Schwartz -Zippel Lemma

In der Mathematik die Schwartz -Zippel Lemma (auch als die genannt Demillo-Lipton-Schwartz-Zippel Lemma) ist ein Werkzeug, das üblicherweise in probabilistischen verwendet wird Polynomidentitätstests, d.h. im Problem der Bestimmung, ob eine gegebene multivariate Polynom ist das 0-polynomiale^{[Klarstellung erforderlich]} (oder identisch gleich 0). Es wurde unabhängig voneinander entdeckt von Jack Schwartz,^[1] Richard Zippel,^[2] und Richard Demillo und Richard J. LiptonObwohl die Version von Demillo und Lipton ein Jahr vor Schwartz und Zippels Ergebnis gezeigt wurde.^[3] Die endliche Feldversion dieser Grenze wurde von bewiesen von Øystein Erz 1922.^[4]

Aussage und Beweis des Lemma

Satz 1 (Schwartz, Zippel). Lassen

{\ displayStyle p \ in f [x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}]}

ein Polynom ungleich Null von insgesamt sein Grad $d \geq 0$ über ein aufstellenF. sei eine endliche Teilmenge von f und lass $r 1 Anwesend r 2, ..., r n$ zufällig unabhängig und einheitlich von S. ausgewählt werden

oder

Äquivalent stellt das Lemma fest, dass für jede endliche Untergruppe S von F, wenn z (p) der Nullsatz von P ist, dann

{\ displayStyle | z (p) \ cap s^{n} | \ leq d \ cdot | s |^{n-1}.}

Nachweisen. Der Beweis ist durch mathematische Induktion an n. Zum $n = 1$ wie bereits erwähnt, P kann höchstens haben d Wurzeln. Dies gibt uns den Basisfall. Nehmen Sie nun an, dass der Satz für alle Polynome in den Giptionen ist $n - 1$ Variablen. Wir können dann nachdenken P Polynom sein in x₁ durch das Schreiben als

oder Punkte, x_ {n}).}

Seit $P$ ist nicht identisch 0, es gibt einige $i$ so dass ${\ displayStyle p_ {i}}$ ist nicht identisch 0. Nehmen Sie das größte solche $i$ . Dann ${\ displaystyle \ deg p_ {i} \ leq d-i}$ seit dem Grad von ${\ displaystyle x_ {1}^{i} p_ {i}}$ ist höchstens d.

Jetzt wählen wir zufällig ${\ displayStyle r_ {2}, \ dots, r_ {n}}$ aus $S$ . Durch die Induktionshypothese, $oder$

Wenn ${\ displayStyle p_ {i} (r_ {2}, \ ldots, r_ {n}) \ neq 0}$ , dann ${\ displayStyle p (x_ {1}, r_ {2}, \ ldots, r_ {n})}$ ist von Grad $i$ (und damit nicht identisch null) so

oder ] \ leq {\ frac {i} {| s |}}.}

Wenn wir die Veranstaltung bezeichnen ${\ displayStyle p (r_ {1}, r_ {2}, \ ldots, r_ {n}) = 0}$ durch $A$ , das Ereignis ${\ displaystyle p_ {i} (r_ {2}, \ ldots, r_ {n}) = 0}$ durch $B$ und die Ergänzung von $B$ durch ${\ displaystyle b^{c}}$ , wir haben

oder | B]+\ pr [b^{c}] \ pr [a | b^{c}] \\ & \ leq \ pr [b]+\ pr [a | b^{c}] \\ & \ leq {\ frac {d-i} {| s |}}+{\ frac {i} {| s |}} = {\ frac {d} {| s |}} \ end {ausgeteilt}}}}

Anwendungen

Die Bedeutung des Schwartz -Zippel -Theorems und der Prüfung der Polynomidentitäten folgt aus Algorithmen, die auf Probleme erhalten werden, die auf das Problem von reduziert werden können Polynomidentitätstests.

Null -Test

Zum Beispiel ist

{\ displayStyle (x_ {1}+3x_ {2} -x_ {3}) (3x_ {1}+x_ {4} -1) \ cdots (x_ {7} -x_ {2}) \ äquiv 0 \? }

Um dies zu lösen, können wir es multiplizieren und überprüfen, ob alle Koeffizienten 0 sind. Dies dauert jedoch Exponentialzeit. Im Allgemeinen kann ein Polynom algebraisch durch eine dargestellt werden arithmetische Formel oder Schaltung.

Vergleich von zwei Polynomen

Gegeben ein Paar Polynome ${\ displayStyle p_ {1} (x)}$ und ${\ displayStyle p_ {2} (x)}$ , ist

{\ displayStyle p_ {1} (x) \ äquiv p_ {2} (x)}

?

Dieses Problem kann gelöst werden, indem es auf das Problem der Polynomidentitätstests reduziert wird. Es entspricht der Überprüfung, ob

{\ displayStyle [p_ {1} (x) -p_ {2} (x)] \ äquiv 0.}

Daher können wir das bestimmen

{\ displayStyle p (x) \ äquiv 0,}

wo

{\ displayStyle p (x) = p_ {1} (x) \;-\; p_ {2} (x),},}

Dann können wir feststellen, ob die beiden Polynome gleichwertig sind.

Der Vergleich von Polynomen hat Anwendungen für Verzweigungen (auch genannt Binäre Entscheidungsdiagramme). Ein schreibgeschütztes Verzweigungsprogramm kann durch a dargestellt werden Multilineares Polynom das berechnet (über jedem Feld) auf {0,1} -Intumpflichten dasselbe Boolesche Funktion Als Verzweigungsprogramm und zwei Verzweigungsprogramme berechnen die gleiche Funktion, wenn die entsprechenden Polynome gleich sind. Daher kann die Identität von booleschen Funktionen, die durch Lesezeit-Verzweigungsprogramme berechnet werden, auf Polynomidentitätstests reduziert werden.

Vergleich von zwei Polynomen (und daher testen polynomiale Identitäten) auch Anwendungen in der 2D-Kompression, wobei das Problem der Ermittlung der Gleichheit von zwei 2D-Texten A und B wird auf das Problem des Vergleichs der Gleichheit von zwei Polynomen reduziert ${\ displayStyle p_ {a} (x, y)}$ und ${\ displayStyle p_ {b} (x, y)}$ .

Primalitätstest

Gegeben ${\ displayStyle n \ in \ mathbb {n}}$ , ist ${\ displayStyle n}$ a Primzahl?

Ein einfacher randomisierter Algorithmus, der von entwickelt wurde von Manindra Agrawal und Somenath Biswas können probabilistisch bestimmen, ob ${\ displayStyle n}$ ist Primzahl und verwendet dazu Polynomidentitätstests.

Sie schlagen vor, dass alle Primzahlen n (und nur Primzahlen) erfüllen die folgende Polynomidentität:

{\ displayStyle (1+z)^{n} = 1+z^{n} ({\ mbox {mod}} \; n).}

Dies ist eine Folge der Frobenius Endomorphismus.

Lassen

{\ displaystyle {\ mathcal {p}} _ {n} (z) = (1+z)^{n} -1-z^{n}.}

Dann ${\ displayStyle {\ mathcal {p}} _ {n} (z) = 0 \; ({\ mbox {mod} \; n)}$ IFF n ist Prime. Der Beweis kann in [4] gefunden werden. Da dieses Polynom jedoch einen Grad hat ${\ displayStyle n}$ , wo ${\ displayStyle n}$ Kann eine Prime sein oder nicht, die Schwartz -Zippel -Methode würde nicht funktionieren. Agrawal und Biswas verwenden eine ausgefeiltere Technik, die teilt ${\ displaystyle {\ mathcal {p}} _ {n}}$ durch ein zufälliges Monikpolynom von geringem Grad.

Primzahlen werden in einer Reihe von Anwendungen verwendet, wie z. B. Hash -Tabellengröße, Pseudorandom Zahlengeneratoren und in der Schlüsselgeneration für Kryptographie. Daher sehr große Primzahlen finden (zumindest in der Reihenfolge von (zumindest) ${\ displayStyle 10^{350} \ ca. 2^{1024}}$ ) wird sehr wichtig und effiziente Primalitätstestalgorithmen sind erforderlich.

Perfektes Matching

Lassen ${\ displayStyle g = (v, e)}$ sei a Graph von $n$ Scheitelpunkte wo $n$ ist gerade. Tut $G$ enthalten a Perfektes Matching?

Satz 2 (Tutte 1947): A Tutte matrix Determinante ist nicht a $0$ -Polynom dann und nur dann, wenn Es gibt eine perfekte Übereinstimmung.

Eine Teilmenge $D$ von $E$ wird als Matching bezeichnet, wenn jeder Scheitelpunkt in $V$ ist mit höchstens eine Kante in einfall $D$ . Ein Matching ist perfekt, wenn jeder Scheitelpunkt in $V$ hat genau eine Kante, die sich ihm vorfällt $D$ . Ein ... kreieren Tutte matrix $A$ auf die folgende Weise:

oder \mathit {n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{{\mathit {n}}1}&a_{{\mathit {n}}2}&\ldots &a_{\ mathit {nn}} \ end {bmatrix}}}

wo

oder \ -x_ {ji} \; \; {\ mbox {if}} \; (i, j) \ in e {\ mbox {und}} i> j \\ 0 \; \; \; \; {\ \ \ {\ mbox {sonst}}. \ end {cases}}}

Die Tutte -Matrix -Determinante (in den Variablen x_ij, ${\ displayStyle i <j}$ ) wird dann definiert wie die bestimmend von diesem schief symmetrische Matrix was mit dem Quadrat des Pfaffian der Matrix A und ist ungleich Null (als Polynom), wenn und nur wenn eine perfekte Übereinstimmung existiert. Man kann dann Polynomidentitätstests verwenden, um zu finden, ob $G$ Enthält eine perfekte Übereinstimmung. Es gibt einen deterministischen Black-Box-Algorithmus für Diagramme mit polynomisch begrenzten Permanenten (Grigoriev & Karpinski 1987).^[5]

Im Sonderfall eines ausgeglichenen Bipartitale Grafik an ${\ displayStyle n = m+m}$ Scheitelpunkte Diese Matrix hat die Form von a Blockmatrix

{\ displayStyle a = {\ begin {pmatrix} 0 & x \\-x^{t} & 0 \ end {pmatrix}}}

Wenn der erste m Zeilen (bzw. Spalten) werden mit der ersten Teilmenge der zweisteigigen und der letzten indexiert m Zeilen mit der komplementären Teilmenge. In diesem Fall fällt der Pfaffian mit der üblichen Determinante des m × m Matrix X (bis zum Unterschreiben). Hier X ist der Edmonds Matrix.

Determinante einer Matrix mit Polynomeinträgen

Lassen

{\ displayStyle p (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n})}

sei der bestimmend des Polynommatrix.

Derzeit ist keine Subexponentialzeit bekannt Algorithmus Das kann dieses Problem deterministisch lösen. Es gibt jedoch randomisierte Polynomalgorithmen, deren Analyse eine gebundene Wahrscheinlichkeit erfordert, dass ein Polynom ohne Null an zufällig ausgewählten Testpunkten Wurzeln aufweist.

Anmerkungen

^ Schwartz 1980.
^ Zippel 1979.
^ Demillo & Lipton 1978.
^ Ö. Erz, über Höhere Kongruenzen. Norsk Matte. Forenings Skrifter Ser. I (1922), nein. 7, 15 Seiten.
^ Grigoriev & Karpinski 1987.

Verweise

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Berman, Piotr; Karpinski, Marek; Larmore, Lawrence L.; Plandowski, Wojciech; Rytter, Wojciech (2002). "Über die Komplexität der Musteranpassung für hochkomprimierte zweidimensionale Texte" (PS). Journal of Computer and System Sciences. 65 (2): 332–350. doi:10.1006/jcs.2002.1852. Abgerufen 2008-06-15.
Grigoriev, Dima; Karpinski, Marek (1987). "Das Matching -Problem für zweigliedrige Diagramme mit polynomisch begrenzten Permanenten ist in NC". Proceedings des 28. jährlichen Symposiums für Fundamente der Informatik (FOCS 1987), Los Angeles, Kalifornien, USA, 27. bis 29. Oktober 1987. IEEE Computer Society. S. 166–172. doi:10.1109/sfcs.1987.56. ISBN 978-0-8186-0807-0. S2CID 14476361.
Moshkovitz, Dana (2010). Ein alternativer Beweis für den Schwartz-Zippel Lemma. ECCC TR10-096
Demillo, Richard A.; Lipton, Richard J. (1978). "Eine probabilistische Bemerkung zum algebraischen Programmtest". Informationsverarbeitungsbriefe. 7 (4): 193–195. doi:10.1016/0020-0190 (78) 90067-4.
Rudich, Steven (2004). AMS (Hrsg.). Computerkomplexitätstheorie. IAS/Park City Mathematics Series. Vol. 10. ISBN 978-0-8218-2872-4.
Schwartz, Jacob T. (Oktober 1980). "Schnelle probabilistische Algorithmen zur Überprüfung der polynomischen Identitäten" (PDF). Journal of the ACM. 27 (4): 701–717. Citeseerx 10.1.1.391.1254. doi:10.1145/322217.322225. S2CID 8314102. Abgerufen 2008-06-15.
Tutte, W.T. (April 1947). "Die Faktorisierung linearer Graphen". J. London Math. SOC. 22 (2): 107–111. doi:10.1112/jlms/s1-22.2.107. HDL:10338.DMLCZ/128215.
Zippel, Richard (1979). "Probabilistische Algorithmen für spärliche Polynome". In Ng, Edward W. (Hrsg.). Symbolische und algebraische Berechnung, Eurosam '79, ein internationales Symposium -Symposium -symbolischer und algebraischer Berechnung, Marseille, Frankreich, Juni 1979, Proceedings. Vorlesungsnotizen in Informatik. Vol. 72. Springer. S. 216–226. doi:10.1007/3-540-09519-5_73. ISBN 978-3-540-09519-4.
Zippel, Richard (Februar 1989). "Eine explizite Trennung der relativisierten zufälligen Polynomzeit und relativisierte deterministische Polynomzeit" (PS). Abgerufen 2008-06-15.
Zippel, Richard (1993). Springer (Hrsg.). Effektive Polynomberechnung. Die Springer International Series in Engineering und Informatik. Vol. 241. ISBN 978-0-7923-9375-7.

Externe Links

Die merkwürdige Geschichte des Schwartz -Zippel Lemma, durch Richard J. Lipton

[FOOTNOTESchwartz1980-1] Schwartz 1980.

[FOOTNOTEZippel1979-2] Zippel 1979.

[FOOTNOTEDeMilloLipton1978-3] Demillo & Lipton 1978.

[4] Ö. Erz, über Höhere Kongruenzen. Norsk Matte. Forenings Skrifter Ser. I (1922), nein. 7, 15 Seiten.

[FOOTNOTEGrigorievKarpinski1987-5] Grigoriev & Karpinski 1987.

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[4]

[5]