Freizeit

Im Physik, Freizeit ist ein mathematisches Modell das kombiniert die Drei Dimensionen des Raums und ein Abmessungen von Zeit in eine Single vierdimensional vielfältig. Raumzeitdiagramme kann verwendet werden, um sich zu visualisieren relativistisch Effekte, wie z. B. warum verschiedene Beobachter unterschiedlich wahrnehmen, wo und wann Ereignisse auftreten.

Bis zum 20. Jahrhundert wurde angenommen, dass die dreidimensionale Geometrie des Universums (seine räumliche Expression in Bezug auf Koordinaten, Entfernungen und Richtungen) unabhängig von einer eindimensionalen Zeit war. Der Physiker Albert Einstein half bei der Entwicklung der Idee der Raumzeit als Teil seiner Relativitätstheorie. Vor seiner Pionierarbeit hatten Wissenschaftler zwei getrennte Theorien, um physische Phänomene zu erklären: Isaac NewtonDie Physikgesetze beschrieben die Bewegung massiver Objekte James Clerk MaxwellDie elektromagnetischen Modelle erklärten die Eigenschaften des Lichts. Im Jahr 1905 basierte Einstein jedoch eine Arbeit zur besonderen Relativität auf zwei Postulaten:

• Die Gesetze der Physik sind unveränderlich (d.h. identisch) in allen Trägheitssysteme (d. h. nicht beschleunigende Referenzrahmen)
• Das Lichtgeschwindigkeit in einem Vakuum ist für alle Beobachter gleich, unabhängig von der Bewegung der Lichtquelle.

Die logische Folge der Zusammennahme dieser Postulate ist die untrennbare Verbindung der vier Dimensionen - während der Zeit als unabhängig angenommen - von Raum und Zeit. Viele kontraintuitive Konsequenzen entstehen: Zusätzlich zu der Bewegung der Lichtquelle ist die Lichtgeschwindigkeit unabhängig vom Referenzrahmen konstant, in dem sie gemessen wird. Die Entfernungen und sogar die zeitliche Reihenfolge von Ereignispaaren ändern sich, wenn sie in unterschiedlichem Maße gemessen werden Trägheitsrahmen der Referenz (Dies ist das Relativität der Gleichzeitigkeit); und die lineare Additivität der Geschwindigkeiten gilt nicht mehr.

Einstein rahmte seine Theorie in Bezug auf Kinematik (Das Studium der sich bewegenden Körper). Seine Theorie war ein Fortschritt vorbei Lorentz '1904 Theorie der elektromagnetischen Phänomene von 1904 und Poincarés elektrodynamische Theorie. Obwohl diese Theorien Gleichungen enthielten, die mit denen identisch sind, die Einstein eingeführt haben (d. H. Die, die Lorentz -Transformation), sie waren im Wesentlichen Ad -hoc -Modelle, die vorgeschlagen wurden, um die Ergebnisse verschiedener Experimente zu erklären - einschließlich der Berühmten Michelson -Morley Interferometer -Experiment- Es war äußerst schwierig, in bestehende Paradigmen zu passen.

Im Jahr 1908, Hermann Minkowski-Einer der Mathematikprofessoren eines jungen Einsteins in Zürich-präsentierte eine geometrische Interpretation der besonderen Relativitätstheorie, die die Zeit verschmolz Minkowski -Raum. Ein wichtiges Merkmal dieser Interpretation ist die formale Definition des Raumzeitintervalls. Obwohl Messungen der Entfernung und Zeit zwischen Veranstaltungen Unterschiede für Messungen, die in verschiedenen Referenzrahmen durchgeführt wurden, ist das Raumzeitintervall unabhängig vom Trägheitsrahmen, in dem sie aufgezeichnet werden.^[1]

Minkowskis geometrische Interpretation der Relativitätstheorie war es, für Einsteins Entwicklung seiner 1915 von entscheidender Bedeutung zu sein Allgemeine Theorie der Relativitätstheorie, wo er zeigte, wie Masse und Energie Kurve flache Raumzeit in a Pseudo-riemannische Verteiler.

Einführung

Definitionen

Nicht relativistisch klassische Mechanik Leckereien Zeit Als universelle Maßnötigkeit der Messung, die im gesamten Raum einheitlich ist und vom Raum getrennt ist. Die klassische Mechanik geht davon aus Beobachter Zustand von Bewegung, oder etwas Äußeres.^[2] Darüber hinaus wird davon ausgegangen, dass der Raum ist Euklidisch; Es wird davon ausgegangen, dass der Raum der Geometrie des gesunden Menschenverstandes folgt.^[3]

Im Zusammenhang mit Spezielle Relativität, Zeit kann nicht von den drei Dimensionen des Raums getrennt werden, da die beobachtete Geschwindigkeit zu welchem ​​Zeitpunkt für ein Objekt vom Objekt abhängt Geschwindigkeit relativ zum Beobachter. Generelle Relativität liefert auch eine Erklärung, wie Gravitationsfelder Kann den Zeitverlauf für ein Objekt verlangsamen, wie ein Beobachter außerhalb des Feldes gesehen wird.

Im gewöhnlichen Raum wird eine Position durch drei Zahlen angegeben, die als bekannt als Maße. In dem Kartesisches Koordinatensystem, diese werden x, y und z genannt. Eine Position in der Raumzeit wird als eine genannt Veranstaltungund erfordert, dass vier Zahlen angegeben werden: die dreidimensionale Position im Raum sowie die Position in der Zeit (Abb. 1). Ein Ereignis wird durch eine Reihe von Koordinaten dargestellt x, y, z und t. Die Raumzeit ist also vierdimensional. Mathematische Ereignisse haben keine Dauer und stellen einen einzelnen Punkt in der Raumzeit dar.

Der Weg eines Teilchens durch Raumzeit kann als Folge von Ereignissen angesehen werden. Die Reihe von Ereignissen kann miteinander verbunden werden, um eine Linie zu bilden, die den Fortschritt eines Teilchens durch Raumzeit darstellt. Diese Linie wird als Teilchen bezeichnet Weltlinie.^{[4]: 105}

Mathematisch ist Raumzeit a vielfältigDas heißt, es erscheint in der Nähe jedes Punktes lokal "flach", genauso wie in kleinen Maßstäben eine Globus flach erscheint.^[5] Ein extrem großer Faktor, ${\ displayStyle c}$ (herkömmlich genannt die Lichtgeschwindigkeit) bezieht Entfernungen, die im Raum gemessen wurden, mit zeitlich gemessenen Entfernungen. Die Größe dieses Skalierungsfaktors (fast 300.000 Kilometer oder 190.000 Meilen im Weltraum entspricht einer Sekunde in der Zeit) sowie die Tatsache, dass Raumzeit ein Verteiler ist Entfernungen gibt es wenig, was Menschen beobachten könnten, was sich merklich unterscheidet, was sie beobachten könnten, wenn die Welt euklidisch wäre. Es war nur mit dem Aufkommen sensibler wissenschaftlicher Messungen Mitte des 19. Jahrhunderts, wie die Fizeau -Experiment und die Michelson -Morley -Experiment, dass rätselhafte Diskrepanzen zwischen Beobachtung und Vorhersagen auf der Grundlage der impliziten Annahme des euklidischen Raums festgestellt wurden.^[6]

Abbildung 1-1. Jeder Ort in der Raumzeit ist durch vier von a definierte Zahlen gekennzeichnet Bezugsrahmen: Die Position im Weltraum und die Zeit (die sich als Lesen einer Uhr an jeder Position im Raum visualisiert werden kann). Der 'Observer' synchronisiert die Uhren nach ihrem eigenen Referenzrahmen.

Bei besonderer Relativitätstheorie bedeuten ein Beobachter in den meisten Fällen einen Referenzrahmen, aus dem eine Reihe von Objekten oder Ereignissen gemessen wird. Diese Verwendung unterscheidet sich erheblich von der gewöhnlichen englischen Bedeutung des Begriffs. Referenzrahmen sind von Natur aus nichtlokale Konstrukte, und nach dieser Verwendung des Begriffs ist es nicht sinnvoll, von einem Beobachter als Ort zu sprechen. Stellen Sie sich in Abb. 1-1 vor, dass der in Betracht gezogene Rahmen mit einem dichten Taktgitter ausgestattet ist, das innerhalb dieses Referenzrahmens synchronisiert ist und sich auf unbestimmte Zeit in den drei Dimensionen des Raums erstreckt. Jeder bestimmte Ort innerhalb des Gitters ist nicht wichtig. Das Gitterwerk von Uhren wird verwendet, um die Zeit und Position der Ereignisse im gesamten Rahmen zu bestimmen. Der Begriff Beobachter bezieht sich auf das gesamte Ensemble von Uhren, die mit einem Trägheitsrahmen verbunden sind.^{[7]: 17–22} In diesem idealisierten Fall ist jeder Punkt im Raum eine Uhr zugeordnet, und somit registrieren die Uhren jedes Ereignis sofort, ohne dass eine Zeitverzögerung zwischen einem Ereignis und seiner Aufnahme ist. Ein echter Beobachter wird jedoch eine Verzögerung zwischen der Emission eines Signals und seiner Erkennung aufgrund der Lichtgeschwindigkeit verzeichnen. Um die Uhren in der zu synchronisieren Datenreduzierung Nach einem Experiment wird die Zeit, in der ein Signal empfangen wird, korrigiert, um seine tatsächliche Zeit widerzuspiegeln, wenn es durch ein idealisiertes Uhrengitter aufgezeichnet wurde.

In vielen Büchern über besondere Relativitätstheorie, insbesondere ältere, wird das Wort "Beobachter" im normaleren Sinne des Wortes verwendet. Aus dem Kontext ist normalerweise klar, welche Bedeutung angewendet wurde.

Physiker unterscheiden zwischen dem, was man Maße oder beobachtet (Nachdem man Signalausbreitungsverzögerungen berücksichtigt hat), im Vergleich zu dem, was man ohne solche Korrekturen visuell sieht. Versäumnis zu verstehen Der Unterschied zwischen dem, was man misst/beobachtet, und dem, was man sieht ist die Quelle für einen großen Fehler unter den anfänglichen Studierenden der Relativitätstheorie.^[8]

Geschichte

Abbildung 1-2. Michelson und Morley erwarteten, dass die Bewegung durch den Äther eine unterschiedliche Phasenverschiebung zwischen Licht verursachen würde, das die beiden Arme ihres Geräts durchquert. Die logischste Erklärung ihres negativen Ergebniss, bei Äther -Ziehen, stimmte im Widerspruch zur Beobachtung der Sternaberration.

Mitte des 19. Jahrhunderts verschiedene Experimente wie die Beobachtung der Arago Spot und Differentiale Messungen der Lichtgeschwindigkeit in Luft und Wasser Es wurde angenommen, dass es die Wellen Natur des Lichts im Gegensatz zu a hat Korpuskulärtheorie.^[9] Es wurde angenommen, dass die Ausbreitung von Wellen die Existenz von a erfordert winken Mittel; Bei Lichtwellen galt dies als hypothetisch Luminiferous Äther.^{[Anmerkung 1]} Die verschiedenen Versuche, die Eigenschaften dieses hypothetischen Mediums zu etablieren, ergaben jedoch widersprüchliche Ergebnisse. Zum Beispiel die Fizeau -Experiment von 1851 zeigte, dass die Lichtgeschwindigkeit in fließendem Wasser geringer war als die Summe der Lichtgeschwindigkeit in der Luft sowie die Geschwindigkeit des Wassers um eine Menge, die vom Brechungsindex des Wassers abhängt. Unter anderem die Abhängigkeit des Teils Äther-Draggen Implizit durch dieses Experiment über den Brechungsindex (der von der Wellenlänge abhängt) führte zu der unangenehmen Schlussfolgerung, dass sie Äther gleichzeitig fließt mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten für verschiedene Lichtfarben.^[10] Die Berühmten Michelson -Morley -Experiment von 1887 (Abb. 1-2) zeigte keinen unterschiedlichen Einfluss der Bewegungen der Erde durch den hypothetischen Äther auf die Lichtgeschwindigkeit, und die wahrscheinlichste Erklärung, vollständiges Äther-Ziehen, stand im Konflikt mit der Beobachtung von Stern Aberration.^[6]

George Francis Fitzgerald im Jahr 1889 und und Hendrik Lorentz Im Jahr 1892 schlug unabhängig voneinander vor, dass materielle Körpers durch den festen Äther durch ihren Durchgang physikalisch betroffen waren und sich in Bewegungsrichtung um einen Betrag bezogen, der genau das war, was erforderlich war, um die negativen Ergebnisse des Michelson -Morley -Experiments zu erklären. (Es treten keine Längenänderungen in Richtungen auf, die quer zur Bewegungsrichtung.)

Bis 1904 hatte Lorentz seine Theorie so erweitert, dass er zu Gleichungen angekommen war, die formell mit denen identisch waren, die Einstein später ableiten sollte (d. H. Der Lorentz Transform), aber mit einer grundsätzlich anderen Interpretation. Als eine Theorie von Dynamik (Die Untersuchung von Kräften und Drehmomenten und ihre Wirkung auf die Bewegung) setzte seine Theorie tatsächliche physikalische Deformationen der physikalischen Bestandteile der Materie an.^{[11]: 163–174} Die Gleichungen von Lorentz prognostizierten eine Menge, die er nannte Ortszeit, mit der er das erklären konnte Aberration des Lichts, das Fizeau -Experiment und andere Phänomene. Lorentz betrachtete jedoch die lokale Zeit als nur ein hilfreicher mathematischer Instrument, um die Transformation von einem System in ein anderes zu vereinfachen.

Andere Physiker und Mathematiker um die Jahrhundertwende kamen fast zu dem, was derzeit als Raumzeit bezeichnet wird. Einstein selbst bemerkte, dass bei so vielen Menschen getrennte Teile des Puzzles "die spezielle Theorie der Relativitätstheorie, wenn wir seine Entwicklung im Nachhinein betrachteten, 1905 reif für Entdeckung war"^[12]

Hendrik Lorentz

Henri Poincaré

Albert Einstein

Hermann Minkowski

Abbildung 1-3.

Ein wichtiges Beispiel ist Henri Poincaré,^{[13][14]: 73–80, 93–95} Wer 1898 argumentierte, dass die Gleichzeitigkeit von zwei Ereignissen eine Frage der Konvention ist.^{[15][Anmerkung 2]} Im Jahr 1900 erkannte er, dass Lorentz '"lokale Zeit" tatsächlich das ist Arbeitsdefinition der Taktsynchronisation unter Annahme einer konstanten Lichtgeschwindigkeit.^{[Notiz 3]} In den Jahren 1900 und 1904 schlug er die inhärente Unverständlichkeit des Äther vor, indem er die Gültigkeit dessen betonte, was er das nannte Prinzip der Relativitätund 1905/1906^[16] Er perfektionierte Lorentz 'Elektronentheorie mathematisch, um sie mit dem Postulat der Relativitätstheorie zu übereinstimmen. Während er verschiedene Hypothesen über die Lorentz-invariante Gravitation diskutierte, führte er das innovative Konzept eines vierdimensionalen Raumzeit ein, indem er verschiedene verschiedene Definitionen definierte vier Vektoren, nämlich Vierposition, vier Geschwindigkeiten, und vier Gewalt.^[17][18] Er verfolgte den vierdimensionalen Formalismus in nachfolgenden Papieren jedoch nicht und stellte fest, dass diese Forschungslinie "große Schmerzen gegen begrenzte Gewinn zu haben schien, was letztendlich zu dem Schluss kam", dass die dreidimensionale Sprache am besten für die Beschreibung unserer Welt geeignet zu sein scheint ".^[18] Auch 1909 glaubte Poincaré weiterhin an die dynamische Interpretation der Lorentz -Transformation.^{[11]: 163–174} Aus diesen und anderen Gründen argumentieren die meisten Wissenschaftshistoriker, dass Poincaré das, was heute als besondere Relativität genannt wird, nicht erfunden hat.^[14][11]

Im Jahr 1905 führte Einstein eine spezielle Relativitätstheorie (obwohl ohne die Techniken des Raumzeitformalismus in seinem modernen Verständnis als Theorie von Raum und Zeit einführte.^[14][11] Während seine Ergebnisse mathematisch mit denen von Lorentz und Poincaré äquivalent sind, zeigte Einstein, dass die Lorentz -Transformationen nicht das Ergebnis von Wechselwirkungen zwischen Materie und Äther sind, sondern die Natur von Raum und Zeit selbst betreffen. Er erhielt alle seine Ergebnisse, indem er erkannte, dass die gesamte Theorie auf zwei Postulaten aufgebaut werden kann: das Prinzip der Relativitätstheorie und das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit.

Einstein führte seine Analyse in Bezug auf Kinematik (Die Untersuchung beweglicher Körper ohne Bezug auf Kräfte) und nicht die Dynamik. Seine Arbeiten zur Einführung des Subjekts waren mit lebhaften Bildern gefüllt, die den Austausch von Lichtsignalen zwischen Uhren in Bewegung, sorgfältige Messungen der Längen beweglicher Stangen und anderer solcher Beispiele umfassten.^{[19][Anmerkung 4]}

Außerdem ersetzte Einstein im Jahr 1905 frühere Versuche von einem elektromagnetische Masse–Eergiesrelation durch Einführung des General Äquivalenz von Masse und Energie, was maßgeblich für seine anschließende Formulierung der beteiligt war Äquivalenzprinzip 1907, was die Äquivalenz der Trägheits- und Gravitationsmasse erklärt. Einstein unter Verwendung der Massen -Energie -Äquivalenz, zeigte Einstein außerdem, dass die Gravitationsmasse eines Körpers proportional zu seinem Energiegehalt ist, was eines der frühen Ergebnisse bei der Entwicklung war generelle Relativität. Während es so aussieht, als hätte er zunächst nicht geometrisch über die Raumzeit nachgedacht,^{[21]: 219} Bei der Weiterentwicklung der allgemeinen Relativitätstheorie hat Einstein den Raumzeit -Formalismus vollständig eingebaut.

Als Einstein 1905 veröffentlichte, einer weiteren seiner Konkurrenten, seinem ehemaligen Mathematikprofessor Hermann Minkowskiwar auch zu den meisten grundlegenden Elementen der besonderen Relativitätstheorie angekommen. Max geboren berichtete über ein Treffen, das er mit Minkowski abgeschlossen hatte, um Minkowskis Student/Mitarbeiter zu sein:^[22]

Ich ging nach Köln, traf Minkowski und hörte seinen berühmten Vortragsraum und die Zeit am 2. September 1908. [...] Er erzählte mir später, dass es ihm als großer Schock kam, als Einstein seine Zeitung veröffentlichte, in der die Äquivalenz die Äquivalenz veröffentlichte Von den verschiedenen lokalen Zeiten von Beobachtern, die sich relativ zueinander bewegten, wurde ausgesprochen; Denn er hatte die gleichen Schlussfolgerungen unabhängig gezogen, aber sie nicht veröffentlicht, weil er zuerst die mathematische Struktur in seiner ganzen Pracht herausarbeiten wollte. Er machte nie einen Vorrangsanspruch und gab Einstein immer seinen vollen Anteil an der großen Entdeckung.

Minkowski war mit dem Zustand der Elektrodynamik nach Michelsons disruptiven Experimenten seit dem Sommer 1905 besorgt, als Minkowski und David Hilbert führte ein fortgeschrittenes Seminar an, an dem bemerkenswerte Physiker der Zeit teilnahmen, um die Zeitungen von Lorentz, Poincaré et al. Es ist jedoch überhaupt nicht klar, als Minkowski begann, die geometrische Formulierung der besonderen Relativitätstheorie zu formulieren, die seinen Namen tragen sollte, oder in welchem ​​Umfang er durch Poincarés vierdimensionale Interpretation der Lorentz-Transformation beeinflusst wurde. Es ist auch nicht klar, ob er Einsteins kritischem Beitrag zum Verständnis der Lorentz -Transformationen jemals voll und ganz geschätzt hat und über Einsteins Arbeit als Erweiterung von Lorentz 'Arbeit dachte.^[23]

Abbildung 1–4. Handfarbene Transparenz von Minkowski in seinem 1908 vorgestellt Raum und Zeit Vorlesung

Am 5. November 1907 (etwas mehr als ein Jahr vor seinem Tod) führte Minkowski seine geometrische Interpretation von Raumzeit in einem Vortrag an die Göttingen -Mathematische Gesellschaft mit dem Titel vor. Das Relativitätsprinzip (Das Relativitätätsprinzip).^{[Anmerkung 5]} Am 21. September 1908 präsentierte Minkowski seinen berühmten Vortrag. Raum und Zeit (Raum und Zeit),^[24] an die deutsche Gesellschaft der Wissenschaftler und Ärzte. Die Öffnungswörter von Raum und Zeit Fügen Sie Minkowskis berühmte Aussage ein, dass "von nun an den Raum für sich selbst und die Zeit für sich selbst vollständig auf einen bloßen Schatten reduzieren wird, und nur eine Art Vereinigung der beiden wird die Unabhängigkeit bewahren". Raum und Zeit beinhaltete die erste öffentliche Präsentation von Raumzeitdiagrammen (Abb. 1-4) und beinhaltete eine bemerkenswerte Demonstration, dass das Konzept des Invariante Intervall (nachfolgend diskutiert) zusammen mit der empirischen Beobachtung, dass die Lichtgeschwindigkeit endlich ist, ermöglicht die Ableitung der gesamten speziellen Relativitätstheorie.^{[Anmerkung 6]}

Das Raumzeitkonzept und die Lorentz -Gruppe sind eng mit bestimmten Arten von verbunden Kugel, hyperbolisch, oder Konforme Geometrien und ihre Transformationsgruppen, die bereits im 19. Jahrhundert entwickelt wurden, in denen Invariante Intervalle analog zum Raumzeitintervall werden verwendet.^{[Anmerkung 7]}

Einstein seinerseits wurde zunächst die geometrische Interpretation der besonderen Relativität von Minkowski in Bezug Überflüssie Gelehrsamkeit (überflüssiger Lernheit). Um seine Suche nach allgemeiner Relativitätstheorie 1907 zu vervollständigen, erwies sich die geometrische Interpretation der Relativitätstheorie als wichtig, und 1916 erkannte Einstein seine Verschuldung gegenüber Minkowski vollständig an, dessen Interpretation den Übergang zum allgemeinen Relativität stark erleichterte.^{[11]: 151–152} Da es andere Arten von Raumzeit gibt, wie die gekrümmte Raumzeit der allgemeinen Relativitätstheorie, ist die Raumzeit der besonderen Relativität heute als bekannt als Minkowski -Raumzeit.

Raumzeit in besonderer Relativitätstheorie

Raumzeitintervall

In drei Dimensionen die Distanz ${\ displayStyle \ delta {d}}$ Zwischen zwei Punkten können mit dem definiert werden Satz des Pythagoras:

${\ displayStyle (\ delta {d})^{2} = (\ delta {x})^{2}+(\ delta {y})^{2}+(\ delta {z})^{2} }$

Obwohl zwei Zuschauer die messen können x, y, und z Position der beiden Punkte unter Verwendung verschiedener Koordinatensysteme ist der Abstand zwischen den Punkten für beide gleich (vorausgesetzt, sie messen mit denselben Einheiten). Die Entfernung ist "invariant".

In der besonderen Relativitätstheorie ist der Abstand zwischen zwei Punkten jedoch nicht mehr gleich, wenn er von zwei verschiedenen Beobachtern gemessen wird, wenn sich einer der Beobachter bewegt Lorentz -Kontraktion. Die Situation ist noch komplizierter, wenn die beiden Punkte sowohl rechtzeitig als auch im Weltraum getrennt sind. Wenn ein Beobachter beispielsweise zwei Ereignisse am selben Ort auftreten sieht, aber zu unterschiedlichen Zeiten, wird eine Person, die sich in Bezug auf den ersten Beobachter bewegt und die Position des Ereignisses tritt oder nähert sich. Somit muss ein anderes Maß verwendet werden, um die effektive "Entfernung" zwischen zwei Ereignissen zu messen.

In vierdimensionaler Raumzeit ist das Analog-zu-Abstand das Intervall. Obwohl die Zeit als vierte Dimension erfolgt, wird sie anders behandelt als die räumlichen Dimensionen. Minkowski -Raum unterscheidet sich daher in wichtiger Punkte von vierdimensionaler euklidischer Raum. Der grundlegende Grund für die Verschmelzung von Raum und Zeit in die Raumzeit ist, dass Raum und Zeit getrennt nicht invariant sind, was bedeutet Veranstaltungen (durch Zeitdilatation) oder der Abstand zwischen den beiden Ereignissen (wegen von Längenkontraktion). Eine besondere Relativitätstheorie bietet jedoch eine neue Invariante, die als die genannt wird Raumzeitintervall, was Entfernungen im Raum und in der Zeit kombiniert. Alle Beobachter, die die Zeit und den Abstand zwischen zwei beliebigen Ereignissen messen, berechnen das gleiche Raumzeitintervall. Angenommen, ein Beobachter misst zwei Ereignisse, die rechtzeitig von der Zeit getrennt werden ${\ displayStyle \ Delta T}$ und eine räumliche Entfernung ${\ displayStyle \ Delta x.}$ Dann das Raumzeitintervall ${\ displayStyle (\ delta {s})^{2}}$ zwischen den beiden Ereignissen, die durch eine Entfernung getrennt sind ${\ displayStyle \ delta {x}}$ im Raum und durch ${\ displayStyle \ delta {ct} = c \ delta t}$ in dem ${\ displayStyle ct}$-Coordinate ist:

${\ displayStyle (\ delta s)^{2} = (\ delta ct)^{2}-(\ delta x)^{2},},},},}$

oder für drei Raumabmessungen,

$oder 2}.}$^[28]

Die Konstante ${\ displayStyle c,}$ Die Lichtgeschwindigkeit wandelt Zeiteinheiten (wie Sekunden) in Weltraumeinheiten (wie Meter) um. Das quadratische Intervall ${\ displayStyle \ Delta S^{2}}$ ist ein Maß für die Trennung zwischen den Ereignissen A und B, die zeitlich getrennt sind und zusätzlich den Raum getrennt haben, da sich zwei separate Objekte unterziehen, oder weil sich ein einzelnes Objekt im Raum intial zwischen seinen Ereignissen bewegt. Das Trennungsintervall wird abgeleitet, indem der räumliche Abstand von Ereignis B von Ereignis A quadriert und vom Quadrat des räumlichen Abstands subtrahiert ${\ displayStyle \ Delta T}$. Wenn die Ereignistrennung auf ein Lichtsignal zurückzuführen ist, verschwindet dieser Unterschied und verschwindet und ${\ displayStyle \ delta s = 0}$.

Wenn das betrachtete Ereignis unendlich nahe beieinander ist, können wir schreiben

${\ displayStyle ds^{2} = cdt^{2} -dx^{2} -dy^{2} -dz^{2}.}.}.}$

In einem anderen Trägheitsrahmen beispielsweise mit Koordinaten ${\ displayStyle (t ', x', y ', z')}$das Raumzeitintervall ${\ displayStyle ds '}$ kann in einer gleichen Form wie oben geschrieben werden. Aufgrund der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit gehören die Lichtereignisse in allen Trägheitsbildern zum Nullintervall, ${\ displayStyle ds = ds '= 0}$. Für jedes andere infinitesimale Ereignis, bei dem ${\ displayStyle ds \ neq 0}$man kann das beweisen ${\ displayStyle ds^{2} = ds '^{2}}$ was wiederum zur Integration führt zu ${\ displayStyle s = s '}$.^{[29]: 2} Die Invarianz des Intervalls eines jeden Ereignisses zwischen allen Geschlechtsrahmen der Referenz ist eines der grundlegenden Ergebnisse der speziellen Relativitätstheorie.

Obwohl für Kürze, sieht man häufig Intervallausdrücke, die ohne Deltas ausgedrückt werden, auch in den meisten der folgenden Diskussionen, es sollte im Allgemeinen verstanden werden, dass im Allgemeinen, ${\ displayStyle x}$ meint ${\ displayStyle \ delta {x}}$usw. Wir sind immer besorgt um Unterschiede von räumlichen oder zeitlichen Koordinatenwerten, die zu zwei Ereignissen gehören, und da es keinen bevorzugten Ursprung gibt, haben einzelne Koordinatenwerte keine wesentliche Bedeutung.

Abbildung 2–1. Spacetime Diagramm, das zwei Photonen, A und B, mit demselben Ereignis und einem langsameren Lichtgeschwindigkeitsobjekt, C, illustriert, C.

Die obige Gleichung ähnelt dem pythagoräischen Theorem, außer mit einem Minuszeichen zwischen dem ${\ displayStyle (ct)^{2}}$ und die ${\ displayStyle x^{2}}$ Bedingungen. Das Raumzeitintervall ist die Menge ${\ displayStyle S^{2},},}$ nicht ${\ displayStyle S}$ selbst. Der Grund dafür ist, dass im Gegensatz zu Entfernungen in der euklidischen Geometrie Intervalle in der Minkowski -Raumzeit negativ sein können. Anstatt sich mit quadratischen Wurzeln negativer Zahlen zu befassen, betrachten Physiker üblicherweise ${\ displayStyle S^{2}}$ als ein ausgeprägtes Symbol an sich und nicht als das Quadrat von etwas.^{[21]: 217}

Im Algemeinen ${\ displayStyle S^{2}}$ kann alle Werte der realen Zahl annehmen. Wenn ${\ displayStyle S^{2}}$ ist positiv, das Raumzeitintervall wird als bezeichnet als zeitlich. Da die räumliche Entfernung, die von einem massiven Objekt durchquert wird, immer weniger als die Entfernung des Lichts für das gleiche Zeitintervall ist, sind reale Intervalle immer zeitlich. Wenn ${\ displayStyle S^{2}}$ ist negativ, das Raumzeitintervall soll sein räumlich, wo das Raumzeitintervall imaginär ist. Raumzeitintervalle sind gleich Null, wenn ${\ displayStyle x = \ pm ct.}$ Mit anderen Worten, das Raumzeitintervall zwischen zwei Ereignissen auf der Weltlinie von etwas, das sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegt, ist Null. Ein solches Intervall wird bezeichnet leicht oder Null. Ein Photon, das von einem entfernten Stern in unserem Auge ankommt, wird nicht gealtert sein, obwohl er (aus unserer Sicht) Jahre in seiner Passage verbracht hat.

Ein Raumzeitdiagramm wird typischerweise nur mit einem einzigen Raum und einer einzigen Zeitkoordinate gezeichnet. Abb. 2-1 enthält ein Raumzeitdiagramm, das das veranschaulicht Weltlinien (d. H. Wege in der Raumzeit) von zwei Photonen A und B, die aus demselben Ereignis stammen und in entgegengesetzte Richtungen gehen. Darüber hinaus zeigt C die Weltlinie eines langsameren Lichtgeschwindigkeitsobjekts. Die vertikale Zeitkoordinate wird durch skaliert von ${\ displayStyle c}$ so dass es die gleichen Einheiten (Meter) hat wie die horizontale Raumkoordinate. Da Photonen mit Lichtgeschwindigkeit reisen, haben ihre Weltlinien eine Steigung von ± 1. Mit anderen Worten, jedes Messgerät, das ein Photon nach links oder rechts bewegt, erfordert ungefähr 3,3 Nanosekunden Zeit.

In der Relativitätsliteratur werden zwei Zeichenkonventionen verwendet:

${\ displaystyle s^{2} = (ct)^{2} -x^{2} -y^{2} -z^{2}}$

und

${\ displaystyle s^{2} =-(ct)^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

Diese Zeichenkonventionen sind mit dem verbunden Metrische Unterschriften (+ - - -) und ( - +++). Eine geringfügige Variation besteht darin, die Zeitkoordinate zuletzt als zuerst zu platzieren. Beide Konventionen werden im Bereich des Studiums häufig verwendet.

Referenzrahmen

Abbildung 2-2. Galiläisches Diagramm von zwei Referenzrahmen in der Standardkonfiguration

Abbildung 2–3. (a) Galiläisches Diagramm von zwei Referenzrahmen in der Standardkonfiguration, (b) Raumzeitdiagramm von zwei Referenzrahmen, (c) Raumzeitdiagramm, das den Pfad eines reflektierten Lichtimpulses zeigt

Einblicke in die von Beobachtern gemessenen Spacetime -Koordinaten in verschiedenen Bereichen erhalten Referenzrahmen Vergleichen Sie miteinander, es ist nützlich, mit einem vereinfachten Setup mit Frames in a zu arbeiten Standardkonfiguration. Mit Sorgfalt ermöglicht dies eine Vereinfachung der Mathematik ohne Verlust der Allgemeinheit in den erreichten Schlussfolgerungen. In Abb. 2-2 zwei Galiläische Referenzrahmen (d. H. Konventionelle 3-Raum-Frames) werden in relativer Bewegung angezeigt. Frame S gehört zu einem ersten Beobachter O und Rahmen S '(ausgesprochen "S Prime") gehört zu einem zweiten Beobachter O'.

• Das x, y, z Die Achsen von Rahmen S sind parallel zu den jeweiligen ordentlichen Achsen von Rahmen S 'ausgerichtet.
• Rahmen S 'bewegt sich in der x-Richtung von Rahmen S mit einer konstanten Geschwindigkeit v gemessen in Rahmen S. gemessen
• Die Ursprünge von Frames S und S 'sind in der Zeit zusammenhaltend t = 0 für Frame S und t'= 0 für Frame S'.^{[4]: 107}

Abb. 2-3a führt Abb. 2-2 in einer anderen Ausrichtung neu. Abb. 2-3B zeigt ein Raumzeitdiagramm aus dem Gesichtspunkt von Observer O. Da S und S 'in Standardkonfiguration sind, fällt ihre Ursprünge manchmal überein t= 0 in Frame S und t'= 0 in Rahmen S'. Das ct'Achse durchläuft die Ereignisse in Rahmen S', die haben x'= 0. Aber die Punkte mit x'= 0 bewegen sich in der x-Richtungsrichtung mit Geschwindigkeit v, damit sie nicht mit dem zusammenfallen ct Achse zu irgendeinem Zeitpunkt außer Null. deshalb, die ct'Achse wird in Bezug auf die geneigt ct Achse durch einen Winkel θ gegeben durch

${\ displayStyle \ tan (\ theta) = v/c.}$

Das x'Achse wird auch in Bezug auf die geneigt x Achse. Um den Winkel dieser Neigung zu bestimmen, erinnern wir uns daran, dass die Steigung der Weltlinie eines leichten Impulses immer ± 1 beträgt. Abb. 2-3C zeigt ein Raumzeitdiagramm aus Sicht des Beobachters O '. Ereignis P repräsentiert die Emission eines leichten Impulses bei x'= 0,, ct'= -a. Der Impuls spiegelt sich von einem Spiegel reflektiert, der sich in einer Entfernung befindet a aus der Lichtquelle (Ereignis q) und kehrt zur Lichtquelle bei zurück x'= 0,,ct'=a (Ereignis R).

Die gleichen Ereignisse p, q, r sind in Abb. 2-3b im Rahmen von Observer O aufgetragen zum x und ct Äxte. Da op = oq = oder der Winkel zwischen x' und x muss auch sein θ.^{[4]: 113–118}

Während der Restrahmen Platz- und Zeitachsen hat, die sich im rechten Winkel treffen, wird der sich bewegende Rahmen mit Achsen gezeichnet, die sich in einem akuten Winkel treffen. Die Rahmen sind tatsächlich gleichwertig. Die Asymmetrie ist auf unvermeidbare Verzerrungen bei der Abbindung von Raumzeitkoordinaten auf a zurückzuführen Kartesische Ebeneund sollte als kein Unbekannter angesehen werden als die Art und Weise, in der auf a Mercator -Projektion Von der Erde sind die relativen Größen der Landmassen in der Nähe der Pole (Grönland und Antarktis) im Vergleich zu Landmassen in der Nähe des Äquators stark übertrieben.

Leichter Kegel

Abbildung 2–4. Der leichte Kegel drehte sich auf ein Ereignis unterteilt den Rest der Raumzeit in die Zukunft, die Vergangenheit und "anderswo".

In Abb. 2–4 befindet sich das Ereignis O im Ursprung eines Raumzeitdiagramms, und die beiden diagonalen Linien repräsentieren alle Ereignisse, die in Bezug auf das Ursprungsereignis kein Raumzeitintervall haben. Diese beiden Zeilen bilden das, was genannt wird leichter Kegel des Ereignisses O, da das Hinzufügen einer zweiten räumlichen Dimension (Abb. 2-5) das Erscheinungsbild des von zwei macht Rechte kreisförmige Zapfen Treffen mit ihren Spitzen bei O. Ein Kegel erstreckt sich in die Zukunft (t> 0), der andere in die vorbei an (t <0).

Abbildung 2–5. Lichtkegel im 2D -Raum plus eine Zeitdimension

Ein leichter (doppelter) Kegel unterteilt die Raumzeit in Bezug auf seine Spitze in getrennte Regionen. Das Innere des zukünftigen Lichtkegels besteht aus allen Ereignissen, die durch mehr vom Spitze getrennt sind Zeit (zeitliche Entfernung) als notwendig, um ihre zu überqueren räumliche Entfernung bei Lichtgeschwindigkeit; Diese Ereignisse umfassen die Zeitliche Zukunft des Ereignisses O. Ebenso die Zeitartige Vergangenheit umfasst die inneren Ereignisse des vergangenen Lichtkegels. Also in zeitlichartige Intervalle Δct ist größer als Δx, zeitlichere Intervalle positiv machen. Die Region außerhalb des Lichtkegels besteht aus Ereignissen, die von der Veranstaltung o durch mehr getrennt sind Platz als in der gegebenen Lichtgeschwindigkeit überquert werden kann Zeit. Diese Ereignisse umfassen die sogenannten räumlich Region des Ereignisses O, bezeichnet "anderswo" in Abb. 2-4. Ereignisse auf dem Lichtkegel selbst sollen sein leicht (oder Null getrennt) Aus O. aufgrund der Invarianz des Raumzeitintervalls weisen alle Beobachter einem bestimmten Ereignis den gleichen Lichtkegel zu und werden sich somit auf diese Aufteilung der Raumzeit einigen.^{[21]: 220}

Der Lichtkegel spielt eine wesentliche Rolle im Konzept von Kausalität. Es ist möglich, dass ein nicht-fachdurchdringliches Signal von der Position und Zeit von O zur Position und Zeit von D wandert (Abb. 2-4). Es ist daher möglich, dass Ereignis O einen kausalen Einfluss auf das Ereignis D hat Reisen Sie von der Position und Zeit von A zur Position und Zeit von O. Der vergangene Lichtkegel enthält alle Ereignisse, die einen kausalen Einfluss auf O haben könnten. Im Gegensatz dazu, dass Signale nicht schneller als die Lichtgeschwindigkeit wandern können, beliebige Ereignis, wie z. B oder C kann in der räumlichen Region (anderswo) das Ereignis O nicht beeinflussen, und sie können auch nicht von Ereignissen betroffen sein, die eine solche Signalübertragung einsetzen. Unter dieser Annahme wird jede kausale Beziehung zwischen Ereignis O und Ereignissen in der räumlichen Region eines leichten Kegels ausgeschlossen.^[30]

Relativität der Gleichzeitigkeit

Abbildung 2–6. Animation zur Veranschaulichung der Relativität der Simultanität

Alle Beobachter sind sich einig, dass für jedes Ereignis ein Ereignis innerhalb des zukünftigen Lichtkegels des gegebenen Ereignisses auftritt nach das gegebene Ereignis. Ebenso tritt für jedes Ereignis ein Ereignis innerhalb des vergangenen Lichtkegels des gegebenen Ereignisses auf Vor das gegebene Ereignis. Die für zeitlich getrennte Ereignisse beobachtete Beobachtungsbeziehung bleibt unverändert, egal was die Referenzrahmen des Beobachters, d. H. Egal wie sich der Beobachter bewegen kann. Die Situation ist bei spazellenähnlichen durch getrennten Ereignissen ganz anders. Abb. 2-4 wurde aus dem Referenzrahmen eines Beobachters gezeichnet, der sich bewegte v = 0. Aus diesem Referenzrahmen wird beobachtet, dass Ereignis C nach dem Ereignis O auftritt, und das Ereignis B wird vor Ereignis O auftritt. Aus einem anderen Referenzrahmen können die Orden dieser nicht-kauslistigen Ereignisse umgekehrt werden. Insbesondere stellt man fest, dass wenn zwei Ereignisse in einem bestimmten Referenzrahmen gleichzeitig sind, dies sind Notwendig getrennt durch ein räumliches Intervall und sind daher nicht kauslal verwandt. Die Beobachtung, dass die Gleichzeitigkeit nicht absolut ist, sondern vom Referenzrahmen des Beobachters abhängt, wird als als bezeichnet Relativität der Gleichzeitigkeit.^[31]

Abb. 2-6 zeigt die Verwendung von Raumzeitdiagrammen bei der Analyse der Relativitätstheorie der Simultanität. Die Ereignisse in der Raumzeit sind invariant, aber die Koordinatenrahmen transformieren, wie oben in Abb. 2-3 diskutiert. Die drei Ereignisse (A, b, c) sind gleichzeitig aus dem Referenzrahmen eines Beobachters, der sich bewegt v = 0. Aus dem Referenzrahmen eines Beobachters, der sich bewegt v = 0,3c, Die Ereignisse scheinen in der Reihenfolge auftreten C, B, A. Aus dem Referenzrahmen eines Beobachters, der sich bewegt v = –0,5cDie Ereignisse scheinen in der Reihenfolge auftreten A, b, c. Die weiße Linie repräsentiert a Ebene der Gleichzeitigkeit von der Vergangenheit des Beobachters in die Zukunft des Beobachters bewegt zu werden und Ereignisse hervorzuheben, die darauf wohnen. Die Grauzone ist der leichte Kegel des Beobachters, der unveränderlich bleibt.

Ein räumliches Raumzeitintervall ergibt den gleichen Abstand, den ein Beobachter messen würde, wenn die gemessenen Ereignisse dem Beobachter gleichzeitig sind. Ein räumliches Raumzeitintervall liefert daher ein Maß von richtige Entfernung, d.h. die wahre Entfernung = ${\ displayStyle {\ sqrt {-s^{2}}}.}$ Ebenso liefert ein zeitlichartiges Raumzeitintervall das gleiche Zeitmaß, das durch das kumulative Ticken einer Uhr dargestellt wird, die sich entlang einer bestimmten Weltlinie bewegt. Ein zeitlichartiges Raumzeitintervall liefert daher ein Maß für die richtige Zeit = ${\ displaystyle {\ sqrt {s^{2}}}.}$^{[21]: 220–221}

Invariante Hyperbel

Abbildung 2–7. (a) Familien von invarianten Hyperbolae, (b) Hyperboloiden von zwei Blättern und einem Blatt

Im euklidischen Raum (nur mit räumlichen Dimensionen) bildet der Satz von Punktemäuremäumen (unter Verwendung der euklidischen Metrik) von irgendeinem Punkt einen Kreis (in zwei Dimensionen) oder eine Kugel (in drei Dimensionen). Im (1+1) -dimensional Minkowski -Raumzeit (mit einer zeitlichen und einer räumlichen Dimension), die Punkte in einem konstanten Raumzeitintervall vom Ursprung (unter Verwendung der Minkowski -Metrik) bilden Kurven, die durch die beiden Gleichungen angegeben sind

${\ displayStyle (ct)^{2} -x^{2} = \ pm s^{2},},},},},}$

mit ${\ displayStyle S^{2}}$einige positive reale Konstante. Diese Gleichungen beschreiben zwei Familien von Hyperbolae in einem x–ct Raumzeitdiagramm, die bezeichnet werden Invariante Hyperbel.

In Abb. 2-7A verbindet jede Magenta-Hyperbola alle Ereignisse mit einer festen räumlichen Trennung vom Ursprung, während die grünen Hyperbolae Ereignisse mit gleicher Zeitabtrennung verbinden.

Die Magenta -Hyperbel, die die überqueren x Achse sind zeitlichartige Kurven, dh diese Hyperbolae repräsentieren tatsächliche Wege, die durch (ständig beschleunigende) Partikel in Raumzeit durchquert werden können: zwischen zwei beliebigen Ereignissen an einer Hyperbel eine Kausalitätsbeziehung ist möglich, da die Inverse der Steigung - Repräsentation - repräsentativ ist Die notwendige Geschwindigkeit - für alle Sekanten ist geringer als ${\ displayStyle c}$. Andererseits die grünen Hyperbolae, die das überqueren ct Achse sind räumliche Kurven, weil alle Intervalle eine lange Diese Hyperbolae sind räumliche Intervalle: Es ist keine Kausalität zwischen zwei zwei Punkten auf einem dieser Hyperbola ${\ displayStyle c}$.

Abb. 2-7b spiegelt die Situation in wider (1+2) -dimensional Minkowski -Raumzeit (eine zeitliche und zwei räumliche Abmessungen) mit den entsprechenden Hyperboloiden. Die invariant Hyperboloide von einem Blatt, während die invarianten Hyperbolae durch Zeitintervalle aus dem Ursprung Hyperboloide aus zwei Blättern erzeugen.

Die (1+2) -Dimensionale Grenze zwischen raum- und zeitlichähnlichen Hyperboloiden, die durch die Ereignisse festgelegt werden, die ein Spacetime-Intervall mit Null zum Ursprung bilden, wird durch Entartung der Hyperboloiden zum Lichtkegel erfunden. In (1+1) -Dimensionen degenerieren die Hyperbolae zu den beiden in Abb. 2-7A dargestellten grauen 45 ° -Is.

Zeitdilatation und Länge Kontraktion

Abbildung 2–8. Die invariante Hyperbel umfasst die Punkte, die aus dem Ursprung in einer festen richtigen Zeit durch Uhren mit unterschiedlicher Geschwindigkeit erreicht werden können

Abb. 2-8 zeigt die invariante Hyperbel für alle Ereignisse, die aus dem Ursprung in einer ordnungsgemäßen Zeit von 5 Metern erreicht werden können (ungefähr 1.67×10^–8s). Verschiedene Weltlinien repräsentieren Uhren mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten. Eine Uhr, die in Bezug auf den Beobachter stationär ist, hat vertikal, und die vom Beobachter gemessene verstrichene Zeit ist die gleiche wie die richtige Zeit. Für eine Uhr, die mit 0,3 fährtc, die vom Beobachter gemessene verstrichene Zeit beträgt 5,24 Meter (1.75×10^–8s), während eine Uhr mit 0,7 fährtc, die vom Beobachter gemessene verstrichene Zeit beträgt 7,00 Meter (2.34×10^–8s). Dies zeigt das Phänomen, das als bekannt ist Zeitdilatation. Uhren, die schneller reisen, dauern länger (im Beobachterrahmen), um die gleiche Menge an angemessener Zeit zu übertreffen, und sie reisen innerhalb dieser richtigen Zeit weiter entlang der X -Achse als ohne Zeitverdünnung.^{[21]: 220–221} Die Messung der Zeitdilatation durch zwei Beobachter in verschiedenen Trägheitsreferenzrahmen ist gegenseitig. Wenn Beobachter o die Uhren des Beobachters o 'als langsamer in seinem Rahmen misst, misst der Beobachter O' wiederum die Uhren des Beobachters O als langsamer.

Abbildung 2–9. In diesem Raumzeitdiagramm ist die 1 m Länge des sich bewegenden Stabes, gemessen im primierten Rahmen, der abwechslungsreiche Abstand OC, wenn er auf den nicht primierten Rahmen projiziert wird.

LängenkontraktionWie zeitliche Dilatation ist eine Manifestation der Relativität der Gleichzeitigkeit. Die Messung der Länge erfordert die Messung des Raumzeitintervalls zwischen zwei Ereignissen, die im Referenzrahmen gleichzeitig sind. Aber Ereignisse, die in einem Referenzrahmen gleichzeitig sind, sind im Allgemeinen in anderen Referenzrahmen nicht gleichzeitig.

Abb. 2-9 zeigt die Bewegungen einer 1 m-Stange, die bei 0,5 fährtc entlang der x Achse. Die Ränder der blauen Band repräsentieren die Weltlinien der beiden Endpunkte der Stange. Die invariante Hyperbel illustriert Ereignisse, die vom Ursprung durch ein räumliches Intervall von 1 m getrennt sind. Die Endpunkte O und B wurden gemessen, wenn t′= 0 sind gleichzeitige Ereignisse im S 'Frame. Aber für einen Beobachter in Frame S sind Ereignisse O und B nicht gleichzeitig. Um die Länge zu messen, misst der Beobachter in Rahmen S die Endpunkte der Stange, wie sie auf die projiziert werden x-Axis entlang ihrer Weltlinien. Die Projektion der Stangen Weltblatt auf die x Die Achse ergibt die verkürzte Länge oc.^{[4]: 125}

(nicht illustriert) Zeichnen einer vertikalen Linie durch a, damit sie das schneidet xDie 'Achse zeigt, dass OA, selbst wenn OB aus der Sicht des Observer O, aus der Sicht des Beobachters O' verknüpft ist. Auf die gleiche Weise, wie jeder Beobachter die Uhren als langsam misst, misst jeder Beobachter die Herrscher des anderen als vertraglich.

In Bezug auf die gegenseitige Länge Kontraktion, Abb. 2-9 zeigt gedreht durch eine hyperbolischer Winkel (Analog zu gewöhnlichen Winkeln in der euklidischen Geometrie).^{[Anmerkung 8]} Aufgrund dieser Rotation die Projektion eines primierten Messgeräts auf die Unrimierten xDie Achse wird verkürzt, während die Projektion eines nicht primierten Messgeräts auf die primierte X'-Achse ebenfalls verknüpft ist.

Gegenseitige Zeitdilatation und das Zwillingsparadoxon

Gegenseitige Zeitdilatation

Die gegenseitige Zeitdilatation und Länge-Kontraktion tendieren dazu, Anfänger als von Natur aus selbst widersprüchliche Konzepte zu treffen. Wenn ein Beobachter in Rahmen s eine Uhr in Ruhe in Rahmen s 'misst, als langsamer als sein' ', während sich S' mit Geschwindigkeit bewegt v In s erfordert das Prinzip der Relativitätstheorie dann, dass ein Beobachter in Rahmen S 'ebenfalls eine Uhr in Rahmen s misst, die sich mit Geschwindigkeit bewegen - -v in S ', als langsamer als ihre. Wie zwei Uhren laufen können beide langsamer Als die andere ist eine wichtige Frage, die "ins Herz des Verständnisses der besonderen Relativität geht".^{[21]: 198}

Dieser offensichtliche Widerspruch beruht nicht korrekt unter Berücksichtigung der verschiedenen Einstellungen der erforderlichen, verwandten Messungen. Diese Einstellungen ermöglichen eine konsistente Erklärung der nur offensichtlich Widerspruch. Es geht nicht um das abstrakte Ticken von zwei identischen Uhren, sondern um das Messen in einem Rahmen der zeitlichen Entfernung von zwei Zecken einer sich bewegenden Uhr. Es stellt sich heraus, dass bei der gegenseitigen Beobachtung der Dauer zwischen Ticks von Uhren, die sich jeweils im jeweiligen Rahmen bewegt, verschiedene Taktuhen beteiligt sein müssen. Um in Rahmen S die Zeckendauer einer sich bewegenden Uhr W '(in Ruhe in S') zu messen, verwendet man zwei zusätzlich synchronisierte Uhren w₁ und W₂ in Ruhe in zwei willkürlich festen Punkten in s mit der räumlichen Entfernung d.

Zwei Ereignisse können durch die Bedingung definiert werden "zwei Uhren sind gleichzeitig an einem Ort", d. H. Wenn w 'jew₁ und W₂. Für beide Ereignisse werden die beiden Messwerte der zusammengestellten Uhren aufgezeichnet. Der Unterschied der beiden Messungen von W.₁ und W₂ ist die zeitliche Entfernung der beiden Ereignisse in S, und ihre räumliche Entfernung ist d. Der Unterschied der beiden Wesungen von W 'ist der zeitliche Abstand der beiden Ereignisse in S'. In S 'sind diese Ereignisse nur rechtzeitig getrennt, sondern am selben Ort in S'. Wegen der Invarianz des Raumzeitintervall d In s muss der zeitliche Abstand in S 'kleiner sein als der in S: Die kleiner zeitlicher Abstand zwischen den beiden Ereignissen, die sich aus den Messwerten der beweglichen Uhr W 'ergeben, gehört zur Langsamer Laufuhr W '.

Umgekehrt braucht man für die Beurteilung des Rahmens S 'die zeitliche Entfernung von zwei Ereignissen auf einer sich bewegenden Uhr W (in Ruhe) zwei Uhren in ruhiger Takte in S'.

In diesem Vergleich bewegt sich die Uhr W mit Geschwindigkeit -v. Aufzeichnung der vier Messwerte für die Ereignisse, die durch "zwei Uhren gleichzeitig an einem Ort" definiert sind, führt zu den analogen zeitlichen Entfernungen der beiden Ereignisse, die jetzt zeitlich und räumlich in S 'getrennt sind und nur zeitlich getrennt, aber in S. zusammengetrieben werden, zu Halten Sie das Raumzeitintervall invarianten, der zeitliche Abstand in S muss kleiner sein als in S ', da die räumliche Trennung der Ereignisse in S': TOCK W jetzt langsamer läuft.

Die notwendigen Aufnahmen für die beiden Urteile, wobei "One Moving Clock" und "zwei Uhren in Ruhe" s oder S 'sind, umfassen zwei verschiedene Sätze mit jeweils drei Uhren. Da an den Messungen unterschiedliche Uhrenmengen beteiligt sind, gibt es keine inhärente Notwendigkeit, dass die Messungen wechselseitig "konsistent" sind, sodass der andere Beobachter die Takte schnell misst, wenn ein Beobachter die sich bewegende Uhr langsam misst.^{[21]: 198–199}

Abbildung 2-10. Gegenseitige Zeitdilatation

Abb. 2-10 zeigt die vorherige Diskussion der gegenseitigen Zeitdilatation mit Minkowski-Diagrammen. Das obere Bild spiegelt die Messungen wider, die aus Rahmen S "in Ruhe" mit nicht rechteckigen Achsen und Rahmen S '"bewegt werden v> 0 ", koordinatisiert durch primierte, schräge Achsen, nach rechts geschlagen; Das untere Bild zeigt den Rahmen S '" in Ruhe "mit primierten, rechteckigen Koordinaten und Rahmen S" bewegt sich mit - -v<0 ", mit nicht primierten, schrägen Äxten, die nach links gescheizt sind.

Jede Linie, die parallel zu einer räumlichen Achse gezogen wurde (x, x') Repräsentiert eine Simultanitätslinie. Alle Ereignisse in einer solchen Zeile haben den gleichen Zeitwert (ct, ct'). Ebenso jede Linie, die parallel zu einer temporalen Achse gezogen wurde (ct, CT ') repräsentiert eine Linie gleicher räumlicher Koordinatenwerte (x, x').

Man kann in beiden Bildern den Ursprung bezeichnen O (= O′) als das Ereignis, bei dem die jeweilige "bewegliche Uhr" in beiden Vergleiche mit der "ersten Uhr in Ruhe" zusammengestellt wird. Für dieses Ereignis sind die Messwerte auf beiden Uhren in beiden Vergleiche natürlich Null. Infolge ct′ -Axis (obere Bilder, Uhr W ') und die schräg nach links ct-Axes (untere Bilder, Uhr W). Die Weltlinien von w₁ und W'₁ sind die entsprechenden vertikalen Zeitachsen (ct in den oberen Bildern und ct'In den unteren Bildern).

Im oberen Bild der Ort für w₂ wird als zu sein A_x > 0, und so kreuzt die Weltlinie (nicht in den Bildern gezeigt) dieser Uhr die Weltlinie der beweglichen Uhr (die ct′ -Axis) im Ereignis mit der Bezeichnung A, wo "zwei Uhren gleichzeitig an einem Ort sind". Im unteren Bild der Ort für W '₂ wird als zu sein C_x′<0, und so in dieser Messung geht die bewegliche Uhr W übers w'₂ im Ereignis C.

Im oberen Bild die ct-Koordinate A_t der Veranstaltung A (Die Lektüre von w₂) wird gekennzeichnet Bund so die verstrichene Zeit zwischen den beiden Ereignissen, gemessen mit w₁ und W₂, wie Ob. Für einen Vergleich die Länge des Zeitintervalls OA, gemessen mit W ', müssen in die Skala der Umstände transformiert werden ct-Achse. Dies geschieht durch die invariante Hyperbola (siehe auch Abb. 2-8) durch AVerbinden Sie alle Ereignisse mit dem gleichen Raumzeitintervall mit dem Ursprung wie A. Dies ergibt die Veranstaltung C auf der ct-Axis und offensichtlich: Oc<ObDie "bewegende" Uhr läuft langsamer.

Um die gegenseitige Zeitdilatation sofort im oberen Bild zu zeigen, das Ereignis D kann als Ereignis bei konstruiert werden x'= 0 (die Position der Uhr W' in S '), die gleichzeitig zu C (Oc hat das gleiche Raumzeitintervall wie OA) in S '. Dies zeigt, dass das Zeitintervall Od ist länger als OAund zeigt, dass die "bewegende" Uhr langsamer läuft.^{[4]: 124}

Im unteren Bild bewegt sich der Rahmen S mit Geschwindigkeit -v im Rahmen s 'in Ruhe. Die Weltlinie der Uhr W ist die ct-Axis (nach links schräg), die Weltlinie von W '₁ ist die vertikale ct′ -Axis und die Weltlinie von W '₂ ist die Vertikale durch Ereignis C, mit ct'-Koordinate D. Die invariante Hyperbel durch Ereignis C skaliert das Zeitintervall Oc zu OA, was kürzer ist als Od; Auch, B ist konstruiert (ähnlich wie D in den oberen Bildern) als gleichzeitig A in s bei x= 0. Das Ergebnis Ob>Oc entspricht erneut oben.

Das Wort "Maß" ist wichtig. In der klassischen Physik kann ein Beobachter ein beobachtetes Objekt nicht beeinflussen, sondern der Bewegungszustand des Objekts kann beeinflussen die Beobachter des Beobachters Beobachtungen des Objekts.

Zwillings -Paradoxon

Viele Einführungen in die besondere Relativitätstheorie veranschaulichen die Unterschiede zwischen galiläischer Relativitätstheorie und besonderer Relativitätstheorie, indem sie eine Reihe von "Paradoxen" aufstellen. Diese Paradoxien sind in der Tat schlecht gestellte Probleme, die sich aus unserer Unbekanntheit mit Geschwindigkeiten ergeben, die mit der Lichtgeschwindigkeit vergleichbar sind. Das Heilmittel besteht darin, viele Probleme in der besonderen Relativitätstheorie zu lösen und sich mit seinen sogenannten konter-intuitiven Vorhersagen vertraut zu machen. Der geometrische Ansatz zur Untersuchung von Raumzeiten gilt als eine der besten Methoden zur Entwicklung einer modernen Intuition.^[32]

Das Zwillings -Paradoxon ist ein Gedankenexperiment Einbezogene Zwillinge, von denen einer in einer Hochgeschwindigkeitsrakete eine Reise in den Weltraum macht und nach Hause zurückkehrt, um festzustellen, dass der Zwilling, der auf der Erde geblieben ist, mehr gealtert ist. Dieses Ergebnis erscheint rätselhaft, da jeder Zwilling den anderen Zwilling als Bewegung beobachtet, und so scheint es, dass jeder das andere weniger im Alter von geringerem Alter finden sollte. Das zweifeindliche Paradoxon ist die oben dargestellte Rechtfertigung für die gegenseitige Zeit, indem die Anforderung für eine dritte Uhr vermieden wird.^{[21]: 207} Trotzdem das Zwillings -Paradoxon ist kein echtes Paradoxon, da es im Kontext einer besonderen Relativität leicht verstanden wird.

Der Eindruck, dass ein Paradox besteht, beruht auf einem Missverständnis dessen, was besondere Relativitätstheorie erklärt. Die besondere Relativitätstheorie erklärt nicht alle Referenzrahmen für gleichwertige, nur inertiale Rahmen. Der Rahmen des reisenden Zwillings ist in Zeiten, in denen sie beschleunigt, nicht träge. Darüber hinaus ist der Unterschied zwischen den Zwillingen beobachtend nachweisbar: Der reisende Zwilling muss ihre Raketen abfeuern, um nach Hause zurückzukehren, während der Home-Home-Twin nicht der Fall ist.^{[33][Anmerkung 9]}

Abbildung 2-11. Raumzeit Erklärung des Zwillingsparadoxons

Diese Unterscheidungen sollten zu einem Unterschied in den Zwillingen führen. Das Raumzeitdiagramm von Abb. 2-11 zeigt den einfachen Fall eines Zwillings, der direkt entlang der X-Achse herausgeht und sofort zurückkehrt. Vom Standpunkt des Twin-zu-zu-zu-zu-Home-Twin ist überhaupt nichts rätselhaft an dem Zweifleischparadox. Die richtige Zeit, die entlang der Weltlinie des reisenden Zwillings von O bis C gemessen wird, und die richtige Zeit von C bis B gemessen ist, ist geringer als die richtige Zeit des Twin, die von O nach A nach A gemessen wird die richtige Zeit zwischen den jeweiligen Ereignissen entlang der Kurve (d. H. Die Pfadintegral) Berechnung der Gesamtzeit des ordnungsgemäßen Zeitpunkts des reisenden Zwillings.^[33]

Komplikationen ergeben sich, wenn das Zwillingsparadox aus Sicht des reisenden Zwillings analysiert wird.

Die Nomenklatur von Weiss, die den Twin von Stay-at-Home als Terence und den reisenden Zwilling als Stella bezeichnet, wird im Folgenden verwendet.^[33]

Stella befindet sich nicht in einem Trägheitsrahmen. Angesichts dieser Tatsache wird manchmal fälschlicherweise festgestellt, dass die vollständige Auflösung des Zwillingsparadoxons allgemeine Relativitätstheorie erfordert:^[33]

Eine reine SR -Analyse wäre wie folgt: Analysiert in Stellas Restrahmen ist sie für die gesamte Reise bewegungslos. Wenn sie ihre Raketen für die Turnaround abfeuert, erlebt sie eine Pseudo -Kraft, die einer Gravitationskraft ähnelt.^[33] Feigen. 2-6 und 2-11 veranschaulichen das Konzept der Linien (Ebenen) der Gleichzeitigkeit: Linien parallel zum Beobachter des Beobachters x-Axis (xy-plane) repräsentieren Sätze von Ereignissen, die im Beobachterrahmen gleichzeitig sind. In Abb. 2-11 verbinden die blauen Linien Ereignisse an Terences Weltlinie, die, Aus Stellas Sichtsind gleichzeitig mit Ereignissen auf ihrer Weltlinie. (Terence wiederum würde eine Reihe horizontaler Linien der Simultanität beobachten.) In der gesamten Auswahl und den eingehenden Beinen von Stellas Reise misst sie Terences Uhren so langsamer als ihre eigenen. Aber während der Wende (d. H. Zwischen den kühnen blauen Linien in der Abbildung) findet eine Verschiebung im Winkel ihrer Gleichzeitlinien statt, die einem schnellen Überspringen der Ereignisse in Terences Weltlinie entspricht, dass Stella gleichzeitig mit ihren eigenen ist. Daher stellt Stella am Ende ihrer Reise fest, dass Terence mehr gealtert ist als sie.^[33]

Obwohl die allgemeine Relativitätstheorie nicht erforderlich ist, um das Zwillingsparadoxon zu analysieren, Anwendung der Äquivalenzprinzip der allgemeinen Relativitätstheorie liefert einen zusätzlichen Einblick in das Thema. Stella ist in einem Trägheitsrahmen nicht stationär. Analysiert in Stellas Restrahmen ist sie für die gesamte Reise bewegungslos. Wenn sie ihren Rastrahmen röstet, ist Trägheitsrahmen träge und Terences Uhr scheint langsam zu laufen. Aber als sie ihre Raketen für die Turnaround abfeuert, ist ihr Restrahmen ein beschleunigter Rahmen und sie erlebt eine Kraft, die sie so drängt, als wäre sie in einem Gravitationsfeld. Terence scheint in diesem Bereich und wegen von hoch zu sein GravitationszeitdilatationSeine Uhr scheint schnell zu laufen, so dass das Nettoergebnis sein wird, dass Terence mehr als Stella gealtert ist, wenn sie wieder zusammen sind.^[33] Die theoretischen Argumente zur Vorhersage der Gravitationszeitdilatation sind nicht ausschließlich für die allgemeine Relativitätstheorie. Jede Gravitationstheorie wird die Gravitationszeitdilatation vorhersagen, wenn sie das Prinzip der Äquivalenz, einschließlich der Newton -Theorie, respektiert.^{[21]: 16}

Gravitation

Dieser Einführungsabschnitt konzentrierte sich auf die Raumzeit der besonderen Relativitätstheorie, da es am einfachsten zu beschreiben ist. Die minkowski -Raumzeit ist flach, nimmt nicht die Schwerkraft aus, ist durchgehend einheitlich und dient als nichts weiter als einen statischen Hintergrund für die darin stattfindenden Ereignisse. Das Vorhandensein von Schwerkraft erschwert die Beschreibung der Raumzeit stark. Im Allgemeinen ist die Raumzeit im Allgemeinen kein statischer Hintergrund mehr, sondern interagiert aktiv mit den physikalischen Systemen, die sie enthält. Raumzeitkurven in Gegenwart von Materie können Wellen ausbreiten, Licht beugen und eine Vielzahl anderer Phänomene aufweisen.^{[21]: 221} Einige dieser Phänomene sind in den späteren Abschnitten dieses Artikels beschrieben.

Grundlegende Mathematik der Raumzeit

Galiläische Transformationen

Ein grundlegendes Ziel ist es, Messungen von Beobachtern in relativer Bewegung vergleichen zu können. Wenn es einen Beobachter in Rahmen gibt, der die Zeit- und Raumkoordinaten eines Ereignisses gemessen hat, und dieses Ereignis drei kartesische Koordinaten und die Zeit, die auf seinem Gitter synchronisierter Uhren gemessen wurde (x, y, z, t) (sehen Abb. 1-1). Ein zweiter Beobachter O 'in einem anderen Rahmen S' misst das gleiche Ereignis in ihrem Koordinatensystem und ihres Gitters synchronisierter Uhren (x′, y′, z′, t′). Bei Trägheitsrahmen steht keiner der Beobachter unter Beschleunigung, und ein einfacher Satz von Gleichungen ermöglicht es uns, Koordinaten in Beziehung zu setzen (x, y, z, t) zu (x′, y′, z′, t′). Da sich die beiden Koordinatensysteme in Standardkonfiguration befinden, bedeutet (x, y, z) Koordinaten und das t = 0 Wenn t′ = 0Die Koordinatentransformation lautet wie folgt:^[34][35]

${\ displayStyle x '= x-vt}$

${\ displayStyle y '= y}$

${\ displayStyle z '= z}$

${\ displayStyle t '= t.}$

Abbildung 3–1. Galiläisch Raumzeit und Zusammensetzung von Geschwindigkeiten

Abb. 3-1 zeigt, dass in Newtons Theorie die Zeit universell ist, nicht die Geschwindigkeit des Lichts.^{[36]: 36–37} Betrachten Sie das folgende Gedankenexperiment: Der rote Pfeil zeigt einen Zug, der sich in Bezug auf die Plattform bei 0,4 ° C bewegt. Innerhalb des Zuges schießt ein Passagier eine Kugel mit einer Geschwindigkeit von 0,4 ° C im Rahmen des Zuges. Der blaue Pfeil zeigt, dass eine Person, die auf den Bahnstrecken steht, die Kugel als Reisen mit 0,8 c misst. Dies entspricht unseren naiven Erwartungen.

Allgemeiner unter der Annahme, dass sich Rahmen S 'bei Geschwindigkeit bewegt v In Bezug auf Frame S misst der Beobachter O 'ein Objekt, das sich mit Geschwindigkeit bewegt u′. Geschwindigkeit u in Bezug auf Rahmen S, seitdem x = ut, x′ = x − vt, und t = t′, kann geschrieben werden als x′ = ut − vt = (u − v)t = (u − v)t′. Dies führt zu u′ = x′/t′ und ultimativ

${\ displayStyle u '= u-v}$oder${\ displayStyle u = u '+v,}$

Welches ist der gesunden Menschenverstand Galiläisches Recht für die Hinzufügung von Geschwindigkeiten.

Relativistische Zusammensetzung von Geschwindigkeiten

Abbildung 3–2. Relativistische Zusammensetzung von Geschwindigkeiten

Die Zusammensetzung der Geschwindigkeiten ist in relativistischer Raumzeit sehr unterschiedlich. Um die Komplexität der Gleichungen geringfügig zu verringern, führen wir eine gemeinsame Abkürzung für das Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts relativ zu Licht ein.

${\ displayStyle \ Beta = v/c}$

Abb. 3-2A zeigt einen roten Zug, der sich mit einer Geschwindigkeit bewegt v/c = β = s/a. Aus dem primierten Rahmen des Zuges schießt ein Passagier eine Kugel mit einer Geschwindigkeit, die durch gegeben wurde u′/c = β′ = n/m, wo der Abstand entlang einer Linie parallel zum Rot gemessen wird x′ Achse eher als parallel zum Schwarzen x Achse. Was ist die zusammengesetzte Geschwindigkeit? u der Kugel relativ zur Plattform, wie durch den blauen Pfeil dargestellt? In Bezug auf Abb. 3-2B:

1. Aus der Plattform wird die zusammengesetzte Geschwindigkeit der Kugel gegeben u = c(s + r)/((a + b).
2. Die beiden gelben Dreiecke sind ähnlich, weil sie rechte Dreiecke sind, die einen gemeinsamen Winkel haben α. Im großen gelben Dreieck das Verhältnis s/a = v/c = β.
3. Die Verhältnisse der entsprechenden Seiten der beiden gelben Dreiecke sind konstant, so dass r/a = b/s = n/m = β′. So b = u′s/c und r = u′a/c.
4. Ersetzen die Ausdrücke für b und r in den Ausdruck für u in Schritt 1, um Einsteins Formel für die Zugabe von Geschwindigkeiten zu ergeben:^{[36]: 42–48}

${\ displayStyle u = {v+u '\ über 1+ (vu'/c^{2})}.}$

Die relativistische Formel zur Zugabe der oben dargestellten Geschwindigkeiten zeigt mehrere wichtige Merkmale:

• Wenn u′ und v sind beide sehr klein im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit, dann des Produkts Vu′/c² wird verschwindend klein, und das Gesamtergebnis wird von der galiläischen Formel (Newton -Formel) für die Zugabe von Geschwindigkeiten nicht zu unterscheiden: u=u′+v. Die galiläische Formel ist ein Sonderfall der relativistischen Formel, die auf niedrige Geschwindigkeiten gilt.
• Wenn u′ ist gleich eingestellt zu cdann ergibt die Formel u=c unabhängig vom Startwert von v. Die Lichtgeschwindigkeit ist für alle Beobachter gleich, unabhängig von ihren Bewegungen im Vergleich zur emittierenden Quelle.^{[36]: 49}

Zeitdilatation und Länge Kontraktion überarbeitet

Abbildung 3-3. Raumzeitdiagramme, die Zeitdilatation und Längenkontraktion veranschaulichen

Es ist unkompliziert, quantitative Ausdrücke für die Zeitverdünnung und Länge zu erhalten. Abb. 3-3 ist ein zusammengesetztes Bild, das einzelne Rahmen enthält, die aus zwei früheren Animationen stammen, die für die Zwecke dieses Abschnitts vereinfacht und neu gestaltet wurden.

Um die Komplexität der Gleichungen geringfügig zu verringern, gibt es eine Vielzahl verschiedener Kurznotationen für ct:

${\ displayStyle \ mathrm {t} = ct}$ und ${\ displayStyle w = ct}$ sind üblich.

Man sieht auch sehr häufig die Verwendung des Konvents ${\ displayStyle c = 1.}$

Abbildung 3–4. Lorentz -Faktor als Funktion der Geschwindigkeit

In Abb. 3-3a Segmente OA und OK repräsentieren gleiche Raumzeitintervalle. Zeitdilatation wird durch das Verhältnis dargestellt Ob/OK. Die invariante Hyperbel hat die Gleichung w = √x² + k² wo k=OKund die rote Linie, die die Weltlinie eines Partikels in Bewegung darstellt, hat die Gleichung w=x/β=xc/v. Ein bisschen algebraische Manipulation ergibt ${\ textstyle ob = ok/{\ sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}.}$

Der Ausdruck, der das Quadratwurzelsymbol beinhaltet ${\ displayStyle \ gamma}$:^[37]

${\ displayStyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta^{2 2 {2 {2 }}}}}$

Wenn v ist größer als oder gleich zu c, der Ausdruck für ${\ displayStyle \ gamma}$ wird physikalisch bedeutungslos und impliziert das c ist die maximal mögliche Geschwindigkeit in der Natur. Für jeden v Der Lorentz -Faktor ist größer als Null und ist größer als eins, obwohl die Form der Kurve so ist, dass bei niedrigen Geschwindigkeiten der Lorentz -Faktor extrem nahe an einem ist.

In Abb. 3-3B, Segmente OA und OK repräsentieren gleiche Raumzeitintervalle. Längekontraktion wird durch das Verhältnis dargestellt Ob/OK. Die invariante Hyperbel hat die Gleichung x = √w² + k², wo k=OKund die Kanten der blauen Bande, die die Weltlinien der Endpunkte einer Stange in Bewegung darstellen, haben Steigung 1//β=c/v. Ereignis A hat Koordinaten (xAnwesendw) = ((γKAnwesendγβK). Da die Tangentiallinie durch A und B die Gleichung hat w= (x-Ob)/β, wir haben γβK= (γK-Ob)/β und

$oder$

Lorentz -Transformationen

Die galiläischen Transformationen und ihr konsequentes gesunden Menschengesetz über die Hinzufügung von Geschwindigkeiten funktionieren in unserer gewöhnlichen Welt von Flugzeugen, Autos und Bällen gut. Ab Mitte des 19. Jahrhunderts begann jedoch eine sensible wissenschaftliche Instrumentierung zu finden, die Anomalien fanden, die nicht gut zu der normalen Zugabe von Geschwindigkeiten passten.

Lorentz -Transformationen werden verwendet, um die Koordinaten eines Ereignisses von einem Rahmen in eine spezielle Relativitätstheorie in einen anderen zu transformieren.

Der Lorentz -Faktor erscheint in den Lorentz -Transformationen:

$oder vt \ rechts) \\ y '& = y \\ z' & = z \ end {aligned}}}$

Die inversen Lorentz -Transformationen sind:

$oder '\ right) \\ y & = y' \\ z & = z '\ end {ausgerichtet}}}$

Wann v≪c und x ist klein genug, die v²/c² und vx/c² Die Begriffe nähern sich Null und die Lorentz -Transformationen sind ungefähr den galiläischen Transformationen.

${\ displayStyle t '= \ gamma (t-vx/c^{2}),},},},}$ ${\ displayStyle x '= \ gamma (x-vt)}$ usw., meistens wirklich gemein ${\ displayStyle \ delta t '= \ gamma (\ delta t-v \ delta x/c^{2}),},},}$ ${\ displayStyle \ delta x '= \ gamma (\ delta x-v \ delta t)}$ usw. Obwohl für die Kürze die Lorentz -Transformationsgleichungen ohne Deltas geschrieben sind, sind x bedeutet δxusw. Wir sind im Allgemeinen immer mit Raum und Zeit besorgt Unterschiede zwischen Ereignissen.

Aufrufen einer Reihe von Transformationen Die normalen Lorentz -Transformationen und die andere sind die inversen Transformationen irreführend, da es keinen intrinsischen Unterschied zwischen den Rahmen gibt. Verschiedene Autoren rufen den einen oder anderen Satz von Transformationen als "inverse" Set auf. Die Vorwärts- und inversen Transformationen sind trivial miteinander verbunden, da die S Frame kann sich nur in Bezug auf vorwärts oder umgekehrt sein S′. Das Invertieren der Gleichungen beinhaltet also einfach das Umschalten der vorbereiteten und nicht primierten Variablen und das Ersetzen v mit -v.^{[38]: 71–79}

Beispiel: Terence und Stella befinden sich in einem Weltraumrennen von Erde zu Mars. Terence ist Beamter an der Startlinie, während Stella Teilnehmer ist. Zum Zeitpunkt t = t′ = 0, Stellas Raumschiff beschleunigt sofort eine Geschwindigkeit von 0,5c. Die Entfernung von der Erde zum Mars beträgt 300 Lichtsekunden (ungefähr 90.0×10⁶km). Terence beobachtet Stella, die die Finish-Line-Uhr überquert t= 600,00 s. Aber Stella beobachtet die Zeit auf ihrem Schiff Chronometer zu sein $oder$ Als sie die Ziellinie übergeht und sie den Abstand zwischen den Start- und Ziellinien berechnet, gemessen in ihrem Rahmen, sind 259,81 Lichtsekunden (ungefähr 77,9×10⁶km). 1).

Ableiten der Lorentz -Transformationen

Abbildung 3–5. Ableitung der Lorentz -Transformation

Es gab viele Dutzende von Ableitungen der Lorentz -Transformationen Seit Einsteins ursprünglicher Arbeit im Jahr 1905, jeweils mit ihrem besonderen Schwerpunkt. Obwohl Einsteins Ableitung auf der Invarianz der Lichtgeschwindigkeit beruhte, gibt es andere physikalische Prinzipien, die als Ausgangspunkte dienen können. Letztendlich können diese alternativen Ausgangspunkte als verschiedene Ausdrücke der zugrunde liegenden Ausdrücke angesehen werden Prinzip der Lokalität, was besagt, dass der Einfluss, den ein Teilchen auf einen anderen ausübt, nicht sofort übertragen werden kann.^[39]

Die hier angegebene und in Abb. 3-5 dargestellte Ableitung basiert auf einer von BAIS, die dargestellt wird^{[36]: 64–66} und nutzt frühere Ergebnisse aus der relativistischen Zusammensetzung von Geschwindigkeiten, Zeitdilatation und Längenkontraktionsabschnitten. Ereignis P hat Koordinaten (wAnwesendx) im schwarzen "Ruhesystem" und Koordinaten (w′Anwesendx′) im roten Rahmen, der sich mit Geschwindigkeitsparameter bewegt β=v/c. Bestimmen w′ und x′ bezüglich w und x (oder umgekehrt) Es ist zunächst einfacher, das abzuleiten umgekehrt Lorentz -Transformation.

1. In den Querrichtungen kann es nicht so etwas wie Längenausdehnung/-kontraktion geben. y' muss gleich y und z′ muss gleich zAndernfalls würde eine sich schnell bewegende 1 -m -Kugel durch ein 1 -m -kreisförmiger Loch von dem Beobachter abhängen. Das erste Postulat der Relativitätstheorie besagt, dass alle Trägheitsrahmen gleichwertig sind und die Querausdehnung/-kontraktion gegen dieses Gesetz verstoßen würde.^{[38]: 27–28}
2. Aus der Zeichnung, w = a + b und x=r+s
3. Aus früheren Ergebnissen unter Verwendung ähnlicher Dreiecke wissen wir das s/a=b/r = v/c=β.
4. Wegen der Zeitdilatation, a=γW′
5. Ersetzen von Gleichung (4) in s/a=β ergibt s=γW′β.
6. Längenkontraktion und ähnliche Dreiecke geben uns r=γx′ und b=βR = βγx′
7. Ersetzen der Ausdrücke für s, a, r und b in die Gleichungen in Schritt 2 ergeben sofort

   ${\ displayStyle w = \ gamma w '+\ beta \ gamma x'}$

   ${\ displaystyle x = \ gamma x '+\ beta \ gamma w'}$

Die oben genannten Gleichungen sind alternative Ausdrücke für die T- und X -Gleichungen der inversen Lorentz -Transformation, wie durch Substituierung ersichtlich ist ct zum w, ct′ zum w′, und v/c zum β. Aus der inversen Transformation können die Gleichungen der Forwards -Transformation abgeleitet werden t′ und x′.

Linearität der Lorentz -Transformationen

Die Lorentz -Transformationen haben seitdem eine mathematische Eigenschaft namens Linearity, seitdem x′ und t′ werden als lineare Kombinationen von erhalten x und t, ohne höhere Befugnisse. Die Linearität der Transformation spiegelt eine grundlegende Eigenschaft der Raumzeit wider, die stillschweigend in der Ableitung angenommen wurde, nämlich, dass die Eigenschaften träge Referenzrahmen unabhängig von Ort und Zeit sind. Ohne Schwerkraft sieht die Raumzeit überall gleich aus.^{[36]: 67} Alle Trägheitsbeobachter sind sich einig, was eine Beschleunigung und nicht beschleunigende Bewegung ausmacht.^{[38]: 72–73} Jeder Beobachter kann seine eigenen Messungen von Raum und Zeit verwenden, aber es ist nichts absolutes an ihnen. Die Konventionen eines anderen Beobachters werden genauso gut funktionieren.^{[21]: 190}

Ein Ergebnis der Linearität ist, dass, wenn zwei Lorentz -Transformationen nacheinander angewendet werden, das Ergebnis auch eine Lorentz -Transformation ist.

Beispiel: Terence beobachtet, wie Stella mit 0,500 von ihm raste,cund er kann die Lorentz -Transformationen mit verwenden β= 0,500 Stellas Messungen mit seinen eigenen zu erzählen. Stella beobachtet in ihrem Rahmen, wie Ursula mit 0,250 von ihr wegfluchtcund sie kann die Lorentz -Transformationen mit verwenden β= 0,250 Um Ursulas Messungen mit ihren eigenen zu erzählen. Aufgrund der Linearität der Transformationen und der relativistischen Zusammensetzung von Geschwindigkeiten kann Terence die Lorentz -Transformationen mit verwenden β= 0,666 Ursulas Messungen mit seinen eigenen zu erzählen.

Doppler-Effekt

Das Doppler-Effekt ist die Änderung der Frequenz oder Wellenlänge einer Welle für einen Empfänger und eine Quelle in der relativen Bewegung. Der Einfachheit halber betrachten wir hier zwei grundlegende Szenarien: (1) Die Bewegungen der Quelle und/oder des Empfängers sind genau entlang der Linie, die sie verbinden (Längsschnitt -Doppler -Effekt), und (2) die Bewegungen befinden sich im rechten Winkel zur Linie ((Quer -Doppler -Effekt). Wir ignorieren Szenarien, in denen sie sich mit Zwischenwinkeln bewegen.

Längsschnitt -Doppler -Effekt

Die klassische Doppler -Analyse befasst sich mit Wellen, die sich in einem Medium ausbreiten, z. B. Schallwellen oder Wasserwellen, die zwischen Quellen und Empfängern übertragen werden, die sich voneinander in Richtung oder voneinander bewegen. Die Analyse solcher Wellen hängt davon ab, ob sich die Quelle, der Empfänger oder beide relativ zum Medium bewegen. Angesichts des Szenarios, in dem der Empfänger in Bezug auf das Medium stationär ist, und die Quelle mit einer Geschwindigkeit von dem Empfänger direkt vom Empfänger entfernen v_s für einen Geschwindigkeitsparameter von β_sDie Wellenlänge ist erhöht und die beobachtete Frequenz f wird gegeben von

${\ displayStyle f = {\ frac {1} {1+ \ beta _ {s}}} f_ {0}}$

Andererseits bewegt sich das Szenario, in dem die Quelle stationär ist, und der Empfänger bewegt sich direkt von der Quelle mit einer Geschwindigkeit von v_r für einen Geschwindigkeitsparameter von β_r, die Wellenlänge ist nicht verändert, aber die Übertragungsgeschwindigkeit der Wellen relativ zum Empfänger ist abgenommen und die beobachtete Frequenz f wird gegeben von

${\ displayStyle f = (1- \ beta _ {r}) f_ {0}}$

Abbildung 3–6. Raumzeitdiagramm des relativistischen Doppler -Effekts

Im Gegensatz zu Schall- oder Wasserwellen verbreitet sich das Licht nicht durch ein Medium, und es gibt keine Unterscheidung zwischen einer Quelle, die sich vom Empfänger entzieht, oder einem Empfänger, der sich von der Quelle entzieht. Abb. 3-6 zeigt ein relativistisches Raumzeitdiagramm, das eine Quelle zeigt, die sich vom Empfänger mit einem Geschwindigkeitsparameter trennt β, damit die Trennung zwischen Quelle und Empfänger zum Zeitpunkt w ist βW. Wegen der Zeitdilatation, ${\ displayStyle w = yw^{\ prime}}$. Da der Hang des grünen Lichtstrahls –1 beträgt, ${\ displaystyle {t} = w+\ beta w = \ gamma w^{\ prime} (1+ \ beta)}$. Daher die Relativistischer Doppler -Effekt wird gegeben von^{[36]: 58–59}

$oder$

Quer -Doppler -Effekt

Abbildung 3–7. Querdoppler -Effekt -Szenarien

Nehmen wir an, dass eine Quelle und ein Empfänger, die sich beide in einheitlicher Trägheitsbewegung entlang nicht intersektierender Linien nähern, sich gegenseitig am nächsten stehen. Es scheint, dass die klassische Analyse voraussagt, dass der Empfänger keine Doppler -Verschiebung erkennt. Aufgrund von Feinheiten in der Analyse ist diese Erwartung nicht unbedingt wahr. Bei angemessener Definition ist die transversale Doppler -Verschiebung jedoch ein relativistischer Effekt, der kein klassisches Analogon aufweist. Die Feinheiten sind folgende:^{[40]: 541–543}

In Szenario (a) ist der Punkt des engsten Ansatz r ist der Abstand zwischen Empfänger und Quelle) und daher keine Längsschnitt -Doppler -Verschiebung. Die Quelle beobachtet, wie der Empfänger durch das Licht der Frequenz beleuchtet wird f′beobachtet aber auch den Empfänger eine zeitverzinsliche Uhr. In Rahmen S wird der Empfänger daher von beleuchtet Bluesschiffe Frequenzlicht

${\ displaystyle f = f '\ gamma = f'/{\ sqrt {1- \ beta ^{2}}}}$

In Szenario (b) zeigt die Abbildung, dass der Empfänger durch Licht beleuchtet wird, als die Quelle dem Empfänger am nächsten war, obwohl die Quelle weitergegangen ist. Da die Uhren der Quelle zeitlich erweitert sind, gemessen in Frame S und da Dr/DT zu diesem Zeitpunkt gleich Null war, ist das Licht aus der Quelle, das von diesem nächstgelegenen Punkt emittiert wird rotverschoben mit Frequenz

${\ displayStyle f = f '/\ gamma = f' {\ sqrt {1- \ beta ^{2}}}}$

Szenarien (c) und (d) können durch einfache Zeitdilationsargumente analysiert werden. In (c) beobachtet der Empfänger Licht aus der Quelle als Bluesverschiebung durch einen Faktor von ${\ displayStyle \ gamma}$und in (d) ist das Licht rotverschifft. Die einzige scheinbare Komplikation ist, dass die umlaufenden Objekte in einer beschleunigten Bewegung sind. Wenn ein Trägheitsbeobachter jedoch eine beschleunigende Uhr betrachtet, ist nur die sofortige Geschwindigkeit der Uhr bei der Rechenzeit Dilatation wichtig. (Das Gegenteil ist jedoch nicht wahr.)^{[40]: 541–543} Die meisten Berichte über die Transvers -Doppler -Verschiebung beziehen sich auf den Effekt als Rotverschiebung und analysieren den Effekt in Bezug auf die Szenarien (b) oder (d).^{[Anmerkung 11]}

Energie und Schwung

Dynamik auf vier Dimensionen erweitern

Abbildung 3–8. Relativistische Raumzeitvektor Vektor

In der klassischen Mechanik ist der Bewegungszustand eines Teilchens durch seine Masse und seine Geschwindigkeit gekennzeichnet. Linear Momentumdas Produkt der Masse und Geschwindigkeit eines Teilchens ist a Vektor Menge, die die gleiche Richtung wie die Geschwindigkeit besitzt: p=mv. Es ist ein konserviert Menge, was bedeutet, dass wenn a geschlossenes System wird nicht von externen Kräften beeinflusst, sein totaler linearer Impuls kann sich nicht ändern.

In der relativistischen Mechanik wird der Impulsvektor auf vier Dimensionen erweitert. Zu dem Impulsvektor ist eine Zeitkomponente hinzugefügt, mit der der Raumzeit -Impulsvektor wie der Raumzeit -Position Vector transformiert wird ${\ displayStyle (x, t)}$. Bei der Erforschung der Eigenschaften des Raumzeit-Impulses beginnen wir in Abb. 3-8a, indem wir untersuchen, wie ein Partikel in Ruhe aussieht. Im Restrahmen ist die räumliche Komponente des Impulses Null, d.h. p= 0, aber die Zeitkomponente ist gleich MC.

Wir können die transformierten Komponenten dieses Vektors im sich bewegenden Rahmen erhalten, indem wir die Lorentz -Transformationen verwenden, oder wir können ihn direkt aus der Abbildung lesen, weil wir das wissen ${\ displayStyle (mc)^{\ prime} = \ gamma mc}$ und ${\ displayStyle p^{\ prime} =-\ Beta \ gamma MC}$Da die roten Achsen von Gamma neu skaliert werden. Abb. 3-8B zeigt die Situation, wie sie im sich bewegenden Rahmen erscheint. Es ist offensicht c.^{[36]: 84–87}

Wir werden diese Informationen in Kürze verwenden, um einen Ausdruck für die zu erhalten Viermomentum.

Schwung des Lichts

Abbildung 3–9. Energie und Schwung des Lichts in verschiedenen Trägheitsrahmen

Lichtpartikel oder Photonen wandern sich mit der Geschwindigkeit von c, die Konstante, die herkömmlicherweise als die bekannt ist Lichtgeschwindigkeit. Diese Aussage ist keine Tautologie, da viele moderne Formulierungen der Relativität nicht mit der ständigen Lichtgeschwindigkeit als Postulat beginnen. Photonen verbreiten sich daher entlang einer leichten Weltlinie aus und haben in geeigneten Einheiten für jeden Beobachter gleicher Raum- und Zeitkomponenten.

Eine Folge von Maxwells Theorie des Elektromagnetismus ist, dass Licht Energie und Impuls trägt und dass ihr Verhältnis eine Konstante ist: ${\ displayStyle e/p = c}$. Neu anordnen, ${\ displayStyle e/c = p}$und da für Photonen die Raum- und Zeitkomponenten gleich sind, sind gleich. E/c muss daher mit der Zeitkomponente des Raumzeitvektors gleichgesetzt werden.

Photonen bewegen sich mit Lichtgeschwindigkeit und haben dennoch ein begrenztes Dynamik und Energie. Damit dies so ist, der Massenbegriff in γMC Muss Null sein, was bedeutet, dass Photonen sind Massenlose Partikel. Unendlichkeitszeiten Null ist eine schlecht definierte Menge, aber E/c ist gut definiert.

Durch diese Analyse ist die Energie eines Photons gleich E Im Restrahmen ist es gleich ${\ displayStyle e^{\ prime} = (1- \ beta) \ gamma e}$ in einem sich bewegenden Rahmen. Dieses Ergebnis kann durch Inspektion von Fig. 3-9 oder durch Anwendung der Lorentz-Transformationen abgeleitet werden und stimmt mit der zuvor angegebenen Analyse des Doppler-Effekts überein.^{[36]: 88}

Massenergiebeziehung

Die Betrachtung der Wechselbeziehungen zwischen den verschiedenen Komponenten des relativistischen Impulsvektors führte Einstein zu mehreren berühmten Schlussfolgerungen.

• In der niedrigen Geschwindigkeitsgrenze als β=v/c nähert sich null, γ Ansätze 1, so die räumliche Komponente des relativistischen Impulses ${\ displayStyle \ Beta \ gamma mc = \ gamma mv}$ Ansätze MV, der klassische Begriff für Impuls. Folgt dieser Perspektive, γM kann als relativistische Verallgemeinerung von interpretiert werden m. Einstein schlug vor, dass die Relativistische Masse eines Objekts nimmt mit der Geschwindigkeit nach der Formel zu ${\ displayStyle m_ {rel} = \ gamma m}$.
• Vergleichen Sie auch die Zeitkomponente des relativistischen Impulses mit dem des Photons, ${\ displaystyle \ gamma mc = m_ {rel} c = e/c}$so dass Einstein die Beziehung ankam ${\ displayStyle e = m_ {rel} c^{2}}$. Die berühmte Gleichung von Einstein in Bezug auf Energie und Masse ist die berühmte Gleichung von Einstein vereinfacht.

Eine andere Möglichkeit, die Beziehung zwischen Masse und Energie zu betrachten, besteht darin, eine Serienerweiterung von zu berücksichtigen γMC² bei niedriger Geschwindigkeit:

$oder$ $oder$

Der zweite Term ist nur ein Ausdruck für die kinetische Energie des Partikels. Masse scheint in der Tat eine andere Form der Energie zu sein.^{[36]: 90–92[38]: 129–130, 180}

Das Konzept der relativistischen Masse, die Einstein 1905 eingeführt hat, m_rel, obwohl sie jeden Tag in Partikelbeschleunigern rund um den Globus (oder in jeder Instrumentierung, deren Verwendung von Partikeln mit hoher Geschwindigkeit abhängt, wie Elektronenmikroskope abhängt.^[41] Altmodische Farbfernseher usw.), hat sich dennoch nicht als a fruchtbar Konzept in der Physik in dem Sinne, dass es kein Konzept ist, das als Grundlage für andere theoretische Entwicklung gedient hat. Die relativistische Masse spielt beispielsweise keine Rolle bei der allgemeinen Relativitätstheorie.

Aus diesem Grund bevorzugen die meisten Physiker sowohl eine andere Terminologie, wenn sie sich auf die Beziehung zwischen Masse und Energie beziehen.^[42] "Relativistische Masse" ist ein veralteter Begriff. Der Begriff "Masse" selbst bezieht sich auf die Ruhmasse oder invariante Messeund ist gleich der invarianten Länge des relativistischen Impulsvektors. Als Formel ausgedrückt,

${\ displayStyle e^{2} -p^{2} c^{2} = m_ {rest}^{2} c^{4}}$

Diese Formel gilt für alle Partikel, sowohl massenlos als auch massiv. Für Photonen, wo m_{sich ausruhen} entspricht Null, es ergibt, ${\ displayStyle e = \ PM PC}$.^{[36]: 90–92}

Viermomentum

Aufgrund der engen Beziehung zwischen Masse und Energie wird das Vier-Momentum (auch 4-Momentum bezeichnet) auch als Energy-Momentum-4-Vektor bezeichnet. Mit einem Großbuchstaben P das Vier-Momentum und einen Kleinbuchstaben darstellen p Um den räumlichen Impuls zu bezeichnen, kann das Vier-Moment-Momentum geschrieben werden

${\ displayStyle p \ äquiv (e/c, {\ vec {p}}) = (e/c, p_ {x}, p_ {y}, p_ {z})}$ oder alternativ,

${\ displayStyle p \ äquiv (e, {\ vec {p}}) = (e, p_ {x}, p_ {y}, p_ {z})}$ Verwenden Sie die Konvention, die ${\ displayStyle c = 1.}$^{[38]: 129–130, 180}

Erhaltungsgesetze

In der Physik geben die Naturschutzgesetze fest, dass sich bestimmte messbare Eigenschaften eines isolierten physikalischen Systems nicht ändern, wenn sich das System im Laufe der Zeit entwickelt. Im Jahr 1915, Emmy Noether entdeckte, dass die zugrunde liegenden Naturschutzgesetz eine grundlegende Symmetrie der Natur ist.^[43] Die Tatsache, dass physische Prozesse egal sind wo im Raum, das sie stattfinden (Raumübersetzungssymmetrie) ergibt Impulserhaltung, die Tatsache, dass solche Prozesse egal sind Wenn Sie finden statt (Zeitübersetzungssymmetrie) ergibt Energieerhaltung, usw. In diesem Abschnitt untersuchen wir die Newtonschen Ansichten über die Erhaltung von Massen, Dynamik und Energie aus relativistischer Sicht.

Totaler Schwung

Abbildung 3-10. Relativistische Erhaltung des Impulses

Um zu verstehen, wie die Newtonsche Sicht auf die Erhaltung des Impulses in einem relativistischen Kontext modifiziert werden muss, untersuchen wir das Problem zweier Kollidien, die auf eine einzige Dimension beschränkt sind.

In der Newtonschen Mechanik können zwei extreme Fälle dieses Problems unterschieden werden, die Mathematik der minimalen Komplexität ergeben:

(1) Die beiden Körper erholen sich in einer völlig elastischen Kollision voneinander.

(2) Die beiden Körper haften zusammen und bewegen sich weiter als ein einzelnes Teilchen. Dieser zweite Fall ist der Fall bei vollständig unelastischer Kollision.

Für beide Fälle (1) und (2) werden Impuls, Masse und Gesamtenergie erhalten. Kinetische Energie wird jedoch bei unelastischen Kollisionen nicht erhalten. Ein bestimmter Teil der anfänglichen kinetischen Energie wird in Wärme umgewandelt.

In Fall (2) zwei Massen mit Impulsen $oder$ und $oder$ kollidieren, um ein einzelnes Teilchen konservierter Masse zu produzieren ${\ displayStyle m = m_ {1}+m_ {2}}$ Reisen im Massezentrum Geschwindigkeit des ursprünglichen Systems, $oder \ links (m_ {1}+m_ {2} \ rechts)}$. Der Gesamtimpuls ${\ displayStyle {\ Boldsymbol {p = p_ {1}+p_ {2}}}}}$ ist konserviert.

Abb. 3-10 zeigt die unelastische Kollision von zwei Partikeln aus relativistischer Sicht. Die Zeitkomponenten ${\ displayStyle e_ {1}/c}$ und ${\ displayStyle e_ {2}/c}$ zu Total addieren E/c des resultierenden Vektors, was bedeutet, dass Energie konserviert wird. Ebenso die Raumkomponenten ${\ displayStyle {\ BOLDSYMBOL {P_ {1}}}}$ und ${\ displayStyle {\ BOLDSYMBOL {P_ {2}}}}$ sich summieren, um zu formen p des resultierenden Vektors. Das Viermomentum ist erwartungsgemäß eine konservierte Menge. Die invariante Masse des verschmolzenen Teilchens, angegeben durch den Punkt, an dem die invariante Hyperbola des Gesamtimpulses die Energieachse schneidet, ist jedoch nicht gleich der Summe der invarianten Massen der einzelnen Partikel, die kollidierten. In der Tat ist es größer als die Summe der einzelnen Massen: ${\ displayStyle m> m_ {1}+m_ {2}}$.^{[36]: 94–97}

Wenn wir uns die Ereignisse dieses Szenarios in umgekehrter Reihenfolge ansehen Elementarteilchen Spontan zerfällt in zwei leichtere Partikel, die Gesamtenergie bleibt konserviert, die Masse ist jedoch nicht. Ein Teil der Masse wird in kinetische Energie umgewandelt.^{[38]: 134–138}

Auswahl der Referenzrahmen

Abbildung 3-11.
(Oben) Laborrahmen.
(Rechts) Impulsrahmen.

Die Freiheit, einen Rahmen für die Durchführung einer Analyse auszuwählen, ermöglicht es uns, eine auszuwählen, die besonders bequem sein kann. Für die Analyse von Impuls- und Energieproblemen ist der bequemste Rahmen normalerweise der "Momentumrahmen"(Auch als Null-Momentum-Rahmen oder COM-Rahmen bezeichnet). Dies ist der Rahmen, in dem die Raumkomponente des Gesamtimpulses des Systems Null beträgt. Abb. 3-11 zeigt die Ausbreitung eines Partikels mit hoher Geschwindigkeit in zwei Tochterpartikel. Im Laborrahmen werden die Tochterpartikel bevorzugt in eine Richtung emittiert, die entlang der Flugbahn des ursprünglichen Teilchens ausgerichtet ist. Im COM -Rahmen werden die beiden Tochterpartikel jedoch in entgegengesetzte Richtungen emittiert, obwohl ihre Massen und die Größe ihrer Geschwindigkeiten im Allgemeinen nicht sind das Gleiche.

Energie- und Impulsschutz

In einer Newtonschen Analyse interagierender Partikel ist die Transformation zwischen Frames einfach, da alles, was notwendig ist, die galiläische Transformation auf alle Geschwindigkeiten anwenden muss. Seit ${\ displayStyle v '= v-u}$, das Momentum ${\ displayStyle p '= p-mu}$. Wenn beobachtet wird, dass der Gesamtimpuls eines interagierenden Partikelsystems in einem Rahmen konserviert ist, wird auch beobachtet, dass es in jedem anderen Rahmen konserviert ist.^{[38]: 241–245}

Die Erhaltung des Impulses im COM -Rahmen entspricht der Anforderung, dass p= 0 Sowohl vor als auch nach der Kollision. In der Newtonschen Analyse bestimmt die Erhaltung der Massen ${\ displayStyle m = m_ {1}+m_ {2}}$. In den vereinfachten, eindimensionalen Szenarien, die wir in Betracht gezogen haben, ist nur eine zusätzliche Einschränkung erforderlich, bevor die ausgehende Impulse der Partikel bestimmt werden kann-ein Energiezustand. In dem eindimensionalen Fall einer vollständig elastischen Kollision ohne kinetische Energieverlust werden die ausgehenden Geschwindigkeiten der abprallenden Partikel im COM-Rahmen genau gleich und entgegengesetzt zu ihren eingehenden Geschwindigkeiten sein. Bei einer vollständig unelastischen Kollision mit Totalverlust der kinetischen Energie sind die ausgehenden Geschwindigkeiten der abprallenden Partikel Null.^{[38]: 241–245}

Newtonsche Momenta, berechnet als ${\ displayStyle p = mv}$Verhalten Sie sich unter der Lorentzschen Transformation nicht ordnungsgemäß. Die lineare Transformation von Geschwindigkeiten ${\ displayStyle v '= v-u}$ wird durch das hoch nichtlineare ersetzt$oder$ Damit eine Berechnung, die die Erhaltung des Impulses in einem Rahmen zeigt, in anderen Rahmen ungültig ist. Einstein war mit entweder konfrontiertem Dynamik aufgeben oder die Definition von Impuls zu ändern. Diese zweite Option war das, was er wählte.^{[36]: 104}

Abbildung 3-12a. Energie -Momentum -Diagramm zum Zerfall eines geladenen Pion.

Abbildung 3-12b. Grafikrechneranalyse des geladenen Pion -Zerfalls.

Das relativistische Erhaltungsgesetz für Energie und Impuls ersetzt die drei klassischen Naturschutzgesetze für Energie, Impuls und Masse. Die Masse wird nicht mehr unabhängig voneinander konserviert, da sie in die totale relativistische Energie subsumiert wurde. Dies macht die relativistische Erhaltung von Energie zu einem einfacheren Konzept als in nicht -relativistischen Mechanik, da die Gesamtenergie ohne Qualifikationen erhalten wird. Die kinetische Energie in Wärme oder interne potentielle Energie zeigt sich als Zunahme der Masse.^{[38]: 127}

Über die Grundlagen hinausgehend

Die Themen in diesem Abschnitt sind von erheblich größeren technischen Schwierigkeiten als in den vorhergehenden Abschnitten und sind für das Verständnis nicht wesentlich Einführung in die gekrümmte Raumzeit.

Schnelligkeit

Abbildung 4-1a. Ein Strahl durch die Einheitskreis x² + y² = 1 in dem Punkt (cos a, Sünde a), wo a ist doppelt so weit zwischen dem Strahl, dem Kreis und dem x-Achse.

Abbildung 4-1b. Ein Strahl durch die Einheit Hyperbola x² − y² = 1 in dem Punkt (Cosh a, sinh a), wo a ist doppelt so groß wie der Strahl, die Hyperbel und die x-Achse.

Abbildung 4–2. Diagramm der drei grundlegenden Hyperbolische Funktionen: Hyperbolische Sinus (SINH), Hyperbolische Cosinus (COSH) und hyperbolische Tangent (Tanh). Sinh ist rot, Cosh ist blau und Tanh ist grün.

Lorentz -Transformationen beziehen die Koordinaten von Ereignissen in einem Referenzrahmen auf die eines anderen Frame. Die relativistische Zusammensetzung von Geschwindigkeiten wird verwendet, um zwei Geschwindigkeiten zusammenzuführen. Die Formeln zur Durchführung der letzteren Berechnungen sind nichtlinear, was sie komplexer macht als die entsprechenden galiläischen Formeln.

Diese Nichtlinearität ist ein Artefakt unserer Parameterwahl.^{[7]: 47–59} Wir haben zuvor festgestellt, dass in einem x - CT Raumzeitdiagramm, die Punkte in einem konstanten Raumzeitintervall aus dem Ursprung bilden eine invariante Hyperbel. Wir haben auch festgestellt, dass die Koordinatensysteme von zwei Referenzrahmen für Raumzeit in der Standardkonfiguration hyperbolisch miteinander gedreht werden.

Die natürlichen Funktionen für das Ausdrücken dieser Beziehungen sind die hyperbolische Analoga der trigonometrischen Funktionen. Abb. 4-1a zeigt a Einheitskreis mit Sünde (a) und cos ((a) Der einzige Unterschied zwischen diesem Diagramm und dem vertrauten Einheitskreis der elementaren Trigonometrie ist das, das a wird interpretiert, nicht als Winkel zwischen dem Strahl und dem x-Achse, aber wie doppelt so hoch wie der Bereich des Sektor x-Achse. (Numerisch der Winkel und 2 × Fläche Die Maßnahmen für den Einheitskreis sind identisch.) Abb. 4-1b zeigt a Einheit Hyperbola mit sinh (a) und Cosh (a), wo a wird ebenfalls als doppelt so hoch wie der getönte Bereich interpretiert.^[45] Abb. 4-2 präsentiert Diagramme der Sinh-, Cosh- und Tanh-Funktionen.

Für den Einheitskreis wird die Steigung des Strahls gegeben

${\ displayStyle {\ text {Slope}} = \ tan a = {\ frac {\ sin a} {\ cos a}}.}$

In der kartesischen Ebene die Rotation des Punktes (x, y) in den Punkt (x', y') im Winkel θ wird gegeben von

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \ theta \\\ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \\\ end {pmatrix}}.}$

In einem Raumzeitdiagramm der Geschwindigkeitsparameter ${\ displayStyle \ Beta}$ ist das Analogon der Steigung. Das Schnelligkeit, φ, ist definiert von^{[38]: 96–99}

${\ displayStyle \ Beta \ äquiv \ tanh \ phi \ äquiv {\ frac {v} {c}},}$

wo

${\ displayStyle \ tanh \ phi = {\ frac {\ sinh \ phi} {\ cosh \ phi} = {\ frac {e^{\ phi} -e^{-\ phi} {e^{\ pHi} -e }+e^{-\ phi}}}.}$

Die oben definierte Schnelligkeit ist bei der besonderen Relativitätstheorie sehr nützlich, da viele Ausdrücke eine erheblich einfachere Form annehmen, wenn sie dies ausdrückt. Zum Beispiel ist Schnelligkeit einfach additiv in der kollinearen Geschwindigkeits-Addition-Formel;^{[7]: 47–59}

$oder$ ${\ displaystyle {\ frac {\ tanh \ phi _ {1}+\ tanh \ phi _ {2} {1+ \ tanh \ phi _ {1} \ tanh \ phi _ {2}}}}$ ${\ displayStyle \ tanh (\ phi _ {1}+\ phi _ {2}),},},},},},},},},},},},},},},},}$

oder mit anderen Worten, ${\ displayStyle \ phi = \ phi _ {1}+\ phi _ {2}.}$

Die Lorentz -Transformationen haben eine einfache Form, wenn sie in Bezug auf Schnelligkeit ausgedrückt werden. Das γ Faktor kann geschrieben werden als

$oder }}$ ${\ displayStyle = \ cosh \ phi,}$

$oder 2} \ phi}}}}$ ${\ displayStyle = \ sinh \ phi.}$

Transformationen, die die relative Bewegung mit gleichmäßiger Geschwindigkeit und ohne Drehung der Raumkoordinatenachsen beschreiben, werden genannt Schubs.

Ersetzen γ und γβ in die zuvor präsentierten Transformationen in Matrixform und umschreiben Sie den Lorentz -Schub in der x-Richtung kann geschrieben werden als

$oder \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} ct \\ x \ end {pmatrix}},}$

und der inverse Lorentz -Schub in der x-Richtung kann geschrieben werden als

$oder }} {\ begin {pmatrix} ct '\\ x' \ end {pmatrix}}.}.}.$

Mit anderen Worten, Lorentz Boosts repräsentieren Hyperbolische Rotationen In Minkowski -Raumzeit.^{[38]: 96–99}

Die Vorteile der Verwendung hyperbolischer Funktionen sind so, dass einige Lehrbücher wie die klassischen von Taylor und Wheeler ihre Verwendung in einem sehr frühen Stadium einführen.^{[7][46][Anmerkung 12]}

4 -Vektoren

Viervektoren wurden oben im Kontext des Energie -Momentums erwähnt 4 -Vektor, aber ohne großen Schwerpunkt. In der Tat erfordert keine der Elementarableitungen der besonderen Relativitätstheorie sie. Aber einmal verstanden, 4 -Vektorenund allgemeiner Tensorenvereinfachen Sie die Mathematik und das konzeptionelle Verständnis der besonderen Relativität erheblich. Das Arbeiten ausschließlich mit solchen Objekten führt zu Formeln, die sind offensichtlich Relativistisch invariant, was in nicht trivialen Kontexten ein erheblicher Vorteil ist. Zum Beispiel die nachweisliche relativistische Invarianz von Maxwells Gleichungen in ihrer üblichen Form ist nicht trivial, während es sich lediglich um eine routinemäßige Berechnung (wirklich nicht mehr als eine Beobachtung) verwendet Feldstärkezensor Formulierung. Andererseits hängt die allgemeine Relativität von Anfang an stark auf 4 -Vektorenund allgemeiner Tensoren, die physikalisch relevante Unternehmen darstellen. In Bezug auf Gleichungen, die nicht auf bestimmte Koordinaten beruhen 4 -Vektoren Sogar innerhalb von a gebogen Raumzeit und nicht nur innerhalb eines eben eine wie in besonderer Relativität. Die Untersuchung von Tensoren liegt außerhalb des Rahmens dieses Artikels, der nur eine grundlegende Diskussion über die Raumzeit liefert.

Definition von 4-Vektoren

Ein 4-Tupel, ${\ displayStyle a = \ links (a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, a_ {3} \ rechts)}$ ist ein "4-Vektor", wenn seine Komponente A_i Transformation zwischen Frames gemäß der Lorentz -Transformation.

If using ${\ displayStyle (ct, x, y, z)}$ Koordinaten, A ist ein 4 -Vektor Wenn es sich verwandelt (in der x-Richtung) entsprechend

$oder links (a_ {1}-(v/c) a_ {0} \ rechts) \\ a_ {2} '& = a_ {2} \\ a_ {3}' & = a_ {3} \ end {ausgeteilt}} }}$

das kommt vom einfachen Ersetzen ct mit A₀ und x mit A₁ in der früheren Präsentation der Lorentz -Transformation.

Wie immer, wenn wir schreiben x, tusw. wir bedeuten im Allgemeinen Δx, Δt usw.

Die letzten drei Komponenten von a 4 -Vektor Muss ein Standardvektor im dreidimensionalen Raum sein. Daher a 4 -Vektor Muss sich verändern ${\ displayStyle (c \ delta t, \ delta x, \ delta y, \ delta z)}$ Unter Lorentz -Transformationen sowie Rotationen.^{[32]: 36–59}

Eigenschaften von 4-Vektoren

• Verschluss unter linearer Kombination: Wenn A und B sind 4-Vektoren, dann ${\ displayStyle c = aa+ab}$ ist auch a 4-Vektor.
• Invarianz innerer Produkt: Wenn A und B sind 4-VektorenDann ist ihr inneres Produkt (Skalarprodukt) invariant, d. H. Ihr inneres Produkt ist unabhängig von dem Rahmen, in dem es berechnet wird. Beachten Sie, wie sich die Berechnung des inneren Produkts von der Berechnung des inneren Produkts von a unterscheidet 3-Vektor. Im Folgenden, ${\ displaystyle {\ vec {a}}}$ und ${\ displaystyle {\ vec {b}}}$ sind 3-Vektoren:

${\ displayStyle a \ cdot b \ äquiv}$ $oder$ ${\ displayStyle a_ {0} b_ {0}-{\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}}}$

Das obige innere Produkt ist nicht nur unter Lorentz -Transformation invariant, sondern auch in der Rotation in der Rotation 3-Raum.

Zwei Vektoren sollen sein senkrecht wenn ${\ displayStyle a \ cdot b = 0.}$ Im Gegensatz zu der Fall mit 3-Vektoren, senkrecht 4-Vektoren sind nicht unbedingt rechtwinklig miteinander. Die Regel ist, dass zwei 4-Vektoren sind orthogonal, wenn sie durch gleiche und entgegengesetzte Winkel aus der 45 ° -Linie ausgeglichen werden, die die Weltlinie eines leichten Strahls ist. Dies impliziert, dass ein leichtes 4-Vektor ist orthogonal mit selbst.

• Invarianz der Größe eines Vektors: Die Größe eines Vektors ist das innere Produkt von a 4-Vektor mit sich selbst und ist eine rahmenunabhängige Eigenschaft. Wie bei Intervallen kann die Größe positiv, negativ oder Null sein, so dass die Vektoren als zeitlich, räumlich oder null (leicht) bezeichnet werden. Beachten Sie, dass ein Nullvektor nicht mit Nullvektor gleich ist. Ein Nullvektor ist einer, für den ${\ displayStyle a \ cdot a = 0,}$ Während ein Nullvektor einer ist, dessen Komponenten alle Null sind. Sonderfälle, die die Invarianz der Norm veranschaulichen, umfassen das invariante Intervall ${\ displayStyle c^{2} t^{2} -x^{2}}$ und die invariante Länge des relativistischen Impulsvektors ${\ displayStyle e^{2} -p^{2} c^{2}.}$^{[38]: 178–181[32]: 36–59}

Beispiele für 4-Vektoren

• Verschiebung 4-Vektor: Andere als die bekannt Raumzeittrennung, das ist (Δt, Δx, Δy, Δz), oder für infinitesimale Trennungen,, (DT, DX, DY, DZ).

${\ displayStyle ds \ äquiv (dt, dx, dy, dz)}$

• Geschwindigkeit 4-Vektor: Dies ergibt sich bei der Verschiebung 4-Vektor ist geteilt durch ${\ displayStyle d \ tau}}$, wo ${\ displayStyle d \ tau}}$ ist die richtige Zeit zwischen den beiden Ereignissen, die ergeben DT, DX, DY, und DZ.

$oder$ ${\ displaystyle \ gamma \ links (1, {\ frac {dx} {dt}}, {\ frac {dy} {dt}}, {\ frac {dz} {dt}} \ rechts) =} =}$ ${\ displayStyle (\ gamma, \ gamma {\ vec {v}})}$

Abbildung 4-3a. Die momentanischen Referenzrahmen eines beschleunigenden Teilchens, wie aus einem stationären Rahmen beobachtet.

Abbildung 4-3b. Die momentan COMVERY -Referenzrahmen entlang der Flugbahn eines beschleunigenden Beobachters (Mitte).

Das 4-Geschwindigkeit ist tangential zur Weltlinie eines Teilchens und hat eine Länge einer Zeiteinheit im Rahmen des Partikels.

Ein beschleunigtes Teilchen hat keinen Trägheitsrahmen, in dem es immer in Ruhe ist. Es kann jedoch immer ein Trägheitsrahmen gefunden werden, der sich vorübergehend mit dem Teilchen besiegt. Dieser Frame, der momentan Comoving Reference Frame (MCRF) ermöglicht die Anwendung einer speziellen Relativitätstheorie zur Analyse beschleunigter Partikel.

Da sich Photonen auf Nulllinien bewegen, ${\ displayStyle d \ tau = 0}$ für ein Photon und a 4-Geschwindigkeit kann nicht definiert werden. Es gibt keinen Rahmen, in dem ein Photon in Ruhe ist und auf dem Pfad eines Photons kein MCRF festgelegt werden kann.

• Energy-Momentum 4-Vektor:

${\ displayStyle p \ äquiv (e/c, {\ vec {p}}) = (e/c, p_ {x}, p_ {y}, p_ {z})}$

Wie bereits erwähnt, gibt es unterschiedliche Behandlungen für das Energiemomentum 4-Vektor so dass man es auch sehen kann als ausgedrückt als ${\ displayStyle (e, {\ vec {p}})}$ oder ${\ displayStyle (e, {\ vec {p}} c).}$ Die erste Komponente ist die Gesamtenergie (einschließlich Masse) des Partikels (oder das System von Partikeln) in einem bestimmten Rahmen, während die verbleibenden Komponenten ihr räumlicher Impuls sind. Das Energie-Momentum 4-Vektor ist eine konservierte Menge.

• Beschleunigung 4-Vektor: Dies resultiert aus der Ableitung der Geschwindigkeit 4-Vektor in Gedenken an ${\ displayStyle \ Tau.}$

${\ displayStyle a \ äquiv {\ frac {dv} {d \ tau}} =}$ ${\ displaystyle {\ frac {d} {d \ tau}} (\ gamma, \ gamma {\ vec {v}}) =}$ $oder$

• Kraft 4-Vektor: Dies ist die Ableitung des Impulses 4-Vektor in Gedenken an ${\ displayStyle \ Tau.}$

${\ displaystyle f \ äquiv {\ frac {dp} {d \ tau}} =}$ $oder$ ${\ displaystyle \ gamma \ links ({\ frac {de} {dt}}, {\ vec {f} \ \ rechts)}$

Wie erwartet sind die endgültigen Komponenten der oben genannten 4-Vektoren sind alle Standard 3-Vektoren entsprechend räumlich 3-Momentum, 3-force usw.^{[38]: 178–181[32]: 36–59}

4-Vektoren und physisches Recht

Das erste Postulat der besonderen Relativitätstheorie erklärt die Äquivalenz aller Trägheitsrahmen. Ein physisches Gesetz, das in einem Rahmen hält, muss in allen Frames gelten, da es sonst möglich wäre, zwischen den Frames zu unterscheiden. Newtonsche Momenta verhalten sich nicht ordnungsgemäß unter Lorentzian Transformation, und Einstein zog es vor, die Definition von Impuls auf einen zu ändern, der beteiligt ist 4-Vektoren anstatt die Erhaltung des Impulses aufzugeben.

Physikalische Gesetze müssen auf Konstrukten beruhen, die rahmenunabhängig sind. Dies bedeutet, dass physikalische Gesetze in Form von Gleichungen annehmen können, die Skalare verbinden, die immer rahmenunabhängig sind. Gleichungen, die jedoch beteiligt sind 4-Vektoren erfordern die Verwendung von Tensoren mit angemessenem Rang, von denen selbst als aufgebaut angesehen werden kann 4-Vektoren.^{[38]: 186}

Beschleunigung

Es ist ein weit verbreitetes Missverständnis, dass eine besondere Relativitätstheorie nur für Trägheitsrahmen anwendbar ist und dass es nicht in der Lage ist, beschleunigende Objekte oder beschleunigende Referenzrahmen zu verarbeiten. Tatsächlich können beschleunigende Objekte im Allgemeinen analysiert werden, ohne dass sich überhaupt beschleunigte Frames befassen muss. Nur wenn die Gravitation von Bedeutung ist, ist eine allgemeine Relativitätstheorie erforderlich.^[47]

Die ordnungsgemäße Handhabung von Beschleunigungsrahmen erfordert jedoch eine gewisse Sorgfalt. Der Unterschied zwischen besonderer und allgemeiner Relativitätstheorie besteht darin, dass (1) in besonderer Relativitätstheorie alle Geschwindigkeiten relativ sind, die Beschleunigung jedoch absolut ist. (2) Im Allgemeinen Relativitätstheorie ist die gesamte Bewegung relativ, ob inertial, beschleunigt oder rotierend. Um diesen Unterschied zu berücksichtigen, verwendet die allgemeine Relativitätstheorie gekrümmte Raumzeit.^[47]

In diesem Abschnitt analysieren wir mehrere Szenarien mit beschleunigten Referenzrahmen.

Dewan -Beran -Bell Spaceship Paradox

Das Dewan -Beran -Bell Spaceship Paradox (Bells Raumschiff -Paradoxon) ist ein gutes Beispiel für ein Problem, bei dem intuitive Argumentation, das durch den geometrischen Einblick in den Raumzeitansatz ohne Unterstützung nicht unterstützt wird, zu Problemen führen kann.

Abbildung 4-4. Dewan -Beran -Bell Spaceship Paradox

In Abb. 4-4 schweben zwei identische Raumschiffe im Raum und ruhen relativ zueinander. Sie sind durch eine Schnur verbunden, die vor dem Aufbrechen nur eine begrenzte Menge an Dehnungen in der Lage ist. In einem bestimmten Zeitpunkt in unserem Rahmen beschleunigt der Beobachterrahmen beide Raumschiffe in derselben Richtung entlang der Linie zwischen ihnen mit der gleichen konstanten ordnungsgemäßen Beschleunigung.^{[Anmerkung 13]} Wird die String brechen?

Als das Paradoxon neu und relativ unbekannt war, hatten sogar professionelle Physiker Schwierigkeiten, die Lösung auszuarbeiten. Zwei Argumentationslinien führen zu entgegengesetzten Schlussfolgerungen. Beide Argumente, die unten dargestellt werden, sind fehlerhaft, obwohl einer von ihnen die richtige Antwort gibt.^{[38]: 106, 120–122}

1. Für Beobachter im Restrahmen beginnen die Raumschiffe einen Abstand L Abgesehen davon und bleiben während der Beschleunigung die gleiche Entfernung voneinander entfernt. Während der Beschleunigung, L ist eine länge kontrahierte Entfernung der Entfernung L' = γl im Rahmen der beschleunigenden Raumschiffe. Nach einer ausreichend langen Zeit, γ wird zu einem ausreichend großen Faktor zunehmen, dass die Saite brechen muss.
2. Lassen A und B Seien Sie die hinteren und vorderen Raumschiffe. Im Rahmen der Raumschiffe sieht in jedem Raumschiff das andere Raumschiff das Gleiche, was es tut. A sagt, dass B hat die gleiche Beschleunigung wie er und B sieht das A passt zu ihr bei jeder Bewegung. Die Raumschiffe bleiben also in der gleichen Entfernung voneinander entfernt, und die Schnur bricht nicht.^{[38]: 106, 120–122}

Das Problem mit dem ersten Argument ist, dass es keinen "Rahmen der Raumschiffe" gibt. Es kann nicht geben, weil die beiden Raumschiffe einen Wachstumsabstand zwischen den beiden messen. Da es keinen gemeinsamen Rahmen der Raumschiffe gibt, ist die Länge der Saite schlecht definiert. Trotzdem ist die Schlussfolgerung korrekt und das Argument ist größtenteils richtig. Das zweite Argument ignoriert jedoch die Relativität der Gleichzeitigkeit vollständig.^{[38]: 106, 120–122}

Abbildung 4–5. Die gekrümmten Linien repräsentieren die Weltlinien von zwei Beobachtern A und B, die in die gleiche Richtung mit der gleichen Konstantgröße beschleunigen. Bei A und B 'hören die Beobachter auf, sich zu beschleunigen. Die gestrichelten Linien sind gleichzeitige Linien für beide Beobachter, bevor die Beschleunigung beginnt und nach der Beschleunigung stoppt.

Ein Raumzeitdiagramm (Abb. 4-5) macht die richtige Lösung für dieses Paradox fast sofort offensichtlich. Zwei Beobachter in Minkowski -Raumzeit beschleunigen sich mit konstanter Größe ${\ displayStyle K}$ Beschleunigung für die richtige Zeit ${\ displayStyle \ sigma}$ (Beschleunigung und verstrichene Zeit, gemessen von den Beobachtern selbst, nicht einem Trägheitsbeobachter). Sie sind vor und nach dieser Phase geschaffen und träge. In der Minkowski -Geometrie die Länge entlang der Simultanitätslinie ${\ displayStyle a'b ''}$ stellt sich als größer als die Länge entlang der Gleichzeitigkeit heraus ${\ displayStyle ab}$.

Die Längeanstieg kann mit Hilfe der Lorentz -Transformation berechnet werden. Wenn, wie in Abb. 4-5 dargestellt, ist die Beschleunigung abgeschlossen, bleiben die Schiffe in einem Rahmen konstant versetzt ${\ displayStyle S '.}$ Wenn ${\ displayStyle x_ {a}}$ und ${\ displaystyle x_ {b} = x_ {a}+l}$ sind die Positionen der Schiffe in ${\ displayStyle S,}$ die Positionen im Rahmen ${\ displayStyle S '}$ sind:^[48]

$oder +L-vt \ rechts) \\ l '& = x' _ {b} -x '_ {a} = \ gamma l \ end {ausgerichtet}}}$

Das "Paradox", sozusagen, kommt von der Art und Weise, wie Bell sein Beispiel konstruierte. In der üblichen Diskussion der Lorentz -Kontraktion wird die Ruhelänge festgelegt und die sich bewegende Länge verkürzt, gemessen im Rahmen ${\ displayStyle S}$. Wie in Abb. 4-5 gezeigt, gilt das Beispiel von Bell die sich bewegenden Längen ${\ displayStyle ab}$ und ${\ displayStyle a'b '}$ gemessen im Rahmen ${\ displayStyle S}$ zu reparieren und dadurch die Restrahmenlänge zu erzwingen ${\ displayStyle a'b ''}$ im Rahmen ${\ displayStyle S '}$ erhöhen.

Beschleunigter Beobachter mit Horizont

Bestimmte Setups für spezielle Relativitätstheorien können zu Einsichten über Phänomene führen, die normalerweise mit allgemeiner Relativitätstheorie verbunden sind, wie z. Ereignishorizonte. Im zugegliederten Text Abb. 2-7Die Magenta -Hyperbolae repräsentierten tatsächliche Wege, die von einem ständig beschleunigten Reisenden in der Raumzeit verfolgt werden. In Zeiten der positiven Beschleunigung die Geschwindigkeit des Reisenden gerade Ansätze Die Lichtgeschwindigkeit, die in unserem Rahmen gemessen wurde, nimmt die Beschleunigung des Reisenden ständig ab.

Abbildung 4–6. Beschleunigter relativistischer Beobachter mit Horizont. Eine weitere gut gezeichnete Abbildung desselben Themas kann angezeigt werden hier.

Abb. 4-6 Details verschiedene Merkmale der Bewegungen des Reisenden mit mehr Spezifität. Zu jedem Zeitpunkt wird ihre Raumachse durch eine Linie gebildet, die durch den Ursprung und ihre aktuelle Position auf der Hyperbel fließt, während ihre Zeitachse die Tangente der Hyperbel an ihrer Position ist. Der Geschwindigkeitsparameter ${\ displayStyle \ Beta}$ nähert sich einer Grenze von einem als ${\ displayStyle ct}$ steigt. Ebenfalls, ${\ displayStyle \ gamma}$ nähert sich unendlich.

Die Form der invarianten Hyperbola entspricht einem Pfad konstanter richtiger Beschleunigung. Dies ist nachweisbar wie folgt:

1. Wir erinnern uns daran ${\ displayStyle \ Beta = ct/x.}$
2. Seit ${\ displaystyle c^{2} t^{2} -x^{2} = s^{2},},},},}$ Wir schließen daraus ${\ displaystyle \ beta (ct) = ct/{\ sqrt {c^{2} t^{2} -s^{2}}}.}$
3. ${\ displaystyle \ gamma = 1/{\ sqrt {1- \ Beta ^{2}}} =}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {c^{2} t^{2} -s^{2}}}/s}$
4. Aus dem relativistischen Kraftgesetz, ${\ displayStyle f = dp/dt =}$${\ displayStyle dpc/d (ct) = d (\ beta \ gamma mc^{2})/d (ct).}$
5. Ersetzen ${\ displayStyle \ Beta (ct)}$ aus Schritt 2 und der Ausdruck für ${\ displayStyle \ gamma}$ Ab Schritt 3 Erträge ${\ displayStyle f = mc^{2}/s,}$ Das ist ein konstanter Ausdruck.^{[36]: 110–113}

Abb. 4-6 zeigt ein spezifisches berechnetes Szenario. Terence (a) und Stella (b) stehen zunächst 100 Lichtstunden vom Ursprung. Stella hebt sich zum Zeitpunkt 0 ab, wobei ihr Raumschiff bei 0,01 ° C pro Stunde beschleunigt wird. Alle zwanzig Stunden strahlt Terence Radios über die Situation zu Hause (durchgezogene grüne Linien). Stella erhält diese regelmäßigen Übertragungen, aber die zunehmende Entfernung (teilweise zum Zeitpunkt der Zeitverdünnung) führt sie dazu, Terences Kommunikation später und später wie auf ihrer Uhr gemessen zu haben, und sie noch nie Erhält alle Mitteilungen von Terence nach 100 Stunden auf seiner Uhr (gestrichelte grüne Linien).^{[36]: 110–113}

Nach 100 Stunden laut Terence's Uhr tritt Stella in eine dunkle Region ein. Sie ist außerhalb von Terences zeitelsartige Zukunft gereist. Andererseits kann Terence weiterhin weitermachen erhalten Stellas Botschaften an ihn auf unbestimmte Zeit. Er muss nur lange genug warten. Die Raumzeit wurde in verschiedene Regionen unterteilt, die durch eine getrennt wurden ersichtlich Ereignishorizont. Solange Stella weiter beschleunigt, kann sie nie wissen, was hinter diesem Horizont stattfindet.^{[36]: 110–113}

Einführung in die gekrümmte Raumzeit

Grundlegende Aussagen

Newtons Theorien nahmen an, dass eine Bewegung vor dem Hintergrund eines starren euklidischen Referenzrahmens stattfindet, der sich über den gesamten Raum und alle Zeiten erstreckt. Die Schwerkraft wird durch eine mysteriöse Kraft vermittelt, die sofort über die Entfernung wirkt, deren Handlungen unabhängig vom dazwischenliegenden Raum sind.^{[Anmerkung 14]} Im Gegensatz dazu bestritt Einstein, dass es einen euklidischen Referenzrahmen im Hintergrund gibt, der sich im Raum erstreckt. Es gibt auch keine solchen Dings wie eine Kraft der Gravitation, nur die Struktur der Raumzeit selbst.^{[7]: 175–190}

Abbildung 5–1. Gezeiteneffekte.^{[Klicken Sie hier für weitere Details 1]}

In Raumzeit wird der Weg eines Satelliten, der die Erde umkreist, nicht durch die entfernten Einflüsse der Erde, des Mondes und der Sonne diktiert. Stattdessen bewegt sich der Satellit nur als Reaktion auf die örtlichen Bedingungen durch den Raum. Da die Raumzeit überall lokal flach ist, wenn es auf ausreichend kleinem Maßstab betrachtet wird, folgt der Satellit immer einer geraden Linie in seinem örtlichen Trägheitsrahmen. Wir sagen, dass der Satellit immer auf dem Weg von a folgt geodät. Nach den Bewegungen eines einzelnen Teilchens können keine Hinweise auf Gravitation entdeckt werden.^{[7]: 175–190}

In jeder Analyse der Raumzeit erfordert der Nachweis der Gravitation, dass man die relativen Beschleunigungen von beobachtet zwei Körper oder zwei getrennte Partikel. In Abb. 5-1 weisen zwei getrennte Partikel, die im Gravitationsfeld der Erde frei fallen, aufgrund lokaler Inhomogenitäten im Gravitationsfeld so Tidalbeschleunigungen auf, dass jedes Partikel durch Raumzeit einem anderen Weg folgt. Die Gezeitenbeschleunigungen, die diese Partikel in Bezug auf einander zeigen, erfordern keine Kräfte für ihre Erklärung. Einstein beschrieb sie vielmehr in Bezug auf die Geometrie der Raumzeit, d. H. Die Krümmung der Raumzeit. Diese Gezeitenbeschleunigungen sind ausschließlich lokal. Es ist der kumulative Gesamteffekt vieler lokaler Manifestationen der Krümmung, die dazu führen Aussehen einer Gravitationskraft, die in weitem von der Erde von der Erde wirkt.^{[7]: 175–190}

Zwei zentrale Vorschläge zugrunde liegen der allgemeinen Relativitätstheorie.

• Das erste entscheidende Konzept ist die Koordinatenunabhängigkeit: Die Gesetze der Physik können nicht davon abhängen, welches Koordinatensystem man verwendet. Dies ist eine wesentliche Erweiterung des Prinzips der Relativitätstheorie aus der Version, die in der speziellen Relativitätstheorie verwendet wird. Dies besagt, dass die Gesetze der Physik für jeden Beobachter gleich sein müssen, der sich in nicht beschleunigten (inertialen) Referenzrahmen bewegt. Im Allgemeinen Relativitätstheorie, um Einsteins eigene (übersetzte) Worte zu verwenden: "Die Gesetze der Physik müssen von einer solchen Art sein, dass sie für Referenzsysteme in jeder Art von Bewegung angewendet werden."^{[49]: 113} Dies führt zu einem sofortigen Problem: In beschleunigten Frames spürt man Kräfte, die es anscheinend ermöglichen würden, den eigenen Beschleunigungszustand in einem absoluten Sinne zu beurteilen. Einstein löste dieses Problem durch das Prinzip der Äquivalenz auf.^{[50]: 137–149}

Abbildung 5–2. Äquivalenzprinzip

• Das Äquivalenzprinzip stellt fest, dass die Auswirkungen der Gravitation in jeder ausreichend geringen Raumregion die gleichen sind wie die von Beschleunigung.

In Abb. 5-2 befindet sich Person A in einem Raumschiff, weit entfernt von massiven Objekten, die einer einheitlichen Beschleunigung von unterzogen werden g. Person B befindet sich in einer Kiste auf der Erde. Vorausgesetzt, dass das Raumschiff ausreichend klein ist, damit Gezeiteneffekte nicht messbar sind (angesichts der Empfindlichkeit der Strom-Schwerkraft-Messinstrumentierung sollten A und B vermutlich sein Lilliputianer), Es gibt keine Experimente, die A und B durchführen können, wodurch sie feststellen können, in welcher Einstellung sie sich befinden.^{[50]: 141–149}

Ein alternativer Ausdruck des Äquivalenzprinzips ist zu beachten, dass in Newtons universellem Gravitationsgesetz, F = GMM_g/r² = m_gg und in Newtons zweitem Gesetz, F = m_ia, es gibt kein a priori Grund, warum die Gravitationsmasse m_g sollte gleich dem sein Trägheitsmasse m_i. Das Äquivalenzprinzip besagt, dass diese beiden Massen identisch sind.^{[50]: 141–149}

Um von der Elementarbeschreibung oben der gekrümmten Raumzeit zu einer vollständigen Beschreibung der Gravitation zu gelangen, erfordert die Tensorrechnung und Differentialgeometrie. Ohne diese mathematischen Tools ist es möglich zu schreiben um Allgemeine Relativitätstheorie, aber es ist nicht möglich, nicht triviale Ableitungen zu demonstrieren.

Krümmung der Zeit

Abbildung 5–3. Einsteins Argument, das auf Gravitationsrötung hindeutet

Bei der Diskussion über besondere Relativitätstheorien spielten Kräfte nicht mehr als eine Hintergrundrolle. Die spezielle Relativitätstheorie setzt die Fähigkeit aus, Trägheitsbildern zu definieren, die alle Raumzeiten füllen, von denen alle Uhren mit der Uhr am Ursprung mit der gleichen Geschwindigkeit laufen. Ist das wirklich möglich? In einem ungleichmäßigen Gravitationsfeld schreibt das Experiment vor, dass die Antwort nein ist. Gravitationsfelder machen es unmöglich, a zu konstruieren global Inertialrahmen. In kleinen Regionen der Raumzeit, lokal Trägheitsrahmen sind noch möglich. Die allgemeine Relativitätstheorie beinhaltet die systematische Nähte dieser lokalen Rahmen zu einem allgemeineren Bild der Raumzeit.^{[32]: 118–126}

Jahre vor der Veröffentlichung der allgemeinen Theorie im Jahr 1916 verwendete Einstein das Äquivalenzprinzip, um die Existenz von Gravitationsrotverschaltung im folgenden Vorsprung vorherzusagen Gedankenexperiment: (i) Angenommen, ein Höhensturm h (Abb. 5-3) wurde konstruiert. (ii) ein Teilchen der Ruhemasse fallen lassen m Von der Spitze des Turms. Es fällt frei mit Beschleunigung gmit Geschwindigkeit den Boden erreichen v = (2gh)^1/2, damit seine Gesamtenergie E, gemessen von einem Beobachter am Boden, ist ${\displaystyle m+{\frac {{\frac {1}{2}}mv^{2}}{c^{2}}}=m+{\frac {mgh}{c^{2}}}}$ (iii) Ein Massenergiewandler verwandelt die Gesamtenergie des Partikels in ein einzelnes Hochenergiephoton, das er nach oben leitet. (iv) An der Oberseite des Turms verwandelt ein Energiemassewandler die Energie des Photons E' Zurück in ein Teilchen der Ruhemasse m'.^{[32]: 118–126}

Es muss das sein m = m', da man sonst in der Lage wäre, a zu konstruieren Perpetuelle Bewegung Gerät. Wir prognostizieren deshalb das E' = m, so dass

${\ displaystyle {\ frac {e '} {e}} = {\ frac {h \ nu \,'} {h \ nu}} = {\ frac {m} {m+{\ frac {mgh {c^ {c^ {2}}}}} = 1-{\ frac {gh} {c^{2}}}}$

Ein Photon, das im Gravitationsfeld der Erde klettert, verliert Energie und ist rotverschifft. Frühe Versuche, diese Rotverschiebung durch astronomische Beobachtungen zu messen, waren etwas nicht schlüssig, aber es wurden endgültige Laborbeobachtungen durchgeführt Pound & Rebka (1959) und später von Pound & Snider (1964).^[51]

Licht hat eine zugehörige Frequenz, und diese Frequenz kann verwendet werden, um die Funktionsweise einer Uhr zu treiben. Die Rotverschiebung der Gravitation führt zu einer wichtigen Schlussfolgerung über die Zeit selbst: Die Schwerkraft läuft langsamer. Angenommen, wir bauen zwei identische Uhren auf, deren Raten durch einen stabilen Atomübergang gesteuert werden. Legen Sie eine Uhr auf den Turm, während die andere Uhr auf dem Boden bleibt. Ein Experimentator auf dem Turm beobachtet, dass Signale aus der Erdgeschoss die Frequenz niedriger sind als die der Uhr neben ihr auf dem Turm. Licht, das den Turm hinaufgeht, ist nur eine Welle, und es ist unmöglich, dass Wellenkämme auf dem Weg nach oben verschwinden. Genau so wie viele Lichtschwankungen am oberen Ende des Turms ankommen, wie sie unten emittiert wurden. Der Experimentator kommt zu dem Schluss, dass die Bodenuhr langsam verläuft, und kann dies bestätigen, indem die Turmuhr nach unten führt, um nebeneinander mit der Bodenuhr zu vergleichen.^{[21]: 16–18} Für einen 1 km langen Turm würde die Diskrepanz etwa 9,4 Nanosekunden pro Tag betragen, die mit modernen Instrumenten leicht messbar sind.

Die Uhren in einem Gravitationsfeld laufen nicht alle mit gleicher Geschwindigkeit. Experimente wie das Pound -Rebka -Experiment haben die Krümmung der Zeitkomponente der Raumzeit fest etabliert. Das Pound -Rebka -Experiment sagt nichts über die Krümmung der Platz Bestandteil der Raumzeit. Die theoretischen Argumente, die die Gravitationszeitdilatation vorhersagen, hängen jedoch nicht von den Details der allgemeinen Relativitätstheorie ab. Irgendein Die Gravitätstheorie wird die Gravitationszeitdilatation vorhersagen, wenn sie das Prinzip der Äquivalenz respektiert.^{[21]: 16} Dies schließt Newtonsche Gravitation ein. Eine Standarddemonstration im Allgemeinen Relativitätstheorie besteht darin, zu zeigen, wie, in der "Newtonsche Grenze"(d. H. Die Partikel bewegen sich langsam, das Gravitationsfeld ist schwach und das Feld ist statisch), die Zeitskrümmung allein reicht aus, um Newtons Schwerkraftgesetz abzuleiten.^{[52]: 101–106}

Newtonsche Gravitation ist eine Theorie der gekrümmten Zeit. Allgemeine Relativitätstheorie ist eine Theorie der gekrümmten Zeit und gebogener Raum. Gegeben G als die Gravitationskonstante, M als die Masse eines Newtonschen Stern r Aus dem Stern ist das Raumzeitintervall für die Newtonsche Gravitation eine, für die nur der Zeitkoeffizient variabel ist:^{[21]: 229–232}

$oder x)^{2}-(\ delta y)^{2}-(\ delta z)^{2}}$

Raumkrümmung

Das ${\ displayStyle (1-2gm/(c^{2} r))}$ Koeffizient vor ${\ displayStyle (c \ delta t)^{2}}$ beschreibt die Zeitumwälz in der Newtonschen Gravitation, und diese Krümmung macht alle Newtonschen Gravitationseffekte vollständig aus. Wie erwartet ist dieser Korrekturfaktor direkt proportional zu ${\ displayStyle g}$ und ${\ displayStyle m}$und wegen der ${\ displayStyle r}$ Im Nenner nimmt der Korrekturfaktor zu, wenn man sich dem Schwerpunkt nähert, was bedeutet, dass die Zeit gekrümmt ist.

Aber allgemeine Relativitätstheorie ist eine Theorie des gekrümmten Raums und Kurvierte Zeit, wenn also Begriffe vorhanden sind, die die räumlichen Komponenten des oben dargestellten Raumzeitintervalls ändern, sollte ihre Auswirkungen nicht auf planetäre und satellitische Umlaufbahnen aufgrund der auf die räumlichen Begriffe angewendeten Krümmungskorrekturfaktoren zu sehen sein?

Die Antwort ist, dass sie sind gesehen, aber die Effekte sind winzig. Der Grund dafür ist, dass Planetengeschwindigkeiten im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit extrem gering sind, so dass für Planeten und Satelliten des Sonnensystems die ${\ displayStyle (c \ delta t)^{2}}$ Der Begriff stellt die räumlichen Begriffe in den Schatten.^{[21]: 234–238}

Trotz der Kleinigkeit der räumlichen Begriffe wurden vor über eineinhalb Jahrhundert die ersten Anzeichen dafür entdeckt, dass etwas mit Newtonian Gravitation nicht stimmte. Im Jahr 1859, Urbain Le Verrierin einer Analyse verfügbarer zeitgesteuerter Beobachtungen von Transits von Quecksilber Über die Scheibe der Sonne von 1697 bis 1848 berichtete, dass die bekannte Physik die Umlaufbahn des Quecksilbers nicht erklären könne, es sei denn, es gab möglicherweise einen Planeten oder einen Asteroidengürtel innerhalb der Umlaufbahn des Quecksilbers. Das Perihel von Mercurys Umlaufbahn zeigte eine Überschussrate der Präzession über das, was durch die Schlepper der anderen Planeten erklärt werden konnte.^[53] Die Fähigkeit, den Minutenwert dieser anomalen Präzession zu erkennen und genau zu messen (nur 43) Bogensekunden pro Tropischer Jahrhundert) ist ein Zeugnis für die Raffinesse des 19. Jahrhunderts Astrometrie.

Abbildung 5–4. Allgemeine Relativitätstheorie ist eine Theorie der gekrümmten Zeit und gebogener Raum. Klicken Sie hier, um zu animieren.

Als berühmter Astronom, der zuvor die Existenz von Neptun "an der Spitze seines Stifts" entdeckt hatte, indem sie Wackel in der Umlaufbahn von Uranus analysierte Astronomen jagten gleichermaßen nach dem hypothetischen neuen Planeten. Diese Suche enthielt mehrere falsche Sichtungen von Vulcan. Es wurde letztendlich festgestellt, dass kein solcher Planet oder kein Asteroidengürtel existierte.^[54]

1916 sollte Einstein zeigen, dass diese anomale Präzession des Quecksilbers durch die räumlichen Begriffe in der Krümmung der Raumzeit erklärt wird. Die Krümmung im zeitlichen Begriff, der lediglich ein Ausdruck der Newtonschen Gravitation ist, ist nicht daran teilzunehmen, diese anomale Präzession zu erklären. Der Erfolg seiner Berechnung war ein starker Indiz für Einsteins Kollegen, dass die allgemeine Theorie der Relativitätstheorie korrekt sein könnte.

Die spektakulärste Vorhersage von Einstein war seine Berechnung, dass die Krümmung in den räumlichen Komponenten des Raumzeitintervalls in der Biegung von Licht um einen massiven Körper gemessen werden konnten. Licht hat eine Steigung von ± 1 auf einem Raumzeitdiagramm. Seine Raumbewegung entspricht seiner Zeitbewegung. Für die schwache Feldexpression des invarianten Intervalls berechnete Einstein eine genau gleiche, aber entgegengesetzte Vorzeichenkrümmung in seinen räumlichen Komponenten.^{[21]: 234–238}

$oder$$oder }+(\ Delta z)^{2} \ right]}$

In Newtons Gravitation die ${\ displayStyle (1-2gm/(c^{2} r))}$ Koeffizient vor ${\ displayStyle (c \ delta t)^{2}}$ prognostiziert das Licht des Lichts um einen Stern. Im Allgemeinen Relativitätstheorie die ${\ displayStyle (1+2gm/(c^{2} r))}$ Koeffizient vor ${\ displaystyle \ links [(\ delta x)^{2}+(\ delta y)^{2}+(\ delta z)^{2} \ rechts]}$ prognostiziert a Verdoppelung der Gesamtbiegung.^{[21]: 234–238}

Die Geschichte der 1919 Eddington Eclipse Expedition Und Einsteins Aufstieg zum Ruhm wird anderswo gut gesagt.^[55]

Spacetime -Krümmung

Abbildung 5-5. Kontravariante Bestandteile des Spannungs -Energie -Tensors

Im Newtons GravitationstheorieDie einzige Quelle der Gravitationskraft ist Masse.

Im Gegensatz dazu identifiziert die allgemeine Relativitätstheorie zusätzlich zur Masse mehrere Quellen der Raumzeitkrümmung. In dem Einstein -FeldgleichungenDie Schwerkraftquellen werden auf der rechten Seite in der rechten Seite dargestellt ${\ displayStyle t _ {\ mu \ nu},},}$ das Stress -Energie -Tensor.

Abb. 5-5 klassifiziert die verschiedenen Schwerkraftquellen im Spannungs-Energie-Tensor:

• ${\ displayStyle t^{00}}$ (Rot): Die Gesamtmassenenergiedichte, einschließlich jeglicher Beiträge zur potentiellen Energie durch Kräfte zwischen den Partikeln sowie kinetische Energie aus zufälligen thermischen Bewegungen.
• ${\ displayStyle t^{0i}}$ und ${\ displayStyle t^{i0}}$ (Orange): Dies sind Begriffe der Impulsdichte. Auch wenn keine Massenbewegung vorliegt, kann Energie durch Wärmeleitung übertragen werden und die durchgeführte Energie führt zu Dynamik.
• ${\ displayStyle t^{ij}}$ sind die Flussrate der i-Komponente von Impuls pro Einheitsbereich in der j-Richtung. Auch wenn es keine Massenbewegung gibt, führen zufällige thermische Bewegungen der Partikel zum Impulsfluss, also die i = j Begriffe (grün) repräsentieren den isotropen Druck und die i ≠ j Begriffe (blau) stellen Scherspannungen dar.^[56]

Eine wichtige Schlussfolgerung aus den Gleichungen ist, dass, umgangssprachlich gesprochen, Die Schwerkraft selbst schafft Schwerkraft.^{[Anmerkung 15]} Energie hat Masse. Selbst in der Newtonschen Schwerkraft ist das Gravitationsfeld mit einer Energie verbunden. ${\ displayStyle e = mgh,}$ genannt Gravitationspotentialergie. Im Allgemeinen füttert die Energie des Gravitationsfeldes wieder in die Schaffung des Gravitationsfeldes. Dies macht die Gleichungen nichtlinear und schwer in etwas anderem als schwachem Feldfällen zu lösen.^{[21]: 240} Numerische Relativitätstheorie ist ein Zweig der allgemeinen Relativitätstheorie unter Verwendung numerischer Methoden zur Lösung und Analyse von Problem Schwarze Löcher, Gravitationswellen, Neutronensterne und andere Phänomene im starken Feldregime.

Energiemomentum

Abbildung 5-6. (links) Massenenergie-Warps-Raumzeit. (rechts) rotierende Massenenergieverteilungen mit Winkelimpuls J generieren gravitomagnetische Felder H.

In besonderer Relativität ist die Massenergie eng miteinander verbunden mit Schwung. So wie Raum und Zeit unterschiedliche Aspekte einer umfassenderen Einheit namens Raumzeit, Massen-Energie und Impuls sind, sind nur unterschiedliche Aspekte einer einheitlichen, vierdimensionalen Menge genannt Viermomentum. Infolgedessen muss der Impuls auch eine Quelle sein, wenn Masse -Energie eine Schwerkraftquelle ist. Die Einbeziehung von Impuls als Schwerkraft führt zu der Vorhersage, dass sich bewegende oder rotierende Massen Felder erzeugen können, die zu den Magnetfeldern analog sind, die durch Bewegungsladungen erzeugt werden, ein Phänomen, das als bekannt ist Gravitomagnetismus.^[57]

Abbildung 5–7. Ursprung des Gravitomagnetismus

Es ist bekannt, dass die Kraft des Magnetismus durch Anwendung der Regeln für besondere Relativitätstheorie auf bewegliche Gebühren abgeleitet werden kann. (Eine beredte Demonstration davon wurde von Feynman in Band II vorgestellt, Kapitel 13–6 von seinen Vorträge über Physik, Online verfügbar.^[58]) Analoge Logik kann verwendet werden, um den Ursprung des Gravitomagnetismus zu demonstrieren. In Fig. 5-7a haben zwei parallele, unendlich lange Bäche massiver Partikel gleiche und entgegengesetzte Geschwindigkeiten-v und +v relativ zu einem Testteilchen in Ruhe und zentriert zwischen den beiden. Aufgrund der Symmetrie des Setups ist die Nettokraft auf das zentrale Teilchen Null. Davon ausgehen ${\ displayStyle v \ ll c}$ so dass Geschwindigkeiten einfach additiv sind. Abb. 5-7b zeigt genau das gleiche Setup, jedoch im Rahmen des oberen Stroms. Das Testteilchen hat eine Geschwindigkeit von +vund der untere Strom hat eine Geschwindigkeit von +2v. Da sich die physikalische Situation nicht geändert hat, sollte nur der Rahmen, in dem die Dinge beobachtet werden, das Testteilchen nicht für einen beiden Strom angezogen werden. Es ist jedoch überhaupt nicht klar, dass die im Testteilchen ausgeübten Kräfte gleich sind. (1) Da sich der untere Strom schneller als das Oberteil bewegt, hat jedes Partikel im unteren Strom eine größere Massenenergie als ein Teilchen oben. (2) Aufgrund der Lorentz -Kontraktion befinden sich im unteren Strom mehr Partikel pro Einheitlänge als im oberen Strom. . All diese Effekte zusammen würden anscheinend verlangen, dass das Testteilchen in Richtung des unteren Stroms gezogen wird.

Das Testteilchen wird aufgrund einer Geschwindigkeitsabhängigen Kraft, die dazu dient, ein Teilchen abzuwehren, nicht zum unteren Strom gezeichnet Das bewegt sich in die gleiche Richtung wie der untere Strom. Diese Geschwindigkeitsabhängige Gravitationseffekt ist Gravitomagnetismus.^{[21]: 245–253}

Materie in Bewegung durch ein gravitomagnetisches Feld ist daher so genannt Frame-Draggen Effekte analog zu Elektromagnetische Induktion. Es wurde vorgeschlagen, dass solche gravitomagnetischen Kräfte der Generation des Relativistische Jets (Abb. 5-8), die von einigen rotierenden Auswirkungen ausgeworfen wurden Supermassive schwarze Löcher.^[59][60]

Druck und Stress

Mengen, die in direktem Zusammenhang mit Energie und Impuls stehen, sollten auch Schwerkraftquellen sein, nämlich intern Druck und betonen. Zusammen genommen, Massenergie, Impuls, Druck und Stress dienen alle als Schwerkraft: gemeinsam sind sie das, was die Raumzeit zum Kurven bringt.

Die allgemeine Relativitätstheorie sagt voraus, dass Druck als Gravitationsquelle mit genau der gleichen Festigkeit wie Massenenergiedichte wirkt. Die Einbeziehung von Druck als Schwerkraft führt zu dramatischen Unterschieden zwischen den Vorhersagen der allgemeinen Relativitätstheorie und denen der Newtonschen Gravitation. Zum Beispiel legt der Druckterm eine maximale Grenze auf die Masse von a fest Neutronenstern. Je massiver ein Neutronenstern ist, desto mehr Druck ist erforderlich, um sein Gewicht gegen die Schwerkraft zu stützen. Der erhöhte Druck trägt jedoch zur Schwere bei, die auf die Masse des Sterns wirkt. Über einer bestimmten Masse durch die bestimmt Tolman -Appenheimer -Volkoff -GrenzeDer Prozess wird außer Kontrolle geraten und der Neutronenstern kollabiert zu a schwarzes Loch.^{[21]: 243, 280}

Die Stressbegriffe werden bei der Durchführung von Berechnungen wie hydrodynamischen Simulationen von Kernkollaps-Supernovae von großer Bedeutung.^[61]

Diese Vorhersagen für die Rollen von Druck, Impuls und Stress als Quellen der Raumzeitkrümmung sind elegant und spielen in der Theorie eine wichtige Rolle. In Bezug auf Druck wurde das frühe Universum strahlend dominiert,^[62] und es ist höchst unwahrscheinlich, dass eine der relevanten kosmologischen Daten (z. Nucleosynthese Häufigkeiten usw.) könnten reproduziert werden, wenn Druck nicht zur Schwerkraft beigetragen hat oder wenn er nicht die gleiche Festigkeit wie eine Schwerkraftquelle wie Massen -Energie hatte. Ebenso würde die mathematische Konsistenz der Einstein -Feldgleichungen gebrochen, wenn die Stressbegriffe nicht als Schwerkraftquelle beigetragen hätten.

Versuchstest der Quellen der Raumzeitkrümmung

Definitionen: aktive, passive und Trägheitsmasse

Bondi unterscheidet zwischen verschiedenen möglichen Massenarten: (1) aktive Masse (${\ displayStyle m_ {a}}$) ist die Masse, die als die wirkt Quelle eines Gravitationsfeldes; (2)passive Masse (${\ displayStyle m_ {p}}$) ist die Masse welche reagiert auf ein Gravitationsfeld; (3) Trägheitsmasse (${\ displayStyle m_ {i}}$) ist die Masse, die auf die Beschleunigung reagiert.^[63]

• ${\ displayStyle m_ {p}}$ ist das gleiche wie Gravitationsmasse (${\ displayStyle m_ {g}}$) in dem Diskussion des Äquivalenzprinzips.

In der Newtonschen Theorie,

• Das dritte Handlungs- und Reaktionsgesetz schreibt das vor ${\ displayStyle m_ {a}}$ und ${\ displayStyle m_ {p}}$ muss das Selbe sein.
• Andererseits, ob ${\ displayStyle m_ {p}}$ und ${\ displayStyle m_ {i}}$ sind gleich ist ein empirisches Ergebnis.

Im Allgemeinen Relativitätstheorie,

• Die Gleichheit von ${\ displayStyle m_ {p}}$ und ${\ displayStyle m_ {i}}$ wird nach dem Äquivalenzprinzip diktiert.
• Es gibt kein "Handeln und Reaktion" -Prinzip, das eine notwendige Beziehung zwischen diktiert ${\ displayStyle m_ {a}}$ und ${\ displayStyle m_ {p}}$.^[63]

Druck als Gravitationsquelle

Abbildung 5–9. (A) Cavendish Experiment, (b) Kreuzer -Experiment

Das klassische Experiment zur Messung der Stärke einer Gravitationsquelle (d. H. Ihre aktive Masse) wurde erstmals 1797 von durchgeführt Henry Cavendish (Abb. 5-9a). Zwei kleine, aber dichte Kugeln werden auf einem feinen Draht aufgehängt, was a macht Torsionsbilanz. Das Bringen von zwei großen Testmassen in der Nähe der Kugeln führt zu einem nachweisbaren Drehmoment. Angesichts der Abmessungen des Geräts und der messbaren Federkonstante des Torsionsdrahtes die Gravitationskonstante G kann bestimmt werden.

Die Untersuchung von Druckeffekten durch Komprimieren der Testmassen ist hoffnungslos, da erreichbare Labordrücke im Vergleich zu dem unbedeutend sind Massenergie einer Metallkugel.

Die abstoßenden elektromagnetischen Drücke, die aus Protonen resultieren, die in atomaren Kernen fest gepresst werden, liegen typischerweise in der Größenordnung von 10²⁸ATM ≈ 10³³Pa ≈ 10³³kg · s^–2m^–1. Dies entspricht etwa 1% der Kernmassendichte von ungefähr 10¹⁸kg/m³ (Nach der Faktorierung in C² ≈ 9 × 10¹⁶m²s^–2).^[64]

Abbildung 5-10. Mondlaser -Bereichexperiment. (links) dies Retrorefektor wurde von Astronauten auf dem Mond auf dem Apollo 11 Mission. (rechts) Astronomen auf der ganzen Welt haben Laserlicht von den Retrorefektoren abgeholt, die von Apollo-Astronauten und russischen Mondrovers hinterlassen wurden, um genau die Entfernung von Erdmonken zu messen.

Wenn Druck nicht als Gravitationsquelle wirkt, dann ist das Verhältnis ${\ displayStyle m_ {a}/m_ {p}}$ sollte für Kerne mit höherer Atomzahl niedriger sein Z, in denen die elektrostatischen Drücke höher sind. L. B. Kreuzer (1968) führten ein Cavendish-Experiment mit einer Teflonmasse durch, die in einer Mischung der Flüssigkeiten Trichlorethylen und Dibromethan mit der gleichen schwimmenden Dichte wie das Teflon aufgehängt war (Abb. 5-9b). Fluor hat eine Atomzahl Z = 9, während Brom hat Z = 35. Kreuzer fand heraus, dass die Neupositionierung der Teflonmasse keine unterschiedliche Ablenkung des Torsionsbalkens verursachte, wodurch die aktive Masse und die passive Masse eine Präzision von 5 × 10 entsprechen, um zu entsprechen^–5.^[65]

Obwohl Kreuzer dieses Experiment ursprünglich als lediglich als Test für das Verhältnis von aktiver Masse zu passiver Masse betrachtete, interpretierte Clifford Will (1976) das Experiment als grundlegende Test für die Kopplung von Quellen an Gravitationsfelder neu.^[66]

1986 bemerkten Bartlett und Van Buren das Mondlaser reicht hatte einen 2 km langen Versatz zwischen dem Zentrum der Figur des Mondes und seinem Massenzentrum entdeckt. Dies weist auf eine Asymmetrie bei der Verteilung von Fe (reichlich im Kern des Mondes) und AL (in seiner Kruste und Mantel) hin. Wenn der Druck nicht gleichermaßen zur Raumzeitkrümmung beigetragen hätte wie Masse -Energie, würde sich der Mond nicht in der von der klassischen Mechanik vorhergesagten Umlaufbahn befinden. Sie verwendeten ihre Messungen, um die Grenzen zwischen Diskrepanzen zwischen aktiver und passiver Masse auf etwa 10 zu verschärfen^–12.^[67]

Gravitomagnetismus

Abbildung 5-11. Schwerkraftsonde B bestätigte die Existenz des Gravitomagnetismus

Die Existenz des Gravitomagnetismus wurde durch bewiesen Schwerkraftsonde b (GP-B), eine satellitenbasierte Mission, die am 20. April 2004 gestartet wurde.^[68] Die Raumflugphase dauerte bis 2005. Das Missionsziel bestand darin, die Raumzeitkrümmung in der Nähe der Erde zu messen, mit besonderem Schwerpunkt auf Gravitomagnetismus.

Die ersten Ergebnisse bestätigten die relativ große geodätische Wirkung (Dies ist auf eine einfache Raumzeitkrümmung zurückzuführen und ist auch als Desitter -Präzession bezeichnet) auf eine Genauigkeit von etwa 1%. Das viel kleinere Frame-Draggen Effekt (was auf Gravitomagnetismus zurückzuführen ist und auch als bekannt als als Linse - dirstige Präzession) war aufgrund unerwarteter Ladungseffekte schwer zu messen, die in den Gyroskopen eine variable Drift verursachten. Trotzdem von August 2008Der Frame-Dragging-Effekt wurde auf innerhalb von 15% des erwarteten Ergebniss bestätigt.^[69] während der geodätische Effekt auf besser als 0,5%bestätigt wurde.^[70][71]

Nachfolgende Messungen des Rahmenschleppens durch laser-rangierende Beobachtungen der LARES, Lageos-1 und Lageos-2 Satelliten haben sich verbessert GP-B Messung mit Ergebnissen (ab 2016), die den Effekt auf 5% seines theoretischen Werts zeigen,^[72] Obwohl die Genauigkeit dieses Ergebnisses einige Meinungsverschiedenheiten gegeben hat.^[73]

Eine weitere Anstrengung, die Gyroskope im Allgemeinen Relativitätstheorie (Ingwer), versucht, drei 6 m zu verwenden Ringlaser montiert in rechten Winkeln zueinander 1400 m unterhalb der Erdoberfläche, um diesen Effekt zu messen.^[74][75]

Technische Themen

Ist die Raumzeit wirklich gebogen?

In Poincaré konventioneller Ansichten, die wesentlichen Kriterien, nach denen man eine euklidische und nichteuklidische Geometrie auswählen sollte, wäre wirtschaftlich und Einfachheit. Ein Realist würde sagen, dass Einstein die Raumzeit als nichteuklidisch entdeckte. Ein Konventionalist würde sagen, dass Einstein es nur gefunden hat bequemer Nichteuklidische Geometrie verwenden. Der Konventionalist würde behaupten, dass Einsteins Analyse nichts über die Geometrie der Raumzeit sagte Ja wirklich ist.^[76]

Solche gesagt, gesagt,

1. Ist es möglich, die allgemeine Relativität in Bezug auf die Flachdauer zu repräsentieren?

2. Gibt es Situationen, in denen eine flache Raumzeitinterpretation der allgemeinen Relativitätstheorie sein kann bequemer als die übliche geschwungene Raumzeitinterpretation?

Als Antwort auf die erste Frage haben eine Reihe von Autoren, darunter Deser, Grishchuk, Rosen, Weinberg usw., verschiedene Gravitationsformulierungen als Feld in einem flachen Verteiler bereitgestellt. Diese Theorien werden unterschiedlich genannt "Bimetrische Schwerkraft", der" Feldtheoretische Ansatz zur allgemeinen Relativitätstheorie "und so weiter.^{[77][78][79][80]} Kip Thorne hat eine beliebte Überprüfung dieser Theorien gegeben.^{[81]: 397–403}

Das Paradigma der Flat -Spacetime setzt, dass Materie ein Gravitationsfeld erzeugt, das die Herrscher schrumpfen, wenn sie von der Umfangsorientierung zu radial gedreht werden, und die die tickenden Uhrenraten erweitern. Das Paradigma des Flat -Raumzeit entspricht dem geschwungenen Raumzeitparadigma vollständig, da beide dieselben physikalischen Phänomene darstellen. Ihre mathematischen Formulierungen sind jedoch völlig unterschiedlich. Arbeiten Physiker wechseln routinemäßig zwischen gebogenen und flachen Raumzeittechniken, abhängig von den Anforderungen des Problems. Das Paradigma der Flat -Raumzeit ist besonders bequem, wenn es sich um ungefähre Berechnungen in schwachen Feldern ausstellt. Daher werden bei der Lösung von Gravitationswellenproblemen flache Raumzeittechniken verwendet, während gekrümmte Raumzeittechniken bei der Analyse von schwarzen Löchern verwendet werden.^{[81]: 397–403}

Asymptotische Symmetrien

Die Raumzeit -Symmetrie -Gruppe für Spezielle Relativität ist der Poincaré -Gruppe, das ist eine zehndimensionale Gruppe von drei Lorentz-Boosts, drei Rotationen und vier Raumzeitübersetzungen. Es ist logisch zu fragen, welche Symmetrien, wenn überhaupt, gelten könnte Generelle Relativität. Ein verfolgbarer Fall könnte darin bestehen, die Symmetrien der Raumzeit zu berücksichtigen, wie sie von Beobachtern weit entfernt von allen Quellen des Gravitationsfeldes gesehen werden. Die naive Erwartung für asymptotisch flache Raumzeitsymmetrien könnte einfach darin bestehen, die Symmetrien der flachen Raumzeit der besonderen Relativität zu erweitern und zu reproduzieren. nämlich., die Poincaré -Gruppe.

1962 Hermann Bondi, M. G. Van der Burg, A. W. Metzner^[82] und Rainer K. Sachs^[83] behandelte das Asymptotische Symmetrie Problem, um den Energiefluss in Unendlichkeit aufgrund der Ausbreitung zu untersuchen Gravitationswellen. Ihr erster Schritt bestand darin, sich für einige physikalisch vernünftige Randbedingungen zu entscheiden, um das Gravitationsfeld in hellähnlichem Unendlichkeit zu platzieren, um zu charakterisieren, was es bedeutet, eine Metrik asymptotisch flach zu sagen, und nein macht a priori Annahmen über die Natur der asymptotischen Symmetriegruppe - nicht einmal die Annahme, dass eine solche Gruppe existiert. Nachdem sie dann als die vernünftigsten Randbedingungen konzipiert hatten, untersuchten sie die Art der resultierenden asymptotischen Symmetrie -Transformationen, die die Form der Randbedingungen, die für asymptotisch flache Gravitationsfelder geeignet sind, unveränderlich hinterlassen. Sie fanden heraus, dass die asymptotischen Symmetrie -Transformationen tatsächlich eine Gruppe bilden und die Struktur dieser Gruppe nicht von dem jeweiligen Gravitationsfeld abhängt, das zufällig vorhanden ist. Dies bedeutet, dass man erwartungsgemäß die Kinematik der Raumzeit von der Dynamik des Gravitationsfeldes zumindest bei räumlicher Unendlichkeit trennen kann. Die rätselhafte Überraschung im Jahr 1962 war ihre Entdeckung einer reichhaltigen unendlich-dimensionalen Gruppe (der sogenannten BMS-Gruppe) als asymptotische Symmetriegruppe anstelle der endlich-dimensionalen Poincaré-Gruppe, eine Untergruppe der BMS-Gruppe. Die Lorentz -Transformationen sind nicht nur asymptotische Symmetrie -Transformationen, es gibt auch zusätzliche Transformationen, die keine Lorentz -Transformationen sind, sondern asymptotische Symmetrie -Transformationen. Tatsächlich fanden sie eine zusätzliche Unendlichkeit von Transformationsgeneratoren, die als bekannt als Supertranslationen. Dies impliziert die Schlussfolgerung, dass die allgemeine Relativitätstheorie (GR) tut nicht Reduzieren Sie auf besondere Relativitätstheorie bei schwachen Feldern in großen Entfernungen.^{[84]: 35}

Riemannian Geometrie

Gekrümmte Verteiler

Aus physischen Gründen wird ein Raumzeitkontinuum mathematisch als vierdimensional, glatt, verbunden definiert Lorentzer Verteiler ${\ displayStyle (m, g)}$. Dies bedeutet das glatt Lorentz Metrik ${\ displayStyle g}$ hat Unterschrift ${\ displayStyle (3,1)}$. Die Metrik bestimmt die Geometrie der Raumzeitsowie die Bestimmung der Geodäsik von Partikeln und Lichtstrahlen. Über jeden Punkt (Ereignis) auf diesem Verteiler, Koordinaten -Diagramme werden verwendet, um Beobachter in Referenzrahmen darzustellen. Normalerweise koordiniert kartesisch ${\ displayStyle (x, y, z, t)}$ werden verwendet. Darüber hinaus werden im Einfachheit halber in der Regel Messeinheiten ausgewählt, so dass die Lichtgeschwindigkeit ${\ displayStyle c}$ ist gleich 1.^[86]

Ein Referenzrahmen (Beobachter) kann mit einem dieser Koordinatendiagramme identifiziert werden; Ein solcher Beobachter kann jedes Ereignis beschreiben ${\ displayStyle p}$. Ein weiterer Referenzrahmen kann durch ein zweites Koordinatendiagramm über identifiziert werden ${\ displayStyle p}$. Zwei Beobachter (einer in jedem Referenzrahmen) können dasselbe Ereignis beschreiben ${\ displayStyle p}$ aber verschiedene Beschreibungen erhalten.^[86]

Normalerweise werden viele überlappende Koordinatendiagramme benötigt, um einen Verteiler abzudecken. Mit zwei Koordinatendiagrammen mit einer enthält ${\ displayStyle p}$ (darstellen einen Beobachter) und einen anderen enthält ${\ displayStyle q}$ (Repräsentiert einen anderen Beobachter) Der Schnittpunkt der Diagramme repräsentiert den Bereich der Raumzeit, in dem beide Beobachter physikalische Größen messen und damit die Ergebnisse vergleichen können. Die Beziehung zwischen den beiden Messsätzen ist gegeben durch a Nicht-Singular Koordinate Transformation an dieser Kreuzung. Die Idee, Diagramme als lokale Beobachter zu koordinieren, die Messungen in ihrer Umgebung durchführen können, macht auch einen guten physischen Sinn, da man so physikalische Daten sammelt - local.^[86]

Zum Beispiel kann zwei Beobachter, von denen einer auf der Erde ist, aber der andere, der auf einer schnellen Rakete zu Jupiter steht, kann einen Kometen beobachten, der gegen Jupiter kracht (dies ist das Ereignis ${\ displayStyle p}$). Im Allgemeinen sind sie sich über den genauen Ort und den Zeitpunkt dieser Auswirkungen nicht einig, d. H. Sie haben unterschiedliche 4-Tupel ${\ displayStyle (x, y, z, t)}$ (wie sie unterschiedliche Koordinatensysteme verwenden). Obwohl sich ihre kinematischen Beschreibungen unterscheiden, werden dynamische (physikalische) Gesetze wie Impulsschutz und das erste Gesetz der Thermodynamik noch gelten. Tatsächlich erfordert die Relativitätstheorie mehr als dies in dem Sinne, dass diese (und alle anderen physikalischen) Gesetze in allen Koordinatensystemen die gleiche Form annehmen müssen. Dies führt ein Tensoren in Relativitätstheorie, durch die alle physikalischen Größen dargestellt werden.

Geodäsik soll zeitlich, null oder räumlich sind, wenn der Tangentenvektor zu einem Punkt der Geodätischen sich von dieser Art ist. Die Wege von Partikeln und Lichtstrahlen in der Raumzeit werden durch zeitartige und null (leichte) Geodäsik dargestellt.^[86]

Privilegierter Charakter von 3+1 Raumzeit

Dieser Abschnitt ist ein Auszug aus Anthropische Prinzip § Dimensionen der Raumzeit.

Eigentum von n+m-Dimensionales Raumfahren

Es gibt zwei Arten von Dimensionen: räumlich (bidirektional) und zeitlich (unidirektional).^[87] Lassen Sie die Anzahl der räumlichen Dimensionen sein N und die Anzahl der zeitlichen Dimensionen sein T. Dass N = 3 und T = 1, beiseite der verdichteten Dimensionen beiseite legen, die von aufgerufen werden Stringtheorie und bisher nicht nachweisbar, kann erklärt werden N unterscheiden sich von 3 und T Unterscheidet sich von 1. Das Argument ist oft von einem anthropischen Charakter und möglicherweise dem ersten seiner Art, wenn auch vor dem vollständigen Konzept in Mode.

Die implizite Vorstellung, dass die Dimensionalität des Universums speziell ist Gottfried Wilhelm Leibniz, wer in der Diskurs über die Metaphysik schlug vor, dass die Welt "diejenige ist, die gleichzeitig die einfachste Hypothese und die reichsten in Phänomenen ist".^[88] Immanuel Kant argumentierte, dass der dreidimensionale Raum eine Folge des inversen Quadrats war Gesetz der universellen Gravitation. Während Kants Argument historisch wichtig ist, ist John D. Barrow sagte, dass es "die Punch-Linie nach vorne nach vorne bringt: Es ist die dreidimensionale Raum, die erklärt, warum wir in der Natur inverse Quadratmachtgesetze sehen, nicht umgekehrt" (Barrow 2002: 204).^{[Anmerkung 16]}

1920, Paul Ehrenfest zeigten, dass wenn es nur eine Zeitdimension und mehr als drei räumliche Dimensionen gibt, die Orbit von a Planet über seine Sonne kann nicht stabil bleiben. Gleiches gilt für die Umlaufbahn eines Sterns um das Zentrum seiner Galaxis.^[89] Ehrenfest zeigte auch, dass wenn es eine gleichmäßige Anzahl räumlicher Dimensionen gibt, die verschiedenen Teile von a Welle Impulse fährt mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten. Wenn es gibt ${\ displayStyle 5+2k}$ räumliche Dimensionen, wo k ist eine positive ganze Zahl, dann werden Wellenimpulse verzerrt. Im Jahr 1922, Hermann Weyl zeigte, dass Maxwell's Theorie von Elektromagnetismus Funktioniert nur mit drei Dimensionen des Raums und eines der Zeiten.^[90] Schließlich zeigte Tangherlini 1963, dass Elektron Orbitale Um Kerne können nicht stabil sein; Elektronen würden entweder in die fallen Kern oder zerstreuen.^[91]

Max Tegmark erweitert das vorhergehende Argument auf folgende anthropische Weise.^[92] Wenn T Unterscheidet sich von 1, das Verhalten physikalischer Systeme konnte nicht zuverlässig von der Kenntnis der Relevanten vorhergesagt werden partielle Differentialgleichungen. In einem solchen Universum konnte das intelligente Leben, das Technologie manipulieren kann, nicht auftreten. Außerdem, wenn T > 1, Tegmark behauptet das Protonen und Elektronen wäre instabil und könnte zu Partikeln mit größerer Masse verfallen als sie selbst. (Dies ist kein Problem, wenn die Partikel eine ausreichend niedrige Temperatur haben.)^[92]

Zuletzt, wenn N < 3, gravitation of any kind becomes problematic, and the universe is probably too simple to contain observers. For example, when N < 3, Nerven kann nicht kreuzen, ohne sich zu überschneiden.^[92]

Daher schließen anthropische und andere Argumente alle Fälle außer Ausnahme aus, außer dass N = 3 und T = 1, was zufällig die Welt um uns herum beschreibt.

Im Jahr 2019 argumentierte James Scargill, dass ein komplexes Leben mit zwei räumlichen Dimensionen möglich sein könnte. Nach Scargill kann eine rein skalare Schwerkrafttheorie eine lokale Gravitationskraft ermöglichen, und 2D -Netzwerke können für komplexe neuronale Netze ausreichen.^[93][94]

Siehe auch

Anmerkungen

Weitere Details

Verweise