Re (Komplexität)

Im Computerbarkeitstheorie und Computerkomplexitätstheorie, BETREFFEND (rekursiv aufgezählt) ist der Klasse von Entscheidungsprobleme für die eine 'Ja' Antwort durch a überprüft werden kann Turing Maschine in einer begrenzten Zeit.[1] Informell bedeutet dies, dass, wenn die Antwort auf eine Probleminstanz "Ja" ist, ein Verfahren gibt, das eine begrenzte Zeit benötigt, um dies zu bestimmen, und dieses Verfahren wird nie fälschlicherweise "Ja" berichtet, wenn die wahre Antwort "Nein" ist. Wenn die wahre Antwort jedoch "Nein" ist, ist das Verfahren nicht erforderlich, um zu stoppen. es kann in eine "gehen"Endlosschleife"Für einige 'no' Fälle. Ein solches Verfahren wird manchmal als a genannt Semi-Algorithmus, um es von einem zu unterscheiden Algorithmus, definiert als vollständige Lösung für ein Entscheidungsproblem.[2]

Ähnlich, Ader ist die Menge aller Sprachen, die ergänzt werden können BETREFFEND. In einem Sinn, Ader Enthält Sprachen, von denen die Mitgliedschaft in einer begrenzten Zeit widerlegt werden kann, aber die Nachweis der Mitgliedschaft könnte ewig dauern.

Äquivalente Definition

Äquivalent, BETREFFEND ist die Klasse von Entscheidungsproblemen, für die eine Turing -Maschine alle 'Ja' Instanzen eins auflisten kann (dies ist das, was "aufzählbar" bedeutet). Jedes Mitglied von BETREFFEND ist ein rekursiv aufzählbarer Satz und damit a Diophantiner Set.

Um dies zu zeigen, ist dies gleichwertig, wenn es eine Maschine gibt, wenn es eine Maschine gibt Das zählt alle akzeptierten Eingänge auf, eine andere Maschine, die eine Zeichenfolge einnimmt, kann ausgeführt werden und akzeptieren, ob die Zeichenfolge aufgezählt wird. Umgekehrt, wenn eine Maschine Akzeptiert, wenn sich eine Eingabe in einer Sprache befindet, kann eine andere Maschine alle Zeichenfolgen in der Sprache auflisten, indem sie Simulationen von verschachtelt haben Bei jedem akzeptierenden Eingangs- und Ausgabebestnen (es gibt eine Ausführungsreihenfolge, die irgendwann zu jedem Ausführungsschritt kommt, da es zähe viele geordnete Paare von Eingängen und Schritten gibt).

Beziehungen zu anderen Klassen

Der Satz von rekursive Sprachen (R) ist eine Teilmenge von beidem BETREFFEND und Ader.[3] Tatsächlich ist es der Schnittpunkt dieser beiden Klassen, da wir über jedes Problem entscheiden können, für das es einen Erkenntnis und auch einen Miterkenner gibt, indem wir sie einfach verschieben, bis man ein Ergebnis erzielt. Deswegen:

.

Umgekehrt sind die Sprachen, die auch nicht sind BETREFFEND Noch Ader ist bekannt als NRNC. Dies sind die Sprachen, für die weder Mitgliedschaft noch Nichtmitglieder in einer begrenzten Zeit nachgewiesen werden können und alle anderen Sprachen enthalten, die in keiner beiden enthalten sind BETREFFEND oder Ader. Das ist:

.

Diese Probleme sind nicht nur unentscheidbar, sondern weder sie noch ihre Ergänzung sind rekursiv aufgezählt.

Im Januar 2020 kündigte ein Vordruck einen Beweis an, den BETREFFEND war der Klasse äquivalent MIP* (Die Klasse, in der ein klassischer Verifizierer mit mehreren allmächtigen Quantenprotern interagiert, die teilen Verstrickung);[4] Eine überarbeitete, aber noch nicht vollständig geprüfte, wurde beweiste in veröffentlicht in Kommunikation der ACM im November 2021. Der Beweis impliziert, dass die CONNES INBetting Problem und Tsirelsons Problem sind falsch.[5]

Neu voll auskommen

Neu voll auskommen ist die Reihe von Entscheidungsproblemen, die vollständig sind für BETREFFEND. In gewisser Weise sind dies die "härtesten" aufzählbaren Probleme. Im Allgemeinen wird keine Einschränkungen für die verwendeten Reduktionen aufgestellt, außer dass sie sein müssen Viele Reduktionen.

Beispiele für neu vollständige Probleme:

  1. Halting problem: Ob ein Programm mit einer endlichen Eingabeveredelung läuft oder für immer ausgeführt wird.
  2. Durch Reis Satz, die Mitgliedschaft in einer nicht trivialen Untergruppe des Satzes von entscheiden rekursive Funktionen ist BETREFFEND-schwer. Es wird abgeschlossen sein, wenn der Satz rekursiv aufgezählt wird.
  3. John Myhill(1955)[6] hat das alles bewiesen Kreative Sets sind BETREFFEND-Komplett.
  4. Die Uniform Wortproblem zum Gruppen oder Semigroups. (In der Tat die Wortproblem für einige einzelne Gruppen ist BETREFFEND-Komplett.)
  5. Entscheidung der Mitgliedschaft in einem General uneingeschränkt formelle Grammatik. (Wiederum haben bestimmte einzelne Grammatiken BETREFFEND-Complete -Mitgliedschaftsprobleme.)
  6. Das Gültigkeit Problem für Logik erster Ordnung.
  7. Postkorrespondenzproblem: Wenn Sie eine Liste von Zeichenfolgenpaaren bei einer Auswahl aus diesen Paaren (Wiederholungen ermöglichen), so bestimmen, dass die Verkettung der ersten Elemente (der Paare) gleich der Verkettung der zweiten Elemente entspricht.
  8. Feststellen, ob a Diophantinengleichung hat alle Ganzzahllösungen.

co-refer

co-refer ist die Reihe von Entscheidungsproblemen, die vollständig sind für Ader. In gewissem Sinne sind dies die Komplemente der am härtesten rekursiv aufzählbaren Probleme.

Beispiele für co-refer-Probleme:

  1. Das Dominoproblem zum Wang -Fliesen.
  2. Das Erfüllbarkeit Problem für Logik erster Ordnung.

Siehe auch

Verweise

  1. ^ Komplexitätszoo: Klasse Re
  2. ^ Korfhage, Robert R. (1966). Logik und Algorithmen mit Anwendungen für Computer und Informationswissenschaften. Wiley. p.89. Eine Lösungsmethode wird a genannt Semi-Algorithmus für [ein Problem] P auf [ein Gerät] M Wenn die Lösung für P (Wenn man existiert) erscheint nach der Leistung endlich vieler Schritte. Ein semi-Algorithmus wird als eine genannt Algorithmus Wenn das Problem das Gerät nach einer begrenzten Anzahl von Schritten und Anhalten ermöglicht, wenn das Problem keine Lösung hat.
  3. ^ Komplexitätszoo: Klasse Co-Re
  4. ^ JI, Zhengfeng; Natarajan, Anand; Vidick, Thomas; Wright, John; Yuen, Henry (2020). "Mip*= re". Arxiv:2001.04383 [Quant-Ph].
  5. ^ JI, Zhengfeng; Natarajan, Anand; Vidick, Thomas; Wright, John; Yuen, Henry (November 2021). "Mip* = re". Kommunikation der ACM. 64 (11): 131–138. doi:10.1145/3485628.
  6. ^ Myhill, John (1955), "kreative Sets", Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 1 (2): 97–108, doi:10.1002/Malq.19550010205, HERR 0071379.