Stufenfunktion

In Mathematik, a Funktion auf der reale Nummern wird als a genannt Stufenfunktion (oder Treppenfunktion) Wenn es als geschrieben werden kann endlich lineare Kombination von Indikatorfunktionen von Intervalle. Informell gesehen ist eine Schrittfunktion a stückweise Konstante Funktion nur endlich viele Stücke haben.

Beispiel für eine Schrittfunktion (die rote Grafik). Diese bestimmte Schrittfunktion ist rechtskontinuierlich.

Definition und erste Konsequenzen

Eine Funktion ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {r} \ rightarrow \ mathbb {r}}$ wird als a genannt Stufenfunktion Wenn es geschrieben werden kann als

{\ displayStyle f (x) = \ sum \ limits _ {i = 0}^{n} \ alpha _ {i} \ chi _ {a_ {i}} (x)}

für alle realen Zahlen

{\ displayStyle x}

wo ${\ displayStyle N \ Geq 0}$ , ${\ displaystyle \ alpha _ {i}}$ sind echte Zahlen, ${\ displayStyle a_ {i}}$ sind Intervalle und ${\ displaystyle \ chi _ {a}}$ ist der Indikatorfunktion von ${\ displayStyle a}$ :

oder Fälle}}}

In dieser Definition die Intervalle ${\ displayStyle a_ {i}}$ kann angenommen werden, dass sie die folgenden zwei Eigenschaften haben:

Die Intervalle sind paarweise disjunkt: ${\ displayStyle a_ {i} \ cap a_ {j} = \ leereSet}$ zum ${\ displayStyle i \ neq j}$
Das Union der Intervalle ist die gesamte reale Linie: ${\ displaystyle \ bigcup _ {i = 0}^{n} a_ {i} = \ mathbb {r}.}$

Wenn dies nicht zu Beginn der Fall ist, kann ein anderer Satz von Intervallen ausgewählt werden, für die diese Annahmen ausfallen. Zum Beispiel die Schrittfunktion

{\ displayStyle f = 4 \ chi _ {[-5,1)}+3 \ chi _ {(0,6)}}

kann geschrieben werden als

oder [1,6)}+0 \ chi _ {[6, \ Inty)}.}

Variationen in der Definition

Manchmal müssen die Intervalle rechts geöffnet sein^[1] oder erlaubt Singleton sein.^[2] Die Bedingung, dass die Sammlung von Intervallen endlich sein muss, wird häufig fallen gelassen, insbesondere in der Schulmathematik.^[3]^[4]^[5] obwohl es immer noch sein muss lokal endlich, was zur Definition von stückweise ständigen Funktionen führt.

Beispiele

Das Heaviside -Schrittfunktion ist eine häufig verwendete Schrittfunktion.

A Konstante Funktion ist ein triviales Beispiel für eine Schrittfunktion. Dann gibt es nur ein Intervall, ${\ displayStyle a_ {0} = \ mathbb {r}.}$
Das Zeichenfunktion $SGN (x)$ , was –1 für negative Zahlen und +1 für positive Zahlen ist und die einfachste nicht konstante Schrittfunktion ist.
Das Schwere Funktion $H (x)$ , was 0 für negative Zahlen und 1 für positive Zahlen ist, entspricht der Vorzeichenfunktion bis zu einer Verschiebung und einem Maßstab des Bereichs (Reichweite ( ${\ displayStyle h = (\ operatorname {sgn} +1)/2}$ ). Es ist das mathematische Konzept hinter einem Test Signale, wie diejenigen, die verwendet werden, um die zu bestimmen Schrittantwort von a Dynamisches System.

Das rechteckige Funktion, die nächste einfachste Schrittfunktion.

Das rechteckige Funktion, die normalisierten Boxcar -Funktion, wird verwendet, um einen Einheitsimpuls zu modellieren.

Nicht-Aufnahmen

Das ganzzahliger Teil Funktion ist keine Schrittfunktion gemäß der Definition dieses Artikels, da sie unendlich viele Intervalle aufweist. Einige Autoren jedoch^[6] Definieren Sie auch Schrittfunktionen mit einer unendlichen Anzahl von Intervallen.^[6]

Eigenschaften

Die Summe und das Produkt von zwei Stufenfunktionen sind wieder eine Schrittfunktion. Das Produkt einer Schrittfunktion mit einer Zahl ist auch eine Schrittfunktion. Als solche bilden die Schrittfunktionen eine Algebra über die realen Zahlen.
Eine Schrittfunktion nimmt nur eine begrenzte Anzahl von Werten an. Wenn die Intervalle ${\ displayStyle a_ {i},},}$ zum ${\ displayStyle i = 0,1, \ dots, n}$ In der obigen Definition der Schrittfunktion sind disjunkt und ihre Vereinigung ist dann die wirkliche Linie ${\ displayStyle f (x) = \ alpha _ {i}}$ für alle ${\ displaystyle x \ in a_ {i}.}$
Das definitiv integral einer Schrittfunktion ist a stückweise lineare Funktion.
Das Lebesgue Integral einer Schrittfunktion $oder$ ist $oder$ wo ${\ displayStyle \ ell (a)}$ ist die Länge des Intervalls ${\ displayStyle a}$ und es wird hier angenommen, dass alle Intervalle ${\ displayStyle a_ {i}}$ endliche Länge haben. Tatsächlich kann diese Gleichheit (als Definition angesehen) der erste Schritt bei der Erstellung des Lebesgue -Integrals sein.^[7]
A diskrete Zufallsvariable wird manchmal als ein definiert zufällige Variable Deren Verteilungsfunktion ist stückweise konstant.^[8] In diesem Fall ist es lokal eine Schrittfunktion (weltweit kann es eine unendliche Anzahl von Schritten haben). Normalerweise wird jede zufällige Variable mit nur zählich vielen möglichen Werten als diskrete zufällige Variable bezeichnet, in diesem Fall ist ihre kumulative Verteilungsfunktion nicht unbedingt lokal eine Schrittfunktion, da sich unendlich viele Intervalle in einer endlichen Region ansammeln können.

Siehe auch

Verweise

^ "Stufenfunktion".
^ "Schrittfunktionen - Mathonline".
^ "Mathword: Schrittfunktion".
^ https://study.com/academy/lesson/step-function-definition-equation-examples.html
^ "Stufenfunktion".
^ ^a ^b Bachman, Narici, Beckenstein (5. April 2002). "Beispiel 7.2.2". Fourier- und Wavelet -Analyse. Springer, New York, 2000. ISBN 0-387-98899-8.{{}}: Cs1 montiert: Mehrfachnamen: Autorenliste (Link)
^ Weir, Alan J (10. Mai 1973). "3". Integration und Messung von Lebesgue. Cambridge University Press, 1973. ISBN 0-521-09751-7.
^ Bertsekas, Dimitri P. (2002). Einführung in die Wahrscheinlichkeit. Tsitsiklis, John N., Τσιτσικλής, γιάννης ν. Belmont, Mass.: Athena Scientific. ISBN 188652940X. OCLC 51441829.

[1] "Stufenfunktion".

[2] "Schrittfunktionen - Mathonline".

[3] "Mathword: Schrittfunktion".

[4] ttps://study.com/academy/lesson/step-function-definition-equation-examples.html

[5] "Stufenfunktion".

[bachman_narici_beckenstein-6] Bachman, Narici, Beckenstein (5. April 2002). "Beispiel 7.2.2". Fourier- und Wavelet -Analyse. Springer, New York, 2000. ISBN 0-387-98899-8.{{}}: Cs1 montiert: Mehrfachnamen: Autorenliste (Link)

[7] Weir, Alan J (10. Mai 1973). "3". Integration und Messung von Lebesgue. Cambridge University Press, 1973. ISBN 0-521-09751-7.

[:0-8] Bertsekas, Dimitri P. (2002). Einführung in die Wahrscheinlichkeit. Tsitsiklis, John N., Τσιτσικλής, γιάννης ν. Belmont, Mass.: Athena Scientific. ISBN 188652940X. OCLC 51441829.

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