SL (Komplexität)

Im Computerkomplexitätstheorie, Sl (Symmetrischer Logspace oder Sym-l) ist der Komplexitätsklasse von Problemen loga verrichtbar zu Ustcon (Unbekannte S-T-Konnektivität), was das Problem ist, zu bestimmen, ob es einen Weg zwischen zwei Scheitelpunkten in einem gibt ungerichtete Grafikansonsten als das Problem der Bestimmung beschrieben, ob zwei Eckpunkte im gleichen sind verbundene Komponente. Dieses Problem wird auch als die genannt Ungeleitete Erreichbarkeitsproblem. Es spielt keine Rolle, ob Manche-One-One-Reduzierbarkeit oder Reduzierbarkeit wird genutzt. Obwohl ursprünglich in Bezug auf Symmetrische Turing -MaschinenDiese äquivalente Formulierung ist sehr komplex, und die Reduktibilitätsdefinition wird in der Praxis verwendet.

Ustcon ist ein Sonderfall von Stcon (Richtungsvermögen) Das Problem, zu bestimmen, ob ein gerichteter Weg zwischen zwei Scheitelpunkten in a gerichteter Graph existiert, was vollständig ist für Nl. Weil USSTCON ist Sl-Complete, die meisten Fortschritte, die Ustcon beeinflussen, haben sich ebenfalls ausgewirkt Sl. So sind sie verbunden und zusammen diskutiert.

Im Oktober 2004 Omer Reingold zeigte, dass Sl = L.

Herkunft

SL wurde erstmals 1982 von definiert von Harry R. Lewis und Christos Papadimitriou,[1] Wer suchte nach einer Klasse, in der ustcon platziert werden kann, die bis zu dieser Zeit bestenfalls in platziert werden konnte Nlobwohl es scheinbar nicht einen Nichtdeterminismus erfordern schien. Sie definierten die Symmetrische Turing -Maschine, benutzte es, um SL zu definieren, zeigte, dass Ustcon für SL vollständig war, und bewies das

wo L ist die bekanntere Klasse von Problemen, die von einem gewöhnlichen Lösungsmittel lösbar sind deterministische Turing -Maschine im logarithmischen Raum, und NL ist die Klasse von Problemen lösbar durch Nichtdeterministische Turing -Maschinen im logarithmischen Raum. Das später diskutierte Ergebnis von Reingold zeigt, dass die symmetrische Turing -Maschine, wenn sie auf den Protokollraum beschränkt ist, der deterministischen Turing -Maschine gleichwertig ist.

Vollständige Probleme

Laut Definition ist UstCon für SL vollständig (alle Probleme in SL reduzieren sich auf sie selbst). Es wurden viel mehr interessante vollständige Probleme gefunden, die meistens durch direkt oder indirekt von Ustcon reduzierten, und ein Kompendium von ihnen wurde von àlvarez und Greenlaw gemacht.[2] Viele der Probleme sind Graphentheorie Probleme in ungerichteten Graphen. Zu den einfachsten und wichtigsten SL-Complete-Problemen, die sie beschreiben, gehören:

  • Ustcon
  • Simulation symmetrischer Turing -Maschinen: Akzeptiert ein STM einen bestimmten Eingang in einem bestimmten Raum, der in Unary gegeben ist?
  • Vertex-Disjoint-Pfade: sind da k Pfade zwischen zwei Scheitelpunkten, die nur an den Endpunkten Eckpunkte teilen? (Eine Verallgemeinerung von UstCon, entspricht der Frage, ob ein Diagramm ist k-in Verbindung gebracht)
  • Ist eine bestimmte Grafik a Bipartitale Grafikoder entsprechend hat es eine Grafikfarbe 2 Farben verwenden?
  • Zwei ungerichtete Diagramme haben die gleiche Anzahl von verbundene Komponenten?
  • Hat eine Grafik eine gleichmäßige Anzahl angeschlossener Komponenten?
  • Gibt es einen Zyklus, der eine bestimmte Kante enthält?
  • Mach das Wälder überspannen von zwei Grafiken haben die gleiche Anzahl von Kanten?
  • Bei einem Diagramm, in dem alle seine Kanten unterschiedliche Gewichte haben, ist eine bestimmte Kante in der Mindestgewichtsspannungswald?
  • Exklusiv oder 2-Erfüllbarkeit: Bei einer Formel, die das erfordert oder für eine Reihe von Variablenpaaren halten Gibt es eine Zuordnung zu den Variablen, die es wahr macht?

Das Ergänzungen Von all diesen Problemen sind auch SL, da SL, wie wir sehen werden, unter Komplement geschlossen ist.

Von der Tatsache, dass L = SlDaraus folgt, dass viele weitere Probleme SL-Vervollständigung in Bezug auf Log-Raum-Reduktionen: Jedes nicht triviale Problem in L oder in Sl ist Sl-Komplett; Außerdem, auch wenn die Reduktionen in einer kleineren Klasse sind als L, L-Completess ist gleichbedeutend mit Sl-Vollständigkeit. In diesem Sinne ist diese Klasse etwas trivial geworden.

Wichtige Ergebnisse

Es gibt bekannte klassische Algorithmen wie z. Tiefe-First-Suche und Breite-First-Suche die ustcon in linearer Zeit und Raum lösen. Ihre Existenz, lange zuvor gezeigt Sl wurde definiert, beweist das Sl ist in P. Es ist auch nicht schwer zu zeigen, dass ustcon usw. Sl, ist in Nl, da wir einfach nicht deterministisch an jedem Scheitelpunkt erraten können, welchen Scheitelpunkt als nächstes besuchen soll, um einen Weg zu entdecken, wenn einer vorhanden ist.

Das erste nicht triviale Ergebnis für SlEs war jedoch Savitchs Theorem, bewiesen 1970, der einen Algorithmus lieferte, der Ustcon in Log löst2 n Platz. Im Gegensatz zur Tiefe-First-Suche ist dieser Algorithmus für die meisten Anwendungen aufgrund seiner potenziell superpolynomialen Laufzeit für die meisten Anwendungen unpraktisch. Eine Folge davon ist das ustcon und so Sl, ist in DSpace(Protokoll2n).[3] (Tatsächlich gibt Savitchs Theorem das stärkere Ergebnis, dass das ist Nl ist in DSpace(Protokoll2n).))

Obwohl es keine (einheitlich) gab deterministisch Weltraumverbesserungen auf Savitchs Algorithmus für 22 Jahre, ein sehr praktischer probabilistischer Log-Raum-Algorithmus wurde 1979 von Aleliunas et al. zielloser Spaziergang bis Sie den anderen finden (dann akzeptieren) oder bis |V|3 Die Zeit ist vergangen (dann ablehnen).[4] Falsche Ablehnungen werden mit einer kleinen begrenzten Wahrscheinlichkeit gemacht, die exponentiell schrumpft, je länger der Zufallsspaziergang fortgesetzt wird. Dies zeigte das Sl ist in RLP, die Klasse der Probleme, die in Polynomzeit und logarithmischem Raum mit probabilistischen Maschinen lösbar sind, die fälschlicherweise weniger als 1/3 der Zeit ablehnen. Aleliunas et al. zeigte das auch Sl ist in L/poly, eine ungleichmäßige Komplexitätsklasse der Probleme lösbarer deterministisch im logarithmischen Raum mit Polynom Rat.

1989 haben Borodin et al. verstärkte dieses Ergebnis, indem er zeigt, dass die ergänzen von ustcon, die feststellen, ob sich zwei Scheitelpunkte in verschiedenen verbundenen Komponenten befinden, befindet sich ebenfalls in RLP.[5] Dies platzierte Ustcon und Slin Co-RLP und im Schnittpunkt von RLP und Co-RLP, zPLP, die Klasse von Problemen, die einen logarithmischen Raum haben, erwartete polynomiale Zeit, randomisierte Algorithmen ohne Fehler.

Im Jahr 1992, Nisan, Szemerédi, und Wigderson Fand schließlich einen neuen deterministischen Algorithmus zum Lösen von Ustcon mit nur Log1.5 n Platz.[6] Dies wurde leicht verbessert, aber bis Reingold würde es keine signifikanten Gewinne geben.

Im Jahr 1995 zeigten Nisan und Ta-Shma das überraschende Ergebnis, das Sl wird unter Komplement geschlossen, was zu dieser Zeit von vielen als falsch angesehen wurde; das ist, Sl = Co-Sl.[7] Equivalent, wenn ein Problem gelöst werden kann, indem es auf ein Diagramm reduziert wird und gefragt wird, ob sich zwei Scheitelpunkte in der befinden gleich Komponente kann auch gelöst werden, indem es auf ein anderes Diagramm reduziert und gefragt wird, ob sich zwei Scheitelpunkte in anders Komponenten. Reingolds Papier würde dieses Ergebnis jedoch später überflüssig machen.

Eine der wichtigsten Konzentrare von Sl = Co-Sl ist das LSl = Sl; das heißt, eine deterministische, logarithmische Maschine mit einer Orakel zum Sl kann Probleme lösen in Sl (trivial), kann aber keine anderen Probleme lösen. Das bedeutet Sl; Sie sind gleichwertig.

Ein Durchbruch im Oktober 2004 von Papier von Omer Reingold zeigten, dass ustcon tatsächlich in ist L.[8] Da ustcon ist Sl-Complete impliziert das Sl = Lim Wesentlichen die Nützlichkeit der Berücksichtigung von zu beseitigen Sl als separate Klasse. Einige Wochen später zeigte Doktorand Vladimir Trifonov, dass Ustcon deterministisch gelöst werden konnte Raum - ein schwächeres Ergebnis - unter Verwendung verschiedener Techniken.[9] Es gab keine erheblichen Anstrengungen, um Reingolds Algorithmus für USTCon in eine praktische Formulierung zu verwandeln. Es ist explizit in seiner Arbeit (und denen, die dazu führen), dass sie sich in erster Linie mit Asymptotika befassen; Infolgedessen würde der Algorithmus, den er beschreibt Erinnerung und Zeit. Das bedeutet, dass sogar für Der Algorithmus würde mehr Speicher benötigen als auf allen Computern der Welt (eine Kiloexaexaexabyte).

Folgen von l = sl

Der Zusammenbruch von L und Sl hat eine Reihe erheblicher Konsequenzen. Am offensichtlichsten alle Sl-Complete -Probleme sind jetzt in Lund kann bei der Gestaltung deterministischer Protokoll-Raum- und Polylogarithmic-Raum-Algorithmen gewinnbringend eingesetzt werden. Insbesondere haben wir einen neuen Satz von Tools, in denen wir verwendet werden können Log-Raum-Reduzierungen. Es ist jetzt auch bekannt, dass ein Problem darin ist L Wenn und nur wenn es sich um einen logarithmischen Raum handelt, der auf Ustcon reduzierbar ist.

Fußnoten

  1. ^ Lewis, Harry R.; Papadimitriou, Christos H. (1980), "symmetrische raumrangige Berechnung", Verfahren des siebten internationalen Kolloquiums über Automaten, Sprachen und Programmierung, Vorlesungsnotizen in Informatik, Vol. 85, Berlin: Springer, S. 374–384, doi:10.1007/3-540-10003-2_85, HERR 0589018. Journalversion veröffentlicht als Lewis, Harry R.; Papadimitriou, Christos H. (1982), "symmetrische raumrangige Berechnung", Theoretische Informatik, 19 (2): 161–187, doi:10.1016/0304-3975 (82) 90058-5, HERR 0666539
  2. ^ Àlvarez, carme; Greenlaw, Raymond (2000), "Ein Kompendium mit Problemen für symmetrische logarithmische Raum", Rechenkomplexität, 9 (2): 123–145, doi:10.1007/pl00001603, HERR 1809688.
  3. ^ Savitch, Walter J. (1970), "Beziehungen zwischen nichtdeterministischen und deterministischen Klebebandkomplexitäten", Journal of Computer and System Sciences, 4: 177–192, doi:10.1016/s0022-0000 (70) 80006-x, HDL:10338.DMLCZ/120475, HERR 0266702.
  4. ^ Aleliunas, Romas; Karp, Richard M.; Lipton, Richard J.; Lovász, László; Rackoff, Charles (1979), "Random Walks, universelle Traversalsequenzen und die Komplexität von Labyrinthproblemen", Verfahren des 20. jährlichen Symposiums für Fundamente der Informatik, New York: IEEE, S. 218–223, doi:10.1109/sfcs.1979.34, HERR 0598110.
  5. ^ Borodin, Allan; Cook, Stephen A.; Dymond, Patrick W.; Ruzzo, Walter L.; Tompa, Martin (1989), "Zwei Anwendungen der induktiven Zählung für Komplementationsprobleme", Siam Journal über Computing, 18 (3): 559–578, Citeseerx 10.1.1.394.1662, doi:10.1137/0218038, HERR 0996836.
  6. ^ Nisan, Noam; Szemerédi, Endre; Wigderson, Avi (1992), "ungerichtete Konnektivität in O (log1.5n) Raum", Verfahren des 33. jährlichen Symposiums für Grundlagen der Informatik, S. 24–29, doi:10.1109/sfcs.1992.267822.
  7. ^ Nisan, Noam; Ta-Shma, Amnon (1995), "Symmetrischer Logspace ist unter Komplement geschlossen", Chicago Journal of Theoretical Informatik, Artikel 1, HERR 1345937, ECCC TR94-003.
  8. ^ Reingold, Omer (2008), "ungerichtete Konnektivität im Protokollraum", Journal of the ACM, 55 (4): 1–24, doi:10.1145/1391289.1391291, HERR 2445014.
  9. ^ Trifonov, Vladimir (2008), "und O(Protokoll n Protokollprotokoll n) Weltraumalgorithmus für ungerichtete st-Konnektivität ", Siam Journal über Computing, 38 (2): 449–483, doi:10.1137/050642381, HERR 2411031.

Verweise

  • C. Papadimitriou. Rechenkomplexität. Addison-Wesley, 1994. ISBN0-201-53082-1.
  • Michael Sipser. Introduction to the Theory of Computation. PWS Publishing Co., Boston 1997 ISBN0-534-94728-x.