Set-theoretische Topologie

Der Raum von Ganzzahlen hat Kardinalität , während reale Nummern hat Kardinalität . Die Topologien beider Räume haben Kardinalität . Dies sind Beispiele von Kardinalfunktionen, ein Thema in der theoretischen Topologie.

Im Mathematik, Set-theoretische Topologie ist ein Thema, das sich kombiniert Mengenlehre und Allgemeine Topologie. Es konzentriert sich auf topologische Fragen, die sind unabhängig von Zermelo -Fraenkel -Set -Theorie (ZFC).

Objekte, die in set-theoretischer Topologie untersucht wurden

Dowker Räume

In dem mathematisch Bereich Allgemeine Topologie, a Dowker -Raum ist ein topologischer Raum das ist T4 aber nicht Zähnen parakompakt.

Dowker vermutet, dass es keine Dowker -Räume gab, und die Vermutung wurde erst gelöst, bis M. E. Rudin konstruiert[1] 1971. Rudins Gegenbeispiel ist ein sehr großer Raum (von Kardinalität ) und ist im Allgemeinen nicht gut erzogen. Zoltán Balogh gab den ersten ZFC Konstruktion[2] einer kleinen (Kardinalität Kontinuum) Beispiel, was mehr war gut erzogen als Rudin. Verwendung PCF -Theorie, M. Kojman und S. Shelah gebaut[3] a Unterraum von Rudins Dowker -Raum der Kardinalität Das ist auch Dowker.

Normale Moore -Räume

Ein berühmtes Problem ist das Normale Moore -Raumfrage, eine Frage in der allgemeinen Topologie, die Gegenstand intensiver Forschung war. Die Antwort auf die normale Frage des Moore -Raums wurde schließlich als unabhängig von ZFC erwiesen.

Kardinalfunktionen

Kardinalfunktionen werden in großem Umfang verwendet Topologie als Werkzeug zur Beschreibung verschiedener Topologische Eigenschaften.[4][5] Im Folgenden finden Sie einige Beispiele. (Hinweis: Einige Autoren argumentieren, dass "es in der allgemeinen Topologie keine endlichen Kardinalnummern gibt".[6] Definieren Sie die unten aufgeführten Kardinalfunktionen bevorzugt, damit sie niemals endliche Kardinalnummern als Werte annehmen. Dies erfordert das Ändern einiger der unten angegebenen Definitionen, z. beim Hinzufügen ""Auf der rechten Seite der Definitionen usw.)

  • Vielleicht die einfachsten Kardinalinvarianten eines topologischen Raums X sind seine Kardinalität und die Kardinalität seiner Topologie, die jeweils von | bezeichnet werden.X| und o(X).
  • Das Gewicht w (X) eines topologischen Raums X ist die kleinstmögliche Kardinalität von a Base zum X. Wenn w (X)) der Raum X wird gesagt, dass zweiter zählbar.
    • Das -Gewicht von einem Raum X ist die kleinste Kardinalität von a -Base für X. (EIN -Base ist eine Reihe von nicht leeren Öffnungen, deren Supersets alle Öffnungen umfasst.)
  • Das Charakter einen topologischen Raum X an einem Punkt x ist die kleinste Kardinalität von a Lokale Basis zum x. Das Charakter Raum X ist
    Wann der Raum X wird gesagt, dass zuerst zählbar.
  • Das Dichte d(X) eines Raums X ist die kleinste Kardinalität von a dichte Untergruppe von X. Wann der Raum X wird gesagt, dass trennbar.
  • Das Lindelöf -Nummer L (X) eines Raums X ist die kleinste unendliche Kardinalität, so dass jeder Offene Abdeckung hat eine Unterbeziehung von Kardinalität nicht mehr als L (X). Wann der Raum X soll ein sein Lindelöf Raum.
  • Das Zellularität von einem Raum X ist
    ist ein Familie von gegenseitig disjunkt nicht leer offen Untergruppen von .
    • Das Erbzellularität (manchmal Verbreitung) ist die am wenigsten Obergrenze der Zellularitäten seiner Teilmengen:
      oder
      mit dem Unterraum Topologie ist diskret .
  • Das Dichtheit t(x, X) eines topologischen Raums X an einem Punkt ist die kleinste Kardinalzahl so dass wann immer für eine Untergruppe Y von XEs gibt eine Untergruppe Z von Y, mit |Z| ≤ , so dass . Symbolisch,
    Das Räumlichkeit X ist . Wann t (x) = der Raum X wird gesagt, dass Zähler erzeugt oder Zählerlich eng.
    • Das Augmentierte Enge von einem Raum X, ist der kleinste normaler Kardinal so dass für jeden , Es gibt eine Untergruppe Z von Y mit Kardinalität weniger als , so dass .

Martins Axiom

Für jeden Kardinal k, wir definieren eine von MA gekennzeichnete Erklärung (MA (k):

Für jeden Teilreihenfolge P Befriedigung der Zählbarer Kettenbedingung (im Folgenden CCC) und jede Familie D von dichten Sets ein P so dass | D |k, da ist ein Filter F an P so dass Fd ist nichtleer für jeden d in D.

Da ist es ein Satz von ZFC, der MA (c) scheitert, Martins Axiom wird angegeben als:

Martins Axiom (MA): Für jeden k < c, Ma (k) hält.

In diesem Fall (zur Anwendung von CCC) ist ein Antichain eine Untergruppe A von P so dass zwei verschiedene Mitglieder von A sind inkompatibel (zwei Elemente sollen kompatibel sein, wenn es ein gemeinsames Element unter beiden in der Teilreihenfolge gibt). Dies unterscheidet sich beispielsweise von dem Begriff von Antichain im Kontext von Bäume.

MA () ist falsch: [0, 1] ist a kompakt Hausdorff Raum, welches ist trennbar Und so CCC. Es hat keine Isolierte Punkteund Punkte darin sind also nirgendwo dicht, aber es ist die Vereinigung von viele Punkte.

Eine äquivalente Formulierung lautet: wenn X ist ein kompakter Hausdorff topologischer Raum das erfüllt das CCC dann X ist nicht die Vereinigung von k oder weniger Nirgendwo dicht Untergruppen.

Martins Axiom hat eine Reihe anderer interessanter Kombinatorisch, analytisch und topologisch Konsequenzen:

  • Die Vereinigung von k oder weniger Null -Sets in einem atomlosen σ-Finite Borel -Maß auf einen Polnischer Raum ist Null. Insbesondere die Vereinigung von k oder weniger Teilmengen von R von Lebesgue -Maßnahme 0 hat auch Lebesgue -Maßnahme 0.
  • Ein kompakter Hausdorff -Raum X mit | X | < 2k ist nacheinander kompakt, d.h. jede Sequenz hat eine konvergente Subsequenz.
  • Kein nicht prinzipal Ultrafilter an N hat eine Basis der Kardinalität < k.
  • Entsprechend für jeden x in βN\N Wir haben χ (x) ≥ k, wo χ das ist Charakter von xund so χ (βN) ≥ k.
  • MA () impliziert, dass ein Produkt von CCC -topologischen Räumen CCC ist (dies bedeutet wiederum, dass es keine gibt Suslin -Linien).
  • Ma + ¬ch impliziert, dass es a existiert a Whitehead -Gruppe das ist nicht frei; Shelah benutzte dies, um zu zeigen, dass die Whitehead -Problem ist unabhängig von ZFC.

Zwingen

Zwingen ist eine Technik erfunden von Paul Cohen zum Beweisen Konsistenz und Unabhängigkeit Ergebnisse. Es wurde erstmals 1963 verwendet, um die Unabhängigkeit der Unabhängigkeit zu beweisen Axiom der Wahl und die Kontinuumshypothese aus Zermelo -Fraenkel -Set -Theorie. Das Forcen wurde in den 1960er Jahren erheblich überarbeitet und vereinfacht und hat sich als äußerst leistungsstarke Technik sowohl innerhalb der festgelegten Theorie als auch in Bereichen von erwiesen Mathematische Logik wie zum Beispiel Rekursionstheorie.

Intuitiv besteht das Erzwingen darin, die theoretische Ausweitung des festgelegten Teils zu erweitern Universum V zu einem größeren Universum V*. In diesem größeren Universum zum Beispiel könnte man viele neue haben Untergruppen von ω = {0,1,2,…}, die nicht im alten Universum da waren, und dadurch verstoßen die Kontinuumshypothese. Obwohl dies unmöglich ist, ist dies nur eine andere Version von Cantors Paradoxon über Unendlichkeit. Im Prinzip konnte man berücksichtigen

identifizieren mit und dann eine erweiterte Mitgliedsbeziehung einführen, an der die "neuen" Sätze des Formulars beteiligt sind . Forcen ist eine aufwändigere Version dieser Idee, die die Expansion auf die Existenz eines neuen Satzes verringert und die feine Kontrolle über die Eigenschaften des erweiterten Universums ermöglicht.

Siehe die Hauptartikel für Anwendungen wie z. Zufällige Real.

Verweise

  1. ^ M. E. Rudin, ein normaler Raum X für welche X × i ist nicht normal, Fundam. Mathematik. 73 (1971) 179-186. Zbl. 0224.54019
  2. ^ Z. Balogh, "Ein kleiner Dowker -Raum in ZFC", Proc. Amer. Mathematik. SOC. 124 (1996) 2555-2560.Zbl.0876.54016
  3. ^ M. Kojman, S. Shelah: "Ein ZFC Dowker -Raum in : Eine Anwendung der PCF -Theorie auf die Topologie ", Proc. Amer. Mathematik. SOC., 126(1998), 2459-2465.
  4. ^ Juhász, István (1979). Kardinalfunktionen in der Topologie (PDF). Mathematik. Center Tracts, Amsterdam. ISBN 90-6196-062-2.
  5. ^ Juhász, István (1980). Kardinalfunktionen in Topologie - Zehn Jahre später (PDF). Mathematik. Center Tracts, Amsterdam. ISBN 90-6196-196-3.
  6. ^ Engelking, Ryszard (1989). Allgemeine Topologie. Heldermann Verlag, Berlin. ISBN 3885380064.

Weitere Lektüre

  • Kenneth Kunen;Jerry E. Vaughan, Hrsg.(1984). Handbuch der set-theoretischen Topologie. Nordholland. ISBN 0-444-86580-2.