Ähnlichkeit (Geometrie)

Ähnliche Zahlen

Im Euklidische Geometrie, zwei Objekte sind ähnlich Wenn sie das gleiche haben Formoder eine hat die gleiche Form wie das Spiegelbild des anderen. Genauer gesagt kann man durch gleichmäßig Skalierung (Erweiterung oder Reduzierung), möglicherweise mit zusätzlich Übersetzung, Drehung und Betrachtung. Dies bedeutet, dass eines Objekts neu skaliert, neu positioniert und reflektiert werden kann, um genau mit dem anderen Objekt übereinzustimmen. Wenn zwei Objekte ähnlich sind, ist jeder kongruent zum Ergebnis einer bestimmten einheitlichen Skalierung des anderen.

Übersetzung
Drehung
Betrachtung
Skalierung

Zum Beispiel alle Kreise sind alle ähnlich, alle Quadrate sind ähnlich zueinander und alle Gleichseitige Dreiecke sind ähnlich zueinander. Auf der anderen Seite, Ellipsen sind nicht alle ähnlich zueinander, Rechtecke sind nicht alle ähnlich zueinander und Isosceles Dreiecke sind nicht alle ähnlich.

Die in derselben Farbe gezeigten Abbildungen sind ähnlich

Wenn zwei Winkel eines Dreiecks Maßnahmen aufweisen, die den Messungen von zwei Winkeln eines anderen Dreiecks entsprechen, sind die Dreiecke ähnlich. Entsprechende Seiten ähnlicher Polygone sind proportional, und entsprechende Winkel ähnlicher Polygone haben das gleiche Maß.

Zwei kongruent Die Formen sind ähnlich, mit einem Skalierungsfaktor von 1. einige Schulbücher schließen jedoch kongruente Dreiecke aus ihrer Definition ähnlicher Dreiecke aus, indem sie darauf bestehen, dass die Größen unterschiedlich sein müssen, wenn sich die Dreiecke als ähnlich qualifizieren sollen.

Ähnliche Dreiecke

Zwei Dreiecke, ABC und ABC', sind ähnlich, wenn und nur dann, wenn die entsprechenden Winkel das gleiche Maß haben: Dies bedeutet, dass sie nur dann ähnlich sind, wenn die Längen von entsprechende Seiten sind proportional.[1] Es kann gezeigt werden, dass zwei Dreiecke mit kongruenten Winkeln (Equianguläre Dreiecke) sind ähnlich, dh die entsprechenden Seiten können als proportional erwiesen werden. Dies ist als AAA -Ähnlichkeitssatz bekannt.[2] Beachten Sie, dass die "AAA" eine Mnemonik ist: Jeder der drei A bezieht sich auf einen "Winkel". Aufgrund dieses Satzes vereinfachen mehrere Autoren die Definition ähnlicher Dreiecke, um nur zu verlangen, dass die entsprechenden drei Winkel kongruent sind.[3]

Es gibt mehrere Kriterien, die jeweils notwendig und ausreichend sind, damit zwei Dreiecke ähnlich sind:

  • Zwei beliebige Paare kongruente Winkel,[4] was in der euklidischen Geometrie impliziert, dass alle drei Winkel kongruent sind:[5]
Wenn BAC ist gleich in der Messung zu B'a'c ', und ABC ist gleich in der Messung zu ABC'dann impliziert das das ACB ist gleich in der Messung zu A'C'B ' und die Dreiecke sind ähnlich.
  • Alle entsprechenden Seiten sind proportional:[6]
Ab/A'B ' = BC/B'c ' = AC/A'C '. Dies entspricht der Aussage, dass ein Dreieck (oder sein Spiegelbild) ein ist Erweiterung des anderen.
  • Die beiden Seitenpaare sind proportional, und die zwischen diesen Seiten enthaltenen Winkeln sind kongruent:[7]
Ab/A'B ' = BC/B'c ' und ABC ist gleich in der Messung zu ABC'.

Dies ist als SAS -Ähnlichkeitskriterium bekannt.[8] Das "SAS" ist ein Mnemonikum: Jeder der beiden S bezieht sich auf eine "Seite"; Das A bezieht sich auf einen "Winkel" zwischen den beiden Seiten.

Symbolisch schreiben wir die Ähnlichkeit und Unähnlichkeit zweier DreieckeABC und ABC' folgendermaßen:[9]

Es gibt mehrere elementare Ergebnisse in Bezug auf ähnliche Dreiecke in der euklidischen Geometrie:[10]

  • Egal welche zwei Gleichseitige Dreiecke sind ähnlich.
  • Zwei Dreiecke, beide ähnlich wie ein drittes Dreieck, ähneln einander (Transitivität der Ähnlichkeit der Dreiecke).
  • Dazugehörigen Höhen von ähnlichen Dreiecken haben das gleiche Verhältnis wie die entsprechenden Seiten.
  • Zwei Rechte Dreiecke sind ähnlich, wenn die Hypotenuse und eine andere Seite hat Längen im gleichen Verhältnis.[11] In diesem Fall gibt es mehrere äquivalente Bedingungen, z.

Ein Dreieck gegeben ABC und ein Liniensegment De man kann, mit Herrscher und Kompassfinde einen Punkt F so dass ABC ∼ △Def. Die Aussage, dass der Punkt F Die Befriedigung dieser Bedingung besteht Wallis 'Postulat[12] und ist logisch äquivalent zu Euklids's Parallele Postulat.[13] Im Hyperbolische Geometrie (Wo Wallis 'Postulat falsch ist) ähnliche Dreiecke sind kongruent.

In der axiomatischen Behandlung der euklidischen Geometrie durch gegeben durch George David Birkhoff (sehen Birkhoffs Axiome) Das oben angegebene SAS -Ähnlichkeitskriterium wurde verwendet, um sowohl das parallele Postulat von Euklid als auch das SAS -Axiom zu ersetzen, das die dramatische Verkürzung von ermöglichte Hilberts Axiome.[8]

Ähnliche Dreiecke bilden die Grundlage für viele Synthetik (ohne Koordinaten) Beweise in der euklidischen Geometrie. Unter den elementaren Ergebnissen, die so bewiesen werden können, sind: die Winkel -Halbier -Theorem, das Geometrischer Mittelwert, Cevas Satz, Menelaus 'Satz und die Satz des Pythagoras. Ähnliche Dreiecke liefern auch die Grundlagen für Rechte Dreieck -Trigonometrie.[14]

Andere ähnliche Polygone

Ähnliche Rechtecke

Das Konzept der Ähnlichkeit erstreckt sich auf Polygone mit mehr als drei Seiten. Bei zwei beliebigen ähnlichen Polygonen sind entsprechende Seiten in derselben Sequenz (auch wenn für ein Polygon im Uhrzeigersinn und gegen den Uhrzeigersinn für das andere) proportional und entsprechende Winkel, die in derselben Sequenz aufgenommen wurden, sind gleich in Maßnahme. Die Verhältnismäßigkeit der entsprechenden Seiten reicht jedoch nicht aus, um die Ähnlichkeit für Polygone jenseits der Dreiecke zu beweisen (ansonsten zum Beispiel alle alle Rhombi wäre ähnlich). Ebenso reicht die Gleichheit aller Winkel in der Sequenz nicht aus, um Ähnlichkeit zu gewährleisten (ansonsten alle Rechtecke wäre ähnlich). Ein ausreichender Zustand für die Ähnlichkeit von Polygonen ist, dass entsprechende Seiten und Diagonalen proportional sind.

Für gegeben n, alle regulär n-gons sind ähnlich.

Ähnliche Kurven

Verschiedene Arten von Kurven haben die Eigenschaft, dass alle Beispiele dieser Art zueinander ähneln. Diese beinhalten:

Im euklidischen Raum

A Ähnlichkeit (auch a genannt Ähnlichkeitsumwandlung oder Ähnlichkeit) von a Euklidischer Raum ist ein Bijection f vom Raum auf sich selbst, der alle Entfernungen mit demselben positiven multipliziert reelle Zahl r, also das für zwei Punkte x und y wir haben

wo "d(x,y)" ist der Euklidische Entfernung aus x zu y.[17] Das Skalar r hat viele Namen in der Literatur, einschließlich; das Verhältnis der Ähnlichkeit, das Dehnungsfaktor und die Ähnlichkeitskoeffizient. Wann r = 1 Eine Ähnlichkeit wird als eine genannt Isometrie (starre Transformation). Zwei Sätze werden genannt ähnlich Wenn eines unter einer Ähnlichkeit das Bild des anderen ist.

Als Karte f: ℝn → ℝn, eine Ähnlichkeit des Verhältnisses r nimmt die Form an

wo AOn(ℝ) ist ein n × n Orthogonale Matrix und t ∈ ℝn ist ein Übersetzungsvektor.

Ähnlichkeiten bewahren Flugzeuge, Linien, Senkrechte, Parallelität, Mittelpunkte, Ungleichheiten zwischen Entfernungen und Liniensegmenten.[18] Ähnlichkeiten bewahren Winkel, bewahren aber nicht unbedingt die Orientierung, direkte Ähnlichkeiten Orientierung bewahren und gegenüberliegende Ähnlichkeiten ändern Sie es.[19]

Die Ähnlichkeiten des euklidischen Raums bilden a Gruppe unter dem Betrieb der Komposition genannt die Ähnlichkeitsgruppe S.[20] Die direkten Ähnlichkeiten bilden a Normale Untergruppe von S und die Euklidische Gruppe E(n) von Isometrien bildet auch eine normale Untergruppe.[21] Die Ähnlichkeitsgruppe S ist selbst eine Untergruppe der Affine -Gruppe, also ist jede Ähnlichkeit eine Affine -Transformation.

Man kann die euklidische Ebene als die als die betrachten Komplexe Ebene,[22] das heißt als zweidimensionaler Raum über dem Real. Die 2D -Ähnlichkeitsveränderungen können dann in Bezug auf komplexe Arithmetik ausgedrückt werden und werden gegeben durch f(z) = AZ + b (direkte Ähnlichkeiten) und f(z) = az + b (gegenüberliegende Ähnlichkeiten), wo a und b sind komplexe Zahlen, a ≠ 0. Wann |a| = 1Diese Ähnlichkeiten sind Isometrien.

Flächenverhältnis und Volumenverhältnis

Das Tessellation des großen Dreiecks zeigt, dass es dem kleinen Dreieck mit einem Flächenverhältnis von 5 ähnelt. Das Ähnlichkeitsverhältnis ist 5/h = h/1 = 5. Dies kann verwendet werden, um eine zu konstruieren Nichtperiodische unendliche Fliesen.

Das Verhältnis zwischen dem Bereiche von ähnlichen Figuren ist gleich dem Quadrat des Verhältnisses der entsprechenden Längen dieser Abbildungen (zum Beispiel, wenn die Seite eines Quadrats oder der Radius eines Kreises mit drei multipliziert wird, wird seine Fläche mit neun multipliziert - d. H. Mit drei Quadratmen) . Die Höhen ähnlicher Dreiecke sind im gleichen Verhältnis wie entsprechende Seiten. Wenn ein Dreieck eine Seite der Länge hat b und eine Höhe, die auf diese Seite der Länge gezogen wird h dann ein ähnliches Dreieck mit entsprechender Seite der Länge KB wird eine Höhe an dieser Seite der Länge gezogen haben kh. Der Bereich des ersten Dreiecks ist, ist, A = 1/2BH, während der Bereich des ähnlichen Dreiecks sein wird EIN' = 1/2(KB) (kh) = k2A. Ähnliche Zahlen, die in ähnliche Dreiecke zerlegt werden können, haben Bereiche auf die gleiche Weise. Die Beziehung gilt für Zahlen, die ebenfalls nicht reparierbar sind.

Das Verhältnis zwischen dem Bände von ähnlichen Figuren ist gleich dem Würfel des Verhältnisses der entsprechenden Längen dieser Figuren (zum Beispiel, wenn der Rand eines Würfels oder der Radius einer Kugel mit drei multipliziert wird, wird sein Volumen mit 27 multipliziert - d. H. Mit drei geschnittenem) .

Galileos Square -Cube -Gesetz betrifft ähnliche Feststoffe. Wenn das Verhältnis von Ähnlichkeit (Verhältnis der entsprechenden Seiten) zwischen den Festkörpern ist kdann wird das Verhältnis der Oberflächen der Festkörper sein k2, während das Verhältnis von Volumina sein wird k3.

Ähnlichkeit mit einem Zentrum

Beispiel, bei dem jede Ähnlichkeit
zusammengesetzt mit sich mehrmals nacheinander nacheinander
hat ein Center im Zentrum von aregelmäßiges Vieleck dass es schrumpft.
Beispiel für die direkte Ähnlichkeit des ZentrumsS
zersetzt in eine Rotation von 135 ° Winkel
und eine Homothety, die halbiertBereiche.
Beispiele für direkte Ähnlichkeiten, die jeweils a habenCenter.

Wenn eine Ähnlichkeit genau eine hat Invariante Punkt: Ein Punkt, dass die Ähnlichkeit unverändert bleibt, dann wird dieser einzige Punkt genannt ""Center"der Ähnlichkeit.

Auf dem ersten Bild unter dem Titel links schrumpft die eine oder andere Ähnlichkeit aregelmäßiges Vieleck in einkonzentrisch, Deren Eckpunkte jeweils auf einer Seite des vorherigen Polygons liegen. Diese Rotationsreduzierung wird wiederholt, Also wird das anfängliche Polygon in eine ausgedehntAbgrund von normalen Polygonen. DasCenter der Ähnlichkeit ist das gemeinsame Zentrum der aufeinanderfolgenden Polygone. Ein Rot Segment verbindet einen Scheitelpunkt des anfänglichen Polygons zu seinem Bild Unter der Ähnlichkeit, gefolgt von einem roten Segment, das auf das folgende Bild von Scheitelpunkt geht und so weiter aSpiral-. Tatsächlich können wir mehr als drei direkte Ähnlichkeiten auf diesem ersten Bild sehen, da jedes reguläre Polygon unter bestimmten direkten Ähnlichkeiten invariant ist, genauer bestimmte Rotationen, deren Zentrum das Zentrum des Polygons ist, und eine Zusammensetzung direkter Ähnlichkeiten ist auch direkt Ähnlichkeit. Zum Beispiel sehen wir das Bild des ersten regulärenPentagon unter einem Homothety von negativ Dies ist eine Ähnlichkeit von ± 180 ° Winkel und ein positives Verhältnis

Unter dem Titel rechts zeigt das zweite Bild eine Ähnlichkeit zersetzt in ein Drehung und eine Homoth. Ähnlichkeit und Rotation haben den gleichen Winkel von +135 Grad Modulo 360 Grad. Ähnlichkeit und Homothety haben das gleiche Verhältnis multiplikativer Inverse des (Quadratwurzel von 2) des umgekehrtÄhnlichkeit. PunktSist das gemeinsame Center der drei Transformationen: Rotation, Homothety und Ähnlichkeit. Zum Beispiel PunktWist das Bild vonF unter der Rotation und PunktTist das Bild vonW unter der Homothety, kurzer T = H (W ) = H (r ( F )) = (H ∘ r )( F ) = D ( F )Durch Benennung die vorherige Rotation, Homothety und Ähnlichkeit, mit

Diese direkte Ähnlichkeit, die Dreieck verändertEFAin DreieckATBkann in eine Rotation und eine Homothety desselben Zentrums zerlegt werdenS In mehreren Manieren. Zum Beispiel, Die letzte Zerlegung, die nur auf dem Bild dargestellt wird. Bekommen Wir können auch in beliebiger Reihenfolge eine Rotation komponieren Winkel und Homothety

Mit und wenn ist der Betrachtung in Bezug auf die Linie (CW), dann ist der indirektÄhnlichkeit, die das Segment transformiert [Bf]in Segment [Ct], Aber transformiert PunktE hineinBund PunktA hineinAselbst. QuadratACBTist das Bild vonAbef unter ÄhnlichkeitPunktAist das Zentrum dieser Ähnlichkeit, weil jeder PunktKInvariante unter ihm zu sein, erfüllt nur möglichansonsten geschrieben

Wie man Konstruieren Sie das ZentrumS von direkter Ähnlichkeit  wie man Punkt findetS Zentrum einer Rotation von+135 ° Winkel, die den Strahl verändert [[Se) in Strahl [Sa)? Das ist ein Eingeschriebener WinkelProblem plus eine Frage vonOrientierung. Der Satz von Punktenist ein Kreisbogen das schließt sich an EundA, von denen der zwei Radius führt zuEundAForm aZentralwinkel Diese Punkte ist das blaue Viertel des Circle of CenterF InnenquadratAbef. Auf die gleiche Weise PunktS ist ein Mitglied des blauen Viertels des ZentrumskreisesT InnenquadratBcat. Also PunktSist derÜberschneidung Punkt dieser beiden Viertel von Kreisen.

Im Allgemeinen metrischen Räumen

Sierpiński -Dreieck. Ein Raum mit Selbstähnlichkeitsdimension Protokoll 3/Protokoll 2 = log23, was ungefähr 1,58 ist. (Aus Hausdorff -Dimension.))

In einem General metrischer Raum (X, d), eine genaue Ähnlichkeit ist ein Funktion f aus dem metrischen Raum X in sich selbst, die alle Entfernungen mit demselben positiv vervielfacht Skalar r, genannt f Der Kontraktionsfaktor, so dass für zwei Punkte x und y wir haben

Schwächere Versionen der Ähnlichkeit hätten zum Beispiel zum Beispiel f bi-Lipschitz Funktion und der Skalar r eine Grenze

Diese schwächere Version gilt, wenn die Metrik ein effektiver Widerstand eines topologisch selbstähnlichen Satzes ist.

Eine selbstähnliche Teilmenge eines metrischen Raums (X, d) Ist ein Satz K für das es eine endliche Reihe von Ähnlichkeiten gibt { fs }sS mit Kontraktionsfaktoren 0 ≤ rs < 1 so dass K ist die eindeutige kompakte Teilmenge von X für welche

Ein selbstähnlicher Satz, der mit zwei Ähnlichkeiten z '= 0,1 [(4+i) z+4] und z' = 0,1 [(4+7i) z*+5-2i] konstruiert wurde.

Diese selbstähnlichen Sets haben eine Selbstähnlichkeit messen μD mit Dimension D gegeben durch die Formel

das ist oft (aber nicht immer) gleich dem Set des Sets Hausdorff -Dimension und Packungsdimension. Wenn die Überschneidungen zwischen dem fs(K) sind "klein", wir haben die folgende einfache Formel für die Maßnahme:

Topologie

Im Topologie, a metrischer Raum Kann durch Definieren von a konstruiert werden Ähnlichkeit anstelle einer Distanz. Die Ähnlichkeit ist eine Funktion, so dass ihr Wert größer ist, wenn zwei Punkte näher sind (entgegen der Entfernung, was ein Maß von ist Unähnlichkeit: Je näher die Punkte, desto weniger die Entfernung).

Die Definition der Ähnlichkeit kann bei den Autoren variieren, je nachdem, welche Eigenschaften gewünscht werden. Die grundlegenden gemeinsamen Eigenschaften sind

  1. Positiv definiert:
  2. Studiert von der Ähnlichkeit eines Elements mit sich selbst (Autoähnlichkeit):

Weitere Eigenschaften können aufgerufen werden, wie z. Reflexionsvermögen () oder Endlichkeit (). Der obere Wert wird häufig auf 1 festgelegt (erzeugt eine Möglichkeit für eine probabilistische Interpretation der Ähnlichkeit).

Beachten Sie, dass im topologischen Sinne hier eine Ähnlichkeit eine Art ist messen. Diese Verwendung ist nicht das gleiche wie Ähnlichkeitsumwandlung des § im euklidischen Raum und § Im Allgemeinen metrischen Räume Abschnitte dieses Artikels.

Selbstähnlichkeit

Selbstähnlichkeit bedeutet, dass ein Muster ist nicht trivial ähnlich für sich selbst, z. B. der Satz {…, 0,5, 0,75, 1, 1,5, 2, 3, 4, 6, 8, 12,…} Nummern der Form {2i, 3 · 2i} wo i reicht über alle Ganzzahlen. Wenn dieses Set auf a gezeichnet ist Logarithmische Darstellung Es hat eindimensional Translationssymmetrie: Das Hinzufügen oder Subtrahieren des Logarithmus von zwei zwei zu dem Logarithmus einer dieser Zahlen erzeugt den Logarithmus eines anderen dieser Zahlen. In der angegebenen Anzahl von Zahlen selbst entspricht dies einer Ähnlichkeitsveränderung, in der die Zahlen multipliziert oder durch zwei geteilt werden.

Psychologie

Die Intuition für den Begriff der geometrischen Ähnlichkeit tritt bereits bei menschlichen Kindern auf, wie in ihren Zeichnungen zu sehen ist.[23]

Siehe auch

Anmerkungen

  1. ^ Sibley 1998, p. 35.
  2. ^ Stahl 2003, p. 127. Dies wird auch in bewiesen Euklids Elemente, Buch VI, Proposition 4.
  3. ^ Zum Beispiel, Venema 2006, p. 122 und Henderson & Taimiņa 2005, p. 123.
  4. ^ Euklids Elemente, Buch VI, Proposition 4.
  5. ^ Diese Aussage ist nicht der Fall in Nichteuklidische Geometrie wo der Dreiecksumme nicht 180 Grad beträgt.
  6. ^ Euklids Elemente, Buch VI, Satz 5.
  7. ^ Euklids Elemente, Buch VI, Satz 6.
  8. ^ a b Venema 2006, p. 143.
  9. ^ Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2012). Die Geheimnisse der Dreiecke. Prometheus -Bücher. p. 22.
  10. ^ Jacobs 1974, S. 384–393.
  11. ^ Hadamard, Jacques (2008). Lektionen in Geometrie, Vol. I: Ebene Geometrie. American Mathematical Society. Satz 120, p. 125. ISBN 978-0-8218-4367-3.
  12. ^ Benannt nach John Wallis (1616–1703)
  13. ^ Venema 2006, p. 122.
  14. ^ Venema 2006, p. 145.
  15. ^ Ein Beweis aus der akademien.edu
  16. ^ a b Die Form einer Ellipse oder Hyperbel hängt nur vom Verhältnis b/a ab
  17. ^ Smart 1998, p. 92.
  18. ^ Yale 1968, p. 47 Satz 2.1.
  19. ^ Pedoe 1988, S. 179–181.
  20. ^ Yale 1968, p. 46.
  21. ^ Pedoe 1988, p. 182.
  22. ^ Dieser traditionelle Begriff ist, wie in seinem Artikel erläutert, eine Fehlbezeichnung. Dies ist eigentlich die 1-dimensionale komplexe Linie.
  23. ^ Cox, Dana Christine (2008). Ähnlichkeit verstehen: Überbrückung geometrischer und numerischer Kontexte für proportionale Argumentation (Ph.D.). Kalamazoo, Michigan: Western Michigan University. ISBN 978-0-549-75657-6. S2CID 61331653.

Verweise

  • Henderson, David W.; Taimiņa, Daina (2005). Erleben Sie Geometrie/Euklidan und nichteuklidisch mit Geschichte (3. Aufl.). Pearson Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-143748-7.
  • Jacobs, Harold R. (1974). Geometrie. W. H. Freeman und Co. ISBN 0-7167-0456-0.
  • Pedoe, Dan (1988) [1970]. Geometrie/ein umfassender Kurs. Dover. ISBN 0-486-65812-0.
  • Sibley, Thomas Q. (1998). Der geometrische Standpunkt/eine Übersicht über Geometrien. Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-87450-1.
  • Smart, James R. (1998). Moderne Geometrien (5. Aufl.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-35188-3.
  • Stahl, Saul (2003). Geometrie/von Euklid zu Knoten. Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-032927-1.
  • Venema, Gerard A. (2006). Grundlagen der Geometrie. Pearson Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-143700-5.
  • Yale, Paul B. (1968). Geometrie und Symmetrie. Holden-Day.

Weitere Lektüre

  • Cederberg, Judith N. (2001) [1989]. "Kapitel 3.12: Ähnlichkeitsveränderungen". Ein Kurs in modernen Geometrien. Springer. S. 183–189. ISBN 0-387-98972-2.
  • Coxeter, H. S. M. (1969) [1961]. "§5 Ähnlichkeit in der euklidischen Ebene". S. 67–76. "§7 Isometrie und Ähnlichkeit im euklidischen Raum". S. 96–104. Einführung in die Geometrie. John Wiley & Sons.
  • Ewald, Günter (1971). Geometrie: Eine Einführung. Wadsworth Publishing. S. 106, 181.
  • Martin, George E. (1982). "Kapitel 13: Ähnlichkeiten in der Ebene". Transformationsgeometrie: Eine Einführung in die Symmetrie. Springer. S. 136–146. ISBN 0-387-90636-3.

Externe Links