Set (Mathematik)

In diesem Artikel geht es darum, was Mathematiker als "intuitive" oder "naive" Set -Theorie bezeichnen. Für ein detaillierteres Konto siehe Naive Set -Theorie. Für eine strenge moderne axiomatische Behandlung von Sets siehe Mengenlehre.
Eine Reihe von Polygonen in einem Euler -Diagramm

A einstellen ist der mathematisches Modell für eine Sammlung verschiedener[1] Dinge;[2][3][4] Ein Satz enthält Elemente oder Mitglieder, welches sein kann mathematische Objekte jeglicher Art: Zahlen, Symbole, Punkte im Raum, Linien, andere geometrische Formen, Variablen oder sogar andere Sätze.[5] Das Set ohne Element ist das leeres Set; Ein Satz mit einem einzelnen Element ist a Singleton. Ein Satz kann eine begrenzte Anzahl von Elementen haben oder ein sein Infinite Set. Zwei Sätze sind gleich, wenn sie genau die gleichen Elemente haben.[6]

Sets sind in der modernen Mathematik allgegenwärtig. In der Tat, Mengenlehre, genauer Zermelo -Fraenkel -Set -Theorie, war die Standardmethode, um streng zu liefern Fundamente für alle Zweige der Mathematik seit der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts.[5]

Geschichte

Hauptartikel: Mengenlehre

Das Konzept eines Sets entstand am Ende des 19. Jahrhunderts in der Mathematik.[7] Das deutsche Wort für Set, Mengewurde von geprägt von Bernard Bolzano In seiner Arbeit Paradoxien der Unendlichen.[8][9][10]

Durchgang mit einer Übersetzung der ursprünglichen Set -Definition von Georg Cantor. Das deutsche Wort Menge zum einstellen wird übersetzt mit Aggregat hier.

Georg Cantor, einer der Gründer der Set -Theorie, gab zu Beginn seiner folgenden Definition die folgende Definition Beiträge Zurgerdung der Transfiniten Mengenlehre:[1]

Ein Set ist eine Versammlung zu einer ganzen bestimmten, unterschiedlichen Objekten unserer Wahrnehmung oder unseres Gedankens - die als Elemente des Sets bezeichnet werden.

Bertrand Russell A Set a Klasse:[11]

Wenn Mathematiker mit einem Verteiler umgehen, aggregiert, Menge, Ensembleoder ein äquivalenter Name ist üblich, insbesondere wenn die Anzahl der beteiligten Begriffe endlich ist, um das betreffende Objekt (das tatsächlich eine Klasse ist) zu betrachten, wie sie durch die Aufzählung seiner Begriffe definiert ist und möglicherweise möglicherweise aus einer einzigen besteht Begriff, der in diesem Fall ist die Klasse.

Naive Set -Theorie

Hauptartikel: Naive Set -Theorie

Die wichtigste Eigenschaft eines Satzes ist, dass es Elemente haben kann, auch genannt Mitglieder. Zwei Sätze sind gleich Wenn sie die gleichen Elemente haben. Genauer gesagt Sätze A und B sind gleich, wenn jedes Element von A ist ein Element von Bund jedes Element von B ist ein Element von A; Diese Eigenschaft heißt das Verlängerung von Sätzen.[12]

Das einfache Konzept eines Satzes hat sich in der Mathematik als enorm als nützlich erwiesen, aber Paradoxe entstehen, wenn keine Einschränkungen auf die Konstruktion von Sätzen aufgestellt werden können:

  • Russells Paradox zeigt, dass die "Set aller Sätze das setzt enthalten sich nicht", d.h., {{x | x ist ein Set und x ∉ x}, kann nicht existieren.
  • Cantors Paradoxon zeigt, dass "der Satz aller Sätze" nicht existieren kann.

Naive Set -Theorie definiert einen Satz wie jeder andere gut definiert Sammlung verschiedener Elemente, aber Probleme ergeben sich aus der Unbestimmtheit des Begriffs gut definiert.

Axiomatische Set -Theorie

Bei späteren Bemühungen, diese Paradoxe seit dem Zeitpunkt der ursprünglichen Formulierung der naiven festgelegten Theorie zu lösen, wurden die Eigenschaften von Sätzen durch definiert durch Axiome. Axiomatische Set -Theorie nimmt das Konzept eines Satzes als primitive Begriff.[13] Der Zweck der Axiome besteht darin, einen grundlegenden Rahmen zu bieten, aus dem die Wahrheit oder Falschheit bestimmter bestimmt ist Mathematische Aussagen (Aussagen) zu Sätzen, die verwenden Logik erster Ordnung. Entsprechend Gödels unvollständige Theoreme Es ist jedoch nicht möglich, Logik erster Ordnung zu verwenden, um zu beweisen, dass eine solche bestimmte axiomatische Set-Theorie frei von Paradoxon ist.

Wie Sätze definiert werden und Notation festgelegt werden

Mathematische Texte bezeichnen üblicherweise Sätze von Großbuchstaben[14][5] in kursiv, wie zum Beispiel A, B, C.[15] Ein Satz kann auch als a genannt werden Sammlung oder Familie, besonders wenn seine Elemente selbst Sätze sind.

Dienstplannotation

Dienstplan oder Aufzählungsnotation definiert einen Satz durch Auflisten seiner Elemente zwischen geschweifte Klammern, durch Kommata abgetrennt:[16][17][18][19]

A = {4, 2, 1, 3}
B = {blau, weiß, rot}.

In einem Satz ist alles, was zählt, ob sich jedes Element darin befindet oder nicht. Die Reihenfolge der Elemente in der Kadernotation ist also (dagegen in einem Reihenfolge, a Tupel, oder ein Permutation Von einem Satz ist die Bestellung der Begriffe wichtig). Zum Beispiel, {2, 4, 6} und {4, 6, 4, 2} den gleichen Satz darstellen.[20][15][21]

Für Sets mit vielen Elementen, insbesondere solchen, die einem impliziten Muster folgen, kann die Liste der Mitglieder mit einem abgekürzt werden Ellipse '...'.[22][23] Zum Beispiel kann der Satz der ersten tausend positiven Ganzzahlen in der Kadernotation als angegeben werden

{1, 2, 3, ..., 1000}.

Unendliche Sätze in der Kadernotation

Ein Infinite Set ist ein Set mit einer endlosen Liste von Elementen. Um einen unendlichen Set in der Kadernotation zu beschreiben, wird am Ende der Liste oder an beiden Enden eine Ellipse platziert, um anzuzeigen, dass die Liste für immer andauert. Zum Beispiel der Satz von Nichtnegative Ganzzahlen ist

{0, 1, 2, 3, 4, ...},

und das Set von allen Ganzzahlen ist

{..., –3, –2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Semantische Definition

Eine andere Möglichkeit, einen Satz zu definieren, besteht darin, eine Regel zu verwenden, um festzustellen, welche Elemente sind:

Lassen A Seien Sie das Set, dessen Mitglieder die ersten vier positiv sind Ganzzahlen.
Lassen B Seien Sie die Farben der Farben der französische Flagge.

Eine solche Definition wird a genannt Semantische Beschreibung.[24][25]

Set-Builder-Notation

Hauptartikel: Set-Builder-Notation

Die Set-Builder-Notation gibt einen Satz als Auswahl aus einem größeren Satz an, der durch eine Bedingung auf den Elementen bestimmt wird.[25][26][27] Zum Beispiel ein Satz F kann wie folgt definiert werden:

In dieser Notation die vertikale Balken "|" bedeutet "so, dass" und die Beschreibung als "interpretiert werden kann"F ist der Satz aller Zahlen n so dass n ist eine Ganzzahl im Bereich von 0 bis 19 inklusive ". Einige Autoren verwenden a Doppelpunkt ":" anstelle der vertikalen Balken.[28]

Definitionsmethoden klassifizieren

Philosophie Verwendet bestimmte Begriffe, um Arten von Definitionen zu klassifizieren:

  • Ein intensionale Definition verwendet a Regel Mitgliedschaft bestimmen. Semantische Definitionen und Definitionen mit Set-Builder-Notation sind Beispiele.
  • Ein Erweiterungsdefinition beschreibt einen Satz von Alle Elemente auflisten.[25] Solche Definitionen werden auch genannt Auflaufend.
  • Ein Ostsive Definition ist einer, der eine Menge beschreibt, indem man Geben gibt Beispiele von Elementen; Ein Dienstplan mit einer Ellipsis wäre ein Beispiel.

Mitgliedschaft

Hauptartikel: Element (Mathematik)

Wenn B ist ein Set und x ist ein Element von BDies ist in Kurzschrift als geschrieben als x ∈ B, was auch als "gelesen werden kann"x gehört B", oder "x ist in B".[12] Die Aussage "y ist kein Element von B"ist geschrieben als y ∉ B, was auch als "gelesen werden kann"y ist nicht in B".[29][30]

Zum Beispiel in Bezug auf die Sets A = {1, 2, 3, 4}, B = {blau, weiß, rot}, und F = {{n | n ist eine Ganzzahl und 0 ≤ n ≤ 19}Anwesend

4 ∈ A und 12 ∈ F; und
20 ∉ F und grün ∉ B.

Das leere Set

Hauptartikel: Leeres Set

Das leeres Set (oder Nullmenge) ist das einzigartige Set, das keine Mitglieder hat. Es ist bezeichnet ∅ oder oder { }[31][32] oder ϕ[33] (oder ϕ).[34]

Singleton -Sets

Hauptartikel: Singleton (Mathematik)

A Singleton -Set ist ein Satz mit genau einem Element; Ein solcher Satz kann auch als a genannt werden Einheitset.[6] Ein solches Set kann als {geschrieben werdenx}, wo x ist das Element. Der Satz {x} und das Element x meine verschiedene Dinge meinen; Halmos[35] Zeichnet die Analogie, dass eine Box mit einem Hut nicht dasselbe ist wie der Hut.

Untergruppen

Hauptartikel: Teilmenge

Wenn jedes Element des Sets A ist auch in B, dann A wird als a Teilmenge von b, oder enthalten in b, geschrieben A ⊆ B,[36] oder B ⊇ A.[37] Die letztere Notation kann gelesen werden B enthält a, B enthält a, oder B ist ein Superset von a. Das Beziehung zwischen den durch ⊆ festgelegten Sets heißt ⊆ Aufnahme oder Eindämmung. Zwei Sätze sind gleich, wenn sie sich enthalten: A ⊆ B und B ⊆ A ist äquivalent zu A = B.[26]

Wenn A ist eine Teilmenge von B, aber A ist ungleich zu B, dann A wird als a genannt echte Teilmenge von B. Dies kann geschrieben werden A ⊊ B. Ebenfalls, B ⊋ A meint B ist ein richtiges Superet von a, d.h. B enthält Aund ist nicht gleich A.

Ein drittes Paar von Operatoren ⊂ und ⊃ wird von verschiedenen Autoren unterschiedlich verwendet: Einige Autoren verwenden A ⊂ B und B ⊃ A meinen A ist jede Teilmenge von B (und nicht unbedingt eine ordnungsgemäße Teilmenge),[38][29] während andere reservieren A ⊂ B und B ⊃ A für Fälle, in denen A ist eine ordnungsgemäße Teilmenge von B.[36]

Beispiele:

  • Der Satz aller Menschen ist eine ordnungsgemäße Teilmenge des Satzes aller Säugetiere.
  • {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}.
  • {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}.

Das leere Satz ist eine Teilmenge jedes Satzes,[31] Und jeder Satz ist eine Teilmenge von sich selbst:[38]

  • ∅ ⊆ A.
  • A ⊆ A.

Euler- und Venn -Diagramme

A ist eine Teilmenge von B.
B ist ein Superset von A.

Ein Euler -Diagramm ist eine grafische Darstellung einer Sammlung von Sets; Jeder Satz wird als planarer Region dargestellt, das von einer Schleife eingeschlossen ist, wobei seine Elemente im Inneren sind. Wenn A ist eine Teilmenge von B, dann die Region repräsentiert A ist vollständig in der Region dargestellt B. Wenn zwei Sätze keine gemeinsamen Elemente haben, überlappen sich die Regionen nicht.

A Venn-DiagrammIm Gegensatz dazu ist eine grafische Darstellung von n Sätze, in denen die n Schleifen teilen das Flugzeug in ein 2n Zonen so, dass für jede Art der Auswahl einiger der von der Auswahl n Sets (möglicherweise alle oder keine) gibt es eine Zone für die Elemente, die allen ausgewählten Sätzen und keinem der anderen gehören. Zum Beispiel, wenn die Sets sind A, B, und CEs sollte eine Zone für die Elemente geben, die sich darin befinden A und C und draußen B (Auch wenn solche Elemente nicht existieren).

Spezielle Zahlensätze in Mathematik

Das natürliche Zahlen sind in der enthalten Ganzzahlen , die in der enthalten sind Rationale Zahlen , die in der enthalten sind reale Nummern , die in der enthalten sind komplexe Zahlen

Es gibt Sätze von solch mathematischer Bedeutung, auf die sich Mathematiker so häufig beziehen, dass sie spezielle Namen und Notationskonventionen erworben haben, um sie zu identifizieren.

Viele dieser wichtigen Sets sind in mathematischen Texten unter Verwendung von BALD (z. ) oder Blackboard fett (z.B. ) Schrift.[39] Diese beinhalten

  • oder , der Satz von allen natürliche Zahlen: (Oft schließen die Autoren aus 0);[39]
  • oder , der Satz von allen Ganzzahlen (ob positiv, negativ oder null): ;[39]
  • oder , der Satz von allen Rationale Zahlen (Das heißt, das Set von allen richtig und unsachgemäße Brüche): . Zum Beispiel, − 7/4 ∈ Q und 5 = 5/1 ∈ Q;[39]
  • oder , der Satz von allen reale Nummern, einschließlich aller rationalen Zahlen und alle irrational Zahlen (darunter auch Algebraische Zahlen wie zum Beispiel das kann nicht als Brüche neu geschrieben werden Transzendentale Zahlen wie zum Beispiel π und e);[39]
  • oder , der Satz von allen komplexe Zahlen: C = {{a + Bi | a, b ∈ R}, zum Beispiel, 1 + 2i ∈ C.[39]

Jeder der oben genannten Zahlensätze hat eine unendliche Anzahl von Elementen. Jedes ist eine Teilmenge der unten aufgeführten Sätze.

Sätze positiver oder negativer Zahlen werden manchmal mit Superscript Plus bzw. minus Zeichen bezeichnet. Zum Beispiel, repräsentiert die Menge der positiven rationalen Zahlen.

Funktionen

A Funktion (oder Kartierung) von einem Satz A zu einem Satz B ist eine Regel, die jedem "Eingabe" -Element von zuweist A ein "Ausgang", das ein Element von ist B; formell ist eine Funktion eine besondere Art von Beziehung, eine, die jedes Element von bezieht A zu genau eins Element von B. Eine Funktion wird genannt

  • injektiv (oder eins zu eins), wenn es zwei verschiedene Elemente von ordnet A zu anders Elemente von B,
  • surjektiv (oder auf) wenn für jedes Element von BEs gibt mindestens ein Element von A das karten darauf und
  • Bijektiv (oder eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz) Wenn die Funktion sowohl injektiv als auch surjektiv ist-in diesem Fall jedes Element von A ist mit einem einzigartigen Element von gepaart Bund jedes Element von B ist mit einem einzigartigen Element von gepaart A, damit es keine ungepaarten Elemente gibt.

Eine Injektivfunktion wird als eine bezeichnet Injektion, eine surjektive Funktion wird a genannt Umfrageund eine bijektive Funktion wird a genannt Bijection oder Eins-zu-eins-Korrespondenz.

Kardinalität

Hauptartikel: Kardinalität

Die Kardinalität eines Satzes S, bezeichnet |S|, ist die Anzahl der Mitglieder von S.[40] Zum Beispiel wenn B = {blau, weiß, rot}, dann |B| = 3. Wiederholte Mitglieder in der Kadernotation werden nicht gezählt,[41][42] Also |{blau, weiß, rot, blau, weiß}| = 3, zu.

Offiziell teilen zwei Sätze dieselbe Kardinalität, wenn es eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen ihnen gibt.

Die Kardinalität des leeren Satzes ist Null.[43]

Unendliche Sets und unendliche Kardinalität

Die Liste der Elemente einiger Sets ist endlos oder unendlich. Zum Beispiel der Satz von natürliche Zahlen ist unendlich.[26] Tatsächlich sind alle im obigen Abschnitt genannten speziellen Zahlensätze unendlich. Unendliche Sets haben Unendliche Kardinalität.

Einige unendliche Kardinalitäten sind größer als andere. Wohl eines der bedeutendsten Ergebnisse der festgelegten Theorie ist, dass der Satz von reale Nummern hat größere Kardinalität als die natürliche Zahlen.[44] Setzt mit Kardinalität weniger oder gleich dem von fest werden genannt Zählbare Sets; Dies sind entweder endliche Sets oder Zähler unendlich unendliche Sets (Sätze der gleichen Kardinalität wie ); Einige Autoren verwenden "zählbar", um "zählich unendlich" zu bedeuten. Setzt mit Kardinalität streng größer als die von werden genannt unzählige Sets.

Es kann jedoch gezeigt werden, dass die Kardinalität von a gerade Linie (d. H. Die Anzahl der Punkte in einer Linie) ist die gleiche wie die Kardinalität von allen Segment dieser Linie, der gesamten Flugzeugund in der Tat von jedem endlich-dimensional Euklidischer Raum.[45]

Die Kontinuumshypothese

Hauptartikel: Kontinuumshypothese

Die von Georg Cantor 1878 formulierte Kontinuumshypothese ist die Aussage, dass es keinen Satz mit Kardinalität zwischen den gibt Kardinalität der natürlichen Zahlen und die Kardinalität einer geraden Linie.[46] 1963,, Paul Cohen bewies, dass die Kontinuumshypothese ist unabhängig des Axiomsystems ZFC, der aus besteht aus Zermelo -Fraenkel -Set -Theorie mit dem Axiom der Wahl.[47] (ZFC ist die am weitesten verbreitete Version der axiomatischen Set-Theorie.)

Leistungssätze

Hauptartikel: Leistungssatz

Der Leistungssatz eines Satzes S ist der Satz aller Teilmengen von S.[26] Das leeres Set und S selbst sind Elemente des Leistungssatzes von S, weil dies beide Teilmengen von sind S. Zum Beispiel der Leistungssatz von {1, 2, 3} ist {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. Der Leistungssatz eines Satzes S wird üblicherweise als geschrieben als P(S) oder 2S.[26][48][15]

Wenn S hat n Elemente dann P(S) hat 2n Elemente.[49] Zum Beispiel, {1, 2, 3} hat drei Elemente und sein Leistungssatz hat 23 = 8 Elemente, wie oben gezeigt.

Wenn S ist unendlich (ob zählbar oder unzähliger), dann P(S) ist unzähliger. Darüber hinaus ist das Power -Set immer streng "größer" als der ursprüngliche Satz, in dem Sinne, dass jeder Versuch, die Elemente von zu kombinieren S mit den Elementen von P(S) wird einige Elemente von hinterlassen P(S) ungepaart. (Es gibt nie eine Bijection aus S auf zu P(S).))[50]

Partitionen

Hauptartikel: Aufteilung eines Satzes

A Aufteilung eines Satzes S ist eine Reihe von nicht leeren Untergruppen von S, so dass jedes Element x in S ist genau in einem dieser Untergruppen. Das heißt, die Untergruppen sind paarweise disjunkt (Dies bedeutet, dass zwei Sätze der Partition kein gemeinsames Element enthalten) und die Union von allen Teilmengen der Partition ist S.[51][52]

Grundoperationen

Hauptartikel: Algebra der Sets

Es gibt mehrere grundlegende Operationen, um neue Sätze aus angegebenen Sätzen zu konstruieren.

Gewerkschaften

Das Union von A und B, bezeichnet A ∪ B
Hauptartikel: Union (festgelegte Theorie)

Zwei Sätze können verbunden werden: Die Union von A und B, bezeichnet durch A ∪ B, ist das Set aller Dinge, die Mitglieder von sind A Oder von B oder von beidem.

Beispiele:

  • {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.
  • {1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
  • {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}.

Einige grundlegende Eigenschaften von Gewerkschaften:

  • A ∪ B = B ∪ A.
  • A ∪ (B ∪ C) = ((A ∪ B) ∪ C.
  • A ⊆ (A ∪ B).
  • A ∪ A = A.
  • A ∪ ∅ = A.
  • A ⊆ B dann und nur dann, wenn A ∪ B = B.

Schnittpunkte

Hauptartikel: Kreuzung (festgelegte Theorie)

Ein neuer Satz kann auch konstruiert werden, indem festgestellt wird, welche Mitglieder zwei Sätze "gemeinsam" haben. Das Überschneidung von A und B, bezeichnet durch A ∩ B, ist das Set aller Dinge, die Mitglieder beider sind A und B. Wenn A ∩ B = ∅, dann A und B sollen sein disjunkt.

Das Überschneidung von A und B, bezeichnet A ∩ B.

Beispiele:

  • {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.
  • {1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.
  • {1, 2} ∩ {3, 4} = ∅.

Einige grundlegende Eigenschaften von Kreuzungen:

  • A ∩ B = B ∩ A.
  • A ∩ (B ∩ C) = ((A ∩ B) ∩ C.
  • A ∩ B ⊆ A.
  • A ∩ A = A.
  • A ∩ ∅ = ∅.
  • A ⊆ B dann und nur dann, wenn A ∩ B = A.

Ergänzungen

Hauptartikel: Komplement (festgelegte Theorie)
Das relative Ergänzung
von B in A
Das ergänzen von A in U
Das Symmetrischer Unterschied von A und B

Zwei Sätze können auch "subtrahiert" werden. Das relative Ergänzung von B in A (auch als die genannt Set-theoretischer Unterschied von A und B), bezeichnet durch A \ B (oder A − B), ist die Menge aller Elemente, die Mitglieder von sind EIN, aber nicht Mitglieder von B. Es ist gültig, Mitglieder eines Sets zu "subtrahieren", die nicht im Satz enthalten sind, z. B. das Entfernen des Elements grün Aus dem Satz {1, 2, 3}; Dies wirkt sich nicht auf die Elemente im Set aus.

In bestimmten Einstellungen werden alle zu diskutierten Sätze als Teilmengen einer gegebenen Sätze angesehen universelles Set U. In solchen Fällen, U \ A wird genannt Absolute Komplement oder einfach ergänzen von A, und wird bezeichnet durch A' oder einc.

  • A'= U \ A

Beispiele:

  • {1, 2} \ {1, 2} = ∅.
  • {1, 2, 3, 4} \ {1, 3} = {2, 4}.
  • Wenn U ist der Satz von Ganzzahlen, E ist der Satz von selbst Ganzzahlen, und O ist dann der Satz von ungeraden ganzen Zahlen, dann U \ E = E'= O.

Einige grundlegende Eigenschaften von Ergänzungen umfassen Folgendes:

  • A \ B ≠ B \ A zum A ≠ B.
  • A ∪ A'= U.
  • A ∩ A'= ∅.
  • (A')' = A.
  • ∅ \ A = ∅.
  • A \ ∅ = A.
  • A \ A = ∅.
  • A \ U = ∅.
  • A \ A'= A und A'\ A = A'.
  • U'= ∅ und ∅ '= U.
  • A \ B = A ∩ B′.
  • wenn A ⊆ B dann A \ B = ∅.

Eine Erweiterung der Komplement ist die Symmetrischer Unterschied, definiert für Sets A, B wie

Zum Beispiel ist die symmetrische Differenz von {7, 8, 9, 10} und {9, 10, 11, 12} der Satz {7, 8, 11, 12}. Der Leistungssatz eines jeden Satzes wird a Boolean Ring mit symmetrischer Differenz als Zugabe des Rings (mit dem leeren Satz als neutrales Element) und Schnittpunkt als Multiplikation des Rings.

kartesisches Produkt

Hauptartikel: kartesisches Produkt

Ein neuer Satz kann konstruiert werden, indem jedes Element eines Satzes mit jedem Element eines anderen Satzes assoziiert. Das kartesisches Produkt von zwei Sätzen A und B, bezeichnet durch A × B, ist der Satz von allen bestellte Paare (a, b) so dass a ist ein Mitglied von A und b ist ein Mitglied von B.

Beispiele:

  • {1, 2} × {rot, weiß, grün} = {(1, rot), (1, weiß), (1, grün), (2, rot), (2, weiß), (2, grün) }.
  • {1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
  • {a, b, c} × {d, e, f} = {(a, d), (a, e), (a, f), (b, d), (b, e), (b, f), (c, d), (c, e), (c, f)}.

Einige grundlegende Eigenschaften kartesischer Produkte:

  • A × ∅ = ∅.
  • A × (B ∪ C) = ((A × B) ∪ (A × C).
  • (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).

Lassen A und B endliche Sets sein; dann ist die Kardinalität des kartesischen Produkts ist das Produkt der Kardinalitäten:

  • |A × B| = |B × A| = |A| × |B|.

Anwendungen

Sets sind in der modernen Mathematik allgegenwärtig. Zum Beispiel, Strukturen in Zusammenfassung Algebra, wie zum Beispiel Gruppen, Felder und Ringe, sind Sets abgeschlossen unter einem oder mehreren Operationen.

Eine der Hauptanwendungen der naiven festgelegten Theorie liegt im Aufbau von Beziehungen. Eine Beziehung von a Domain A zu einem Codomäne B ist eine Untergruppe des kartesischen Produkts A × B. Zum Beispiel unter Berücksichtigung des Satzes S = {Rock, Papier, Schere} von Formen in der Spiel Gleicher Name "schlägt" von "schlägt" von S zu S ist das Set B = {(Schere, Papier), (Papier, Gestein), (Rock, Schere)}}; daher x Beats y im Spiel wenn das Paar (x,y) ist ein Mitglied von B. Ein weiteres Beispiel ist das Set F von allen Paaren (x, x2), wo x ist echt. Diese Beziehung ist eine Teilmenge von R × R, Weil der Satz aller Quadrate die Teilmenge der Menge aller realen Zahlen ist. Da für jeden x in Rein und nur ein Paar (x, ...) wird in F, es wird a genannt Funktion. In der funktionalen Notation kann diese Beziehung geschrieben werden als F(x) = x2.

Prinzip der Inklusion und Ausschluss

Hauptartikel: Einschluss -Exklusionsprinzip
Das Einschluss-Exklusionsprinzip wird verwendet, um die Größe der Vereinigung von Sätzen zu berechnen: Die Größe der Vereinigung hat die Größe der beiden Sätze, abzüglich der Größe ihrer Kreuzung.

Das Einschluss -Exklusionsprinzip ist eine Zählungstechnik, mit der die Anzahl der Elemente in einer Vereinigung von zwei Sätzen gezählt werden kann - wenn die Größe jedes Satzes und die Größe ihrer Schnittstelle bekannt sind. Es kann symbolisch als ausgedrückt werden als

Eine allgemeinere Form des Prinzips kann verwendet werden, um die Kardinalität einer endlichen Vereinigung von Sets zu finden:

De Morgans Gesetze

Augustus de Morgan angegeben zwei Gesetze über Sets.

Wenn A und B sind dann zwei Sätze, dann,

  • (A ∪ B) '= A'∩ B′

Die Ergänzung von A Union B entspricht der Ergänzung von A mit der Ergänzung von gekränkt B.

  • (A ∩ B) '= A'∪ B′

Die Ergänzung von A überschnitten mit B ist gleich der Ergänzung von A Gewerkschaft zur Ergänzung von B.

Siehe auch

Anmerkungen

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Verweise

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