Satz des Pythagoras

Satz des Pythagoras
Pythagorean.svg
Typ Satz
Aufstellen Euklidische Geometrie
Aussage Die Summe der Bereiche der beiden Quadrate auf den Beinen (a und b) entspricht der Fläche des Quadrats auf der Hypotenuse (c).
Symbolische Aussage
Verallgemeinerungen
Konsequenzen

Im Mathematik, das Satz des Pythagoras, oder Satz des Pythagoras, ist eine grundlegende Beziehung in Euklidische Geometrie unter den drei Seiten von a rechtwinkliges Dreieck. Es besagt, dass die Fläche des Quadrats, deren Seite die ist Hypotenuse (die Seite gegenüber der Seite der rechter Winkel) ist gleich der Summe der Bereiche der Quadrate auf der andere zwei Seiten. Dies Satz kann als ein geschrieben werden Gleichung in Bezug auf die Längen der Beine a, b und die Hypotenuse c, oft als das genannt Pythagoreigleichung:[1]

Der Satz ist nach dem benannt griechisch Philosoph Pythagoras, geboren um 570 v. Chr. Obwohl es ihm in ihm zugeschrieben wurde AntikeEs gibt Hinweise darauf, dass Aspekte des Satzes in früheren Kulturen bekannt waren; Das moderne Stipendium hat auch gefragt, ob Pythagoras sich dessen bewusst war. Der Satz war bewiesen Mehrfach mit vielen verschiedenen Methoden - möglicherweise die meisten für jeden mathematischen Theorem. Die Beweise sind vielfältig, einschließlich geometrischer Beweise und algebraischen Beweise, mit einigen Tausenden von Jahren.

Der Satz kann sein verallgemeinert auf verschiedene Arten: zu höherdimensionale Räume, zu Räume, die nicht euklidisch sind, an Objekte, die keine richtigen Dreiecke sind, und zu Objekten, die überhaupt keine Dreiecke sind n-Dimensional Festkörper. Das pythagoräische Theorem hat außerhalb der Mathematik als Symbol für mathematische Abstrues interessiert, Mystikoder intellektuelle Macht; Populäre Referenzen in Literatur, Theaterstücken, Musicals, Liedern, Briefmarken und Cartoons gibt es zuhauf.

Andere Formen des Satzes

Wenn c bezeichnet die Länge der Hypotenuse und a und b Bezeichnen Sie die beiden Längen der Beine eines rechten Dreiecks, dann kann der pythagoräische Theorem als pythagoräische Gleichung ausgedrückt werden:

Wenn nur die Längen der Beine des rechten Dreiecks bekannt sind, aber nicht die Hypotenuse, kann die Länge der Hypotenuse mit der Gleichung berechnet werden

Wenn die Länge der Hypotenuse und eines Beins bekannt ist, kann die Länge des anderen Beins als berechnet werden

oder

Eine Verallgemeinerung dieses Satzes ist das Gesetz des Cosinus, was das erlaubt Berechnung von der Länge einer Seite eines jeden Dreiecks angesichts der Längen der beiden anderen Seiten und des Winkels zwischen ihnen. Wenn der Winkel zwischen den anderen Seiten ein rechter Winkel ist, reduziert sich das Gesetz des Cosinus auf die pythagoräische Gleichung.

Beweise mit konstruierten Quadraten

Umlagerungsnachweis des pythagoräischen Theorems.

Umlagerungsbeweise

In einem Umlagerungsbeweis werden zwei Quadrate verwendet, deren Seiten ein Maß an haben und die vier rechte Dreiecks enthalten, deren Seiten A, B und C sind, wobei C der Hypotenuse ist. Im ersten Platz werden die Dreiecke so platziert, dass die Ecken des Quadrats den Ecken des rechten Winkels in den Dreiecken entsprechen und ein Quadrat in der Mitte bilden, dessen Seiten Länge c sind. Jedes Quadrat hat eine Fläche von beidem und , mit Darstellung des Gebiets der vier Dreiecke. Im zweiten Platz werden die 4 Dreiecke in zwei Rechtecke mit den Seitenlängen A und B gebildet und so platziert, dass in einer Ecke ein Quadrat der Seitenlänge A gebildet wird und in der anderen ein Quadrat B gebildet wird. Das zweite Platz wird eine Fläche von haben und . Da haben beide Quadrate den Bereich von Daraus folgt, dass das andere Maß der quadratischen Fläche auch einander gleich ist, so dass = . Mit dem Bereich der vier Dreiecke, die von beiden Seite der Gleichung entfernt werden, was übrig ist, ist [2]

In einem weiteren Beweis kann auch Rechtecke im zweiten Box so platziert werden, dass beide eine Ecke haben, die auf aufeinanderfolgende Ecken des Quadrats entspricht. Auf diese Weise bilden sie auch zwei Boxen, diesmal in aufeinanderfolgenden Ecken, mit Bereichen und was wieder zu einem zweiten Quadrat mit der Fläche führen wird .

Englischer Mathematiker Sir Thomas Heath gibt diesen Beweis in seinem Kommentar zu Proposition I.47 in Euklids Elementeund erwähnt die Vorschläge deutscher Mathematiker Carl Anton Bretschneider und Hermann Hankel dass Pythagoras diesen Beweis gekannt haben. Heath selbst bevorzugt einen anderen Vorschlag für einen pythagoräischen Beweis, erkennt jedoch von Anfang an an, dass die griechische Literatur, die wir besitzen, zu den ersten fünf Jahrhunderten, nachdem Pythagoras diese oder eine andere bestimmte große geometrische Entdeckung für ihn angeben. "[3] Das jüngste Stipendium hat zunehmend Zweifel an jeder Rolle von Pythagoras als Schöpfer der Mathematik gewählt, obwohl die Debatte darüber weitergeht.[4]

Algebraische Beweise

Der Satz kann algebraisch mit vier Kopien desselben Dreiecks nachgewiesen werden, die symmetrisch um ein Quadrat mit Seite angeordnet sind c, wie im unteren Teil des Diagramms gezeigt.[5] Dies führt zu einem größeren Quadrat mit Seite a + b und Bereich (a + b)2. Die vier Dreiecke und die quadratische Seite c muss die gleiche Fläche wie das größere Quadrat haben,

geben

Ein ähnlicher Beweis verwendet vier Kopien eines rechten Dreiecks mit Seiten a, b und c, in einem Quadrat mit Seite angeordnet c wie in der oberen Hälfte des Diagramms.[6] Die Dreiecke ähneln mit der Fläche , während das kleine Quadrat Seite hat ba und Bereich (ba)2. Die Fläche des großen Quadrats ist daher

Aber dies ist ein Quadrat mit Seite c und Bereich c2, Also

Andere Beweise des Satzes

Dieser Satz kann bekanntere Beweise haben als jede andere (die Gesetz von Quadratische Gegenseitigkeit ein weiterer Anwärter für diese Unterscheidung sein); das Buch Der pythagoräische Satz Enthält 370 Beweise.[7]

Beweis mit ähnlichen Dreiecken

Beweis mit ähnlichen Dreiecken

Dieser Beweis basiert auf dem Verhältnismäßigkeit der Seiten von drei Jahren ähnlich Dreiecke, dh auf die Tatsache, dass die Verhältnis Von zwei entsprechenden Seiten ähnlicher Dreiecke ist unabhängig von der Größe der Dreiecke gleich.

Lassen ABC ein rechtes Dreieck darstellen, mit dem rechter Winkel befindet sich C, wie in der Abbildung gezeigt. Zeichnen Sie die Höhe Von Punkt C, und Ruf an H seine Kreuzung mit der Seite Ab. Punkt H Teilen Sie die Länge der Hypotenuse c in Teile d und e. Das neue Dreieck, Ach, ist ähnlich zu Dreieck ABC, weil sie beide einen rechten Winkel haben (per Definition der Höhe) und sie den Winkel in teilen A, was bedeutet, dass der dritte Winkel auch in beiden Dreiecken gleich sein wird, markiert als als θ in der Figur. Durch eine ähnliche Argumentation das Dreieck CBH ist auch ähnlich wie ABC. Der Beweis für die Ähnlichkeit der Dreiecke erfordert die Dreieckspostulat: Die Summe der Winkel in einem Dreieck beträgt zwei rechte Winkel und entspricht der Parallele Postulat. Die Ähnlichkeit der Dreiecke führt zur Gleichheit der Verhältnisse der entsprechenden Seiten:

Das erste Ergebnis entspricht dem Cosinus der Winkel θWährend das zweite Ergebnis ihre gleichgibt Sinus.

Diese Verhältnisse können geschrieben werden als

Das Summieren dieser beiden Gleichheiten führt dazu

was nach der Vereinfachung den pythagoräischen Theorem demonstriert:

Die Rolle dieses Beweises in der Geschichte ist Gegenstand vieler Spekulationen. Die zugrunde liegende Frage ist, warum Euclid diesen Beweis nicht verwendet hat, sondern einen anderen erfunden hat. Einer Vermutung ist, dass der Beweis von ähnlichen Dreiecken eine Proportionstheorie umfasste, ein Thema, das erst später in der diskutiert wurde Elementeund dass die Theorie der Anteile zu dieser Zeit weitere Entwicklung brauchte.[8][9]

Euclids Beweis

Beweis bei Euklids Elemente

In Umriss hier ist, wie der Beweis in Euklid's Elemente Erlös. Das große Quadrat ist in ein links und rechts Rechteck unterteilt. Es wird ein Dreieck gebaut, das die halbe Fläche des linken Rechtecks ​​hat. Dann wird ein weiteres Dreieck gebaut, das die Hälfte der Fläche des Quadrats auf der linken Seite hat. Es wird gezeigt kongruent, beweist dieses Quadrat, hat den gleichen Bereich wie das linke Rechteck. Auf diesem Argument folgt eine ähnliche Version für das rechte Rechteck und das verbleibende Quadrat. Setzen Sie die beiden Rechtecke zusammen, um das Quadrat auf dem Hypotenuse zu reformieren. Seine Fläche entspricht der Summe der Fläche der beiden anderen Quadrate. Die Details folgen.

Lassen A, B, C sei der Eckpunkte eines rechten Dreiecks mit einem rechten Winkel bei A. Ein senkrechter fallen aus A zur Seite gegenüber dem Hypotenuse im Platz des Hypotenuses. Diese Linie unterteilt das Quadrat auf der Hypotenuse in zwei Rechtecke, jeweils die gleiche Fläche wie eine der beiden Quadrate auf den Beinen.

Für den formellen Beweis benötigen wir vier Elementary lemmata:

  1. Wenn zwei Dreiecke zwei Seiten der einen zwei Seiten des anderen haben, jeweils und die Winkel, die von diesen Seiten gleich enthalten sind, sind die Dreiecke kongruent (kongruent (kongruentSeitenwinkelseite).
  2. Die Fläche eines Dreiecks ist die Hälfte der Fläche eines Parallelogramms auf derselben Basis und hat die gleiche Höhe.
  3. Die Fläche eines Rechtecks ​​entspricht dem Produkt zweier benachbarter Seiten.
  4. Die Fläche eines Quadrats entspricht dem Produkt von zwei seiner Seiten (folgt von 3).

Als nächstes verwandt sich jedes obere Platz mit einem Dreieck mit einem anderen Dreieck, das wiederum mit einem von zwei Rechtecken verwandt ist, die das untere Quadrat bilden.[10]

Illustration einschließlich der neuen Zeilen
Zeigen Sie die beiden kongruenten Dreiecke der Hälfte des Bereichs Rechteck BDLK und quadratischer Bagf

Der Beweis lautet wie folgt:

  1. Sei ACB ein rechtwinkliges Dreieck mit rechtwinkliger Kabine.
  2. An jedem der Seiten BC, AB und CA werden Quadrate in dieser Reihenfolge gezogen, CBDE, Bagf und ACIH. Die Konstruktion von Quadraten erfordert die unmittelbar vorangegangenen Theoreme in Euklid und hängt vom parallelen Postulat ab.[11]
  3. Zeichnen Sie eine Linie parallel zu BD und CE. Es wird sich senkrecht BC bzw. DE bei K bzw. L schneiden.
  4. Schließen Sie sich CF und AD an, um die Dreiecke BCF und BDA zu bilden.
  5. Winkelkabine und Beutel sind beide rechte Winkel; deshalb sind C, a und g kollinear.
  6. Winkel CBD und FBA sind beide rechte Winkel; Daher entspricht Winkel ABD an Winkel FBC, da beide die Summe eines rechten Winkels und eines Winkels ABC sind.
  7. Da AB gleich FB ist, ist BD gleich BC und Winkel ABD gleich Winkel FBC, Dreieck ABD muss mit Dreieck FBC übereinstimmen.
  8. Da A-K-L eine gerade Linie ist, parallel zu BD, dann hat das Rechteck BDLK doppelt so hoch wie der Bereich des Dreiecks ABD, da sie die Basis-BD teilen und die gleiche Höhe bk haben, d. H. Eine Linie, die normal zu ihrer gemeinsamen Basi Al. (Lemma 2)
  9. Da C Collinear mit A und G ist und diese Linie parallel zu FB ist, muss quadratischer Bagf zweimal im Bereich von Dreieck FBC sein.
  10. Daher muss das Rechteck Bdlk den gleichen Bereich wie quadratischer Bagf = AB haben2.
  11. Durch die Anwendung der Schritte 3 auf die andere Seite der Abbildung kann dies in ähnlicher Weise gezeigt werden2.
  12. Hinzufügen dieser beiden Ergebnisse, AB2 + Ac2 = Bd × Bk + kl × kc
  13. Da BD = KL, BD × BK + KL × KC = BD (BK + KC) = BD × BC
  14. Daher ab2 + Ac2 = BC2, da CBDE ein Quadrat ist.

Dieser Beweis, der in Euklids erscheint Elemente Als die von Proposition 47 in Buch 1 zeigt, dass die Fläche des Platzes auf der Hypotenuse die Summe der Bereiche der beiden anderen Quadrate ist.[12][13] Dies unterscheidet sich deutlich vom Beweis durch Ähnlichkeit von Dreiecken, was vermutet wird, dass Pythagoras verwendet werden.[9][14]

Beweise durch Dissektion und Neuordnung

Ein weiterer durch Neuanordnung wird durch die mittlere Animation angegeben. Ein großes Quadrat wird mit Fläche gebildet c2, von vier identischen rechten Dreiecken mit Seiten a, b und c, um ein kleines zentrales Quadrat umsetzt. Dann werden zwei Rechtecke mit Seiten gebildet a und b durch Bewegen der Dreiecke. Das Kombinieren des kleineren Quadrats mit diesen Rechtecken erzeugt zwei Quadrate von Bereichen a2 und b2, die die gleiche Fläche wie das anfängliche große Quadrat haben müssen.[15]

Diagramm der beiden algebraischen Beweise

Das dritte Bild liefert auch einen Beweis. Die oberen beiden Quadrate sind unterteilt, wie durch die blaue und grüne Schattierung in Stücke gezeigt, die bei der Umständigkeit zum unteren Quadrat auf der Hypotenuse angepasst werden können - oder umgekehrt kann das große Quadrat wie gezeigt in Stücke unterteilt werden, die die anderen beiden füllen . Diese Art, eine Figur in Stücke zu schneiden und sie neu zu ordnen, um eine andere Figur zu bekommen, heißt Präparation. Dies zeigt die Fläche des großen Quadrats entspricht der der beiden kleineren.[16]

Animation, die den Beweis durch Neuanordnung von vier identischen rechten Dreiecken zeigt
Animation, die einen weiteren Beweis durch Neubeweis zeigt
Beweis unter Verwendung einer aufwändigen Umlagerung

Einsteins Beweis durch Dissektion ohne Umlagerung

Rechtsdreieck auf der Hypotenuse, die nach Einsteins Beweis in zwei ähnliche rechte Dreiecke an den Beinen zerlegt wurde

Albert Einstein gab einen Beweis durch Dissektion, bei dem die Teile nicht bewegt werden müssen.[17] Anstatt ein Quadrat auf der Hypotenuse und zwei Quadrate an den Beinen zu verwenden, kann man jede andere Form verwenden, die die Hypotenuse enthält, und zwei ähnlich Formen, die jeweils eines von zwei Beinen anstelle der Hypotenuse enthalten (siehe Ähnliche Zahlen auf den drei Seiten). In Einsteins Beweis ist die Form, die die Hypotenuse enthält, das richtige Dreieck selbst. Die Dissektion besteht darin, einen senkrechten vom Scheitelpunkt des rechten Winkels des Dreiecks auf die Hypotenuse fallen zu lassen und so das gesamte Dreieck in zwei Teile aufzuteilen. Diese beiden Teile haben die gleiche Form wie das ursprüngliche rechte Dreieck und haben die Beine des ursprünglichen Dreiecks wie ihre Hypotenus, und die Summe ihrer Bereiche ist das des ursprünglichen Dreiecks. Da das Verhältnis der Fläche eines rechten Dreiecks zum Quadrat seiner Hypotenuse für ähnliche Dreiecke gleich ist, gilt die Beziehung zwischen den Bereichen der drei Dreiecke auch für die Quadrate der Seiten des großen Dreiecks.

Beweis durch Gebietsvorverschärfen der Scherung

Visueller Beweis des pythagoräischen Theorems durch Gebietsvorsorgeschur.

Wie in der dazugehörigen Animation, in der Gebietsvorsorge gezeigt Scherzuordnungen und Übersetzungen können die Quadrate an den Seiten neben dem rechten Winkel auf das Quadrat auf der Hypotenuse verwandeln und zusammen sie genau bedecken.[18] Jede Scherung verlässt die Basis und die Höhe unverändert, wodurch auch der Bereich unverändert bleibt. Die Übersetzungen lassen den Bereich auch unverändert, da sie die Formen überhaupt nicht verändern. Jedes Quadrat wird zuerst in ein Parallelogramm und dann in ein Rechteck geschert, das auf einen Abschnitt des Quadrats am Hypotenuse übersetzt werden kann.

Algebraische Beweise

Ein verwandter Beweis wurde vom zukünftigen US -Präsidenten veröffentlicht James A. Garfield (dann ein US -Vertreter) (siehe Zeichnung).[19][20][21] Anstelle eines Quadrats verwendet es a Trapez, die in der zweiten der obigen Beweise aus dem Quadrat konstruiert werden können, indem sie entlang einer Diagonale des inneren Quadrats halbiert, um das Trapez wie im Diagramm gezeigt zu geben. Das Bereich des Trapezes kann berechnet werden, um die Hälfte der Fläche des Quadrats zu haben, dh

Das innere Quadrat ist ähnlich halb , die durch Multiplizieren mit zwei entfernt wird, um das Ergebnis zu erzielen.

Beweis mit Differentialen

Man kann zum pythagoräischen Theorem gelangen, indem man untersucht Infinitesimalrechnung.[22][23][24]

Das Dreieck ABC ist ein rechtes Dreieck, wie im oberen Teil des Diagramms gezeigt, mit BC die Hypotenuse. Gleichzeitig werden die Dreieckslängen wie gezeigt gemessen, wobei die Länge hypotenuse y, die Seite AC von Länge x und die Seite Ab von Länge a, wie im unteren Diagrammteil zu sehen ist.

Diagramm für unterschiedliche Beweise

Wenn x wird um eine kleine Menge erhöht dx durch Erweiterung der Seite AC leicht zu D, dann y steigt auch um Dy. Diese bilden zwei Seiten eines Dreiecks, CDE, welches mit E so ausgewählt Ce ist senkrecht zum Hypotenuse) ist ein rechtes Dreieck, das ungefähr ähnlich ist ABC. Daher müssen die Verhältnisse ihrer Seiten gleich sein, das heißt:

Dies kann als neu geschrieben werden , die ein Differentialgleichung Dies kann durch direkte Integration gelöst werden:

geben

Die Konstante kann abgeleitet werden x = 0,, y = a die Gleichung geben

Dies ist eher ein intuitiver Beweis als ein formaler: Es kann strenger gemacht werden, wenn anstelle von richtigen Grenzen verwendet werden dx und Dy.

Umgekehrt

Das umgekehrt des Satzes ist auch wahr:[25]

Für drei positive Zahlen a, b, und c so dass a2 + b2 = c2Es gibt ein Dreieck mit Seiten a, b und cund jedes solche Dreieck hat einen rechten Winkel zwischen den Seiten der Längen a und b.

Eine alternative Aussage ist:

Für jedes Dreieck mit Seiten a, b, c, wenn a2 + b2 = c2, dann der Winkel zwischen a und b misst 90 °.

Dieses Gegenteil erscheint auch in Euklids Elemente (Buch I, Satz 48):[26]

"Wenn in einem Dreieck das Quadrat auf einer der Seiten der Summe der Quadrate auf den verbleibenden zwei Seiten des Dreiecks entspricht, ist der Winkel, der durch die verbleibenden zwei Seiten des Dreiecks enthält, richtig."

Es kann nachgewiesen werden, die Gesetz des Cosinus oder wie folgt:

Lassen ABC ein Dreieck mit Seitenlängen sein a, b, und c, mit a2 + b2 = c2. Konstruieren Sie ein zweites Dreieck mit Seiten der Länge a und b einen rechten Winkel enthalten. Nach dem pythagoräischen Theoreme folgt die Hypotenuse dieses Dreiecks Länge c = a2 + b2, das gleiche wie die Hypotenuse des ersten Dreiecks. Da beide die Seiten beider Dreiecke die gleichen Längen haben a, b und c, die Dreiecke sind kongruent und muss die gleichen Winkel haben. Daher der Winkel zwischen der Seite der Längen a und b Im ursprünglichen Dreieck befindet sich ein rechter Winkel.

Der obige Nachweis des Gegenteils verwendet den pythagoräischen Theorem selbst. Das Gegenteil kann auch nachgewiesen werden, ohne den pythagoräischen Theorem zu übernehmen.[27][28]

A logische Folge Das Gegenteil des pythagoräischen Theorems ist ein einfaches Mittel, um zu bestimmen, ob ein Dreieck richtig, stumpf oder akut wie folgt ist. Lassen c ausgewählt werden, um die längsten der drei Seiten zu sein und a + b > c (Ansonsten gibt es kein Dreieck nach dem Dreiecksungleichung). Die folgenden Aussagen gelten:[29]

Edsger W. Dijkstra hat diesen Vorschlag über akute, rechts und stumme Dreiecke in dieser Sprache angegeben:

SGN (α + βγ) = sgn (a2 + b2c2),

wo α ist der Winkel gegenüber der Seite a, β ist der Winkel gegenüber der Seite b, γ ist der Winkel gegenüber der Seite cund SGN ist das Zeichenfunktion.[30]

Konsequenzen und Verwendung des Satzes

Pythagoräische Dreifachungen

Ein pythagoräisches Triple hat drei positive Ganzzahlen a, b, und c, so dass a2 + b2 = c2. Mit anderen Worten, ein pythagoräisches Triple repräsentiert die Längen der Seiten eines rechten Dreiecks, in dem alle drei Seiten eine ganzzahlige Längen haben.[1] Ein solches Triple ist allgemein geschrieben (a, b, c). Einige bekannte Beispiele sind (3, 4, 5) und (5, 12, 13).

Ein primitives pythagoräisches Triple ist eines, in dem a, b und c sind Coprime (das größter gemeinsamer Teiler von a, b und c ist 1).

Das Folgende ist eine Liste primitiver pythagoreischer Dreifach mit Werten von weniger als 100:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12 12) , 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77 , 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

Inverser pythagoräischer Theorem

Angenommen rechtwinkliges Dreieck mit Seiten und Höhe (eine Linie vom rechten Winkel und senkrecht zum Hypotenuse ). Der pythagoräische Theorem hat,

während inverser pythagoräischer Theorem bezieht die beiden Beine auf die Höhe ,[31]

Die Gleichung kann zu, in,

wo für jeden ungleich Null real . Wenn die sind zu sein Ganzzahlen, die kleinste Lösung ist dann

Verwenden des kleinsten Pythagorei -Triple . Der gegenseitige pythagoräische Theorem ist ein Sonderfall der Optische Gleichung

wo die Nenner Quadrate sind und auch für a Heptagonales Dreieck deren Seiten sind quadratische Zahlen.

In nicht vergleichbare Längen

Das Spirale von Theodorus: Eine Konstruktion für Liniensegmente mit Längen, deren Verhältnisse die Quadratwurzel einer positiven Ganzzahl sind

Eine der Folgen des pythagoräischen Theorems ist, dass Liniensegmente, deren Längen sind inkommensurabel (Das Verhältnis davon ist also nicht a Rationale Zahl) kann mit a konstruiert werden Lineal und Kompass. Pythagoras 'Theorem ermöglicht die Konstruktion in nicht vergleichbarer Länge, da die Hypotenuse eines Dreiecks mit den Seiten durch die zusammenhängt Quadratwurzel Betrieb.

Die Abbildung rechts zeigt, wie man Liniensegmente konstruiert, deren Längen im Verhältnis der Quadratwurzel einer positiven Ganzzahl liegen.[32] Jedes Dreieck hat eine Seite (mit "1" bezeichnet), die die ausgewählte Einheit für die Messung ist. In jedem rechten Dreieck legt Pythagoras 'Theorem die Länge der Hypotenuse in Bezug auf diese Einheit fest. Wenn eine Hypotenuse mit der Einheit von der Quadratwurzel einer positiven Ganzzahl, die kein perfektes Quadrat ist 2, 3, 5. Weitere Details finden Sie unter Quadratische irrationale.

In nicht vergleichbare Längen stimmten mit dem Zahlenkonzept der pythagoräischen Schule als nur ganze Zahlen in Konflikt. Die pythagoräische Schule befasste sich mit Proportionen durch Vergleich von ganzzahligen Vielfachen einer gemeinsamen Untereinheit.[33] Nach einer Legende, Hippasus von Metapontum (ca. 470 v.[34][35]

Komplexe Zahlen

Der absolute Wert einer komplexen Zahl z ist die Entfernung r aus z zum Ursprung

Für jeden komplexe Zahl

das absoluter Wert oder Modul wird gegeben durch

Also die drei Mengen, r, x und y werden durch die pythagoräische Gleichung verwandt,

Beachten Sie, dass r ist definiert als eine positive Zahl oder Null, aber x und y Kann sowohl negativ als auch positiv sein. Geometrisch r ist der Abstand der z von null oder der Ursprung O in dem Komplexe Ebene.

Dies kann verallgemeinert werden, um den Abstand zwischen zwei Punkten zu finden. z1 und z2 sagen. Die erforderliche Entfernung ist gegeben durch

Sie sind also wieder mit einer Version der pythagoräischen Gleichung verwandt,

Euklidische Entfernung

Die Entfernungsformel in Kartesischen Koordinaten wird vom pythagoräischen Theorem abgeleitet.[36] Wenn (x1, y1) und (x2, y2) sind Punkte in der Ebene, dann der Abstand zwischen ihnen, auch die genannt Euklidische Entfernung, wird gegeben durch

Allgemeiner in Euklidisch n-Platz, der euklidische Abstand zwischen zwei Punkten, und , wird durch Verallgemeinerung des pythagoräischen Theorems definiert, wie:

Wenn statt euklidischer Entfernung das Quadrat dieses Wertes (der Wert quadratische euklidische Entfernungoder sed) wird verwendet, die resultierende Gleichung vermeidet quadratische Wurzeln und ist einfach eine Summe der SED der Koordinaten:

Die quadratische Form ist glatt, Konvexe Funktion von beiden Punkten und wird häufig in verwendet Optimierungstheorie und Statistikendie Grundlage von der Grundlage von kleinsten Quadrate.

Euklidische Entfernung in anderen Koordinatensystemen

Wenn kartesische Koordinaten beispielsweise nicht verwendet werden, wenn Polar Koordinaten werden in zwei Dimensionen oder in allgemeinerem Hinsicht verwendet, wenn krumminare Koordinaten Es werden verwendet, die Formeln, die die euklidische Entfernung ausdrücken, komplizierter als der pythagoräische Theorem, kann aber daraus abgeleitet werden. Ein typisches Beispiel, bei dem der geradlinige Abstand zwischen zwei Punkten in krummlinige Koordinaten umgewandelt wird Anwendungen von Legendre -Polynomen in der Physik. Die Formeln können durch die Verwendung von Pythagoras -Theorem mit den Gleichungen, die die krummlinigen Koordinaten zu kartesischen Koordinaten beziehen, entdeckt werden. Zum Beispiel die Polarkoordinaten (r, θ) kann eingeführt werden als:

Dann zwei Punkte mit Standorten (r1, θ1) und (r2, θ2) werden durch einen Abstand getrennt s:

Die pythagoräische Formel für die Entfernung in kartesischen Koordinaten führt die Trennung in polaren Koordinaten als:

Verwenden der trigonometrischen Produkt-zu-Sum-Formeln. Diese Formel ist die Gesetz des Cosinus, manchmal als verallgemeinerter pythagoräischer Theorem bezeichnet.[37] Aus diesem Ergebnis, für den Fall, in dem sich die Radien an den beiden Stellen im rechten Winkel befinden, der geschlossene Winkel Δθ = π/2,, und die Form, die dem Theorem von Pythagoras entspricht, wird wiedererlangt: Der pythagoräische Theorem, gültig für rechtliche Dreiecke, ist daher ein Sonderfall des allgemeineren Cosinus, das für willkürliche Dreiecke gültig ist.

Pythagoräische trigonometrische Identität

Ähnliche rechte Dreiecke zeigen Sinus und Cosinus des Winkels θ

In einem richtigen Dreieck mit Seiten a, b und Hypotenuse c, Trigonometrie bestimmt die Sinus und Kosinus des Winkels θ zwischen Seite a und die Hypotenuse als:

Daraus folgt:

wo der letzte Schritt Pythagoras 'Theorem anwendet. Diese Beziehung zwischen Sinus und Cosinus wird manchmal als grundlegende pythagoräische trigonometrische Identität bezeichnet.[38] In ähnlichen Dreiecken sind die Verhältnisse der Seiten unabhängig von der Größe der Dreiecke gleich und hängen von den Winkeln ab. Folglich hat das Dreieck mit Hypotenuse der Einheitsgröße in der Abbildung die entgegengesetzte Seite der Größe Sündeθ und angrenzende Seite der Größe cosθ in Einheiten der Hypotenuse.

Beziehung zum Kreuzprodukt

Die Fläche eines Parallelogramms als Kreuzprodukt; Vektoren a und b eine Ebene identifizieren und a × b ist normal für diese Ebene.

Der pythagoräische Theorem bezieht die Kreuzprodukt und Skalarprodukt auf eine ähnliche Art und Weise:[39]

Dies ist aus den Definitionen des Kreuzprodukts und des Punktprodukts zu ersichtlich

mit n ein Einheitsvektor normal zu beiden a und b. Die Beziehung folgt aus diesen Definitionen und der pythagoräischen trigonometrischen Identität.

Dies kann auch verwendet werden, um das Kreuzprodukt zu definieren. Durch Neuanordnung der folgenden Gleichung wird erhalten

Dies kann als Bedingung für das Kreuzprodukt und so ein Teil seiner Definition angesehen werden, zum Beispiel in Sieben Dimensionen.[40][41]

Verallgemeinerungen

Ähnliche Zahlen auf den drei Seiten

Das pythagoräische Theorem verallgemeinert über die Bereiche der Quadrate auf den drei Seiten auf jeden Ähnliche Zahlen. Dies war bekannt durch Hippokrates von Chios im 5. Jahrhundert v. Chr.,[42] und wurde von enthalten Euklid in seinem Elemente:[43]

Wenn man ähnliche Zahlen errichtet (siehe Euklidische Geometrie) Mit den entsprechenden Seiten an den Seiten eines rechten Dreiecks entspricht die Summe der Bereiche der beiden kleineren Seiten der Fläche des einen auf der größeren Seite.

Diese Erweiterung geht davon aus, dass die Seiten des ursprünglichen Dreiecks die entsprechenden Seiten der drei kongruenten Figuren sind ABC).[44] Während Euklids Beweis nur für konvexe Polygone angewendet wird, gilt der Satz auch für konkave Polygone und sogar für ähnliche Figuren, die gebogene Grenzen haben (aber dennoch mit einem Teil der Grenze einer Figur die Seite des ursprünglichen Dreiecks).[44]

Die Grundidee hinter dieser Verallgemeinerung ist, dass der Bereich einer Ebenenfigur lautet proportional auf das Quadrat jeder linearen Dimension und insbesondere ist proportional zum Quadrat der Länge einer Seite. Wenn also ähnliche Zahlen mit Bereichen A, B und C werden an Seiten mit entsprechenden Längen errichtet a, b und c dann:

Aber durch den pythagoräischen Theorem, a2 + b2 = c2, Also A + B = C.

Umgekehrt, wenn wir das beweisen können A + B = C Für drei ähnliche Zahlen ohne den pythagoräischen Theorem können wir rückwärts arbeiten, um einen Beweis des Satzes zu erstellen. Zum Beispiel kann das Startmittedreieck repliziert und als Dreieck verwendet werden C auf seiner Hypotenuse und zwei ähnlichen rechten Dreiecken (A und B ) auf den beiden anderen Seiten konstruiert, gebildet durch Teilen des zentralen Dreiecks durch seine Höhe. Die Summe der Bereiche der beiden kleineren Dreiecke ist daher die des dritten, also A + B = C und Umkehrung der obigen Logik führt zum pythagoräischen Theorem a2 + b2 = c2. (Siehe auch Einsteins Beweis durch Dissektion ohne Umlagerung))

Verallgemeinerung für ähnliche Dreiecke,
Grünanlage A + b = blau Bereich c
Pythagoras 'Theorem mit ähnlichen rechten Dreiecken
Verallgemeinerung für reguläre Pentagone

Gesetz des Cosinus

Die Trennung s von zwei Punkten (r1, θ1) und (r2, θ2) in Polar Koordinaten wird von der gegeben Gesetz des Cosinus. Innenwinkel δθ = θ1−θ2.

Der pythagoräische Theorem ist ein Sonderfall des allgemeineren Theorems, der die Längen der Seiten in jedem Dreieck, dem Gesetz des Cosinus, bezieht:[45]

wo ist der Winkel zwischen den Seiten und .

Wann ist Radians oder 90 ° dann und die Formel reduziert sich auf den üblichen pythagoräischen Theorem.

Willkürliches Dreieck

Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras durch Tâbit Ibn Qorra.[46] Unteres Feld: Reflexion des Dreiecks CAD (oben) zur Bildung von Dreieck DAC, ähnlich wie Dreieck ABC (oben).

In jedem ausgewählten Winkel eines allgemeinen Seitendreiecks a, b, cein isoskelisches Dreieck einschreiben, so dass die gleichen Winkel an seiner Basis θ mit dem ausgewählten Winkel gleich sind. Angenommen, der ausgewählte Winkel θ ist entgegengesetzt der markierten Seite c. Einschriften des iszelischen Dreiecks -Dreiecks CAD mit Winkel θ gegenüber b und mit Seite r eine lange c. Ein zweites Dreieck bildet sich mit Winkel θ gegenüber a und eine Seite mit Länge s eine lange c, wie in der Abbildung gezeigt. Thābit ibn Qurra stellte fest, dass die Seiten der drei Dreiecke als verwandt waren wie:[47][48]

Wenn sich der Winkel θ nähert π/2 verengt sich die Basis des iskelischen Dreiecks und Längen r und s überlappen immer weniger. Wenn θ = π/2,, Adb wird ein richtiges Dreieck, r + s = cund der ursprüngliche pythagoräische Theorem wird wiedererlangt.

Ein Beweis beobachtet dieses Dreieck ABC Hat die gleichen Winkel wie Dreieck CAD, aber in entgegengesetzter Reihenfolge. (Die beiden Dreiecke teilen den Winkel am Scheitelpunkt A, beide enthalten den Winkel θ und haben daher auch den gleichen dritten Winkel nach dem Dreieckspostulat.) Folglich, ABC ist ähnlich wie die Reflexion von CAD, das Dreieck DAC im unteren Feld. Das Verhältnis der Seiten entgegengesetzt und neben θ,

Ebenso zum Spiegelbild des anderen Dreiecks,

Brüche löschen und Hinzufügen dieser beiden Beziehungen:

das erforderliche Ergebnis.

Der Satz bleibt gültig, wenn der Winkel ist stumpf, also die Längen r und s sind nicht überlappend.

Allgemeine Dreiecke mit Parallelogrammen

Verallgemeinerung für willkürliche Dreiecke,
grün Bereich = blau Bereich
Konstruktion für den Nachweis der Parallelogrammverallgemeinerung

Pappus 'Area -Theorem ist eine weitere Verallgemeinerung, die für Dreiecke gilt, die keine richtigen Dreiecke haben, und an den drei Seiten anstelle von Quadraten Parallelogramme anstelle von Quadraten (Quadrate sind natürlich ein Sonderfall). Die obere Abbildung zeigt, dass für ein Skalendreieck der Bereich des Parallelogramms auf der längsten Seite die Summe der Bereiche der Parallelogramme auf den beiden anderen Seiten ist Pfeile sind gleich und bestimmen die Seiten des unteren Parallelogramms). Dieser Austausch von Quadraten durch Parallelogramme hat eine klare Ähnlichkeit mit dem ursprünglichen Theorem der Pythagoras und wurde als Verallgemeinerung von betrachtet Pappus von Alexandria in 4 n. Chr[49][50]

Die untere Abbildung zeigt die Elemente des Beweises. Konzentrieren Sie sich auf die linke Seite der Figur. Das linke grüne Parallelogramm hat den gleichen Bereich wie der linke blaue Teil des unteren Parallelogramms, da beide die gleiche Basis haben b und Größe h. Das linke grüne Parallelogramm hat jedoch auch den gleichen Bereich wie das linke grüne Parallelogramm der oberen Figur, da sie dieselbe Basis (die obere linke Seite des Dreiecks) und die gleiche Höhe, die zu dieser Seite des Dreiecks normal ist, aufweist. Das untere Parallelogramm wiederholt das Argument für die rechte Seite der Abbildung und hat den gleichen Bereich wie die Summe der beiden grünen Parallelogramme.

Solide Geometrie

Pythagoras 'Theorem in drei Dimensionen bezieht sich auf die diagonale AD auf die drei Seiten.
Ein Tetraeder mit außen nach rechtswinkeliger Ecke

In Bezug auf die feste Geometrie kann der Theorem von Pythagoras wie folgt auf drei Dimensionen angewendet werden. Betrachten Sie einen rechteckigen Feststoff, wie in der Abbildung gezeigt. Die Länge der Diagonale Bd wird aus Pythagoras 'Theorem als:

wo diese drei Seiten ein rechtes Dreieck bilden. Verwendung horizontaler Diagonal Bd und die vertikale Kante Abdie Länge der Diagonale ANZEIGE dann wird durch eine zweite Anwendung des Theorems von Pythagoras als:

Oder alles in einem Schritt machen:

Dieses Ergebnis ist der dreidimensionale Ausdruck für die Größe eines Vektors v (die diagonale AD) in Bezug auf seine orthogonalen Komponenten {vk} (die drei gegenseitig senkrechten Seiten):

Diese einstufige Formulierung kann als Verallgemeinerung des Theorems von Pythagoras auf höhere Dimensionen angesehen werden. Dieses Ergebnis ist jedoch nur die wiederholte Anwendung des ursprünglichen Pythagoras -Theorems auf eine Folge rechter Dreiecke in einer Abfolge orthogonaler Ebenen.

Eine wesentliche Verallgemeinerung des pythagoräischen Theorems auf drei Dimensionen ist De Guas Theorem, benannt nach Jean Paul de Gua de Maleves: Wenn ein Tetraeder hat eine rechte Winkelecke (wie eine Ecke eines Würfel), dann ist das Quadrat der Fläche des Gesichts gegenüber der rechten Winkelecke die Summe der Quadrate der Bereiche der anderen drei Gesichter. Dieses Ergebnis kann verallgemeinert werden wie im ""n-Dimensionales pythagoräischer Theorem ":[51]

Lassen orthogonale Vektoren sein Rn. Bedenke die n-Dimensionales simplex S mit Eckpunkten . (Denken Sie an die (n-1) -dimensionales Simplex mit Eckpunkten ohne den Ursprung als "Hypotenuse" von einbeziehen S und die restlichen (n-1) -dimensionale Gesichter von S als "Beine".) Dann das Quadrat des Volumens der Hypotenuse von S ist die Summe der Quadrate der Bände der n Beine.

Diese Aussage wird in drei Dimensionen durch das Tetraeder in der Abbildung dargestellt. Die "Hypotenuse" ist die Basis des Tetraeders auf der Rückseite der Figur, und die "Beine" sind die drei Seiten, die vom Scheitelpunkt im Vordergrund ausgehen. Wenn die Tiefe der Basis vom Scheitelpunkt zunimmt, nimmt der Bereich der "Beine" zu, während der der Basis festgelegt ist. Der Satz schlägt vor, dass die Verallgemeinerung des Theorems von Pythagoras, wenn diese Tiefe zum Wert ist, einen rechten Scheitelpunkt erzeugt. In einem anderen Wortlaut:[52]

Gegeben an n-rechteckig n-Dimensionales simplex, das Quadrat des (n-1) -Kontent der Facette Der rechte Scheitelpunkt entspricht der Summe der Quadrate der (n-1)-Inhalt der verbleibenden Facetten.

Innere Produkträume

Vektoren, die am parallelogrammen Gesetz beteiligt sind

Der pythagoräische Theorem kann verallgemeinert werden innere Produkträume,[53] die Verallgemeinerungen der vertrauten zweidimensionalen und dreidimensionalen Euklidische Räume. Zum Beispiel a Funktion kann als als betrachtet werden Vektor mit unendlich vielen Komponenten in einem inneren Produktraum, wie in Funktionsanalyse.[54]

In einem inneren Produktraum das Konzept von Senkrechte wird durch das Konzept von ersetzt Orthogonalität: zwei Vektoren v und w sind orthogonal, wenn ihr inneres Produkt ist Null. Das Innenprodukt ist eine Verallgemeinerung der Skalarprodukt von Vektoren. Das Punktprodukt wird das genannt Standard inneres Produkt oder das Euklidisch Innenprodukt. Andere innere Produkte sind jedoch möglich.[55]

Das Konzept der Länge wird durch das Konzept der ersetzt Norm ||v|| eines Vektors v, definiert als:[56]

In einem Raum innerer Produkt, der Satz des Pythagoras gibt das für zwei orthogonale Vektoren an v und w wir haben

Hier die Vektoren v und w ähneln den Seiten eines rechten Dreiecks mit Hypotenu Vektorsumme v+w. Diese Form des pythagoräischen Theorems ist eine Folge der Eigenschaften des inneren Produkts:

wo die inneren Produkte der Kreuzbegriffe aufgrund von Orthogonalität Null sind.

Eine weitere Verallgemeinerung des pythagoräischen Theorems in einem inneren Produktraum zu nicht-orthogonalen Vektoren ist die Parallelogrammgesetz:[56]

Dies besagt, dass die doppelte Summe der Quadrate der Längen der Seiten eines Parallelogramms die Summe der Quadrate der Längen der Diagonalen ist. Jede Norm, die diese Gleichheit erfüllt, ist ipso facto eine Norm, die einem inneren Produkt entspricht.[56]

Die pythagoräische Identität kann auf Summen von mehr als zwei orthogonalen Vektoren ausgedehnt werden. Wenn v1, v2, ..., vn sind paarweise orthogonale Vektoren in einem Raum in der Innenprodukt, dann die Anwendung des pythagoräischen Theorems auf aufeinanderfolgende Paare dieser Vektoren (wie für 3-Dimensionen im Abschnitt über beschrieben solide Geometrie) führt zur Gleichung[57]

Gruppen von m-Dimensionale Objekte in n-Dimensionaler Raum

Eine weitere Verallgemeinerung des pythagoräischen Theorems gilt für Lebesgue-messenbar Objektsätze in einer beliebigen Anzahl von Dimensionen. Insbesondere das Quadrat des Maßes von a m-Dimensionaler Objekte in einem oder mehreren Parallelen m-Dimensional Wohnungen in n-Dimensional Euklidischer Raum ist gleich der Summe der Quadrate der Maßnahmen der senkrecht Projektionen der Objekte auf alle m-Dimensionale Koordinaten -Unterschiede.[58]

In mathematischer Begriffen:

wo:

  • ist eine Maßnahme in m-Dimensionen (eine Länge in einer Dimension, ein Bereich in zwei Abmessungen, ein Volumen in drei Abmessungen usw.).
  • ist ein Satz von einem oder mehrerer Nichtüberlappung m-Dimensionale Objekte in einem oder mehreren Parallelen m-Dimensionale Wohnungen in n-Dimensionaler euklidischer Raum.
  • ist die Gesamtmaßnahme (Summe) des Satzes von m-Dimensionale Objekte.
  • repräsentiert an m-Dimensionale Projektion des ursprünglichen Einstellungen auf einen orthogonalen Koordinatenunterraum.
  • ist das Maß der m-Dimensionales Einsatzprojektion auf m-Dimensionaler Koordinaten -Unterraum . Da sich Objektprojektionen auf einen Koordinatenunterraum überlappen können, muss das Maß jeder Objektprojektion im Satz einzeln berechnet werden, und dann messen alle Prognosen hinzugefügt, um die Gesamtmaßnahme für den Satz von Projektionen auf dem gegebenen Koordinaten -Subraum bereitzustellen.
  • ist die Anzahl der orthogonalen, m-Dimensionale Koordinatenunterräume in n-Dimensionaler Raum (Rn) auf welches die m-Dimensionale Objekte werden projiziert (mn):

Nichteuklidische Geometrie

Der pythagoräische Theorem wird aus den Axiomen von abgeleitet Euklidische Geometrieund in der Tat waren der pythagoräische Theorem, der für ein rechtes Dreieck scheitert, das Flugzeug, in dem dieses Dreieck enthalten ist, nicht euklidisch. Genauer gesagt der pythagoräische Theorem impliziert und wird durch Euklids paralleles (fünfter) Postulat impliziert.[59][60] So rechte Dreiecke in a Nichteuklidische Geometrie[61] Befriedigen Sie den pythagoräischen Theorem nicht. Zum Beispiel in sphärische Geometrie, alle drei Seiten des rechten Dreiecks (sagen wir a, b, und c) Einen Oktanten der Einheitskugel haben eine Länge gleich gleich π/2, und alle seine Winkel sind rechte Winkel, die gegen den pythagoräischen Theorem verstoßen, weil.

Hier werden zwei Fälle von nichteuklidische Geometrie berücksichtigt-sphärische Geometrie und Hyperbolische Ebene Geometrie; In jedem Fall, wie im euklidischen Fall für nicht rechte Dreiecke, folgt das Ergebnis, das den pythagoräischen Theorem ersetzt, aus dem geeigneten Gesetz des Cosinus.

Der pythagoräische Theorem bleibt jedoch in der hyperbolischen Geometrie und der elliptischen Geometrie wahr, wenn die Bedingung, dass das Dreieck richtig ist A+B = C. Die Seiten werden dann wie folgt verwandt: die Summe der Bereiche der Kreise mit Durchmessern a und b entspricht der Fläche des Kreises mit einem Durchmesser c.[62]

Sphärische Geometrie

Sphärisches Dreieck

Für jedes rechte Dreieck auf einem Radiusbereich R (Zum Beispiel, wenn γ in der Figur ein rechter Winkel ist) mit Seiten a, b, cDie Beziehung zwischen den Seiten nimmt die Form an:[63]

Diese Gleichung kann als Sonderfall der abgeleitet werden Sphärische Recht des Cosinus Das gilt für alle sphärischen Dreiecke:

Durch Ausdrücken der Maclaurin -Serie für die Cosinusfunktion als Asymptotische Expansion mit dem Restbegriff in Big O NotationAnwesend

Es kann gezeigt werden, dass der Radius als Radius R nähert sich unendlich und den Argumenten a/r, b/r, und C/r Die kugelförmige Beziehung zwischen den Seiten eines rechten Dreiecks nähert sich der euklidischen Form des pythagoräischen Theorems. Ersetzen der asymptotischen Expansion für jeden des Cosinus in die kugelförmige Beziehung für ein rechtsdreieck

Die Konstanten a4, b4, und c4 wurden in den großen aufgenommen O Restbegriffe, da sie unabhängig vom Radius sind R. Diese asymptotische Beziehung kann weiter vereinfacht werden, indem die Klammern ausgelöst, diejenigen abgebrochen, sich mit –2 multiplizieren und alle Fehlerbegriffe gemeinsam sammeln:

Nach dem Multiplizieren durch R2, die euklidische pythagoräische Beziehung c2 = a2 + b2 wird in der Grenze als Radius wiederhergestellt R nähert sich unendlich (da der Restbegriff tendenziell auf Null kommt):

Für kleine rechte Dreiecke (a, b << R) Die Cosinus können beseitigt werden, um zu vermeiden Signifikanzverlust, geben

Hyperbolische Geometrie

In einem hyperbolischen Raum mit gleichmäßiger Krümmung -1/R2, für ein richtiges Dreieck mit Beinen a, bund Hypotenuse cDie Beziehung zwischen den Seiten nimmt die Form an:[64]

wo Cosh der ist Hyperbolischer Cosinus. Diese Formel ist eine besondere Form der hyperbolisches Recht des Cosinus Das gilt für alle hyperbolischen Dreiecke:[65]

mit γ den Winkel am Scheitelpunkt gegenüber der Seite c.

Durch Verwendung der Maclaurin -Serie Für den hyperbolischen Cosinus, Cosh x ≈ 1 + x2/2Es kann gezeigt werden, dass als hyperbolisches Dreieck sehr klein wird (dh wie, wie a, b, und c Der gesamte Ansatz Null), die hyperbolische Beziehung für ein rechtes Dreieck nähert sich der Form des Theorems von Pythagoras.

Für kleine rechte Dreiecke (a, b << R)) Der hyperbolische Cosinus kann beseitigt werden, um sie zu vermeiden Signifikanzverlust, geben

Sehr kleine Dreiecke

Für jede einheitliche Krümmung K (positiv, null oder negativ) in sehr kleinen rechten Dreiecken (|K|a2, |K|b2 << 1) with hypotenuse cEs kann gezeigt werden, dass das

Differentialgeometrie

Abstand zwischen infinitimal getrennten Punkten in Kartesischen Koordinaten (oben) und Polar Koordinaten (unten), wie durch Pythagoras 'Theorem angegeben

Auf unendlicher Ebene beschreibt Pythagoras 'Theorem im dreidimensionalen Raum den Abstand zwischen zwei infinitesimal getrennten Punkten als:

mit ds das Element der Entfernung und (dx, Dy, DZ) Die Komponenten des Vektors, die die beiden Punkte trennten. Ein solcher Raum wird a genannt Euklidischer Raum. Allerdings in Riemannian Geometrie, Eine Verallgemeinerung dieses Ausdrucks, die für allgemeine Koordinaten (nicht nur kartesischer) nützlich sind, und allgemeine Räume (nicht nur euklidisch) nimmt die Form an:[66]

das heißt das metrischer Tensor. (Manchmal wird durch Sprachmissbrauch der gleiche Begriff auf den Satz von Koeffizienten angewendet gij.) Es kann eine Funktion der Position sein und oft beschreibt gebogener Raum. Ein einfaches Beispiel ist der euklidische (flache) Raum, der in ausgedrückt wird krumminare Koordinaten. Zum Beispiel in Polar Koordinaten:

Geschichte

Es gibt eine Debatte, ob der pythagoräische Theorem einmal oder viele Male an vielen Stellen entdeckt wurde, und das Datum der ersten Entdeckung ist ungewiss, ebenso wie das Datum des ersten Beweises. Historiker von Mesopotamian Die Mathematik ist zu dem Schluss gekommen, dass die pythagoräische Regel während deses weit verbreitet war Alte babylonische Periode (20. bis 16. Jahrhundert v. Chr.) Über tausend Jahre vor der Geburt von Pythagoras.[68][69][70][71] Die Geschichte des Satzes kann in vier Teile unterteilt werden: Wissen von Pythagoräische Dreifachungen, Kenntnis der Beziehung zwischen den Seiten eines rechten Dreiecks, Kenntnis der Beziehungen zwischen benachbarten Winkeln und Beweise des Satzes innerhalb von einigen deduktives System.

Geschrieben zwischen 2000 und 1786 v. Chr., Die ägyptisch Mittleres Königreich Berlin Papyrus 6619 Enthält ein Problem, dessen Lösung das pythagoräische Triple 6: 8: 10 ist, aber das Problem erwähnt kein Dreieck. Die mesopotamische Tablette Plimpton 322, geschrieben zwischen 1790 und 1750 v. Chr. Während der Regierungszeit von König Hammurabi The Great, enthält viele Einträge, die eng mit pythagoräischen Dreifach verbunden sind.

Im Indien, das Baudhayana Shulba Sutra, deren Daten zwischen dem 8. und 5. Jahrhundert v. Chr. Verschieden sind,[72] Enthält eine Liste pythagoräischer Tripel und eine Erklärung des pythagoräischen Theorems, beide im Sonderfall der Isosceles rechtwinkliges Dreieck und im allgemeinen Fall ebenso wie das Apastamba Shulba Sutra (c. 600 v. Chr.).[a]

Byzantinisch Neoplatonisch Philosoph und Mathematiker Proklus, schreiben im fünften Jahrhundert n. Chr. Zwei arithmetische Regeln ", von denen einer von ihnen zugeschrieben wird Plato, der andere zu Pythagoras ",",[74] Zur Erzeugung spezieller pythagoräischer Dreifach. Die Regel, die Pythagoras zugeschrieben wird (c.570- c.495 v. Chr) beginnt von einem ungerade Zahl und produziert ein Triple mit Bein und Hypotenuse, das sich durch eine Einheit unterscheidet; Die auf Platon (428/427 oder 424/423 - 348/347 v. Chr.) Zugeschriebene Regel beginnt mit einer gleichmäßigen Zahl und erzeugt ein Triple mit Bein und Hypotenuse, die sich um zwei Einheiten unterscheiden. Entsprechend Thomas L. Heath (1861–1940) gibt es in der überlebenden griechischen Literatur aus den fünf Jahrhunderten, nachdem Pythagoras gelebt hatten, keine spezifische Zuschreibung des Satzes zu Pythagoras.[75] Wenn Autoren jedoch wie wie Plutarch und Cicero Sie taten den Satz Pythagoras auf eine Weise, was darauf hindeutet, dass die Zuschreibung weithin bekannt und zweifellos war.[76][77] Klassiker Kurt von Fritz schrieb: "Ob diese Formel Pythagoras zu Recht persönlich zugeschrieben wird, aber man kann sicher annehmen, dass sie zur ältesten Periode von gehört Pythagoräische Mathematik. "[35] Ca. 300 v. Chr. In Euklids Elemente, der älteste bestehen axiomatischer Beweis des Satzes wird präsentiert.[78]

Geometrischer Beweis des pythagoräischen Theorems aus dem Zhoubi Suanjing.

Mit dem Inhalt, der viel früher bekannt ist, aber in überlebenden Texten aus ungefähr dem 1. Jahrhundert v. Chr. Chinesisch Text Zhoubi Suanjing (周髀算 经), (Der arithmetische Klassiker der Gnomon und die kreisförmigen Wege des Himmels) gibt den pythagoräischen Theorem für das (3, 4, 5) Dreieck eine Begründung an - in China wird es als "als" bezeichnet "genannt"Gougu -Theorem"(勾股 定理).[79][80] Während der Han-Dynastie (202 v. Chr. Bis 220 n. Chr.) In pythagoräischen Dreifachs erscheinen in Die neun Kapitel über die mathematische Kunst,[81] zusammen mit einer Erwähnung der rechten Dreiecke.[82] Einige glauben, der Satz entstand zuerst in China,[83] wo es alternativ als das bekannt ist "Shang Gao Theorem"(商高 定理),[84] benannt nach dem Herzog von Zhou's Astronom und Mathematiker, dessen Argumentation das meiste zusammenfasste, was in der war Zhoubi Suanjing.[85]

Siehe auch

Notizen und Referenzen

Anmerkungen

  1. ^ Van der Waerden glaubte, dass dieses Material "sicherlich auf früheren Traditionen beruhte". Carl Boyer gibt an, dass der pythagoräische Theorem in der Śulba-Sũtram Möglicherweise wurde von der alten Mesopotamischen Mathematik beeinflusst, aber es gibt keine schlüssigen Beweise zugunsten oder Opposition dieser Möglichkeit.[73]

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  69. ^ Friberg, Jöran (1981). "Methoden und Traditionen der babylonischen Mathematik: Plimpton 322, Pythagorei -Tripel und die Parametergleichungen des babylonischen Dreiecks". Historia Mathematica. 8: 277–318. doi:10.1016/0315-0860 (81) 90069-0.: p. 306 "Obwohl Plimpton 322 ein einzigartiger Text seiner Art ist, gibt es mehrere andere bekannte Texte, die bezeugen, dass der pythagoräische Theorem den Mathematikern der alten babylonischen Zeit bekannt war."
  70. ^ Høyrup, Jens. "Pythagoräische 'Regel" und "Theorem" - Spiegel der Beziehung zwischen babylonischer und griechischer Mathematik ". In Renger, Johannes (Hrsg.). Babylon: fokus mesopotamischer esschichte, wIEge frherry glelehrsamkeit, mythos in der moderne. 2. Internationales Colloquium der Deutschen Orient-Gegschaft 24.–26. März 1998 in Berlin (PDF). Berlin: Deutsche Orient-Gegschaft / Saarbrück: SDV Saarbrücker Druckerei und Verlag. S. 393–407., p. 406 ","Allein diese Beweise zu beurteilen Es ist daher wahrscheinlich, dass die pythagoräische Regel in der Umgebung der Laienvermesser entdeckt wurde, möglicherweise als Ausgründung des in DB behandelten Problems2-146, irgendwo zwischen 2300 und 1825 v. Chr. "((Db2-146 ist eine alte babylonische Tontafel von Eshnunna In Bezug auf die Berechnung der Seiten eines Rechtecks ​​angesichts seiner Fläche und Diagonale.)
  71. ^ Robson, E. (2008). Mathematik im alten Irak: Eine Sozialgeschichte. Princeton University Press.: p. 109 "Viele alte babylonische mathematische Praktizierende ... wusste, dass das Quadrat auf der Diagonal eines rechten Dreiecks den gleichen Bereich wie die Summe der Quadrate auf Länge und Breite hatte: Diese Beziehung wird in den bearbeiteten Lösungen zu Wortproblemen auf Schnitt- und Ausschnitten verwendet. -Paste 'Algebra' auf sieben verschiedenen Tabletten aus Ešnuna, Sippar, Susa und einem unbekannten Ort in südlichen Babylonien. "
  72. ^ Kim Plofker (2009). Mathematik in Indien. Princeton University Press. pp.17–18. ISBN 978-0-691-12067-6.
  73. ^ Carl Benjamin Boyer; Uta C. Merzbach (2011). "China und Indien". Eine Geschichte der Mathematik (3. Aufl.). Wiley. p. 229. ISBN 978-0470525487. Zitieren: [In Sulba-Sutras] finden wir Regeln für den Konstruktion von rechten Winkeln durch Dreifachkabel. 15 und 17 oder 12, 35 und 37. Obwohl der mesopotamische Einfluss auf die Sulvasũtras ist nicht unwahrscheinlich, wir kennen keine schlüssigen Beweise dafür oder dagegen. Aspastamba wusste, dass das Quadrat auf der Diagonale eines Rechtecks ​​gleich der Summe der Quadrate auf den beiden benachbarten Seiten ist. Weniger leicht zu erklären ist eine andere Regel von Apastamba - eine, die einigen der geometrischen Algebra in Buch II von Euklid stark ähnelt Elemente. (...)
  74. ^ Proclus (1970). Ein Kommentar des ersten Buches Euklids Elemente. Übersetzt von Morrow, Glenn R. Princeton University Press. 428.6.
  75. ^ (Euclid 1956, p. 351) Seite 351
  76. ^ (Heath 1921, Vol I, p. 144): "Obwohl dies der Satz ist, der allgemein durch die Tradition mit dem Namen Pythagoras verbunden ist, gibt es keine wirklich vertrauenswürdigen Beweise dafür, dass sie tatsächlich von ihm entdeckt wurde. Die vergleichsweise verstorbenen Schriftsteller, die sie ihm zuschreiben Feiern Sie seine Entdeckung. "
  77. ^ Eine umfassende Diskussion der historischen Beweise wird in ((Euclid 1956, p. 351) Seite = 351
  78. ^ Asger Aaboe (1997). Episoden aus der frühen Geschichte der Mathematik. Mathematische Vereinigung von Amerika. p. 51. ISBN 0-88385-613-1. ... Erst als Euklid finden wir eine logische Abfolge allgemeiner Theoreme mit geeigneten Beweisen.
  79. ^ Robert P. Crease (2008). Die großen Gleichungen: Durchbrüche in der Wissenschaft von Pythagoras bis Heisenberg. W W Norton & Co. p.25. ISBN 978-0-393-06204-5.
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  81. ^ Diese Arbeit ist eine Zusammenstellung von 246 Problemen, von denen einige das Buch Verbrennen von 213 v. Chr. Überlebte und vor 100 n. Chr. In endgültiger Form gebracht wurde. Es wurde ausführlich von Liu Hui in 263 n. Chr. Ausführlich kommentiert. Philip D. Straffin Jr. (2004). "Liu Hui und das erste goldene Zeitalter der chinesischen Mathematik". In Marlow Anderson; Victor J. Katz; Robin J. Wilson (Hrsg.). Sherlock Holmes in Babylon: und andere Geschichten der mathematischen Geschichte. Mathematische Vereinigung von Amerika. S. 69 ff. ISBN 0-88385-546-1. Siehe insbesondere §3: Neun Kapitel über die mathematische Kunst, S. 71 ff.
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Werke zitiert

Externe Links