyle t \ in t}$ und ${\ displayStyle \ Omega \ in \ Omega}$.^[29][135]

Es gibt andere Möglichkeiten, einen stochastischen Prozess zu berücksichtigen, wobei die obige Definition als traditionell angesehen wird.^[69][70] Zum Beispiel kann ein stochastischer Prozess als interpretiert oder definiert werden ${\ displayStyle S^{t}}$-Valierte zufällige Variable, wo ${\ displayStyle S^{t}}$ ist der Raum aller möglichen Funktionen Aus dem Set ${\ displayStyle t}$ in den Raum ${\ displayStyle S}$.^[28][69] Diese alternative Definition als "funktionsbewertete Zufallsvariable" erfordert jedoch im Allgemeinen, dass zusätzliche Regelmäßigkeitsannahmen genau definiert sind.^[136]

Indexsatz

Der Satz ${\ displayStyle t}$ wird genannt Indexsatz^[4][52] oder Parametersatz^[29][137] des stochastischen Prozesses. Oft ist dieser Satz eine Teilmenge der echte Linie, so wie die natürliche Zahlen oder ein Intervall, das den Satz gibt ${\ displayStyle t}$ die Interpretation der Zeit.^[1] Zusätzlich zu diesen Sätzen der Indexsatz ${\ displayStyle t}$ Kann ein weiteres Set mit a sein Gesamtbestellung oder ein allgemeineres Set,^[1][55] wie das kartesische Flugzeug ${\ displayStyle r^{2}}$ oder ${\ displayStyle n}$-Dimensionaler euklidischer Raum, wo ein Element ${\ displayStyle t \ in t}$ kann einen Punkt im Raum darstellen.^[49][138] Viele Ergebnisse und Theoreme sind jedoch nur für stochastische Prozesse mit einem vollständig geordneten Indexsatz möglich.^[139]

Zustandsraum

Das mathematischer Raum ${\ displayStyle S}$ eines stochastischen Prozesses wird als ITS bezeichnet Zustandsraum. Dieser mathematische Raum kann mit Verwendung definiert werden Ganzzahlen, echte Linien, ${\ displayStyle n}$-Dimensional Euklidische Räume, komplexe Ebenen oder abstraktere mathematische Räume. Der Zustandsraum wird unter Verwendung von Elementen definiert, die die unterschiedlichen Werte widerspiegeln, die der stochastische Prozess annehmen kann.^{[1][5][29][52][57]}

Stichprobenfunktion

A Stichprobenfunktion ist eine Single Ergebnis eines stochastischen Prozesses, so wird es gebildet, indem ein einziger möglicher Wert jeder zufälligen Variablen des stochastischen Prozesses eingenommen wird.^[29][140] Genauer gesagt, wenn ${\ displayStyle \ {x (t, \ omega): t \ in t \}}$ ist ein stochastischer Prozess, dann für jeden Punkt ${\ displayStyle \ Omega \ in \ Omega}$, das Kartierung

${\ displayStyle x (\ cdot, \ omega): t \ rightarrow s,}$

wird als Beispielfunktion bezeichnet, a Realisierungoder, besonders wenn ${\ displayStyle t}$ wird als Zeit interpretiert, a Probenpfad des stochastischen Prozesses ${\ displayStyle \ {x (t, \ omega): t \ in t \}}$.^[51] Dies bedeutet das für einen festen ${\ displayStyle \ Omega \ in \ Omega}$Es gibt eine Beispielfunktion, die den Indexsatz ordnet ${\ displayStyle t}$ zum Staatsraum ${\ displayStyle S}$.^[29] Andere Namen für eine Stichprobenfunktion eines stochastischen Prozesses umfassen Flugbahn, Pfadfunktion^[141] oder Weg.^[142]

Zuwachs

Ein Zuwachs eines stochastischen Prozesses ist der Unterschied zwischen zwei zufälligen Variablen desselben stochastischen Prozesses. Für einen stochastischen Prozess mit einem Indexsatz, der als Zeit interpretiert werden kann, ist ein Inkrement, wie stark sich der stochastische Prozess über einen bestimmten Zeitraum ändert. Zum Beispiel wenn ${\ displayStyle \ {x (t): t \ in t \}}$ ist ein stochastischer Prozess mit Zustandsraum ${\ displayStyle S}$ und Indexsatz ${\ displayStyle t = [0, \ Inty)}}$, dann für zwei nicht negative Zahlen ${\ displayStyle t_ {1} \ in [0, \ inty)}$ und ${\ displayStyle t_ {2} \ in [0, \ inty)}$ so dass ${\ displayStyle t_ {1} \ leq t_ {2}}$, der Unterschied ${\ displaystyle x_ {t_ {2}}-x_ {t_ {1}}}$ ist ein ${\ displayStyle S}$-Valierte zufällige Variable, die als Inkrement bezeichnet wird.^[49][50] Wenn Sie an den Schritten interessiert sind, oft der Staatsraum ${\ displayStyle S}$ ist die reale Linie oder die natürlichen Zahlen, aber es kann sein ${\ displayStyle n}$-Dimensionaler euklidischer Raum oder mehr abstrakte Räume wie z. Banach -Räume.^[50]

Weitere Definitionen

Gesetz

Für einen stochastischen Prozess ${\ displaystyle x \ colon \ Omega \ rightarrow s^{t}}$ definiert auf dem Wahrscheinlichkeitsraum ${\ displayStyle (\ Omega, {\ mathcal {f}}, p)}$, das Gesetz des stochastischen Prozesses ${\ displayStyle x}$ ist definiert als die Bildmessung:

${\ displayStyle \ mu = p \ circ x^{-1},},},}$

wo ${\ displayStyle p}$ ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß, das Symbol ${\ displayStyle \ circ}$ bezeichnet die Funktionszusammensetzung und ${\ displayStyle x^{-1}}$ ist das Vorbild der messbaren Funktion oder gleichwertig die ${\ displayStyle S^{t}}$-Valierte Zufallsvariable ${\ displayStyle x}$, wo ${\ displayStyle S^{t}}$ ist der Raum aller möglichen ${\ displayStyle S}$-Weichung Funktionen von ${\ displayStyle t \ in t}$Das Gesetz eines stochastischen Prozesses ist also eine Wahrscheinlichkeitsmaßnahme.^{[28][69][143][144]}

Für eine messbare Untergruppe ${\ displayStyle B}$ von ${\ displayStyle S^{t}}$das Vorbild von ${\ displayStyle x}$ gibt

${\ displaystyle x^{-1} (b) = \ {\ Omega \ in \ Omega: x (\ Omega) \ in B \},},}$

Also das Gesetz von a ${\ displayStyle x}$ kann geschrieben werden als:^[29]

${\ displayStyle \ mu (b) = p (\ {\ omega \ in \ Omega: x (\ omega) \ in b \}).}$

Das Gesetz eines stochastischen Prozesses oder einer zufälligen Variablen wird auch als die genannt Wahrscheinlichkeitsgesetz, Wahrscheinlichkeitsverteilung, oder der Verteilung.^{[134][143][145][146][147]}

Finite-dimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Für einen stochastischen Prozess ${\ displayStyle x}$ mit Gesetz ${\ displayStyle \ mu}$, es ist Finite-dimensionale Verteilung zum ${\ displayStyle t_ {1}, \ dots, t_ {n} \ in t}$ ist definiert als:

$oder -1},}$

Diese Maßnahme ${\ displayStyle \ mu _ {t_ {1}, .., t_ {n}}}$ist die gemeinsame Verteilung des Zufallsvektors ${\ displayStyle (x ({t_ {1}}), \ dots, x ({t_ {n}}))}$; Es kann als "Projektion" des Gesetzes angesehen werden ${\ displayStyle \ mu}$ auf eine endliche Untergruppe von ${\ displayStyle t}$.^[28][148]

Für jede messbare Untergruppe ${\ displayStyle c}$ des ${\ displayStyle n}$-falten Kartesische Kraft ${\ displayStyle s^{n} = s \ times \ dots \ times s}$, die endlichdimensionalen Verteilungen eines stochastischen Prozesses ${\ displayStyle x}$ kann geschrieben werden als:^[29]

${\ displayStyle \ mu _ {t_ {1}, \ dots, t_ {n}} (c) = p {\ big (} {\ big \ {} \ Omega \ in \ omega: {\ big (} x_ {{{{{{{{{{{} x_ {{{{} x_ { t_ {1}} (\ Omega), \ dots, x_ {t_ {n}} (\ omega) {\ big)} \ in C {\ big \}} {\ big)}.}$

Die endlichdimensionalen Verteilungen eines stochastischen Prozesses entsprechen zwei mathematischen Bedingungen, die als Konsistenzbedingungen bezeichnet werden.^[58]

Stationarität

Stationarität ist eine mathematische Eigenschaft, die ein stochastischer Prozess hat, wenn alle Zufallsvariablen dieses stochastischen Prozesses identisch verteilt sind. Mit anderen Worten, wenn ${\ displayStyle x}$ ist ein stationärer stochastischer Prozess, dann für jeden ${\ displayStyle t \ in t}$ die zufällige Variable ${\ displayStyle x_ {t}}$ hat die gleiche Verteilung, was bedeutet, dass für jeden Satz von ${\ displayStyle n}$ INDEX SET -Werte ${\ displayStyle t_ {1}, \ dots, t_ {n}}$, die entsprechende ${\ displayStyle n}$ zufällige Variablen

${\ displaystyle x_ {t_ {1}}, \ dots x_ {t_ {n}},},},}$

Alle haben das gleiche Wahrscheinlichkeitsverteilung. Der Indexsatz eines stationären stochastischen Prozesses wird normalerweise als Zeit interpretiert, sodass es die Ganzzahlen oder die reale Linie sein kann.^[149][150] Das Konzept der Stationarität besteht jedoch auch für Punktprozesse und zufällige Felder, wobei der Indexsatz nicht als Zeit interpretiert wird.^{[149][151][152]}

Wenn der Index festgelegt ist ${\ displayStyle t}$ Kann als Zeit interpretiert werden, soll ein stochastischer Prozess stationär sein, wenn seine endlich-dimensionalen Verteilungen unter Übersetzungen der Zeit unveränderlich sind. Diese Art des stochastischen Prozesses kann verwendet werden, um ein physikalisches System zu beschreiben, das sich im stationären Zustand befindet, aber dennoch zufällige Schwankungen aufweist.^[149] Die Intuition hinter der Stationarität ist, dass mit der Zeit die Verteilung des stochastischen Prozesss gleich bleibt.^[153] Eine Sequenz von Zufallsvariablen bildet nur einen stationären stochastischen Prozess, wenn die Zufallsvariablen identisch verteilt sind.^[149]

Ein stochastischer Prozess mit der obigen Definition der Stationarität wird manchmal als streng stationär bezeichnet, aber es gibt andere Formen der Stationarität. Ein Beispiel ist, wenn ein stochastischer Prozess mit diskreter Zeit oder kontinuierlicher Zeit ${\ displayStyle x}$ soll in weiten Sinne stationär sein, dann im Prozess ${\ displayStyle x}$ hat einen endlichen zweiten Moment für alle ${\ displayStyle t \ in t}$ und die Kovarianz der beiden zufälligen Variablen ${\ displayStyle x_ {t}}$ und ${\ displayStyle x_ {t+h}}$ hängt nur von der Zahl ab ${\ displayStyle H}$ für alle ${\ displayStyle t \ in t}$.^[153][154] Khinchin stellte das verwandte Konzept von vor Stationarität im Weiten, was andere Namen hat, einschließlich Kovarianzstationarität oder Stationarität im breiten Sinne.^[154][155]

Filtration

A Filtration ist eine zunehmende Folge von Sigma-Algebren, die in Bezug auf einen Wahrscheinlichkeitsraum und einen Indexsatz definiert sind, der einige hat Gesamtbestellung Beziehung, wie im Fall des Indexsatzes eine Teilmenge der realen Zahlen. Formaler, wenn ein stochastischer Prozess einen Index mit einer Gesamtreihenfolge hat, dann eine Filtration ${\ displaystyle \ {{\ mathcal {f}} _ {t} \} _ {t \ in t}}$auf Wahrscheinlichkeitsraum ${\ displayStyle (\ Omega, {\ mathcal {f}}, p)}$ ist eine Familie von Sigma-Algebren, so dass $oder$ für alle ${\ displayStyle S \ Leq T}$, wo ${\ displayStyle t, s \ in t}$ und ${\ displayStyle \ leq}$ bezeichnet die Gesamtreihenfolge des Indexsatzes ${\ displayStyle t}$.^[52] Mit dem Konzept einer Filtration ist es möglich, die Menge der Informationen zu untersuchen, die in einem stochastischen Prozess enthalten sind ${\ displayStyle x_ {t}}$ bei ${\ displayStyle t \ in t}$, was als Zeit interpretiert werden kann ${\ displayStyle t}$.^[52][156] Die Intuition hinter einer Filtration ${\ displaystyle {\ mathcal {f}} _ {t}}$ ist das als Zeit ${\ displayStyle t}$ Pässt, immer mehr Informationen darüber ${\ displayStyle x_ {t}}$ ist bekannt oder erhältlich, das in erfasst wird in ${\ displaystyle {\ mathcal {f}} _ {t}}$, was zu stärker und feineren Partitionen von führt ${\ displayStyle \ Omega}$.^[157][158]

Änderung

A Änderung Von einem stochastischen Prozess ist ein weiterer stochastischer Prozess, der eng mit dem ursprünglichen stochastischen Prozess zusammenhängt. Genauer gesagt ein stochastischer Prozess ${\ displayStyle x}$ Das hat den gleichen Indexsatz ${\ displayStyle t}$, Staatsraum ${\ displayStyle S}$, und Wahrscheinlichkeitsraum ${\ displayStyle (\ Omega, {\ cal {f}}, p)}$ als ein weiterer stochastischer Prozess ${\ displayStyle y}$ soll eine Modifikation von sein ${\ displayStyle y}$ wenn für alle ${\ displayStyle t \ in t}$ folgende

${\ displayStyle p (x_ {t} = y_ {t}) = 1,}$

hält. Zwei stochastische Prozesse, die Modifikationen voneinander sind^[159] und sie sollen sein stochistisch äquivalent oder Äquivalent.^[160]

Anstelle von Änderungen der Begriff Ausführung wird auch verwendet,^{[151][161][162][163]} Einige Autoren verwenden jedoch die Begriff Version, wenn zwei stochastische Prozesse die gleichen endlichdimensionalen Verteilungen aufweisen. Sie können jedoch auf verschiedenen Wahrscheinlichkeitsräumen definiert werden , aber nicht das Gegenteil.^[164][143]

Wenn ein realwertiger stochastischer Prozess mit kontinuierlicher Zeit bestimmte Momentbedingungen in seinen Schritten erfüllt, dann der dann die Kolmogorov -Kontinuitätstheorem Sagt, dass es eine Modifikation dieses Prozesses gibt, der kontinuierliche Stichprobenpfade mit Wahrscheinlichkeit eins gibt, sodass der stochastische Prozess eine kontinuierliche Änderung oder Version aufweist.^{[162][163][165]} Der Satz kann auch auf zufällige Felder verallgemeinert werden, sodass der Indexsatz ist ${\ displayStyle n}$-Dimensionaler euklidischer Raum^[166] sowie stochastische Prozesse mit Metrikräume als ihre Staatsräume.^[167]

Nicht zu unterscheiden

Zwei stochastische Prozesse ${\ displayStyle x}$ und ${\ displayStyle y}$ definiert auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum ${\ displayStyle (\ Omega, {\ mathcal {f}}, p)}$ mit demselben Indexsatz ${\ displayStyle t}$ und Platz setzen ${\ displayStyle S}$ sind gesagt nicht zu unterscheiden Wenn der folgende

${\ displayStyle p (x_ {t} = y_ {t} {\ text {für alle}} t \ in t) = 1,}$

hält.^[143][159] Wenn zwei ${\ displayStyle x}$ und ${\ displayStyle y}$ sind Modifikationen voneinander und sind dann fast sicher kontinuierlich ${\ displayStyle x}$ und ${\ displayStyle y}$ sind nicht zu unterscheiden.^[168]

Trennbarkeit

Trennbarkeit ist eine Eigenschaft eines stochastischen Prozesses basierend auf seinem Index, der in Bezug auf die Wahrscheinlichkeitsmaßnahme festgelegt ist. Die Eigenschaft wird so angenommen, dass Funktionale von stochastischen Prozessen oder zufälligen Feldern mit unzähligen Indexsätzen zufällige Variablen bilden können. Damit ein stochastischer Prozess trennbar ist, muss der Indexsatz zusätzlich zu anderen Bedingungen a sein Trennbarer Raum,^[b] Dies bedeutet, dass der Indexsatz eine dichte zählbare Teilmenge hat.^[151][169]

Genauer ${\ displayStyle x}$ mit einem Wahrscheinlichkeitsraum ${\ displayStyle (\ Omega, {\ cal {f}}, p)}$ ist trennbar, wenn sein Index festgelegt ist ${\ displayStyle t}$ hat eine dichte zählbare Untergruppe ${\ displayStyle u \ subset t}$ Und es gibt ein Set ${\ displayStyle \ Omega _ {0} \ subset \ Omega}$ von Wahrscheinlichkeit Null so ${\ displayStyle p (\ Omega _ {0}) = 0}$, so dass für jeden offenen Satz ${\ displayStyle g \ subset t}$ und jedes geschlossene Set $oder$, die beiden Ereignisse ${\ displaystyle \ {x_ {t} \ in f {\ text {für alle}} t \ in g \ cap u \}}$ und ${\ displaystyle \ {x_ {t} \ in f {\ text {für alle}} t \ in g \}}$ unterscheiden sich höchstens in einer Teilmenge von voneinander ${\ displayStyle \ Omega _ {0}}$.^{[170][171][172]} Die Definition der Trennbarkeit^[c] kann auch für andere Indexsätze und Zustandsräume angegeben werden,^[175] wie bei zufälligen Feldern, bei denen sowohl der Index als auch der Zustandsraum sein können ${\ displayStyle n}$-Dimensionaler euklidischer Raum.^[31][151]

Das Konzept der Trennbarkeit eines stochastischen Prozesses wurde durch eingeführt durch Joseph Doob.^[169] Die zugrunde liegende Idee der Trennbarkeit besteht darin, einen zählbaren Satz von Punkten des Indexsatzes zu erstellen, die die Eigenschaften des stochastischen Prozesses bestimmen.^[173] Jeder stochastische Prozess mit einem zählbaren Indexsatz erfüllt bereits die Trennbarkeitsbedingungen, sodass diskrete stochastische Prozesse immer trennbar sind.^[176] Ein Satz von Doob, der manchmal als Doob-Trennbarkeitstheorem bezeichnet wird, besagt, dass jeder echte stochastische Prozess mit kontinuierlicher Zeit eine trennbare Modifikation aufweist.^{[169][171][177]} Versionen dieses Satzes existieren auch für allgemeinere stochastische Prozesse mit anderen Indexsätzen und Zustandsräumen als der realen Linie.^[137]

Unabhängigkeit

Zwei stochastische Prozesse ${\ displayStyle x}$ und ${\ displayStyle y}$ definiert auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum ${\ displayStyle (\ Omega, {\ mathcal {f}}, p)}$ mit demselben Indexsatz ${\ displayStyle t}$ sind gesagt unabhängig wenn für alle ${\ displayStyle n \ in \ mathbb {n}}$ und für jede Wahl von Epochen ${\ displayStyle t_ {1}, \ ldots, t_ {n} \ in t}$die zufälligen Vektoren ${\ displayStyle \ links (x (t_ {1}), \ ldots, x (t_ {n}) \ rechts)}$ und ${\ displayStyle \ links (y (t_ {1}), \ ldots, y (t_ {n}) \ rechts)}$ sind unabhängig.^{[178]: p. 515}

Unkorrelierte

Zwei stochastische Prozesse ${\ displayStyle \ links \ {x_ {t} \ rechts \}}$ und ${\ displayStyle \ links \ {y_ {t} \ rechts \}}$ werden genannt unkorreliert Wenn ihre Kreuzkovarianz $oder )-\ mu _ {x} (t_ {1}) \ rechts) \ links (y (t_ {2})-\ mu _ {y} (t_ {2}) \ rechts) \ rechts]}$ ist für alle Zeiten Null.^{[179]: p. 142} Formal:

$oder {X} \ mathbf {y}} (t_ {1}, t_ {2}) = 0 \ quad \ forall t_ {1}, t_ {2}}$.

Unabhängigkeit impliziert unkorrelierte

Wenn zwei stochastische Prozesse ${\ displayStyle x}$ und ${\ displayStyle y}$ sind unabhängig, dann sind sie auch unkorreliert.^{[179]: p. 151}

Orthogonalität

Zwei stochastische Prozesse ${\ displayStyle \ links \ {x_ {t} \ rechts \}}$ und ${\ displayStyle \ links \ {y_ {t} \ rechts \}}$ werden genannt senkrecht Wenn ihre Kreuzkorrelation $oder Y (t_ {2})}}]}$ ist für alle Zeiten Null.^{[179]: p. 142} Formal:

$oder {X} \ mathbf {y}} (t_ {1}, t_ {2}) = 0 \ quad \ forall t_ {1}, t_ {2}}$.

Skorokhod -Raum

A Skorokhod -Raum, auch geschrieben als als Skorohod Raum, ist ein mathematischer Raum aller Funktionen, die mit linken Grenzen rechts kontinuierlich sind, die in einem Intervall der realen Linie definiert sind, wie z. ${\ displayStyle [0,1]}$ oder ${\ displayStyle [0, \ inty)}$, und nehmen Sie Werte auf der realen Linie oder auf einem metrischen Raum.^{[180][181][182]} Solche Funktionen werden als Càdlàg- oder Cadlag -Funktionen bezeichnet, basierend auf dem Akronym der französischen Phrase Weiter à droite, limite à gauche.^[180][183] Ein Skorokhod -Funktionsraum, der von eingeführt wird Anatoliy Skorokhod,^[182] wird oft mit dem Brief bezeichnet ${\ displayStyle d}$,^{[180][181][182][183]} Der Funktionsraum wird also auch als Raum bezeichnet ${\ displayStyle d}$.^{[180][184][185]} Die Notation dieses Funktionsraums kann auch das Intervall enthalten, auf dem alle Càdlàg -Funktionen definiert sind, zum Beispiel, also, ${\ displayStyle d [0,1]}$ bezeichnet den Raum von Càdlàg -Funktionen, die auf dem definiert sind Einheitsintervall ${\ displayStyle [0,1]}$.^{[183][185][186]}

Skorokhod-Funktionsräume werden häufig in der Theorie stochastischer Prozesse verwendet, da häufig angenommen wurde, dass die Probenfunktionen von stochastischen Prozessen kontinuierlicher Zeit zu einem Skorokhod-Raum gehören.^[182][184] Solche Räume enthalten kontinuierliche Funktionen, die den Stichprobenfunktionen des Wiener -Prozesses entsprechen. Der Raum hat aber auch Funktionen mit Diskontinuitäten, was bedeutet, dass die Stichprobenfunktionen stochastischer Prozesse mit Sprüngen wie dem Poisson -Prozess (auf der realen Linie) auch Mitglieder dieses Raums sind.^[185][187]

Regelmäßigkeit

Im Kontext der mathematischen Konstruktion stochastischer Prozesse der Begriff Regelmäßigkeit wird bei der Erörterung und Übernahme bestimmter Bedingungen für einen stochastischen Prozess verwendet, um mögliche Konstruktionsprobleme zu lösen.^[188][189] Um beispielsweise stochastische Prozesse mit unzähligen Indexsätzen zu untersuchen, wird davon ausgegangen, dass der stochastische Prozess eine Art von Regelmäßigkeitsbedingung haftet, wie z. B. die Probenfunktionen kontinuierlich.^[190][191]

Weitere Beispiele

Markov Prozesse und Ketten

Markov -Prozesse sind stochastische Prozesse, traditionell in diskrete oder kontinuierliche Zeit, die die Markov -Eigenschaft haben, was bedeutet, dass der nächste Wert des Markov -Prozesses vom aktuellen Wert abhängt, aber bedingt unabhängig von den früheren Werten des stochastischen Prozesses ist. Mit anderen Worten, das Verhalten des Prozesses in der Zukunft ist angesichts des aktuellen Zustands des Prozesses stochistisch unabhängig von seinem Verhalten in der Vergangenheit.^[192][193]

Der Brownsche Bewegungsprozess und der Poisson -Prozess (in einer Dimension) sind beide Beispiele für Markov -Prozesse^[194] in kontinuierlicher Zeit während Zufällige Spaziergänge auf den Ganzzahlen und die Spieler des Spielers Problem sind Beispiele für Markov -Prozesse in diskreter Zeit.^[195][196]

Eine Markov -Kette ist eine Art von Markov -Prozess, der entweder diskret ist Zustandsraum oder diskreter Indexsatz (häufig darstellen die Zeit), aber die genaue Definition einer Markov -Kette variiert.^[197] Zum Beispiel ist es üblich, eine Markov -Kette als Markov -Prozess in beiden zu definieren diskrete oder kontinuierliche Zeit mit einem zählbaren Zustand (also unabhängig von der Art der Zeit),^{[198][199][200][201]} Es war aber auch üblich, eine Markov -Kette als diskrete Zeit im zählbaren oder kontinuierlichen Zustand zu definieren (daher unabhängig vom Zustandsraum).^[197] Es wurde argumentiert, dass die erste Definition einer Markov -Kette, in der sie diskrete Zeit hat, nun verwendet wird, obwohl die zweite Definition von Forschern wie verwendet wurde Joseph Doob und Kai Lai Chung.^[202]

Markov -Prozesse bilden eine wichtige Klasse von stochastischen Prozessen und haben in vielen Bereichen Anwendungen.^[40][203] Zum Beispiel sind sie die Grundlage für eine allgemeine stochastische Simulationsmethode, die als bekannt ist Markov -Kette Monte Carlo, die zur Simulation von zufälligen Objekten mit spezifischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen verwendet wird und die Anwendung in der Annahme gefunden hat Bayes'sche Statistik.^[204][205]

Das Konzept der Markov -Eigenschaft bestand ursprünglich für stochastische Prozesse in kontinuierlicher und diskreter Zeit, aber die Eigenschaft wurde für andere Indexsätze wie z. ${\ displayStyle n}$-Dimensionaler euklidischer Raum, was zu Sammlungen zufälliger Variablen führt, die als Markov -Zufallsfelder bekannt sind.^{[206][207][208]}

Martingale

Ein Martingale ist ein stochastischer Prozess mit diskreter Zeit oder kontinuierlicher Zeit mit der Eigenschaft, die in jedem Zeitpunkt angesichts des aktuellen Werts und alle vergangenen Werte des Prozesses die bedingte Erwartung jedes zukünftigen Wertes gleich dem aktuellen Wert ist. Wenn diese Eigenschaft für den nächsten Wert hält, gilt sie für alle zukünftigen Werte. Die genaue mathematische Definition eines Martingale erfordert zwei weitere Bedingungen, die mit dem mathematischen Konzept einer Filtration verbunden sind, die sich mit der Intuition der zunehmenden verfügbaren Informationen im Laufe der Zeit bezieht. Martingales werden normalerweise als realiert definiert,^{[209][210][156]} Sie können aber auch komplex sein^[211] oder noch allgemeiner.^[212]

Ein symmetrischer Zufalls Walk und ein Wiener -Prozess (ohne Drift) sind beide Beispiele für Martingales in diskreter und kontinuierlicher Zeit.^[209][210] Für ein Reihenfolge von unabhängig und identisch verteilt zufällige Variablen ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, \ dots}$ Mit dem Mittelwert Null bildet sich der stochastische Prozess aus den aufeinanderfolgenden Teilsummen ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {1}+x_ {2}, x_ {1}+x_ {2}+x_ {3}, \ dots}$ ist eine diskrete Martingale.^[213] In dieser Hinsicht verallgemeinern diskrete Martingales die Idee teilweise Summen unabhängiger Zufallsvariablen.^[214]

Martingales kann auch aus stochastischen Prozessen erstellt werden, indem einige geeignete Transformationen angewendet werden, was für den homogenen Poisson -Prozess (auf der realen Linie) der Fall ist, was zu einem Martingale namens The führt Vergütung des Poisson -Prozesses.^[210] Martingales kann auch aus anderen Martingales gebaut werden.^[213] Zum Beispiel gibt es Martingales, die auf dem Martingale The Wiener-Prozess basieren und die kontinuierliche Zeit-Martingales bilden.^[209][215]

Martingales formalisieren Sie die Idee eines fairen Spiels mathematisch,^[216] Und sie wurden ursprünglich entwickelt, um zu zeigen, dass es nicht möglich ist, ein faires Spiel zu gewinnen.^[217] Aber jetzt werden sie in vielen Wahrscheinlichkeitsbereichen verwendet, was einer der Hauptgründe für die Untersuchung ist.^{[156][217][218]} Viele Wahrscheinlichkeitsprobleme wurden gelöst, indem ein Martingale im Problem gefunden und studiert wurde.^[219] Martingales wird angesichts ihrer Momente konvergieren Martingale Convergence Theorems.^{[214][220][221]}

Martingales haben viele Anwendungen in Statistiken, aber es wurde festgestellt, dass seine Verwendung und Anwendung nicht so weit verbreitet sind wie im Bereich der Statistik, insbesondere im statistischen Inferenz.^[222] Sie haben Anwendungen in Bereichen in der Wahrscheinlichkeitstheorie wie der Warteschlangentheorie und Palmrechnung gefunden^[223] und andere Bereiche wie Ökonomie^[224] und Finanzen.^[18]

Lévy -Prozess

Lévy -Prozesse sind Arten von stochastischen Prozessen, die als Verallgemeinerungen zufälliger Spaziergänge in der kontinuierlichen Zeit betrachtet werden können.^[50][225] Diese Prozesse haben viele Anwendungen in Bereichen wie Finanzen, Flüssigkeitsmechanik, Physik und Biologie.^[226][227] Die wichtigsten definierenden Merkmale dieser Prozesse sind ihre Stationaritäts- und Unabhängigkeitseigenschaften, also wurden sie als bekannt als Prozesse mit stationären und unabhängigen Schritten. Mit anderen Worten ein stochastischer Prozess ${\ displayStyle x}$ ist ein Lévy -Prozess, wenn für ${\ displayStyle n}$ Nicht negative Zahlen, ${\ displayStyle 0 \ leq t_ {1} \ leq \ dots \ leq t_ {n}}$, die entsprechende ${\ displayStyle n-1}$ Schritte

$oder$

sind alle unabhängig voneinander, und die Verteilung jedes Inkrements hängt nur von der Zeitdifferenz ab.^[50]

Ein Lévy -Prozess kann so definiert werden, dass sein Zustandsraum ein abstrakter mathematischer Raum ist, wie z. Banach -RaumAber die Prozesse werden oft definiert, so dass sie Werte im euklidischen Raum einnehmen. Der Indexsatz sind die nicht negativen Zahlen, also ${\ displayStyle i = [0, \ inty)}}$, was die Interpretation der Zeit gibt. Wichtige stochastische Prozesse wie der Wiener -Prozess, der homogene Poisson -Prozess (in einer Dimension) und Subordinatoren sind alle Lévy -Prozesse.^[50][225]

Zufälliges Feld

Ein zufälliges Feld ist eine Sammlung von zufälligen Variablen, die durch a indiziert sind ${\ displayStyle n}$-Dimensionaler euklidischer Raum oder ein Verteiler. Im Allgemeinen kann ein zufälliges Feld als Beispiel für einen stochastischen oder zufälligen Prozess angesehen werden, bei dem der Indexsatz nicht unbedingt eine Teilmenge der realen Linie ist.^[31] Es gibt jedoch eine Konvention, dass eine indizierte Sammlung zufälliger Variablen als zufälliges Feld bezeichnet wird, wenn der Index zwei oder mehr Dimensionen hat.^[5][29][228] Wenn für die spezifische Definition eines stochastischen Prozesses der Indexsatz eine Teilmenge der realen Linie ist, kann das Zufallsfeld als Verallgemeinerung des stochastischen Prozesses angesehen werden.^[229]

Punktprozess

Ein Punktprozess ist eine Sammlung von Punkten, die sich zufällig auf einem mathematischen Raum wie der realen Linie befinden. ${\ displayStyle n}$-Dimensionaler euklidischer Raum oder abstraktere Räume. Manchmal der Begriff Punktprozess ist nicht bevorzugt, wie historisch das Wort Prozess bezeichnet eine Entwicklung eines Systems rechtzeitig, so dass ein Punktprozess auch als a bezeichnet wird Zufallspunktfeld.^[230] Es gibt verschiedene Interpretationen eines Punktprozesses, ein solches zufällige Zählmaß oder ein zufälliger Satz.^[231][232] Einige Autoren betrachten einen Punktprozess und einen stochastischen Prozess als zwei verschiedene Objekte, so dass ein Punktprozess ein zufälliges Objekt ist, das aus einem stochastischen Prozess entsteht oder mit einem stochastischen Prozess verbunden ist.^[233][234] Es wurde jedoch festgestellt, dass der Unterschied zwischen Punktprozessen und stochastischen Prozessen nicht klar ist.^[234]

Andere Autoren betrachten einen Punktprozess als einen stochastischen Prozess, bei dem der Prozess durch Sätze des zugrunde liegenden Raums indiziert wird^[d] auf dem es definiert ist, wie die reale Linie oder ${\ displayStyle n}$-Dimensionaler euklidischer Raum.^[237][238] Andere stochastische Prozesse wie Erneuerungs- und Zählprozesse werden in der Theorie der Punktprozesse untersucht.^[239][234]

Geschichte

Frühe Wahrscheinlichkeitstheorie

Die Wahrscheinlichkeitstheorie hat ihren Ursprung in Chance -Spielen, die eine lange Geschichte haben, wobei einige Spiele vor Tausenden von Jahren gespielt werden.^[240][241] In Bezug auf die Wahrscheinlichkeit wurde jedoch nur sehr wenig Analysen durchgeführt.^[240][242] Das Jahr 1654 wird häufig als die Geburt der Wahrscheinlichkeitstheorie angesehen, wenn französische Mathematiker französische Mathematiker Pierre Fermat und Blaise Pascal hatte eine schriftliche Korrespondenz über Wahrscheinlichkeit, motiviert durch a Glücksspielproblem.^{[240][243][244]} Aber es wurden frühere mathematische Arbeiten über die Wahrscheinlichkeit von Glücksspielspielen wie gearbeitet Liber de Ludo Aleae durch Gerolamo Cardano, geschrieben im 16. Jahrhundert, aber später im Jahr 1663 posthum veröffentlicht.^[240][245]

Nach Cardano, Jakob Bernoulli^[e] schrieb Ars Conjectandi, was als bedeutendes Ereignis in der Geschichte der Wahrscheinlichkeitstheorie angesehen wird.^[240] Bernoullis Buch wurde 1713 ebenfalls posthum veröffentlicht und inspirierte viele Mathematiker, Wahrscheinlichkeit zu untersuchen.^{[240][247][248]} Aber trotz einiger bekannter Mathematiker, die zur Wahrscheinlichkeitstheorie beitragen, wie z. Pierre-Simon Laplace, Abraham de Moivre, Carl Gauß, Siméon Poisson und Pafnuty Chebyshev,^[249][250] Der größte Teil der mathematischen Gemeinschaft^[f] betrachtete die Wahrscheinlichkeitstheorie erst im 20. Jahrhundert als Teil der Mathematik.^{[249][251][252][253]}

Statistische Mechanik

In den physischen Wissenschaften entwickelten Wissenschaftler im 19. Jahrhundert die Disziplin von Statistische Mechanik, wo physikalische Systeme wie mit Gasen gefüllte Behälter als mathematisch als Sammlungen vieler beweglicher Partikel betrachtet oder behandelt werden können. Obwohl es Versuche gab, Zufälligkeit in die statistische Physik einiger Wissenschaftler zu integrieren, wie z. Rudolf ClausiusDer größte Teil der Arbeit hatte wenig oder gar keine Zufälligkeit.^[254][255] Dies änderte sich im Jahr 1859, als James Clerk Maxwell trug signifikant zum Feld bei, insbesondere zur kinetischen Theorie von Gasen, indem er Arbeiten präsentierte, bei denen er annahm, dass sich die Gaspartikel in zufälligen Geschwindigkeiten in zufällige Richtungen bewegen.^[256][257] Die kinetische Theorie von Gasen und statistischer Physik wurde in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts weiterentwickelt, wobei die Arbeit hauptsächlich von Clausius durchgeführt wurde. Ludwig Boltzmann und Josiah Gibbs, was später Einfluss auf Albert Einstein's mathematisches Modell für Brownsche Bewegung.^[258]

Messen Sie Theorie und Wahrscheinlichkeitstheorie

Bei der Internationaler Kongress der Mathematiker in Paris in 1900, David Hilbert präsentierte eine Liste von Mathematische Probleme, wo sein sechstes Problem um eine mathematische Behandlung von Physik und Wahrscheinlichkeit bittet Axiome.^[250] Um den Beginn des 20. Jahrhunderts entwickelte die Mathematiker die Messungstheorie, einen Zweig der Mathematik, um Integrale mathematischer Funktionen zu untersuchen, in denen zwei der Gründer französische Mathematiker waren. Henri Lebesgue und Émile Borel. 1925 ein weiterer französischer Mathematiker Paul Lévy veröffentlichte das erste Wahrscheinlichkeitsbuch, das Ideen aus der Messentheorie verwendete.^[250]

In den 1920er Jahren wurden in der Sowjetunion grundlegende Beiträge zur Wahrscheinlichkeitstheorie von Mathematikern wie zum Beispiel geleistet Sergei Bernstein, Aleksandr Khinchin,^[g] und Andrei Kolmogorov.^[253] Kolmogorov veröffentlichte 1929 seinen ersten Versuch, eine mathematische Stiftung auf der Grundlage der Messentheorie für die Wahrscheinlichkeitstheorie vorzustellen.^[259] In den frühen 1930er Jahren haben Khinchin und Kolmogorov Wahrscheinlichkeitseminare eingerichtet, an denen Forscher wie z. Eugene Slutsky und Nikolai Smirnov,^[260] und Khinchin gab die erste mathematische Definition eines stochastischen Prozesses als Satz zufälliger Variablen, die von der realen Linie indiziert wurden.^[64][261][h]

Geburt der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie

1933 veröffentlichte Andrei Kolmogorov in Deutsch sein Buch über die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie mit dem Titel " Grundbeegriffe der WahrscheinlichKeitSradnung,^[ich] wo Kolmogorov die Messtheorie verwendete, um einen axiomatischen Rahmen für die Wahrscheinlichkeitstheorie zu entwickeln. Die Veröffentlichung dieses Buches gilt heute allgemein als die Geburt der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie, wenn die Theorien der Wahrscheinlichkeit und der stochastischen Prozesse Teile der Mathematik wurden.^[250][253]

Nach der Veröffentlichung von Kolmogorovs Buch wurden weitere grundlegende Arbeiten zu Wahrscheinlichkeitstheorie und stochastischen Prozessen von Khinchin und Kolmogorov sowie anderen Mathematikern wie durchgeführt, wie z. Joseph Doob, William Feller, Maurice Fréchet, Paul Lévy, Wolfgang Doeblin, und Harald Cramér.^[250][253] Jahrzehnte später bezeichnete Cramér die 1930er Jahre als "heldenhafte Zeit der mathematischen Wahrscheinlichkeitstheorie".^[253] Zweiter Weltkrieg stark unterbrochen die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie und verursachte beispielsweise die Migration von Feller von Schweden zum vereinigte Staaten von Amerika^[253] und der Tod von Doeblin, der heute als Pionier in stochastischen Prozessen angesehen wird.^[263]

Mathematiker Joseph Doob Wir haben frühzeitig über die Theorie stochastischer Prozesse gearbeitet und grundlegende Beiträge geleistet, insbesondere in der Theorie von Martingales.^[264][262] Sein Buch Stochastische Prozesse wird im Bereich der Wahrscheinlichkeitstheorie als sehr einflussreich angesehen.^[265]

Stochastische Prozesse nach dem Zweiten Weltkrieg II.

Nach dem Zweiten Weltkrieg erlangte die Untersuchung der Wahrscheinlichkeitstheorie und der stochastischen Prozesse von Mathematikern mehr Aufmerksamkeit, wobei erhebliche Beiträge in vielen Bereichen der Wahrscheinlichkeit und Mathematik sowie der Schaffung neuer Bereiche geleistet wurden.^[253][266] Ab den 1940er Jahren, Kiyosi itô veröffentlichte Papiere, die das Gebiet entwickeln Stochastischer Kalkül, was stochastisch beinhaltet Integrale und stochastisch Differentialgleichung basierend auf dem Wiener- oder Brownschen Bewegungsprozess.^[267]

Auch ab den 1940er Jahren wurden Verbindungen zwischen stochastischen Prozessen hergestellt, insbesondere Martingales und dem mathematischen Bereich von potenzielle Theorie, mit frühen Ideen von Shizuo Kakutani und dann später Arbeit von Joseph Doob.^[266] Weitere Arbeiten, die als Pionierarbeit gilt, wurden von erledigt Gilbert Hunt In den 1950er Jahren verband die Verbindungsmarkov -Prozesse und die potenzielle Theorie, die einen signifikanten Einfluss auf die Theorie der Lévy -Prozesse hatte und zu mehr Interesse an der Untersuchung von Markov -Prozessen mit von ITô entwickelten Methoden führte.^{[22][268][269]}

1953 veröffentlichte Doob sein Buch Stochastische Prozesse, der einen starken Einfluss auf die Theorie stochastischer Prozesse hatte und die Bedeutung der Messtheorie in der Wahrscheinlichkeit betonte.^{[266] [265]} Doob entwickelte auch hauptsächlich die Theorie von Martingales, mit späteren wesentlichen Beiträgen von Paul-André Meyer. Frühere Arbeiten wurden von durchgeführt Sergei Bernstein, Paul Lévy und Jean VilleLetzteres übernimmt den Begriff Martingale für den stochastischen Prozess.^[270][271] Methoden aus der Theorie von Martingales wurden populär zur Lösung verschiedener Wahrscheinlichkeitsprobleme. Techniken und Theorie wurden entwickelt, um Markov -Prozesse zu untersuchen, und dann auf Martingales angewendet. Umgekehrt wurden Methoden aus der Theorie von Martingales etabliert, um Markov -Prozesse zu behandeln.^[266]

Andere Wahrscheinlichkeitsfelder wurden entwickelt und verwendet, um stochastische Prozesse zu untersuchen, wobei ein Hauptansatz die Theorie großer Abweichungen war.^[266] Die Theorie enthält unter anderem viele Anwendungen in der statistischen Physik und die Kernideen, die mindestens in den 1930er Jahren zurückreichen. Später in den 1960er und 1970er Jahren wurden die grundlegenden Arbeiten von Alexander Wentzell in der Sowjetunion und geleistet Monroe D. Donsker und Srinivasa Varadhan in den Vereinigten Staaten von Amerika,^[272] Dies würde später dazu führen, dass Varadhan den Abel -Preis 2007 gewann.^[273] In den 1990er und 2000er Jahren die Theorien von Schramm -Loewner -Evolution^[274] und raue Wege^[143] wurden eingeführt und entwickelt, um stochastische Prozesse und andere mathematische Objekte in der Wahrscheinlichkeitstheorie zu untersuchen, die jeweils dazu führten Feldermedaillen vergeben werden an Wendelin Werner^[275] im Jahr 2008 und zu Martin Hairer im Jahr 2014.^[276]

Die Theorie stochastischer Prozesse steht weiterhin ein Schwerpunkt der Forschung mit jährlichen internationalen Konferenzen zum Thema stochastische Prozesse.^[46][226]

Entdeckungen spezifischer stochastischer Prozesse

Obwohl Khinchin in den 1930er Jahren mathematische Definitionen stochastischer Prozesse gab,^[64][261] Spezifische stochastische Prozesse wurden bereits in verschiedenen Umgebungen wie dem Brownschen Bewegungsprozess und dem Poisson -Prozess entdeckt.^[22][25] Einige Familien stochastischer Prozesse wie Punktprozesse oder Erneuerungsprozesse weisen eine lange und komplexe Vorgeschichte auf und erstrecken sich um Jahrhunderte hinweg.^[277]

Bernoulli -Prozess

Der Bernoulli -Prozess, der als mathematisches Modell für das Umdrehen einer voreingenommenen Münze dienen kann, ist möglicherweise der erste stochastische Prozess, der untersucht wurde.^[82] Der Prozess ist eine Folge unabhängiger Bernoulli -Versuche,^[83] die nach benannt nach Jackob Bernoulli Wer benutzte sie, um Zufallsspiele zu untersuchen, einschließlich der zuvor von Christiaan Huygens vorgeschlagenen und studierten Wahrscheinlichkeitsprobleme.^[278] Bernoullis Arbeit, einschließlich des Bernoulli -Prozesses, wurde in seinem Buch veröffentlicht Ars Conjectandi 1713.^[279]

Zufällige Spaziergänge

Im Jahr 1905 Karl Pearson prägte den Begriff zielloser Spaziergang Während eines Problems, das einen zufälligen Spaziergang im Flugzeug beschreibt, der durch eine Anwendung in Biologie motiviert war, wurden jedoch bereits in anderen Bereichen Probleme untersucht. Bestimmte Glücksspielprobleme, die Jahrhunderte früher untersucht wurden, können als Probleme mit zufälligen Spaziergängen angesehen werden.^[90][279] Zum Beispiel das Problem, das als das bekannt ist Spieler des Spielers basiert auf einem einfachen Zufallsspaziergang,^[196][280] und ist ein Beispiel für einen zufälligen Spaziergang mit absorbierenden Barrieren.^[243][281] Pascal, Fermat und Huyens gaben dieses Problem alle numerische Lösungen, ohne ihre Methoden zu detaillieren.^[282] und dann detailliertere Lösungen wurden von Jakob Bernoulli und präsentiert Abraham de Moivre.^[283]

Für zufällige Spaziergänge in ${\ displayStyle n}$-Dimensionale Ganzzahl Gitter, George Pólya Veröffentlicht in den Jahren 1919 und 1921 Arbeiten, bei denen er die Wahrscheinlichkeit eines symmetrischen Zufallswanders untersuchte, der in eine frühere Position im Gitter zurückkehrte. Pólya zeigte, dass ein symmetrischer Zufalls Walk, der die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, in eine beliebige Richtung im Gitter voranzukommen, zu einer vorherigen Position im Gitter zurückkehren wird, wobei die Wahrscheinlichkeit eins in ein und zwei Dimensionen, jedoch mit Wahrscheinlichkeit Null in unendlichem Male in der Wahrscheinlichkeit zurückkehrt Drei oder höher Dimensionen.^[284][285]

Wiener -Prozess

Das Wiener -Prozess oder Brownaner Bewegungsprozess hat seinen Ursprung in verschiedenen Bereichen, einschließlich Statistiken, Finanzen und Physik.^[22] Im Jahr 1880, Thorvald Thiele schrieb ein Papier über die Methode der kleinsten Quadrate, in der er den Prozess verwendete, um die Fehler eines Modells in der Zeitreihenanalyse zu untersuchen.^{[286][287][288]} Die Arbeit wird nun als frühzeitige Entdeckung der statistischen Methode als bekannt als bekannt angesehen Kalman -Filterung, aber die Arbeit wurde weitgehend übersehen. Es wird angenommen, dass die Ideen in Thieles Papier zu fortgeschritten waren, um von der breiteren mathematischen und statistischen Gemeinschaft zu dieser Zeit verstanden worden zu sein.^[288]

Norbert Wiener gab den ersten mathematischen Beweis für die Existenz des Wiener -Prozesses. Dieses mathematische Objekt war zuvor in der Arbeit von erschienen Thorvald Thiele, Louis Bachelier, und Albert Einstein.^[22]

Der französische Mathematiker Louis Bachelier verwendete in seiner These von 1900 einen Wiener -Prozess^[289][290] Um Preisänderungen auf der zu modellieren Pariser Börse, a Börse,^[291] ohne die Arbeit von Thiele zu kennen.^[22] Es wurde spekuliert, dass Bachelier Ideen aus dem Zufallswandermodell von zeichnete Jules Regnault, aber Bachelier zitierte ihn nicht,^[292] und Bachelier -These gilt heute im Bereich der finanziellen Mathematik als Pionierarbeit.^[291][292]

Es wird allgemein angenommen, dass Bacheliers Arbeit wenig Aufmerksamkeit erlangte und jahrzehntelang vergessen wurde, bis sie in den 1950er Jahren von der wiederentdeckt wurde Leonard Savageund dann populärer werden, nachdem Bacheliers These 1964 ins Englische übersetzt wurde. Aber das Werk wurde in der mathematischen Gemeinschaft nie vergessen, als Bachelier 1912 ein Buch veröffentlichte, in dem er seine Ideen beschrieben hatte.^[292] die von Mathematikern wie Doob, Feller zitiert wurde^[292] und Kolmogorov.^[22] Das Buch wurde weiterhin zitiert, aber begann dann in den 1960er Jahren die ursprüngliche These von Bachelier mehr als sein Buch, als Ökonomen anfingen, Bacheliers Arbeiten zu zitieren.^[292]

Im Jahr 1905 Albert Einstein veröffentlichte ein Papier, in dem er die physikalische Beobachtung der Brownschen Bewegung oder Bewegung untersuchte, um die scheinbar zufälligen Bewegungen von Partikeln in Flüssigkeiten zu erklären, indem er Ideen aus dem verwendet hat kinetische Gasentheorie. Einstein abgeleitet a Differentialgleichung, bekannt als a Diffusionsgleichungzur Beschreibung der Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen in einem bestimmten Raumbereich zu finden. Kurz nach Einsteins erstem Papier über die Brownsche Bewegung, Marian Smoluchowski veröffentlichte Arbeiten, in denen er Einstein zitierte, schrieb jedoch, dass er die äquivalenten Ergebnisse mithilfe einer anderen Methode unabhängig abgeleitet habe.^[293]

Einsteins Arbeit sowie experimentelle Ergebnisse durch erzielte durch Jean Perrinspäter inspirierte Norbert Wiener in den 1920er Jahren^[294] Um eine Art von Messentheorie zu verwenden, entwickelt von durch Percy Daniellund Fourier -Analyse, um die Existenz des Wiener -Prozesses als mathematisches Objekt zu beweisen.^[22]

Poisson -Prozess

Der Poisson -Prozess ist nach benannt Siméon Poisson, aufgrund seiner Definition mit der Poisson-VerteilungAber Poisson hat den Prozess nie untersucht.^[23][295] Es gibt eine Reihe von Ansprüchen für frühzeitige Verwendung oder Entdeckungen des Poisson -Prozesses.^[23][25] Zu Beginn des 20. Jahrhunderts würde sich der Poisson -Prozess in verschiedenen Situationen unabhängig ergeben.^[23][25] In Schweden 1903, Filip Lundberg veröffentlicht a These Arbeiten enthalten, die jetzt als grundlegend und wegweisend angesehen werden, wo er vorschlug, Versicherungsansprüche mit einem homogenen Poisson -Prozess zu modellieren.^[296][297]

Eine weitere Entdeckung trat in auf Dänemark 1909 wann A.k. Erlang Abgeleitet die Poisson -Verteilung bei der Entwicklung eines mathematischen Modells für die Anzahl eingehender Telefonanrufe in einem endlichen Zeitintervall. Erlang war zu der Zeit nicht bewusst, dass Poissons frühere Arbeiten angenommen wurden, und ging davon aus, dass die in jedem Zeitraum eintroffenen Telefonanrufe für einander unabhängig waren. Anschließend fand er den begrenzenden Fall, der die Poisson -Verteilung effektiv als Grenze der Binomialverteilung neu aufbaut.^[23]

Im Jahr 1910 Ernest Rutherford und Hans Geiger Veröffentlichte experimentelle Ergebnisse zum Zählen von Alpha -Partikeln. Motiviert durch ihre Arbeit, Harry Bateman studierte das Zählproblem und leitete Poisson -Wahrscheinlichkeiten als Lösung für eine Familie von Differentialgleichungen ab, was zur unabhängigen Entdeckung des Poisson -Prozesses führte.^[23] Nach dieser Zeit gab es viele Studien und Anwendungen des Poisson -Prozesses, aber seine frühe Geschichte wird kompliziert, was durch die verschiedenen Anwendungen des Prozesses in zahlreichen Bereichen von Biologen, Ökologen, Ingenieuren und verschiedenen Physikalistinnen erklärt wurde.^[23]

Markov Prozesse

Markov -Prozesse und Markov -Ketten werden nach benannt Andrey Markov der Anfang des 20. Jahrhunderts Markov -Ketten studierte.^[298] Markov war daran interessiert, eine Erweiterung unabhängiger zufälliger Sequenzen zu untersuchen.^[298] In seinem ersten Papier über Markov -Ketten, das 1906 veröffentlicht wurde, zeigte Markov, dass unter bestimmten Bedingungen die durchschnittlichen Ergebnisse der Markov -Kette zu einem festen Wertvektor konvergieren würden, sodass ein Beweis für a Schwaches Gesetz großer Anzahl Ohne die Unabhängigkeitsannahme,^{[299] [300][301][302]} die allgemein als Voraussetzung für solche mathematischen Gesetze angesehen worden war.^[302] Markov verwendete später Markov -Ketten, um die Verteilung von Vokalen in zu untersuchen Eugene OneGin, geschrieben von Alexander Pushkin, und bewies a Zentralgrenze Theorem für solche Ketten.^[299][300]

1912 studierte Poincaré Markov -Ketten an Finite -Gruppen Mit dem Ziel, Kartenschlurfen zu studieren. Andere frühe Verwendungen von Markov -Ketten umfassen ein Diffusionsmodell, das von eingeführt wurde durch Paul und Tatyana Ehrenfest im Jahr 1907 und ein Verzweigungsprozess, eingeführt von durch Francis Galton und Henry William Watson 1873 vor der Arbeit von Markov.^[300][301] Nach der Arbeit von Galton und Watson wurde später festgestellt, dass ihr Verzweigungsverfahren etwa drei Jahrzehnte zuvor unabhängig entdeckt und studiert wurde Irénée-Jules Bienaymé.^[303] Ab 1928, Maurice Fréchet Interessierte sich für Markov -Ketten und führte schließlich dazu, dass er 1938 eine detaillierte Studie über Markov -Ketten veröffentlichte.^[300][304]

Andrei Kolmogorov entwickelt in einem Papier von 1931 ein großer Teil der frühen Theorie der markov-Prozesse kontinuierlicher Zeit.^[253][259] Kolmogorov wurde teilweise von Louis Bacheliers 1900 Arbeiten über Schwankungen an der Börse sowie von 1900 als auch von Börsenmärkten inspiriert Norbert WienerArbeiten zu Einsteins Modell der Brownschen Bewegung.^[259][305] Er führte und untersuchte einen bestimmten Satz von Markov -Prozessen, die als Diffusionsprozesse bekannt sind, bei denen er eine Reihe von Differentialgleichungen abgeleitet hat, die die Prozesse beschreiben.^[259][306] Unabhängig von Kolmogorovs Arbeit, Sydney Chapman abgeleitet in einem Papier von 1928 eine Gleichung, die jetzt die genannt wird Chapman -Kolmogorov -Gleichung, auf weniger mathematisch streng als Kolmogorov, während er Brownsche Bewegung studierte.^[307] Die Differentialgleichungen werden jetzt Kolmogorov -Gleichungen bezeichnet^[308] oder die Kolmogorov -Chapman -Gleichungen.^[309] Andere Mathematiker, die maßgeblich zu den Grundlagen von Markov -Prozessen beigetragen haben, sind William Feller ab den 1930er Jahren und später in den 1950er Jahren Eugene Dynkin.^[253]

Lévy -Prozesse

Lévy -Prozesse wie der Wiener -Prozess und der Poisson -Prozess (auf der realen Linie) sind nach Paul Lévy benannt, der in den 1930er Jahren begann, sie zu studieren.^[226] aber sie haben Verbindungen zu unendlich teilbare Verteilungen Zurück in die 1920er Jahre.^[225] In einem 1932er Papier leitete Kolmogorov a charakteristische Funktion für zufällige Variablen, die mit Lévy -Prozessen verbunden sind. Dieses Ergebnis wurde später 1934 unter allgemeinen Bedingungen von Lévy abgeleitet, und dann gab Khinchin 1937 eine alternative Form für diese charakteristische Funktion.^[253][310] Zusätzlich zu Lévy, Khinchin und Kolomogrov wurden frühe grundlegende Beiträge zur Theorie der Lévy -Prozesse von gemacht Bruno de Finetti und Kiyosi itô.^[225]

Mathematische Konstruktion

In der Mathematik sind Konstruktionen mathematischer Objekte erforderlich, was auch bei stochastischen Prozessen der Fall ist, um zu beweisen, dass sie mathematisch existieren.^[58] Es gibt zwei Hauptansätze zum Konstruktion eines stochastischen Prozesses. Ein Ansatz besteht darin, einen messbaren Funktionsraum zu berücksichtigen, eine geeignete messbare Kartierung von einem Wahrscheinlichkeitsraum zu diesem messbaren Funktionsraum zu definieren und dann die entsprechenden endlichdimensionalen Verteilungen abzuleiten.^[311]

Ein anderer Ansatz besteht darin, eine Sammlung von Zufallsvariablen zu definieren, die spezifische endlichdimensionale Verteilungen aufweisen und dann verwenden Kolmogorovs Existenzsatz^[j] Um einen entsprechenden stochastischen Prozess zu beweisen.^[58][311] Dieser Theorem, der ein Existenzsatz für Maßnahmen für unendliche Produkträume ist,^[315] sagt, dass, wenn irgendwelche endlichdimensionalen Verteilungen zwei Bedingungen erfüllen, die als als bekannt sind KonsistenzbedingungenDann gibt es einen stochastischen Prozess mit diesen endlich-dimensionalen Verteilungen.^[58]

Bauprobleme

Bei der Erstellung von stochastischen Prozessen kontinuierlicher Zeit entstehen bestimmte mathematische Schwierigkeiten aufgrund der unzähligen Indexsätze, die bei diskreten Zeitprozessen nicht auftreten.^[59][60] Ein Problem ist, dass es möglich ist, mehr als einen stochastischen Prozess mit den gleichen endlichdimensionalen Verteilungen zu haben. Beispielsweise haben sowohl die linkskontinuierliche Modifikation als auch die rechtskontinuierliche Modifikation eines Poisson-Prozesses die gleichen endlichdimensionalen Verteilungen.^[316] Dies bedeutet, dass die Verteilung des stochastischen Prozesses nicht unbedingt die Eigenschaften der Probenfunktionen des stochastischen Prozesses eindeutig angibt.^[311][317]

Ein weiteres Problem ist, dass Funktionen des kontinuierlichen Zeitprozesses, die auf einer unzähligen Anzahl von Punkten des Indexsatzes beruhen, möglicherweise nicht messbar sind, sodass die Wahrscheinlichkeit bestimmter Ereignisse möglicherweise nicht genau definiert sind.^[169] Zum Beispiel ist das Supremum eines stochastischen Prozesses oder zufälliges Feld nicht unbedingt eine gut definierte Zufallsvariable.^[31][60] Für einen stochastischen Prozess kontinuierlicher Zeit ${\ displayStyle x}$, andere Merkmale, die von einer unzähligen Anzahl von Punkten des Indexsatzes abhängen ${\ displayStyle t}$ enthalten:^[169]

• eine Probenfunktion eines stochastischen Prozesses ${\ displayStyle x}$ ist ein kontinuierliche Funktion von ${\ displayStyle t \ in t}$;
• eine Probenfunktion eines stochastischen Prozesses ${\ displayStyle x}$ ist ein begrenzte Funktion von ${\ displayStyle t \ in t}$; und
• eine Probenfunktion eines stochastischen Prozesses ${\ displayStyle x}$ ist ein zunehmende Funktion von ${\ displayStyle t \ in t}$.

Um diese beiden Schwierigkeiten zu überwinden, sind unterschiedliche Annahmen und Ansätze möglich.^[70]

Auflösung von Bauproblemen

Ein Ansatz zur Vermeidung mathematischer Konstruktionsprobleme stochastischer Prozesse, vorgeschlagen von Joseph DoobEs wird angenommen, dass der stochastische Prozess trennbar ist.^[318] Die Trennbarkeit stellt sicher, dass unendlich-dimensionale Verteilungen die Eigenschaften von Stichprobenfunktionen bestimmen, indem er verlangt, dass die Stichprobenfunktionen im Wesentlichen durch ihre Werte auf einem dichten zählbaren Satz von Punkten im Indexsatz bestimmt werden.^[319] Wenn ein stochastischer Prozess trennbar ist, sind die Funktionen einer unzähligen Anzahl von Punkten des Indexsatzes messbar und ihre Wahrscheinlichkeiten können untersucht werden.^[169][319]

Ein anderer Ansatz ist möglich, ursprünglich entwickelt von von Anatoliy Skorokhod und Andrei Kolmogorov,^[320] für einen stochastischen Prozess mit kontinuierlicher Zeit mit jedem metrischen Raum als Zustandsraum. Für die Konstruktion eines solchen stochastischen Prozesses wird angenommen, dass die Probenfunktionen des stochastischen Prozesses zu einem geeigneten Funktionsraum gehört, der normalerweise der Skorokhod-Raum ist, der aus allen rechtskontinuierlichen Funktionen mit linken Grenzen besteht. Dieser Ansatz wird jetzt eher verwendet als die Trennbarkeitsannahme.^[70][264] Ein solcher stochastischer Prozess, der auf diesem Ansatz basiert, wird jedoch automatisch trennbar.^[321]

Obwohl weniger verwendet, wird die Trennbarkeitsannahme als allgemein angesehen, da jeder stochastische Prozess eine trennbare Version hat.^[264] Es wird auch verwendet, wenn es nicht möglich ist, einen stochastischen Prozess in einem Skorokhod -Raum zu konstruieren.^[174] Beispielsweise wird bei der Erstellung und Untersuchung von zufälligen Feldern angenommen, wobei die Sammlung von Zufallsvariablen jetzt durch andere Sätze als die reale Linie wie z. ${\ displayStyle n}$-Dimensionaler euklidischer Raum.^[31][322]

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise