Quadratischer Mittelwert

Im Mathematik und seine Anwendungen, die quadratischer Mittelwert von a einstellen Zahlen (abgekürzt wie RMS, RMS oder RMS und in Formeln bezeichnet als beide oder ) ist definiert als die Quadratwurzel des quadratischer Mittelwert (das arithmetisches Mittel des Quadrate) des Satzes.[1] Das RMS ist auch als das bekannt quadratischer Mittelwert (bezeichnet )[2][3] und ist ein besonderer Fall der verallgemeinerte Mittelwert. Die RMs eines kontinuierlichen variierenden RMS Funktion (bezeichnet ) kann in Bezug auf eine definiert werden Integral- der Quadrate der momentanen Werte während eines Zyklus.

Zum Wechsel elektrischer Strom, RMS ist gleich dem Wert der Konstante Gleichstrom Das würde die gleiche Leistungsabteilung in a erzeugen Widerstandslast.[1]Im Schätztheorie, das Wurzel-Mittelwert-Abweichung eines Schätzers ist ein Maß für die Unvollkommenheit der Anpassung des Schätzers an die Daten.

Definition

Der RMS -Wert einer Reihe von Werten (oder a kontinuierliche Zeit Wellenform) ist die quadratische Wurzel des arithmetischen Mittelwerts der Quadrate der Werte oder das Quadrat der Funktion, die die kontinuierliche Wellenform definiert. In der Physik kann der RMS -Stromwert auch als "Wert des Gleichstroms, der die gleiche Leistung in einem Widerstand auflöst" definiert werden kann.

Im Falle eines Satzes von n Werte , der RMS ist

Die entsprechende Formel für eine kontinuierliche Funktion (oder Wellenform) f(t) über das Intervall definiert ist

und die RMS für eine Funktion über alle Zeiten sind

Die RMS über alle Zeiten von a periodische Funktion entspricht dem RMS einer Periode der Funktion. Der RMS -Wert einer kontinuierlichen Funktion oder eines kontinuierlichen Signals kann angenähert werden, indem die RMS einer Probe aus gleichermaßen beabstandeten Beobachtungen entnommen wird. Zusätzlich kann der RMS -Wert verschiedener Wellenformen auch ohne bestimmt werden Infinitesimalrechnung, wie von Cartwright gezeigt.[4]

Im Fall der RMS -Statistik von a zufälliger Prozess, das erwarteter Wert wird anstelle des Mittelwerts verwendet.

In gemeinsamen Wellenformen

Sinus, Quadrat, Dreieck, und Sägezahn Wellenformen. In jeweils liegt die Mittellinie bei 0, der positive Peak ist bei und der negative Peak ist bei
Eine rechteckige Pulswelle des Arbeitszyklus D, das Verhältnis zwischen der Impulsdauer () und die Zeit (t); Hier illustriert mit a = 1.
Grafik der Spannung einer Sinuswelle vs. Zeit (in Grad) mit RMS-, Peak- (PK) und Spitzen-zu-Peak-Spannungen (PP).

Wenn die Wellenform ist ein reines Sinus, Die Beziehungen zwischen Amplituden (Peak-to-Peak, Peak) und RMS sind fest und bekannt, ebenso wie für alle kontinuierlichen periodisch Welle. Dies gilt jedoch nicht für eine willkürliche Wellenform, die möglicherweise nicht periodisch oder kontinuierlich ist. Für eine Null-H-Sinus-Welle beträgt die Beziehung zwischen RMS und Peak-to-Peak-Amplitude:

Gipfel zu Gipfel

Für andere Wellenformen sind die Beziehungen nicht die gleichen wie für Sinuswellen. Zum Beispiel entweder für eine dreieckige oder eine Sägezahnwelle

Gipfel zu Gipfel
Wellenform Variablen und Operatoren RMS
DC
Sinus
Rechteckschwingung
DC-veränderte Quadratwelle
Modifizierte Sinuswelle
Dreieckswelle
Sägezahnwelle
Pulswelle
Phase-zu-Phasen-Spannung
wo:
y ist Verschiebung,
t ist an der Zeit,
f ist Frequenz,
Ai ist Amplitude (Spitzenwert),
D ist der Auslastungsgrad oder der Anteil des Zeitraums (1/f) Hochgegeben,
Frac (r) ist der Bruchteil von r.

In Wellenformkombinationen

Wellenformen, die durch Summieren von bekannten einfachen Wellenformen hergestellt werden senkrecht (Das heißt, wenn der Durchschnitt des Produkts einer einfachen Wellenform mit einer anderen für alle anderen Paare als eine Wellenformzeit selbst Null ist).[5]

Alternativ summieren sich für Wellenformen, die perfekt positiv korreliert oder in der Phase miteinander korreliert, ihre RMS -Werte direkt.

Verwendet

In der Elektrotechnik

Stromspannung

Ein Sonderfall von RMS von Wellenformkombinationen ist:[6]

wo bezieht sich auf Gleichstrom (oder durchschnittliche) Komponente des Signals und ist der Wechselstrom Komponente des Signals.

Durchschnittliche elektrische Leistung

Elektroingenieure müssen das oft wissen Energie, P, aufgelöst von einem elektrischer Wiederstand, R. Es ist einfach, die Berechnung durchzuführen, wenn es eine Konstante gibt aktuell, Idurch den Widerstand. Für eine Ladung von R Ohm, Macht wird einfach definiert als:

Wenn der Strom jedoch eine zeitlich variierende Funktion ist, I(t) Diese Formel muss erweitert werden, um die Tatsache widerzuspiegeln, dass der Strom (und damit die sofortige Kraft) im Laufe der Zeit variiert. Wenn die Funktion periodisch ist (z. Durchschnitt Die Leistung im Laufe der Zeit dissipiert, was durch die durchschnittliche Leistungsdissipation berechnet wird:

Also der RMS -Wert, IRMSder Funktion I(t) ist der konstante Strom, der die gleiche Leistungsabteilung wie die zeitgemittelte Stromversorgung des Stroms liefert I(t).

Durchschnittliche Leistung kann auch mit der gleichen Methode festgestellt werden, die im Falle einer zeitlich variierenden Methode Stromspannung, V(t) mit RMS -Wert VRMSAnwesend

Diese Gleichung kann für jede periodische Periode verwendet werden Wellenform, so wie ein sinusförmig oder Sägezahnwellenform, sodass wir die mittlere Leistung in einer bestimmten Last berechnen können.

Indem Sie die Quadratwurzel dieser beiden Gleichungen übernehmen und sie miteinander multiplizieren, wird festgestellt, dass die Kraft:

Beide Ableitungen hängen davon ab, dass Spannung und Strom proportional sind (dh die Last, R, ist rein resistiv). Reaktiv Belastungen (dh Lasten, die nicht nur Energie leiten, sondern auch speichern können) werden unter dem Thema von Diskussion erörtert Wechselstromkraft.

Im gemeinsamen Fall von Wechselstrom Wenn I(t) ist ein sinusförmig Der Strom, wie es für die Stromversorgung annähernd zutrifft, ist der RMS -Wert aus der obigen kontinuierlichen Fallgleichung leicht zu berechnen. Wenn Ip wird als Spitzenstrom definiert, dann:

wo t ist Zeit und ω ist der Winkelfrequenz (ω= 2π/T, wo T ist die Periode der Welle).

Seit Ip ist eine positive Konstante:

Verwendung einer Trigonometrische Identität Um das Quadrat der Trig -Funktion zu beseitigen:

Da das Intervall jedoch eine ganze Anzahl vollständiger Zyklen (pro Definition von RMS) ist, werden die Sinusbegriffe abgesagt, sodass:

Eine ähnliche Analyse führt zur analogen Gleichung für die sinusförmige Spannung:

wo IP repräsentiert den Spitzenstrom und VP repräsentiert die Spitzenspannung.

Aufgrund ihrer Nützlichkeit bei der Durchführung von Leistungsberechnungen aufgeführt Spannungen für Power Outlets (z. B. 120 V in den USA oder 230 V in Europa) werden fast immer in RMS -Werten und nicht in Spitzenwerten angegeben. Spitzenwerte können aus RMS -Werten aus der obigen Formel berechnet werden, was impliziert VP=VRMS×2Angenommen, die Quelle ist eine reine Sinuswelle. Somit beträgt der Spitzenwert der Netzspannung in den USA etwa 120 ×2, oder ungefähr 170 Volt. Die Peak-to-Peak-Spannung, die doppelt so hoch ist, beträgt etwa 340 Volt. Eine ähnliche Berechnung zeigt, dass die Spitzenspannung in Europa etwa 325 Volt und die Spitzenspannung der Spitzenspitze von etwa 650 Volt beträgt.

RMS -Mengen wie elektrischer Strom werden normalerweise über einen Zyklus berechnet. Für einige Zwecke ist jedoch der RMS -Strom über einen längeren Zeitraum bei der Berechnung der Übertragungsstromverluste erforderlich. Das gleiche Prinzip gilt und (zum Beispiel) ein Strom von 10 Ampere, die pro 24-Stunden-Tag für 12 Stunden verwendet werden, repräsentiert langfristig einen durchschnittlichen Strom von 5 Ampere, jedoch einen RMS-Strom von 7,07 Ampere.

Der Begriff RMS -Kraft wird manchmal fälschlicherweise in der Audiobranche als Synonym für verwendet mittlere Kraft oder durschnittliche Leistung (Es ist proportional zum Quadrat der RMS -Spannung oder des RMS -Stroms in einer Widerstandslast). Für eine Diskussion über Audio -Leistungsmessungen und ihre Mängel siehe Audioleistung.

Geschwindigkeit

In dem Physik von Gas Moleküle, die Wurzelmantelgeschwindigkeit ist definiert als die quadratische Wurzel des durchschnittlichen Quadratschusses. Die RMS -Geschwindigkeit eines idealen Gas ist berechnet Verwenden der folgenden Gleichung:

wo R repräsentiert die Gaskonstante8.314 j/(mol · k), T ist die Temperatur des Gases in Kelvins, und M ist der Molmasse des Gases in Kilogramm pro Maulwurf. In der Physik wird die Geschwindigkeit als skalare Größe der Geschwindigkeit definiert. Bei einem stationären Gas kann die Durchschnittsgeschwindigkeit seiner Moleküle in der Größenordnung von Tausenden von km/h liegen, obwohl die Durchschnittsgeschwindigkeit seiner Moleküle Null ist.

Fehler

Wenn zwei Datensätze - ein Satz aus der theoretischen Vorhersage und die andere aus der tatsächlichen Messung einer einer einer physikalischen Variablen - beispielsweise verglichen werden, können die RMS der paarweisen Unterschiede der beiden Datensätze als Maß dienen, wie weit der Fehler ist Ab 0 könnte der Mittelwert der Absolutwerte der paarweisen Unterschiede ein nützliches Maß für die Variabilität der Unterschiede sein. Die RMS der Unterschiede ist jedoch normalerweise die bevorzugte Maßnahme, wahrscheinlich aufgrund mathematischer Konventionen und Kompatibilität mit anderen Formeln.

Im Frequenzbereich

Die RMS können in der Frequenzdomäne verwendet werden Parsevals Theorem. Für ein abgetastetes Signal , wo ist die Stichprobenperiode,

wo und N ist die Stichprobengröße, dh die Anzahl der Beobachtungen in den Proben- und FFT -Koeffizienten.

In diesem Fall entspricht das RMS, das in der Zeitdomäne berechnet wurde, dieselbe wie in der Frequenzdomäne:

Beziehung zu anderen Statistiken

Geometrisch Beweis ohne Worte das Max(a,b) > quadratischer Mittelwert (RMS) oder quadratischer Mittelwert (QM) > arithmetisches Mittel (BIN) > geometrisches Mittelwert (Gm) > harmonische Mittel (HM) > Mindest(a,b) von zwei unterschiedlichen positiven Zahlen a und b [7]

Wenn ist der arithmetisches Mittel und ist der Standardabweichung von a Population oder ein Wellenform, dann:[8]

Daraus ist klar, dass der RMS -Wert immer größer oder gleich dem Durchschnitt ist, da der RMS auch die "Fehler" / quadratische Abweichung enthält.

Physikalische Wissenschaftler verwenden den Begriff oft quadratischer Mittelwert als Synonym für Standardabweichung Wenn angenommen werden kann, dass das Eingangssignal keinen Mittelwert hat, bezieht sich dies auf die Quadratwurzel der mittleren quadratischen Abweichung eines Signals aus einer bestimmten Basislinie oder Anpassung.[9][10] Dies ist nützlich für Elektroingenieure bei der Berechnung der "nur AC" -RMs eines Signals. Standardabweichung ist die RMS der Variation eines Signals über den Mittelwert und nicht um etwa 0, die Gleichstromkomponente wird entfernt (dh RMS (Signal) = stDev (Signal), wenn das mittlere Signal 0 ist).

Siehe auch

Verweise

  1. ^ a b "Root-Mean-Quadrat-Wert". Ein Wörterbuch der Physik (6 ed.). Oxford University Press. 2009. ISBN 9780199233991.
  2. ^ Thompson, Sylvanus P. (1965). Kalkül leicht gemacht. Macmillan International Hochschulbildung. p. 185. ISBN 9781349004874. Abgerufen 5. Juli 2020.
  3. ^ Jones, Alan R. (2018). Wahrscheinlichkeit, Statistik und andere erschreckende Sachen. Routledge. p. 48. ISBN 9781351661386. Abgerufen 5. Juli 2020.
  4. ^ Cartwright, Kenneth V (Herbst 2007). "Bestimmung der effektiven oder RMS -Spannung verschiedener Wellenformen ohne Kalkül" (PDF). Technologieschnittstelle. 8 (1): 20 Seiten.
  5. ^ Nastase, Adrian S. "So leiten Sie den RMS -Wert von Impuls und Quadratwellenformen ab". Masteringelectronicsdesign.com. Abgerufen 21. Januar 2015.
  6. ^ "Machen Sie mit Ihrem digitalen Multimeter bessere AC -RMS -Messungen" (PDF). Keysight. Keysight. Abgerufen 15. Januar 2019.
  7. ^ Wenn ac = a und bc = b. Oc = BIN von a und bund Radius r = Qo = og.
    Verwendung Satz des Pythagoras, Qc² = qo² + oc² ∴ qc = √Qo² + OC² = QM.
    Unter Verwendung von Pythagoras -Theorem, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √Oc² - og² = Gm.
    Verwendung Ähnliche Dreiecke, HC/GC = GC/Oc ∴ hc = Gc²/Oc = HM.
  8. ^ Chris C. Bissell; David A. Chapman (1992). Digitales Signalübertragung (2. Aufl.). Cambridge University Press. p. 64. ISBN 978-0-521-42557-5.
  9. ^ Weisstein, Eric W. "Quadratischer Mittelwert". Mathord.
  10. ^ "Wurzel, Th1: getrms". Archiviert von das Original Am 2017-06-30. Abgerufen 2013-07-18.

Externe Links