Quadratwurzel

Notation für die (Haupt-) Quadratwurzel von x.
Zum Beispiel, 25 = 5, seit 25 = 5offe, oder 52 (5 Quadrat).

Im Mathematik, a Quadratwurzel einer Zahl x ist eine Nummer y so dass y2 = x; Mit anderen Worten, eine Nummer y Deren Quadrat (das Ergebnis der Multiplizierung der Zahl selbst oder yy) ist x.[1] Zum Beispiel sind 4 und –4 quadratische Wurzeln von 16, weil 42 = (–4)2 = 16.

Jeder nicht negativ reelle Zahl x hat eine einzigartige nichtnegative Quadratwurzel, die als die genannt Hauptquadratwurzel, was bezeichnet wird durch wo das Symbol wird genannt Wurzelzeichen[2] oder Radix. Um beispielsweise die Tatsache auszudrücken, dass die Hauptquadratwurzel von 9 3 ist, schreiben wir . Der Begriff (oder Nummer), dessen Quadratwurzel betrachtet wird, wird als die bezeichnet Radikand. Der Radikand ist die Zahl oder Ausdruck unter dem radikalen Zeichen, in diesem Fall 9. für nichtnegative xDie Hauptquadratwurzel kann auch geschrieben werden in Exponent Notation, wie x1/2.

Jeder positive Zahl x Hat zwei Quadratwurzeln: Welches ist positiv und Welches ist negativ. Die beiden Wurzeln können genauer mit dem geschrieben werden ± Zeichen wie . Obwohl die Hauptquadratwurzel einer positiven Zahl nur eine der beiden Quadratwurzeln ist, ist die Bezeichnung die Bezeichnung "das Quadratwurzel "wird häufig verwendet, um sich auf die Hauptquadratwurzel zu beziehen.[3][4]

Quadratwurzeln negativer Zahlen können innerhalb des Rahmens von diskutiert werden komplexe Zahlen. Allgemeiner können quadratische Wurzeln in jedem Kontext berücksichtigt werden, in dem ein Begriff der ""Quadrat"eines mathematischen Objekts ist definiert. Dazu gehören Funktionsräume und Quadratmatrizen, unter anderem Mathematische Strukturen.

Geschichte

Das Yale babylonische Sammlung YBC 7289 Das Ton -Tablet wurde zwischen 1800 v. Chr. Und 1600 v. Chr. Erstellt und zeigte sich und jeweils 1; 24,51,10 bzw. 0; 42,25,35 Basis 60 Zahlen auf einem Quadrat, das von zwei Diagonalen gekreuzt wurde.[5] (1; 24,51,10) Basis 60 entspricht 1,41421296, was einem korrekten Wert für 5 Dezimalpunkte (1,41421356 ...) ist.

Das Rhind Mathematical Papyrus ist eine Kopie von 1650 v. Chr. Von einem früheren Berlin Papyrus und andere Texte - möglicherweise die Kahun Papyrus- Das zeigt, wie die Ägypter quadratische Wurzeln nach einer inversen Verhältnismethode extrahierten.[6]

Im Altes IndienDas Wissen über theoretische und angewandte Aspekte der quadratischen und quadratischen Wurzel war mindestens so alt wie die Sulba Sutras, datiert um 800–500 v. Chr. (Möglicherweise viel früher). Eine Methode, um sehr gute Annäherungen an die Quadratwurzeln von 2 und 3 zu finden, sind in der angegeben Baudhayana Sulba Sutra.[7] Aryabhata, in dem Aryabhatiya (Abschnitt 2.4) hat eine Methode zum Auffinden der Quadratwurzel von Zahlen mit vielen Ziffern gegeben.

Es war den alten Griechen, die quadratische Wurzeln von positive ganze Zahlen das sind nicht Perfekte Quadrate sind immer irrationale Zahlen: Zahlen nicht ausdrucksfähig wie a Verhältnis von zwei Ganzzahlen (das heißt, sie können nicht genau so geschrieben werden wie m/n, wo m und n sind ganze Zahlen). Dies ist der Satz Euklid x, 9mit ziemlicher Sicherheit aufgrund Theaetetus stammen aus ca. 380 v. Chr.[8] Der spezielle Fall der Quadratwurzel von 2 wird bisher früher angenommen Pythagoräer, und wird traditionell zugeschrieben Hippasus. Es ist genau die Länge der Diagonale von a Quadrat mit Seitenlänge 1.

In der chinesischen mathematischen Arbeit Schriften über die Abrechnung, geschrieben zwischen 202 v. Chr. Und 186 v. Chr. In den frühen Han-Dynastie, Die Quadratwurzel wird durch Verwendung einer "Überschüsse- und Mangel" -Methode angenähert, die sagt, "... den Überschuss und den Mangel als Divisor zu kombinieren; (nehmen) den Mangel -Zähler multipliziert mit dem überschüssigen Nenner und dem überschüssigen Zähler mit dem Mangel Nenner, kombinieren Sie sie als Dividende. "[9]

Ein Symbol für quadratische Wurzeln, geschrieben als aufwändiger R, wurde von erfunden Regiomontanus (1436–1476). Ein R wurde auch für Radix verwendet, um quadratische Wurzeln in anzuzeigen Gerolamo Cardano's Ars Magna.[10]

Nach Angaben des Historikers der Mathematik D.E. Schmied, Aryabhatas Methode, um die Quadratwurzel zu finden, wurde erstmals in Europa von eingeführt Cataneo- In 1546.

Nach Jeffrey A. Oaks verwendeten die Araber den Brief Jīm/ĝīm (ج), der erste Buchstabe des Wortes "جذر"(unterschiedlich transliteriert als Jaḏr, jiḏr, ǧaḏr oder ǧiḏr, "Wurzel"), platziert in seiner anfänglichen Form () über eine Zahl, um seine quadratische Wurzel anzuzeigen. Der Buchstabe Jīm ähnelt der gegenwärtigen Quadratwurzelform. Seine Verwendung geht bis zum Ende des 12. Jahrhunderts in den Werken des marokkanischen Mathematikers an Ibn Al-Yasamin.[11]

Das Symbol "√" für die Quadratwurzel wurde erstmals 1525 in gedruckter Form verwendet, in Christoph Rudolff's Coss.[12]

Eigenschaften und Verwendungen

Die Grafik der Funktion f(x) = √x, bestehend aus einer Hälfte Parabel mit einer vertikalen Directrix

Die Hauptquadratwurzelfunktion (normalerweise nur als "Quadratwurzelfunktion" bezeichnet) ist a Funktion das ordnet das zu einstellen von nichtnegativen reellen Zahlen auf sich selbst. Im geometrisch Begriffe ordnen die Quadratwurzelfunktion die ab Bereich von einem Quadrat zu seiner Seitenlänge.

Die Quadratwurzel von x ist rational, wenn und nur wenn x ist ein Rationale Zahl Das kann als Verhältnis von zwei perfekten Quadraten dargestellt werden. (Sehen Quadratwurzel von 2 Für Beweise, dass dies eine irrationale Zahl ist, und quadratische irrationale Für einen Beweis für alle nicht quadratischen natürlichen Zahlen.) Die Quadratwurzelfunktion ordnet rationale Zahlen auf Algebraische Zahlen, Letzteres ist a Superset der rationalen Zahlen).

Für alle realen Zahlen xAnwesend

(sehen absoluter Wert)

Für alle nicht negativen reellen Zahlen x und yAnwesend

und

Die Quadratwurzelfunktion ist kontinuierlich für alle nicht negativ x, und differenzierbar für alle positiv x. Wenn f bezeichnet die Quadratwurzelfunktion, deren Derivat gegeben wird durch:

Das Taylor -Serie von um x = 0 konvergiert für |x| ≤ 1 und ist gegeben durch

Die Quadratwurzel einer nichtnegativen Zahl wird in der Definition von verwendet Euklidische Norm (und Distanz) sowie in Verallgemeinerungen wie z. Hilbert Räume. Es definiert ein wichtiges Konzept von Standardabweichung benutzt in Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistiken. Es hat einen großen Einsatz in der Formel für Wurzeln von a quadratische Gleichung; Quadratische Felder und Ringe von Quadratische Ganzzahlen, die auf quadratischen Wurzeln basieren, sind in der Algebra wichtig und haben Verwendungen in der Geometrie. Quadratwurzeln erscheinen häufig in mathematischen Formeln an anderer Stelle sowie in vielen physisch Rechtsvorschriften.

Quadratwurzeln positiver Ganzzahlen

Eine positive Zahl hat zwei Quadratwurzeln, eine positive und eine negative, die sind Gegenteil zueinander. Wenn ich von zu spreche das Quadratwurzel einer positiven Ganzzahl ist normalerweise die positive Quadratwurzel, die gemeint ist.

Die quadratischen Wurzeln einer Ganzzahl sind Algebraische Ganzzahlen-genauer Quadratische Ganzzahlen.

Die Quadratwurzel einer positiven Ganzzahl ist das Produkt der Wurzeln seiner Prime Faktoren, weil die Quadratwurzel eines Produkts das Produkt der Quadratwurzeln der Faktoren ist. Seit Nur Wurzeln dieser Primzahlen mit einer seltsamen Kraft in der Faktorisierung sind notwendig. Genauer gesagt ist die Quadratwurzel einer Primfaktorisierung

Als Dezimalerweiterung

Die quadratischen Wurzeln der Perfekte Quadrate (z. B. 0, 1, 4, 9, 16) sind Ganzzahlen. In allen anderen Fällen sind die quadratischen Wurzeln positiver Ganzzahlen irrationale Zahlenund daher nichtDezimalstellen wiederholen in ihren Dezimalrepräsentationen. Die Dezimalannäherungen der Quadratwurzeln der ersten natürlichen Zahlen sind in der folgenden Tabelle angegeben.

n auf 50 Dezimalstellen verkürzt
0 0
1 1
2 1.41421356237309504880168872420969807856967187537694
3 1.73205080756887729352744634150587236694280525381038
4 2
5 2.23606797749978969640917366873127623544061835961152
6 2.44948974278317809819728407470589139196594748065667
7 2.64575131106459059050161575363926042571025918308245
8 2.82842712474619009760337744841939615713934375075389
9 3
10 3.16227766016837933199889354443271853371955513932521

Als Erweiterungen in anderen Ziffernsystemen

Wie bei zuvor die quadratischen Wurzeln der Perfekte Quadrate (z. B. 0, 1, 4, 9, 16) sind Ganzzahlen. In allen anderen Fällen sind die quadratischen Wurzeln positiver Ganzzahlen irrationale Zahlenund haben daher nicht wieder aufgenommene Ziffern in einem beliebigen Standard Positionsnotation System.

Die quadratischen Wurzeln von Small Ganzzahlen werden in beiden verwendet SHA-1 und SHA-2 Hash -Funktionsdesigns zur Bereitstellung Nichts meine Ärmelzahlen.

Als periodische Bruchs

Eines der faszinierendsten Ergebnisse der Studie von irrationale Zahlen wie fortgesetzte Brüche wurde erhalten durch Joseph Louis Lagrange c. 1780. Lagrange fand heraus, dass die Darstellung der Quadratwurzel einer nicht quadratischen positiven Ganzzahl als fortgesetzter Bruchteil ist periodisch. Das heißt, ein bestimmtes Muster von teilweisen Nennern wiederholt sich in der fortgesetzten Fraktion auf unbestimmte Zeit. In gewissem Sinne sind diese quadratischen Wurzeln die einfachsten irrationalen Zahlen, da sie mit einem einfachen Wiederholungsmuster von Ganzzahlen dargestellt werden können.

= [1; 2, 2, ...]
= [1; 1, 2, 1, 2, ...]
= [2]
= [2; 4, 4, ...]
= [2; 2, 4, 2, 4, ...]
= [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, ...]
= [2; 1, 4, 1, 4, ...]
= [3]
= [3; 6, 6, ...]
= [3; 3, 6, 3, 6, ...]
= [3; 2, 6, 2, 6, ...]
= [3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, ...]
= [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, ...]
= [3; 1, 6, 1, 6, ...]
= [4]
= [4; 8, 8, ...]
= [4; 4, 8, 4, 8, ...]
= [4; 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1, 2, 8, ...]
= [4; 2, 8, 2, 8, ...]

Das eckige Klammer Die oben verwendete Notation ist eine Kurzform für eine fortgesetzte Fraktion. Geschrieben in der suggestiveren algebraischen Form, der einfachen fortgesetzten Bruch für die Quadratwurzel von 11, [3; 3, 6, 3, 6, ...] sieht so aus:

wobei sich das zweistellige Muster {3, 6} immer wieder in den partiellen Nennern wiederholt. Seit 11 = 32 + 2Das obige ist auch identisch mit den folgenden verallgemeinerte fortgesetzte Brüche:

Berechnung

Quadratwurzeln positiver Zahlen sind im Allgemeinen nicht Rationale Zahlenund kann daher nicht als terminierende oder wiederkehrende Dezimalausdruck geschrieben werden. Im Allgemeinen kann jeder Versuch, eine in Dezimalform ausgedrückte Quadratwurzel zu berechnen, nur eine Näherung ergeben, obwohl eine Sequenz immer genauer Annäherungen erhalten werden kann.

Die meisten Taschenrechner einen quadratischen Wurzelschlüssel haben. Computer Tabellenkalkulationen und andere Software werden auch häufig zur Berechnung von Quadratwurzeln verwendet. Taschenrechner implementieren in der Regel effiziente Routinen wie die Newtons Methode (häufig mit einer anfänglichen Vermutung von 1), um die Quadratwurzel einer positiven reellen Zahl zu berechnen.[13][14] Beim Berechnen von Quadratwurzeln mit Logarithmus -Tabellen oder Rutschregeln, man kann die Identität ausnutzen

wo ln und Protokoll10 sind die natürlich und Basis-10-Logarithmen.

Durch Ausprobieren,[15] Man kann eine Schätzung für einen Schätzungen für und erhöhen oder senken die Schätzung, bis sie einer ausreichenden Genauigkeit zustimmt. Für diese Technik ist es ratsam, die Identität zu verwenden

Da kann man die Schätzung einstellen x um einen gewissen Betrag c und messen Sie das Quadrat der Einstellung in Bezug auf die ursprüngliche Schätzung und ihr Quadrat. Außerdem, (x + c)2x2 + 2xc Wenn c ist nahe an 0, weil die Tangente in die Grafik von x2 + 2xc + c2 bei c = 0, als Funktion von c allein ist y = 2xc + x2. Somit kleine Anpassungen an x kann durch Einstellung 2 geplant werdenxc zu a, oder c = a/(2x).

Das Üblichste iterative Methode von der Quadratwurzelberechnung von Hand ist als "bekannt als" bekannt "Babylonische Methode"oder" Herons Methode "nach dem griechischen Philosoph des ersten Jahrhunderts Heron von Alexandria, der es zum ersten Mal beschrieben hat.[16] Die Methode verwendet das gleiche iterative Schema wie das Newton -Raphson -Methode ergibt bei der Anwendung auf die Funktion y = f(x) = x2amit der Tatsache, dass seine Steigung zu einem beliebigen Punkt ist Dy/dx = f(x) = 2x, aber vor vielen Jahrhunderten.[17] Der Algorithmus besteht darin, eine einfache Berechnung zu wiederholen, die zu einer Zahl näher an der tatsächlichen Quadratwurzel führt, wenn sie mit seinem Ergebnis als neuer Eingang wiederholt wird. Die Motivation ist, dass wenn x ist eine Überschätzung zur Quadratwurzel einer nicht negativen realen Zahl a dann a/x wird eine Unterschätzung sein und der Durchschnitt dieser beiden Zahlen ist eine bessere Annäherung als beide. Allerdings die Ungleichheit von arithmetischen und geometrischen Mitteln zeigt, dass dieser Durchschnitt immer eine Überschätzung der Quadratwurzel ist (wie bereits erwähnt unter), und so kann es als neue Überschätzung dienen, mit der der Prozess wiederholt werden kann, was konvergiert Infolge der aufeinanderfolgenden Überschätzung und Unterschätzung der Unterschätzung und Unterschätzung näher beieinander nach jeder Iteration. Finden x:

  1. Beginnen Sie mit einem willkürlichen positiven Startwert x. Desto näher an der quadratischen Wurzel von aJe weniger die Iterationen benötigt werden, um die gewünschte Präzision zu erreichen.
  2. Ersetzen x durchschnittlich (durchschnittlich (x + a/x) / 2 zwischen x und a/x.
  3. Wiederholen Sie von Schritt 2 und verwenden Sie diesen Durchschnitt als neuer Wert von x.

Das heißt, wenn eine willkürliche Vermutung für ist x0, und xn + 1 = (xn + a/xn) / 2, dann jedes xn ist eine Annäherung von Das ist besser für große n als für kleine n. Wenn a ist positiv, die Konvergenz ist quadratischDies bedeutet, dass sich bei der Annäherung an die Grenze die Anzahl der korrekten Ziffern in jeder nächsten Iteration ungefähr verdoppelt. Wenn a = 0Die Konvergenz ist nur linear.

Verwenden der Identität

Die Berechnung der Quadratwurzel einer positiven Zahl kann auf die einer Zahl im Bereich reduziert werden [1,4). Dies vereinfacht das Finden eines Startwerts für die iterative Methode, die nahe an der Quadratwurzel liegt, für die a Polynom oder stückweise linear Annäherung kann verwendet werden.

Das Zeitkomplexität zum Berechnen einer Quadratwurzel mit n Präzisionsstellen entsprechen denen des Multiplizierens von zwei n-Digit -Zahlen.

Eine weitere nützliche Methode zur Berechnung der Quadratwurzel ist die Verschiebung des N -ten Wurzelalgorithmus, für ... beworben haben n = 2.

Der Name der Quadratwurzel Funktion variiert zwischen Programmiersprache zur Programmiersprache mit sqrt[18] (oft ausgesprochen "Squirt" [19]) häufig zu sein, verwendet in C, C ++und abgeleitete Sprachen wie JavaScript, Php, und Python.

Quadratwurzeln negativer und komplexer Zahlen

Erstes Blatt der komplexen Quadratwurzel
Zweites Blatt der komplexen Quadratwurzel
Verwendung der Riemann Oberfläche Von der Quadratwurzel wird gezeigt, wie die beiden Blätter zusammenpassen

Das Quadrat einer positiven oder negativen Zahl ist positiv und das Quadrat von 0 ist 0. Daher kann keine negative Zahl a haben real Quadratwurzel. Es ist jedoch möglich, mit einer integrativeren Reihe von Zahlen zu arbeiten, die als die genannt werden komplexe ZahlenDies enthält Lösungen zur Quadratwurzel einer negativen Zahl. Dies geschieht durch Einführung einer neuen Zahl, die von bezeichnet wird i (manchmal jbesonders im Kontext von Elektrizität wo "i"traditionell elektrischer Strom darstellt) und genannt die imaginäre Einheit, welches ist definiert so dass i2 = –1. Mit dieser Notation können wir uns vorstellen i als Quadratwurzel von –1, aber wir haben auch ( -i)2 = i2 = –1 und so -i ist auch eine quadratische Wurzel von –1. Durch Konvention ist die Hauptquadratwurzel von –1 ioder allgemeiner, wenn x ist jede nichtnegative Zahl, dann die Hauptquadratwurzel von - -x ist

Die rechte Seite (sowie ihr negatives) ist in der Tat eine quadratische Wurzel von - -x, seit

Für jede Komplexzahl ungleich Null z Es gibt genau zwei Zahlen w so dass w2 = z: Die Hauptquadratwurzel von z (unten definiert) und sein negativ.

Hauptquadratwurzel einer komplexen Zahl

Geometrische Darstellung der 2. bis 6. Wurzel einer komplexen Zahl zin polarer Form betreffend wo r = |z| und φ = arg z. Wenn z ist echt, φ = 0 oder π. Hauptwurzeln sind schwarz gezeigt.

Um eine Definition für die Quadratwurzel zu finden, die es uns ermöglicht, einen einzelnen Wert konsistent zu wählen, genannt die HauptwertWir beobachten damit, dass jede komplexe Zahl kann als Punkt in der Ebene angesehen werden, ausgedrückt mit Kartesischen Koordinaten. Der gleiche Punkt kann mit Verwendung neu interpretiert werden Polar Koordinaten als Paar wo ist der Abstand des Punktes vom Ursprung, und ist der Winkel, den die Linie vom Ursprung bis zum Punkt mit dem positiven Real macht () Achse. In der komplexen Analyse ist der Ort dieses Punktes herkömmlicherweise geschrieben Wenn

dann ist die Hauptquadratwurzel von ist definiert als Folgendes:
Die Hauptquadratwurzelfunktion wird somit unter Verwendung der nichtpositiven realen Achse als a definiert Astgeschnitten. Wenn ist eine nicht negative reelle Zahl (was nur dann passiert, wenn ) dann die Hauptquadratwurzel von ist Mit anderen Worten, die Hauptquadratwurzel einer nicht negativen reellen Zahl ist nur die übliche nicht negative Quadratwurzel. Es ist wichtig, dass Weil wenn zum Beispiel, (Also ) Dann ist die Hauptquadratwurzel
aber benutze würde stattdessen die andere Quadratwurzel produzieren

Die wichtigste Quadratwurzelfunktion ist Holomorph überall außer auf der Reihe nicht-positiver realer Zahlen (auf streng negative Realität ist es nicht einmal kontinuierlich). Die obige Taylor -Serie für bleibt für komplexe Zahlen gültig mit

Das obige kann auch in Bezug auf ausgedrückt werden trigonometrische Funktionen:

Algebraische Formel

Die quadratischen Wurzeln von i

Wenn die Zahl unter Verwendung ihrer realen und imaginären Teile ausgedrückt wird, kann die folgende Formel für die Hauptquadratwurzel verwendet werden:[20][21]

wo SGN (y) ist der Schild von y (außer dass hier sn (0) = 1). Insbesondere haben die imaginären Teile der ursprünglichen Zahl und der Hauptwert seiner Quadratwurzel das gleiche Vorzeichen. Der eigentliche Teil des Hauptwerts der Quadratwurzel ist immer nicht negativ.

Zum Beispiel die Hauptquadratwurzeln von ±i werden gegeben durch:

Anmerkungen

Im Folgenden der Komplex z und w kann ausgedrückt werden als:

wo und .

Aufgrund der diskontinuierlichen Natur der Quadratwurzelfunktion in der komplexen Ebene sind die folgenden Gesetze nicht wahr Im Algemeinen.

  • (Gegenbeispiel für die Hauptquadratwurzel: z = –1 und w = –1) Diese Gleichheit gilt nur dann, wenn
  • (Gegenbeispiel für die Hauptquadratwurzel: w = 1 und z = –1) Diese Gleichheit gilt nur dann, wenn
  • (Gegenbeispiel für die Hauptquadratwurzel: z = –1) Diese Gleichheit gilt nur dann, wenn

Ein ähnliches Problem tritt bei anderen komplexen Funktionen mit Zweigschnitten auf, z. B. der Komplexer Logarithmus und die Beziehungen Protokollz + logw = log (log (Zw) oder Protokoll(z*) = log (log (z)* die im Allgemeinen nicht wahr sind.

Fälschlicherweise angenommen, eines dieser Gesetze zu unterstreichen –1 = 1:

Die dritte Gleichheit kann nicht gerechtfertigt werden (siehe Ungültiger Beweis). Es kann geschaffen werden, indem die Bedeutung von √ geändert wird Die linke Seite wird entweder

Wenn der Zweig + enthälti oder

Wenn der Zweig - enthält -i, während die rechte Seite wird

wo die letzte Gleichheit, ist eine Folge der Wahl des Zweigs bei der Neudefinition von √.

NDie Wurzeln und Polynomwurzeln

Die Definition einer quadratischen Wurzel von als eine Zahl so dass wurde auf folgende Weise verallgemeinert.

A Kubikwurzel von ist eine Nummer so dass ; es ist bezeichnet

Wenn n ist eine Ganzzahl größer als zwei, a nDie Wurzel von ist eine Nummer so dass ; es ist bezeichnet

Gegeben Polynom p, a Wurzel von p ist eine Nummer y so dass p(y) = 0. Zum Beispiel die nDie Wurzeln von x sind die Wurzeln des Polynoms (in y)

Abel -Ruffini -Theorem gibt an, dass die Wurzeln eines Polynoms von Fünf oder höher die Wurzeln in Bezug nDie Wurzeln.

Quadratwurzeln von Matrizen und Operatoren

Wenn A ist ein positive definitive Matrix oder Operator, dann gibt es genau eine positive bestimmte Matrix oder einen Operator B mit B2 = A; Wir definieren dann A1/2 = B. Im Allgemeinen können Matrizen mehrere Quadratwurzeln oder sogar eine Unendlichkeit haben. Zum Beispiel die 2 × 2 Identitätsmatrix hat eine Unendlichkeit von quadratischen Wurzeln,[22] Obwohl nur einer von ihnen positiv ist.

In integralen Domänen, einschließlich Feldern

Jedes Element eines Integrale Domäne Hat nicht mehr als 2 Quadratwurzeln. Das Unterschied von zwei Quadraten Identität u2v2 = (uv) (u + v) wird mit dem bewiesen Ambutativität der Multiplikation. Wenn u und v sind dann quadratische Wurzeln des gleichen Elements u2v2 = 0. Weil es keine gibt Zero Divisors Dies impliziert u = v oder u + v = 0, wo letzteres bedeutet, dass zwei Wurzeln sind Additive Inversen von einander. Mit anderen Worten, wenn ein Element eine quadratische Wurzel u eines Elements a existiert dann die einzigen Quadratwurzeln von a sind u und –U. Die einzige Quadratwurzel von 0 in einer integralen Domäne ist 0 selbst.

In einem Feld von charakteristisch2, ein Element hat entweder eine quadratische Wurzel oder hat überhaupt keine, da jedes Element sein eigenes additiver Inverse ist, so dass das so u = u. Wenn das Feld ist endlich von charakteristisch 2 dann hat jedes Element eine einzigartige Quadratwurzel. In einem aufstellen Von jedem anderen Merkmal hat jedes Element ungleich Null entweder zwei Quadratwurzeln, wie oben erläutert, oder hat keine.

Eine seltsame Primzahl p, Lassen q = pe für eine positive Ganzzahl e. Ein Element des Feldes ungleich Null Fq mit q Elemente ist a Quadratische Rückstände Wenn es eine quadratische Wurzel in hat Fq. Andernfalls handelt es sich um eine quadratische Nicht-Residue. Es gibt (q - 1)/2 quadratische Rückstände und (q - 1)/2 quadratische Nichtanmeldungen; Null wird in beiden Klassen nicht gezählt. Die quadratischen Rückstände bilden a Gruppe unter Multiplikation. Die Eigenschaften von quadratischen Resten sind in großem Umfang verwendet in Zahlentheorie.

In Ringen im Allgemeinen

Im Gegensatz zu einer integralen Domäne muss eine quadratische Wurzel in einem willkürlichen (unenträglichen) Ring nicht eindeutig sein, um zu signieren. Zum Beispiel im Ring von Ganzzahlen Modulo 8 (Das ist kommutativ, hat aber keine Divisoren), das Element 1 hat vier verschiedene quadratische Wurzeln: ± 1 und ± 3.

Ein weiteres Beispiel ist der Ring von Quaternionen Das hat keine Null -Divisors, ist aber nicht kommutativ. Hier hat das Element −1 unendlich viele Quadratwurzeln, einschließlich ±i, ±j, und ±k. In der Tat ist der Satz von quadratischen Wurzeln von –1 genau

Eine Quadratwurzel von 0 ist entweder 0 oder ein Null -Divisor. Somit ist in Ringen, in denen keine Divisors existieren, einzigartig 0. Ringe mit Null -Divisoren können jedoch mehrere Quadratwurzeln von 0 haben. Zum Beispiel in jedes mehrfache von n ist eine Quadratwurzel von 0.

Geometrische Konstruktion der Quadratwurzel

Konstruktion die Länge , Angesichts der und die Einheitslänge
Das Spirale von Theodorus bis zum Dreieck mit einer Hypotenuse von √4

Die Quadratwurzel einer positiven Zahl wird normalerweise als Seitenlänge von a definiert Quadrat mit dem Bereich gleich der angegebenen Zahl. Aber die quadratische Form ist dafür nicht erforderlich: wenn einer von zwei ähnlich planarer euklidaner Objekte haben den Bereich a Zeiten größer als ein anderer, dann ist das Verhältnis ihrer linearen Größen .

Eine quadratische Wurzel kann mit einem Kompass und einem Lineal konstruiert werden. In seinem Elemente, Euklid (fl. 300 v. Chr. Gaben den Bau der geometrisches Mittelwert von zwei Mengen an zwei verschiedenen Orten: Satz II.14 und Satz VI.13. Seit dem geometrischen Mittelwert von a und b ist , man kann konstruieren Einfach durch Nehmen b = 1.

Die Konstruktion wird auch gegeben durch Descartes in seinem La Géométrie, siehe Abbildung 2 auf Seite 2. Descartes machte jedoch keinen Anspruch auf Originalität und sein Publikum wäre mit Euklid ziemlich vertraut gewesen.

Euclids zweiter Beweis in Buch VI hängt von der Theorie von ab Ähnliche Dreiecke. Sei ahb ein Leitungssegment der Länge a + b mit Ah = a und Hb = b. Konstruieren Sie den Kreis mit AB als Durchmesser und lassen h. Dann verwenden Thales 'Satz und wie in der Beweis für Pythagoras 'Theorem durch ähnliche Dreiecke, Dreieck AHC ist ähnlich wie Dreieck CHB (wie in der Tat beide zu Dreiecks ACB, obwohl wir das nicht brauchen, aber es ist die Essenz des Beweises des Pythagoras -Theorems), so dass AH: CH als HC: hb, d. H. a/h = h/b, von dem wir schließen durch Kreuzmultiplikation, das h2 = abund schließlich das . Beim Markieren des Mittelpunkts O des Liniensegments AB und Zeichnen des Radius OC der Länge (a + b)/2dann deutlich oc> ch, d.h. (mit Gleichheit, wenn und nur wenn a = b), was der ist arithmetisch -geometrische mittlere Ungleichheit für zwei Variablen und wie bereits erwähnt Oben, ist die Grundlage der Altgriechisch Verständnis von "Herons Methode".

Eine andere Methode der geometrischen Konstruktion verwendet Rechte Dreiecke und Induktion: kann konstruiert werden und einmal wurde konstruiert, das rechte Dreieck mit den Beinen 1 und hat ein Hypotenuse von . Das Erstellen von aufeinanderfolgenden quadratischen Wurzeln auf diese Weise ergibt die Spirale von Theodorus oben dargestellt.

Siehe auch

Anmerkungen

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Verweise

Externe Links