Scharf

Der richtige Titel dieses Artikels ist #Sat. Die Substitution der # ist auf technische Beschränkungen zurückzuführen.

Im Informatik, das Scharfe Erfüllbarkeitsproblem (manchmal genannt Scharf oder #Sat) ist das Problem, die Anzahl der Anzahl zu zählen Interpretationen das zufrieden ein gegebenes Boolesche Formel, eingeführt von Valiant im Jahr 1979.[1] Mit anderen Worten, es wird aufgefragt, wie viele Weise die Variablen einer bestimmten booleschen Formel durch die Werte ersetzt werden können, die so oder falsch sind, so dass die Formel bewertet true. Zum Beispiel die Formel ist durch drei verschiedene boolesche Wertzuweisungen der Variablen erfüllt, nämlich für eine der Zuordnungen ( = Wahr, = Falsch), ( = Falsch, = Falsch),,
( = Wahr, = Wahr), wir haben = Wahr.

#Sat unterscheidet sich von Boolesche Zufriedenheitsproblem (Sa), was fragt, ob es vorhanden ist eine Lösung der Booleschen Formel. Stattdessen bittet #sat zu zögern alle Die Lösungen zu einer Booleschen Formel. #SAT ist schwieriger als SAT in dem Sinne, dass SAT, sobald die Gesamtzahl der Lösungen für eine Boolesche Formel bekannt ist, in konstanter Zeit entschieden werden kann. Das Gegenteil ist jedoch nicht wahr, weil das Wissen einer Booleschen Formel hat eine Lösung hilft uns nicht zu zählen Alle Lösungenwie es eine exponentielle Anzahl von Möglichkeiten gibt.

#Sat ist ein bekanntes Beispiel für die Klasse von Probleme zählen, bekannt als #P-Complete (Lesen Sie als scharfe p ab.). Mit anderen Worten, jede Instanz eines Problems in der Komplexitätsklasse #P kann auf eine Instanz des #SAT -Problems reduziert werden. Dies ist ein wichtiges Ergebnis, da viele schwierige Zählprobleme auftreten Aufzählende Kombinatorik, Statistische Physik, Netzwerkzuverlässigkeit und Künstliche Intelligenz ohne bekannte Formel. Wenn ein Problem schwierig ist, liefert es a Komplexitätstheoretik Erklärung für den Mangel an gut aussehenden Formeln.[2]

#P-Completness

#Sat ist #P-Complete. Um dies zu beweisen, beachten Sie zunächst, dass #SAT offensichtlich in #P ist.

Als nächstes beweisen wir, dass #Sat #P-Hard ist. Nehmen Sie ein Problem #A in #P. Wir wissen, dass ein mit a gelöst werden kann Nichtdeterministische Turing-Maschine M. Andererseits vom Beweis für Cook-Levin-TheoremWir wissen, dass wir M auf eine Boolesche Formel F reduzieren können. Jetzt entspricht jede gültige Zuordnung von F einem einzigartigen akzeptablen Pfad in M ​​und umgekehrt. Jeder akzeptable Weg von M repräsentiert jedoch eine Lösung für A. Mit anderen Worten, es gibt eine Bijektion zwischen den gültigen Zuordnungen von F und den Lösungen für A. Die Reduktion, die im Beweis für den Koch-Levin-Theorem verwendet wird, ist sparsam. Dies impliziert, dass #Sat #P-Hard ist.

Unlösbare Sonderfälle

Das Zählen von Lösungen ist in vielen Sonderfällen, für die die Erfüllbarkeit (in P) sowie die Erfüllbarkeit (NP-Complete) ist, unlösbar (#P-Complete), für die die Erfreulichkeit erfolgreich ist. Dies schließt Folgendes ein.

#3SAT

Dies ist die Zählversion von 3sat. Man kann zeigen, dass jede Formel im SAT kann umgeschrieben werden als Formel in 3-CNF Formular beibehalten die Anzahl der zufriedenstellenden Zuordnungen. Daher zählen #SAT und #3SAT ein Äquivalent und #3SAT ist auch #P-Complete.

#2SAT

Wenngleich 2SAT (Die Entscheidung, ob eine 2CNF-Formel eine Lösung hat) ist polynomisch. Die Anzahl der Lösungen ist #P-Complete.[3]

#Hornsa

Ähnlich, obwohl Hornsanschlag ist Polynom, die Anzahl der Lösungen zu zählen ist #P-Complete. Dieses Ergebnis ergibt sich aus einer allgemeinen Dichotomie, die charakterisiert, welche satähnlichen Probleme #P-Complete sind.[4]

Planar #3SAT

Dies ist die Zählversion von Planar 3SAT. Die Härtereduzierung von 3SAT zu planar 3SAT von Lichtenstein gegeben[5] ist sparsam. Dies impliziert, dass Planar #3SAT #P-Complete ist.

Planar monotone geradlinig #3sat

Dies ist die Zählversion von Planar Monoton Richtiges 3SAT.[6] Die von De Berg & Khosravi gegebene NP-Hartness-Reduktion[6] ist sparsam. Daher ist dieses Problem auch #P-Complete.

Folgende Sonderfälle

Die Modellabzehnung ist nachvollziehbar (lösbar in Polynomzeit) für (geordnet) BDDs und für D-DNNFs.

Verweise

  1. ^ Valiant, L.G. (1979). "Die Komplexität der Berechnung der Permanenten". Theoretische Informatik. 8 (2): 189–201. doi:10.1016/0304-3975 (79) 90044-6.
  2. ^ Vadhan, Salil Vadhan (20. November 2018). "Vortrag 24: Probleme zählen" (PDF).
  3. ^ Valiant, Leslie G. (1979). "Die Komplexität der Aufzählung und Zuverlässigkeitsprobleme". Siam Journal über Computing. 8 (3): 410–421. doi:10.1137/0208032.
  4. ^ CREIGNOU, Nadia; Hermann, Miki (1996). "Komplexität der Verallgemeinerungsfindbarkeitsprobleme". Informationen und Berechnung. 125: 1–12. doi:10.1006/inco.1996.0016. HDL:10068/41883.
  5. ^ Lichtenstein, David (1982). "Planare Formeln und ihre Verwendung". Siam Journal über Computing. 11: 2: 329–343.
  6. ^ a b De Berg, Marke; Khosravi, Amirali (2010). "Optimale Binär -Raum -Partitionen in der Ebene". In Thai, mein t.; Sahni, Sartaj (Hrsg.). Computing and Combinatorics: 16. jährliche internationale Konferenz, Cocoon 2010, NHA Trang, Vietnam, 19. bis 21. Juli 2010, Proceedings, Proceedings. Vorlesungsnotizen in Informatik. Vol. 6196. Berlin: Springer. S. 216–225. doi:10.1007/978-3-642-14031-0_25. HERR 2720098.