Sinus

Die Grafiken des Sinus (fest rot) und Kosinus (gepunktete blau) Funktionen sind Sinusoide verschiedener Phasen

A Sinus, sinusförmige Welle, oder nur Sinus ist ein Mathematische Kurve definiert in Bezug auf die Sinus Trigonometrische Funktion, von denen es das ist Graph. Es ist eine Art von Art von kontinuierliche Welle und auch a glatt periodische Funktion. Es kommt oft in vor Mathematiksowie in Physik, Ingenieurwesen, Signalverarbeitung und viele andere Felder.

Formulierung

Seine grundlegendste Form als Funktion der Zeit (t) ist:

wo:
  • A, Amplitudedie Spitzenabweichung der Funktion von Null.
  • f, gewöhnliche Häufigkeit, das Nummer von Schwingungen (Zyklen), die jede Sekunde Zeit auftreten.
  • ω = 2πf, Winkelfrequenz, die Änderungsrate des Funktionsarguments in Einheiten von Radiant pro Sekunde
  • , Phaseangibt (in Radians) Wo in ihrem Zyklus die Oszillation ist t = 0.
    Wann ist ungleich Null, die gesamte Wellenform scheint rechtzeitig durch die Menge verschoben zu werden φ/ω Sekunden. Ein negativer Wert stellt eine Verzögerung dar und ein positiver Wert stellt einen Fortschritt dar.
Die Schwingung eines ungeteilten Federmassensystems um das Gleichgewicht ist eine Sinuswelle.

Die Sinuswelle ist in der Physik wichtig, da sie ihre Wellenform beibehält, wenn sie zu einer anderen Sinuswelle derselben Frequenz und willkürlichen Phase und Größe hinzugefügt wird. Es ist die einzige periodische Wellenform, die diese Eigenschaft hat. Diese Eigenschaft führt zu ihrer Bedeutung in Fourier -Analyse und macht es akustisch einzigartig.

Generelle Form

Im Allgemeinen kann die Funktion auch: auch haben:

  • eine räumliche Variable x das repräsentiert die Position Auf der Dimension, auf die sich die Welle ausbreitet, und einen charakteristischen Parameter k genannt Wellennummer (oder Winkelwellenzahl), was die Verhältnismäßigkeit zwischen dem darstellt Winkelfrequenz ω und die lineare Geschwindigkeit (Ausbreitungsgeschwindigkeit) ν;
  • eine Amplitude ungleich Null, D

welches ist

  • , wenn sich die Welle nach rechts bewegt
  • , wenn sich die Welle nach links bewegt.

Die Wellenzahl hängt mit der Winkelfrequenz zusammen durch:

wo λ (Lambda) ist das Wellenlänge, f ist der Frequenz, und v ist die lineare Geschwindigkeit.

Diese Gleichung gibt eine Sinuswelle für eine einzelne Dimension; Somit ergibt die oben angegebene verallgemeinerte Gleichung die Verschiebung der Welle an einer Position x zum Zeitpunkt t entlang einer einzigen Linie. Dies könnte beispielsweise als den Wert einer Welle entlang eines Drahtes angesehen werden.

In zwei oder drei räumlichen Dimensionen beschreibt dieselbe Gleichung ein Reisen Flugzeugwelle Wenn Position x und Wellenzahl k werden als Vektoren interpretiert und ihr Produkt als Skalarprodukt. Für komplexere Wellen wie die Höhe einer Wasserwelle in einem Teich, nachdem ein Stein eingesetzt wurde, sind komplexere Gleichungen erforderlich.

Kosinus

Der Begriff sinusoid beschreibt jede Welle mit Eigenschaften einer Sinuswelle. Also a Kosinus Welle soll auch sein sinusförmig, Weil , was auch eine Sinuswelle mit einer Phasenverschiebung von ist π/2 Radians. Aus diesem Grund VorsprungEs wird oft gesagt, dass die Kosinusfunktion führt die Sinusfunktion oder die Sinus Verzögerungen der Cosinus. Der Begriff sinusförmig Dadurch bezieht sich gemeinsam sowohl Sinuswellen als auch Cosinus -Wellen mit einem Phasenversatz.

Auftreten

Veranschaulichung der grundlegenden Beziehung der Cosinus Wave zum Kreis.

Dies Welle Muster tritt häufig in der Natur auf, einschließlich Windwellen, Klang Wellen und hell Wellen.

Der Mensch Ohr kann einzelne Sinuswellen als klar erkennen, weil Sinuswellen Darstellungen eines einzelnen sind Frequenz ohne Harmonische.

Für das menschliche Ohr hat ein Geräusch, das aus mehr als einer Sinuswelle besteht, wahrnehmbare Harmonische. Die Zugabe verschiedener Sinuswellen führt zu einer anderen Wellenform und verändert somit die Timbre des Klangs. Vorhandensein höherer Harmonischer zusätzlich zu den grundlegenden Ursachen verursacht Variationen im Timbre, was der Grund dafür ist, warum dasselbe Musik Note (Die gleiche Frequenz), gespielt auf verschiedenen Instrumenten, klingt anders. Andererseits, wenn der Ton aperiodische Wellen zusammen mit Sinuswellen (die periodisch) enthält, wird der Klang als laut wahrgenommen, als Lärm ist als aperiodisch oder ein nicht repetitives Muster charakterisiert.

die Fourierreihe

Sinus, Quadrat, Dreieck, und Sägezahn Wellenformen

1822 französischer Mathematiker Joseph Fourier entdeckt, dass sinusförmige Wellen als einfache Bausteine ​​verwendet werden können, um jede periodische Wellenform zu beschreiben und zu approximieren, einschließlich Quadratwellen. Fourier verwendete es als analytisches Werkzeug bei der Untersuchung von Wellen und Wärmefluss. Es wird häufig in verwendet Signalverarbeitung und die statistische Analyse von Zeitfolgen.

Reisen und stehende Wellen

Da sich Sinuswellen nicht ändern, ohne sich zu ändern verteilte lineare Systeme,[Definition erforderlich] Sie werden oft verwendet, um zu analysieren Wellenausbreitung. Sinuswellen, die in zwei Richtungen im Weltraum reisen

Wenn zwei Wellen dasselbe haben Amplitude und Frequenzund in entgegengesetzte Richtungen reisen, Supersätz einander, dann a stehende Welle Muster wird erstellt. Beachten Sie, dass die störenden Wellen auf einer gezupften Zeichenfolge die Wellen sind, die sich aus den festen Endpunkten der Zeichenfolge widerspiegeln. Daher treten stehende Wellen nur bei bestimmten Frequenzen auf, die als als bezeichnet werden resonant Frequenzen und bestehen aus einer grundlegenden Frequenz und ihrer höher Harmonische. Die Resonanzfrequenzen einer Schnur sind proportional zu: die Länge zwischen den festen Enden; das Spannung der Saite; und umgekehrt proportional zur Masse pro Länge der Einheit der Saite.

Siehe auch

Weitere Lektüre

  • "Sinusoid". Enzyklopädie der Mathematik. Springer. Abgerufen 8. Dezember, 2013.