Rationale Funktion

Im Mathematik, a rationale Funktion ist jeder Funktion das kann durch a definiert werden rationaler Bruch, was ist ein algebraische Bruch so dass beide beide Zähler und die Nenner sind Polynome. Das Koeffizienten der Polynome müssen nicht sein Rationale Zahlen; Sie können in jedem aufgenommen werden aufstellen K. In diesem Fall spricht man von einer rationalen Funktion und einer rationalen Fraktion über k. Die Werte der Variablen Kann in jedem Bereich genommen werden L enthält K. Dann ist die Domain der Funktion ist der Satz der Werte der Variablen, für die der Nenner nicht Null ist und die Codomäne ist L.

Die Menge der rationalen Funktionen über ein Feld K ist ein Feld, das Fraktionenfeld des Ring des Polynomfunktionen Über K.

Definitionen

Eine Funktion wird als rationale Funktion bezeichnet, wenn sie nur dann in der Form geschrieben werden kann

wo und sind Polynomfunktionen von und ist nicht der Nullfunktion. Das Domain von ist der Satz aller Werte von Für den der Nenner ist nicht Null.

jedoch, wenn und einen Nicht-Konstant haben Polynom größter gemeinsamer Divisor , dann Einstellung und erzeugt eine rationale Funktion

die eine größere Domäne haben kann als , und ist gleich zu auf der Domäne von Es ist eine häufige Verwendung, um sich zu identifizieren und , das heißt "durch Kontinuität" die Domäne von zu dem von In der Tat kann man einen rationalen Bruch als eine definieren Äquivalenzklasse von Polynomenfraktionen, wo zwei Fraktionen und werden als gleichwertig angesehen, wenn . In diesem Fall ist äquivalent zu .

A richtige rationale Funktion ist eine rationale Funktion, bei der die Grad von ist geringer als der Grad von und beide sind echte Polynome, benannt durch Analogie zu a richtiger Bruch in .[1]

Grad

Es gibt mehrere nicht äquivalente Definitionen des Grades einer rationalen Funktion.

Am häufigsten die Grad einer rationalen Funktion ist das Maximum der Grad seiner Bestandteile P und Q, wenn der Bruch auf reduziert wird auf niedrigste Bedingungen. Wenn der Grad von f ist ddann die Gleichung

hat d unterschiedliche Lösungen in z außer für bestimmte Werte von w, genannt Kritische Werte, wo zwei oder mehr Lösungen zusammenfallen oder wo eine Lösung abgelehnt wird in unendlich (Das heißt, wenn der Grad der Gleichung nach dem Durchgang abnimmt löste den Nenner).

Im Falle des Komplex Koeffizienten, eine rationale Funktion mit Grad 1 ist a Möbius -Transformation.

Das Grad der Grafik einer rationalen Funktion ist nicht der oben definierte Grad: Es ist das Maximum des Grades des Zählers und ein Plus des Grades des Nenner.

In einigen Kontexten wie in Asymptotische Analyse, das Grad einer rationalen Funktion ist der Unterschied zwischen den Grad des Zählers und dem Nenner.

Im Netzwerksynthese und Netzwerkanalyse, eine rationale Funktion von Grad zwei (dh das Verhältnis von zwei Polynomen des Grades höchstens zwei) wird oft als a genannt Biquadratische Funktion.[2]

Beispiele

Beispiele für rationale Funktionen
Rational function of degree 3
Rationale Funktion von Grad 3 mit einem Diagramm von Grad3:
Rational function of degree 2
Rationale Funktion von Grad 2 mit einem Diagramm von Grad3:

Die rationale Funktion

ist nicht definiert bei

Es ist asymptotisch zu wie

Die rationale Funktion

ist für alle definiert reale Nummern, aber nicht für alle komplexe Zahlen, seit if x waren eine quadratische Wurzel von (d. h. die imaginäre Einheit oder seine negative), dann würde eine formale Bewertung zur Aufteilung von Null führen:

das ist undefiniert.

A Konstante Funktion wie zum Beispiel f(x) = π ist eine rationale Funktion, da Konstanten Polynome sind. Die Funktion selbst ist rational, obwohl die Wert von f(x) ist für alle irrational x.

Jeder Polynomfunktion ist eine rationale Funktion mit Eine Funktion, die nicht in dieser Form geschrieben werden kann, wie z. ist keine rationale Funktion. Das Adjektiv "irrational" ist jedoch nicht im Allgemeinen für Funktionen verwendet.

Die rationale Funktion ist gleich 1 für alle x außer 0, wo es ein gibt Abnehmbare Singularität. Die Summe, das Produkt oder der Quotient (mit Ausnahme der Teilung durch das Nullpolynom) zweier rationalen Funktionen ist selbst eine rationale Funktion. Der Prozess der Reduzierung der Standardform kann jedoch versehentlich zur Entfernung solcher Singularitäten führen, es sei denn, es wird darauf geachtet. Verwenden der Definition von rationalen Funktionen als Äquivalenzklassen x/x ist äquivalent zu 1/1.

Taylor -Serie

Die Koeffizienten von a Taylor -Serie von jeder rationalen Funktion erfüllen a lineare Rezidivbeziehung, die gefunden werden kann, indem die rationale Funktion einer Taylor -Serie mit unbestimmten Koeffizienten und Sammeln gleichgesetzt wird Gleiche Begriffe Nach dem Löschen des Nenners.

Zum Beispiel,

Multiplizieren durch den Nenner und Verteiler,

Nach Anpassung der Indizes der Summen, um die gleichen Kräfte zu erhalten x, wir bekommen

Kombinieren Sie wie Begriffe

Da gilt dies für alle x Im Radius der Konvergenz der ursprünglichen Taylor -Reihe können wir wie folgt berechnen. Seit der ständiger Begriff links muss dem konstanten Term rechts gleich entsprechen, dass es folgt, dass

Dann gibt es keine Kräfte von x links alle alle Koeffizienten rechts muss Null sein, aus dem es folgt

Umgekehrt bestimmt jede Sequenz, die ein lineares Rezidiv erfüllt, eine rationale Funktion, wenn sie als Koeffizienten einer Taylor -Reihe verwendet werden. Dies ist nützlich bei der Lösung solcher Rezidive, da durch die Verwendung Teilbruchtzersetzung Wir können jede ordnungsgemäße rationale Funktion als Summe von Faktoren der Form schreiben 1 / ((Axt + b) und erweitern diese als geometrische Reiheeine explizite Formel für die Taylor -Koeffizienten; Dies ist die Methode von Funktionen erzeugen.

Abstrakte Algebra und geometrische Begriff

Im Zusammenfassung Algebra Das Konzept eines Polynoms wird erweitert, um formale Ausdrücke zu enthalten, in denen die Koeffizienten des Polynoms aus jedem entnommen werden können aufstellen. In dieser Einstellung ein Feld gegeben F und einige unbestimmt X, a rationaler Ausdruck ist ein Element der Fraktionenfeld des Polynomring F[X]. Jeder rationale Ausdruck kann als Quotient von zwei Polynomen geschrieben werden P/Q mit Q ≠ 0, obwohl diese Darstellung nicht einzigartig ist. P/Q ist äquivalent zu R/Sfür Polynome P, Q, R, und S, Wenn Ps = Qr. Aber seit F[X] ist ein Eindeutige Faktorisierungsdomäne, da ist ein Einzigartige Darstellung Für jeden rationalen Ausdruck P/Q mit P und Q Polynome von niedrigster Grad und Q gewählt zu sein Monik. Dies ähnelt wie a Fraktion von Ganzzahlen können immer eindeutig auf die niedrigste Weise geschrieben werden, indem gemeinsame Faktoren abgesagt werden.

Das Gebiet rationaler Ausdrücke wird bezeichnet F(X). Dieses Feld soll (als Feld) erzeugt werden F durch eine Transzendentales Element) X, Weil F(X) enthält kein ordnungsgemäßes Unterfeld, das beide enthält F und das Element X.

Komplexe rationale Funktionen

Im Komplexe Analyse, eine rationale Funktion

ist das Verhältnis von zwei Polynomen mit komplexen Koeffizienten, wo Q ist nicht das Nullpolynom und P und Q keinen gemeinsamen Faktor haben (dies vermeidet f Einnahme des unbestimmten Wertes 0/0).

Die Domäne von f ist der Satz komplexer Zahlen so, dass . Jede rationale Funktion kann natürlich auf eine Funktion ausgedehnt werden, deren Domäne und Reichweite das Ganze sind Riemann Sphere (Komplexe Projektivlinie).

Rationale Funktionen sind repräsentative Beispiele für Meromorphe Funktionen.

Iteration rationaler Funktionen (Karten)[3] auf der Riemann Sphere schafft Diskrete dynamische Systeme.

Vorstellung einer rationalen Funktion auf einer algebraischen Sorte

Wie Polynome, rationale Ausdrücke können auch auf verallgemeinert werden n unbestimmt X1, ..., Xndurch Einnahme des Gebiets von Braktionen von F[X1, ..., Xn], was bezeichnet wird durch F(X1, ..., Xn).

Eine erweiterte Version der abstrakten Idee der rationalen Funktion wird in der algebraischen Geometrie verwendet. Da die Funktionsfeld einer algebraischen Sorte V wird als Gebietsgebiet der gebildet Koordinatenring von V (genauer gesagt, von einem von Zariski-dichten affine offenen Set in Zariski-dichter V). Seine Elemente f werden als regelmäßige Funktionen im Sinne einer algebraischen Geometrie bei nicht leeren offenen Sätzen angesehen Uund kann auch als Morphismen angesehen werden Projektive Linie.

Anwendungen

Rationale Funktionen werden in verwendet numerische Analyse zum Interpolation und Annäherung von Funktionen, zum Beispiel die Padé -Annäherungen Vorgestellt von Henri Padé. Annäherungen in Bezug auf rationale Funktionen sind gut geeignet für Computeralgebra -Systeme und andere numerische Software. Wie Polynome können sie unkompliziert bewertet und gleichzeitig vielfältigeres Verhalten ausdrücken als Polynome.

Rationale Funktionen werden verwendet, um komplexere Gleichungen in Wissenschaft und Ingenieurwesen zu approximieren oder zu modellieren, einschließlich Feldern und Kräfte in Physik, Spektroskopie in der analytischen Chemie, Enzymkinetik in Biochemie, elektronische Schaltkreise, Aerodynamik, Medizinkonzentrationen in vivo, Wellenfunktionen für Atome und Moleküle, OPTIKS, OPTIKS, OPTIKS und Fotografie zur Verbesserung der Bildauflösung sowie Akustik und Klang.

Im Signalverarbeitung, das Laplace-Transformation (für kontinuierliche Systeme) oder die Z-Transformation (für diskrete Systeme) der impulsive Reaktion von häufig verwendeten Lineare zeitinvariante Systeme (filtern) mit unendliche Impulsantwort sind rationale Funktionen über komplexe Zahlen.

Siehe auch

Verweise

  1. ^ Martin J. Corless, Art Frazho, Lineare Systeme und Kontrolle, p. 163, CRC Press, 2003 ISBN0203911377.
    • Malcolm W. Pownall, Funktionen und Grafiken: Bereitschaftsvorbereitungsmathematik, p. 203, Prentice-Hall, 1983 ISBN0133323048.
  2. ^ Glisson, Tildon H., Einführung in die Schaltungsanalyse und zum Entwurf, Springer, 2011 ISBN ISBN9048194431.
  3. ^ Iteration rationaler Funktionen von Omar Antolín Camarena

Externe Links