Quadrat (Algebra)

Im Mathematik, a Quadrat ist das Ergebnis von multiplizieren a Nummer von selbst. Das Verb "zu Quadrat" wird verwendet, um diesen Vorgang zu bezeichnen. Quadrat ist das gleiche wie Erhöhen zu die Macht2, und wird durch a bezeichnet Superscript 2; Zum Beispiel kann das Quadrat von 3 als 3 geschrieben werden2, das ist die Nummer 9. In einigen Fällen, wenn Superscripts nicht verfügbar sind, wie zum Beispiel in Programmiersprachen oder einfacher Text Dateien, die Notationen x^2 (Pflege) oder x** 2 kann anstelle von verwendet werden x2. Das Adjektiv, das Quadrat entspricht, ist quadratisch.
Das Quadrat von einem ganze Zahl kann auch als a genannt werden Quadratzahl oder ein perfektes Quadrat. Im AlgebraDer Betrieb des Quadrings wird oft auf verallgemeinert Polynome, Sonstiges Ausdrücke, oder Werte in Systemen mathematischer Werte außer den Zahlen. Zum Beispiel das Quadrat der lineares Polynom x + 1 ist der quadratisches Polynom (x + 1)2 = x2 + 2x + 1.
Eine der wichtigsten Eigenschaften des Quadrings, für Zahlen sowie in vielen anderen mathematischen Systemen ist das (für alle Zahlen x), das Quadrat von x ist dasselbe wie das Quadrat von ITS Additive Inverse −x. Das heißt, die quadratische Funktion erfüllt die Identität x2 = ( -x)2. Dies kann auch ausgedrückt werden, indem die quadratische Funktion eine ist gleiche Funktion.
In realer Zahlen

Die Quadratoperation definiert a echte Funktion genannt Quadratfunktion oder der Quadratfunktion. Es ist Domain ist das Ganze echte Linie, und sein Bild ist der Satz nichtnegativer realer Zahlen.
Die quadratische Funktion bewahrt die Reihenfolge der positiven Zahlen: Größere Zahlen haben größere Quadrate. Mit anderen Worten, das Quadrat ist a monotonische Funktion in der Pause [0,+∞). Auf den negativen Zahlen haben Zahlen mit größerem absolutem Wert größere Quadrate, so dass das Quadrat eine monotoner abnehmende Funktion ist (−∞, 0]. Somit, Null ist das (global) Minimum der quadratischen Funktion. Der Platz x2 einer Zahl x ist weniger als x (das ist x2 < x) dann und nur dann, wenn 0 << x < 1das heißt, wenn x gehört zum Offenes Intervall (0,1). Dies impliziert, dass das Quadrat einer Ganzzahl nie geringer ist als die ursprüngliche Zahl x.
Jedes positive reelle Zahl ist das Quadrat von genau zwei Zahlen, von denen eines streng positiv ist und der andere streng negativ ist. Null ist das Quadrat von nur einer Zahl selbst. Aus diesem Grund ist es möglich, das zu definieren Quadratwurzel Funktion, die mit einer nicht negativen realen Zahl die nicht negative Zahl assoziiert, deren Quadrat die ursprüngliche Zahl ist.
Es kann keine negative Anzahl im System von negativ reale Nummern, weil Quadrate aller reellen Zahlen sind nicht negativ. Das Fehlen realer Quadratwurzeln für die negativen Zahlen kann verwendet werden, um das reelle Zahlensystem auf die zu erweitern komplexe Zahlendurch Postulierung der imaginäre Einheit i, was einer der quadratischen Wurzeln von –1 ist.
Das Eigentum "Jede nicht negative reelle Zahl ist ein Quadrat" wurde auf den Begriff a verallgemeinert Echtes geschlossenes Feld, was ist ein Bestellter Feld So dass jedes nicht negative Element ein Quadrat ist und jedes Polynom von ungeraden Grad eine Wurzel hat. Die realen geschlossenen Felder können nicht vom Feld realer Zahlen durch ihre algebraischen Eigenschaften unterschieden werden: jede Eigenschaft der reellen Zahlen, die in ausgedrückt werden kann Logik erster Ordnung (Dies wird durch eine Formel ausgedrückt, in der die Variablen, die durch ∀ oder ∃ Elemente, nicht Mengen darstellen Real geschlossenes Feld gilt auch für die realen Zahlen.
In der Geometrie
Es gibt mehrere wichtige Verwendungen der quadratischen Funktion in der Geometrie.
Der Name der quadratischen Funktion zeigt ihre Bedeutung für die Definition der Bereich: Es kommt aus der Tatsache, dass der Bereich von a Quadrat mit Seiten der Längel ist gleich l2. Der Bereich hängt quadratisch von der Größe ab: dem Bereich einer Form nmal größer ist n2mal größer. Dies gilt sowohl für Bereiche in drei Dimensionen als auch in der Ebene: zum Beispiel die Oberfläche von a Kugel ist proportional zum Quadrat seines Radius, eine Tatsache, die sich physisch durch die manifestiert Inverse-Quadrat-Gesetz Die Beschreibung der Stärke der physikalischen Kräfte wie der Schwerkraft variiert je nach Entfernung.

Die quadratische Funktion hängt mit Distanz durch die Satz des Pythagoras und seine Verallgemeinerung, die Parallelogrammgesetz. Euklidisch Entfernung ist nicht a glatte Funktion: das Dreidimensionales Diagramm Abstand von einem Fixpunkt bildet a Kegelmit einem nicht glatten Punkt an der Spitze des Kegels. Das Quadrat der Entfernung (bezeichnet d2 oder r2), was a hat Paraboloid als Diagramm ist ein glattes und analytische Funktion.
Das Skalarprodukt von a Euklideaner Vektor mit sich selbst ist gleich dem Quadrat seiner Länge: v⋅v = v2. Dies ist weiter verallgemeinert auf quadratische Formen in lineare Räume über die Innenprodukt. Das Trägheitstensor in Mechanik ist ein Beispiel für eine quadratische Form. Es zeigt eine quadratische Beziehung der Trägheitsmoment zu der Größe (Länge).
Es gibt unendlich viele Pythagoräische Dreifachungen, Sätze von drei positiven Ganzzahlen, so dass die Summe der Quadrate der ersten beiden dem Quadrat des dritten entspricht. Jedes dieser Tripel verleiht den ganzzahligen Seiten eines rechten Dreiecks.
In abstrakten Algebra und Zahlentheorie
Die quadratische Funktion ist in jedem definiert aufstellen oder Ring. Ein Element im Bild dieser Funktion wird a genannt Quadratund die umgekehrten Bilder eines Quadrats werden genannt Quadratwurzeln.
Der Begriff des Quadrings ist besonders wichtig in der endliche Felder Z/pZ gebildet durch die Zahlen modulo eine ungerade Primzahl p. Ein Element ungleich Null dieses Feldes wird a genannt Quadratische Rückstände Wenn es sich um ein Quadrat in handelt Z/pZund ansonsten wird es als quadratische Nicht-Residue bezeichnet. Null ist zwar ein Quadrat, gilt zwar nicht als quadratischer Rückstand. Jedes endliche Feld dieses Typs hat genau (p - 1)/2 quadratische Rückstände und genau (p - 1)/2 quadratische Nicht-Einlagen. Die quadratischen Rückstände bilden a Gruppe unter Multiplikation. Die Eigenschaften von quadratischen Resten sind in großem Umfang verwendet in Zahlentheorie.
Im Allgemeinen kann die quadratische Funktion in Ringen unterschiedliche Eigenschaften haben, die manchmal zum Klassifizieren von Ringen verwendet werden.
Null kann das Quadrat einiger Elemente ungleich Null sein. EIN Gewinnring so dass das Quadrat eines Nicht -Zero -Elements niemals Null ist und a genannt wird reduzierter Ring. Allgemeiner in einem kommutativen Ring a Radikales Ideal ist ein IdealI so dass impliziert . Beide Begriffe sind wichtig in Algebraische Geometrie, durch Hilberts Nullstellensatz.
Ein Element eines Rings, das einem eigenen Platz entspricht idempotent. In jedem Ring sind 0 und 1 Idempotente. Es gibt keine anderen Idempotente in Feldern und allgemeiner in Integrale Domänen. Der Ring der Ganzzahlen jedoch Modulo n hat 2k idempotents, wo k ist die Anzahl der unterschiedlichen Hauptfaktoren vonn. Ein kommutativer Ring, bei dem jedes Element seinem Quadrat gleich ist (jedes Element ist idempotent), wird als a genannt Boolean Ring; Ein Beispiel von Informatik ist der Ring, dessen Elemente sind Binärzahlen, mit bitweise und als Multiplikationsbetrieb und bitweise XOR als Additionsbetrieb.
In einem total bestellter Ring, x2 ≥ 0 für jeden x. Darüber hinaus, x2 = 0dann und nur dann, wennx = 0.
In einem Superkutative Algebra wo 2 invertierbar ist, das Quadrat von jedem seltsam Element gleich Null.
Wenn A ist ein Kommutative Semigroupdann hat einer
In der Sprache von quadratische FormenDiese Gleichheit besagt, dass die quadratische Funktion ein "Formular für die Zusammensetzung" ist. Tatsächlich ist die quadratische Funktion die Grundlage, auf der andere quadratische Formen konstruiert werden, die auch die Zusammensetzung ermöglichen. Das Verfahren wurde von eingeführt von L. E. Dickson um das zu produzieren Oktonionen aus Quaternionen durch Verdoppelung. Die Verdoppelungsmethode wurde von formalisiert von A. A. Albert Wer begann mit dem reelle Zahl aufstellen ℝ und die quadratische Funktion, verdoppelt sie, um die zu erhalten komplexe Zahl Feld mit quadratischer Form x2 + y2und dann noch einmal verdoppeln, um Quaternionen zu erhalten. Das Verdoppelungsverfahren wird als das bezeichnet Cayley -Dickson -Konstruktionund wurde verallgemeinert, um Algebren der Dimension 2 zu bildenn über ein Feld F mit Involution.
Die quadratische Funktion z2 ist die "Norm" der Zusammensetzungsalgebra ℂ, wo die Identitätsfunktion eine triviale Involution bildet, um die Cayley -Dickson -Konstruktionen zu beginnen, die zu Bicomplex-, Biquaternion- und Bioctonion -Zusammensetzungsalgebren führen.
Die Gewöhnlichen Komplex Quadratfunktionz2 ist eine zweifache Abdeckung der Komplexe Ebene, so dass jede Komplexzahl ungleich Null genau zwei Quadratwurzeln hat. Diese Karte bezieht sich auf Parabolkoordinaten.
Das Absolutes Quadrat einer komplexen Zahl ist das Produkt z* z seine Einbeziehung sein Komplexes Konjugat.[1][2][3][4][5][6][7][8] Es ist auch als bekannt als als Modul quadriert oder Größe quadratisch, nach dem Realwertquadrat des Komplexer Numbermodul (Größe oder absoluter Wert), |z|2. Es entspricht der Summe der realen Quadrate der komplexen Zahl echte und imaginäre Teile, . Es kann auf komplexe Vektoren als die verallgemeinert werden Norm quadriert.
Der quadratische Modul wird in angewendet Signalverarbeitung, um die zu erzählen Fourier-Transformation und die Leistungsspektrumund auch in Quantenmechanik, bezüglich Wahrscheinlichkeitsamplituden und Wahrscheinlichkeitsdichten.
Andere Verwendungen
Quadrate sind in Algebra allgegenwärtig, allgemeiner in fast jedem Zweig der Mathematik und auch in Physik wo viele Einheiten werden mit Quadraten definiert und umgekehrt Quadrate: Siehe unter.
Kleinsten Quadrate ist die Standardmethode mit verwendet mit overdetermined systems.
Quadrat wird in verwendet Statistiken und Wahrscheinlichkeitstheorie bei der Bestimmung der Standardabweichung einer Reihe von Werten oder a zufällige Variable. Die Abweichung jedes Wertesxi von dem bedeuten des Satzes ist definiert als der Unterschied . Diese Abweichungen sind quadratisch, dann wird ein Mittelwert der neuen Anzahl von Zahlen (von denen jeder positiv ist). Dieses Mittel ist das Varianzund seine Quadratwurzel ist die Standardabweichung. Im Finanzen, das Volatilität eines Finanzinstruments ist die Standardabweichung seiner Werte.
Siehe auch
- Exponentiation durch Quadrat
- Polynomial SOS, die Darstellung eines nicht negativen Polynoms als Summe der Quadrate von Polynomen
- Hilberts 17. Problemfür die Darstellung von Positive Polynome als eine Summe von Quadraten von rationale Funktionen
- Quadratfreies Polynom
- Würfel (Algebra)
- Metrischer Tensor
- Quadratische Gleichung
- Polynomring
- Summen von Quadraten (Disambiguationsseite mit verschiedenen relevanten Links)
Verwandte Identitäten
- Algebraisch (brauche Gewinnring)
- Unterschied von zwei Quadraten
- Brahmagupta -Fibonacci -Identität, im Zusammenhang mit komplexen Zahlen in dem oben diskutierten Sinne
- Eulers vier Quadratmeter-Identität, im Zusammenhang mit Quaternionen auf die gleiche Weise
- Degens acht Quadratmeteridentität, im Zusammenhang mit Oktonionen auf die gleiche Weise
- Lagrange Identität
- Sonstiges
Verwandte physikalische Mengen
- Beschleunigung, Länge pro Quadratzeit
- Querschnitt (Physik), eine flächendimensionierte Menge
- Kopplungskonstante (Hat quadratische Ladung im Nenner und kann mit quadratischer Entfernung im Zähler ausgedrückt werden)
- kinetische Energie (quadratische Abhängigkeit von Geschwindigkeit)
- spezifische Energie, eine (quadratische Geschwindigkeit) -Dimensionierte Menge
Fußnoten
- ^ Weisstein, Eric W. "Absolutes Quadrat". mathworld.wolfram.com.
- ^ Moore, Thomas (9. Januar 2003). Sechs Ideen, die Physik geprägt haben: Einheit Q - Partikel verhält sich wie Wellen. McGraw-Hill-Ausbildung. ISBN 9780072397130 - über Google Books.
- ^ Blanpied, William A. (4. September 1969). Physik: seine Struktur und Entwicklung. Blaisdell Publishing Company. ISBN 9780471000341 - über Google Books.
- ^ Greiner, Walter (6. Dezember 2012). Quantenmechanik: Eine Einführung. Springer Science & Business Media. ISBN 9783642579745 - über Google Books.
- ^ Burkhardt, Charles E.; Leventhal, Jacob J. (15. Dezember 2008). Grundlagen der Quantenphysik. Springer Science & Business Media. ISBN 9780387776521 - über Google Books.
- ^ Senese, Fred (24. August 2018). Symbolische Mathematik für Chemiker: Ein Leitfaden für Maxima -Benutzer. John Wiley & Sons. ISBN 9781119273233 - über Google Books.
- ^ Steiner, Mark (30. Juni 2009). Die Anwendbarkeit der Mathematik als philosophisches Problem. Harvard University Press. ISBN 9780674043985 - über Google Books.
- ^ Maudlin, Tim (19. März 2019). Philosophie der Physik: Quantentheorie. Princeton University Press. ISBN 9780691183527 - über Google Books.
Weitere Lektüre
- Marshall, Murray Positive Polynome und Summen von Quadraten. Mathematische Umfragen und Monographien, 146. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008. xii+187 S. ISBN978-0-8218-4402-1, ISBN0-8218-4402-4
- Rajwade, A. R. (1993). Quadrate. London Mathematical Society Lecture Note Series. Vol. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022.