Solider Winkel

Solider Winkel
Solider Winkel
Gemeinsame Symbole	Ω
SI-Einheit	Steradier
Andere Einheiten	Quadratgrad
Im Si -Basiseinheiten	m2/m2
Konserviert?	Nein
Ableitungen von; Andere Mengen
Abmessungen

Im Geometrie, a solider Winkel (Symbol: $Ω$ ) ist ein Maß für die Menge der Sichtfeld von einem bestimmten Punkt, dass ein bestimmtes Objekt abdeckt. Das heißt, es ist ein Maß dafür, wie groß das Objekt einem Beobachter erscheint, der von diesem Punkt aus schaut. Der Punkt, aus dem das Objekt betrachtet wird Apex des festen Winkels, und das Objekt soll zu Untergang Sein fester Winkel von diesem Punkt an.

In dem Internationales System der Einheiten (Si) wird ein fester Winkel in a ausgedrückt dimensionlos Einheit genannt Steradier (Symbol: SR). Ein Steradian entspricht einer Flächeeinheit auf der Einheitskugel Um die Apex umgeben, so ein Objekt, das alle Strahlen von der Spitze blockiert Oberfläche der Einheitskugel, ${\ displayStyle 4 \ pi}$ . Feste Winkel können auch in Quadraten von Winkelmaßen gemessen werden, wie z. Grad, Minuten und Sekunden.

Ein kleines Objekt in der Nähe kann den gleichen festen Winkel wie ein größeres Objekt weiter entfernt. Zum Beispiel, obwohl die Mond ist viel kleiner als die Sonne, es ist auch viel näher an Erde. In der Tat haben beide Objekte, wie von jedem Punkt auf der Erde betrachtet, sowohl den gleichen festen Winkel als auch eine scheinbare Größe. Dies ist während a offensichtlich Sonnenfinsternis.

Definition und Eigenschaften

Der feste Winkel eines Objekts in Steradier ist gleich dem Bereich des Segments von a Einheitskugel, zentriert am Apex, dass das Objekt abdeckt. Ein fester Winkel in Steradiern entspricht der Fläche eines Segments einer Einheitskugel genauso wie ein Planar Winkel in Radians entspricht der Länge eines Bogens von a Einheitskreis; Genau wie ein planarer Winkel in Radians ist das Verhältnis der Länge eines kreisförmigen Bogens zu seinem Radius daher ein fester Winkel in Steradiern des folgenden Verhältnisses:

{\ displayStyle \ Omega = {\ frac {a} {r^{2}}},},},}

wobei a die sphärische Oberfläche und R der Radius der betrachteten Kugel ist.

Feste Winkel werden häufig in verwendet Astronomie, Physik, und besonders Astrophysik. Der feste Winkel eines sehr weit entfernten Objekts ist ungefähr proportional zum Verhältnis von Flächen zu quadratischer Entfernung. Hier bedeutet "Bereich" den Bereich des Objekts, wenn er entlang der Betrachtungsrichtung projiziert wird.

Jede Fläche auf einer Kugel, die in der Fläche gleich dem Quadrat seines Radius ist, wenn er aus seinem Zentrum beobachtet wird, subtil genau eins Steradier.

Der feste Winkel einer Kugel, die von jedem Punkt in seinem Innenraum gemessen wird, beträgt 4 $π$ sr, und der feste Winkel, der in der Mitte eines Würfels durch eines seiner Gesichter unterbekommen ist, ist ein Sechstel davon, oder oder 2 $π$ /3sr. Feste Winkel können auch in gemessen werden Quadratgrad (1 sr = ( 180/ $π$ )² Quadratgrad), in quadratischen und quadratischen Sekunden oder in Fraktionen der Kugel (1 sr = 1/4 $π$ Bruchfläche), auch bekannt als Spucke (1 sp = 4 $π$ sr).

Im Sphärische Koordinaten Es gibt eine Formel für die DifferentialAnwesend

{\ displayStyle d \ Omega = \ sin \ theta \, d \ theta \, d \ varphi,}

wo $θ$ ist der Säule (Winkel vom Nordpol) und $φ$ ist die Länge.

Der feste Winkel für einen willkürlichen Orientierte Oberfläche $S$ an einem Punkt unteraphen $P$ ist gleich dem festen Winkel der Projektion der Oberfläche $S$ zur Einheitskugel mit der Mitte $P$ , was berechnet werden kann als die Oberflächenintegral:

oder S} \ sin \ theta \, d \ theta \, d \ varphi,}

wo ${\ displaystyle {\ Hat {r}} = {\ vec {r}}/r}$ ist der Einheitsvektor korrespondierend zu ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$ , das Positionsvektor einer infinitesimalen Oberfläche $ds$ in Bezug auf Punkt $P$ , und wo ${\ displayStyle {\ Hat {n}}}$ repräsentiert die Einheit Normaler Vektor zu $ds$ . Auch wenn die Projektion auf der Einheitskugel zur Oberfläche $S$ ist nicht isomorphDie Mehrfachfalten werden korrekt gemäß der Oberflächenorientierung berücksichtigt Skalarprodukt ${\ displaystyle {\ Hat {r}} \ cdot {\ Hat {n}}}$ .

Somit kann man den festen Winkel approximieren, der von einem kleinen unterbekommen ist Facette flache Oberfläche haben $ds$ , Orientierung ${\ displayStyle {\ Hat {n}}}$ und Entfernung $r$ vom Betrachter als:

oder

bei dem die Oberfläche einer Kugel ist $A = 4 π r 2$ .

Praktische Anwendungen

Definition Lichtintensität und Luminanzund die Korrespondenz -Radiometriemengen strahlende Intensität und Glanz
Berechnung sphärischer Überschuss $E$ von a sphärisches Dreieck
Die Berechnung von Potentialen durch Verwendung der Grenzelementmethode (BEM)
Bewertung der Größe von Liganden In Metallkomplexen siehe Ligandenkegelwinkel
Berechnung der elektrisches Feld und Magnetfeld Stärke um Ladungsverteilungen
Abgeleitet Gaußs Gesetz
Berechnung der Emissionsleistung und Bestrahlung bei der Wärmeübertragung
Berechnung von Querschnitten in Rutherford Streuung
Berechnung von Querschnitten in Raman -Streuung
Der feste Winkel der Akzeptanzkegel des Glasfaser

Feste Winkel für gemeinsame Objekte

Kegel, sphärische Kappe, Hemisphäre

Abschnitt von Kegel (1) und sphärische Kappe (2) in einer Kugel. In dieser Figur

θ = A /2

und

r = 1

.

Der feste Winkel von a Kegel mit seiner Spitze am Spitze des festen Winkels und mit Apex Winkel 2 $θ$ , ist der Bereich von a sphärische Kappe auf einen Einheitskugel

oder

Für kleine $θ$ so dass $cos θ \approx 1 - θ 2 /2$ Dies reduziert sich auf $π θ 2$ , der Bereich eines Kreises.

Das obige wird gefunden, indem Folgendes berechnet wird Doppelintegral mit der Einheit Oberflächenelement in kugelförmigen Koordinaten:

{\ displaystyle {\ begin {ausgerichtet} \ int _ {0}^{2 \ pi} \ int _ {0}^{\ theta} \ sin \ theta '\, d \ theta' \, d \ phi & = = \ int _ {0}^{2 \ pi} d \ phi \ int _ {0}^{\ theta} \ sin \ theta '\, d \ theta' \\ & = 2 \ pi \ int _ {0} ^{\ theta} \ sin \ theta '\, d \ theta' \\ & = 2 \ pi \ links [-\ cos \ theta '\ rechts] _ {0}^{\ theta} \\ & = 2 \ \ pi \ links (1- \ cos \ theta \ rechts). \ end {ausgerichtet}}}

Diese Formel kann auch ohne die Verwendung von abgeleitet werden Infinitesimalrechnung. Vor über 2200 Jahren Archimedes bewies, dass die Oberfläche einer kugelförmigen Kappe immer gleich der Fläche eines Kreises ist, dessen Radius dem Abstand vom Rand der kugelförmigen Kappe bis zu dem Punkt entspricht, an dem die Symmetrieachse der Kappe die Kappe schneidet.^[1] Im Diagramm wird dieser Radius als angegeben

{\ displaystyle 2r \ sin {\ frac {\ theta} {2}}.}

Daher wird für eine Einheitskugel der feste Winkel der kugelförmigen Kappe als angegeben

oder

Wann $θ$ = $π$ /2, die kugelförmige Kappe wird a Hemisphäre einen festen Winkel 2 haben $π$ .

Der feste Winkel der Komplement des Kegels ist

oder

Dies ist auch der feste Winkel des Teils des himmlische Sphäre dass ein astronomischer Beobachter im Breitengrad positioniert ist $θ$ kann sehen, wie sich die Erde dreht. Am Äquator ist alle himmlischen Sphäre sichtbar; an beiden Pole nur eine Hälfte.

Der feste Winkel, der durch ein Segment einer kugelförmigen Kappe unterbekommen ist, die durch eine Ebene im Winkel geschnitten wurde $γ$ Aus der Achse des Kegels und durch die Spitze des Kegels kann durch die Formel berechnet werden^[2]

oder \ gamma} {\ tan \ theta}} \ rechts) \ rechts].}

Zum Beispiel wenn $γ = - θ$ und dann reduziert sich die Formel auf die oben genannte kugelförmige Cap -Formel: Der erste Begriff wird $π$ , und der zweite $π cos θ$ .

Tetraeder

Sei OABC die Eckpunkte von a Tetraeder mit einem Ursprung bei o unterbekommen von dem dreieckigen Gesicht ABC wo ${\ displaystyle {\ vec {a}} \, \, {\ vec {b}} \, \, {\ vec {c}}}$ sind die Vektorpositionen der Eckpunkte A, B und C. Definieren Sie die Scheitelpunktwinkel $θ a$ der Winkel boc sein und definieren $θ b$ , $θ c$ entsprechend. Lassen ${\ displayStyle \ phi _ {ab}}$ sei der Dieder -Winkel zwischen den Ebenen, die die tetraedrischen Gesichter OAC und OBC enthalten und definieren ${\ displayStyle \ phi _ {ac}}$ , ${\ displaystyle \ phi _ {bc}}$ entsprechend. Der feste Winkel $Ω$ Subtest durch die dreieckige Oberfläche ABC ist gegeben durch

oder

Dies folgt aus der Theorie von sphärischer Überschuss und es führt zu der Tatsache, dass der Satz einen analogen Satz gibt "Die Summe der inneren Winkel eines planaren Dreiecks ist gleich $π$ "für die Summe der vier inneren festen Winkel eines Tetraeders wie folgt:

oder

wo ${\ displayStyle \ phi _ {i}}$ Bereiche über alle sechs der Diedralenwinkel zwischen zwei Ebenen, die die tetraedrischen Gesichter OAB, OAC, OBC und ABC enthalten.^[3]

Eine nützliche Formel zur Berechnung des festen Winkels des Tetraeders am Ursprung O, der nur eine Funktion der Scheitelpunktwinkel ist $θ a$ , $θ b$ , $θ c$ wird gegeben von L'Huilier"S Theorem^[4]^[5] wie

{\ displaystyle \ tan \ links ({\ frac {1} {4}} \ omega \ right) = {\ sqrt {\ tan \ links ({\ frac {\ theta _ {s} {2}} \ \ rechts rechts ) \ tan \ links ({\ frac {\ theta _ {s}-\ theta _ {a}} {2} \ rechts) \ tan \ links ({\ frac {\ theta _ {s}-\ theta _ _ {b}} {2}} \ rechts) \ tan \ links ({\ frac {\ theta _ {s}-\ theta _ {c}} {2} \ rechts)},},},}

wo

oder

Eine weitere interessante Formel besteht darin, die Eckpunkte als Vektoren im 3 -dimensionalen Raum auszudrücken. Lassen ${\ displaystyle {\ vec {a}} \, \, {\ vec {b}} \, \, {\ vec {c}}}$ Seien Sie die Vektorpositionen der Eckpunkte A, B und C und lassen Sie es $a$ , $b$ , und $c$ Seien Sie die Größe jedes Vektors (der Ursprungspunktentfernung). Der feste Winkel $Ω$ Das Dreiecksoberflächen -ABC ist von der dreieckigen Oberfläche unterbrochen:^[6]^[7]

oder oder }} \ rechts) b+\ links ({\ vec {b}} \ cdot {\ vec {c}} \ rechts) a}},},},},},},},},},},},},},},},},}

wo

{\ displaystyle \ links | {\ vec {a}} \ {\ vec {b}} \ {\ vec {c} \ right | \ Times {\ vec {c}})}

bezeichnet die Skalar -Triple -Produkt der drei Vektoren und ${\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}}}$ bezeichnet die Skalarprodukt.

Hier muss darauf geachtet werden, negative oder falsche feste Winkel zu vermeiden. Eine Quelle potenzieller Fehler ist, dass das Skalar -Triple -Produkt negativ sein kann, wenn $a$ , $b$ , $c$ das Unrecht haben Wicklung. Das Computing ist eine ausreichende Lösung, da kein anderer Teil der Gleichung von der Wicklung abhängt. Die andere Fallstricke treten auf, wenn das Skalar -Dreifachprodukt positiv ist, der Trenner jedoch negativ ist. In diesem Fall gibt ein negativer Wert zurück, der durch erhöht werden muss $π$ .

Pyramide

Der feste Winkel eines vierseitigen rechten Rechtecks Pyramide mit Apex Winkel $a$ und $b$ (Diedralwinkel gemessen an den gegenüberliegenden Seitenflächen der Pyramide) ist

oder

Wenn beide die Seitenlängen ( $α$ und $β$ ) der Basis der Pyramide und der Entfernung (Abstand ( $d$ ) Von der Mitte des Basisrechtecks bis zur Spitze der Pyramide (der Mitte der Kugel) sind bekannt, dann kann die obige Gleichung manipuliert werden, um zu geben

{\ displaystyle \ omega = 4 \ arctan {\ frac {\ alpha \ beta} {2d {\ sqrt {4d ^{2}}}}}}}}}.}.}.

Der feste Winkel eines Rechts $n$ -Gonale Pyramide, wo die Pyramidenbasis regelmäßig ist $n$ -Seitig Polygon von Circumradius $r$ mit einer Pyramidenhöhe $h$ ist

oder H^{2}}}}} \ rechts).}

Der feste Winkel einer willkürlichen Pyramide mit einer $n$ -Seitete Basis definiert durch die Abfolge der Einheitsvektoren, die Kanten darstellen ${s 1, s 2}, ... s n$ kann effizient berechnet werden von:^[2]

oder s_ {j+1} \ rechts)-\ links (s_ {j-1} s_ {j+1} \ rechts)+i \ links [s_ {j-1} s_ {j} s_ {j+1} \ richtig richtig).}

wo Klammern ( * *) a ist Skalarprodukt und quadratische Klammern [ * * *] ist a Skalar -Triple -Produkt, und $i$ ist ein imaginäre Einheit. Indizes werden gefahren: $s 0 = s n$ und $s 1 = s n + 1$ . Die komplexen Produkte fügen die Phase hinzu, die jedem Scheitelpunktwinkel des Polygons assoziiert ist. Jedoch ein Vielfaches von ${\ displayStyle 2 \ pi}$ ist im Zweig gegangen ${\ displayStyle \ arg}$ und muss separat im Auge behalten werden. Außerdem muss das laufende Produkt komplexer Phasen gelegentlich skaliert werden, um Unterströmung in der Grenze nahezu paralleler Segmente zu vermeiden.

Breitengrad-Rechteck

Der feste Winkel eines Breitengrad-Rechtecks auf a Globus ist

oder _ {\ mathhrm {w}} \, \! \ right) \; \ mathhrm {sr},},},}

wo

φ N

und

φ S

sind Nord- und Südlinien von Breite (gemessen aus dem Äquator in Radians mit dem Winkel nach Norden) und

θ E

und

θ W

sind Ost- und Westlinien von Längengrad (wo der Winkel in Radians nach Osten zunimmt).^[8] Mathematisch ist dies ein Winkelbogen

ϕ N - ϕ S

fegte um eine Kugel vorbei

θ E - θ W

Radians. Wenn Längengrad 2 abnimmt

π

Radians und Breitengradspannweite

π

Radiant, der feste Winkel ist der einer Kugel.

Ein Rechteck mit Breitengrößen sollte nicht mit dem festen Winkel einer rechteckigen Pyramide verwechselt werden. Alle vier Seiten einer rechteckigen Pyramide schneiden die Oberfläche der Kugel in schöner Kreis Bögen. Mit einem Rechteck mit Breitengrößen, nur Längenlinien sind große Kreisbögen; Breitengrenzen sind nicht.

Himmelsobjekte

Durch Verwendung der Definition von WinkeldurchmesserDie Formel für den festen Winkel eines himmlischen Objekts kann in Bezug auf den Radius des Objekts definiert werden. ${\ textstyle r}$ und der Abstand vom Beobachter zum Objekt, ${\ displayStyle d}$ :

oder

Durch Eingabe der entsprechenden Durchschnittswerte für die Sonne und die Mond (In Bezug auf die Erde) ist der durchschnittliche feste Winkel der Sonne 6.794×10^–5 Steradier und der durchschnittliche feste Winkel der Mond ist 6.418×10^–5 Steradier. In Bezug auf die gesamte Himmelskugel Sonne und die Mond Subtend -Durchschnitt Bruchbereiche von 0,0005406% (5.406ppm) und 0,0005107% (5.107 ppm), beziehungsweise. Da diese festen Winkel ungefähr gleich groß sind, kann der Mond sowohl insgesamt als auch ringförmige Solar verursachen Finsternisse abhängig von der Entfernung zwischen Erde und Mond während der Sonnenfinsternis.

Feste Winkel in willkürlichen Abmessungen

Der feste Winkel unteren sich durch die vollständige ( $d - 1$ ) -Dimensionale kugelförmige Oberfläche der Einheitskugel in $d$ -Dimensionaler euklidischer Raum kann in einer beliebigen Anzahl von Dimensionen definiert werden $d$ . Man braucht diesen festen Winkelfaktor in Berechnungen mit kugelförmiger Symmetrie oft. Es wird durch die Formel gegeben

oder ,}

wo

Γ

ist der Gamma -Funktion. Wann

d

ist eine Ganzzahl, die Gamma -Funktion kann explizit berechnet werden.^[9] Es folgt dem

{\ displayStyle \ Omega _ {d} = {\ begin {cases} {\ frac {1} {\ links ({\ frac {d} {2}}-1 \ rechts)! Frac {d} {2}} \ & d {\ text {sogar}} \\ {\ frac {\ links ({\ frac {1} {2} \ links (d-1 \ rechts) \ rechts)!}!}!}!}!}!}!}!}! {(d-1)!}} 2 ^{d} \ pi ^{{\ frac {1} {2}} (d-1)} \ & d {\ text {ungerade}}. \ end {cases}} }

Dies ergibt die erwarteten Ergebnisse von 4 $π$ Steradier für die 3D -Kugel, die durch eine Flächeoberfläche begrenzt ist $4π r 2$ und 2 $π$ Radiant für den 2D -Kreis, der durch einen Längeumfang begrenzt ist $2π r$ . Es gibt auch das etwas weniger offensichtliche 2 für den 1D-Fall, in dem der Ursprungs-zentrierte 1D-Sphere das Intervall ist $[ - r, r]$ und dies wird durch zwei begrenzende Punkte begrenzt.

Das Gegenstück zur Vektorformel in willkürlicher Dimension wurde von Aomoto abgeleitet^[10]^[11] und unabhängig von Ribando.^[12] Es drückt sie als unendliche multivariate Taylor -Serie aus:

{\ displayStyle \ Omega = \ Omega _ {d} {\ frac {\ links | \ det (v) \ right |} {(4 \ pi)^{d/2}} \ sum _ {{{\ vec {d/2} \ sum _ {{{vec {d/2 {vec {d/2 a}} \ in \ mathbb {n} _ {0}^{\ binom {d} {2}} \ links [{\ frac {(-2)^{\ sum _ {i <j} a_ {ij }}} oder {2}} \ rechts) \ rechts] {\ vec {\ alpha}}^{\ vec {a}}.}

Gegeben

d

Einheitsvektoren

{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {i}}

Definieren des Winkels, lassen Sie

V

bezeichnen die Matrix, die durch Kombination so gebildet wird

i

Die Säule ist

{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {i}}

, und

oder }

. Die Variablen

{\ displaystyle \ alpha _ {ij}, 1 \ leq i <j \ leq d}

bilden eine multivariable

oder ) \ in \ mathbb {r} ^{\ binom {d} {2}}}

. Für ein "kongruentes" Ganzzahl mehrponent

oder {0}^{\ binom {d} {2}},},}

definieren

{\ textstyle {\ vec {\ alpha}}^{\ vec {a}} = \ prod \ alpha _ {ij}^{a_ {ij}}}

. Beachten Sie das hier

{\ displaystyle \ mathbb {n} _ {0}}

= nicht negative Ganzzahlen oder natürliche Zahlen beginnen mit 0. Die Notation

{\ displaystyle \ alpha _ {ji}}

zum

{\ displayStyle j> i}

bedeutet die Variable

{\ displaystyle \ alpha _ {ij}}

ähnlich für die Exponenten

{\ displayStyle a_ {ji}}

. Daher der Begriff

{\ textstyle \ sum _ {m \ neq l} a_ {lm}}

bedeutet die Summe über alle Begriffe in

{\ displaystyle {\ vec {a}}}

in dem L entweder als erster oder zweiter Index erscheint. Wenn diese Serie konvergiert, konvergiert sie den von den Vektoren definierten festen Winkel.

Verweise

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Weitere Lektüre

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Externe Links

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