Spannungsbaum

Ein Spannungsbaum (blaue schwere Kanten) von a Gittergrafik

In dem mathematisch Bereich Graphentheorie, a Spannungsbaum T von einem ungerichtete Grafik G ist ein Untergraphen, der a ist Baum das umfasst alle alle Eckpunkte von G.[1] Im Allgemeinen kann eine Grafik mehrere Spannbäume haben, aber ein Diagramm, das nicht ist in Verbindung gebracht enthält keinen Spannungsbaum (siehe Wälder überspannen unter). Wenn alle von der Kanten von G sind auch Kanten eines Spannungsbaums T von G, dann G ist ein Baum und ist identisch mit T (Das heißt, ein Baum hat einen einzigartigen Spannungsbaum und er selbst).

Anwendungen

Mehrere Wegfindung Algorithmen, einschließlich Dijkstra -Algorithmus und die Ein* SuchalgorithmusBauen Sie intern einen Spannungsbaum als Zwischenschritt zur Lösung des Problems auf.

Um die Kosten von Stromnetzwerken, Verkabelungsverbindungen, Rohrleitungen, automatische Spracherkennung usw. zu minimieren Minimum Spanning Tree.[2]

Das Internet und viele andere Telekommunikationsnetzwerke Übertragungslinks haben, die Knoten in a miteinander verbinden Mesh-Topologie Dazu gehören einige Schleifen. Um zu vermeiden Brückenschleifen und Routing -Schleifenviele Routing -Protokolle, die für solche Netzwerke entwickelt wurden - darunter die Spannende Baumprotokoll, öffne den kürzesten Weg zuerst, Link-State-Routing-Protokoll, Augmented Bree-basiertes Routingusw. - Erfordern Sie jeden Router, sich an einen Spannungsbaum zu erinnern.[3]

Eine besondere Art von Spannungsbaum, die Xuong Baum, wird in verwendet in Topologische Graphentheorie finden Graph -Einbettungen mit maximal Gattung. Ein Xuong -Baum ist ein Spannbaum, so dass die Anzahl der verbundenen Komponenten mit einer ungeraden Anzahl von Kanten im verbleibenden Diagramm so klein wie möglich ist. Ein Xuong-Baum und eine zugehörige Einbettung des maximalen Genus können in gefunden werden Polynomzeit.[4]

Definitionen

Ein Baum ist ein in Verbindung gebracht ungerichtete Grafik ohne Fahrräder. Es ist ein Spannbaum einer Grafik G Wenn es sich überspannt G (Das heißt, es enthält jeden Scheitelpunkt von G) und ist ein Untergraphen von G (Jede Kante im Baum gehört zu G). Ein Spannungsbaum einer verbundenen Grafik G kann auch als maximaler Satz von Kanten von definiert werden G Das enthält keinen Zyklus oder als minimale Satz von Kanten, die alle Scheitelpunkte verbinden.

Grundzyklen

Wenn Sie nur einen Rand zu einem Spannungsbaum hinzufügen, erzeugt er einen Zyklus. Ein solcher Zyklus wird a genannt Grundzyklus. Für jede Kante gibt es einen deutlichen grundlegenden Zyklus, nicht im Spannungsbaum; Somit gibt es eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen grundlegenden Zyklen und Kanten, die nicht im Spannungsbaum sind. Für eine angeschlossene Grafik mit V Scheitelpunkte, jeder Spannungsbaum hat V- 1 Kanten und damit ein Diagramm von E Kanten und einer seiner Spannbäume wird haben E-V+1 grundlegende Zyklen (die Anzahl der von der Anzahl der Kanten in einem Spanning -Baum enthaltenen Kanten; Angabe der Anzahl der nicht im Spanning -Baum enthaltenen Kanten). Für einen bestimmten Spanning -Baum der Satz von allen E-V+1 Grundzyklen bilden a Zyklusbasiseine Grundlage für die Kreislaufraum.[5]

Grundlegende Ausschnitte

Dual zum Begriff eines grundlegenden Zyklus ist der Begriff von a Grundnutzung. Durch das Löschen von nur einen Rand des Spannungsbaums werden die Eckpunkte in zwei disjunkte Sätze aufgeteilt. Das grundlegende Grenzwert ist definiert als der Satz von Kanten, die aus der Grafik entfernt werden müssen G um die gleiche Partition zu erreichen. Somit definiert jeder Spannungsbaum einen Satz von V- 1 grundlegende Ausschnitte, eine für jede Kante des Spannungsbaums.[6]

Die Dualität zwischen grundlegenden Ausschnitten und grundlegenden Zyklen wird festgestellt, indem darauf hingewiesen wird, dass Zykluskanten, die nicht im Spanning -Baum sind, nur in den Schnitten der anderen Kanten im Zyklus erscheinen können; und und umgekehrt: Kanten in einem Schnittset können nur in den Zyklen erscheinen, die die dem Schnittset entsprechende Kante enthalten. Diese Dualität kann auch unter Verwendung der Theorie von ausgedrückt werden Matroiden, nach denen ein Spannbaum eine Basis der ist Grafik Matroid, ein grundlegender Zyklus ist der eindeutige Schaltkreis innerhalb des Satzes, der durch Hinzufügen eines Elements zur Basis gebildet wird, und grundlegende Ausschnitte werden auf die gleiche Weise aus dem definiert Dual Matroid.[7]

Wälder überspannen

In Grafiken, die nicht verbunden sind, kann es keinen Spannungsbaum geben, und man muss berücksichtigen Wälder überspannen stattdessen. Hier gibt es zwei konkurrierende Definitionen:

  • Einige Autoren betrachten einen Spannwald als ein maximaler acyclischer Untergraphen des gegebenen Graphen oder ein gleichwertiges Diagramm, das aus einem Spannungsbaum in jedem besteht verbundene Komponente der Grafik.[8]
  • Für andere Autoren ist ein Spannwald ein Wald, der alle Eckpunkte umfasst, was bedeutet, dass jeder Scheitelpunkt des Diagramms ein Scheitelpunkt im Wald ist. Für diese Definition kann sogar ein verbundenes Diagramm einen getrennten Spannwald haben, z.[9]

Um Verwirrung zwischen diesen beiden Definitionen zu vermeiden, Gross & Yellen (2005) Schlagen Sie den Begriff "vollwertiger Wald" für einen Spannungswald mit der gleichen Konnektivität wie die angegebene Grafik Bondy & Murty (2008) Nennen Sie stattdessen diese Art von Wald einen "maximalen Spannwald".[10]

Zählen von Bäumen

Cayleys Formel Zählt die Anzahl der Spannbäume in einem kompletten Diagramm. Es gibt Bäume in , Bäume in , und Bäume in .

Die Nummer t(G) Die Spannung von Bäumen eines vernetzten Graphen ist ein gut untersuchter unveränderlich.

In bestimmten Grafiken

In einigen Fällen ist es leicht zu berechnen t(G) direkt:

  • Wenn G ist dann selbst ein Baum t(G) = 1.
  • Wann G ist der Zyklusdiagramm Cn mit n Scheitelpunkte dann t(G) =n.
  • Für ein Komplette Graph mit n Scheitelpunkte, Cayleys Formel[11] gibt die Anzahl der Spannbäume als nn- 2.
  • Wenn G ist der Komplette zweigliedrige Grafik ,[12] dann .
  • Für die n-Dimensional Hypercube -Diagramm ,[13] Die Anzahl der Spannbäume ist .

In willkürlichen Graphen

Allgemeiner für jede Grafik G, die Nummer t(G) kann in berechnet werden in Polynomzeit als die bestimmend von a Matrix abgeleitet aus der Grafik, verwendet Kirchhoffs Matrix-Tree-Theorem.[14]

Speziell, um zu berechnen t(G), man konstruiert die Laplace -Matrix der Grafik, eine quadratische Matrix, in der die Zeilen und Spalten beide durch die Eckpunkte von indiziert werden G. Der Eintrag in der Reihe i und Säule j ist einer von drei Werten:

  • Der Grad des Scheitelpunkts i, wenn i=j,
  • –1, wenn Eckpunkte i und j sind benachbart oder
  • 0, wenn Eckpunkte i und j unterscheiden sich voneinander, aber nicht benachbart.

Die resultierende Matrix ist SingularSeine Determinante ist also Null. Das Löschen der Zeile und Spalte für einen willkürlich gewählten Scheitelpunkt führt jedoch zu einer kleineren Matrix, deren Determinante genau istt(G).

Löschungskontraktion

Wenn G ist eine Grafik oder Multigraph und e ist eine willkürliche Kante von Gdann die Nummer t(G) Bäume von überspannten G erfüllt das Wiederauftreten der Löschung der Kontraktion t(G) =t(G-e)+t(G/e), wo G-e ist das durch Löschen erhaltene Multigraph e und G/e ist der Kontraktion von G durch e.[15] Der Begriff t(G-e) In dieser Formel zählt die Spannbäume vonG das benutzt keine Kanteeund der Begriff t(G/e) zählt die Spannbäume vonG diese Verwendunge.

In dieser Formel, wenn die angegebene Grafik G ist ein Multigraph, oder wenn eine Kontraktion dazu führt, dass zwei Scheitelpunkte durch mehrere Kanten aneinander verbunden sind, sollten die redundanten Kanten nicht entfernt werden, da dies zur falschen Gesamtzahl führen würde. Zum Beispiel a Bond -Diagramm Anschließen von zwei Scheitelpunkten durch k Kanten hat k Unterschiedliche Spannbäume, die jeweils aus einer einzigen dieser Kanten bestehen.

Tutte -Polynom

Das Tutte -Polynom eines Diagramms kann als Summe über die Spannbäume des Diagramms definiert werden, von Begriffen, die aus der "internen Aktivität" und "externer Aktivität" des Baumes berechnet werden. Sein Wert bei den Argumenten (1,1) beträgt die Anzahl der Spannbäume oder in einem getrennten Diagramm die Anzahl der maximalen Spannwälder.[16]

Das Tutte-Polynom kann auch unter Verwendung eines rezidivierten Deletionskontraktionsauftretens berechnet werden, aber der Rechenkomplexität ist hoch: Für viele Werte seiner Argumente ist es genau zu berechnen, dass es genau berechnet ist #P-Completeund es ist auch schwer zu approximieren mit einem garantierten Annäherungsverhältnis. Der Punkt (1,1), an dem er mit dem Theorem von Kirchhoff bewertet werden kann, ist eine der wenigen Ausnahmen.[17]

Algorithmen

Konstruktion

Ein einzelner Spannungsbaum einer Grafik kann in gefunden werden lineare Zeit von beiden Tiefe-First-Suche oder Breite-First-Suche. Beide Algorithmen untersuchen die angegebene Grafik aus einem willkürlichen Scheitelpunkt vDurch die Schlaufe durch die Nachbarn der Eckpunkte entdecken sie jeden unerforschten Nachbarn einer Datenstruktur, die später untersucht werden soll. Sie unterscheiden sich darin, ob diese Datenstruktur a ist Stapel (im Fall der Tiefe-First-Suche) oder a Warteschlange (Im Fall von Breite zuerst suchen). In beiden Fällen kann man einen Spannungsbaum bilden, indem jeder Scheitelpunkt angeschlossen wird, außer dem Wurzelscheitelpunkt van den Scheitelpunkt, aus dem es entdeckt wurde. Dieser Baum ist als Tiefen-First-Suchbaum oder als BROEDTH-First-Suchbaum gemäß dem zum Konstruktion verwendeten Diagramm-Explorationsalgorithmus bekannt.[18] Tiefe-First-Suchbäume sind ein Sonderfall einer Klasse von Spannbäumen, die genannt werden Trémaux Bäume, benannt nach dem Entdecker der Tiefe-First-Suche aus dem 19. Jahrhundert.[19]

Spannungsbäume sind parallel und verteiltes Computer wichtig, um die Kommunikation zwischen einer Reihe von Prozessoren aufrechtzuerhalten. siehe zum Beispiel die Spannende Baumprotokoll benutzt von OSI -Linkschicht Geräte oder das Ruf (Protokoll) für verteiltes Computing. Die Methoden der Tiefen- und Breite, um Spannbäume auf sequentiellen Computern zu konstruieren, eignen sich jedoch nicht gut für parallele und verteilte Computer.[20] Stattdessen haben Forscher mehrere mehr spezialisierte Algorithmen entwickelt, um Spannbäume in diesen Berechnungsmodellen zu finden.[21]

Optimierung

In bestimmten Bereichen der Graphentheorie ist es oft nützlich, a zu finden Minimum Spanning Tree von a gewichtete Grafik. Weitere Optimierungsprobleme bei Spannbäumen wurden ebenfalls untersucht, einschließlich des maximalen Spannungsbaum Spannungsbaum mit den wenigsten Kanten pro Scheitelpunkt, das Spannungsbaum mit der größten Anzahl von Blättern, der Spannungsbaum mit den wenigsten Blättern (eng verwandt mit dem Hamiltonian Path Problem), der minimale Durchmesser und die minimale Dilatation Spanning Tree.[22][23]

Optimale Spanning -Baumprobleme wurden auch auf endliche Punkte in einem geometrischen Raum wie dem untersucht Euklidische Ebene. Für eine solche Eingabe ist ein Spannungsbaum wieder ein Baum, der als Eckpunkte die angegebenen Punkte hat. Die Qualität des Baumes wird auf die gleiche Weise wie in einem Diagramm gemessen, wobei der euklidische Abstand zwischen Punktpaaren als Gewicht für jede Kante verwendet wird. So zum Beispiel a Euklidischer Minimum Spanning Tree ist dasselbe wie ein minimaler Spannungsbaum von Graph in a Komplette Graph mit euklidischen Kantengewichten. Es ist jedoch nicht erforderlich, dieses Diagramm zu konstruieren, um das Optimierungsproblem zu lösen. Das euklidische Minimum -Spanning -Baum -Problem kann beispielsweise in effizienter gelöst werden O(nProtokolln) Zeit durch Konstruktion der Delaunay -Triangulation und dann eine lineare Zeit anwenden Planare Graph Minimum Spanning Tree -Algorithmus zur resultierenden Triangulation.[22]

Randomisierung

Ein Spannungsbaum gewählt nach dem Zufallsprinzip Von allen Spannbäumen mit gleicher Wahrscheinlichkeit wird a genannt einheitlicher Spannungsbaum. Der Wilson -Algorithmus kann verwendet werden, um in Polynomzeit einheitliche Spannungsbäume zu erzeugen, indem ein Zufallsspaziergang auf dem angegebenen Diagramm unternommen und die durch diesen Spaziergang erzeugten Zyklen gelöscht werden.[24]

Ein alternatives Modell zur Erzeugung von Bäumen zufällig, aber nicht einheitlich ist das zufälliger minimaler Spannungsbaum. In diesem Modell werden den Kanten des Diagramms zufällige Gewichte zugewiesen und dann die Minimum Spanning Tree des gewichteten Diagramms ist konstruiert.[25]

Aufzählung

Da ein Diagramm möglicherweise exponentiell viele Spannbäume hat, ist es nicht möglich, sie alle in aufzulisten Polynomzeit. Algorithmen sind jedoch dafür bekannt, alle Spannbäume in Polynomzeit pro Baum aufzulisten.[26]

In unendlichen Graphen

Jedes endliche angeschlossene Diagramm hat einen Spannungsbaum. Für unendliche angeschlossene Graphen entspricht die Existenz von Spannungsbäumen jedoch dem Axiom der Wahl. Ein unendlicher Diagramm ist angeschlossen, wenn jedes Paar seiner Eckpunkte das Paar von Endpunkten eines endlichen Pfades bildet. Wie bei endlichen Graphen ist ein Baum ein verbundener Diagramm ohne endliche Zyklen, und ein Spannungsbaum kann entweder als maximaler acyclischer Satz von Kanten oder als Baum definiert werden, der jeden Scheitelpunkt enthält.[27]

Die Bäume innerhalb eines Diagramms können teilweise durch ihre Subgraph -Beziehung geordnet werden, und jede unendliche Kette in dieser teilweisen Reihenfolge hat eine Obergrenze (die Vereinigung der Bäume in der Kette). Zorns LemmaEine von vielen äquivalenten Aussagen zum Axiom der Wahl erfordert, dass eine teilweise Reihenfolge, in der alle Ketten oberen begrenzt sind, ein maximales Element haben; In der teilweisen Reihenfolge der Bäume des Diagramms muss dieses maximale Element ein Spannbaum sein. Wenn Zorns Lemma angenommen wird, hat jedes unendlich verbundene Diagramm einen Spannungsbaum.[27]

In die andere Richtung, gegeben a Familie der SetsEs ist möglich, einen unendlichen Graphen so zu konstruieren, dass jeder Spannungsbaum des Diagramms einem entspricht Auswahlfunktion der Familie der Sets. Wenn jedes unendlich verbundene Diagramm einen Spannungsbaum hat, ist das Axiom der Wahl wahr.[28]

In gerichteten Multigraphen

Die Idee eines Spannungsbaums kann auf gerichtete Multigraphen verallgemeinert werden.[29] Einen Scheitelpunkt gegeben v auf einem gerichteten Multigraph G, ein Orientierter Spannungsbaum T verwurzelt bei v ist ein acyclischer Untergraphen von G in dem jeder Scheitelpunkt anderer als v hat Outdegree 1. Diese Definition ist nur erfüllt, wenn die "Zweige" von T zeigen auf v.

Siehe auch

Verweise

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