Sinus und Cosinus

Sinus und Cosinus
Sine cosine one period.svg
Allgemeine Information
Allgemeine Definition
Anwendungsgebiete Trigonometrie, die Fourierreihe, etc.

Im Mathematik, Sinus und Kosinus sind trigonometrische Funktionen von einem Winkel. Der Sinus und Cosinus eines akuten Winkel werden im Kontext von a definiert rechtwinkliges Dreieck: Für den angegebenen Winkel ist sein Sinus das Verhältnis der Länge der Seite, die diesem Winkel zur Länge der längsten Seite der längsten, entgegengesetzt Dreieck (das Hypotenuse), und der Cosinus ist das Verhältnis der Länge des angrenzenden Bein Hypotenuse. Für einen Winkel Die Sinus- und Cosinusfunktionen werden einfach als bezeichnet und .[1]

Allgemeiner können die Definitionen von Sinus und Cosinus auf jeden erweitert werden real Wert in Bezug auf die Längen bestimmter Liniensegmente in a Einheitskreis. Modernere Definitionen drücken den Sinus und den Cosinus als aus unendliche Serie, oder als die Lösungen bestimmter Differentialgleichungund ihre Erweiterung auf willkürliche positive und negative Werte und sogar auf komplexe Zahlen.

Die Sinus- und Cosinusfunktionen werden üblicherweise zum Modellieren verwendet periodisch Phänomene wie Klang und Lichtwellen, die Position und Geschwindigkeit von harmonischen Oszillatoren, Sonnenlichtintensität und Tageslänge sowie Durchschnittstemperaturschwankungen das ganze Jahr über.

Die Funktionen und Cosinus können auf die Funktionen zurückgeführt werden jyā und koṭi-jyā, benutzt in Indische Astronomie während der Gupta -Zeit (Aryabhatiya und Surya Siddhanta), über Übersetzung von Sanskrit zu Arabischund dann von arabisch bis Latein.[2] Das Wort Sinus (Latein sinus) kommt von einer lateinischen Missvergliederung durch Robert von Chester des Arabischen jiba, selbst a Transliteration des Sanskrit -Wortes für die Hälfte von a Akkord, jya-ardha.[3] Das Wort Kosinus ergibt sich aus einer Kontraktion des mittelalterlichen Lateins complementi sinus.[4]

Notation

Sinus und Cosinus werden mit Verwendung geschrieben Funktionale Notation Verwenden der Abkürzungen Sünde und cos.

Definitionen

Rechtwinklige Dreiecksdefinitionen

Für den Winkel αDie Sinusfunktion ergibt das Verhältnis der Länge der entgegengesetzten Seite zur Länge der Hypotenuse.

Um den Sinus und Cosinus eines akuten Winkels zu definieren αBeginnen Sie mit a rechtwinkliges Dreieck das enthält einen Maß an Maß α; in der dazugehörigen Figur, Winkel α im Dreieck ABC ist der Winkel des Interesses. Die drei Seiten des Dreiecks werden wie folgt benannt:

  • Das gegenüberliegende Seite ist die Seite gegenüber dem Interessenwinkel in dieser Fallseitea.
  • Das Hypotenuse ist die Seite gegenüber dem rechten Winkel, in dieser Fall Seiteh. Die Hypotenuse ist immer die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks.
  • Das angrenzende Seite Ist die verbleibende Seite in diesem Fallb. Es bildet eine Seite von (und grenzt an) sowohl der Interessewinkel (Winkel A) und der rechte Winkel.

Sobald ein solches Dreieck ausgewählt ist, ist der Sinus des Winkels gleich der Länge der gegenüberliegenden Seite, geteilt durch die Länge der Hypotenuse:[5]

Die anderen trigonometrischen Funktionen des Winkels können ähnlich definiert werden; Zum Beispiel die Tangente ist das Verhältnis zwischen den gegenüberliegenden und benachbarten Seiten.[5]

Wie angegeben, die Werte und scheinen von der Wahl des rechten Dreiecks abzuhängen, das einen Maß an Maß enthält α. Dies ist jedoch nicht der Fall: Alle diese Dreiecke sind jedoch ähnlichund so sind die Verhältnisse für jeden von ihnen gleich.

Einheitenkreisdefinitionen

Im Trigonometrie, a Einheitskreis ist der Kreis von Radius, der am Ursprung (0, 0) in der zentriert ist Kartesisches Koordinatensystem.

Einheitskreis: Ein Kreis mit Radius eins

Lassen Sie eine Linie durch den Ursprung den Einheitskreis schneiden und machen einen Winkel von θ mit der positiven Hälfte der x-Achse. Das x- und y-KOORDINATES DES DIESER Schnittpunkt sind gleich cos (θ) und Sünde(θ), beziehungsweise. Diese Definition steht im Einklang mit der rechtwinkligen Dreiecksdefinition von Sinus und Cosinus, wenn 0 <<< θ < π/2: Weil die Länge der Hypotenuse des Einheitskreises immer 1 ist, 1, . Die Länge der gegenüberliegenden Seite des Dreiecks ist einfach die y-Koordinate. Ein ähnliches Argument kann für die Cosinusfunktion vorgenommen werden, um dies zu zeigen wenn 0 <<θ<π/2, auch unter der neuen Definition mit dem Einheitskreis. bräunen(θ) wird dann definiert als oder gleichwertig als Steigung des Liniensegments.

Die Verwendung der Definition des Einheitskreises hat den Vorteil, dass der Winkel auf jedes wirkliche Argument ausgedehnt werden kann. Dies kann auch erreicht werden, indem bestimmte Symmetrien erforderlich sind und dass Sinus a periodische Funktion.

Komplexe exponentielle Funktionsdefinitionen

Das Exponentialfunktion ist auf der gesamten Domäne der definiert komplexe Zahlen , und könnte aufgeteilt werden in für reale Zahlen und Aufgrund der Definition der komplexen Zahlen und Eigenschaften der Exponentialfunktion. Der Sinus von ist definiert als der rein imaginäre Teil von und der Cosinus von ist definiert als der eigentliche Teil von

Das führt zu Eulers Formel Wenn auf der geplant Komplexe Ebene, die Funktion verfolgt die Einheitskreis verwendet in der vorherigen Definition.

Differentialgleichungsdefinition

Sinus und Cosinus entstehen als Lösung für das zweidimensionale System von Differentialgleichung und mit dem Anfangsbedingungen und . Man könnte den Einheitskreis in den obigen Definitionen als Definieren des Phasenraumtrajektorie der Differentialgleichung mit den angegebenen Anfangsbedingungen.

Seriendefinitionen

Die Sinusfunktion (blau) wird durch ihre eng angenähert Taylor Polynom von Grad 7 (rosa) für einen vollen Zyklus, der sich auf den Ursprung konzentriert.
Diese Animation zeigt, wie sich immer mehr Begriffe in die Teilsumme ihrer Taylor -Serie einer Sinuskurve nähern.

Die auf Null bewerteten SINU -Derivate von Sinus können verwendet werden, um die Taylor -Serie zu bestimmen. Verwenden nur Geometrie und Eigenschaften von GrenzenEs kann gezeigt werden, dass die Derivat Sinus ist Cosinus und dass das Derivat des Kosinus das negative Sinus ist. Dies bedeutet, dass die aufeinanderfolgenden Derivate der Sünde (x) cos (x), -sin (x), -cos (x), sin (x) sind, die diese vier Funktionen weiterhin wiederholen. Die (4n+k) -D-Derivat, bewertet am Punkt 0:

wo das Superschriften eine wiederholte Differenzierung darstellt. Dies impliziert die folgende Expansion der Taylor -Serie bei x = 0. Man kann dann die Theorie von verwenden Taylor -Serie um zu zeigen, dass die folgenden Identitäten für alle gelten reale Nummern x (wobei x der Winkel in Radians ist):[6]

Die Einnahme des Derivats jedes Begriffs gibt die Taylor -Serie für Cosinus: Cosinus:

Fortgesetzte Fraktionsdefinitionen

Die Sinusfunktion kann auch als als dargestellt werden verallgemeinerte fortgesetzte Bruch:

Die fortgesetzten Fraktionsdarstellungen können abgeleitet werden Eulers fortgesetzte Fraktionsformel und drücken Sie die aus reelle Zahl Werte beides rational und irrational, der Sinus- und Cosinusfunktionen.

Identitäten

Exakte Identitäten (verwendet Radians):

Diese gelten für alle Werte von .

Reziprokale

Das gegenseitig von Sinus ist Cosekant, d. H. Das gegenseitige gegenseitige von Sünde(A) ist CSC (A), oder CoSec (A). Cosecant gibt das Verhältnis der Länge der Hypotenuse auf die Länge der gegenüberliegenden Seite. In ähnlicher Weise ist das gegenseitige Cosinus sekant, was das Verhältnis der Länge der Hypotenuse zu der der angrenzenden Seite ergibt.

Inversen

Die üblichen Hauptwerte der Bogenbogen (x) und Arccos (x) Funktionen auf dem kartesischen Flugzeug drapiert

Das Umkehrfunktion von Sinus ist Arcsine (Arcsin oder Asin) oder inverse Sinus (Sünde–1). Die inverse Funktion des Cosinus ist Arccosin (Arccos, ACOS oder cos–1). (Der Superschriften von -1 in Sünde–1 und cos–1 bezeichnet die Umkehrung einer Funktion, nicht Exponentiation.) Wie Sinus und Cosinus nicht sind injektiv, ihre Inversen sind keine genauen inversen Funktionen, sondern teilweise inverse Funktionen. Zum Beispiel, Sünde (0) = 0, aber auch Sünde(π) = 0, Sünde (2π) = 0 usw. Daraus folgt, dass die Arcsine -Funktion mehrfach geführt wird: Arcsin (0) = 0, aber auch Arcsin (0) = π, Arcsin (0) = 2πusw. Wenn nur ein Wert gewünscht wird, kann die Funktion auf ihre beschränkt sein Prinzipie. Mit dieser Einschränkung für jeden x in der Domäne der Ausdruck Bogenbogen (x) wird nur auf einen einzelnen Wert bewertet, der als seine bezeichnet wird Hauptwert. Der Standardbereich der Hauptwerte für Arcsin stammt aus π/2 zu π und der Standardbereich für ARCCOs beträgt 0 bis 0 bis π.

wo (für eine Ganzzahl k):

Per Definition erfüllen Arcsin und Arccos die Gleichungen:

und

Pythagoräische trigonometrische Identität

Die grundlegende Beziehung zwischen dem Sinus und dem Cosinus ist die Pythagoräische trigonometrische Identität:[1]

wo Sünde2(x) bedeutet (Sünde (x))2.

Doppelwinkelformeln

Sinus und Cosinus erfüllen die folgenden Doppelwinkelformeln:

Sinusfunktion in Blau und Sinusquadratfunktion in Rot. Die X -Achse ist in Radians.

Die Kosinus -Doppelwinkelformel impliziert diese Sünde2 und cos2 sind selbst verschobene und skalierte Sinuswellen. Speziell,[7]

Die Grafik zeigt sowohl die Sinusfunktion als auch die Sinusquadratfunktion, wobei das Sinus in blauem und Sinus rot quadratisch ist. Beide Grafiken haben die gleiche Form, jedoch mit unterschiedlichen Wertenbereichen und unterschiedlichen Perioden. Sinusquadrat hat nur positive Werte, aber doppelt so viele Perioden.

Derivat und Integrale

Die Derivate von Sinus und Cosinus sind:

und ihre Antiderivate sind:

wo C bezeichnet die Integrationskonstante.[1]

Eigenschaften in Bezug auf die Quadranten

Die vier Quadranten eines kartesischen Koordinatensystems

Die folgende Tabelle zeigt viele der Schlüsseleigenschaften der Sinusfunktion (Zeichen, Monotonität, Konvexität), die vom Quadranten des Arguments angeordnet sind. Für Argumente außerhalb derjenigen in der Tabelle kann man die entsprechenden Informationen unter Verwendung der Periodizität berechnen der Sinusfunktion.

Quadrant Winkel Sinus Kosinus
Grad Radians Schild Monotonie Konvexität Schild Monotonie Konvexität
1. Quadrant, ich zunehmen konkav abnehmen konkav
2. Quadrant, ii abnehmen konkav abnehmen konvex
3. Quadrant, iii abnehmen konvex zunehmen konvex
4. Quadrant, iv zunehmen konvex zunehmen konkav
Die Quadranten des Einheitskreises und der Sünde (x), Verwendung der Kartesisches Koordinatensystem

Die folgende Tabelle gibt grundlegende Informationen an der Grenze der Quadranten.

Grad Radians
Wert Punkttyp Wert Punkttyp
Wurzel, Flexion Maximal
Maximal Wurzel, Flexion
Wurzel, Flexion Minimum
Minimum Wurzel, Flexion

Fixpunkte

Die Iteration der festen Punkte xn+1= Cos (xn) mit Anfangswert x0= –1 konvergiert zur Dottie -Nummer.

Null ist der einzige reale Fixpunkt der Sinusfunktion; Mit anderen Worten der einzige Schnittpunkt der Sinusfunktion und der Identitätsfunktion ist . Der einzige wirkliche Fixpunkt der Cosinusfunktion wird als die genannt Dottie -Nummer. Das heißt, die Dottie -Zahl ist die eindeutige echte Wurzel der Gleichung Die Dezimalerweiterung der Dottie -Nummer ist .[8]

Bogenlänge

Das Bogenlänge der Sinuskurve zwischen und ist

wo ist der unvollständiges elliptisches Integral der zweiten Art mit Modul . Es kann nicht mit Verwendung ausgedrückt werden Grundfunktionen.

Die Lichtbogenlänge für einen vollen Zeitraum ist[9]

wo ist der Gamma -Funktion. Dies kann auch verwendet werden und die Lemniscat konstant.[9][10]

Gesetz der Sinus

Das Gesetz der Sinus gibt das für ein willkürliches Dreieck mit Seiten a, b, und c und Winkel gegenüber diesen Seiten A, B und C:

Dies entspricht der Gleichheit der ersten drei Ausdrücke unten:

wo R ist das Dreieck des Dreiecks Circumradius.

Es kann durch Teilen des Dreiecks in zwei rechte und mit der obigen Definition von Sinus nachgewiesen werden. Das Gesetz der Sinus ist nützlich, um die Längen der unbekannten Seiten in einem Dreieck zu berechnen, wenn zwei Winkel und eine Seite bekannt sind. Dies ist eine häufige Situation, die in auftritt Triangulation, eine Technik zur Bestimmung unbekannter Entfernungen durch Messung von zwei Winkeln und einem zugänglichen geschlossenen Abstand.

Gesetz des Cosinus

Das Gesetz des Cosinus gibt das für ein willkürliches Dreieck mit Seiten a, b, und c und Winkel gegenüber diesen Seiten A, B und C:

Für den Fall wo , und das wird die Satz des Pythagoras: für ein richtiges Dreieck, wo c ist die Hypotenuse.

Besondere Werte

Einige gemeinsame Winkel (θ) auf der gezeigt Einheitskreis. Die Winkel sind in Grad und Radianern zusammen mit dem entsprechenden Schnittpunkt am Einheitskreis (cos ((cos ((cos)) angegeben.θ), Sünde (θ)).

Für bestimmte integrale Zahlen x von Grad, die Werte der Sünde (x) und cos ((x) sind besonders einfach und können ohne verschachtelte Quadratwurzeln ausgedrückt werden. Eine Tabelle dieser Winkel ist unten angegeben. Für komplexere Winkelausdrücke siehe Exakte trigonometrische Werte § gemeinsame Winkel.

Winkel, x Sünde(x)) cos (x))
Grad Radians Gradians Wendet sich Genau Dezimal Genau Dezimal
0 ° 0 0g 0 0 0 1 1
15 ° 1/12π 16+2/3g 1/24 0,2588 0,9659
30 ° 1/6π 33+1/3g 1/12 1/2 0,5 0,8660
45 ° 1/4π 50g 1/8 0,7071 0,7071
60 ° 1/3π 66+2/3g 1/6 0,8660 1/2 0,5
75 ° 5/12π 83+1/3g 5/24 0,9659 0,2588
90 ° 1/2π 100g 1/4 1 1 0 0

90 -Grad -Schritte:

x in Grad 0 ° 90 ° 180 ° 270 ° 360 °
x in Radians 0 π/2 π 3π/2 2π
x in Gons 0 100g 200g 300g 400g
x abwechselnd 0 1/4 1/2 3/4 1
Sünde x 0 1 0 –1 0
cos x 1 0 –1 0 1

Beziehung zu komplexen Zahlen

und sind die realen und imaginären Teile von .

Sinus und Cosinus werden verwendet, um die realen und imaginären Teile von a zu verbinden komplexe Zahl mit Polar Koordinaten (r, φ):

Die realen und imaginären Teile sind:

wo r und φ die Größe und den Winkel der komplexen Zahl darstellen z.

Für jede reelle Zahl θ, Eulers Formel sagt, dass:

Daher, wenn die Polarkoordinaten von z sind (r, φ),

Komplexe Argumente

Domäne Färbung der Sünde (z) in der komplexen Ebene. Die Helligkeit zeigt die absolute Größe an, der Farbton repräsentiert ein komplexes Argument.
Sünde(z) als Vektorfeld

Anwendung der Seriendefinition des Sinus und Cosinus auf ein komplexes Argument, z, gibt:

wo sinh und cosh die sind hyperbolischer Sinus und Cosinus. Diese sind Ganze Funktionen.

Es ist auch manchmal nützlich, die komplexen Sinus- und Cosinusfunktionen in Bezug auf die realen und imaginären Teile seiner Argumentation auszudrücken:

Teilbruch- und Produktausdehnung komplexer Sinus

Verwendung der Teilbruch -Expansionstechnik in Komplexe AnalyseMan kann feststellen, dass die Infinite -Serie

Beide konvergieren und sind gleich zu . In ähnlicher Weise kann man das zeigen

Mit der Produktexpansionstechnik kann man ableiten

Alternativ kann das unendliche Produkt für den Sinus nachgewiesen werden Komplexe Fourier -Serie.

Beweis des unendlichen Produkts für den Sinus

Verwenden der komplexen Fourier -Reihe die Funktion kann als zerlegt werden als

Einstellung ergibt

Deshalb bekommen wir

Die Funktion ist die Ableitung von . Außerdem, wenn dann die Funktion so dass die aufgetauchte Serie auf einer offenen und verbundenen Teilmenge von konvergiert ist , was nachgewiesen werden kann, die mit der Weierstrass M-Test. Der Austausch von Summe und Derivat ist durch gerechtfertigt einheitliche Konvergenz. Es folgt dem

Exponentiating gibt

Seit und , wir haben . Somit

Für eine offene und verbundene Untergruppe von . Lassen . Seit Konvergiert gleichmäßig auf einer geschlossenen Scheibe, Konvergiert auch auf einer geschlossenen Festplatte einheitlich.[11] Daraus folgt, dass das unendliche Produkt holomorph ist . Bis zum IdentitätstheoremDas unendliche Produkt für den Sinus ist für alle gültig , was den Beweis vervollständigt.

Verwendung komplexer Sinus

Sünde(z) wird in der gefunden Funktionsgleichung für die Gamma -FunktionAnwesend

was wiederum in der gefunden wird Funktionsgleichung für die Riemann Zeta-FunktionAnwesend

Als ein Holomorphe Funktion, Sünde z ist eine 2D -Lösung von Laplaces Gleichung:

Die komplexe Sinusfunktion hängt auch mit den Ebenenkurven von zusammen Pendel.[wie?][12]

Komplexe Grafiken

Sinusfunktion in der komplexen Ebene
Complex sin real 01 Pengo.svg
Complex sin imag 01 Pengo.svg
Complex sin abs 01 Pengo.svg
echte Komponente imaginäre Komponente Größe


Arcsine -Funktion in der komplexen Ebene
Complex arcsin real 01 Pengo.svg
Complex arcsin imag 01 Pengo.svg
Complex arcsin abs 01 Pengo.svg
echte Komponente imaginäre Komponente Größe

Geschichte

Quadrant aus den 1840er Jahren Osmanische Türkei mit Achsen zum Nachschlagen des Sinus und VERSICHERUNG von Winkeln

Während die frühe Studie der Trigonometrie auf die Antike zurückzuführen ist, die trigonometrische Funktionen In der heutigen Verwendung wurden im Mittelalter entwickelt. Das Akkord Funktion wurde von entdeckt von Hipparchus von Nicaea (180–125 v. Chr.) Und Ptolemäus von Römisch Ägypten (90–165 n. Chr.). Siehe insbesondere Ptolemaios Tisch der Akkorde.

Die Funktion von Sinus und VERSICHERUNG (1 - Cosinus) kann auf die verfolgt werden Jyā und Koṭi-jyā Funktionen verwendet in Gupta -Zeit (320 bis 550 n. Chr.) Indische Astronomie (Aryabhatiya, Surya Siddhanta), über Übersetzung von Sanskrit nach Arabisch und dann von Arabisch nach Latein.[2]

Alle sechs trigonometrischen Funktionen im aktuellen Gebrauch waren in bekannt Islamische Mathematik bis zum 9. Jahrhundert, ebenso wie das Gesetz der Sinus, benutzt in Dreiecke lösen.[13] Mit Ausnahme des Sinus (das aus der indischen Mathematik übernommen wurde) wurden die anderen fünf modernen trigonometrischen Funktionen von arabischen Mathematikern entdeckt, darunter Cosinus, Tangente, Kotangent, Sekant und Cosekant.[13] Al-khwārizmī (c. 780–850) Erzeugte Tische von Sinus, Cosinus und Tangenten.[14][15] Muhammad Ibn Jābir al-Harrānī al-Battānī (853–929) entdeckten die wechselseitigen Funktionen von Secant und Cosecant und produzierten die erste Tabelle von Cosecants für jeden Grad von 1 ° bis 90 °.[15]

Die erste veröffentlichte Verwendung der Abkürzungen Sünde, cos, und bräunen ist im französischen Mathematiker aus dem 16. Jahrhundert Albert Girard; Diese wurden von Euler weiter verkündet (siehe unten). Das Opus Palatinum de Triangulis von Georg Joachim Rheticus, ein Student von Copernicuswar wahrscheinlich der erste in Europa, der trigonometrische Funktionen direkt in Bezug auf die richtigen Dreiecke anstelle von Kreisen mit Tabellen für alle sechs trigonometrischen Funktionen definiert; Diese Arbeit wurde von Rheticus 'Student Valentin Otho im Jahr 1596 abgeschlossen.

In einem 1682 veröffentlichten Papier, Leibniz bewies diese Sünde x ist nicht ein Algebraische Funktion von x.[16] Roger Cotes berechnete das Derivat von Sinus in seinem Harmonia Mensurarum (1722).[17] Leonhard Euler's Einführung in Analysin Infinitorum (1748) war hauptsächlich für die Festlegung der analytischen Behandlung trigonometrischer Funktionen in Europa verantwortlich, sie auch als unendliche Serie und Präsentation definiert. "Eulers Formel"sowie die fast modernen Abkürzungen Sünde., cos., Seetang., Kinderbett., Sek., und CoSec.[18]

Etymologie

Etymologisch, das Wort Sinus leitet sich aus dem ab Sanskrit Wort für 'Akkord', jiva (jya sein beliebteres Synonym). Das war Transliterated in Arabisch wie jiba (جيب), was in dieser Sprache und abgekürzt wird jb (جب). Da Arabisch ohne kurze Vokale geschrieben ist, jb wurde als Wort interpretiert jaib (جيب), was "Busen" bedeutet. Als die arabischen Texte im 12. Jahrhundert ins Mittelalter übersetzt wurden Latein durch Gerard von CremonaEr benutzte das lateinische Äquivalent für 'Busen', sinus (was auch 'Bay' oder 'Fold' bedeutet).[19][20] Gerard war wahrscheinlich nicht der erste Gelehrte, der diese Übersetzung verwendete. Robert von Chester scheint ihm vorausgegangen zu sein und es gibt Hinweise auf noch frühere Verwendung.[21] Die englische Form Sinus wurde in den 1590er Jahren eingeführt. Das Wort Kosinus leitet sich aus einer Kontraktion des Lateinischen ab complementi sinus.[4]

Software -Implementierungen

Es gibt keinen Standardalgorithmus zur Berechnung von Sinus und Cosinus. IEEE 754-2008Der am weitesten verbreitete Standard für die Floating-Punkt-Berechnung befasst sich nicht mit der Berechnung trigonometrischer Funktionen wie Sinus.[22] Algorithmen zur Berechnung der Sinus können für Einschränkungen wie Geschwindigkeit, Genauigkeit, Portabilität oder Bereich der akzeptierten Eingangswerte ausgeglichen werden. Dies kann zu unterschiedlichen Ergebnissen für verschiedene Algorithmen führen, insbesondere für besondere Umstände wie sehr große Eingaben, z. Sünde (1022).

Eine häufige Programmieroptimierung, die insbesondere in 3D-Grafiken verwendet wird linear interpolieren zwischen den 2 engsten Werten, um es zu approximieren. Dies ermöglicht es, die Ergebnisse aus einer Tabelle auszuschauen, anstatt in Echtzeit zu berechnet. Mit modernen CPU -Architekturen kann diese Methode keinen Vorteil bieten.

Das Herzlich Algorithmus wird üblicherweise in wissenschaftlichen Taschenrechnern verwendet.

Die Sinus- und Cosinusfunktionen sowie andere trigonometrische Funktionen sind auf Programmiersprachen und Plattformen weit verbreitet. Beim Computer werden sie normalerweise abgekürzt Sünde und cos.

Einige CPU-Architekturen haben eine integrierte Anweisung für Sinus, einschließlich des Intel X87-FPUs seit dem 80387.

In Programmiersprachen, Sünde und cos sind in der Regel entweder eine integrierte Funktion oder in der Standard-Mathematikbibliothek der Sprache gefunden.

Zum Beispiel die C Standardbibliothek definiert Sinusfunktionen innerhalb math.h: Sünde (doppelt), Sinf (Float), und Sinl (langes Doppel). Der Parameter von jedem ist a schwimmender Punkt Wert, Angabe des Winkels in Radians. Jede Funktion gibt gleich zurück Datentyp wie es akzeptiert. Viele andere trigonometrische Funktionen sind ebenfalls definiert in math.h, wie für Cosinus, Bogen -Sinus und hyperbolischer Sinus (SINH).

Ähnlich, Python Definiert math.sin (x) und math.cos (x) innerhalb des eingebauten Mathematik Modul. Komplexe Sinus- und Cosinusfunktionen sind auch innerhalb der verfügbar cmath Modul, z. cmath.sin (z). CpythonMathematikfunktionen nennen die C Mathematik Bibliothek und verwenden a Doppelprezisions-Gleitpunktformat.

Drehen basierende Implementierungen

Einige Software-Bibliotheken bieten Implementierungen von Sinus und Cosinus unter Verwendung des Eingangswinkels in der Hälfte-wendet sich, eine halbe Drehung ist ein Winkel von 180 Grad oder Radians. Die Repräsentation von Winkeln oder Halbwende hat in einigen Fällen Genauigkeitsvorteile und Effizienzvorteile.[23][24] In Matlab, OpenCL, R, Julia, Cuda und Arm werden diese Funktionen genannt Sinpi und Cospi.[23][25][24][26][27][28] Zum Beispiel, Sinpi (x) würde bewerten zu wo x wird in Radians ausgedrückt.

Der Genauigkeitsvorteil beruht auf der Fähigkeit, Schlüsselwinkel wie Vollverkehr, Halbverkehr und Vierteldrehung in binärem Schwimmpunkt oder fester Punkt verliert, um perfekte Winkeln darzustellen. Dagegen darstellen , , und Bei binären Gleitkomma- oder Binär-skalierten Festpunkt beinhaltet immer einen Genauigkeitsverlust, da irrationale Zahlen nicht mit endlich vielen binären Ziffern dargestellt werden können.

Kurven haben auch einen Genauigkeitsvorteil und einen Effizienzvorteil für das Computermodulo für einen Zeitraum. Computermodulo 1 Dreh- oder Modulo-2-Halbwende kann sowohl im Gleitpunkt als auch in festem Punkt verlust und effizient berechnet werden. Beispielsweise erfordert das Computermodulo 1 oder das Modulo 2 für einen Binärpunkt-skalierten Fixpunktwert nur eine Bitverschiebung oder bitweise und der Betrieb. Im Gegensatz dazu Computermodulo beinhaltet Ungenauigkeiten bei der Darstellung .

Bei Anwendungen mit Winkelsensoren liefert der Sensor in der Regel Winkelmessungen in einer Form, die direkt mit Kurven oder Halbwänden kompatibel ist. Beispielsweise kann ein Winkelsensor von 0 bis 4096 über eine vollständige Revolution zählen.[29] Wenn die Halbwinkel als Einheit für den Winkel verwendet wird, kann der vom Sensor bereitgestellte Wert direkt und Verlustlos einen Festpunkt-Datentyp mit 11 Bit rechts vom Binärpunkt bilden. Im Gegensatz dazu werden die Ungenauigkeiten und Kosten für die Multiplizierung der Rohsensor -Ganze mit einer Annäherung an die Ungenauigkeiten und Kosten für die Multiplizierung der Rohsensor -Ganze dagegen, wenn Radians als Einheit zum Speichern des Winkels verwendet werden. würde anfallen.

Siehe auch

Zitate

  1. ^ a b c Weisstein, Eric W. "Sinus". mathworld.wolfram.com. Abgerufen 2020-08-29.
  2. ^ a b Uta C. Merzbach, Carl B. Boyer (2011), Eine Geschichte der Mathematik, Hoboken, N.J.: John Wiley & Sons, 3. Aufl., P. 189.
  3. ^ Victor J. Katz (2008), Eine Geschichte der Mathematik, Boston: Addison-Wesley, 3rd. ed., p. 253, Seitenleiste 8.1. "Archivierte Kopie" (PDF). Archiviert (PDF) vom Original am 2015-04-14. Abgerufen 2015-04-09.{{}}: CS1 Wartung: Archiviertes Kopie als Titel (Link)
  4. ^ a b "Kosinus".
  5. ^ a b "Sinus, Cosinus, Tangente". www.mathsifun.com. Abgerufen 2020-08-29.
  6. ^ Siehe Ahlfors, Seiten 43–44.
  7. ^ "Sinusquadrat-Funktion". Abgerufen 9. August, 2019.
  8. ^ "Oeis A003957". oeis.org. Abgerufen 2019-05-26.
  9. ^ a b "A105419 - Oeis".
  10. ^ Adlaj, Semjon (2012). "Eine beredte Formel für den Umfang einer Ellipse" (PDF). American Mathematical Society. p. 1097.
  11. ^ Rudin, Walter (1987). Reale und komplexe Analyse (Dritter Aufl.). McGraw-Hill Book Company. ISBN 0-07-100276-6. p. 299, Satz 15.4
  12. ^ "Warum ist das Phasenporträt des einfachen Flugzeugpendels und eine Domänefärbung von Sünde (z) so ähnlich?". Math.Stackexchange.com. Abgerufen 2019-08-12.
  13. ^ a b Gingerich, Owen (1986). "Islamische Astronomie". Wissenschaftlicher Amerikaner. Vol. 254. p. 74. archiviert von das Original Am 2013-10-19. Abgerufen 2010-07-13.
  14. ^ Jacques Sesiano, "Islamische Mathematik", p. 157, in Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan, eds. (2000). Mathematik zwischen Kulturen: Die Geschichte der nicht-westlichen Mathematik. Springer Science+Business Media. ISBN 978-1-4020-0260-1.
  15. ^ a b "Trigonometrie". Enzyklopädie Britannica.
  16. ^ Nicolás Bourbaki (1994). Elemente der Geschichte der Mathematik. Springer. ISBN 9783540647676.
  17. ^ "Warum der Sinus ein einfaches Derivat hat Archiviert 2011-07-20 im Wayback -Maschine", in Historische Notizen für Kalküllehrer Archiviert 2011-07-20 im Wayback -Maschine durch V. Frederick Rickey Archiviert 2011-07-20 im Wayback -Maschine
  18. ^ Siehe Merzbach, Boyer (2011).
  19. ^ Eli Maor (1998), Trigonometrische Freuden, Princeton: Princeton University Press, p. 35-36.
  20. ^ Victor J. Katz (2008), Eine Geschichte der Mathematik, Boston: Addison-Wesley, 3rd. ed., p. 253, Seitenleiste 8.1. "Archivierte Kopie" (PDF). Archiviert (PDF) vom Original am 2015-04-14. Abgerufen 2015-04-09.{{}}: CS1 Wartung: Archiviertes Kopie als Titel (Link)
  21. ^ Smith, D.E. (1958) [1925], Geschichte der Mathematik, vol. Ich, Dover, p. 202, ISBN 0-486-20429-4
  22. ^ Große Herausforderungen der Informatik, Paul Zimmermann. 20. September 2006 - p. 14/31 "Archivierte Kopie" (PDF). Archiviert (PDF) vom Original am 2011-07-16. Abgerufen 2010-09-11.{{}}: CS1 Wartung: Archiviertes Kopie als Titel (Link)
  23. ^ a b "MATLAB -Dokumentation Sinpi
  24. ^ a b "R Dokumentation Sinpi
  25. ^ "OpenCL -Dokumentation Sinpi
  26. ^ "Julia Dokumentation Sinpi
  27. ^ "CUDA -Dokumentation Sinpi
  28. ^ "ARM -Dokumentation Sinpi
  29. ^ "Allegro Winkelsensor -Datenblatt

Verweise

Externe Links

  • Medien im Zusammenhang mit der Sinusfunktion bei Wikimedia Commons