Quotientengrafik
Im Graphentheorie, a Quotientengrafik Q einer Grafik G ist eine Grafik, deren Eckpunkte Blöcke von a sind Trennwand der Eckpunkte von G und wo Block B ist neben Block C Wenn ein Scheitelpunkt in B ist neben einem Scheitelpunkt in angrenzend in C in Bezug auf den Randsatz von G.[1] Mit anderen Worten, wenn G hat Edge -Set E und Scheitelpunktset V und R ist der Äquivalenzbeziehung durch die Partition induziert, dann hat der Quotient -Diagramm einen Scheitelpunktsatz V/R und Edge Set {([[u]R, [v]R) | (uAnwesendv) ∈E(G)}.
Ein Quotientengraf ist ein formeller Quotientenobjekt in dem Kategorie von Grafiken. Die Kategorie der Grafiken ist konkretisierbar - Die Zuordnung eines Diagramms auf seine Eckpunkte macht es a konkrete Kategorie - So können seine Objekte als "Mengen mit zusätzlicher Struktur" angesehen werden, und ein Quotientsgraf ist der auf dem induzierten Grafik entspricht Quotientset V/R seines Scheitelpunktsatzes V. Außerdem gibt es a Graph Homomorphismus (a Quotientenkarte) Von einem Diagramm zu einem Quotientendiagramm, wobei jeder Scheitelpunkt oder jede Kante an die Äquivalenzklasse gesendet wird, zu der es gehört. Intuitiv entspricht dies dem "Zusammenkleben" (formell "identifizieren") Eckpunkte und Kanten des Diagramms.
Beispiele
Ein Diagramm ist trivial ein Quotient-Diagramm von sich selbst (jeder Block der Partition ist ein einzelner Scheitelpunkt), und das aus einem einzelnen Punkt bestehende Diagramm ist der Quotient-Diagramm eines nicht leeren Graphen (die Partition, die aus einem einzelnen Block aller Scheitelpunkte besteht ). Der einfachste nicht-triviale Quotientsgraphen wird durch die Identifizierung von zwei Scheitelpunkten erhalten (Scheitelpunktidentifikation); Wenn die Eckpunkte angeschlossen sind, heißt dies Kantenkontraktion.
Besondere Arten von Quotienten
Das Kondensation eines gerichteten Diagramms ist das Quotient -Diagramm, in dem die stark verbundene Komponenten bilden die Blöcke der Partition. Diese Konstruktion kann verwendet werden, um a abzuleiten Regie acyclische Graphen Aus jeder gerichteten Grafik.[2]
Das Ergebnis eines oder mehrerer Kantenkontraktionen in einer ungerichteten Grafik G ist ein Quotient von G, in denen die Blöcke die sind verbundene Komponenten des Untergraphen von G gebildet durch die vertraglichen Kanten. Für Quotienten im Allgemeinen müssen jedoch die Blöcke der Partition, die zum Quotienten führen, keine verbundenen Untergraphen bilden.
Wenn G ist ein Abdeckung von Diagramm einer anderen Grafik H, dann H ist ein Quotient -Diagramm von G. Die Blöcke der entsprechenden Partition sind die umgekehrten Bilder der Eckpunkte von H unter der Abdeckkarte. Die Abdeckung von Karten hat jedoch eine zusätzliche Anforderung, die nicht allgemeiner von Quotienten entspricht, dass die Karte ein lokaler Isomorphismus ist.[3]
Rechenkomplexität
es ist NP-Complete, gegeben an n-Scheitel Kubikdiagramm G und ein Parameter k, Um festzustellen, ob G kann als Quotient von a erhalten werden Planare Graph mit n + k Eckpunkte.[4]
Verweise
- ^ Sanders, Peter; Schulz, Christian (2013), "Hochwertige Grafik -Partitionierung", Graph -Partitionierung und Grafikclustering, Contemp. Math., Vol. 588, Amer. Mathematik. Soc., Providence, Ri, S. 1–17, doi:10.1090/conm/588/11700, HERR 3074893.
- ^ Bloem, Roderick; Gabow, Harold N.; Somenzi, Fabio (Januar 2006), "Ein Algorithmus für stark verbundene Komponentenanalyse in nProtokolln Symbolische Schritte ", Formale Methoden im Systemdesign, 28 (1): 37–56, doi:10.1007/S10703-006-4341-Z.
- ^ Gardiner, A. (1974), "Antipodal Covering Graphs", Journal of Combinatorial Theory, Serie B, 16: 255–273, doi:10.1016/0095-8956 (74) 90072-0, HERR 0340090.
- ^ Faria, L.; De FigueiReiedo, C. M. H.; Mendonça, C. F. X. (2001), "Spaltnummer ist NP-Complete", Diskrete angewandte Mathematik, 108 (1–2): 65–83, doi:10.1016/s0166-218x (00) 00220-1, HERR 1804713.