Mengenlehre

Mengenlehre ist der Zweig von Mathematische Logik diese Studien Sets, die informell als Sammlungen von Objekten bezeichnet werden können. Obwohl Objekte jeglicher Art in eine Menge, festgelegte Theorie, als Zweig von gesammelt werden können Mathematikist hauptsächlich mit denen befasst, die für die Mathematik als Ganzes relevant sind.

Die moderne Studie zur festgelegten Theorie wurde von den deutschen Mathematikern initiiert Richard Dedekind und Georg Cantor In den 1870er Jahren. Insbesondere wird Georg Cantor üblicherweise als Gründer der festgelegten Theorie angesehen. Die in dieser frühen Stufe untersuchten nicht formalisierten Systeme gehen unter dem Namen von Naive Set -Theorie. Nach der Entdeckung von Paradoxien innerhalb Naive Set -Theorie (wie zum Beispiel Russells Paradox, Cantors Paradoxon und Burali-Forti Paradox) verschiedene Axiomatische Systeme wurden im frühen 20. Jahrhundert vorgeschlagen, von denen Zermelo -Fraenkel -Set -Theorie (mit oder ohne die Axiom der Wahl) ist immer noch das bekannteste und am meisten studierte.

Die Set -Theorie wird üblicherweise als Grundsystem für die gesamte Mathematik verwendet, insbesondere in Form der Zermelo -Fraenkel -Set -Theorie mit dem Axiom der Wahl.^[1] Neben ihrer grundlegenden Rolle bietet die Set -Theorie auch den Rahmen für die Entwicklung einer mathematischen Theorie von Unendlichkeitund hat verschiedene Anwendungen in Informatik (wie in der Theorie von Relationale Algebra), Philosophie und formelle Semantik. Seine grundlegende Anziehungskraft zusammen mit seinem Paradoxien, seine Auswirkungen auf das Konzept der Infinity und seinen mehreren Anwendungen haben die festgelegte Theorie zu einem Bereich von großem Interesse für gemacht Logiker und Philosophen der Mathematik. Die zeitgenössische Forschung in der festgelegten Theorie deckt eine Vielzahl von Themen ab, die von der Struktur der Struktur des reelle Zahl Linie zum Studium der Konsistenz von Große Kardinäle.

Geschichte

Mathematische Themen entstehen typischerweise und entwickeln sich durch Interaktionen vieler Forscher. Die festgelegte Theorie wurde jedoch 1874 durch ein einzelnes Papier von gegründet Georg Cantor: "Auf einer Eigenschaft der Sammlung aller realen algebraischen Zahlen".^[2][3]

Seit dem 5. Jahrhundert v. Chr. Beginnend mit griechischem Mathematiker Zeno von Elea im Westen und früh Indische Mathematiker Im Osten hatten Mathematiker mit dem Konzept von zu kämpfen Unendlichkeit. Besonders bemerkenswert ist die Arbeit von Bernard Bolzano In der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts.^[4] Das moderne Verständnis von Unendlichkeit begann 1870–1874 und wurde durch Cantors Arbeit in motiviert Echte Analyse.^[5] Ein Treffen von 1872 zwischen Cantor und Richard Dedekind beeinflusste das Denken von Cantor und gipfelte in Cantors Papier von 1874.

Cantors Arbeit polarisierte zunächst die Mathematiker seiner Zeit. Während Karl Weierstrass und Dedekind unterstützte Cantor, Leopold Kronecker, jetzt als Gründer von gesehen von mathematischer Konstruktivismus, nicht. Die kantorianische Set -Theorie wurde schließlich aufgrund der Nützlichkeit kantorianischer Konzepte, wie z. Eins-zu-eins-Korrespondenz Unter den Sets, sein Beweis dafür, dass es mehr gibt reale Nummern als Ganzzahlen und die "Unendlichkeit der Unendlichkeit" ("("Cantors Paradies") resultiert aus dem Leistungssatz Betrieb. Diese Nützlichkeit der festgelegten Theorie führte zu dem Artikel "Mengenlehre", der 1898 von beigetragen hat Arthur Schoenflies zu Kleins Enzyklopädie.

Die nächste Welle der Aufregung in der Set -Theorie kam um 1900, als festgestellt wurde Antinomien oder Paradoxien. Bertrand Russell und Ernst Zermelo unabhängig das einfachste und am besten bekannte Paradoxon, das jetzt genannt wird Russells Paradox: Betrachten Sie "die Sets aller Sätze, die nicht Mitglieder von sich selbst sind", was zu einem Widerspruch führt, da es sich um ein Mitglied von sich selbst und kein Mitglied von sich selbst handelt. 1899 hatte Cantor selbst die Frage gestellt: "Was ist das Kardinalzahl von dem Satz aller Sätze? "und erhielt ein verwandtes Paradox Die Prinzipien der Mathematik. Eher als der Begriff einstellen, Russell verwendete den Begriff Klasse, was anschließend technisch mehr verwendet wurde.

1906 der Begriff einstellen erschien im Buch Theorie der Punktessätze^[6] von Ehemann und Ehefrau William Henry Young und Grace Chisholm Young, herausgegeben von Cambridge University Press.

Die Dynamik der Set -Theorie war so, dass die Debatte über die Paradoxien nicht zu ihrer Verlassenheit führte. Die Arbeit von Zermelo im Jahr 1908 und die Arbeit von Abraham Fraenkel und Thoralf Skolem 1922 führte die Axiomemenge ZFC, die zum am häufigsten verwendeten Satz von Axiomen für die festgelegte Theorie wurde. Die Arbeit von Analystenwie das von Henri Lebesgue, zeigte den großen mathematischen Nutzen der festgelegten Theorie, das seitdem in das Gewebe der modernen Mathematik eingebunden ist. Die festgelegte Theorie wird üblicherweise als Grundsystem verwendet, wenn auch in einigen Bereichen - wie z. Algebraische Geometrie und Algebraische Topologie—Kategoriestheorie wird als bevorzugtes Fundament angesehen.

Grundkonzepte und Notation

Die festgelegte Theorie beginnt mit einer grundlegenden binäre Beziehung zwischen einem Objekt o und ein Set A. Wenn o ist ein Mitglied (oder Element) von A, die Notation o ∈ A wird genutzt. Ein Satz wird beschrieben, indem Elemente auflistet, die durch Kommas getrennt sind, oder durch eine charakterisierende Eigenschaft seiner Elemente innerhalb von Klammern {}.^[7] Da Sets Objekte sind, kann die Mitgliedschaftsbeziehung auch die Sets in Beziehung setzen.

Eine abgeleitete binäre Beziehung zwischen zwei Mengen ist die Untergruppe, die auch genannt wird Einbeziehung einstellen. Wenn alle Mitglieder von Set A sind auch Mitglieder von Set B, dann A ist ein Teilmenge von B, bezeichnet A ⊆ B. Zum Beispiel, {1, 2} ist eine Teilmenge von {1, 2, 3}, und so ist {2} aber {1, 4} ist nicht. Wie diese Definition impliziert, ist ein Satz eine Teilmenge von sich. Für Fälle, in denen diese Möglichkeit ungeeignet ist oder sinnvoll ist, abgelehnt zu werden, der Begriff echte Teilmenge ist definiert. A wird als a genannt echte Teilmenge von B dann und nur dann, wenn A ist eine Teilmenge von B, aber A ist ungleich zu B. Auch 1, 2 und 3 sind Mitglieder (Elemente) des Satzes {1, 2, 3}, aber keine Teilmengen davon; und wiederum die Untergruppen, wie z. {1}, sind keine Mitglieder des Sets {1, 2, 3}.

Genauso wie Arithmetik Merkmale Binäre Operationen an Zahlen, set theory fasst binäre Operationen an Sätzen aus.^[8] Das Folgende ist eine Teilliste von ihnen:

• Union der Sets A und B, bezeichnet A ∪ B, ist die Menge aller Objekte, die ein Mitglied sind A, oder B, oder beides.^[9] Zum Beispiel die Vereinigung von {1, 2, 3} und {2, 3, 4} ist das Set {1, 2, 3, 4}.
• Überschneidung der Sets A und B, bezeichnet A ∩ B, ist die Menge aller Objekte, die Mitglieder beider sind A und B. Zum Beispiel der Schnittpunkt von {1, 2, 3} und {2, 3, 4} ist das Set {2, 3}.
• Unterschied setzen von U und A, bezeichnet U \ A, ist der Satz aller Mitglieder von U das sind nicht Mitglieder von A. Der festgelegte Unterschied {1, 2, 3} \ {2, 3, 4} ist {1}Während umgekehrt der festgelegte Unterschied {2, 3, 4} \ {1, 2, 3} ist {4}. Wann A ist eine Teilmenge von U, der festgelegte Unterschied U \ A wird auch die genannt ergänzen von A in U. In diesem Fall, wenn die Wahl von U ist aus dem Kontext klar, die Notation A^c wird manchmal anstelle von verwendet U \ A, besonders wenn U ist ein universelles Set wie in der Studie von Venn Diagramme.
• Symmetrischer Unterschied von Sätzen A und B, bezeichnet A △ B oder A ⊖ B, ist die Menge aller Objekte, die ein Mitglied von genau einem von sind A und B (Elemente, die sich in einem der Sets befinden, aber nicht in beiden). Zum Beispiel für die Sets {1, 2, 3} und {2, 3, 4}, der symmetrische Differenzsatz ist {1, 4}. Es ist der festgelegte Unterschied der Union und der Kreuzung, (A ∪ B) \ (A ∩ B) oder (A \ B) ∪ (B \ A).
• kartesisches Produkt von A und B, bezeichnet A × B, ist das Set, dessen Mitglieder alle möglich sind bestellte Paare (a, b), wo a ist ein Mitglied von A und b ist ein Mitglied von B. Zum Beispiel das kartesische Produkt von {1, 2} und {rot, weiß} ist {(1, rot), (1, weiß), (2, rot), (2, weiß)}.
• Leistungssatz eines Satzes A, bezeichnet ${\ displayStyle {\ mathcal {p}} (a)}$, ist das Set, dessen Mitglieder alle möglichen Teilmengen von sind A. Zum Beispiel der Leistungssatz von {1, 2} ist {{}, {1}, {2}, {1, 2}}.

Einige grundlegende Sätze von zentraler Bedeutung sind der Satz von von natürliche Zahlen, der Satz von reale Nummern und die leeres Set- Das einzigartige Satz, das keine Elemente enthält. Das leere Set wird gelegentlich auch das genannt Nullmenge,^[10] Obwohl dieser Name mehrdeutig ist und zu mehreren Interpretationen führen kann.

Ontologie

Ein Satz ist rein Wenn alle Mitglieder Sets sind, sind alle Mitglieder seiner Mitglieder Sätze und so weiter. Zum Beispiel der Satz Nur das leere Satz enthält ein nicht leeres reines Set. In der modernen Set -Theorie ist es üblich, die Aufmerksamkeit auf die zu beschränken von Neumann Universe von reinen Sätzen und vielen Systemen von Axiomatische Set -Theorie sind nur so ausgelegt, dass sie nur die reinen Sets axiomatisieren. Diese Einschränkung hat viele technische Vorteile, und es geht nur wenige Allgemeinheit, da im Wesentlichen alle mathematischen Konzepte durch reine Sets modelliert werden können. Sets im von Neumann -Universum sind in a organisiert kumulative Hierarchiebasierend darauf, wie tief ihre Mitglieder, Mitglieder von Mitgliedern usw. verschachtelt sind. Jeder in dieser Hierarchie festgelegte Set wird zugewiesen (von Transfinite Rekursion) ein Ordinalzahl ${\ displayStyle \ alpha}$, bekannt als seine Rang. Der Rang eines reinen Satzes ${\ displayStyle x}$ ist definiert als die geringste Ordinal, die streng größer ist als der Rang eines seiner Elemente. Zum Beispiel wird dem leeren Satz Rang 0 zugewiesen, während der Satz {{}} Nur der leere Satz enthält Rang 1 für jeden Ordinal zugewiesen ${\ displayStyle \ alpha}$, der Satz ${\ displayStyle v _ {\ alpha}}$ wird definiert, um aus allen reinen Sätzen mit weniger als Rang als zu bestehen ${\ displayStyle \ alpha}$. Das gesamte von Neumann -Universum wird bezeichnet${\ displayStyle v}$.

Formalisierte Set -Theorie

Die Elementar -Set -Theorie kann informell und intuitiv untersucht und daher in Grundschulen unterrichtet werden Venn Diagramme. Der intuitive Ansatz geht stillschweigend davon aus, dass aus der Klasse aller Objekte ein Satz gebildet werden kann, der eine bestimmte definierende Bedingung erfüllt. Diese Annahme führt zu Paradoxien, die einfachste und bekannteste von ihnen sind Russells Paradox und die Burali-Forti Paradox. Axiomatische Set -Theorie wurde ursprünglich entwickelt, um die festgelegte Theorie solcher Paradoxien zu befreien.^{[Anmerkung 1]}

Die am häufigsten untersuchten Systeme der axiomatischen Set -Theorie implizieren, dass alle Sätze a kumulative Hierarchie. Solche Systeme sind in zwei Geschmacksrichtungen erhältlich Ontologie besteht aus:

• Sets allein. Dies schließt die häufigste axiomatische Set -Theorie ein, ZErmelo–FRaenkel -Set -Theorie mit dem Axiom von cHoice (ZFC). Fragmente von ZFC enthalten:
  • Zermelo -Set -Theorie, was die ersetzt Axiomschema des Austauschs mit dem von Trennung;
  • Allgemeine festgelegte Theorieein kleines Fragment von Zermelo -Set -Theorie ausreichend für die Peano -Axiome und Finite -Sets;
  • Kripke -Platek -Set -Theorie, was die Axiome der Unendlichkeit weglassen, Poweret, und Auswahl, und schwächt die Axiomschemata von Trennung und Ersatz.
• Setzt und richtige Klassen. Diese beinhalten Von Neumann -Bernays -Gödel -Set -Theorie, was die gleiche Stärke hat wie ZFC für Theoreme über Sets allein und Morse -Kelley -Set -Theorie und Tarski -Grothendieck -Set -Theoriebeide sind stärker als ZFC.

Die oben genannten Systeme können geändert werden, um zuzulassen Urelemente, Objekte, die Mitglieder von Sets sein können, aber nicht selbst Sätze sind und keine Mitglieder haben.

Das Neufundamente Systeme von NFU (zulässt Urelemente) und Nf (ohne sie) basieren nicht auf einer kumulativen Hierarchie. NF und NFU umfassen eine "Reihe von allem", relativ zu dem, was jeder Satz ergänzt. In diesen Systemen sind Urelemente von Bedeutung, da NF, aber nicht die NFU Sätze erzeugt, für die die Axiom der Wahl hält nicht. Trotz der Ontologie von NF, die die traditionelle kumulative Hierarchie nicht widerspiegelt und die Wohlbefinden verletzt, ist es Thomas Forster hat argumentiert, dass es eine iterative Konzeption von Set widerspiegelt.^[11]

Systeme von Konstruktive festgelegte Theorie, wie CST, CZF und IZF, betten ihre festgelegten Axiome in ein intuitionistisch Anstatt von klassische Logik. Andere Systeme akzeptieren klassische Logik, weisen jedoch eine nicht standardmäßige Mitgliedschaftsbeziehung auf. Diese beinhalten Rough -Set -Theorie und Fuzzy -Set -Theorie, in welchem ​​Wert der Wert Atomformel Die Mitgliedsbeziehung zu verkörpern ist nicht einfach WAHR oder FALSCH. Das Boolesche Modelle von ZFC sind ein verwandtes Thema.

Eine Anreicherung von ZFC genannt Interne Set -Theorie wurde vorgeschlagen von Edward Nelson 1977.

Anwendungen

Viele mathematische Konzepte können genau unter Verwendung von nur festgelegten theoretischen Konzepten definiert werden. Zum Beispiel mathematische Strukturen, die so unterschiedlich sind wie Grafiken, Verteiler, Ringe, Vektorräume, und Relationale Algebren können alle als Mengen definiert werden, die verschiedene (axiomatische) Eigenschaften erfüllen. Gleichwertigkeit und Bestellbeziehungen sind allgegenwärtig in der Mathematik und die Theorie der Mathematik Beziehungen kann in der Set -Theorie beschrieben werden.^[12][13]

Die Set -Theorie ist auch ein vielversprechendes Grundsystem für einen Großteil der Mathematik. Seit der Veröffentlichung des ersten Bandes von Principia MathematicaEs wurde behauptet, dass die meisten (oder sogar alle) mathematischen Theoreme unter Verwendung eines treffend entworfenen Satzes von Axiomen für die festgelegte Theorie abgeleitet werden können, die mit vielen Definitionen erweitert werden, die verwendet werden Erste oder Logik zweiter Ordnung. Zum Beispiel Eigenschaften der natürlich und reale Nummern kann in der festgelegten Theorie abgeleitet werden, da jedes Zahlensystem mit einem Satz von identifiziert werden kann Äquivalenzklassen unter einem geeigneten Äquivalenzbeziehung Wessen Feld ist einige Infinite Set.

Festlegen die Theorie als Grundlage für Mathematische Analyse, Topologie, Zusammenfassung Algebra, und Diskrete Mathematik ist ebenfalls unumstritten; Mathematiker akzeptieren (im Prinzip), dass Theoreme in diesen Bereichen aus den relevanten Definitionen und den Axiomen der festgelegten Theorie abgeleitet werden können. Es bleibt jedoch, dass nur wenige vollständige Ableitungen komplexer mathematischer Theoreme aus der festgelegten Theorie offiziell überprüft wurden, da solche formalen Ableitungen oft viel länger sind als die üblicherweise vorhandenen mathematischen Mathematiker der natürlichen Sprache. Ein Überprüfungsprojekt, Metamath, beinhalt ZFC Mengenlehre, Logik erster Ordnung und Aussagelogik.^[14]

Studienbereiche

Die Set -Theorie ist ein Hauptforschungsergebnis in der Mathematik mit vielen miteinander verbundenen Unterfeldern.

Kombinatorische Set -Theorie

Kombinatorische Set -Theorie Bedenken verlängerungen von endlicher Kombinatorik zu unendlichen Sätzen. Dies beinhaltet das Studium von Kardinalarithmetik und die Untersuchung von Erweiterungen von Ramsey's Theorem so wie die Erdős–Rado theorem.

Beschreibende festgelegte Theorie

Beschreibende festgelegte Theorie ist das Studium der Untergruppen der echte Linie und allgemeiner unter Teilmengen von Polnische Räume. Es beginnt mit dem Studium von Punktklassen in dem Borelhierarchie und erstreckt sich auf die Untersuchung komplexerer Hierarchien wie die projektive Hierarchie und die Wadge Hierarchie. Viele Eigenschaften von Borel -Sets Kann in ZFC festgelegt werden, aber das Nachweis dieser Eigenschaften für kompliziertere Sets erfordert zusätzliche Axiome, die sich auf die Determinität und große Kardinäle beziehen.

Das Feld von Effektive deskriptive Mengentheorie ist zwischen der festgelegten Theorie und Rekursionstheorie. Es beinhaltet das Studium von Leichtface -Punktklassenund ist eng verwandt mit Hyperarithmetische Theorie. In vielen Fällen haben die Ergebnisse der klassischen deskriptiven festgelegten Theorie wirksame Versionen. In einigen Fällen werden neue Ergebnisse erzielt, indem zuerst die effektive Version beweisen und sie dann erweitert ("Relativisierung"), um sie allgemeiner zu gestalten.

Ein kürzlich von Forschungsbedenken befindlicher Bereich Boreläquivalenzbeziehungen und komplizierter definierbar Äquivalenzbeziehungen. Dies hat wichtige Anwendungen für die Untersuchung von Invarianten in vielen Bereichen der Mathematik.

Fuzzy -Set -Theorie

In der festgelegten Theorie als Kantor Definiert und Zermelo und Fraenkel Axiomatized ist ein Objekt entweder ein Mitglied eines Satzes oder nicht. Im Fuzzy -Set -Theorie Dieser Zustand wurde durch entspannt Lotfi A. Zadeh Ein Objekt hat also eine Mitgliedergrad In einem Satz ist eine Zahl zwischen 0 und 1 zum Beispiel der Grad der Mitgliedschaft einer Person in der Reihe von "großen Menschen" flexibler als eine einfache Antwort für Ja oder Nein und kann eine reelle Zahl wie 0,75 sein.

Innere Modelltheorie

Ein inneres Modell von Zermelo -Fraenkel -Set -Theorie (ZF) ist ein Transitiver Klasse Dies schließt alle Ordnungen ein und erfüllt alle Axiome von ZF. Das kanonische Beispiel ist das Konstruktbares Universum L entwickelt von Gödel. Ein Grund, warum die Untersuchung innerer Modelle von Interesse ist, ist, dass sie verwendet werden kann, um Konsistenzergebnisse zu beweisen. Zum Beispiel kann gezeigt werden, dass unabhängig davon, ob ein Modell V von ZF erfüllt die Kontinuumshypothese oder der Axiom der Wahl, das innere Modell L Das im ursprünglichen Modell konstruierte Modell erfüllt sowohl die verallgemeinerte Kontinuumshypothese als auch das Axiom der Wahl. Die Annahme, dass ZF konsistent ist (hat mindestens ein Modell), impliziert, dass ZF zusammen mit diesen beiden Prinzipien konsistent ist.

Die Untersuchung von inneren Modellen ist bei der Untersuchung von häufig Bestimmung und Große Kardinäleinsbesondere wenn man Axiome wie das Axiom der Determinität berücksichtigt, die dem Axiom der Wahl widersprechen. Selbst wenn ein festes Modell der festgelegten Theorie das Axiom der Wahl erfüllt, kann ein inneres Modell das Axiom der Wahl nicht erfüllen. Zum Beispiel impliziert die Existenz von ausreichend großen Kardinälen, dass ein inneres Modell das Axiom der Determinität erfüllt (und damit das Axiom der Wahl nicht erfüllt).^[15]

Große Kardinäle

A Großer Kardinal ist eine Kardinalzahl mit einer zusätzlichen Eigenschaft. Viele solcher Eigenschaften werden untersucht, einschließlich Unzugängliche Kardinäle, messbare Kardinäle, und viele mehr. Diese Eigenschaften implizieren typischerweise, dass die Kardinalzahl sehr groß sein muss, wobei das Vorhandensein eines Kardinals mit der angegebenen Eigenschaft nicht in beunruhigt ist Zermelo -Fraenkel -Set -Theorie.

Bestimmung

Bestimmung Bezieht sich auf die Tatsache, dass bestimmte Zwei-Spieler-Spiele perfekter Informationen von Anfang an in dem Sinne bestimmt werden, dass ein Spieler eine Gewinnstrategie haben muss. Die Existenz dieser Strategien hat wichtige Konsequenzen in der deskriptiven festgelegten Theorie, da die Annahme, dass eine breitere Klasse von Spielen festgestellt wird, häufig impliziert, dass eine breitere Klasse von Sets über eine topologische Eigenschaft verfügt. Das Axiom der Determinität (AD) ist ein wichtiges Studienobjekt; AD impliziert zwar nicht mit dem Axiom der Wahl, impliziert, dass alle Teilmengen der realen Linie gut verhalten sind (insbesondere, messbar und mit der perfekten Set -Eigenschaft). AD kann verwendet werden, um zu beweisen, dass die Wadge -Abschluss eine elegante Struktur haben.

Zwingen

Paul Cohen erfand die Methode von zwingen Auf der Suche nach einem Modell von ZFC in welcher Kontinuumshypothese versagt oder ein Modell von ZF, in dem die Axiom der Wahl scheitert. Erzwingen Sie Angriffen an ein bestimmtes Modell der festgelegten Theorie zusätzliche Sätze, um ein größeres Modell mit den ermittelten (d. H. "erzwungenen" Eigenschaften durch die Konstruktion und das ursprüngliche Modell zu erstellen. Zum Beispiel wird Cohens Bau an zusätzliche Teilmengen der natürliche Zahlen ohne die von der zu ändern Kardinalzahlen des ursprünglichen Modells. Forcieren ist auch eine von zwei Methoden zum Beweisen relative Konsistenz nach endistischen Methoden ist die andere Methode Boolesche Modelle.

Kardinalinvarianten

A Kardinalinvariante ist eine Eigenschaft der realen Linie, die mit einer Kardinalzahl gemessen wird. Zum Beispiel ist eine gut untersuchte Invariante die kleinste Kardinalität einer Sammlung von Tanker Sets von Realen, deren Vereinigung die gesamte reale Linie ist. Dies sind Invarianten in dem Sinne, dass zwei beliebige isomorphe Modelle der festgelegten Theorie für jede Invariante den gleichen Kardinal geben müssen. Viele Kardinalinvarianten wurden untersucht, und die Beziehungen zwischen ihnen sind oft komplex und sind mit Axiomen der festgelegten Theorie zusammenhängen.

Set-theoretische Topologie

Set-theoretische Topologie Studien Fragen von Allgemeine Topologie Das sind set-theoretischer Natur oder erfordern fortgeschrittene Methoden der festgelegten Theorie für ihre Lösung. Viele dieser Theoreme sind unabhängig von ZFC und erfordern stärkere Axiome für ihren Beweis. Ein berühmtes Problem ist das Normale Moore -Raumfrage, eine Frage in der allgemeinen Topologie, die Gegenstand intensiver Forschung war. Die Antwort auf die normale Frage des Moore -Raums wurde schließlich als unabhängig von ZFC erwiesen.

Einwände zur Festlegung der Theorie

Aus der Inception von Set Theory, einige Mathematiker dagegen beanstandet Als ein Grundlage für Mathematik. Der häufigste Einwand, um die Theorie festzulegen, eine Kronecker in den frühesten Jahren der Theorie der Theorie geäußert, beginnt von der Konstruktivist Betrachten Sie, dass die Mathematik lose mit der Berechnung zusammenhängt. Wenn diese Ansicht gewährt wird, dann die Behandlung von unendlichen Sätzen, beide in naiv und in der axiomatischen Set -Theorie führt die Mathematikmethoden und -objekte ein, die auch im Prinzip nicht berechnet werden können. Die Machbarkeit des Konstruktivismus als Ersatzstiftung für Mathematik wurde durch stark erhöht Errett Bishopeinflussreiches Buch Grundlagen der konstruktiven Analyse.^[16]

Ein anderer Einwand durch Henri Poincaré ist das definierende Mengen mit den Axiomschemata von Spezifikation und Ersatz, ebenso wie Axiom des Leistungssatzesvorstellt Impredikativität, Eine Art von Zirkularität, in die Definitionen mathematischer Objekte. Der Umfang der vorsichtig gegründeten Mathematik, aber weniger als der der allgemein anerkannten Zermelo -Fraenkel -Theorie, ist viel größer als die der konstruktiven Mathematik, bis zu dem Punkt, an dem Solomon Feferman hat gesagt, dass "alle wissenschaftlich anwendbaren Analysen [mit prädiktativen Methoden] entwickelt werden können".^[17]

Ludwig Wittgenstein Verurteilte Set -Theorie philosophisch für seine Konnotationen von mathematischer Platonismus.^[18] Er schrieb, dass "Set -Theorie falsch ist", da sie auf dem "Unsinn" der fiktiven Symbolik aufbaut, "schädliche Redewendungen" hat und dass es unsinnig ist, über "alle Zahlen" zu sprechen.^[19] Wittgenstein identifizierte Mathematik mit algorithmischem menschlichem Abzug;^[20] Die Notwendigkeit einer sicheren Grundlage für die Mathematik schien ihm unsinnig.^[21] Da die menschliche Anstrengung notwendigerweise endlich ist, erforderte Wittgensteins Philosophie ein ontologisches Engagement für radikal Konstruktivismus und Finitismus. Meta-mathematische Aussagen-die für Wittgenstein alle Aussagen, die über unendliche Domänen quantifiziert wurden, und damit fast alle modernen Set-Theorien-keine Mathematik sind.^[22] Nur wenige moderne Philosophen haben Wittgensteins Ansichten nach einem spektakulären Fehler in übernommen Remarks on the Foundations of Mathematics: Wittgenstein versucht zu widerlegen Gödels unvollständige Theoreme Nachdem ich nur die Zusammenfassung gelesen habe. Als Rezensenten Kreisel, Bernays, Dummett, und Goodstein Alle wiesen darauf hin, dass viele seiner Kritiken nicht vollständig auf das Papier gelten. Erst kürzlich haben Philosophen wie Crispin Wright begann, Wittgensteins Argumente zu rehabilitieren.^[23]

Kategorie -Theoretiker haben vorgeschlagen Topos -Theorie als Alternative zur traditionellen axiomatischen Set -Theorie. Die Topos -Theorie kann verschiedene Alternativen zu dieser Theorie interpretieren, wie z. Konstruktivismus, Finite -Set -Theorie und berechenbar Mengenlehre.^[24][25] Topoi verleiht auch eine natürliche Kulisse für das Erzwingen und Diskussionen über die Unabhängigkeit der Wahl von ZF sowie die Bereitstellung des Rahmens für sinnlose Topologie und Steinräume.^[26]

Ein aktives Forschungsbereich ist das Univalente Grundlagen und damit zu tun Homotopie -Typ Theorie. Innerhalb der Homotopie-Typtheorie kann ein Satz als Homotopy 0-Typ mit angesehen werden, mit Universelle Eigenschaften von Sätzen, die sich aus den induktiven und rekursiven Eigenschaften von von ergeben Höhere induktive Typen. Prinzipien wie die Axiom der Wahl und die Gesetz der ausgeschlossenen Mitte kann in einer Weise formuliert werden, die der klassischen Formulierung in der festgelegten Theorie oder möglicherweise in einem Spektrum mit unterschiedlichen Arten entspricht, die für die Typtheorie einzigartig sind. Einige dieser Prinzipien können sich als Folge anderer Prinzipien erwiesen. Die Vielfalt der Formulierungen dieser axiomatischen Prinzipien ermöglicht eine detaillierte Analyse der erforderlichen Formulierungen, um verschiedene mathematische Ergebnisse abzuleiten.^[27][28]

Festgelegte Theorie in der mathematischen Bildung

Als die festgelegte Theorie als Grundlage für die moderne Mathematik beliebt wurde, wurde die Idee unterstützt, die Grundlagen von vorzustellen Naive Set -Theorie früh rein kommen Mathematikausbildung.

In den USA in den 1960er Jahren die Neue Mathematik Experiment zielte darauf ab, die grundlegende festgelegte Theorie unter anderem zu lehren, um Grundschule Studenten, waren aber viel Kritik gestellt. Der Mathematik -Lehrplan in europäischen Schulen folgte diesem Trend und umfasst derzeit das Fach auf verschiedenen Ebenen in allen Klassen. Venn Diagramme sind weithin eingesetzt, um grundlegende setztheoretische Beziehungen zu erklären Grundschule Studenten (obwohl John Venn Ursprünglich entwickelte sie als Teil eines Verfahrens zur Beurteilung der Gültigkeit von Schlussfolgerungen in Begriff Logik).

Die festgelegte Theorie wird verwendet, um die Schüler vorzustellen logische Operatoren (Nicht und, oder) und semantische oder Regelbeschreibung (technisch gesehen intensionale Definition^[29]) von Mengen (z. B. "Monate, die mit dem Buchstaben beginnen A"), was beim Lernen nützlich sein kann Computerprogrammierung, seit Boolesche Logik wird in verschiedenen verwendet Programmiersprachen. Ebenfalls, Sets und andere kollektionsähnliche Objekte wie z. Multisets und Listen, sind üblich Datentypen in Informatik und Programmierung.

Darüber hinaus, Sets werden im mathematischen Unterricht allgemein erwähnt, wenn sie über verschiedene Arten von Zahlen sprechen (ℕ, ℤ, ℝ, ...) und bei der Definition a Mathematische Funktion als Beziehung von einem einstellen (das Domain) zum anderen einstellen (das Angebot).

Siehe auch

• Glossar der festgelegten Theorie
• Klasse (festgelegte Theorie)
• Liste der Set -Theorie -Themen
• Relationales Modell- Darlehen aus der Set -Theorie
• Venn-Diagramm

Anmerkungen

Verweise

• Kunen, Kenneth (1980), SET -Theorie: Eine Einführung in Unabhängigkeitsbeweise, Nordholland, ISBN 0-444-85401-0
• Johnson, Philip (1972), Eine Geschichte der festgelegten Theorie, Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-154-6

Weitere Lektüre

• Devlin, Keith (1993), Die Freude an Sätzen (2. Aufl.), Springer Verlag, ISBN 0-387-94094-4
• Ferreirós, Jose (2001), Labyrinth des Denkens: Eine Geschichte der festgelegten Theorie und ihre Rolle in der modernen Mathematik, Berlin: Springer, ISBN 978-3-7643-5749-8
• Monk, J. Donald (1969), Einführung in die festgelegte Theorie, McGraw-Hill Book Company, ISBN 978-0-898-74006-6
• Potter, Michael (2004), Festgelegte Theorie und ihre Philosophie: Eine kritische Einführung, Oxford University Press, ISBN 978-0-191-55643-2
• Smullyan, Raymond M.; Anpassung, Melvin (2010), Set Theory und das Kontinuumsproblem, Dover Publications, ISBN 978-0-486-47484-7
• Fliesen, Mary (2004), Die Philosophie der festgelegten Theorie: Eine historische Einführung in das Paradies von Cantor, Dover Publications, ISBN 978-0-486-43520-6

Externe Links

• Daniel Cunningham, Mengenlehre Artikel in der Internet -Enzyklopädie der Philosophie.
• Jose Ferreis, "Die frühe Entwicklung der festgelegten Theorie" Artikel in der [Stanford Encyclopedia of Philosophy].
• Vorarbeiter, Matthew, Akihiro Kanamori, eds. Handbuch der festgelegten Theorie. 3 Vols., 2010. Jedes Kapitel untersucht einige Aspekte der zeitgenössischen Forschung in der festgelegten Theorie. Deckt nicht die etablierte Elementar -Set -Theorie ab, über die Devlin (1993).
• "Axiomatische Set -Theorie", Enzyklopädie der Mathematik, EMS Press, 2001 [1994]
• "Mengenlehre", Enzyklopädie der Mathematik, EMS Press, 2001 [1994]
• Schönflies, Arthur (1898). Mengenlehre in Kleins Enzyklopädie.
• Online -Bücher und Bibliotheksressourcen in Ihrer Bibliothek und in anderen Bibliotheken über die festgelegte Theorie
• Rudin, Walter B. (6. April 1990). "Set -Theorie: Ein Nachkommen der Analyse". Marden Lecture in Mathematik. Universität von Wisconsin-Milwaukee. Archiviert vom Original am 2021-10-31-über Youtube.