Spektralrisikomaß

A Spektralrisikomaß ist ein Risikomaß gegeben wie a gewichteter Durchschnitt von Ergebnissen, bei denen schlechte Ergebnisse in der Regel größere Gewichte enthalten sind. Ein spektrales Risikomaß ist eine Funktion von Portfolio Gibt die Menge der zurück und gibt aus Numeraire (normalerweise a Währung) in Reserve gehalten werden. Ein spektrales Risikomaß ist immer a Kohärente Risikomaß, aber das Gegenteil hält nicht immer. Ein Vorteil spektraler Maßnahmen ist die Art und Weise, wie sie in Verbindung gebracht werden können Risikoaversionund besonders zu a Nützlichkeitsfunktiondurch die Gewichte, die dem möglichen Portfolio zurückgegeben werden.^[1]

Definition

Betrachten Sie a Portfolio ${\ displayStyle x}$ (Bezeichnung der Portfolio -Auszahlung). Dann ein spektrales Risikomaß ${\ displayStyle m _ {\ phi}: {\ mathcal {l}} \ to \ mathbb {r}}$ wo ${\ displayStyle \ phi}$ ist nicht negativ, nicht wachsend, rechtskontinuierlich, integrierbare Funktion definiert auf ${\ displayStyle [0,1]}$ so dass ${\ displayStyle \ int _ {0}^{1} \ phi (p) dp = 1}$ wird definiert von

${\ displayStyle m _ {\ phi} (x) =-\ int _ {0}^{1} \ phi (p) f_ {x}^{-1} (p) dp}$

wo ${\ displayStyle f_ {x}}$ ist der Verteilungsfunktion zum X.^[2][3]

Wenn es gibt ${\ displayStyle S}$ EquiproBable -Ergebnisse mit den entsprechenden Auszahlungen der von der angegebenen Auszahlungen Bestellstatistik ${\ displayStyle x_ {1: s}, ... x_ {s: s}}$. Lassen ${\ displayStyle \ phi \ in \ mathbb {r} ^{s}}$. Die Maßnahme$oder$ definiert von $oder$ ist ein Spektrales Maß für das Risiko wenn ${\ displayStyle \ phi \ in \ mathbb {r} ^{s}}$ erfüllt die Bedingungen

1. Nichtnegativität: ${\ displayStyle \ phi _ {s} \ geq 0}$ für alle ${\ displayStyle s = 1, \ dots, s}$,
2. Normalisierung: ${\ displaystyle \ sum _ {s = 1}^{s} \ phi _ {s} = 1}$,
3. Monotonizität: ${\ displayStyle \ phi _ {s}}$ ist nicht steigend, das heißt $oder$ wenn ${\ displayStyle {s_ {1}} <{s_ {2}}}$ und ${\ displaystyle {s_ {1}}, {s_ {2}} \ in \ {1, \ dots, s \}}$.^[4]

Eigenschaften

Spektralisiko -Maßnahmen sind auch kohärent. Jedes spektrale Risikomaß ${\ displaystyle \ rho: {\ mathcal {l}} \ to \ mathbb {r}}$ Befriedigt:

1. Positive Homogenität: Für jedes Portfolio X und positiver Wert ${\ displayStyle \ lambda> 0}$, ${\ displaystyle \ rho (\ lambda x) = \ lambda \ rho (x)}$;
2. Übersetzungsinvarianz: Für jedes Portfolio X und ${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {r}}$, ${\ displayStyle \ rho (x+a) = \ rho (x) -a}$;
3. Monotonizität: Für alle Portfolios X und Y so dass ${\ displayStyle x \ geq y}$, ${\ displaystyle \ rho (x) \ leq \ rho (y)}$;
4. Unteradditivität: Für alle Portfolios X und Y, ${\ displaystyle \ rho (x+y) \ leq \ rho (x)+\ rho (y)}$;
5. Gesetz-Invarianz: Für alle Portfolios X und Y mit kumulative Verteilungsfunktionen ${\ displayStyle f_ {x}}$ und ${\ displayStyle f_ {y}}$ jeweils wenn ${\ displayStyle f_ {x} = f_ {y}}$ dann ${\ displayStyle \ rho (x) = \ rho (y)}$;
6. Comonotonische Additivität: für jeden komonoton zufällige Variablen X und Y, ${\ displayStyle \ rho (x+y) = \ rho (x)+\ rho (y)}$. Beachten Sie, dass X und Y sind comonotonisch, wenn für jeden ${\ displayStyle \ Omega _ {1}, \ Omega _ {2} \ in \ Omega: \; {2})-y (\ Omega _ {1}) \ Geq 0}$.^[2]

In einigen Texten^[die?] die Eingabe X wird eher als Verluste als als Auszahlung eines Portfolios interpretiert. In diesem Fall würde das Eigentum der Übersetzungsinvarianz gegeben werden von ${\ displayStyle \ rho (x+a) = \ rho (x)+a}$und das Monotizitätseigentum von $oder$ statt der oben genannten.

Beispiele

• Das Erwarteter Mangel ist ein spektrales Risikomaß.
• Das erwarteter Wert ist trivial ein spektrales Risikomaß.

Siehe auch

• Verzerrungsrisikomaß

Verweise