Rest

Im Mathematik, das Rest ist der Betrag, der nach Durchführung einer Berechnung "übrig geblieben ist". Im ArithmetikDer Rest ist die Ganzzahl "übrig" danach dividieren eines ganze Zahl von einem anderen, um eine Ganzzahl zu produzieren Quotient (Ganzzahlabteilung). Im Algebra Von Polynomen ist der Rest das Polynom "übrig" nach dem Teilen eines Polynoms durch einen anderen. Das Modulo -Betrieb ist die Operation, die einen solchen Rest erzeugt, wenn er eine Dividende und einen Divisor gegeben hat.

Alternativ ist ein Rest auch das, was danach übrig bleibt Subtrahieren eine Zahl von einer anderen, obwohl dies genauer genannt wird Unterschied. Diese Verwendung ist in einigen Elementarlehrbüchern zu finden. Umgangssprachlich wird es durch den Ausdruck "der Rest" ersetzt wie in "Gib mir zwei Dollar zurück und hält den Rest".^[1] Der Begriff "Rest" wird jedoch immer noch in diesem Sinne verwendet, wenn a Funktion wird durch a angenähert Serienerweiterung, wo der Fehlerausdruck ("der Rest") als der bezeichnet wird Restbegriff.

Ganzzahlabteilung

Gegeben an ganze Zahl a und eine Ganzzahl ungleich Null dEs kann gezeigt werden, dass es einzigartige ganze Zahlen gibt q und r, so dass a = Qd+r und 0 ≤r<|d|. Die Nummer q wird genannt Quotient, während r wird genannt Rest.

(Für einen Beweis dieses Ergebniss siehe Euklidische Division. Für Algorithmen, die beschreiben, wie der Rest berechnet werden soll, siehe Divisionalgorithmus.))

Der Rest, wie oben definiert, wird als die genannt am wenigsten positiver Rest oder einfach das Rest.^[2] Die ganze Zahl a ist entweder ein Vielfaches von doder liegt im Intervall zwischen aufeinanderfolgenden Vielfachen von d, nämlich, qm und (q + 1)d (für positiv q).

In einigen Fällen ist es bequem, die Abteilung so durchzuführen, damit a ist so nahe an einem integralen Mehrfach von d Das heißt, wir können schreiben

a = këd + s, mit |s| ≤ |d/2 | für eine ganze Ganzzahl k.

In diesem Fall, s wird genannt am wenigsten absoluter Rest.^[3] Wie beim Quotienten und Rest, Rest, k und s werden einzigartig bestimmt, außer in dem Fall, wo d = 2n und s = ± n. Für diese Ausnahme haben wir:

a = këd + n = (k + 1)d − n.

Ein einzigartiger Rest kann in diesem Fall durch eine Konvention erhalten werden - wie immer den positiven Wert von s.

Beispiele

In der Abteilung von 43 von 5 haben wir:

43 = 8 × 5 + 3,

Also ist 3 der am wenigsten positive Rest. Wir haben das auch:

43 = 9 × 5 - 2,,

und –2 ist der am wenigsten absolute Rest.

Diese Definitionen sind auch gültig, wenn d ist zum Beispiel negativ in der Teilung von 43 um –5,

43 = (–8) × (–5) + 3,

und 3 ist der am wenigsten positive Rest, während,

43 = (–9) × (–5) + (–2)

und –2 ist der am wenigsten absolute Rest.

In der Abteilung von 42 bis 5 haben wir:

42 = 8 × 5 + 2,

Und da 2 <5/2, ist 2 sowohl der am wenigsten positive Rest als auch der am wenigsten absolute Rest.

In diesen Beispielen wird der (negative) Rest -absolute Rest aus dem am wenigsten positiven Rest durch Subtrahieren von 5 erhalten, nämlich d. Dies gilt im Allgemeinen. Bei der Aufteilung durch dentweder sind beide Reste positiv und daher gleich oder sie haben entgegengesetzte Zeichen. Wenn der positive Rest ist r₁und der negative ist r₂, dann

r₁ = r₂ + d.

Für Gleitkomma-Zahlen

Wann a und d sind Gleitkommazahlen, mit d ungleich Null, a kann durch geteilt werden durch d Ohne Rest, wobei der Quotient eine weitere schwimmende Punktzahl ist. Wenn der Quotient jedoch auf eine Ganzzahl beschränkt ist, ist das Konzept des Restes immer noch notwendig. Es kann bewiesen werden, dass es einen einzigartigen Ganzzahl -Quotienten gibt q und ein einzigartiger Restpunkt Rest r so dass a=Qd+r mit 0 ≤r<|d|.

Die Erweiterung der Definition des Restes für Floating-Punkt-Zahlen, wie oben beschrieben, ist in der Mathematik nicht von theoretischer Bedeutung. wie viele auch immer Programmiersprachen Implementieren Sie diese Definition (siehe Modulo -Betrieb).

In Programmiersprachen

Zwar gibt es keine Schwierigkeiten, die den Definitionen innewohnt, aber es gibt Implementierungsprobleme, die auftreten, wenn negative Zahlen an der Berechnung der Reste beteiligt sind. Verschiedene Programmiersprachen haben unterschiedliche Konventionen übernommen. Zum Beispiel:

• Pascal wählt das Ergebnis der Mod Operation positiv, erlaubt aber nicht d negativ oder null sein (also, a = (a div d ) × d + a mod d ist nicht immer gültig).^[4]
• C99 Wählt den Rest mit dem gleichen Zeichen wie die Dividende a.^[5] (Vor C99 erlaubte die C -Sprache andere Entscheidungen.)
• Perl, Python (Nur moderne Versionen) Wählen Sie den Rest mit dem gleichen Zeichen wie der Teiler d.
• Haskell und Planen Bieten Sie zwei Funktionen an, Rest und Modulo – Ada, Common Lisp und Pl/i haben Mod und Rem, während Forran hat Mod und Modulo; In jedem Fall stimmt er erstere mit der Dividende und dem letzteren mit dem Divisor zu.

Polynomabteilung

Die euklidische Aufteilung von Polynomen ist sehr ähnlich zu Euklidische Division von Ganzzahlen und führt zu Polynomresten. Seine Existenz basiert auf dem folgenden Satz: Bei zwei univariaten Polynomen a(x) und b(x) (wo b(x) ist ein Polynom ungleich Null) über ein Feld (insbesondere die, die Real oder komplexe Zahlen), es gibt zwei Polynome q(x) (das Quotient) und r(x) (das Rest) was befriedigt:^[6]

${\ displayStyle a (x) = b (x) q (x)+r (x)}$

wo

${\ displayStyle \ deg (r (x)) <\ deg (b (x)),},},}$

Wo "Deg (...)" den Grad des Polynoms bezeichnet (der Grad des konstanten Polynoms, dessen Wert immer 0 ist, kann als negativ definiert werden, so dass diese Gradbedingung immer gültig ist, wenn dies der Rest ist). Darüber hinaus, q(x) und r(x) werden durch diese Beziehungen eindeutig bestimmt.

Dies unterscheidet sich von der euklidischen Aufteilung von Ganzzahlen darin, dass für die Ganzzahlen der Gradzustand durch die Grenzen des Restes ersetzt wird r (nicht negativ und weniger als der Divisor, der das sicherstellt r ist einzigartig.) Die Ähnlichkeit zwischen der euklidischen Teilung für Ganzzahlen und die für Polynome motiviert die Suche nach der allgemeinsten algebraischen Umgebung, in der die euklidische Spaltung gültig ist. Die Ringe, für die ein solcher Satz existiert Euklidische DomänenAber in dieser Allgemeinheit ist die Einzigartigkeit des Quotienten und des Restes nicht garantiert.^[7]

Die Polynomabteilung führt zu einem Ergebnis, das als das bekannt ist Polynomreste Theorem: Wenn ein Polynom f(x) ist geteilt durch x − k, der Rest ist die Konstante r = f(k).^[8][9]

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

• Larson, Ron; Hostetler, Robert (2007), Vorkalkulus: Ein prägnanter Kurs, Houghton Mifflin, ISBN 978-0-618-62719-6
• Ore, Oystein (1988) [1948], Zahlentheorie und ihre Geschichte, Dover, ISBN 978-0-486-65620-5
• Rotman, Joseph J. (2006), Ein erster Kurs in abstrakter Algebra mit Anwendungen (3. Aufl.), Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-186267-8
• Smith, David Eugene (1958) [1925], Geschichte der Mathematik, Band 2, New York: Dover, ISBN 0486204308

Weitere Lektüre

• Davenport, Harold (1999). Die höhere Arithmetik: Eine Einführung in die Theorie der Zahlen.Cambridge, Großbritannien: Cambridge University Press.p.25. ISBN 0-521-63446-6.
• Katz, Victor, hrsg.(2007). Die Mathematik Ägyptens, Mesopotamien, China, Indien und Islam: Ein Quellbuch. Princeton: Princeton University Press. ISBN 9780691114859.
• Schwartzman, Steven (1994). "Rest (Substantiv)". Die Wörter der Mathematik: Ein etymologisches Wörterbuch von mathematischen Begriffen, die in Englisch verwendet werden.Washington: Mathematical Association of America. ISBN 9780883855119.
• Zuckerman, Martin M. Arithmetik: Ein einfacher Ansatz.Lanham, MD: Rowman & Littlefield Publishers, Inc. ISBN 0-912675-07-1.