Zufällige Variable

A zufällige Variable (auch genannt zufällige Menge, Aleatore Variable, oder Stochastische Variable) ist eine mathematische Formalisierung einer Menge oder eines Objekts, die davon abhängt zufällig Veranstaltungen.^[1] Es ist eine Zuordnung oder eine Funktion von möglich Ergebnisse in einem Stichprobenraum zu a messbarer Raumoft die realen Zahlen.

Diese Grafik zeigt, wie eine zufällige Variable eine Funktion von allen möglichen Ergebnissen zu realen Werten ist. Es zeigt auch, wie eine zufällige Variable zur Definition der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktionen verwendet wird.

Informell stellt die Zufälligkeit typischerweise ein grundlegendes Zufallselement dar, wie beispielsweise in der Rolle von a Würfel; es kann auch Unsicherheit darstellen, wie z. Messfehler.^[1] Allerdings die Interpretation der Wahrscheinlichkeit ist philosophisch kompliziert, und selbst in bestimmten Fällen ist nicht immer einfach. Die rein mathematische Analyse zufälliger Variablen ist unabhängig von solchen Interpretationsschwierigkeiten und kann auf einem strengen axiomatischen Aufbau basieren.

In der formalen mathematischen Sprache von Theorie messen, eine zufällige Variable wird als a definiert messbare Funktion von einem Wahrscheinlichkeitsmessraum (genannt Probenraum) zu einem messbarer Raum. Dies ermöglicht die Berücksichtigung der Pushforward -Maßnahme, was genannt wird Verteilung der zufälligen Variablen; Die Verteilung ist also a Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Satz aller möglichen Werte der Zufallsvariablen. Es ist möglich, dass zwei zufällige Variablen identische Verteilungen haben, sich jedoch in signifikanten Weise unterscheiden. Zum Beispiel können sie es sein unabhängig.

Es ist üblich, die Sonderfälle von zu berücksichtigen Diskrete Zufallsvariablen und absolut kontinuierliche Zufallsvariablen, entspricht der Frage, ob eine Zufallsvariable in einem diskreten Satz (wie einem endlichen Satz) oder in einem Intervall von bewertet wird reale Nummern. Es gibt andere wichtige Möglichkeiten, insbesondere in der Theorie von stochastische Prozesse, wobei es natürlich zu berücksichtigen ist Zufällige Sequenzen oder zufällige Funktionen. Manchmal a zufällige Variable wird als automatisch in den realen Zahlen bewertet, wobei allgemeinere Zufallsmengen stattdessen genannt werden zufällige Elemente.

Entsprechend George Mackey, Pafnuty Chebyshev war die erste Person, "systematisch in Bezug auf zufällige Variablen zu denken".^[2]

Definition

A zufällige Variable ${\ displayStyle x}$ ist ein messbare Funktion ${\ displaystyle x \ colon \ Omega \ to e}$ von einer Reihe von möglichen Ergebnisse ${\ displayStyle \ Omega}$ zu einem messbarer Raum ${\ displayStyle e}$ . Die technische axiomatische Definition erfordert ${\ displayStyle \ Omega}$ ein Beispielraum von a sein Wahrscheinlichkeit Triple ${\ displayStyle (\ Omega, {\ mathcal {f}}, \ operatorname {p})}$ (Siehe messen-theoretische Definition). Eine zufällige Variable wird oft durch Kapital bezeichnet Römische Buchstaben wie zum Beispiel ${\ displayStyle x}$ , ${\ displayStyle y}$ , ${\ displayStyle z}$ , ${\ displayStyle t}$ .^[3]

Die Wahrscheinlichkeit, dass ${\ displayStyle x}$ nimmt einen Wert in einem messbaren Satz an ${\ displayStyle S \ subseteq e}$ ist geschrieben als

oder

Standardfall

In vielen Fällen, ${\ displayStyle x}$ ist echt bewertet, d.h. ${\ displayStyle e = \ mathbb {r}}$ . In einigen Kontexten der Begriff zufälliges Element (sehen Erweiterungen) wird verwendet, um eine zufällige Variable nicht dieser Form zu bezeichnen.

Wenn der Bild (oder Bereich) von ${\ displayStyle x}$ ist zählbar, die zufällige Variable wird als a genannt diskrete Zufallsvariable^[4]^{: 399} und seine Verteilung ist a Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, d.h. kann durch a beschrieben werden Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion Das weist jedem Wert im Bild von eine Wahrscheinlichkeit zu ${\ displayStyle x}$ . Wenn das Bild unbefriedigend unendlich ist (normalerweise eine Intervall) dann ${\ displayStyle x}$ wird als a genannt kontinuierliche Zufallsvariable.^[5]^[6] Im Sonderfall, dass es ist absolut kontinuierlich, seine Verteilung kann durch a beschrieben werden Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, was Intervallen Wahrscheinlichkeiten zuweist; Insbesondere muss jeder einzelne Punkt für eine absolut kontinuierliche Zufallsvariable wahrscheinlich Wahrscheinlichkeitsnull aufweisen. Nicht alle kontinuierlichen Zufallsvariablen sind absolut kontinuierlich,^[7] a Mischverteilung ist ein solches Gegenbeispiel; Solche zufälligen Variablen können nicht durch eine Wahrscheinlichkeitsdichte oder eine Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion beschrieben werden.

Jede zufällige Variable kann durch ihre beschrieben werden Verteilungsfunktion, die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass die Zufallsvariable kleiner oder gleich einem bestimmten Wert ist.

Erweiterungen

Der Begriff "zufällige Variable" in Statistiken ist traditionell auf die beschränkt echt bewertet Fall ( ${\ displayStyle e = \ mathbb {r}}$ ). In diesem Fall ermöglicht die Struktur der realen Zahlen, Größen wie die zu definieren erwarteter Wert und Varianz einer zufälligen Variablen, ITS Verteilungsfunktion, und die Momente seiner Verteilung.

Die obige Definition ist jedoch für jeden gültig messbarer Raum ${\ displayStyle e}$ von Werten. Somit kann man zufällige Elemente anderer Sätze berücksichtigen ${\ displayStyle e}$ wie zufällig boolesche Werte, Kategoriale Werte, komplexe Zahlen, Vektoren, Matrizen, Sequenzen, Bäume, Sets, Formen, Verteiler, und Funktionen. Man kann sich dann speziell auf a beziehen Zufällige Variable von Typ ${\ displayStyle e}$ , oder an ${\ displayStyle e}$ -Valierte Zufallsvariable.

Dieses allgemeinere Konzept von a zufälliges Element ist besonders nützlich in Disziplinen wie Graphentheorie, maschinelles Lernen, Verarbeitung natürlicher Spracheund andere Felder in Diskrete Mathematik und Informatik, wo man oft daran interessiert ist, die zufällige Variation von nicht numerisch zu modellieren Datenstrukturen. In einigen Fällen ist es dennoch praktisch, jedes Element von darzustellen ${\ displayStyle e}$ mit einer oder mehreren reellen Zahlen. In diesem Fall kann ein zufälliges Element optional als dargestellt werden Vektor realer Zufallsvariablen (Alle definiert auf demselben zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsraum ${\ displayStyle \ Omega}$ , was die verschiedenen Zufallsvariablen ermöglicht, um Kovary). Zum Beispiel:

Ein zufälliges Wort kann als zufällige Ganzzahl dargestellt werden, die als Index in das Wortschatz möglicher Wörter dient. Alternativ kann es als zufälliger Indikatorvektor dargestellt werden, dessen Länge der Größe des Wortschatzes entspricht, wobei die einzigen Werte der positiven Wahrscheinlichkeit sind ${\ displayStyle (1 \ 0 \ 0 \ 0 \ \ cdots)}}$ , ${\ displayStyle (0 \ 1 \ 0 \ 0 \ \ cdots)}}$ , ${\ displayStyle (0 \ 0 \ 1 \ 0 \ \ cdots)}}$ und die Position des 1 zeigt das Wort an.
Ein zufälliger Satz der gegebenen Länge ${\ displayStyle n}$ kann als Vektor von dargestellt werden ${\ displayStyle n}$ Zufällige Wörter.
A Zufällige Grafik an ${\ displayStyle n}$ Gegebene Eckpunkte können als ${\ displayStyle n \ Times n}$ Matrix von Zufallsvariablen, deren Werte die angeben Adjazenzmatrix der zufälligen Grafik.
A Zufällige Funktion ${\ displayStyle f}$ kann als Sammlung von Zufallsvariablen dargestellt werden ${\ displayStyle f (x)}$ an den verschiedenen Punkten die Werte der Funktion geben ${\ displayStyle x}$ im Bereich der Funktion. Das ${\ displayStyle f (x)}$ sind gewöhnliche realbewertete Zufallsvariablen, vorausgesetzt, die Funktion ist realwert. Zum Beispiel a stochastischer Prozess ist eine zufällige Funktion der Zeit, a zufälliger Vektor ist eine zufällige Funktion eines Indexsatzes wie z. ${\ displayStyle 1,2, \ ldots, n}$ , und zufälliges Feld ist eine zufällige Funktion an jedem Satz (typischerweise Zeit, Platz oder diskreter Satz).

Verteilungsfunktionen

Wenn eine zufällige Variable ${\ displaystyle x \ colon \ Omega \ to \ mathbb {r}}$ definiert auf dem Wahrscheinlichkeitsraum ${\ displayStyle (\ Omega, {\ mathcal {f}}, \ operatorname {p})}$ wird gegeben, wir können Fragen wie "Wie wahrscheinlich ist es, dass der Wert von ${\ displayStyle x}$ ist gleich 2? ". Dies ist die gleiche wie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ${\ displayStyle \ {\ Omega: x (\ Omega) = 2 \} \, \!}$ das wird oft als geschrieben als ${\ displayStyle p (x = 2) \, \!}$ oder ${\ displayStyle p_ {x} (2)}$ kurz.

Aufzeichnung all dieser Wahrscheinlichkeiten der Ausgangsbereiche einer realwertigen Zufallsvariable ${\ displayStyle x}$ ergibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von ${\ displayStyle x}$ . Die Wahrscheinlichkeitsverteilung "vergisst" über den jeweiligen Wahrscheinlichkeitsraum, der zum Definieren verwendet wird ${\ displayStyle x}$ und zeichnet nur die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Werte von auf ${\ displayStyle x}$ . Eine solche Wahrscheinlichkeitsverteilung kann immer durch ihre erfasst werden Verteilungsfunktion

{\ displayStyle f_ {x} (x) = \ operatorname {p} (x \ leq x)}

und manchmal auch ein Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, ${\ displayStyle p_ {x}}$ . Im messen-theoretisch Begriffe verwenden wir die Zufallsvariable ${\ displayStyle x}$ Die Maßnahme "vorwärts schieben" ${\ displayStyle p}$ an ${\ displayStyle \ Omega}$ zu einer Maßnahme ${\ displayStyle p_ {x}}$ an ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ . Der zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitsraum ${\ displayStyle \ Omega}$ ist ein technisches Gerät, das verwendet wird, um die Existenz von Zufallsvariablen zu garantieren, manchmal um sie zu konstruieren und Begriffe wie zu definieren, z. Korrelation und Abhängigkeit oder Unabhängigkeit based on a Gelenkverteilung von zwei oder mehr zufälligen Variablen auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum. In der Praxis entsorgt man oft den Raum ${\ displayStyle \ Omega}$ insgesamt und legt einfach eine Maßnahme an ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ Das weist der gesamten realen Linie Maßnahme 1 zu, d. H. Man funktioniert mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen anstelle von zufälligen Variablen. Siehe den Artikel über Quantilfunktionen Für die vollere Entwicklung.

Beispiele

Diskrete Zufallsvariable

In einem Experiment kann eine Person zufällig ausgewählt werden, und eine zufällige Variable kann die Größe der Person sein. Mathematisch wird die zufällige Variable als Funktion interpretiert, die die Person der Größe der Person ordnet. Mit der Zufallsvariablen verbunden ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Berechnung der Wahrscheinlichkeit ermöglicht, dass sich die Höhe in jeder Teilmenge möglicher Werte befindet, z. B. die Wahrscheinlichkeit, dass die Höhe zwischen 180 und 190 cm liegt, oder die Wahrscheinlichkeit, dass die Höhe entweder geringer ist als 150 oder mehr als 200 cm.

Eine andere zufällige Variable kann die Anzahl der Kinder der Person sein. Dies ist eine diskrete Zufallsvariable mit nicht negativen Ganzzahlwerten. Es ermöglicht die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für einzelne Ganzzahlwerte - die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion (PMF) - oder für Wertesätze, einschließlich unendlicher Mengen. Zum Beispiel kann das Interesseereignis "eine gleichmäßige Anzahl von Kindern" sein. Sowohl für endliche als auch für unendliche Ereignissätze können ihre Wahrscheinlichkeiten durch Addieren der PMFs der Elemente gefunden werden. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit einer geraden Anzahl von Kindern ist die unendliche Summe $oder$ .

In Beispielen wie diesen, die Probenraum wird oft unterdrückt, da es mathematisch schwer zu beschreiben ist und die möglichen Werte der Zufallsvariablen dann als Stichprobenraum behandelt werden. Wenn jedoch zwei zufällige Variablen an demselben Stichprobenraum der Ergebnisse gemessen werden, wie z. Von derselben zufälligen Person beispielsweise, so dass Fragen, ob solche zufälligen Variablen korreliert sind oder nicht, gestellt werden können.

Wenn ${\ textstyle \ {a_ {n} \}, \ {b_ {n} \ \}}$ sind zählbare Sätze realer Zahlen, ${\ textstyle b_ {n}> 0}$ und ${\ textstyle \ sum _ {n} b_ {n} = 1}$ , dann ${\ textstyle f = \ sum _ {n} b_ {n} \ delta _ {a_ {n}} (x)}$ ist eine diskrete Verteilungsfunktion. Hier ${\ displayStyle \ Delta _ {t} (x) = 0}$ zum ${\ displayStyle x <t}$ , ${\ displayStyle \ Delta _ {t} (x) = 1}$ zum ${\ displayStyle x \ geq t}$ . Zum Beispiel eine Aufzählung aller rationalen Zahlen als ${\ displayStyle \ {a_ {n} \}}$ Man erhält eine diskrete Funktion, die nicht unbedingt eine Schrittfunktion ist (stückweise Konstante).

Münzwurf

Die möglichen Ergebnisse für einen Münzwurf können durch den Probenraum beschrieben werden ${\ displayStyle \ Omega = \ {{\ text {Heads}}, {\ text {Tails}} \}}$ . Wir können eine realbewertete Zufallsvariable einführen ${\ displayStyle y}$ Das modelliert eine Auszahlung von 1 US -Dollar für eine erfolgreiche Wette auf Köpfe wie folgt:

oder } \ omega = {\ text {tails}}. \ end {cases}}}

Wenn die Münze a ist faire Münze, Y hat ein Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion ${\ displayStyle f_ {y}}$ gegeben durch:

oder } {2}}, & {\ text {if}} y = 0, \ end {cases}}}

Würfelwurf

Wenn der Probenraum der Satz möglicher Zahlen ist, die auf zwei Würfeln gerollt sind, und die zufällige interessierende Variable ist die Summe S der Zahlen auf den beiden Würfel dann S ist eine diskrete Zufallsvariable, deren Verteilung durch die beschrieben wird Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion Aufgetragen als Höhe der Bildspalten hier.

Eine zufällige Variable kann auch verwendet werden, um den Prozess des Rollenwürfels und die möglichen Ergebnisse zu beschreiben. Die offensichtlichste Darstellung für den Zwei-DICE-Fall besteht darin, die Anzahl von Zahlenpaaren zu nehmen n₁ und n₂ Aus {1, 2, 3, 4, 5, 6} (darstellen die Zahlen auf den beiden Würfeln) als Probenraum. Die Gesamtzahl (die Summe der Zahlen in jedem Paar) ist dann eine zufällige Variable X gegeben durch die Funktion, die das Paar der Summe ordnet:

{\ displayStyle x (((n_ {1}, n_ {2})) = n_ {1}+n_ {2}}

und (wenn der Würfel ist Messe) hat eine Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion f_X gegeben durch:

{\ displayStyle f_ {x} (s) = {\ frac {\ min (s-1,13-s)} {36}}, {\ text {für}} s \ in \ {2,3,4,, 5,6,7,8,9,10,11,12 \}}

Kontinuierliche Zufallsvariable

Formal ist eine kontinuierliche Zufallsvariable eine zufällige Variable, deren Verteilungsfunktion ist kontinuierlich überall, überallhin, allerorts.^[8] Es gibt keine "Lücken", was Zahlen entsprechen würde, die eine endliche Wahrscheinlichkeit haben auftreten. Stattdessen kontinuierliche Zufallsvariablen fast nie Nehmen Sie einen exakt vorgeschriebenen Wert c (formal, ${\ textstyle \ forall c \ in \ mathbb {r}: \; \ pr (x = c) = 0}$ ) Aber es besteht eine positive Wahrscheinlichkeit, dass sein Wert besonders liegen wird Intervalle welches sein kann willkürlich klein. Kontinuierliche Zufallsvariablen geben normalerweise zu Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (PDF), die ihre CDF charakterisieren und Wahrscheinlichkeitsmaßnahmen; Solche Verteilungen werden auch genannt absolut kontinuierlich; Aber einige kontinuierliche Verteilungen sind Singular, oder Mischungen eines absolut kontinuierlichen Teils und eines einzigartigen Teils.

Ein Beispiel für eine kontinuierliche Zufallsvariable wäre eine, die auf einem Spinner basiert, der eine horizontale Richtung auswählen kann. Dann sind die von der Zufallsvariablen genommenen Werte Anweisungen. Wir könnten diese Richtungen nach Norden, West, Ost, Süd, Südosten usw. darstellen. Es ist jedoch allgemein bequemer, den Stichprobenraum einer zufälligen Variablen abzubilden, die Werte erfordert, die reelle Zahlen sind. Dies kann beispielsweise durchgeführt werden, indem eine Richtung auf ein Lager in Grad im Uhrzeigersinn aus dem Norden abgebildet wird. Die zufällige Variable nimmt dann Werte auf, die reelle Zahlen aus dem Intervall [0, 360) sind, wobei alle Teile des Bereichs "gleich wahrscheinlich" sind. In diesem Fall, X = der Winkel gedreht. Jede reelle Zahl hat Wahrscheinlichkeit Null der Auswahl, aber eine positive Wahrscheinlichkeit kann jedem zugeordnet werden Angebot von Werten. Zum Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl in [0, 180] zu wählen 1⁄2. Anstatt von einer Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion zu sprechen, sagen wir, dass die Wahrscheinlichkeit Dichte von X ist 1/360. Die Wahrscheinlichkeit einer Teilmenge von [0, 360) kann berechnet werden, indem das Maß des Satzes mit 1/360 multipliziert wird. Im Allgemeinen kann die Wahrscheinlichkeit eines Satzes für eine gegebene kontinuierliche Zufallsvariable berechnet werden, indem die Dichte über den gegebenen Satz integriert wird.

Formell besser gegeben Intervall ${\ textstyle i = [a, b] = \ {x \ in \ mathbb {r}: a \ leq x \ leq b \}}$ , eine zufällige Variable $oder$ wird als "" genannt "kontinuierliche Uniform Zufällige Variable "(CURV), wenn die Wahrscheinlichkeit, dass es einen Wert in a hat Subinterval hängt nur von der Länge des Subintervals ab. Dies impliziert, dass die Wahrscheinlichkeit von ${\ displaystyle x_ {i}}$ in ein Subinterval fallen ${\ displayStyle [c, d] \ subseteq [a, b]}$ ist proportional zum Länge des Subintervals, das heißt, wenn $a \leq c \leq d \leq b$ , hat man

{\ displaystyle \ pr \ links (x_ {i} \ in [c, d] \ right) = {\ frac {d-c} {b-a}}}

wo die letzte Gleichheit aus dem resultiert Unitarity Axiom Wahrscheinlichkeit. Das Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion eines Kurvens ${\ displaystyle x \ sim \ operatorname {u} [a, b]}$ wird von der gegeben Indikatorfunktion seiner Intervall von Unterstützung Normalisiert durch die Länge des Intervalls:

oder }}}

Von besonderem Interesse ist die einheitliche Verteilung der Einheitsintervall

{\ displayStyle [0,1]}

. Proben von allen gewünschten Wahrscheinlichkeitsverteilung

{\ displayStyle \ operatorname {d}}

kann erzeugt werden, indem die berechnet werden Quantilfunktion von

{\ displayStyle \ operatorname {d}}

auf einen Zufällig generierte Zahl Einheitlich auf das Einheitsintervall verteilt. Das nutzt Eigenschaften von kumulativen Verteilungsfunktionen, die ein einheitliches Framework für alle zufälligen Variablen sind.

Gemischter Typ

A gemischte zufällige Variable ist eine zufällige Variable, deren Verteilungsfunktion ist weder diskret Noch Überall kontinuierlich.^[8] Es kann als Mischung einer diskreten Zufallsvariablen und einer kontinuierlichen Zufallsvariablen realisiert werden. in diesem Fall der Fall CDF wird der gewichtete Durchschnitt der CDFs der Komponentenvariablen sein.^[8]

Ein Beispiel für eine zufällige Variable des gemischten Typs würde auf einem Experiment basieren, bei dem eine Münze umgedreht wird und der Spinner nur dann gedreht wird, wenn das Ergebnis des Münzwurfs Köpfe ist. Wenn das Ergebnis Schwänze ist, X = -1; Andernfalls X = der Wert des Spinners wie im vorhergehenden Beispiel. Es besteht eine Wahrscheinlichkeit von 1⁄2 dass diese zufällige Variable den Wert –1 hat. Andere Wertebereiche hätten die Hälfte der Wahrscheinlichkeiten des letzten Beispiels.

Im Allgemeinen ist jede Wahrscheinlichkeitsverteilung auf der realen Linie eine Mischung aus diskreter Teil, einzigartigem Teil und absolut kontinuierlicher Teil. sehen Lebesgue's Decomposition Theorem § Verfeinerung. Der diskrete Teil konzentriert sich auf einen zählbaren Satz, aber dieser Satz kann dicht sein (wie der Satz aller rationalen Zahlen).

Messen-theoretische Definition

Das formalste, axiomatisch Die Definition einer zufälligen Variablen beinhaltet Theorie messen. Kontinuierliche Zufallsvariablen sind in Bezug auf Sets von Zahlen, zusammen mit Funktionen, die solche Sets auf Wahrscheinlichkeiten abbilden. Wegen verschiedener Schwierigkeiten (z. B. die Banach–Tarski paradox) Dies entsteht, wenn solche Sets nicht ausreichend eingeschränkt sind Sigma-Algebra Um die möglichen Mengen einzuschränken, über die Wahrscheinlichkeiten definiert werden können. Normalerweise wird eine solche Sigma-Algebra verwendet, die Borel σ-Algebra, was ermöglicht, dass Wahrscheinlichkeiten über alle Sätze definiert werden, die entweder direkt aus kontinuierlichen Zahlenintervallen oder durch ein endliches oder abgeleitet werden können oder Zähler Unendlich unendlich Anzahl von Gewerkschaften und/oder Schnittpunkte von solchen Intervallen.^[9]

Die maßstheoretische Definition lautet wie folgt.

Lassen ${\ displayStyle (\ Omega, {\ mathcal {f}}, p)}$ sei a Wahrscheinlichkeitsraum und ${\ displayStyle (e, {\ mathcal {e}})}$ a messbarer Raum. Dann an ${\ displayStyle (e, {\ mathcal {e}})}$ -Valierte Zufallsvariable ist eine messbare Funktion ${\ displaystyle x \ colon \ Omega \ to e}$ was bedeutet, dass für jede Untergruppe ${\ displaystyle b \ in {\ mathcal {e}}}$ , es ist Vorbereitung ist ${\ displaystyle {\ mathcal {f}}}$ -messbar; ${\ displaystyle x^{-1} (b) \ in {\ mathcal {f}}}$ , wo ${\ displaystyle x^{-1} (b) = \ {\ Omega: x (\ omega) \ in b \}}$ .^[10] Diese Definition ermöglicht es uns, jede Teilmenge zu messen ${\ displaystyle b \ in {\ mathcal {e}}}$ im Zielraum durch Betrachtung seines Vorbereiters, was durch Annahme messbar ist.

In intuitiverer Begriffe ein Mitglied von ${\ displayStyle \ Omega}$ ist ein mögliches Ergebnis, ein Mitglied von ${\ displaystyle {\ mathcal {f}}}$ ist eine messbare Untergruppe möglicher Ergebnisse, die Funktion ${\ displayStyle p}$ gibt die Wahrscheinlichkeit jeder solchen messbaren Untergruppe an, ${\ displayStyle e}$ repräsentiert den Satz von Werten, die die zufällige Variable annehmen kann (z. B. die Menge von reellen Zahlen) und ein Mitglied von ${\ displayStyle {\ mathcal {e}}}$ ist eine "gut erzogene" (messbare) Teilmenge von ${\ displayStyle e}$ (diejenigen, für die die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden kann). Die zufällige Variable ist dann eine Funktion von jedem Ergebnis zu einer Menge, so dass die Ergebnisse, die zu einer nützlichen Teilmenge von Größen für die zufällige Variable führen, eine genau definierte Wahrscheinlichkeit haben.

Wann ${\ displayStyle e}$ ist ein topologischer Raum, dann die häufigste Wahl für die σ-Algebra ${\ displayStyle {\ mathcal {e}}}$ ist der Borel σ-Algebra ${\ displaystyle {\ mathcal {b}} (e)}$ , das ist die σ-Algebra, die durch die Sammlung aller offenen Sets in erzeugt wird ${\ displayStyle e}$ . In diesem Fall die ${\ displayStyle (e, {\ mathcal {e}})}$ -Worschessens zufälliger Variable wird als eine bezeichnet ${\ displayStyle e}$ -Valierte Zufallsvariable. Darüber hinaus, wenn der Raum ${\ displayStyle e}$ ist die wirkliche Linie ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ , dann wird eine so realbewertete zufällige Variable einfach a genannt zufällige Variable.

Realbewertete Zufallsvariablen

In diesem Fall ist der Beobachtungsraum der Satz realer Zahlen. Abrufen, ${\ displayStyle (\ Omega, {\ mathcal {f}}, p)}$ ist der Wahrscheinlichkeitsraum. Für einen realen Beobachtungsraum die Funktion ${\ displaystyle x \ colon \ Omega \ rightarrow \ mathbb {r}}$ ist eine realbewertete Zufallsvariable, wenn

oder

Diese Definition ist ein Sonderfall des oben genannten, weil der Satz ${\ displayStyle \ {(-\ infty, r]: r \ in \ mathbb {r} \ \}}$ Erzeugt das Borel-σ-Algebra auf dem Satz realer Zahlen und reicht aus, um die Messbarkeit an jedem Erzeugungssatz zu überprüfen. Hier können wir die Messbarkeit bei diesem Generierungssatz beweisen, indem wir die Tatsache verwenden, dass $oder$ .

Momente

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer zufälligen Variablen wird häufig durch eine kleine Anzahl von Parametern gekennzeichnet, die auch eine praktische Interpretation aufweisen. Zum Beispiel reicht es oft aus, zu wissen, was sein "Durchschnittswert" ist. Dies wird durch das mathematische Konzept von erfasst erwarteter Wert einer zufälligen Variablen, bezeichnet ${\ displayStyle \ operatorname {e} [x]}$ und auch das genannt Erste Moment. Im Algemeinen, ${\ displayStyle \ operatorname {e} [f (x)]}$ ist ungleich zu ${\ displayStyle f (\ operatorname {e} [x])}$ . Sobald der "Durchschnittswert" bekannt ist, könnte man sich fragen, wie weit der Durchschnittswert von den Werten von entfernt ist ${\ displayStyle x}$ In der Regel handelt es sich um eine Frage, die von der beantwortet wird Varianz und Standardabweichung einer zufälligen Variablen. ${\ displayStyle \ operatorname {e} [x]}$ kann intuitiv als Durchschnitt angesehen werden, der von einer unendlichen Population erhalten wird, deren Mitglieder bestimmte Bewertungen von sind ${\ displayStyle x}$ .

Mathematisch ist dies als (verallgemeinert) bekannt Problem der Momente: Für eine bestimmte Klasse von zufälligen Variablen ${\ displayStyle x}$ Finden Sie eine Sammlung ${\ displaystyle \ {f_ {i} \}}$ von Funktionen so, dass die Erwartungswerte Werte ${\ displayStyle \ operatorname {e} [f_ {i} (x)]}$ charakterisieren die Verteilung der zufälligen Variablen ${\ displayStyle x}$ .

Momente können nur für realbewertete Funktionen von Zufallsvariablen (oder komplexer Wert usw.) definiert werden. Wenn die zufällige Variable selbst realiert ist, können Momente der Variablen selbst genommen werden, die den Momenten der Identitätsfunktion entsprechen ${\ displayStyle f (x) = x}$ der zufälligen Variablen. Selbst bei nicht realen zufälligen Variablen können auch Momente von realen Funktionen dieser Variablen aufgenommen werden. Zum Beispiel für a Kategorisch zufällige Variable X das kann das übernehmen nominal Werte "rot", "blau" oder "grün", die realbewertete Funktion ${\ displayStyle [x = {\ text {green}}]}$ kann konstruiert werden; Dies verwendet die Iverson Klammer, und hat den Wert 1, wenn ${\ displayStyle x}$ hat den Wert "grün", 0 sonst. Dann ist die erwarteter Wert und andere Momente dieser Funktion können bestimmt werden.

Funktionen zufälliger Variablen

Eine neue zufällige Variable Y kann definiert werden durch bewirbt sich ein echter Borel messbare Funktion ${\ displaystyle g \ colon \ mathbb {r} \ rightarrow \ mathbb {r}}$ zu den Ergebnissen von a echt bewertet zufällige Variable ${\ displayStyle x}$ . Das ist, ${\ displayStyle y = g (x)}$ . Das Verteilungsfunktion von ${\ displayStyle y}$ ist dann

{\ displayStyle f_ {y} (y) = \ operatorname {p} (g (x) \ leq y).}

Wenn Funktion ${\ displayStyle g}$ ist invertierbar (d. H., ${\ displayStyle H = g^{-1}}$ existiert, wo ${\ displayStyle H}$ ist ${\ displayStyle g}$ 's Umkehrfunktion) und ist entweder zunehmen oder abnehmenund dann kann die vorherige Beziehung erweitert werden, um zu erhalten

oder } (h (y)), & {\ text {if}} h = g^{-1} {\ text {erhöht}}, \\\\\ operatorname {p} (x \ geq h (y))) = 1-f_ {x} (h (y)), & {\ text {if}} h = g^{-1} {\ text {reduzieren}}. \ End {cases}}}}}}

Mit den gleichen Hypothesen der Invertierbarkeit von ${\ displayStyle g}$ Annahme auch Differenzierbarkeitdie Beziehung zwischen dem Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen kann gefunden werden, indem beide Seiten des obigen Ausdrucks in Bezug auf die Differenzierung unterschieden werden ${\ displayStyle y}$ , um zu erhalten^[8]

oder

Wenn es keine Invertierbarkeit von gibt ${\ displayStyle g}$ aber jeder ${\ displayStyle y}$ gibt höchstens eine zählbare Anzahl von Wurzeln zu (d. H. Eine endliche oder zäher unendlich unendlich Anzahl von ${\ displaystyle x_ {i}}$ so dass ${\ displayStyle y = g (x_ {i})}$ ) dann die vorherige Beziehung zwischen dem Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen kann mit verallgemeinert werden mit

oder } (y)} {dy}} \ rechts |}

wo ${\ displaystyle x_ {i} = g_ {i}^{-1} (y)}$ , laut dem Inverse -Funktionstheorem. Die Formeln für Dichten erfordern nicht ${\ displayStyle g}$ zunehmen.

In der mess-theoretischen, Axiomatischer Ansatz zur Wahrscheinlichkeit, wenn eine zufällige Variable ${\ displayStyle x}$ an ${\ displayStyle \ Omega}$ und ein Borel messbare Funktion ${\ displaystyle g \ colon \ mathbb {r} \ rightarrow \ mathbb {r}}$ , dann ${\ displayStyle y = g (x)}$ ist auch eine zufällige Variable auf ${\ displayStyle \ Omega}$ Seit der Zusammensetzung messbarer Funktionen ist auch messbar. (Dies gilt jedoch nicht unbedingt, wenn ${\ displayStyle g}$ ist Lebesgue messbar.) Das gleiche Verfahren, das es einem ermöglichte, aus einem Wahrscheinlichkeitsraum zu gehen ${\ displayStyle (\ Omega, p)}$ zu ${\ displayStyle (\ mathbb {r}, df_ {x})}$ kann verwendet werden, um die Verteilung von zu erhalten ${\ displayStyle y}$ .

Beispiel 1

Lassen ${\ displayStyle x}$ realiert sein, kontinuierliche Zufallsvariable und lass ${\ displayStyle y = x^{2}}$ .

{\ displayStyle f_ {y} (y) = \ operatorname {p} (x^{2} \ leq y).}

Wenn ${\ displayStyle y <0}$ , dann ${\ displayStyle p (x^{2} \ leq y) = 0}$ , Also

{\ displayStyle f_ {y} (y) = 0 \ qquad {\ hbox {if}} \ quad y <0.}

Wenn ${\ displayStyle y \ geq 0}$ , dann

oder y}} \ leq x \ leq {\ sqrt {y}}),},},},},},},},},},},},},},},}

Also

{\ displayStyle f_ {y} (y) = f_ {x} ({\ sqrt {y}})-f_ {x} (-{\ sqrt {y}}) \ qquad {\ hbox {if}} \ quad y \ geq 0.}

Beispiel 2

Vermuten ${\ displayStyle x}$ ist eine zufällige Variable mit einer kumulativen Verteilung

oder

wo ${\ displayStyle \ theta> 0}$ ist ein fester Parameter. Betrachten Sie die zufällige Variable ${\ displayStyle y = \ mathrm {log} (1+e^{-x}).}$ Dann,

oder log} (e^{y} -1)). \,}

Der letzte Ausdruck kann in Bezug auf die kumulative Verteilung von berechnet werden ${\ displayStyle x,}$ Also

oder {1} {(1+e^{\ log (e^{y} -1)})^{\ theta}}} \\ [5pt] & = 1-{\ frac {1} {(1+e) ^{y} -1)^{\ theta}}} \\ [5pt] & = 1-e^{-y \ theta}. \ end {ausgerichtet}}}

Welches ist das Verteilungsfunktion (CDF) von einem Exponentialverteilung.

Beispiel 3

Vermuten ${\ displayStyle x}$ ist eine zufällige Variable mit a Standardnormalverteilung, deren Dichte ist

{\ displaystyle f_ {x} (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e^{-x^{2}/2}.}.}.}.

Betrachten Sie die zufällige Variable ${\ displayStyle y = x^{2}.}$ Wir können die Dichte unter Verwendung der obigen Formel für eine Änderung der Variablen finden:

oder } (y)} {dy}} \ rechts |.}

In diesem Fall ist die Änderung nicht monoton, weil jeder Wert von ${\ displayStyle y}$ hat zwei entsprechende Werte von ${\ displayStyle x}$ (ein positiver und negativer). Aufgrund der Symmetrie transformieren sich beide Hälften jedoch identisch, d. H.,

oder .}

Die inverse Transformation ist

{\ displaystyle x = g^{-1} (y) = {\ sqrt {y}}}

und sein Derivat ist

oder

Dann,

oder }}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi y}}} e^{-y/2}.}

Das ist ein Chi-Quadrat-Verteilung mit einer Freiheitsgrad.

Beispiel 4

Vermuten ${\ displayStyle x}$ ist eine zufällige Variable mit a Normalverteilung, deren Dichte ist

oder \ sigma ^{2})}.}

Betrachten Sie die zufällige Variable ${\ displayStyle y = x^{2}.}$ Wir können die Dichte unter Verwendung der obigen Formel für eine Änderung der Variablen finden:

oder } (y)} {dy}} \ rechts |.}

In diesem Fall ist die Änderung nicht monoton, weil jeder Wert von ${\ displayStyle y}$ hat zwei entsprechende Werte von ${\ displayStyle x}$ (ein positiver und negativer). Anders als im vorherigen Beispiel gibt es in diesem Fall jedoch keine Symmetrie und wir müssen die beiden unterschiedlichen Begriffe berechnen:

oder dy}} \ right |+f_ {x} (g_ {2}^{-1} (y)) \ links | {\ frac {dg_ {2}^{-1} (y)} {dy}} \ rechts |.}

Die inverse Transformation ist

{\ displaystyle x = g_ {1,2}^{-1} (y) = \ pm {\ sqrt {y}}}

und sein Derivat ist

oder

Dann,

oder (e^{-({\ sqrt {y}}-\ mu)^{2}/(2 \ sigma^{2})}+e^{-(-{\ sqrt {y}}-\ mu) ^{2}/(2 \ sigma ^{2})}).}

Das ist ein Nichtcentral-Chi-Quadrat-Verteilung mit einer Freiheitsgrad.

Einige Eigenschaften

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Summe von zwei unabhängigen Zufallsvariablen ist die Faltung von jeder ihrer Verteilungen.
Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind keine Vektorraum- Sie sind nicht geschlossen unter lineare Kombinationen, da diese keine Nicht-Negativität oder Gesamtintegral 1 erhalten-aber sie sind unter geschlossen Konvexe Kombinationso bilden a Konvexe Teilmenge des Raums der Funktionen (oder Maßnahmen).

Äquivalenz von Zufallsvariablen

Es gibt verschiedene Sinne, in denen zufällige Variablen als gleichwertig angesehen werden können. Zwei zufällige Variablen können gleich, fast sicher oder gleich in der Verteilung sein.

In zunehmender Reihenfolge der Stärke ist die genaue Definition dieser Vorstellungen von Äquivalenz unten angegeben.

Gleichheit in der Verteilung

Wenn der Probenraum eine Teilmenge der realen Linie ist, zufälligen Variablen X und Y sind Gleicher Verteilung (bezeichnet ${\ displaystyle x {\ stackrel {d} {=}} y}$ ) Wenn sie die gleichen Verteilungsfunktionen haben:

oder

Um in der Verteilung gleich zu sein, müssen zufällige Variablen nicht auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum definiert werden. Zwei zufällige Variablen mit gleich Moment Generierung von Funktionen haben die gleiche Verteilung. Dies bietet beispielsweise eine nützliche Methode zur Überprüfung der Gleichheit bestimmter Funktionen von unabhängige, identisch verteilte (IID-) Zufallsvariablen. Die Momentgenerierungsfunktion besteht jedoch nur für Verteilungen, die eine definierte haben Laplace-Transformation.

Fast sicher Gleichheit

Zwei zufällige Variablen X und Y sind gleich Fast sicher (bezeichnet ${\ displaystyle x \; {\ stackrel {\ text {a.s.}} {=}} \; y}$ ) Wenn und nur wenn die Wahrscheinlichkeit, dass sie unterschiedlich sind, ist Null:

{\ displayStyle \ operatorname {p} (x \ neq y) = 0.}

Für alle praktischen Zwecke in der Wahrscheinlichkeitstheorie ist dieser Begriff der Äquivalenz so stark wie die tatsächliche Gleichheit. Es ist der folgenden Entfernung verbunden:

oder

wo "Ess sup" die repräsentiert Essentielles Supremum im Sinne von Theorie messen.

Gleichberechtigung

Schließlich die beiden zufälligen Variablen X und Y sind gleich Wenn sie wie Funktionen in ihrem messbaren Raum gleich sind:

{\ displayStyle x (\ omega) = y (\ omega) \ qquad {\ hbox {für alle}} \ omega.

Dieser Begriff ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie typischsten Raum messen des Experiment ist selten explizit charakterisiert oder sogar charakterisierbar.

Konvergenz

Ein signifikantes Thema in der mathematischen Statistik besteht darin, Konvergenzergebnisse für bestimmte zu erzielen Sequenzen von zufälligen Variablen; Zum Beispiel die Gesetz der großen Anzahl und die Zentralgrenze Theorem.

Es gibt verschiedene Sinne, in denen eine Sequenz ${\ displayStyle x_ {n}}$ von Zufallsvariablen können zu einer zufälligen Variablen konvergieren ${\ displayStyle x}$ . Diese werden im Artikel über erklärt Konvergenz von Zufallsvariablen.

Siehe auch

Verweise

Inline -Zitate

^ ^a ^b Blitzstein, Joe; Hwang, Jessica (2014). Einführung in die Wahrscheinlichkeit. CRC Press. ISBN 9781466575592.
^ George Mackey (Juli 1980). "Harmonische Analyse als Ausnutzung der Symmetrie - eine historische Umfrage". Bulletin der American Mathematical Society. Neue Serien. 3 (1).
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Literatur

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Kallenberg, Olav (2001). Grundlagen der modernen Wahrscheinlichkeit (2. Aufl.). Berlin: Springer Verlag. ISBN 0-387-95313-2.
Papoulis, Athanasios (1965). Wahrscheinlichkeit, Zufallsvariablen und stochastische Prozesse (9. Aufl.). Tokio: McGraw -Hill. ISBN 0-07-119981-0.

Externe Links

"Zufällige Variable", Enzyklopädie der Mathematik, EMS Press, 2001 [1994]
Zukerman, Moshe (2014), Einführung in die Warteschlangtheorie und stochastische Teletaffic -Modelle (PDF), Arxiv:1307.2968
Zukerman, Moshe (2014), Grundlegende Wahrscheinlichkeitsthemen (PDF)

[:2-1] Blitzstein, Joe; Hwang, Jessica (2014). Einführung in die Wahrscheinlichkeit. CRC Press. ISBN 9781466575592.

[:3-2] George Mackey (Juli 1980). "Harmonische Analyse als Ausnutzung der Symmetrie - eine historische Umfrage". Bulletin der American Mathematical Society. Neue Serien. 3 (1).

[3] "Zufällige Variablen". www.mathsifun.com. Abgerufen 2020-08-21.

[Yates-4] Yates, Daniel S.; Moore, David S; Starnes, Daren S. (2003). Die Praxis der Statistik (2. Aufl.). New York: Freeman. ISBN 978-0-7167-4773-4. Archiviert von das Original Am 2005-02-09.

[5] "Zufällige Variablen". www.stat.yale.edu. Abgerufen 2020-08-21.

[6] Dekking, Frederik Michel; Kraaikamp, Cornelis; Lopuhaä, Hendrik Paul; Meester, Ludolf Erwin (2005). "Eine moderne Einführung in Wahrscheinlichkeit und Statistik". Springer Texte in Statistiken. doi:10.1007/1-84628-168-7. ISBN 978-1-85233-896-1. ISSN 1431-875X.

[7] L. castañeda; V. Arunachalam & S. Dharmaraja (2012). Einführung in Wahrscheinlichkeits- und stochastische Prozesse mit Anwendungen. Wiley. p. 67. ISBN 9781118344941.

[:0-8] Bertsekas, Dimitri P. (2002). Einführung in die Wahrscheinlichkeit. Tsitsiklis, John N., τσιτσικλής, γιάννης ν. Belmont, Mass.: Athena Scientific. ISBN 188652940X. OCLC 51441829.

[UCSB-9] Steigerwald, Douglas G. "Economics 245A - Einführung zur Messung der Theorie" (PDF). Universität von Kalifornien, Santa Barbara. Abgerufen 26. April, 2013.

[10] Fristedt & Gray (1996, Seite 11)

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