Selbstähnlichkeit

A Koch -Kurve hat eine unendlich wiederholte Selbstähnlichkeit, wenn sie vergrößert wird.
Standard (triviale) Selbstähnlichkeit.[1]

Im Mathematik, a selbstähnlich Objekt ist genau oder ungefähr ähnlich Für einen Teil von sich (d. H. Das Ganze hat die gleiche Form wie eine oder mehrere Teile). Viele Objekte in der realen Welt, wie z. Küsten, sind statistisch selbstähnlich: Teile von ihnen zeigen in vielen Maßstäben die gleichen statistischen Eigenschaften.[2] Selbstähnlichkeit ist eine typische Eigenschaft von Fraktale. Skalieren Invarianz ist eine genaue Form der Selbstähnlichkeit, bei der es bei jeder Vergrößerung ein kleineres Stück des Objekts gibt, das ist ähnlich zum Ganzen. Zum Beispiel eine Seite der Koch Snowflake ist beides symmetrisch und Skala-Invariante; Es kann kontinuierlich 3x vergrößert werden, ohne die Form zu ändern. Die in Fraktalen offensichtliche nicht triviale Ähnlichkeit wird durch ihre feine Struktur oder Details auf willkürlich kleinen Maßstäben unterschieden. Als ein Gegenbeispiel, während jeder Teil von a gerade Linie Möglicherweise ähneln Sie dem Ganzen, weitere Details werden nicht aufgedeckt.

Eine Zeitentwicklung des Phänomens soll Selbstähnlichkeit aufweisen, wenn der numerische Wert bestimmter beobachtbarer Mengen gemessen zu unterschiedlichen Zeit bleiben invariant. Es passiert, wenn die Menge Exponate dynamische Skalierung. Die Idee ist nur eine Erweiterung der Idee der Ähnlichkeit zweier Dreiecke.[3][4][5] Beachten Sie, dass zwei Dreiecke ähnlich sind, wenn die numerischen Werte ihrer Seiten unterschiedlich sind, jedoch die entsprechenden dimensionslosen Mengen wie ihre Winkel zusammenfallen.

Peitgen et al. Erklären Sie das Konzept als solches:

Wenn Teile einer Figur kleine Repliken des Ganzen sind, heißt die Figur selbstähnlich.... Eine Figur ist streng selbstähnlich Wenn die Figur in Teile zerlegt werden kann, die exakte Repliken des Ganzen sind. Jeder willkürliche Teil enthält eine genaue Nachbildung der gesamten Abbildung.[6]

Da mathematisch ein Fraktal unter unbestimmte Vergrößerung Selbstähnlichkeit aufweist, ist es unmöglich, dies physisch nachzubilden. Peitgen et al. Schlagen Sie vor, Selbstähnlichkeit mit Annäherungen zu untersuchen:

Um dem Eigentum der Selbstähnlichkeit eine operative Bedeutung zu geben, beschränken wir uns notwendigerweise auf endliche Annäherungen über die Grenzabbildung. Dies erfolgt anhand der Methode, die wir Box-Selbstähnlichkeit aufrufen werden, bei der Messungen auf endlichen Stadien der Figur unter Verwendung von Gittern verschiedener Größen durchgeführt werden.[7]

Dieser Wortschatz wurde von vorgestellt von Benoit Mandelbrot 1964.[8]

Selbstaffinität

Ein Selbstaffinfraktal mit Hausdorff -Dimension= 1,8272.

Im Mathematik, Selbstaffinität ist ein Merkmal von a fraktal deren Stücke sind skaliert durch unterschiedliche Mengen in den X- und Y-Regionen. Dies bedeutet, dass sie mit einem skaliert werden müssen, um die Selbstähnlichkeit dieser fraktalen Objekte zu schätzen anisotrop Affine -Transformation.

Definition

A kompakt topologischer Raum X ist selbstähnlich, wenn es a endliche Menge S Indexierung eines Satzes von Nichtssurjektiv Homomorphismen für welche

Wenn , wir nennen X selbstähnlich, wenn es der einzige ist nicht leer Teilmenge von Y so dass die obige Gleichung für gilt für . Wir nennen

a Selbstähnliche Struktur. Die Homomorphismen können sein iteriert, was zu einem führt Iteriertes Funktionssystem. Die Zusammensetzung von Funktionen erzeugt die algebraische Struktur von a Monoid. Wenn der Satz S hat nur zwei Elemente, der Monoid ist als das bekannt dyadisches Monoid. Das dyadische Monoid kann als unendlich visualisiert werden Binärbaum; allgemeiner, wenn der Satz S hat p Elemente, dann kann das Monoid als p-adic Baum.

Das Automorphismen des dyadischen Monoids ist das Modulare Gruppe; Die Automorphismen können als abgebildet werden Hyperbolische Rotationen des binären Baums.

Ein allgemeinerer Begriff als Selbstähnlichkeit ist Selbstaffinität.

Beispiele

Selbstähnlichkeit in der Mandelbrot Set Dargestellt durch Zoomen auf dem Feigenbaum -Punkt bei (–1.401155189 ..., 0)
Ein Bild der Barnsley fern welche Exponate Befriedigung Selbstähnlichkeit

Das Mandelbrot Set ist auch selbstähnlich herum Misiurewicz Punkte.

Selbstähnlichkeit hat wichtige Konsequenzen für die Gestaltung von Computernetzwerken, da der typische Netzwerkverkehr selbstähnliche Eigenschaften hat. Zum Beispiel in Teletaffic Engineering, Paket umgeschaltet Datenverkehrsmuster scheinen statistisch selbstähnlich zu sein.[9] Diese Eigenschaft bedeutet, dass einfache Modelle mit a Poisson-Verteilung sind ungenau und Netzwerke, die ohne Berücksichtigung der Selbstähnlichkeit entworfen wurden, dürften auf unerwartete Weise funktionieren.

Ähnlich, Aktienmarkt Bewegungen werden als Anzeige beschrieben Selbstaffinität, d. H. Sie erscheinen selbstähnlich, wenn sie über eine angemessene transformiert werden Affine -Transformation für die Detailebene gezeigt.[10] Andrew Lo beschreibt die Selbstähnlichkeit der Börsenprotokollrendite in Ökonometrie.[11]

Finite Unterteilung Regeln sind eine leistungsstarke Technik zum Aufbau von selbstähnlichen Sets, einschließlich der Cantor -Set und die Sierpinski -Dreieck.

Ein Dreieck, das wiederholt verwendet wurde Barycentric Subdivision. Die Ergänzung der großen Kreise wird a Sierpinski Teppich

In Kybernetik

Das lebensfähiges Systemmodell von Stafford Beer ist ein organisatorisches Modell mit einer affine selbstähnlichen Hierarchie, in der ein bestimmtes tragfähiges System ein Element des Systems ist, das zu einem lebensfähigen System ist, das eine rekursive Ebene höher ist und für die die Elemente seines Systems eine tragfähige Systeme sind, die eine rekursive Ebene niedriger sind Nieder.

In der Natur

Nahaufnahme von a Romanesco Broccoli.

Selbstähnlichkeit kann auch in der Natur gefunden werden. Rechts befindet sich ein mathematisch erzeugtes, perfekt selbstähnliches Bild von a Farn, was eine deutliche Ähnlichkeit mit natürlichen Farnen hat. Andere Pflanzen wie z. Romanesco Broccoli, zeigen starke Selbstähnlichkeit.

In Musik

  • Strikt Kanonen Zeigen Sie verschiedene Arten und Mengen an Selbstähnlichkeit an, ebenso wie Abschnitte von Flüchtlinge.
  • A Shepard -Ton ist selbstähnlich in den Frequenz- oder Wellenlängendomänen.
  • Das dänisch Komponist Per nørgård hat eine Selbstähnlichkeit benutzt Ganzzahlsequenz In weiten Teilen seiner Musik nannte die 'Infinity -Serie'.
  • Im Forschungsbereich von Musikinformation AbrufSelbstähnlichkeit bezieht sich gewöhnlich auf die Tatsache, dass Musik oft aus Teilen besteht, die rechtzeitig wiederholt werden.[12] Mit anderen Worten, Musik ist unter der zeitlichen Übersetzung und nicht unter der Skalierung selbstähnlich und nicht unter der Skalierung.[13]

Siehe auch

Verweise

  1. ^ Mandelbrot, Benoit B. (1982). Die fraktale Geometrie der Natur, S.44. ISBN978-0716711865.
  2. ^ Mandelbrot, Benoit B. (5. Mai 1967). "Wie lange dauert die Küste Großbritanniens? Statistische Selbstähnlichkeit und fraktionelle Dimension". Wissenschaft. Neue Serien. 156 (3775): 636–638. Bibcode:1967Sci ... 156..636m. doi:10.1126/science.156.3775.636. PMID 17837158. S2CID 15662830. PDF
  3. ^ Hassan M. K., Hassan M. Z., Pavel N. I. (2011). "Dynamische Skalierung, Daten-Collapsand-Selbstähnlichkeit in Barabasi-Albert-Netzwerken". J. Phys.A: Mathe.Theor. 44 (17): 175101. Arxiv:1101.4730. Bibcode:2011JPHA ... 44Q5101K. doi:10.1088/1751-8113/44/17/175101. S2CID 15700641.{{}}: Cs1 montiert: Mehrfachnamen: Autorenliste (Link)
  4. ^ Hassan M. K., Hassan M. Z. (2009). "Entstehung des fraktalen Verhaltens in der Kondensationsgetriebene Aggregation". Phys. Rev. e. 79 (2): 021406. Arxiv:0901.2761. Bibcode:2009phrve..79B1406H. doi:10.1103/Physreve.79.021406. PMID 19391746. S2CID 26023004.
  5. ^ Dayeen F. R., Hassan M. K. (2016). "Multimultifraktalität, dynamische Skalierung und Nachbarschaftsstatistik in gewichteten planaren stochastischen Gitter". Chaos, Solitonen & Fraktale. 91: 228. Arxiv:1409.7928. Bibcode:2016csf .... 91..228d. doi:10.1016/j.chaos.2016.06.006.
  6. ^ Peitgen, Heinz-Otto; Jürgens, Hartmut; Saupe, Dietmar; Maletsky, Evan; Perciante, Terry; und Yunker, Lee (1991). Fraktale für das Klassenzimmer: Strategische Aktivitäten Band 1, S.21. Springer-Verlag, New York. ISBN0-387-97346-X und ISBN3-540-97346-x.
  7. ^ Peitgen et al. (1991), S. 2-3.
  8. ^ Kommentar J'ai découvert Les fractales, Interview de Benoit Mandelbrot, La renovche https://www.larecherche.fr/math%C3%A9matiques-histoire-des-sciences/%C2%AB-CMENT-JAI-D%C3%A9COUVER-LES-FRACTALE-%C2%BB
  9. ^ Leland, W.E.; Taqqu, M.S.; et al. (Januar 1995). "Über die selbstähnliche Natur des Ethernet-Datenverkehrs (erweiterte Version)" (PDF). IEEE/ACM -Transaktionen zur Vernetzung. 2 (1): 1–15. doi:10.1109/90.282603. S2CID 6011907.
  10. ^ Benoit Mandelbrot (Februar 1999). "Wie Fraktale erklären können, was mit der Wall Street los ist". Wissenschaftlicher Amerikaner.
  11. ^ Campbell, Lo und Mackinlay (1991) "Ökonometrie der Finanzmärkte ", Princeton University Press! ISBN978-0691043012
  12. ^ Foote, Jonathan (30. Oktober 1999). "Musik und Audio mit Selbstähnlichkeit visualisieren". Verfahren der siebten ACM Internationalen Konferenz über Multimedia (Teil 1) - Multimedia '99 (PDF). Multimedia '99 Proceedings der siebten ACM International Conference on Multimedia (Teil 1). S. 77–80. Citeseerx 10.1.1.223.194. doi:10.1145/319463.319472. ISBN 978-1581131512. S2CID 3329298. Archiviert (PDF) Aus dem Original am 9. August 2017.
  13. ^ Pareyon, Gabriel (April 2011). Über musikalische Selbstähnlichkeit: Intersemiose als Synecdoche und Analogie (PDF). International Semiotics Institute in Imatra; Semiotische Gesellschaft von Finnland. p. 240. ISBN 978-952-5431-32-2. Archiviert von das Original (PDF) am 8. Februar 2017. Abgerufen 30. Juli 2018. (Siehe auch Google Bücher)

Externe Links

Selbstaffinität