Reihenfolge

Im Mathematik, a Reihenfolge ist eine aufzählige Sammlung von Objekte in denen Wiederholungen erlaubt sind und bestellen Angelegenheiten. Wie ein einstellen, es beinhaltet Mitglieder (auch genannt Elemente, oder Bedingungen). Die Anzahl der Elemente (möglicherweise unendlich) wird das genannt Länge der Sequenz. Im Gegensatz zu einem Satz können dieselben Elemente in einer Sequenz mehrmals an verschiedenen Positionen erscheinen, und im Gegensatz zu einem Satz spielt die Reihenfolge eine Rolle. Formal kann eine Sequenz als definiert werden Funktion aus natürliche Zahlen (Die Positionen von Elementen in der Sequenz) zu den Elementen an jeder Position. Der Begriff einer Sequenz kann auf eine verallgemeinert werden Indizierte Familie, definiert als eine Funktion aus einem Indexsatz, die möglicherweise keine Zahlen zu einem anderen Satz von Elementen sind.

Zum Beispiel ist (m, a, r, y) eine Folge von Buchstaben mit dem Buchstaben 'M' zuerst und 'y' zuletzt. Diese Sequenz unterscheidet sich von (a, r, m, y). Auch die Sequenz (1, 1, 2, 3, 5, 8), die die Zahl 1 an zwei verschiedenen Positionen enthält, ist eine gültige Sequenz. Sequenzen können sein endlich, wie in diesen Beispielen, oder unendlich, wie die Reihenfolge von allen eben positive ganze Zahlen (2, 4, 6, ...).

Die Position eines Elements in einer Sequenz ist seine Rang oder Index; Es ist die natürliche Zahl, für die das Element das Bild ist. Das erste Element hat Index 0 oder 1, abhängig vom Kontext oder einer bestimmten Konvention. Im Mathematische Analyse, eine Sequenz wird oft durch Buchstaben in Form von bezeichnet , und , wo das Index n bezieht sich auf ndas Element der Sequenz; Zum Beispiel die nth Element der Fibonacci-Folge wird im Allgemeinen als bezeichnet als als .

Im Computer und Informatik, endliche Sequenzen werden manchmal genannt Saiten, Wörter oder Listen, die unterschiedlichen Namen, die üblicherweise verschiedenen Möglichkeiten entsprechen, sie darzustellen Computerspeicher; Unendliche Sequenzen werden genannt Ströme. Die leere Sequenz () ist in den meisten Vorstellungen der Sequenz enthalten, kann jedoch je nach Kontext ausgeschlossen werden.

Eine unendliche Folge von reale Nummern (in Blau). Diese Sequenz nimmt weder zu, abnehmend, konvergent oder Cauchy. Es ist jedoch begrenzt.

Beispiele und Notation

Eine Sequenz kann als eine Liste von Elementen mit einer bestimmten Reihenfolge betrachtet werden.[1][2] Sequenzen sind in einer Reihe von mathematischen Disziplinen zum Studium nützlich Funktionen, Räumeund andere mathematische Strukturen mit dem Konvergenz Eigenschaften von Sequenzen. Insbesondere sind Sequenzen die Grundlage für Serie, die wichtig sind in Differentialgleichung und Analyse. Sequenzen sind auch für sich selbst von Interesse und können als Muster oder Rätsel untersucht werden, wie beispielsweise in der Studie von Primzahlen.

Es gibt eine Reihe von Möglichkeiten, eine Sequenz zu bezeichnen, von denen einige für bestimmte Arten von Sequenzen nützlicher sind. Eine Möglichkeit, eine Sequenz anzugeben, besteht darin, alle Elemente aufzulisten. Zum Beispiel bilden die ersten vier ungeraden Zahlen die Sequenz (1, 3, 5, 7). Diese Notation wird auch für unendliche Sequenzen verwendet. Zum Beispiel ist die unendliche Sequenz positiver ungerade Zahlen als (1, 3, 5, 7, ...) geschrieben. Weil keine Sequenzen mit Ellipse Führt zu Unklarheiten. Die Auflistung ist am nützlichsten für übliche unendliche Sequenzen, die aus ihren ersten Elementen leicht erkannt werden können. Andere Möglichkeiten zur Bezeichnung einer Sequenz werden nach den Beispielen diskutiert.

Beispiele

A Fliesen mit Quadraten, deren Seiten aufeinanderfolgende Fibonacci -Zahlen sind.

Das Primzahlen sind die natürliche Zahlen größer als 1, die keine haben Divisors aber 1 und sich selbst. Diese in ihrer natürlichen Reihenfolge zu nehmen, gibt die Sequenz (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...). Die Primzahlen sind in großem Umfang verwendet in Mathematik, speziell in Zahlentheorie wo viele Ergebnisse mit ihnen existieren.

Das Fibonacci -Zahlen umfassen die Ganzzahlsequenz, deren Elemente die Summe der beiden vorherigen Elemente sind. Die ersten beiden Elemente sind entweder 0 und 1 oder 1 und 1, so dass die Sequenz (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...) ist.[1]

Andere Beispiele für Sequenzen sind diejenigen Rationale Zahlen, reale Nummern und komplexe Zahlen. Die Sequenz (.9, .99, .999, .9999, ...) nähert sich zum Beispiel der Zahl 1. Tatsächlich kann jede reale Zahl als die geschrieben werden Grenze einer Folge rationaler Zahlen (z. B. über seine Dezimalerweiterung). Als ein weiteres Beispiel, π ist die Grenze der Sequenz (3, 3,1, 3,14, 3.141, 3.1415, ...), was zunimmt. Eine verwandte Sequenz ist die Sequenz von Dezimalstellen von πDas heißt (3, 1, 4, 1, 5, 9, ...). Im Gegensatz zur vorhergehenden Sequenz hat diese Sequenz kein Muster, das durch Inspektion leicht erkennbar ist.

Das Online-Enzyklopädie von ganzzahligen Sequenzen Enthält eine große Liste von Beispielen für ganzzahlige Sequenzen.[3]

Indizierung

Andere Notationen können für Sequenzen nützlich sein, deren Muster nicht leicht erraten werden kann, oder für Sequenzen, die kein Muster wie die Ziffern von haben π. Eine solche Notation besteht darin, eine allgemeine Formel zum Berechnen der Berechnung des nth Term als Funktion von nschließen Sie es in Klammern ein und geben Sie ein Index ein, das den Satz von Werten angibt, die n kann nehmen. Zum Beispiel könnte in dieser Notation die Folge gleicher Zahlen geschrieben werden . Die Folge der Quadrate könnte geschrieben werden als . Die Variable n wird als ein genannt Indexund der Satz von Werten, die es nehmen kann, wird als die genannt Indexsatz.

Es ist oft nützlich, diese Notation mit der Technik zu kombinieren, die Elemente einer Sequenz als individuelle Variablen zu behandeln. Dies ergibt Ausdrücke wie , was eine Sequenz bezeichnet, deren nDas Element wird durch die Variable gegeben . Zum Beispiel:

Man kann mehrere Sequenzen gleichzeitig durch die Verwendung verschiedener Variablen berücksichtigen. z.B. könnte eine andere Sequenz sein als . Man kann sogar eine Folge von Sequenzen berücksichtigen: bezeichnet eine Sequenz, deren mDer Term ist die Sequenz .

Eine Alternative zum Schreiben der Domäne einer Sequenz im Index ist es, den Wertebereich anzugeben, den der Index durch Auflisten der höchsten und niedrigsten Rechtswerte auflisten kann. Zum Beispiel die Notation bezeichnet die zehnfristige Sequenz der Quadrate . Die Grenzen und sind erlaubt, aber sie repräsentieren keine gültigen Werte für den Index, nur die Supremum oder Infimum von solchen Werten. Zum Beispiel die Sequenz ist dasselbe wie die Sequenz und enthält keinen zusätzlichen Begriff "bei unendlich". Die Sequenz ist ein Bi-infinite-Sequenzund kann auch als geschrieben werden .

In Fällen, in denen der Satz von Indizierungsnummern verstanden wird, werden häufig die Indexs und Superscripte aufgehört. Das heißt, man schreibt einfach für eine willkürliche Sequenz. Oft der Index k wird verstanden, von 1 nach ∞ zu laufen. Sequenzen werden jedoch häufig von Null angezeigt, wie in

In einigen Fällen sind die Elemente der Sequenz auf natürliche Weise mit einer Sequenz von Ganzzahlen zusammenhängen, deren Muster leicht abgeleitet werden kann. In diesen Fällen kann der Indexsatz durch eine Auflistung der ersten abstrakten Elemente impliziert werden. Zum Beispiel die Abfolge der Quadrate von ungerade Zahlen könnte auf folgende Arten bezeichnet werden.

Darüber hinaus hätten die Indexs und Superscripte im dritten, vierten und fünften Notationen aufgehört werden können, wenn der Indexierungssatz als das verstanden wird natürliche Zahlen. Im zweiten und dritten Kugeln gibt es eine genau definierte Sequenz , aber es ist nicht dasselbe wie die durch den Ausdruck gekennzeichnete Sequenz.

Definieren einer Sequenz durch Rekursion

Sequenzen, deren Elemente auf einfache Weise mit den vorherigen Elementen zusammenhängen Rekursion. Dies steht im Gegensatz zur Definition von Elementensequenzen als Funktionen ihrer Positionen.

Um eine Sequenz durch Rekursion zu definieren, braucht man eine Regel, genannt Rezidivbeziehung So konstruieren Sie jedes Element in Bezug auf die zuvor. Darüber hinaus müssen genügend anfängliche Elemente bereitgestellt werden, damit alle nachfolgenden Elemente der Sequenz durch aufeinanderfolgende Anwendungen der Rezidivbeziehung berechnet werden können.

Das Fibonacci-Folge ist ein einfaches klassisches Beispiel, das durch die Rezidivbeziehung definiert wird

mit anfänglichen Begriffen und . Aus diesem Grund zeigt eine einfache Berechnung, dass die ersten zehn Begriffe dieser Sequenz 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 und 34 betragen.

Ein kompliziertes Beispiel für eine Sequenz, die durch eine Rezidivbeziehung definiert ist, ist Recamáns Sequenz,[4] definiert durch die Rezidivbeziehung

mit anfänglicher Begriff

A lineares Rezidiv mit konstanten Koeffizienten ist eine Rezidivbeziehung der Form

wo sind Konstanten. Es gibt eine allgemeine Methode, um den allgemeinen Begriff auszudrücken einer solchen Sequenz als Funktion von n; sehen Lineares Wiederauftreten. Im Fall der Fibonacci -Sequenz hat man und die resultierende Funktion von n wird gegeben von Binets Formel.

A Holonomische Sequenz ist eine Sequenz, die durch eine Rezidiv -Beziehung der Form definiert ist

wo sind Polynome in n. Für die meisten holonomischen Sequenzen gibt es keine explizite Formel zum Ausdrücken als Funktion von n. Dennoch spielen holonomische Sequenzen eine wichtige Rolle in verschiedenen Bereichen der Mathematik. Zum Beispiel viele Spezialfunktionen haben eine Taylor -Serie deren Abfolge von Koeffizienten ist holonomisch. Die Verwendung der Rezidivbeziehung ermöglicht eine schnelle Berechnung von Werten solcher speziellen Funktionen.

Nicht alle Sequenzen können durch eine Rezidiv -Beziehung angegeben werden. Ein Beispiel ist die Abfolge von Primzahlen in ihrer natürlichen Ordnung (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...).

Formale Definition und grundlegende Eigenschaften

Es gibt viele verschiedene Vorstellungen von Sequenzen in der Mathematik, von denen einige ((z.B., exakte Sequenz) werden nicht durch die nachstehend eingeführten Definitionen und Notationen abgedeckt.

Definition

In diesem Artikel wird eine Sequenz formal definiert als Funktion Deren Domain ist ein Intervall von Ganzzahlen. Diese Definition deckt verschiedene Verwendungen des Wortes "Sequenz" ab, einschließlich einseitiger unendlicher Sequenzen, bi-infinitischer Sequenzen und endlichen Sequenzen (siehe unten für Definitionen dieser Art von Sequenzen). Viele Autoren verwenden jedoch eine engere Definition, indem sie die Domäne einer Sequenz verlangen, um der Satz von zu sein natürliche Zahlen. Diese engere Definition hat den Nachteil, dass sie endliche Sequenzen und bi-infinitische Sequenzen ausschließt, die beide normalerweise Sequenzen in Standardmathematikpraxis werden. Ein weiterer Nachteil besteht darin, dass man, wenn man die ersten Begriffe einer Sequenz beseitigt, die Restbegriffe für die Anpassung dieser Definition wieder aufnehmen müssen. In einigen Kontexten, um die Darstellung zu verkürzen, die Codomäne der Sequenz wird durch den Kontext festgelegt, beispielsweise durch die Anforderung des Satzes R realer Zahlen,[5] der Satz C von komplexen Zahlen,[6] oder ein topologischer Raum.[7]

Obwohl Sequenzen eine Art von Funktion sind, unterscheiden sie sich normalerweise notationell von Funktionen, indem die Eingabe eher als Index als in Klammern geschrieben wird, das heißt, an statt a(n). Es gibt auch terminologische Unterschiede: Der Wert einer Sequenz bei der niedrigsten Eingabe (oft 1) wird als "erstes Element" der Sequenz bezeichnet. Der Wert bei der zweiten kleinsten Eingabe (oft 2) wird als "zweites Element" bezeichnet, und als "zweites Element",, als "zweites Element",, als "zweitkleinbar". usw. Auch wenn eine von ihrer Eingabe abstrahierende Funktion normalerweise durch einen einzelnen Buchstaben bezeichnet wird, z. f, eine aus ihrer Eingabe abstrahierte Sequenz wird normalerweise von einer Notation geschrieben, wie z. , oder genauso wie Hier A ist die Domäne oder der Indexsatz der Sequenz.

Sequenzen und ihre Grenzen (siehe unten) sind wichtige Konzepte für die Untersuchung topologischer Räume. Eine wichtige Verallgemeinerung von Sequenzen ist das Konzept von Netze. EIN Netz ist eine Funktion von a (möglicherweise unzähliger) gerichteter Satz zu einem topologischen Raum. Die Notationskonventionen für Sequenzen gelten normalerweise auch für Netze.

Endlich und unendlich

Das Länge einer Sequenz ist definiert als die Anzahl der Begriffe in der Sequenz.

Eine Sequenz einer endlichen Länge n wird auch als ein bezeichnet n-tupel. Finite -Sequenzen umfassen die leere Sequenz() Das hat keine Elemente.

Normalerweise der Begriff unendliche Sequenz Bezieht sich auf eine Sequenz, die in einer Richtung unendlich ist und in der anderen endlich endlich ist - die Sequenz hat ein erstes Element, aber kein endgültiges Element. Eine solche Sequenz wird a genannt einzelne unendliche Sequenz oder ein Einseitige unendliche Sequenz Wenn eine Disambiguierung erforderlich ist. Im Gegensatz dazu ist eine Sequenz, die in beide Richtungen unendlich ist - d. H. Das hat weder ein erstes noch ein endgültiges Element - heißt a Bi-infinite-Sequenz, Zwei-Wege-Infinite-Sequenz, oder doppelt unendliche Sequenz. Eine Funktion vom Satz Z von alle Ganzzahlen In einen Satz, wie zum Beispiel die Sequenz aller sogar Ganzzahlen (..., –4, –2, 0, 2, 4, 6, 8, ...), ist bi-infinit. Diese Sequenz könnte bezeichnet werden .

Zunehmen und abnehmen

Eine Sequenz soll sein monoton zunehmen Wenn jeder Term größer oder gleich dem vor ihm ist. Zum Beispiel die Sequenz ist monotonisch zunehmend, wenn und nur wenn an+1 an für alle nN. Wenn jeder aufeinanderfolgende Begriff streng größer ist als (>) der vorherige Term, wird die Sequenz aufgerufen streng monoton zunehmen. Eine Sequenz ist monotoner abnehmen Wenn jeder aufeinanderfolgende Begriff kleiner oder gleich dem vorherigen ist und ist und ist streng monoton abnehmen Wenn jeder streng geringer ist als der vorherige. Wenn eine Sequenz entweder zunimmt oder abnimmt, wird sie als a genannt Monoton Reihenfolge. Dies ist ein besonderer Fall für den allgemeineren Begriff von a monotonische Funktion.

Die Begriffe nicht abgrenzend und nicht verstärkt werden oft anstelle von verwendet zunehmen und abnehmen um mögliche Verwirrung mit zu vermeiden streng zunehmen und streng abnehmen, beziehungsweise.

Begrenzt

Wenn die Abfolge der reellen Zahlen (an) ist so, dass alle Begriffe weniger als eine reelle Zahl sind Mdann soll die Sequenz sein von oben begrenzt. Mit anderen Worten, dies bedeutet, dass es existiert M so dass für alle n, anM. Solche M wird als ein genannt obere Grenze. Ebenso, wenn, für einige reale m, anm für alle n größer als manche Ndann ist die Sequenz von unten begrenzt und irgendetwas m wird als a genannt Untergrenze. Wenn eine Sequenz sowohl von oben als auch von unten begrenzt ist, wird die Sequenz bezeichnet, um es zu sein begrenzt.

Untersequenzen

A Subsequenz einer gegebenen Sequenz ist eine Sequenz, die aus der gegebenen Sequenz gebildet wird, indem einige der Elemente gelöscht werden, ohne die relativen Positionen der verbleibenden Elemente zu stören. Zum Beispiel ist die Abfolge der positiven sogar Ganzzahlen (2, 4, 6, ...) eine Unterbringung der positiven Ganzzahlen (1, 2, 3, ...). Die Positionen einiger Elemente ändern sich, wenn andere Elemente gelöscht werden. Die relativen Positionen bleiben jedoch erhalten.

Formell eine Untersequenz der Sequenz ist jede Sequenz der Form , wo ist eine streng zunehmende Sequenz positiver Ganzzahlen.

Andere Arten von Sequenzen

Einige andere Arten von Sequenzen, die leicht zu definieren sind, umfassen:

  • Ein Ganzzahlsequenz ist eine Sequenz, deren Begriffe Ganzzahlen sind.
  • A Polynomsequenz ist eine Sequenz, deren Begriffe Polynome sind.
  • Eine positive ganzzahlige Sequenz wird manchmal genannt multiplikativ, wenn anm = an am Für alle Paare n, m so dass n und m sind Coprime.[8] In anderen Fällen werden Sequenzen oft genannt multiplikativ, wenn an = n / A1 für alle n. Außerdem a multiplikativ Fibonacci-Folge[9] erfüllt die Rekursionsbeziehung an = an–1 an–2.
  • A Binärsequenz ist eine Sequenz, deren Begriffe einen von zwei diskreten Werten haben, z. Basis 2 Werte (0,1,1,0, ...), eine Reihe von Münzen (Köpfen/Schwänzen) H, T, H, H, T, ..., die Antworten auf eine Reihe wahrer oder falscher Fragen ( T, f, t, t, ...) und so weiter.

Grenzen und Konvergenz

Das Diagramm einer konvergenten Sequenz (an) ist blau gezeigt. Aus dem Diagramm können wir sehen, dass die Sequenz bis zum Grenznullpunkt konvergiert n steigt.

Eine wichtige Eigenschaft einer Sequenz ist Konvergenz. Wenn eine Sequenz konvergiert, konvergiert sie einen bestimmten Wert, den als der bekannt ist Grenze. Wenn eine Sequenz zu einer Grenze konvergiert, dann ist dies konvergent. Eine Sequenz, die nicht konvergiert abweichend.

Informell hat eine Sequenz eine Grenze, wenn die Elemente der Sequenz einem Wert immer näher kommen (genannt die Grenze der Sequenz), und sie werden und bleiben und bleiben willkürlich nahe bei , was bedeutet, dass eine reelle Zahl angegeben wurde größer als Null, bis auf eine endliche Anzahl der Elemente der Sequenz haben einen Abstand von weniger als .

Zum Beispiel die Sequenz Rechts gezeigt konvergiert zum Wert 0. Andererseits die Sequenzen (was beginnt 1, 8, 27,…) und (Die beginnt –1, 1, –1, 1,…) sind beide unterschiedlich.

Wenn eine Sequenz konvergiert, ist der Wert, dem er konvergiert, eindeutig. Dieser Wert wird als die genannt Grenze der Sequenz. Die Grenze einer konvergenten Sequenz wird normalerweise bezeichnet . Wenn ist eine unterschiedliche Sequenz, dann der Ausdruck ist bedeutungslos.

Formale Definition von Konvergenz

Eine Folge realer Zahlen konvergiert zu eine reelle Zahl Wenn, für alle Es gibt eine natürliche Zahl so dass für alle wir haben[5]

Wenn ist eher eine Folge komplexer Zahlen als eine Folge von reellen Zahlen. Diese letzte Formel kann immer noch verwendet werden, um die Konvergenz zu definieren, mit der Bestimmung, dass bezeichnet den komplexen Modul, d.h. . Wenn ist eine Folge von Punkten in a metrischer Raumund dann kann die Formel verwendet werden, um die Konvergenz zu definieren, wenn der Ausdruck wird durch den Ausdruck ersetzt , was das bezeichnet Distanz zwischen und .

Anwendungen und wichtige Ergebnisse

Wenn und Konvergente Sequenzen sind dann die folgenden Grenzen und können wie folgt berechnet werden:[5][10]

  • Für alle realen Zahlen
  • , unter der Vorraussetzung, dass
  • für alle und

Darüber hinaus:

  • Wenn für alle größer als manche , dann .[a]
  • (Einschnürungssatz)
    Wenn ist eine Sequenz so, dass für alle und ,
    dann ist konvergent und .
  • Wenn eine Sequenz ist begrenzt und monoton Dann ist es konvergent.
  • Eine Sequenz ist nur dann konvergent, wenn alle ihre Subsequenzen konvergent sind.

Cauchy -Sequenzen

Die Diagramm einer Cauchy -Sequenz (Xn), in Blau gezeigt, als Xn gegen n. In der Grafik scheint die Sequenz zu einer Grenze zu konvergieren, da der Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Begriffen in der Sequenz kleiner wird n steigt. In dem reale Nummern Jede Cauchy -Sequenz konvergiert zu einer Grenze.

Eine Cauchy -Sequenz ist eine Sequenz, deren Begriffe willkürlich nahe beieinander werden, wenn N sehr groß wird. Der Begriff einer Cauchy -Sequenz ist wichtig für die Untersuchung von Sequenzen in Metrikräumeund insbesondere in Echte Analyse. Ein besonders wichtiges Ergebnis in der realen Analyse ist Cauchy -Charakterisierung der Konvergenz für Sequenzen:

Eine Folge realer Zahlen ist (in den Realität) konvergent, wenn und nur wenn sie Cauchy ist.

Im Gegensatz dazu gibt es Cauchy -Sequenzen von Rationale Zahlen das sind in den Rationalen nicht konvergent, z. die Sequenz definiert durchx1 = 1 und xn+1 = xn + 2/xn/2 ist Cauchy, hat aber keine rationale Grenze, vgl. hier. Allgemeiner jede Folge rationaler Zahlen, die zu einem konvergiert irrationale Zahl ist Cauchy, aber nicht konvergent, wenn er als Sequenz in den rationalen Zahlen interpretiert wird.

Metrische Räume, die die Cauchy -Charakterisierung der Konvergenz für Sequenzen erfüllen, werden genannt Vollständige metrische Räume und sind besonders schön für die Analyse.

Unendliche Grenzen

In Kalkül definiert es üblich, die Notation für Sequenzen zu definieren, die nicht in dem oben diskutierten Sinne konvergieren, sondern stattdessen willkürlich groß werden und bleiben oder willkürlich negativ werden. Wenn wird willkürlich groß wie , wir schreiben

In diesem Fall sagen wir, dass die Sequenz abweichtoder das es konvergiert in Unendlichkeit. Ein Beispiel für eine solche Sequenz ist an = n.

Wenn wird willkürlich negativ (d. H. Negativ und groß in großer Größe) als , wir schreiben

und sagen, dass die Sequenz abweicht oder konvergiert zu negativen Unendlichkeit.

Serie

A Serie ist informell die Summe der Bedingungen einer Sequenz. Das heißt, es ist Ausdruck der Form oder , wo ist eine Folge realer oder komplexer Zahlen. Das Teilsummen einer Reihe sind die Ausdrücke, die sich aus dem Ersetzen des Infinity -Symbols durch eine endliche Zahl ergeben, d. H. Die NDie Teilsumme der Serie ist die Nummer

Die Teilsummen selbst bilden eine Sequenz , was genannt wird Sequenz von Teilsummen der Serie . Wenn die Abfolge der Teilsummen konvergiert, sagen wir, dass die Serie ist konvergentund die Grenze wird genannt Wert der Serie. Die gleiche Notation wird verwendet, um eine Serie und ihren Wert zu bezeichnen, d. H. Wir schreiben .

Verwendung in anderen Bereichen der Mathematik

Topologie

Sequenzen spielen eine wichtige Rolle in der Topologie, insbesondere in der Studie von Metrikräume. Zum Beispiel:

  • A metrischer Raum ist kompakt genau dann, wenn es ist nacheinander kompakt.
  • Eine Funktion von einem metrischen Raum zu einem anderen metrischen Raum ist kontinuierlich genau dann, wenn es konvergente Sequenzen zu konvergenten Sequenzen benötigt.
  • Ein metrischer Raum ist a Verbundener Raum Wenn und nur wenn, wenn der Raum in zwei Sätze aufgeteilt ist, enthält einer der beiden Sätze eine Sequenz, die bis zu einem Punkt im anderen Satz konvergiert.
  • A topologischer Raum ist trennbar Genau wenn es eine dichte Folge von Punkten gibt.

Sequenzen können verallgemeinert werden auf Netze oder Filter. Diese Verallgemeinerungen ermöglichen es einem, einige der oben genannten Theoreme auf Räume ohne Metriken auszudehnen.

Produkttopologie

Das Topologisches Produkt einer Abfolge topologischer Räume ist die kartesisches Produkt dieser Räume, ausgestattet mit a natürliche Topologie genannt Produkttopologie.

Formell formell eine Abfolge von Räumen bei , der Produktraum

ist definiert als der Satz aller Sequenzen so dass für jeden i, ist ein Element von . Das kanonische Projektionen sind die Karten pi: XXi definiert durch die Gleichung . Dann ist die Produkttopologie an X ist definiert als die Grobhaftste Topologie (d. H. Die Topologie mit den wenigsten offenen Mengen), für die alle Projektionen pi sind kontinuierlich. Die Produkttopologie wird manchmal die genannt Tychonoff -Topologie.

Analyse

Im AnalyseWenn man über Sequenzen spricht, wird man im Allgemeinen Sequenzen der Form betrachten

Das heißt, unendliche Sequenzen von Elementen, die von indiziert werden, natürliche Zahlen.

Eine Sequenz kann mit einem anderen Index von 1 oder 0 beginnen xn = 1//Protokoll(n) würde nur für definiert werden n ≥ 2. Wenn Sie über solche unendlichen Sequenzen sprechen, reicht es normalerweise aus (und ändert sich nicht viel für die meisten Überlegungen), um anzunehmen, dass die Mitglieder der Sequenz zumindest für alle Indizes definiert sind groß genug, das heißt, größer als einige gegebene N.

Die elementarste Art von Sequenzen sind numerische, dh Sequenzen von real oder Komplex Zahlen. Dieser Typ kann auf Sequenzen von einigen von einigen verallgemeinert werden Vektorraum. In der Analyse sind die betrachteten Vektorräume häufig Funktionsräume. Noch allgemeiner kann man Sequenzen mit Elementen in einigen untersuchen topologischer Raum.

Sequenzräume

A Sequenzraum ist ein Vektorraum deren Elemente unendliche Sequenzen von sind real oder Komplex Zahlen. Äquivalent ist es a Funktionsraum deren Elemente Funktionen von der sind natürliche Zahlen zum aufstellen K, wo K ist entweder das Feld realer Zahlen oder das Feld komplexer Zahlen. Der Satz all dieser Funktionen wird natürlich mit dem Satz aller möglichen unendlichen Sequenzen mit Elementen in identifiziert Kund kann in a umgewandelt werden Vektorraum unter den Operationen von punktuelle Addition der Funktionen und der punktuellen Skalarmultiplikation. Alle Sequenzräume sind Lineare Unterteile von diesem Raum. Sequenzräume sind typischerweise mit a ausgestattet Norm, oder zumindest die Struktur von a Topologischer Vektorraum.

Die wichtigsten Sequenzen in der Analyse sind ℓ ℓp Räume, bestehend aus dem p-Power Summable Sequenzen mit den p-Norm. Dies sind besondere Fälle von Lp Räume für die Zählmaßnahme auf dem Satz natürlicher Zahlen. Andere wichtige Klassen von Sequenzen wie konvergente Sequenzen oder Nullsequenzen Formsequenzräume, die jeweils bezeichnet sind c und c0, mit der SUP -Norm. Jeder Sequenzraum kann auch mit dem ausgestattet werden Topologie von punktuelle Konvergenz, unter dem es zu einer besonderen Art von wird Fréchet -Raum genannt FK-Raum.

Lineare Algebra

Sequenzen über a aufstellen kann auch als als angesehen werden Vektoren in einem Vektorraum. Insbesondere der Satz von F-Valierte Sequenzen (wo F ist ein Feld) ist a Funktionsraum (in der Tat a Produktraum) von F-Vagierte Funktionen über die natürliche Zahlen.

Zusammenfassung Algebra

Abstrakte Algebra verwendet verschiedene Arten von Sequenzen, einschließlich Sequenzen mathematischer Objekte wie Gruppen oder Ringe.

Freies Monoid

Wenn A ist ein Satz, die Freies Monoid Über A (bezeichnet A*, auch genannt Kleene Star von A) ist ein Monoid enthält alle endlichen Sequenzen (oder Zeichenfolgen) von Null oder mehr Elementen von Amit dem binären Betrieb der Verkettung. Das Kostenlose Semigroup A+ ist die Subsemigroup von A* enthält alle Elemente außer der leeren Sequenz.

Exakte Sequenzen

Im Zusammenhang mit Gruppentheorie, eine Sequenz

von Gruppen und Gruppe Homomorphismen wird genannt genau, wenn die Bild (oder Angebot) jedes Homomorphismus ist gleich dem Kernel des nächsten:

Die Abfolge von Gruppen und Homomorphismen kann entweder endlich oder unendlich sein.

Eine ähnliche Definition kann für bestimmte andere vorgenommen werden algebraische Strukturen. Zum Beispiel könnte man eine genaue Folge von haben Vektorräume und lineare Karten, Oder von Module und Modul Homomorphismen.

Spektralsequenzen

Im Homologische Algebra und Algebraische Topologie, a Spektralsequenz ist ein Mittel zur Berechnung von Homologiegruppen, indem sie aufeinanderfolgende Annäherungen vornehmen. Spektralsequenzen sind eine Verallgemeinerung von exakte Sequenzenund seit ihrer Einführung von Jean Leray(1946), sie sind zu einem wichtigen Forschungsinstrument geworden, insbesondere in Homotopie -Theorie.

Mengenlehre

Ein Ordinalindexierte Sequenz ist eine Verallgemeinerung einer Sequenz. Wenn α a ist Ordinal begrenzen und X ist ein Satz, eine α-indizierte Sequenz von Elementen von X ist eine Funktion von α bis X. In dieser Terminologie ist eine ω-Indexed-Sequenz eine gewöhnliche Sequenz.

Computer

Im Informatik, endliche Sequenzen werden genannt Listen. Potenziell unendliche Sequenzen werden genannt Ströme. Endliche Sequenzen von Zeichen oder Ziffern werden genannt Saiten.

Ströme

Unendliche Sequenzen von Ziffern (oder Figuren) aus a gezeichnet endlich Alphabet sind von besonderem Interesse an Theoretische Informatik. Sie werden oft einfach als als bezeichnet Sequenzen oder Strömeim Gegensatz zu endlich Saiten. Zum Beispiel sind unendliche binäre Sequenzen unendliche Sequenzen von Bits (Zeichen aus dem Alphabet {0, 1}). Der Satz C = {0, 1} von allen unendlichen binären Sequenzen wird manchmal als die genannt Kantorraum.

Eine unendliche binäre Sequenz kann a darstellen formelle Sprache (eine Reihe von Zeichenfolgen) durch Einstellen der nDas Stück der Sequenz zu 1 wenn und nur wenn die nth String (in Shortlex Order) ist in der Sprache. Diese Darstellung ist nützlich in der Diagonalisierungsmethode für Beweise.[11]

Siehe auch

Operationen
Beispiele
Typen
Verwandte konzepte

Anmerkungen

  1. ^ Wenn die Ungleichheiten durch strenge Ungleichheiten ersetzt werden, ist dies falsch: Es gibt Sequenzen, so dass für alle , aber .

Verweise

  1. ^ a b "Sequenzen". www.mathsifun.com. Abgerufen 2020-08-17.
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Reihenfolge". mathworld.wolfram.com. Abgerufen 2020-08-17.
  3. ^ Index zu Oeis, Online-Enzyklopädie von Ganzzahlsequenzen, 2020-12-03
  4. ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequenz A005132 (Recamáns Sequenz)". Das Online-Enzyklopädie von ganzzahligen Sequenzen. Oeis Foundation. Abgerufen 26. Januar 2018.
  5. ^ a b c Gaughan, Edward (2009). "1.1 Sequenzen und Konvergenz". Einführung in die Analyse. AMS (2009). ISBN 978-0-8218-4787-9.
  6. ^ Edward B. Saff & Arthur David Snider (2003). "Kapitel 2.1". Grundlagen der komplexen Analyse. ISBN 978-01-390-7874-3.
  7. ^ James R. Munkres (2000). "Kapitel 1 & 2". Topologie. ISBN 978-01-318-1629-9.
  8. ^ Lando, Sergei K. (2003-10-21). "7.4 Multiplikative Sequenzen". Vorträge über die Erzeugung von Funktionen. AMS. ISBN 978-0-8218-3481-7.
  9. ^ Falcon, Sergio (2003). "Fibonaccis multiplikative Sequenz". Internationales Journal of Mathematical Education in Naturwissenschaften und Technologie. 34 (2): 310–315. doi:10.1080/0020739031000158362. S2CID 121280842.
  10. ^ Dawikins, Paul. "Serie und Sequenzen". Pauls Online -Mathematiknotizen/Calc II (Notizen). Abgerufen 18. Dezember 2012.
  11. ^ Oflazer, Kemal. "Formale Sprachen, Automaten und Berechnung: Dekidabilität" (PDF). CMU.edu. Carnegie Mellon Universität. Abgerufen 24. April 2015.

Externe Links