Reelle Zahl

Ein Symbol für den Satz realer Zahlen

Im Mathematik, a reelle Zahl ist ein Wert eines kontinuierlichen Werts Anzahl das kann eine Entfernung entlang a darstellen Linie (oder alternativ eine Menge, die als unendlich dargestellt werden kann Dezimalerweiterung). Das Adjektiv real In diesem Zusammenhang wurde im 17. Jahrhundert von eingeführt René Descartes, der zwischen real und unterschieden hat imaginär Wurzeln von Polynome.^[1] Die realen Zahlen umfassen alle alle Rationale Zahlen, so wie die ganze Zahl –5 und die Fraktion 4/3 und alle die irrationale Zahlen, wie zum Beispiel ${\ displayStyle {\ sqrt {2}}}$ (1.41421356 ..., die Quadratwurzel von 2, ein irrational Algebraikum). In den Irrationalen sind die wirklichen enthalten Transzendentale Zahlen, wie zum Beispiel π (3.14159265 ...).^[2] Zusätzlich zur Messentfernung können reelle Zahlen verwendet werden messen Mengen wie Zeit, Masse, Energie, Geschwindigkeit, und viele mehr. Der Satz realer Zahlen wird mit dem Symbol bezeichnet R oder ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$^[3] und wird manchmal "The Reals" genannt.^[4]

Reale Zahlen können als Punkte auf unendlich lange angesehen werden Linie genannt Zahlenlinie oder echte Linie, wo die Punkte, die Zahlen entsprechen, gleichermaßen beabstandet sind. Jede reelle Zahl kann durch ein möglicherweise unendliches bestimmt werden Dezimalrepräsentation, wie das von 8,632, wobei jede aufeinanderfolgende Ziffer in Einheiten ein Zehntel der Größe der vorherigen gemessen wird.^[5] Die wirkliche Linie kann als Teil der betrachtet werden Komplexe Ebeneund die realen Zahlen können als Teil der betrachtet werden komplexe Zahlen.

Reale Zahlen können als Punkte auf einer unendlich langen Zahlenlinie betrachtet werden

Diese Beschreibungen der realen Zahlen sind nach modernen Maßstäben der reinen Mathematik nicht ausreichend streng. Die Entdeckung einer angemessen strengen Definition der realen Zahlen-in der Erkenntnis, dass eine bessere Definition erforderlich war-war eine der wichtigsten Entwicklungen der Mathematik des 19. Jahrhunderts. Die aktuelle Standard -axiomatische Definition ist, dass reale Zahlen die eindeutigen Bildung bilden Dedekind-Complete Bestellter Feld (${\ displaystyle \ mathbb {r}}$; +; ·; <),, bis zu ein Isomorphismus,^[a] während die populären konstruktiven Definitionen realer Zahlen einbeziehen, um sie als zu deklarieren Äquivalenzklassen von Cauchy -Sequenzen (von rationalen Zahlen),, Dedekind schneidetoder unendlich Dezimalrepräsentationenzusammen mit präzisen Interpretationen für die arithmetischen Operationen und der Ordenbeziehung. Alle diese Definitionen erfüllen die axiomatische Definition und sind daher gleichwertig.

Der Satz aller reellen Zahlen ist unzähligerin dem Sinne, dass beide sowohl die Menge von allen natürliche Zahlen und der Satz aller reellen Zahlen sind Unendliche Sets, es kann nein geben Eins-zu-Eins-Funktion von den realen Zahlen bis zu den natürlichen Zahlen. In der Tat die Kardinalität der Menge aller reellen Zahlen, gekennzeichnet durch ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$ und genannt das Kardinalität des Kontinuums, ist streng größer als die Kardinalität des Satzes aller natürlichen Zahlen (bezeichnet ${\ displayStyle \ Aleph _ {0}}$, "Aleph-Naught").

Die Aussage, dass es keine Untergruppe der Realität mit Kardinalität gibt, streng größer als ${\ displayStyle \ Aleph _ {0}}$ und streng kleiner als ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$ ist als die bekannt Kontinuumshypothese (CH). Es ist weder nachweisbar noch widersprüchlich unter Verwendung der Axiome von Zermelo -Fraenkel -Set -Theorie einschließlich der Axiom der Wahl (ZFC) - Die Standardgrundlage für moderne Mathematik. Tatsächlich befriedigen einige Modelle von ZFC CH, während andere gegen sie verstoßen.^[6]

Geschichte

Reale Nummern ${\ displayStyle (\ mathbb {r})}$ Fügen Sie die rationalen Zahlen ein ${\ displayStyle (\ mathbb {q})}$, einschließlich der Ganzzahlen ${\ displayStyle (\ mathbb {z})}$, was wiederum die natürlichen Zahlen umfasst ${\ displayStyle (\ mathbb {n})}$

Einfache Fraktionen wurden von der verwendet Ägypter ungefähr 1000 v. Chr.; das Vedisch "Shulba Sutras"(" Die Regeln der Akkorde ") in c. 600 v. Chr Geben Sie die möglicherweise die erste "Verwendung" irrationaler Zahlen ein. Das Konzept der Irrationalität wurde frühzeitig implizit akzeptiert Indische Mathematiker wie zum Beispiel Manava (c. 750–690 v. Chr.), die sich bewusst waren, dass die Quadratwurzeln von bestimmten Zahlen, wie 2 und 61, konnten nicht genau bestimmt werden.^[7] Ca. 500 v. Chr., Die Griechische Mathematiker angeführt von Pythagoras realisierte die Notwendigkeit irrationaler Zahlen, insbesondere die Irrationalität der Quadratwurzel von 2.

Das Mittelalter verursachte die Akzeptanz von Null, Negative ZahlenGanzzahlen und fraktional Zahlen, zuerst von indisch und Chinesische Mathematikerund dann durch Arabische Mathematiker, die auch die ersten waren, die irrationale Zahlen als algebraische Objekte behandelten (letztere wurden durch die Entwicklung von Algebra ermöglicht).^[8] Arabische Mathematiker fusionierten die Konzepte von "Nummer" und "Größe"In eine allgemeinere Vorstellung von realen Zahlen.^[9] Der ägyptische Mathematiker Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (c. 850–930) war der erste, der irrationale Zahlen als Lösungen akzeptierte quadratische Gleichungen, oder as Koeffizienten in einem (n Gleichung (oft in Form von quadratischen Wurzeln, Würfelwurzeln und vierte Wurzeln).^[10]

Im 16. Jahrhundert, Simon Stevin erstellte die Grundlage für die Moderne Dezimal Notation und bestand darauf, dass es in dieser Hinsicht keinen Unterschied zwischen rationalen und irrationalen Zahlen gibt.

Im 17. Jahrhundert, Descartes stellte den Begriff "real" ein, um Wurzeln eines Polynoms zu beschreiben und sie von "imaginären" zu unterscheiden.

Im 18. und 19. Jahrhundert gab es viel Arbeit an irrationalen und transzendentalen Zahlen. Johann Heinrich Lambert (1761) gab den ersten fehlerhaften Beweis dafür, dass π kann nicht rational sein; Adrien-Marie Legendre (1794) den Beweis abgeschlossen,^[11] und zeigte das π ist nicht die Quadratwurzel einer rationalen Zahl.^[12] Paolo Ruffini (1799) und Niels Henrik Abel (1842) beide konstruierten Beweise der Abel -Ruffini -Theorem: Das der General quintisch oder höhere Gleichungen können nicht durch eine allgemeine Formel gelöst werden, an der nur arithmetische Operationen und Wurzeln beteiligt sind.

Évariste Galois (1832) entwickelten Techniken zur Bestimmung, ob eine gegebene Gleichung durch Radikale gelöst werden könnte, die das Feld von entstanden Galois -Theorie. Joseph Liouville (1840) zeigten, dass keiner e Noch e² Kann eine Wurzel einer Ganzzahl sein quadratische Gleichungund stellte dann die Existenz transzendentaler Zahlen fest; Georg Cantor (1873) erweiterte und vereinfachte diesen Beweis erheblich.^[13] Charles Hermite (1873) haben das zuerst bewiesen e ist transzendental und Ferdinand von Lindemann (1882) zeigte das π ist transzendental. Lindemanns Beweis wurde durch Weierstrass (1885) stark vereinfacht, noch weiter von David Hilbert (1893) und wurde endlich von elementary durch Adolf Hurwitz^[14] und Paul Gordan.^[15]

Die Entwicklung von Infinitesimalrechnung Im 18. Jahrhundert verwendete die gesamte reelle Zahlen, ohne sie streng definiert zu haben. Die erste strenge Definition wurde von veröffentlicht von Georg Cantor 1871. 1874 zeigte er, dass der Satz aller realen Zahlen ist Unbegründet unendlich, aber der Satz aller algebraischen Zahlen ist Zähler Unendlich unendlich. Im Gegensatz zu weit verbreiteten Überzeugungen war seine erste Methode nicht seine berühmte Methode diagonales Argument, was er 1891 veröffentlichte. Weitere siehe Cantors erster unzähliger Beweis.

Definition

Das reelle Zahlensystem ${\ displayStyle (\ mathbb {r}; {}+{}; {} \ cdot {}; {} <{})}}$ kann definiert werden axiomatisch bis zu einem Isomorphismus, was im Folgenden beschrieben wird. Es gibt auch viele Möglichkeiten, das "reelle Zahlensystem" zu konstruieren, und ein populärer Ansatz beinhaltet die Startung der natürlichen Zahlen, die Definition von rationalen Zahlen algebraisch und schließlich die Realzahlen als Äquivalenzklassen ihrer Cauchy -Sequenzen oder wie Dedekind schneidet, die bestimmte Teilmengen rationaler Zahlen sind.^[16] Ein anderer Ansatz besteht darin, von einer strengen Axiomatisierung der euklidischen Geometrie zu beginnen (sagen wir von Hilbert oder von Tarski) und definieren Sie dann das reelle Zahlensystem geometrisch. Alle diese Konstruktionen der reellen Zahlen haben sich als gleichwertig erwiesen, in dem Sinne, dass die resultierenden Zahlensysteme sind isomorph.

Axiomatischer Ansatz

Lassen ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ bezeichnen die einstellen von allen realen Zahlen dann:

• Der Satz ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ ist ein aufstellen, bedeutet, dass Zusatz und Multiplikation sind definiert und haben die üblichen Eigenschaften.
• Das Feld ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ wird geordnet, was bedeutet, dass es a gibt Gesamtbestellung ≥ so dass für alle reellen Zahlen x, y und z:
  • wenn x ≥ y, dann x + z ≥ y + z;
  • wenn x ≥ 0 und y ≥ 0 dann xy ≥ 0.
• Die Bestellung ist Dedekind-Complete, was bedeutet, dass jeder nicht leer Teilmenge S von ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ mit einem obere Grenze in ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ hat ein am wenigsten Obergrenze (a.k.a., supremum) in ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$.

Die letzte Eigenschaft unterscheidet die realen Zahlen von den rationalen Zahlen (und von Andere exotischere Felder). Zum Beispiel, ${\ displaystyle \ {x \ in \ mathbb {q}: x^{2} <2 \}}$ hat eine rationale Obergrenze (z. B. 1,42), aber nein am wenigsten rationale Obergrenze, weil ${\ displayStyle {\ sqrt {2}}}$ ist nicht rational.

Diese Eigenschaften implizieren die Archimedanische Eigenschaft (was nicht durch andere Definitionen der Vollständigkeit impliziert wird), in dem festgestellt wird, dass die Menge der Ganzzahlen keine Obergrenze in den Realität hat. Wenn dies falsch wäre, hätten die Ganzzahlen eine am wenigsten Obergrenze N; dann, N - 1 wäre keine Obergrenze, und es würde eine Ganzzahl geben n so dass n > N – 1, und somit n + 1> N, was ein Widerspruch mit der Oberbesitz von Obergrenze von ist N.

Die realen Zahlen werden durch die obigen Eigenschaften eindeutig angegeben. Genauer ${\ displaystyle \ mathbb {r} _ {1}}$ und ${\ displaystyle \ mathbb {r} _ {2}}$Es gibt ein einzigartiges Feld Isomorphismus aus ${\ displaystyle \ mathbb {r} _ {1}}$ zu ${\ displaystyle \ mathbb {r_ {2}}}$. Diese Einzigartigkeit ermöglicht es uns, sie als im Wesentlichen das gleiche mathematische Objekt zu betrachten.

Für eine weitere Axiomatisierung von ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$, sehen Tarskis Axiomatisierung der Realität.

Konstruktion aus den rationalen Zahlen

Die realen Zahlen können als konstruiert werden Fertigstellung der rationalen Zahlen so, dass eine Sequenz durch eine Dezimal- oder binäre Expansion wie (3; 3.1; 3.14; 3.141; 3.1415; ...) definiert ist konvergiert zu einer eindeutigen reellen Zahl - in diesem Fall π. Details und andere Konstruktionen realer Zahlen finden Sie unter Konstruktion der realen Zahlen.

Eigenschaften

Grundeigenschaften

• Nichts nichtNull Die reelle Zahl ist entweder Negativ oder positiv.
• Die Summe und das Produkt zweier nicht negativer realer Zahlen sind wiederum eine nicht negative reelle Zahl, d. H. Sie werden unter diesen Operationen geschlossen und bilden a positiver Kegel, damit ein lineare Reihenfolge der realen Zahlen entlang einer Zahlenlinie.
• Die realen Zahlen machen eine unendliche Reihe von Zahlen aus, die nicht sein können injiziert dem unendlichen Satz natürlicher Zahlen zugeordnet, d. H. Es gibt unendlich unendlich viele reelle Zahlen, während die natürlichen Zahlen genannt werden Zähler Unendlich unendlich. Dies legt fest, dass es in gewissem Sinne gibt, gibt es mehr Reelle Zahlen als Elemente in jedem zählbaren Satz.
• Es gibt eine Hierarchie von zähem unendlichen Teilmengen der realen Zahlen, z. B. den ganzen Zahlen, der rationalen Zahlen, der algebraischen Zahlen und der berechnbare Zahlen, jeder Satz ist eine richtige Teilmenge der nächsten in der Sequenz. Das Ergänzungen Von all diesen Sätzen (irrationale, transzendentale und nicht-zeitliche reelle Zahlen) sind in den Realität unzähligen unendlichen Sets.
• Reale Zahlen können verwendet werden, um auszudrücken Messungen von kontinuierliche Mengen. Sie können von ausgedrückt werden durch DezimalrepräsentationenDie meisten von ihnen haben eine unendliche Abfolge von Ziffern rechts von der Komma; Diese sind oft wie 324.823122147 ..., wo die Ellipse (Drei Punkte) zeigt an, dass noch mehr Ziffern kommen würden. Dies deutet darauf hin, dass wir nur wenige, ausgewählte reelle Zahlen mit endlich vielen Symbolen genau bezeichnen können.

Formell sind die realen Zahlen die beiden grundlegenden Eigenschaften, ein geordnetes Feld zu sein und die zu haben am wenigsten Obergrenze Eigentum. Der erste sagt, dass reale Zahlen a umfassen aufstellen, mit Addition und Multiplikation sowie Teilung nach Nullnummern, die in einer mit Addition und Multiplikation kompatibelen Zahlung in einer Zahlenlinie vollständig bestellt werden können. Der zweite sagt, wenn eine nicht leere Reihe von reellen Zahlen eine hat obere Grenzedann hat es eine echte am wenigsten Obergrenze. Die zweite Bedingung unterscheidet die reellen Zahlen von den rationalen Zahlen: Zum Beispiel ist die Menge der rationalen Zahlen, deren Quadrat weniger als 2 ist Befriedigen Sie nicht die am wenigsten Obergrenze.

Vollständigkeit

Ein Hauptgrund für die Verwendung realer Zahlen ist, dass viele Sequenzen haben Grenzen. Formeller sind die Realer Komplett (im Sinne von Metrikräume oder einheitliche Räume, was ein anderer Sinn ist als die Dedekind -Vollständigkeit der Bestellung im vorherigen Abschnitt):

A Reihenfolge (x_n) von realen Zahlen wird als a genannt Cauchy -Sequenz wenn für irgendwelche ε> 0 Es gibt eine Ganzzahl N (möglicherweise abhängig von ε) so dass die Distanz |x_n − x_m| ist weniger als ε für alle n und m das sind beide größer als N. Diese Definition, ursprünglich bereitgestellt von Cauchy, formalisiert die Tatsache, dass die x_n Schließlich kommen und willkürlich nahe beieinander bleiben.

Eine Sequenz (x_n) konvergiert bis zur Grenze x Wenn seine Elemente schließlich kommen und willkürlich nahe stehen xdas heißt, wenn für irgendwelche ε> 0 Es gibt eine Ganzzahl N (möglicherweise abhängig von ε), so dass die Entfernung |x_n − x| ist weniger als ε für n größer als N.

Jede konvergente Sequenz ist eine Cauchy -Sequenz, und das Gegenteil gilt für reelle Zahlen, und dies bedeutet, dass die topologischer Raum der realen Zahlen ist abgeschlossen.

Die Menge der rationalen Zahlen ist nicht vollständig. Zum Beispiel die Sequenz (1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; ...), wobei jeder Term eine Ziffer der Dezimalerweiterung des Positiven hinzufügt Quadratwurzel von 2 ist Cauchy, aber es konvergiert nicht zu einer rationalen Zahl Quadratwurzel von 2).

Die Vollständigkeitseigenschaft der Realität ist die Grundlage, auf der Infinitesimalrechnungund allgemeiner Mathematische Analyse sind gebaut. Insbesondere der Test, dass eine Sequenz eine Cauchy -Sequenz ist, ermöglicht es zu beweisen, dass eine Sequenz eine Grenze hat, ohne sie zu berechnen und auch ohne sie zu wissen.

Zum Beispiel die Standardserie der Standard -Serie Exponentialfunktion

$oder$

Konvergiert für jeden zu einer reellen Zahl x, weil die Summen

${\ displayStyle \ sum _ {n = n}^{m} {\ frac {x^{n}} {n!}}}$

kann willkürlich klein gemacht werden (unabhängig von M) durch Auswählen N ausreichend groß. Dies beweist, dass die Sequenz Cauchy ist und damit konvergiert, was zeigt ${\ displayStyle e^{x}}$ ist für jeden gut definiert x.

"Das vollständige Feld" Bestellte Feld "

Die realen Zahlen werden oft als "das vollständige geordnete Feld" bezeichnet, ein Satz, der auf verschiedene Arten interpretiert werden kann.

Erstens kann eine Bestellung sein Gittervervollständigung. Es ist leicht zu erkennen, dass kein bestelltes Feld gittervervollständig sein kann, da es keine haben kann größtes Element (Bei jedem Element z, z + 1 ist größer).

Zusätzlich kann eine Bestellung dedekind-komplett sein, siehe § Axiomatischer Ansatz. Das Einzigartigkeitsergebnis am Ende dieses Abschnitts rechtfertigt die Verwendung des Wortes "das" in der Phrase "Vollständig geordnetes Feld", wenn dies der Sinn für "vollständig" ist, das gemeint ist. Dieses Gefühl der Vollständigkeit ist am engsten mit der Konstruktion der Realität aus Dedekind-Kürzungen verbunden, da diese Konstruktion in einem geordneten Feld (den Rationalen) aus beginnt und dann die Dedekind-Abschluss auf eine Standardmethode bildet.

Diese beiden Vorstellungen von Vollständigkeit ignorieren die Feldstruktur. Allerdings an Bestellte Gruppe (In diesem Fall definiert die additive Gruppe des Feldes) a Uniform Struktur und gleichmäßige Strukturen haben einen Vorstellung von Vollständigkeit; die Beschreibung in § Vollständigkeit ist ein Sonderfall. (Wir verweisen eher auf den Begriff der Vollständigkeit in einheitlichen Räumen als auf den damit verbundenen und bekannten Begriff für Metrikräumeda die Definition des metrischen Raums darauf abhängt, bereits eine Charakterisierung der realen Zahlen zu haben.) Es ist nicht wahr, dass ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ ist der nur einheitlich vollständig bestelltes Feld, aber das einzig einheitlich vollständige Abschluss ist Archimedaner Feldund in der Tat hört man oft den Ausdruck "vollständiges archimedisches Feld" anstelle von "vollständig bestelltem Feld". Jedes einheitlich vollständige archimedische Feld muss auch Dedekind-Complete (und umgekehrt) sein, was "in der Phrase" Das vollständige archimedische Feld "rechtfertigt. Dieses Gefühl der Vollständigkeit ist am engsten mit der Konstruktion der Realität aus Cauchy -Sequenzen (der in diesem Artikel vollständigen Konstruktion) zusammen, da es mit einem archimedischen Feld (den Rationals) beginnt und die einheitliche Fertigstellung in einem Standard bildet Weg.

Aber die ursprüngliche Verwendung des Ausdrucks "vollständiges archimedisches Feld" war von David Hilbert, wer meinte noch etwas anderes danach. Er meinte, dass die realen Zahlen die bilden größten Archimedanes Feld in dem Sinne, dass jedes andere archimedische Feld ein Unterfeld von ist ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$. Daher ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ ist "vollständig" in dem Sinne, dass nichts weiter hinzugefügt werden kann, ohne es nicht mehr zu einem archimedischen Feld zu machen. Dieses Gefühl der Vollständigkeit hängt am engsten mit der Konstruktion der Realität aus surreale ZahlenDa diese Konstruktion mit einer ordnungsgemäßen Klasse beginnt, die jedes geordnete Feld (die Surreals) enthält und dann das größte archimedische Unterfeld auswählt.

Erweiterte Eigenschaften

Die Real sind unzähliger; Das heißt, es gibt streng mehr reelle Zahlen als natürliche Zahlen, obwohl beide Sätze unendlich sind. In der Tat die Kardinalität der Realität entspricht der der Teilmengen (d. H. Der Leistungssatz) der natürlichen Zahlen und Cantors diagonales Argument gibt an, dass die Kardinalität des letzteren Sets streng größer ist als die Kardinalität von ${\ displaystyle \ mathbb {n}}$. Da die Menge der algebraischen Zahlen zählbar ist, fast alles Reelle Zahlen sind transzendent. Die Nichteinhaltung einer Untergruppe der Realität mit Kardinalität streng zwischen denen der Ganzzahlen und der Realität wird als die bezeichnet Kontinuumshypothese. Die Kontinuumshypothese kann weder bewiesen noch widerlegt werden; es ist unabhängig von dem Axiome der Set -Theorie.

Als topologischer Raum sind die realen Zahlen trennbar. Dies liegt daran, dass der zählbare Satz von Rationals in den realen Zahlen dicht ist. Die irrationalen Zahlen sind auch in den realen Zahlen dicht, sind jedoch unzählige und haben die gleiche Kardinalität wie die Realität.

Die realen Zahlen bilden a metrischer Raum: der Abstand zwischen x und y ist definiert als die absoluter Wert |x − y|. Aufgrund eines vollständig bestellten Sets tragen sie auch eine Topologie bestellen; das Topologie Aus der Metrik und der aus der Reihenfolge ergebenen Metrik sind identisch, liefern jedoch unterschiedliche Präsentationen für die Topologie-in der Reihenfolge Topologie als geordnete Intervalle in der metrischen Topologie als Epsilon-Balls. Die Dedekind Cuts Construction verwendet die Bestellung der Topologie, während die Cauchy -Sequenzen Konstruktion die metrische Topologiepräsentation verwendet. Die Real bilden a vertraglich (somit in Verbindung gebracht und Einfach verbunden), trennbar und Komplett metrischer Raum von Hausdorff -Dimension1. Die realen Zahlen sind lokal kompakt aber nicht kompakt. Es gibt verschiedene Eigenschaften, die sie einzigartig angeben; Zum Beispiel alle unbegrenzt, verbunden und trennbar Topologien bestellen sind notwendigerweise homomorph zu den Realität.

Jede nichtnegative reelle Zahl hat eine Quadratwurzel in ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$, obwohl keine negative Zahl tut. Dies zeigt, dass die Bestellung auf ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ wird durch seine algebraische Struktur bestimmt. Außerdem lässt jedes Polynom von ungerem Grad mindestens eine echte Wurzel zu: Diese beiden Eigenschaften machen ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ das erstklassige Beispiel von a Echtes geschlossenes Feld. Dies ist die erste Hälfte eines Beweises der Grundsatz der Algebra.

Die Realität tragen eine Kanonik messen, das Lebesgue -Maßnahme, was das ist Haar -Maßnahme auf ihrer Struktur als Topologische Gruppe normalisiert, dass die Einheitsintervall [0; 1] hat Maß 1. Es gibt Sätze von reellen Zahlen, die nicht messbar sind, z. Vitali -Sets.

Das Supremum-Axiom der Realität bezieht sich auf Teilmengen der Realität und ist daher eine logische Anweisung zweiter Ordnung. Es ist nicht möglich, die Realität mit zu charakterisieren Logik erster Ordnung Allein: die Löwenheim -Skolem -Theorem Impliziert, dass es eine zählbare dichte Teilmenge der realen Zahlen gibt, die genau die gleichen Sätze in Logik erster Ordnung wie die realen Zahlen selbst erfüllen. Der Satz von Hyperreale Zahlen erfüllt die gleichen Sätze erster Ordnung wie ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$. Bestellte Felder, die die gleichen Sätze erster Ordnung erfüllen wie ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ werden genannt Nicht standardmäßige Modelle von ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$. Das macht macht Nicht standardmäßige Analyse Arbeit; Indem Sie eine Aussage erster Ordnung in einem nicht standardmäßigen Modell erweisen (was möglicherweise einfacher sein kann, als sie in ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$), wir wissen, dass dieselbe Aussage auch zutreffen muss ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$.

Das aufstellen ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ realer Zahlen ist ein Verlängerungsfeld des Feldes ${\ displaystyle \ mathbb {q}}$ von rationalen Zahlen und ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ kann daher als als gesehen werden Vektorraum Über ${\ displaystyle \ mathbb {q}}$. Zermelo -Fraenkel -Set -Theorie mit dem Axiom der Wahl garantiert die Existenz von a Basis Von diesem Vektorraum: Es gibt einen Satz B von realen Zahlen, so dass jede reale Zahl einzigartig als endlich geschrieben werden kann lineare Kombination von Elementen dieses Satzes unter Verwendung rationaler Koeffizienten nur und so, dass kein Element von B ist eine rationale lineare Kombination der anderen. Dieser Existenzsatz ist jedoch rein theoretisch, da eine solche Basis nie explizit beschrieben wurde.

Das ordnungsgemäßer Theorem impliziert, dass die realen Zahlen sein können geordnet Wenn das Axiom der Wahl angenommen wird: Es gibt eine Gesamtreihenfolge auf ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ mit der Eigenschaft, dass jeder nicht leer Teilmenge von ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ hat ein kleinstes Element in dieser Bestellung. (Die Standardordnung ≤ der realen Zahlen ist keine gute Bestellung, da z. B. a Offenes Intervall enthält kein geringstes Element in dieser Ordnung.) Auch die Existenz einer solchen ordnungsgemäßen Ordnung ist rein theoretisch, da sie nicht explizit beschrieben wurde. Wenn V = l Es wird zusätzlich zu den Axiomen von ZF angenommen, eine gute Ordnung der reellen Zahlen kann nach einer Formel explizit definierbar sein.^[17]

Eine reelle Zahl kann entweder sein berechenbar oder unkompliziert; entweder Algorithmisch zufällig oder nicht; und entweder arithmetisch zufällig oder nicht.

Anwendungen und Verbindungen zu anderen Bereichen

Reelle Zahlen und Logik

Die realen Zahlen werden am häufigsten mit dem formalisiert Zermelo -Fraenkel Axiomatisierung der festgelegten Theorie, aber einige Mathematiker untersuchen die realen Zahlen mit anderen logischen Grundlagen der Mathematik. Insbesondere werden die realen Zahlen auch in untersucht Reverse Mathematics und in Konstruktive Mathematik.^[18]

Das Hyperreale Zahlen wie entwickelt von Edwin Hewitt, Abraham Robinson und andere verlängern den Satz der realen Zahlen, indem sie einführen infinitesimal und unendliche Zahlen, die das Gebäude ermöglichen Infinitesimale Kalkül in gewisser Weise näher an die ursprünglichen Intuitionen von Leibniz, Euler, Cauchy und andere.

Edward Nelson's Interne Set -Theorie bereichert die Zermelo -Fraenkel Setzen Sie die Theorie syntaktisch durch Einführung eines "Standards" ein unärer Prädikat. In diesem Ansatz sind Infinitesimals (nicht "Standard") Elemente der Realzahlen (anstatt Elemente einer Erweiterung davon wie in Robinsons Theorie).

Das Kontinuumshypothese stellt fest, dass die Kardinalität des Satzes der realen Zahlen ist ${\ displayStyle \ Aleph _ {1}}$; d.h. der kleinste unendliche Kardinalzahl nach ${\ displayStyle \ Aleph _ {0}}$, die Kardinalität der Ganzzahlen. Paul Cohen bewiesen im Jahr 1963, dass es sich um ein Axiom handelt, das von den anderen Axiomen der festgelegten Theorie unabhängig ist; Das heißt: Man kann entweder die Kontinuumshypothese oder ihre Negation als Axiom der festgelegten Theorie ohne Widerspruch wählen.

In der Physik

In den physischen Wissenschaften werden die meisten physikalischen Konstanten wie die universelle Gravitationskonstante und die physikalischen Variablen wie Position, Masse, Geschwindigkeit und elektrische Ladung unter Verwendung realer Zahlen modelliert. In der Tat die grundlegenden physikalischen Theorien wie klassische Mechanik, Elektromagnetismus, Quantenmechanik, generelle Relativität und die Standardmodell werden unter Verwendung mathematischer Strukturen beschrieben, typischerweise glatte Verteiler oder Hilbert Räume, die auf den realen Zahlen basieren, obwohl die tatsächlichen Messungen der physikalischen Größen von begrenzt sind Genauigkeit und Präzision.

Physiker haben gelegentlich vorgeschlagen, dass eine grundlegendere Theorie die realen Zahlen durch Mengen ersetzen würde, die kein Kontinuum bilden, aber solche Vorschläge bleiben spekulativ.^[19]

In der Berechnung

Mit etwas AusnahmenDie meisten Taschenrechner arbeiten nicht mit realen Zahlen. Stattdessen arbeiten sie mit genannten Finite-Precision-Näherungen Gleitkommazahlen. In der Tat die meisten Wissenschaftliche Berechnung Verwendet Floating-Punkt-Arithmetik. Reelle Zahlen befriedigen die übliche Arithmetikregeln, aber Schwimmpunktzahlen nicht.

Computer können nicht direkt beliebige reelle Zahlen mit unendlich viele Ziffern speichern. Die erreichbare Präzision wird durch die Anzahl der Bits begrenzt, die für die Speicherung einer Nummer zugewiesen wurden, ob als Gleitkommazahlen oder willkürliche Präzisionszahlen. Jedoch, Computeralgebra -Systeme kann auf irrationale Mengen genau durch Manipulation von Formeln für sie arbeiten (wie z. ${\ displayStyle {\ sqrt {2}},},}$ ${\ displayStyle \ arcsin (2/23),},}$ oder ${\ displaystyle \ textstyle \ int _ {0}^{1} x^{x} \, dx}$) und nicht ihre rationale oder dezimale Annäherung.^[20] Es ist im Allgemeinen nicht möglich zu bestimmen, ob zwei solche Ausdrücke gleich sind (die Ständiges Problem).

Eine reelle Zahl heißt berechenbar Wenn es einen Algorithmus gibt, der seine Ziffern ergibt. Weil es nur gibt Zähler viele Algorithmen,^[21] aber eine unzählige Anzahl von Reals, fast alles Reale Zahlen sind nicht berechnet. Darüber hinaus ist die Gleichheit von zwei berechnbaren Zahlen eine unentschlossenes Problem. Etwas Konstruktivisten Akzeptieren Sie die Existenz nur derjenigen Realis, die berechnet werden. Der Satz von definierbare Zahlen ist breiter, aber immer noch zählbar.

"Reals" in der festgelegten Theorie

Im Mengenlehre, speziell Beschreibende festgelegte Theorie, das Baire -Raum wird als Ersatz für die realen Zahlen verwendet, da letztere einige topologische Eigenschaften (Verbindung) haben, die eine technische Unannehmlichkeit sind. Elemente des Baire -Raums werden als "Real" bezeichnet.

Wortschatz und Notation

Mathematiker verwenden hauptsächlich das Symbol R die darstellen einstellen von allen realen Zahlen. Alternativ kann es verwendet werden ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$, das Brief "R" in Blackboard fett, was in codiert werden kann in Unicode (und html) als U+211d ℝ (& Reals;, & Rount;). Da ist dieses Set natürlich mit der Struktur von a ausgestattet aufstellen, der Ausdruck Feld der realen Zahlen wird häufig verwendet, wenn seine algebraischen Eigenschaften berücksichtigt werden.

Die Sätze positiver realer Zahlen und negative reelle Zahlen werden oft festgestellt ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{+}}$ und ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{-}}$,^[22] beziehungsweise; ${\ displaystyle \ mathbb {r} _ {+}}$ und ${\ displaystyle \ mathbb {r} _ {-}}$ werden auch verwendet.^[23] Die nicht negativen reellen Zahlen können festgestellt werden ${\ displaystyle \ mathbb {r} _ {\ geq 0}}$ Aber man sieht dieses Set oft notiert ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{+} \ cup \ {0 \}.}.}.$^[22] In der französischen Mathematik die positive reelle Zahlen und negative reelle Zahlen häufig einschließen Nullund diese Sets sind jeweils festgestellt ${\ displaystyle \ mathbb {r _ {+}}}$ und ${\ displaystyle \ mathbb {r _ {-}}.}$^[23] In diesem Verständnis werden die jeweiligen Mengen ohne Null als streng positive reelle Zahlen und streng negative reale Zahlen bezeichnet und notiert ${\ displaystyle \ mathbb {r} _ {+}^{*}}$ und ${\ displaystyle \ mathbb {r} _ {-}^{*}.}$^[23]

Die Notation ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n}}$ bezieht sich auf den Satz der n-Tupel von Elementen von ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ (Echter Koordinatenraum), die an die identifiziert werden können kartesisches Produkt von n Kopien von ${\ displaystyle \ mathbb {r}.}$ Es ist ein n-dimensional Vektorraum über dem Feld der realen Zahlen, oft als die genannt Raum koordinieren von Dimension n; Dieser Raum kann an die identifiziert werden n-dimensional Euklidischer Raum So bald wie Kartesisches Koordinatensystem wurde in letzterem ausgewählt. In dieser Identifikation a Punkt des euklidischen Raums wird mit dem Tupel seiner identifiziert Kartesischen Koordinaten.

In Mathematik, real wird als Adjektiv verwendet, was bedeutet, dass das zugrunde liegende Feld das Feld der reellen Zahlen ist (oder das echte Feld). Zum Beispiel, real Matrix, Echtes Polynom und real Lügen Sie Algebra. Das Wort wird auch als verwendet Substantiv, was eine reelle Zahl bedeutet (wie in "der Satz aller Realaussagen").

Verallgemeinerungen und Erweiterungen

Die realen Zahlen können verallgemeinert und in verschiedene Richtungen erweitert werden:

• Die komplexen Zahlen enthalten Lösungen für alle Polynomgleichungen und sind daher eine Algebraisch geschlossenes Feld Im Gegensatz zu den realen Zahlen. Die komplexen Zahlen sind jedoch kein geordnetes Feld.
• Das Affinery erweitertes reales Zahlensystem Fügt zwei Elemente hinzu +∞ und −∞. Es ist ein Kompaktraum. Es ist kein Feld mehr oder sogar eine additive Gruppe, aber es hat immer noch eine Gesamtreihenfolge. Darüber hinaus ist es ein Komplettes Gitter.
• Das Echte projektive Linie Fügt nur einen Wert hinzu ∞. Es ist auch ein kompakter Raum. Auch hier ist es kein Feld mehr oder sogar eine additive Gruppe. Es ermöglicht jedoch die Aufteilung eines Elements ungleich Null um Null. Es hat zyklische Ordnung beschrieben durch a Trennungsbeziehung.
• Das lange echte Linie Pasten zusammen ℵ₁* + ℵ₁ Kopien der realen Linie plus ein einzelner Punkt (hier ℵ₁* bezeichnet die umgekehrte Ordnung von ℵ₁) Erstellen eines geordneten Satzes, das "lokal" mit den realen Zahlen identisch ist, aber irgendwie länger; Zum Beispiel gibt es eine Bestellvorratseinbettung von ℵ₁ in der langen realen Linie, aber nicht in den realen Zahlen. Die lange reale Linie ist das größte bestellte Set, das vollständig und lokal archimedisch ist. Wie bei den beiden vorherigen Beispielen handelt es sich bei diesem Satz um kein Feld oder eine additive Gruppe mehr.
• Bestellte Felder, die die Realität verlängern, sind die Hyperreale Zahlen und die surreale Zahlen; Beide enthalten infinitesimal und unendlich große Zahlen und sind deshalb daher Nichtarchimedan ordnete Felder.
• Selbstadjautoperatoren auf einen Hilbert Raum (Zum Beispiel selbst Adjoint-Quadratkomplex Matrizen) Verallgemeinern Sie die Realität in vielerlei Hinsicht: Sie können bestellt werden (obwohl nicht vollständig bestellt), sie sind vollständig, alle ihre Eigenwerte sind real und bilden eine echte Assoziative Algebra. Positiv-definit Die Operatoren entsprechen den positiven Realität und Normale Operatoren entsprechen den komplexen Zahlen.

Siehe auch

• Vollständigkeit der realen Zahlen
• Fortsetzung Bruch
• Definierbare reelle Zahlen
• Positive reelle Zahlen
• Echte Analyse

Zahlensysteme Komplex ${\ displayStyle: \; \ mathbb {c}}$ Real ${\ displayStyle: \; \ mathbb {r}}$ Rational ${\ displayStyle: \; \ mathbb {q}}$ Ganze Zahl ${\ displayStyle: \; \ mathbb {z}}$ Natürlich ${\ displayStyle: \; \ mathbb {n}}$ Null: 0 Einer: 1 Primzahlen Zusammengesetzte Zahlen Negative Ganzzahlen Fraktion Finite Decimal Dyadisch (endlich binär) Dezimal wiederholen Irrational Algebraisch irrational Transzendental Imaginär

Anmerkungen

Verweise

Zitate

Quellen

Externe Links

• "Reelle Zahl", Enzyklopädie der Mathematik, EMS Press, 2001 [1994]