Aussageformel

Im Aussagelogik, a Aussageformel ist eine Art Syntaktik Formel welches ist gut geformt und hat a Wahrheitswert. Wenn die Werte aller Variablen in einer Aussageformel angegeben sind, bestimmt sie einen eindeutigen Wahrheitswert. Eine Aussageformel kann auch als a genannt werden Aussageausdruck, a Satz, oder ein Sententiale Formel.

Eine aussagekräftige Formel wird aus einfach konstruiert Aussagen, wie "fünf sind größer als drei" oder Aussagenvariablen wie zum Beispiel p und q, mithilfe von Connectives oder logische Operatoren wie nicht und, oder oder impliziert; zum Beispiel:

(p UND NICHT q) IMPLIZIERT (p ODER q).

Im Mathematik, eine shoperformelle Formel wird oft kurz als "als" bezeichnet "Vorschlag", aber genauer formeller Ausdruck das bezeichnet a Vorschlag, a formales Objekt zur Diskussion, genau wie ein Ausdruck wie "x + y"Ist kein Wert, sondern bezeichnet einen Wert. In einigen Kontexten kann die Aufrechterhaltung der Unterscheidung von Bedeutung sein.

Aussagen

Für die Zwecke des Aussagekalküls,, Aussagen (Äußerungen, Sätze, Behauptungen) gelten als entweder einfach oder Verbindung.^[1] Verbindungsaussagen werden als verbunden von durch Sential ConnectivesEinige der häufigsten von "und", "oder", "wenn ... dann ...", "weder ... noch ...", "... entspricht ..." . Das Verknüpfungssemikolon ";" und Bindeffekt "werden" aber als Ausdruck von "und" angesehen. Eine Abfolge diskreter Sätze wird als mit "s verknüpft" und "s" und die formale Analyse gilt a rekursiv "Klammernregel" in Bezug auf Sequenzen einfacher Aussagen (siehe mehr unter über gut geformte Formeln).

Zum Beispiel: Die Behauptung: "Diese Kuh ist blau. Dieses Pferd ist orange, aber dieses Pferd hier ist lila." ist tatsächlich ein zusammengesetzter Satz, der durch "und" s: ("diese Kuh ist blau" und "das Pferd ist orange") und "dieses Pferd hier lila")).

Einfache Aussagen sind von Natur aus deklarativ, dh sie machen Aussagen über den Zustand oder die Natur von a besondere Objekt der Empfindung, z. "Diese Kuh ist blau", "Es gibt einen Kojoten!" ("Dieser Kojote ist dort, hinter den Felsen. ").^[2] Somit der einfache "primitive" Behauptungen Es muss sich um bestimmte Objekte oder bestimmte Geisteszustände handeln. Jeder muss mindestens a haben Thema (Ein unmittelbares Objekt des Denkens oder der Beobachtung), ein Verb (in der aktiven Stimme und die gegenwärtige angespannte) und möglicherweise ein Adjektiv oder Adverb. "Hund!" Impliziert wahrscheinlich "Ich sehe einen Hund", sollte aber als zu mehrdeutig abgelehnt werden.

Beispiel: "Dieser lila Hund läuft", "diese Kuh ist blau", "Switch M31 ist geschlossen", "diese Kappe ist aus", "morgen ist Freitag".

Für die Zwecke des Satzkalkulus kann ein zusammengesetzter Satz normalerweise in eine Reihe einfacher Sätze umformuliert werden, obwohl das Ergebnis wahrscheinlich gestelzt klingt.

Beziehung zwischen Aussagen und Prädikatformeln

Das Prädikatkalkül geht einen Schritt weiter als die Aussagekalkül auf eine "Analyse der innere Struktur von Aussagen "^[3] Es zerfällt einen einfachen Satz in zwei Teile (i) es Thema (das Objekt (Singular oder plural) des Diskurses) und (ii) a Prädikat (Ein Verb oder möglicherweise Verb-Klausel, das eine Qualität oder Attribut der Objekte (en) geltend macht). Der Prädikat -Kalkül verallgemeinert dann die Form "Subjekt | Prädikat" (wobei | symbolisiert Verkettung (Zusammensetzung) von Symbolen) in ein Formular mit der folgenden leeren Subjektstruktur "___ | Prädikat" und das Prädikat wiederum auf alle Dinge mit dieser Eigenschaft verallgemeinert.

Beispiel: "Dieses blaue Schwein hat Flügel" wird zu zwei Sätzen in der Propositionalkalkül: "Dieses Schwein hat Flügel" und "Dieses Schwein ist blau", dessen innere Struktur nicht berücksichtigt wird. Im Gegensatz dazu bricht der erste Satz im Prädikatkalkül in "dieses Schwein" als Subjekt ein und hat "Flügel" als Prädikat. So behauptet es, dass Objekt "dieses Schwein" ein Mitglied der Klasse (Set, Sammlung) von "geflügelten Dingen" ist. Der zweite Satz behauptet, dass Objekt "dieses Schwein" ein Attribut "Blau" hat und daher ein Mitglied der Klasse von "blauen Dingen" ist. Man könnte sich dafür entscheiden, die beiden Sätze zu schreiben, die mit und AS in Verbindung stehen:

p | w und p | b

Die Verallgemeinerung von "dieses Schwein" auf ein (potenzielles) Mitglied zweier Klassen "geflügelter Dinge" und "blaue Dinge" bedeutet, dass es eine Wahrheitsbeziehung mit beiden Klassen hat. Mit anderen Worten, gegeben a Diskursbereich "Winged Things", P ist entweder ein Mitglied dieser Domäne oder nicht. Somit gibt es eine Beziehung w (Flügelheit) zwischen P (Schwein) und {t, f}, w (p) bewertet {t, f}, wobei {t, f} der Satz der ist boolesche Werte "richtig und falsch". Ebenso bewertet B (Blau) und P (Schwein) und {t, f}: B (p) {t, f}. So kann man nun die verbundenen Behauptungen "B (p) und W (p) für seinen allgemeinen Wahrheitswert, d. H.:::: W (P), analysieren, d. H.:

(B (p) und w (p)) bewertet {t, f}

Insbesondere einfache Sätze, die Vorstellungen von "all", "einige", "ein paar", "eines von" usw. anwenden Logische Quantifizierer werden durch den Prädikatkalkül behandelt. Zusammen mit der neuen Funktionsymbolik "f (x)" werden zwei neue Symbole eingeführt: ∀ (für alle) und ∃ (es gibt ... mindestens eines von ... existiert usw.). Der Prädikatkalkül, jedoch nicht der Propositionskalkül, kann die formale Gültigkeit der folgenden Aussage festlegen:

"Alle blauen Schweine haben Flügel, aber einige Schweine haben keine Flügel, daher sind einige Schweine nicht blau."

Identität

Tarski behauptet, dass der Begriff der Identität (wie in der logischen Äquivalenz) außerhalb des Satzkalküls liegt; Er merkt jedoch an, dass eine Logik für die Mathematik und die Wissenschaften eine "Theorie" der Identität enthalten muss.^[4] Einige Autoren verweisen auf "Prädikatlogik mit Identität", um diese Erweiterung hervorzuheben. Weitere Informationen finden Sie weiter unten.

Eine Algebra von Aussagen, die Aussagekalkül

Ein Algebra (Und es gibt viele verschiedene), lose definiert, eine Methode, mit der eine Sammlung von Symbole genannt Variablen zusammen mit einigen anderen Symbolen wie Klammern (,) und einigen Untereinrichtungen von Symbolen wie *, +, ~, &, ∨, =, ≡, ∧, ￢ werden innerhalb eines manipuliert System von Regeln. Diese Symbole und gut geformt Saiten von ihnen sollen repräsentieren Objekteaber in einem bestimmten algebraischen System haben diese Objekte nicht Bedeutungen. So wird die Arbeit in der Algebra zu einer Übung, um sicher zu gehorchen Rechtsvorschriften (Regeln) der Algebra Syntax (Symbolbildung) und nicht in Semantik (Bedeutung) der Symbole. Die Bedeutungen sind außerhalb der Algebra zu finden.

Für eine wohlgeformte Folge von Symbolen in der Algebra-a Formel- Um außerhalb der Algebra etwas Nützlichkeit zu haben, werden die Symbole Bedeutungen zugewiesen und schließlich die Variablen zugewiesen Werte; Dann ist die Formel nach einer Reihe von Regeln bewertet.

Wenn die Werte auf nur zwei beschränkt sind und auf den Begriff von angewendet werden einfache Sätze (z. B. gesprochene Äußerungen oder schriftliche Behauptungen) verbunden durch Aussagen Dieses ganze algebraische System von Symbolen und Regeln und Bewertungsmethoden wird normalerweise als als als bezeichnet Propositionalkalkül oder der sententiale Kalkül.

Während einige der bekannten Regeln der arithmetischen Algebra weiterhin in der Algebra der Aussagen (z. Verteilungsgesetze für und, oder und nicht).

Nützlichkeit von Sätzenformeln

Analyse: Im deduktive Argumentation, Philosophen, Rhetoriker und Mathematiker reduzieren Argumente für Formeln und studieren sie dann (normalerweise mit Wahrheitstabellen) für Korrektheit (Geräusch). Zum Beispiel: Ist das folgende Argument so gut?

"Angesichts der Tatsache, dass das Bewusstsein für eine ausreicht künstliche Intelligenz und nur bewusste Einheiten können die bestehen Turing-TestBevor wir zu dem Schluss kommen, dass ein Roboter eine künstliche Intelligenz ist, muss der Roboter den Turing -Test bestehen. "

Ingenieure analysieren die Logikschaltungen Sie haben mit Synthesetechniken entwickelt und dann verschiedene Reduktions- und Minimierungstechniken angewendet, um ihre Designs zu vereinfachen.

Synthese: Insbesondere Ingenieure synthetisieren Sätze Formeln (die schließlich als enden als Schaltungen von Symbolen) von Wahrheitstabellen. Zum Beispiel könnte man eine Wahrheitstabelle dafür aufschreiben, wie Binärer Addition Sollte sich angesichts der Hinzufügung von Variablen "B" und "A" und "Carry_in" "CI" und der Ergebnisse "Carry_out" "Co" und "sum" σ:

• Beispiel: In Zeile 5, ((b + a) + ci) = ((1 + 0) + 1) = die Zahl "2". geschrieben als Binärzahl, das ist 10₂, wobei "co" = 1 und σ = 0, wie in den rechtssten Spalten gezeigt.

Aussagenvariablen

Die einfachste Art der Aussageformel ist a Aussagenvariable. Aussagen, die einfach sind (Atomic), symbolische Ausdrücke werden oft durch Variablen bezeichnet, die benannt sind p, q, oder P, Qusw. Eine Aussagevariable soll einen atomaren Satz (Behauptung) darstellen, wie "es ist Samstag" = = p (Hier ist das Symbol = bedeutet "... wird die Variable benannt ...") oder "Ich gehe nur am Montag ins Kino" = = = q.

Wahrheitswertzuweisungen, Formel-Bewertungen

Auswertung einer Aussageformel beginnt mit der Zuordnung von a Wahrheitswert zu jeder Variablen. Da jede Variable einen einfachen Satz darstellt, werden die Wahrheitswerte auf die "Wahrheit" oder "Falschheit" dieser einfachen Sätze angewendet.

Wahrheitswerte in Rhetorik, Philosophie und Mathematik: Die Wahrheitswerte sind nur zwei: {Wahrheit "t", Falschheit "f"}. Ein Empiriker Steckt alle Vorschläge in zwei breite Klassen: analytisch—Re, egal was (z. Tautologie), und Synthetik- abgeleitet aus Erfahrung und dadurch anfällig für Bestätigung durch Dritte (die Überprüfungstheorie von Bedeutung).^[5] Empiriten halten das im Allgemeinen für den Wahrheitswert von a synthetischer Satz, Bedeutungen (Musteranpassungsvorlagen) müssen zunächst auf die Wörter angewendet werden, und dann müssen diese Bedeutungs-Templates gegen alles abgestimmt werden, was behauptet wird. Zum Beispiel meine Äußerung ", dass Kuh ist blau! "Ist diese Aussage eine Wahrheit? Ich habe es wirklich gesagt. Und vielleicht ich bin Wenn ich eine blaue Kuh sehe - es sei denn, ich lüge meine Aussage ist eine Wahrheit im Verhältnis zum Objekt meiner (vielleicht fehlerhaften) Wahrnehmung. Aber ist die blaue Kuh "wirklich da"? Was sehen Sie, wenn Sie aus demselben Fenster schauen? Um mit einer Überprüfung fortzufahren, benötigen Sie einen vorherigen Begriff (eine Vorlage) von "Kuh" und ""blau", und die Fähigkeit, den Vorlagen mit dem Objekt der Empfindung zu entsprechen (wenn es tatsächlich eine gibt).

Wahrheitswerte im Ingenieurwesen: Ingenieure versuchen, Vorstellungen von Wahrheit und Falschheit zu vermeiden, die sich mit Philosophen befassen, aber letztendlich müssen Ingenieure ihren Messinstrumenten vertrauen. In ihrer Suche nach Robustheit, Ingenieure ziehen es vor, bekannte Objekte aus einer kleinen Bibliothek zu ziehen-Objekte, die gut definierte, vorhersehbare Verhaltensweisen selbst in großen Kombinationen haben (daher ihr Name für den Propositionalrechnung: "Kombinatorische Logik"). Die wenigsten Verhaltensweisen eines einzelnen Objekts sind zwei (z. B. {off, on}, {öffnen, schließen}, {nach oben} usw.), und diese werden mit {0, 1} Korrespondenz eingestellt. Solche Elemente werden genannt Digital; Diejenigen mit einer kontinuierlichen Verhaltensspanne werden genannt Analog. Wann immer Entscheidungen in einem analogen System getroffen werden müssen, wandelt ein Ingenieur häufig ein analoges Verhalten (die Tür beträgt 45,32146%) in digital (z. B. Down = 0) unter Verwendung von a Vergleicher.^[6]

Somit eine Zuordnung von Bedeutung von den Variablen und den beiden Wertsymbolen {0, 1} stammt von der Formel, die das Verhalten des (normalerweise) zusammengesetzten Objekts darstellt. Ein Beispiel ist eine Garagentor mit zwei "Limit -Switches", eines für up -beschriftete SW_U und eine für Down -Down -SW_D und was auch immer in der Schaltung der Tür ist. Inspektion der Schaltung (entweder das Diagramm oder der tatsächlichen Objekte selbst - toor, Schalter, Kabel, Leiterplatten usw.) könnten zeigen "sind mechanisch in Kontakt (" geschlossen ") und die Tür befindet im mechanischen Kontakt ("geschlossen").^[7] Der Ingenieur muss die Bedeutungen dieser Spannungen und aller möglichen Kombinationen (alle 4) definieren, einschließlich der "schlechten" (z. B. beide Knoten 22 und 29 bei 0 Volt, was bedeutet, dass die Tür zur gleichen Zeit offen und geschlossen ist) . Der Schaltkreis reagiert sinnlos auf die Spannungen, die sie erlebt, ohne dass es für Wahrheit oder Falschheit, Recht oder Falsch, sicher oder gefährlich ist.

Aussagen

Willkürliche Aussagenformeln werden aus Subosentenvariablen und anderen Sätzenformeln gebaut Aussagen. Beispiele für Konnektiven sind:

• Die Unarm Negation Connective. Wenn ${\ displayStyle \ alpha}$ ist dann eine Formel ${\ displayStyle \ lnot \ alpha}$ ist eine Formel.
• Die klassischen binären Konnektive ${\ displayStyle \ Land, \ lor, \ to, \ leftrightarrow}$. Somit zum Beispiel, wenn ${\ displayStyle \ alpha}$ und ${\ displayStyle \ Beta}$ sind Formeln, so ist es auch ${\ displayStyle (\ alpha \ to \ beta)}$.
• Andere binäre Konnektive wie Nand, NOR und XOR
• Das ternäre Bindekund, wenn ... dann ... sonst ...
• Konstante 0-Ary Connectives ⊤ und ⊥ (abwechselnd Konstanten {t, f}, {1, 0} usw.)
• Das "Theory-Extension" -Kinne ist gleich (abwechselnd Identität oder das Zeichen "=", wie vom "logischen Bindedruck" unterschieden. ${\ displayStyle \ leftrightarrow}$)

Connectives of Rhetoric, Philosophie und Mathematik

Das Folgende sind die Konnektiven, die Rhetorik, Philosophie und Mathematik zusammen mit ihren gemeinsamen Wahrheitstabellen. Die verwendeten Symbole variieren vom Autor zu Autor und zwischen den Feldern von Bemühungen. Im Allgemeinen stehen die Abkürzungen "t" und "f" für die Bewertungen Wahrheit und Falschheit, die auf die Variablen in der Aussageformel angewendet werden (z. B. die Behauptung: "Diese Kuh ist blau" wird den Wahrheitswert "t" für die Wahrheit oder "für die Wahrheit oder" haben " F "Für Falschheit, so wie es der Fall sein mag.).

Die Connectives gehen an verschiedene Word-uSages, z. "A impliziert B" wird auch gesagt "Wenn a dann B". Einige davon sind in der Tabelle gezeigt.

Engineering Connectives

Die technischen Symbole sind im Laufe der Jahre unterschiedlich, aber diese sind an der Tagesordnung. Manchmal erscheinen sie einfach als Kisten mit Symbolen. "A" und "B" werden als "die Eingänge" und "C" bezeichnet.

Im Allgemeinen sind die Engineering Connectives genauso wie die Mathematikkonnektiven, mit Ausnahme, dass sie mit "1" = "T" und "0" = "F" bewerten. Dies geschieht für die Zwecke der Analyse/Minimierung und Synthese von Formeln unter Verwendung des Begriffs von Minterms und Karnaugh Maps (siehe unten). Ingenieure verwenden auch die Wörter logisches Produkt aus BooleVorstellung (a*a = a) und logische Summe aus Jevons'Begriff (a+a = a).^[8]

Case Connective: Wenn ... dann ... sonst ...

Das if ... dann ... sonst ... Bindeffekt erscheint als einfachste Form des Fallbetreibers von Rekursionstheorie und Berechnungstheorie und ist die Binde, die für bedingte GOTOs (Sprünge, Zweige) verantwortlich ist. Von diesem einen Bindekurs können alle anderen Konnektiven konstruiert werden (siehe mehr unten). Obwohl "wenn c dann b sonst A" klingt wie eine Implikation, ist es in seiner am meisten reduzierten Form a Schalter Das macht eine Entscheidung und bietet als Ergebnis nur eine von zwei Alternativen "A" oder "B" (daher der Name Schaltanweisung in dem C Programmiersprache).^[9]

Die folgenden drei Aussagen sind äquivalent (wie durch das logische Äquivalenzzeichen ≡ angegeben):

1. (Wenn 'Zähler null ist', dann gehen Sie zur Anweisung b 'Sonst' gehen zur Anweisung a ') ≡
2. ((c → b) & (~ c → a)) ≡ ((wenn 'Zähler ist Null', dann 'Gehen Sie zur Anweisung b ') Und (wenn' es nicht der Fall ist, dass der Zähler Null ist ', dann gehen Sie zur Anweisung a ) "≡
3. ((c & b) ∨ (~ C & a)) ≡ "('Zähler ist Null' und 'Gehen Sie zur Anweisung b ) Oder ('Es ist nicht der Fall, dass' Zähler null ist 'und' zur Anweisung gehen a ) "

Wenn also ... dann ... sonst - unabhängig von Implikation - nicht zu einer mehrdeutigen "Wahrheit" bewertet wird, wenn der erste Satz falsch ist, d. H. C = F in (c → b). Zum Beispiel würden die meisten Menschen den folgenden zusammengesetzten Satz als unsinnig abweisen Nicht -Sequitur Weil der zweite Satz ist nicht in der Bedeutung verbunden zum ersten.^[10]

Beispiel: Der Vorschlag "Wenn" Winston Churchill war Chinesisch ", dann bewertet 'die Sonne in der Osten'" als Wahrheit, da 'Winston Churchill Chinesisch war' eine Falschheit und 'die Sonne im Osten' als Wahrheit bewertet .

In der Erkennung dieses Problems wird das Vorzeichen → der formalen Implikation in der Aussagekalkül genannt materielle Implikation Um es von der alltäglichen, intuitiven Implikation zu unterscheiden.^[11]

Die Verwendung der if ... dann ... sonst vermeidet es Kontroversen, da sie eine völlig deterministische Auswahl zwischen zwei angegebenen Alternativen bietet; Es bietet zwei "Objekte" (die beiden Alternativen B und A) und es wählt zwischen ihnen ausführlich und eindeutig.^[12] In der folgenden Wahrheitstabelle ist D1 die Formel: (wenn C, dann b) und (wenn nicht C, dann a)). Die vollständig reduzierte Form D2 ist die Formel: ((c und b) oder (nicht c und a). Die beiden Formeln sind äquivalent, wie in den Säulen "= D1" und "= D2". Elektrische Ingenieure nennen die vollreduzierte Formel Der und oder ausgewählte Operator. Der Fall (oder Switch) ist eine Erweiterung derselben Idee zu n Möglich, aber gegenseitig ausschließende Ergebnisse. Elektroingenieure nennen den Fallbetreiber a Multiplexer.

Identität und Bewertung

Die erste Tabelle dieses Abschnitts spielt *** Die logische Eintragsäquivalenz, um die Tatsache zu beachten, dass "Logische Äquivalenz"Ist nicht dasselbe wie" Identität ". Zum Beispiel würden die meisten zustimmen, dass die Behauptung", dass Kuh blau ist "mit der Behauptung identisch ist", dass Kuh blau ist ". logisch Äquivalenz erscheint manchmal in der Sprache wie in diesem Beispiel: "Die Sonne scheint" Ich bin fahre "Ich bin fahre" in eine Aussageformel übersetzt. Und wenn 'ich bin fahre', dann scheint die Sonne: ":"^[13]

"Wenn 's' dann 'B' und wenn 'B' dann 's'" ist als (S → B) & (B → S)) oder in einer abgekürzten Form als (s ↔ b) geschrieben. Da die Zeichenfolge der Symbol für die rechtliche Symbol ist a Definition Für ein neues Symbol in Bezug auf die Symbole links ist die Verwendung des Identitätszeichens angemessen:

((s → b) & (b → s)) = (s ↔ b)

Verschiedene Autoren verwenden unterschiedliche Anzeichen für die logische Äquivalenz: ↔ (z. B. Supples, Goodstein, Hamilton), ≡ (z. B. Robbin), ⇔ (z. B. Bender und Williamson). Typischerweise wird die Identität als Equals Sign = geschrieben =. Eine Ausnahme zu dieser Regel ist in gefunden Principia Mathematica. Für mehr über die Philosophie des Begriffs der Identität siehe Leibnizs Gesetz.

Wie oben erwähnt, betrachtet Tarski die Identität, außerhalb des Vorschlags zu liegen, aber er behauptet, dass "Logik" ohne die Vorstellung für die Mathematik und die deduktiven Wissenschaften ohne den Begriff nicht ausreicht. Tatsächlich kommt das Vorzeichen in den Aussagekalkül, wenn eine Formel bewertet werden soll.^[14]

In einigen Systemen gibt es keine Wahrheitstabellen, sondern nur formale Axiome (z.₁, p₂, p₃. Modus Ponens). Das Ergebnis eines solchen Kalküls ist eine andere Formel (d. H. Eine wohlgeformte Symbol-Zeichenfolge). Wenn man jedoch den Kalkül verwenden möchte, um Vorstellungen von Gültigkeit und Wahrheit zu untersuchen, muss man Axiome hinzufügen, die das Verhalten der als "Wahrheitswerte" bezeichneten Symbole definieren {t, f} (oder {1, 0} usw. .) Relativ zu den anderen Symbolen.

Zum Beispiel verwendet Hamilton zwei Symbole = und ≠, wenn er den Begriff von a definiert Bewertung v von jedem gut geformte Formeln (WFFS) A und B in seiner "formalen Aussagekalkül" L. Eine Bewertung v ist ein Funktion Von den WFFs seines Systems l bis zum Bereich (Ausgabe) {t, f}, da jede Variable p₁, p₂, p₃ In einem WFF wird ein willkürlicher Wahrheitswert {t, f} zugewiesen.

v(A) ≠ v(~A)

(i)

v(A → B) = F if und nur wenn v(A) = T und v(B) = F

(II)

Die beiden Definitionen (i) und (II) Definieren Sie das Äquivalent der Wahrheitstabellen für ~ (nicht) und → (Implikation) Connectives seines Systems. Der erste leitet f ≠ t und t ≠ f mit anderen Worten ab. " v(A) nicht bedeuten v(~A) ". Definition (II) Gibt die dritte Zeile in der Wahrheitstabelle an, und die anderen drei Zeilen stammen dann aus einer Anwendung der Definition (i). Im Speziellen (II) zuweist der Wert F (oder eine Bedeutung von "f") für den gesamten Ausdruck. Die Definitionen dienen auch als Bildungsregeln, die die Substitution eines zuvor in eine Formel abgeleiteten Wertes ermöglichen:

Etwas formelle Systeme Geben Sie diese Bewertungsaxiome zu Beginn in Form bestimmter Formeln wie dem an Widerspruchsrecht oder Gesetze der Identität und Nichtigkeit. Die Wahl, welche zu verwenden ist, zusammen mit Gesetzen wie Kommutierung und Verteilung, liegt beim Designer des Systems, solange der Satz von Axiomen ist Komplett (d. h. ausreichend, um jede im System erstellte gut geformte Formel zu bilden und zu bewerten).

Komplexere Formeln

Wie oben gezeigt, wird der Fall (wenn C, dann B, sonst A) Verbindungsbindung entweder aus den 2-Argument-Verbindungen hergestellt, wenn ... dann ... und und und und und das 1-Argument nicht. Konnektiven wie das N-Argument und (A & B & C & ... & n) oder (a ∨ b ∨ c ∨ ... ∨ n) werden aus Saiten aus zwei Argument konstruiert und und und geschrieben in abgekürzte Form ohne Klammern. Diese und auch andere Konnektiven können dann als Bausteine ​​für noch weitere Konnektiven verwendet werden. Rhetoriker, Philosophen und Mathematiker verwenden Wahrheitstabellen und die verschiedenen Theoreme, um ihre Formeln zu analysieren und zu vereinfachen.

Elektrotechnik verwendet gezogene Symbole Auswechslung und Ersatz. Anschließend überprüfen sie ihre Zeichnungen mit Wahrheitstabellen und vereinfachen die Ausdrücke, wie unten gezeigt mit Verwendung von Karnaugh Maps oder die Theoreme. Auf diese Weise haben Ingenieure eine Vielzahl von "kombinatorischen Logik" (d. H. Connectives ohne Feedback) wie "Decoder", "Encoder", "Mutifunktion Gates", "Mehrheitslogik", "binäre Addlers", "Arithmetic Logic Units", "Mehrheit Logik", "arithmetische Logikeinheiten", erstellt. usw.

Definitionen

Eine Definition schafft ein neues Symbol und ihr Verhalten, oft zum Zweck der Abkürzung. Sobald die Definition angezeigt wurde, kann entweder die Form des äquivalenten Symbols oder die Formel verwendet werden. Die folgende Symbolik =_Df folgt der Konvention von Reichenbach.^[15] Einige Beispiele für bequeme Definitionen, die aus dem Symbol gesetzt {~ &, (,)} und Variablen festgelegt sind. Jede Definition erzeugt eine logisch äquivalente Formel, die zur Substitution oder zum Austausch verwendet werden kann.

• Definition einer neuen Variablen: (C & D) =_Df s
• Oder: ~ (~ a & ~ b) =_Df (a ∨ b)
• Implikation: (~ a ∨ b) =_Df (a → b)
• Xor: (~ a & b) ∨ (a & ~ b) =_Df (a ⊕ b)
• Logische Äquivalenz: (A → B) & (B → A)) =_Df (a ≡ b)

Axiom und Definition Schemas

Die obigen Definitionen für ODER, Implikation, XOR und logische Äquivalenz sind tatsächlich Schemas (oder "Schemata"), das heißt, sie sind Modelle (Demonstrationen, Beispiele) für eine allgemeine Formel Format Aber gezeigt (zu veranschaulichenden Zwecken) mit spezifischen Buchstaben A, B, C für die Variablen, während alle Variablenbuchstaben an ihren Stellen gehen können, solange die Buchstabensubstitutionen der unten stehenden Substitutionsregel folgen.

Beispiel: In der Definition (~ a ∨ b) =_Df (A → B), andere variable Symbole wie "SW2" und "Con1" könnten verwendet werden, d. H. Formal:

a =_Df Sw2, b =_Df Con1, also hätten wir als Beispiel des Definitionsschemas (~ sw2 ∨ con1) =_Df (Sw2 → con1)

Substitution versus Ersatz

Auswechslung: Die Variable oder Subformula, die durch eine andere Variable, Konstante oder Subformel ersetzt werden soll, muss in allen Fällen in der gesamten Gesamtformel ersetzt werden.

Beispiel: (C & D) ∨ (P & ~ (C & ~ D)), aber (q1 & ~ q2) ≡ d. Jetzt wo immer variable "d" auftritt, ersetzen Sie (q₁ & ~ q₂):

(c & (q₁ & ~ q₂)) ∨ (p & ~ (c & ~ (q)₁ & ~ q₂)))

Ersatz: (i) Die zu ersetzende Formel muss innerhalb einer Tautologie liegen, d.h. logisch äquivalent (verbunden durch ≡ oder ↔) mit der Formel, die sie ersetzt, und (ii) im Gegensatz zur Substitution ist er zulässig, damit der Ersatz nur an einem Ort auftritt (d. H. Für eine Formel).

Beispiel: Verwenden Sie diesen Satz von Formelschemata/Äquivalenzen:

1. ((a ∨ 0) ≡ a).
2. ((a & ~ A) ≡ 0).
3. ((~ a ∨ b) =_Df (a → b)).
6. (~ (~ a) ≡ a)

1. Beginnen Sie mit "a": a
2. Verwenden Sie 1, um "a" mit (a ∨ 0) zu ersetzen: (a ∨ 0)
3. Verwenden Sie den Begriff "Schema", um B für A in 2: ((a & ~ A) ≡ 0) zu ersetzen.
4. Verwenden Sie 2, um 0 durch (B & ~ B) zu ersetzen: (a ∨ (b & ~ b))
5. (Siehe unten, wie Sie "A ∨" über (B & ~ B) usw. verteilen.)

Induktive Definition

Die klassische Darstellung der Aussagenlogik (siehe Enderton 2002) verwendet die Connectives ${\ displaystyle \ lnot, \ Land, \ lor, \ to, \ leftrightarrow}$. Der Satz von Formeln über einen gegebenen Satz von Subositionsvariablen ist induktiv definiert Um die kleinste Ausdrücke so zu sein, dass:

• Jede Aussagevariable im Satz ist eine Formel,
• ${\ displayStyle (\ lnot \ alpha)}}$ ist eine Formel, wann immer ${\ displayStyle \ alpha}$ ist und
• ${\ displayStyle (\ alpha \, \ box \, \ Beta)}$ ist eine Formel, wann immer ${\ displayStyle \ alpha}$ und ${\ displayStyle \ Beta}$ sind Formeln und ${\ displayStyle \ box}$ ist einer der binären Konnektiven ${\ displayStyle \ Land, \ lor, \ to, \ leftrightarrow}$.

Diese induktive Definition kann leicht erweitert werden, um zusätzliche Konnektiven abzudecken.

Die induktive Definition kann auch in Bezug auf a umformuliert werden Schließung Betrieb (Enderton 2002). Lassen V bezeichnen eine Reihe von Aussagenvariablen und lassen X_V Bezeichnen Sie die Menge aller Saiten aus einem Alphabet, einschließlich Symbolen in V, linke und rechte Klammern und alle logischen Verbindungen, die berücksichtigt werden. Jedes logische Verbindungsbetrieb entspricht einem Formel -Gebäudebetrieb, einer Funktion von Xx_V zu Xx_V:

• Bei einer Zeichenfolge z, die Operation ${\ displaystyle {\ mathcal {e}} _ {\ lnot} (z)}$ kehrt zurück ${\ displayStyle (\ lnot z)}$.
• Gegebene Saiten y und z, die Operation ${\ displaystyle {\ mathcal {e}} _ {\ land} (y, z)}$ kehrt zurück ${\ displayStyle (y \ land z)}$. Es gibt ähnliche Operationen ${\ displaystyle {\ mathcal {e}} _ {\ lor}}$, ${\ displayStyle {\ mathcal {e}} _ {\ to}}$, und ${\ displaystyle {\ mathcal {e}} _ {\ leftrightarrow}}$ entsprechend den anderen binären Konnektiven.

Die Menge von Formeln über V ist definiert als die kleinste Teilmenge von Xx_V enthält V und unter allen Formelgebäuden geschlossen.

Analyse von Formeln

Die folgenden "Gesetze" des Aussagenkalküls werden verwendet, um komplexe Formeln zu "reduzieren". Die "Gesetze" können leicht mit Wahrheitstabellen überprüft werden. Für jedes Gesetz ist der Haupt (äußerste) Verbindungsbindung mit logischer Äquivalenz ≡ oder Identität = verbunden. Eine vollständige Analyse aller 2ⁿ Kombinationen von Wahrheitswerten für seine n Unter dieser Bindekasse führen unterschiedliche Variablen zu einer Spalte von 1 (Ts). Diese Erkenntnis macht jedes Gesetz per Definition zu einer Tautologie. Und für ein bestimmtes Gesetz, weil seine Formel links und rechts gleichwertig (oder identisch) ist, können sie gegenseitig ersetzt werden.

• Beispiel: Die folgende Wahrheitstabelle ist das Gesetz von Morgan für das Verhalten von nicht über oder: ~ (a ∨ b) ≡ (~ a & ~ b). Links von der Hauptbindung (gelbe Säule mit "taut") Die Formel ~ (b ∨ a) bewertet unter der Etikett "P" (1, 0, 0, 0). Rechts von "straff" der Formel (~ (b) ∨ ~ (a)) bewertet ebenfalls (1, 0, 0, 0) unter dem Etikett "q". Da die beiden Spalten äquivalente Bewertungen aufweisen, bewertet die logische Äquivalenz unter "straff" zu (1, 1, 1, 1), d. H. P ≡ Q. Somit kann jede Formel für die andere ersetzt werden, wenn sie in einer größeren Formel erscheint.

Enterprinierende Leser können sich herausfordern, ein "axiomatisches System" zu erfinden, das die Symbole {∨, &, ~, (,), Variablen A, B, C}, die oben angegebenen Formationsregeln und möglichst möglichst nach den aufgeführten Gesetzen verwendet unten und leiten Sie dann als Theorems die anderen sowie die Bewertungen der Wahrheitstisch für ∨, & und ~ ab. Ein Satz, der Huntington (1904) zugeschrieben wird (Suppes: 204), verwendet acht der nachstehend definierten Gesetze.

Bei Verwendung in einem axiomatischen System werden die Symbole 1 und 0 (oder T und F) als gut geformte Formeln angesehen und gehorchen somit die gleichen Regeln wie die Variablen. Somit sind die unten aufgeführten Gesetze tatsächlich tatsächlich AxiomschemataDas heißt, sie stehen anstelle einer unendlichen Anzahl von Fällen. Somit kann (x ∨ y) ≡ (y ∨ x) in einem Fall verwendet werden, (p ∨ 0) ≡ (0 ∨ p) und in einer anderen Instanz (1 ∨ q) ≡ (q ∨ 1) usw. usw.

Connective Seniorität (Symbol Rang)

Um Verwirrung während der Analyse und Bewertung von Sätzenformeln zu vermeiden, machen sie im Allgemeinen Klammern der liberalen Verwendung. Die Autoren lassen sie jedoch ziemlich oft aus. Um eine komplizierte Formel zu analysieren, muss zuerst das wissen Dienstalter, oder Rang, dass jeder der Connectives (mit Ausnahme *) über die anderen Konnektiven hat. Beginnen Sie mit dem Bindeffekt mit dem höchsten Rang und fügen Sie Klammern um seine Komponenten hinzu, um eine Formel zu "gut formulieren", und bewegen Umfang über das es funktioniert). Von den meisten bis zum kleinsten Senior, mit den Prädikatzeichen ∀x und ∃x, werden die Identität = und arithmetische Zeichen für die Vollständigkeit hinzugefügt:^[16]

≡

(Logische Äquivalenz)

→

(IMPLIKATION)

&

(UND)

∨

(ODER)

~

(NICHT)

∀x

(Für alle x)

∃x

(Es gibt ein x)

=

(IDENTITÄT)

+

(arithmetische Summe)

*

(arithmetischer Multiplizieren)

'

(S, arithmetischer Nachfolger).

Somit kann die Formel analysiert werden - aber weil nicht dem Verteilungsgesetz befolgt wird, sind die Klammern um die innere Formel (~ C & ~ d) obligatorisch:

Beispiel: "D & C ∨ W" umgeschrieben ist ((d & c) ∨ W)

Beispiel: "a & a → b ≡ a & ~ a ∨ b" umgeschrieben (streng) ist umgeschrieben

• ≡ hat ein Dienstalter: ((a & a → b) ≡ (a & ~ a ∨ b))
• → hat Seniorität: ((a & (a → b)) ≡ (a & ~ a ∨ b))
• & hat Seniorität beide Seiten: (((a) & (a → b)) ≡ (((a) & (~ a ∨ b)))
• ~ hat Seniorität: (((a) & (a → b)) ≡ (((a) & (~ (a) ∨ b)))
• Überprüfen Sie 9 (-Parenthesis und 9) -Parenthesis: (((a) & (a → b)) ≡ (((a) & (~ (a) ∨ b)))

Beispiel:

D & C ∨ P & ~ (C & ~ D) ≡ C & D ∨ P & C ∨ P & ~ D Rewritten IS (((d & c) ∨ (P & ~ (C & ~ (d))) )) ≡ ((c & d) ∨ (p & c) ∨ (p & ~ (d))))

Kommutative und assoziative Gesetze

Sowohl und und oder gehorchen dem Kommutativgesetz und Assoziatives Recht:

• Gewinnrecht für OR: (a ∨ b) ≡ (b ∨ a)
• Kommutatives Gesetz für und: (a & b) ≡ (B & A)
• Assoziatives Gesetz für OR: ((a ∨ b) ∨ c) ≡ (a ∨ (b ∨ c))
• Assoziatives Gesetz für und: (A & B) & C) ≡ (A & (B & C))

Unterbrechung von Klammern in Strings von und und oder: Die Konnektiven gelten als unär (ein Variable, z. B. nicht) und binär (d. H. Zwei-Variable und, oder impliziert). Zum Beispiel:

((c & d) ∨ (p & c) ∨ (p & ~ d)) oben sollte geschrieben werden ((C & d) ∨ (p & c)) ∨ (p & ~ (d)) oder möglicherweise ((C & D) ∨ ((P & C) ∨ (p & ~ (d))))

Eine Demonstration der Wahrheitstabelle zeigt jedoch, dass die Form ohne zusätzliche Klammern vollkommen ausreichend ist.

Klammern in Bezug auf ein Einzelvariable nicht weglassen: Während ~ (a) wobei a eine einzelne Variable ist, ist ~ A angemessen und die übliche Art und Weise ist dies wörtlich würde auftauchen. Wenn das nicht über eine Formel mit mehr als einem Symbol liegt, sind die Klammern obligatorisch, z. ~ (a ∨ b).

Verteilungsgesetze

Oder verteilt sich über und und und verteilt sich über oder. Nicht verteilt sich nicht über und oder. Siehe unten über De Morgans Gesetz:

• Verteilungsgesetz für OR: (c ∨ (a & b)) ≡ ((c ∨ a) & (c ∨ b))
• Verteilungsgesetz für und: (c & (a ∨ b)) ≡ ((c & a) ∨ (c & b))

De Morgans Gesetze

Nicht, wenn sie über oder oder und etwas Besonderes verteilt (wieder kann diese mit einem Wahrheitsablagen überprüft werden):

• De Morgans Gesetz für OR: ¬ (a ∨ b) ≡ (¬a ^ ¬b)
• De Morgans Gesetz für und: ¬ (a ^ b) ≡ (¬a ∨ ¬b)

Gesetze der Absorption

Die Absorption, insbesondere der erste, unterscheidet sich von den "Gesetzen" der Arithmetik: Die "Gesetze" der Logik unterscheiden sich von den "Gesetzen" der Arithmetik:

• Absorption (idempotenz) für OR: (a ∨ a) ≡ a
• Absorption (idempotenz) für und: (a & a) ≡ a

Bewertungsgesetze: Identität, Nichtigkeit und Ergänzung

Das Vorzeichen "=" (im Unterschied zwischen logischer Äquivalenz ≡, abwechselnd ↔ oder ⇔) symbolisiert die Zuordnung von Wert oder Bedeutung. Somit symbolisiert die Zeichenfolge (a & ~ (a)) "0", d. H. Es meint Das Gleiche wie Symbol "0" ". In einigen" Systemen "ist dies ein Axiom (Definition), das vielleicht als ((a & ~ (a)) = gezeigt wird_Df 0); In anderen Systemen kann es in der folgenden Wahrheitstabelle abgeleitet werden:

• Kommutierung der Gleichheit: (a = b) ≡ (b = a)
• Identität für OR: (a ∨ 0) = a oder (a ∨ f) = a
• Identität für und: (a & 1) = a oder (a & t) = a
• Nichtigkeit für OR: (a ∨ 1) = 1 oder (a ∨ t) = t
• Nichtigkeit für und: (a & 0) = 0 oder (a & f) = f
• Komplement für OR: (a ∨ ~ a) = 1 oder (a ∨ ~ a) = t, Gesetz der ausgeschlossenen Mitte
• Komplement für und: (a & ~ a) = 0 oder (a & ~ a) = f, Widerspruchsrecht

Doppelt negativ (Involution)

• ¬ (¬a) ≡ a

Gut geformte Formeln (WFFs)

Eine wichtige Eigenschaft von Formeln ist, dass sie einzigartig analysiert werden können, um die Struktur der Formel in Bezug auf ihre Satzvariablen und logischen Konnektiven zu bestimmen. Wenn Formeln geschrieben sind in InfixnotationWie oben wird eine eindeutige Lesbarkeit durch eine angemessene Verwendung von Klammern in der Definition von Formeln gewährleistet. Alternativ können Formeln geschrieben werden in Polnische Notation oder Polnische Notation umgekehrtBeseitigung des Bedarfs an Klammern insgesamt.

Die induktive Definition von Infixformeln im vorherigen Abschnitt kann in a konvertiert werden formelle Grammatik in Backus-naur-Form:

<Formel> :: = <Aussagenvariable> | (¬ <Formel> ) | ( <Formel> ∧ <Formel>) | ( <Formel> ∨ <Formel> ) | ( <Formel> → <Formel> ) | ( <Formel> ↔ <Formel> ))

Es kann gezeigt werden, dass jeder von der Grammatik übereinstimmende Ausdruck eine ausgewogene Anzahl von linken und rechten Klammern hat und jedes nicht leere Anfangssegment einer Formel mehr links als rechte Klammern hat.^[17] Diese Tatsache kann verwendet werden, um einen Algorithmus für die Parsen von Formeln zu ergeben. Nehmen wir zum Beispiel an, dass ein Ausdruck x beginnt mit ${\ displayStyle (\ lnot}$. Beginnen Sie nach dem zweiten Symbol mit der kürzesten Unterexpression y von x Das hat Klammern ausgeglichen. Wenn x ist eine Formel, es gibt genau ein Symbol nach diesem Ausdruck, dieses Symbol ist eine schließende Klammung, und y selbst ist eine Formel. Diese Idee kann verwendet werden, um a zu generieren rekursiver Abstammungsparser für Formeln.

Beispiel für die Zählung von Klammern:

Diese Methode lokalisiert als "1" die Hauptbettzug -Die Binde, unter der die Gesamtbewertung der Formel für die äußerer Klammern auftritt (die häufig weggelassen werden).^[18] Es lokalisiert auch das innerstärkste Bindeffekt, in dem man mit der Bewertung der Formel ohne die Verwendung einer Wahrheitstabelle beginnen würde, z. in "Level 6".

Gut geformte Formeln im Vergleich zu gültigen Formeln in Schlussfolgerungen

Der Begriff von gültiges Argument wird normalerweise an angewendet auf Schlussfolgerungen In Argumenten, aber Argumente reduzieren sich auf die Aussageformeln und können genauso bewertet werden wie jede andere Aussageformel. Hier ein gültig Inferenz bedeutet: "Die Formel, die die Inferenz darstellt, bewertet die" Wahrheit "unter ihrem Hauptbindung, egal welche Wahrheitswerte seinen Variablen zugeordnet sind", d. H. Die Formel ist eine Tautologie.^[19] Möglicherweise wird eine Formel sein gut geformt aber nicht gültig. Eine andere Möglichkeit zu sagen, ist: "gut geformt zu sein ist notwendig Damit eine Formel gültig ist, aber nicht reicht aus. "Die einzige Möglichkeit, herauszufinden, ob es ist beide gut geformt und Gültig ist es, es mit einer Wahrheitstabelle oder durch die Verwendung der "Gesetze" zur Überprüfung einzureichen:

• Beispiel 1: Was macht man aus der folgenden schwer zu befolgenden Behauptung? Ist es gültig? "Wenn es sonnig ist, aber wenn der Frosch kreuzt, dann ist es nicht sonnig, dann ist es dasselbe wie zu sagen, dass der Frosch nicht kreuzen." Konvertieren Sie dies in eine Aussageformel wie folgt:

  "If (a und (wenn b dann nicht-a) dann nicht-a" wobei "A" sein "Sunny" und "B" repräsentiert "Der Frosch kreiert":

  (((a) & (b) → ~ (a)) ≡ ~ (b))

  Das ist gut geformt, aber ist es gültig? Mit anderen Worten, wenn dies bewertet wird, ergibt sich eine Tautologie (alle t) unter dem Symbol der logischen Äquivalenz? Die Antwort ist nein, es ist nicht gültig. Wenn jedoch als rekonstruiert Implikation dann das Argument ist gültig.

  "Sag es, es ist sonnig, aber wenn der Frosch kreuzt, dann ist es nicht sonnig, impliziert Dass der Frosch nicht kreuzen. "

  Andere Umstände können dazu führen, dass der Frosch das Croaking verhindern: Vielleicht hat ein Kran es gegessen.

• Beispiel 2 (von Reichenbach über Bertrand Russell):

  "Wenn Schweine Flügel haben, sind einige geflügelte Tiere gut zu essen. Einige geflügelte Tiere sind gut zu essen, also haben Schweine Flügel."

  (((a) → (b)) & (b) → (a)) ist gut gebildet, aber ein ungültiges Argument, wie durch die rote Bewertung unter der Hauptimplikation gezeigt:

Reduzierte Sätze von Konnektiven

Das Engineering -Symbol für das NAND -Bindewerk (der 'Schlaganfall') kann verwendet werden, um jede Aussageformel aufzubauen. Die Vorstellung, dass die Wahrheit (1) und Falschheit (0) in Bezug auf dieses Bindeffekt definiert werden kann, wird in der Reihenfolge von NANDS links gezeigt, und die Ableitungen der vier Bewertungen eines NAND B sind entlang des Bodens gezeigt. Die häufigere Methode ist die Definition des NAND aus der Wahrheitstabelle.

Ein Satz logischer Verbindungen heißt Komplett Wenn jede Aussageformel tautologisch einer Formel mit nur den Konnektiven in diesem Satz äquivalent ist. Es gibt viele komplette Sätze von Konnektiven, einschließlich ${\ displaystyle \ {\ land, \ lnot \}}$, ${\ displayStyle \ {\ lor, \ lnot \}}$, und ${\ displayStyle \ {\ to, \ lnot \}}$. Es gibt zwei binäre Konnektiven, die alleine abgeschlossen sind, die NAND bzw. nicht entsprechen.^[20] Einige Paare sind zum Beispiel nicht vollständig ${\ displaystyle \ {\ land, \ lor \}}$.

Der Schlaganfall (Nand)

Das Binärbindung, das NAND entspricht Sheffer Schlaganfall, und geschrieben mit einer vertikalen Balken | oder vertikaler Pfeil ↑. Die Vollständigkeit dieses Bindeffekts wurde in festgestellt Principia Mathematica (1927: xvii). Da es für sich genommen vollständig ist, können alle anderen Konnektiven nur mit dem Schlaganfall ausgedrückt werden. Zum Beispiel, wo das Symbol "≡" darstellt logische Äquivalenz:

~ p ≡ p | p

p → q ≡ p | ~ q

p ∨ q ≡ ~ p | ~ q

p & q ≡ ~ (p | q)

Insbesondere die Null-Ary-Konnektiven ${\ displayStyle \ top}$ (Repräsentation der Wahrheit) und ${\ displayStyle \ bot}$ (Darstellung von Falschheit) kann mit dem Schlaganfall ausgedrückt werden:

${\ displayStyle \ top \ äquiv (a | (a | a))}$

${\ displaystyle \ bot \ äquiv (\ top | \ top)}}$

Wenn ... dann ... sonst

Dieses Verbindungsbetrieb zusammen mit {0, 1}, (oder {f, t} oder {{ ${\ displayStyle \ bot}$, ${\ displayStyle \ top}$ }) bildet einen vollständigen Satz. Im Folgenden der if ... dann ... sonst Beziehung (c, b, a) = d repräsentiert ((c → b) ∨ (~ c → a)) ≡ ((c & b) ∨ (~ C & a)) = D.

(c, b, a):

(c, 0, 1) ≡ ~ c

(C, B, 1) ≡ (C → B)

(c, c, a) ≡ (c ∨ a)

(c, b, c) ≡ (c & b)

Beispiel: Das Folgende zeigt, wie ein theorembasierter Beweis von "(c, b, 1) ≡ (c → b)" verlaufen würde, unter dem Beweis ist die Überprüfung der Wahrheitstabelle. (Hinweis: (c → b) ist definiert zu sein (~ c ∨ b)):

• Beginnen Sie mit der reduzierten Form: (C & B) ∨ (~ C & A))
• Ersetzen Sie "1" für a: (c & b) ∨ (~ C & 1))
• Identität (~ C & 1) = ~ C: (C & B) ∨ (~ C))
• Kommutiergesetz für v: (~ c) ∨ (c & b))
• Vertrieb "~ c v" über (c & b): ((~ c) ∨ c) & (~ c) ∨ b)
• Gesetz der ausgeschlossenen Mitte (((~ c) ∨ c) = 1): (1) & (~ c) ∨ b))
• Verteilen "(1) &" Over ((~ c) ∨ b): ((1) & (~ C)) ∨ ((1) & b)))
• Kommutivität und Identität ((1 & ~ C) = (~ C & 1) = ~ C und ((1 & b) ≡ (B & 1) ≡ b: (~ c ∨ b)
• (~ c ∨ b) ist definiert als c → b Q. E. D.

In der folgenden Wahrheitstabelle bezeichnet die Spalte mit der Bezeichnung "straff" für die Tautologie logische Äquivalenz (symbolisiert hier durch ≡) zwischen den beiden Spalten mit d. Da alle vier Reihen unter "Taut" 1 sind, stellt die Äquivalenz tatsächlich eine Tautologie dar.

Normale Formen

Eine willkürliche Aussageformel kann eine sehr komplizierte Struktur aufweisen. Es ist oft zweckmäßig, mit Formeln zu arbeiten, die einfachere Formen haben, die als bekannt als Normale Formen. Einige häufige normale Formen umfassen Konjunktive normale Form und disjunktive normale Form. Jede Sätzeformel kann auf ihre konjunktive oder disjunktive Normalform reduziert werden.

Reduzierung der normalen Form

Eine Wahrheitstabelle enthält 2ⁿ Zeilen, wobei n die Anzahl der Variablen ist (z. B. drei Variablen "P", "D", "C" produzieren 2³ Reihen). Jede Zeile repräsentiert eine Minute. Jeder Minuteur befindet sich im HASSE -Diagramm, im Veitch -Diagramm und auf der Karnaugh -Karte. (Die in der Wahrheitstabelle gezeigten Bewertungen von "P" sind in den Diagrammen Hasse, Veitch und Karnaugh nicht gezeigt. Diese sind in der Karnaugh -Karte des folgenden Abschnitts gezeigt.)

Die Reduzierung der normalen Form ist relativ einfach, sobald eine Wahrheitstabelle für die Formel erstellt wird. Aber weitere Versuche, die Anzahl der Anzahl von zu minimieren Literale (Siehe unten) erfordert einige Werkzeuge: Reduktion durch die Gesetze von De Morgan und Wahrheitstabellen kann unhandlich sein, aber Karnaugh Maps sind sehr geeignet, eine kleine Anzahl von Variablen (5 oder weniger). Einige ausgefeilte tabellarische Methoden gibt es für komplexere Schaltkreise mit mehreren Ausgaben, aber diese liegen außerhalb des Rahmens dieses Artikels. Für mehr sehen Quine -McCluskey -Algorithmus.

Buchstäblich, sterie und altenmisch

In der Elektrotechnik wird eine Variable x oder seine Negation ~ (x) in einen einzigen Begriff zusammengefasst, der als a wörtlich. Eine Reihe von Literalen, die von ANDS verbunden sind, heißt a Begriff. Eine Reihe von Literalen, die durch oder wird als als genannt Änderung. Typischerweise wird das buchstäbliche ~ (x) ~ x abgekürzt. Manchmal wird das & -symbol in der Art der algebraischen Multiplikation vollständig weggelassen.

• Beispiele
  1. A, B, C, D sind Variablen. (((a & ~ (b)) & ~ (c) & d) ist ein Begriff. Dies kann als (a & ~ B & ~ C & d) oder a ~ b ~ cd abgekürzt werden.
  2. P, Q, R, S sind Variablen. (((p & ~ (q)) & r) & ~ (s)) ist ein Alter. Dies kann als (p ∨ ~ q ∨ r ∨ ~ s) abgekürzt werden.

Minterms

Genauso wie ein 2ⁿ-Row Wahrheitstabelle Zeigt die Bewertung einer Aussageformel für alle 2 anⁿ Mögliche Werte seiner Variablen, n Variablen erzeugen eine 2ⁿ-quarienkarte Karte (obwohl wir sie nicht in seiner volldimensionalen Erkenntnis zeichnen können). Zum Beispiel produzieren 3 Variablen 2³ = 8 Reihen und 8 Karnaugh -Quadrate; 4 Variablen erzeugen 16 Reihen der Wahrheitstisch und 16 Quadrate und daher 16 Minterms. Jedes Karnaugh-Map-Quadrat und seine entsprechende Bewertung der Wahrheitstabelle repräsentiert eine Minute.

Jede Aussageformel kann auf die "logische Summe" (oder) der aktiven (d. H. "1"- oder "t" -Werbetriebe) reduziert werden. Wenn in dieser Form die Formel in der Nähe sein soll disjunktive normale Form. Obwohl es in dieser Form ist, wird es weder in Bezug auf die Anzahl der Begriffe noch die Anzahl der Literale minimiert.

Beobachten Sie in der folgenden Tabelle die besondere Nummerierung der Zeilen: (0, 1, 3, 2, 6, 7, 5, 4, 0). Die erste Spalte ist das Dezimaläquivalent des binären Äquivalents der Ziffern "CBA" mit anderen Worten:

• Beispiel

  CBA₂ = C*2² + B*2¹ + a*2⁰:

  cba = (c = 1, b = 0, a = 0) = 101₂ = 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 5₁₀

Diese Nummerierung kommt zustande, da sich zu einem Zeitpunkt von der Tabelle von Zeile zu Zeile zu einer Zeile hinunterschaltet. Graucode leitet sich aus diesem Begriff ab. Dieser Begriff kann auf drei und vierdimensional ausgedehnt werden Hypercubes genannt Hasse -Diagramme wo sich die Variablen jeder Ecke jeweils ändern, wenn man sich an den Rändern des Würfels bewegt. HASSE -Diagramme (Hypercubes), die in zwei Abmessungen abgeflacht sind Veitch -Diagramme oder Karnaugh Maps (Diese sind praktisch dasselbe).

Wenn Sie mit Karnaugh-Karten arbeiten abgeflachtes Objekt.

Reduktion durch Verwendung der Kartenmethode (Veitch, Karnaugh)

Veitch verbesserte den Begriff von Venn Diagramme Durch die Umwandlung der Kreise in angrenzende Quadrate und Karnaugh vereinfachte das Veitch-Diagramm durch die Umwandlung der Minterms, die in ihrer wörtlichen Form (z. B. ~ Abc ~ d) in Zahlen geschrieben wurden.^[21] Die Methode erfolgt wie folgt:

Produzieren Sie den Wahrheitstisch der Formel

Produzieren Sie den Wahrheitstisch der Formel. Anzahl der Zeilen mit den Binäräquivalenten der Variablen (normalerweise nur nacheinander 0 bis N-1) für n Variablen.

Technisch gesehen die Aussagefunktion wurde auf seine (unminimierte) konjunktive normale Form reduziert: Jede Zeile hat ihren festen Ausdruck, und diese können oder zur Erzeugung der Formel in ihrer (unminimierten) konjunktiven Normalform erzeugt werden.

Beispiel: (C & D) ∨ (P & ~ (C & (~ D))) = q in konjunktiver normaler Form ist:

((~ p & d & c) ∨ (p & d & c) ∨ (p & d & ~ c) ∨ (P & ~ D & ~ C)) = q

Diese Formel wird jedoch sowohl in der Anzahl der Begriffe (von 4 bis 3) als auch in der Gesamtzahl ihrer Literale (12 bis 6) reduziert.

Erstellen Sie die Karnaugh -Karte der Formel

Schritte in der Reduzierung mit einer Karnaugh -Karte. Das Endergebnis ist die OR (logische "Summe") der drei reduzierten Begriffe.

Verwenden Sie die Werte der Formel (z. B. "P"), die durch die Methode der Wahrheitstabelle gefunden wurden, und legen Sie sie in ihre jeweiligen (zugehörigen) Karnaugh-Quadrate (diese sind gemäß der Graucode-Konvention nummeriert). Wenn in der Tabelle Werte von "D" für "egal" erscheinen, fügt dies während der Reduktionsphase Flexibilität hinzu.

Minterms reduzieren

Minterms benachbarter (angrenzender) 1-Quadrate (T-Squares) können in Bezug Literaleund die Zahlenbegriffe werden auch im Prozess reduziert. Zwei angrenzende Quadrate (2 x 1 horizontal oder 1 x 2 vertikal, sogar die Kanten repräsentieren abnindende Quadrate) verlieren ein wörtliches, vier Quadrate in einem 4 x 1 -Rechteck (horizontal oder vertikal) oder 2 x 2 Quadrat Quadrate) Verlieren zwei Literale, acht Quadrate in einem Rechteck verlieren 3 Literale usw. (Man sucht das größte Quadrat oder das größte Rechtecke und ignoriert die kleineren Quadrate oder Rechtecke, die vollständig darin enthalten sind.) Dieser Prozess wird fortgesetzt, bis alle angrenzenden Quadrate berücksichtigt werden. An diesem Punkt wird die Aussageformel minimiert.

Zum Beispiel Quadrate Nr. 3 und Nr. 7 Abut. Diese beiden angrenzenden Quadrate können einen wörtlichen (z. B. "P" von den Quadraten Nr. 3 und Nr. 7) verlieren, vier Quadrate in einem Rechteck oder Quadrat verlieren zwei Literale, acht Quadrate in einem Rechteck verlieren 3 Literale usw. (man sucht die größten Square oder Rechtecke.) Dieser Prozess wird fortgesetzt, bis alle angrenzenden Quadrate berücksichtigt werden. Zu diesem Zeitpunkt soll die Propositionsformel minimiert werden.

Beispiel: Die Kartenmethode erfolgt normalerweise durch Inspektion. Das folgende Beispiel erweitert die algebraische Methode, um den "Trick" hinter der Kombination von Begriffen auf einer Karnaugh -Karte zu zeigen:

Minterms #3 und #7 Abut, #7 und #6 Abut und Nr. 4 und #6 Abut (weil sich die Kanten der Tabelle umwickeln). So kann jedes dieser Paare reduziert werden.

Beachten Sie, dass wir nach dem Idempotency -Gesetz (a ∨ a) = A mehr Begriffe erstellen können. Dann können durch Assoziations- und Verteilungsgesetze die Variablen verschwinden und dann mit dem Widerspruchsgesetz (x & ~ x) = 0 "verschwunden" werden. Im Folgenden wird Klammern [und] nur verwendet, um die Begriffe im Auge zu behalten. Sie haben keine besondere Bedeutung:

• Setzen Sie die Formel in konjunktiver normaler Form mit der zu reduzierten Formel:

q = ((~ p & d & c) ∨ (p & d & c) ∨ (p & d & ~ c) ∨ (P & ~ D & ~ C)) = ( #3 ∨ #7 ∨ #6 ∨ #4)

• Idempotenz (Absorption) [a ∨ a) = a:

( #3 ∨ [ #7 ∨ #7] ∨ [ #6 ∨ #6] ∨ #4)

• Assoziatives Gesetz (x ∨ (y ∨ z)) = ((x ∨ y) ∨ z)

([ #3 ∨ #7] ∨ [ #7 ∨ #6] ∨ [ #6 ∨ #4])

[ (~ P & D & C) ∨ (P & D & C) ] ∨ [ (P & D & C) ∨ (P & D & ~ C) ] ∨ [ (P & D & ~ C) ∨ (P & ~ D & ~ C) ].

• Verteilungsrecht (x & (y ∨ z)) = ((x & y) ∨ (x & z)):

([(d & c) ∨ (~ p & p)] ∨ [(p & d) ∨ (~ C & c)] ∨ [(P & ~ C) ∨ (C & ~ C)]))

• Gemeinsames Gesetz und Rechtsrecht (x & ~ x) = (~ x & x) = 0:

([(d & c) ∨ (0)] ∨ [(p & d) ∨ (0)] ∨ [(P & ~ C) ∨ (0)])

• Identitätsrecht (x ∨ 0) = x führt zur reduzierten Form der Formel:

q = ((d & c) ∨ (p & d) ∨ (p & ~ c))

Überprüfen Sie die Reduzierung mit einer Wahrheitstabelle

Impredikative Vorschläge

Was macht man angesichts der folgenden Beispiele als Definitionen aus der nachfolgenden Argumentation:

(1) "Dieser Satz ist einfach." (2) "Dieser Satz ist komplex und wird durch und."

Zuweisen Sie dann die Variable "S" dem links am meisten "Dieser Satz ist einfach". Definieren Sie "Verbindung" c = "nicht einfach" ~ s und weisen Sie "diesen Satz zusammen" c = ~ s zu; Weisen Sie "J" zu "It [dieser Satz] zu, der von und" verbunden ist. Der zweite Satz kann ausgedrückt werden als:

(Nicht (s) und j)

Wenn Wahrheitswerte auf die Sätze c = ~ s und j platziert werden sollen, sind alle eindeutig Unwahrheiten: z. "Dieser Satz ist komplex" ist eine Falschheit (es ist einfach, per Definition). Ihre Konjunktion (und) ist also eine Unwahrheit. Aber wenn er in seiner versammelten Form genommen wird, ist der Satz eine Wahrheit.

Dies ist ein Beispiel für das Paradoxien Das Ergebnis aus einem Einheitliche Definition- Das heißt, wenn ein Objekt M eine Eigenschaft p hat, das Objekt M jedoch in Bezug auf Eigenschaft P. definiert wird. P.^[22] Der beste Rat für einen Rhetoriker oder einen, der an einer deduktiven Analyse beteiligt ist, ist die Vermeidung von uneingeschränkten Definitionen, aber gleichzeitig auf der Suche nach ihnen, da sie tatsächlich Paradoxien schaffen können. Ingenieure hingegen setzen sie mit Rückkopplungsmittel in Form von Aussagenformeln.

Aussageformel mit "Feedback"

Der Begriff einer Aussageformel, die als eine ihrer eigenen Variablen erscheint, erfordert eine Formationsregel, die die Zuordnung der Formel zu einer Variablen ermöglicht. Im Allgemeinen gibt es keine Stipulation (entweder axiomatische oder Wahrheitsplattensysteme von Objekten und Beziehungen), die dies untersagt.^[23]

Der einfachste Fall tritt auf, wenn eine oder Formel zu seinen eigenen Eingaben wird, z. p = q. Beginnen Sie mit (p ∨ s) = q, dann sei p = q. Beachten Sie, dass die "Definition" von Q von sich selbst "q" sowie von "s" und dem oder Bindeffekt abhängt. Diese Definition von Q ist also ungehindert. Eine von zwei Bedingungen kann sich ergeben:^[24] Schwingung oder Erinnerung.

Es hilft, die Formel als zu sehen Flugschreiber. Ohne zu wissen, was von außen "innerhalb" der Formel-"Kasten" vor sich geht, scheint es, dass die Ausgabe nicht mehr ist Funktion allein der Eingänge. Das heißt, manchmal betrachtet man Q und sieht 0 und manchmal 1. Um dieses Problem zu vermeiden, muss man das wissen Zustand (Bedingung) der "versteckten" Variablen -P im Feld (d. H. Der Wert von q zurückgefüttert und p). Wenn dies bekannt ist, verschwindet die scheinbare Inkonsistenz.

Um das Verhalten von Formeln mit Feedback zu verstehen, erfordert die komplexere Analyse von Sequentielle Schaltungen. Aussageformeln mit Rückkopplungsleiter in ihrer einfachsten Form zu staatlichen Maschinen; Sie führen auch zu Erinnerungen in Form von Turing-Bändern und Gegenmaschinen. Aus Kombinationen dieser Elemente kann man jede Art von begrenztem Rechenmodell erstellen (z. Turing -Maschinen, Gegenmaschinen, Maschinen registrieren, Macintosh Computers, etc.).

Schwingung

Im abstrakten (idealen) Fall ist die einfachste oszillierende Formel eine nicht an sich selbst zurückgegebene: ~ (~ (p = q)) = q. Die Analyse einer abstrakten (idealen) Aussageformel in einer Wahrheitstabelle zeigt eine Inkonsistenz sowohl für p = 1 als auch für p = 0 Fälle: Wenn p = 1, q = 0, kann dies nicht darauf liegen, dass p = q; dito für wenn p = 0 und q = 1.

Schwingung mit Verzögerung: Wenn eine Verzögerung^[25] (ideal oder nicht ideal) wird in die abstrakte Formel zwischen P und q eingefügt, dann schwingt p zwischen 1 und 0: 101010 ... 101 ... Ad infinitum. Wenn eine der Verzögerungen und nicht abstrakt sind (d. H. Nicht ideal), hängt die Art der zu verwendenden Analyse von der genauen Art der Objekte ab, aus denen der Oszillator besteht. Solche Dinge fallen außerhalb der Mathematik und in Ingenieurwesen.

Die Analyse erfordert eine Verzögerung und dann der Schlaufe zwischen der Verzögerung und dem Eingang "P". Die Verzögerung muss als eine Art von Vorschlag angesehen werden, der "QD" (q-delayed) als Ausgabe für "q" als Eingabe hat. Dieser neue Satz fügt der Wahrheitstabelle eine weitere Spalte hinzu. Die Inkonsistenz liegt jetzt zwischen "QD" und "P", wie in Rot gezeigt; Zwei stabile Zustände, die sich daraus ergeben:

Erinnerung

Über den einfachsten Speicher führt die Ausgabe von A oder füttert in diesem Fall in diesem Fall Ausgabe "q" wieder in "P". Das nächst einfachste ist der "Flip-Flop", der unterhalb des Einmals gezeigt wird. Die Analyse dieser Arten von Formeln kann durchgeführt werden, indem entweder die Rückkopplungspfad (en) oder die (ideale) Verzögerung des Pfades eingefügt werden. Ein Schnittpfad und eine Annahme, dass keine Verzögerung in der "Schaltung" auftritt Gesamtzustände (Kombination von Eingängen und Ausgängen, z. B. (p = 0, s = 1, r = 1) führt zu einer Inkonsistenz). Wenn die Verzögerung vorliegt, sind diese Inkonsistenzen lediglich vorübergehend und verfallen, wenn die Verzögerung abläuft. Die Zeichnungen auf der rechten Seite werden genannt Zustandsdiagramme.

Ein "Takten-Flip-Flop" -Demory ("C" ist die "Uhr" und "D" ist die "Daten"). Die Daten können sich jederzeit ändern, wenn Uhr C = 0; Wenn Uhr C = 1 die Ausgabe Q "verfolgt" den Wert von Daten d. Wenn C von 1 bis 0 "Fallen" d = qs Wert von q erscheint, erscheint dies bei Q, egal was D tut (solange C c bleibt 0).

Ohne Verzögerung müssen Inkonsistenzen aus einer Wahrheitstabellenanalyse beseitigt werden. Mit dem Begriff "Verzögerung" zeigt sich diese Bedingung als momentane Inkonsistenz zwischen der Fed-Back-Ausgangsvariablen Q und P = Q._verspätet.

Eine Wahrheitstabelle zeigt die Zeilen, in denen Inkonsistenzen zwischen p = q auftreten_verspätet am Eingang und q am Ausgang. Nach dem "Brechen" des Futtermittels,^[26] Die Konstruktion von Wahrheitstisch verläuft konventionell. Danach wird in jeder Zeile der Ausgang q jedoch mit der jetzt unabhängigen Eingabe p verglichen, und alle Inkonsistenzen zwischen P und q werden festgestellt (d. H. P = 0 zusammen mit q = 1 oder p = 1 und q = 0); Wenn die "Linie" "neu gemacht" wird, werden beide durch das Gesetz des Widerspruchs unmöglich gemacht ~ (p & ~ p)). Zeilen, die Inkonsistenzen aufdecken, werden entweder in Betracht gezogen Transiente Zustände oder einfach als inkonsistent und damit "unmöglich" beseitigt.

Einmaler Speicher

Über den einfachsten Speicher führt die Ausgabe von A oder füttert in diesem Fall in diesem Fall die Ausgabe "Q" wieder in "P". Da die Formel zuerst mit p = 0 & q = 0 initialisiert (initialisiert) wird, wird sie einmal "flip", wenn "gesetzt" durch s = 1. Danach wird die Ausgabe "q" in dem "umgedrehten" Zustand "q" aufrechterhalten (Zustand q = 1). Dieses nun zeitabhängige Verhalten wird von der gezeigt Zustandsdiagramm rechts vom einmaligen.

Flip-Flop-Speicher

Der nächst einfachste Fall ist der "Set-Resieet" Flip Flops unterhalb des Einmals angezeigt. Angesichts der Tatsache, dass r = 0 & s = 0 und q = 0 von Anfang an "festgelegt" (s = 1) in ähnlicher Weise wie die einmalige Flip ist. Es hat jedoch eine Bestimmung zum "Zurücksetzen" q = 0, wenn "r" = 1. Und zusätzliche Komplikation tritt auf, wenn beide festgelegt sind = 1 und zurücksetzen = 1. In dieser Formel ist der Satz = 1 Kräfte Die Ausgabe q = 1, wenn und wenn (s = 0 & r = 1) der Flip-Flop wird zurückgesetzt. Oder wenn (s = 1 & r = 0) der Flip-Flop wird eingestellt. In der abstrakten (idealen) Instanz, in der s = 1 ⇒ s = 0 & r = 1 ⇒ r = 0 gleichzeitig die Formel Q unbestimmt sein (unentscheidbar). Aufgrund von Verzögerungen in "real" oder und und nicht von zu Beginn ist das Ergebnis unbekannt, aber danach vorhersehbar.

Takted Flip-Flop-Speicher

Die als "getaktete Flip-Flop-Speicher" bekannte Formel ("C" ist die "Uhr" und "D" ist die "Daten") ist unten angegeben. Es funktioniert wie folgt: Wenn c = 0 die Daten D (entweder 0 oder 1) nicht "durchgehen", um die Ausgabe q zu beeinflussen. Wenn c = 1 die Daten d "durchsteht" und q "folgt" folgt Ds Wert. Wenn C von 1 auf 0 geht, bleibt der letzte Wert der Daten bei der Ausgabe "q" "gefangen". Solange C = 0, kann D den Wert ändern, ohne dass sich Q ändert.

• Beispiele
  1. ((C & D) ∨ (( p & (~ (c & ~ (d))) = q, aber jetzt sei p = q:
  2. ((C & D) ∨ (( q & (~ (c & ~ (d))) = q

Das Zustandsdiagramm ähnelt in Form des Zustandsdiagramms des Flip-Flop, jedoch mit unterschiedlicher Kennzeichnung am Übergänge.

Historische Entwicklung

Bertrand Russell (1912: 74) listet drei Denkgesetze auf, die abgeleitet werden Aristoteles: (1) die Gesetz der Identität: "Was auch immer ist, ist.", (2) die Gesetz der Nichtkontrollierung: "Nichts kann sowohl sein als auch nicht sein" und (3) die Gesetz der ausgeschlossenen Mitte: "Alles muss sein oder nicht."

• Beispiel: Hier ist o Ausdruck über das Wesen oder die Qualität eines Objekts:
  1. Identitätsrecht: o = o
  2. Widerspruchsrecht: ~ (o & ~ (o))
  3. Gesetz der ausgeschlossenen Mitte: (o ∨ ~ (o))

Die Verwendung des Wortes "alles" im Gesetz der ausgeschlossenen Middle Renders Russells Ausdruck dieses Gesetzes öffnet sich für Debatten. Wenn beschränkt auf einen Ausdruck über Sein oder Qualität in Bezug auf eine endliche Sammlung von Objekten (ein endliches "Universum des Diskurses") - deren Mitglieder nacheinander untersucht werden können wird als intuitionistisch angemessen angesehen. Eine Behauptung wie: "Dieses Objekt muss entweder (in der Sammlung) sein oder nicht" oder "dieses Objekt muss entweder diese Qualität haben oder diese Qualität (im Vergleich zu den Objekten in der Sammlung) haben" ist akzeptabel. Sehen Sie mehr bei Venn-Diagramm.

Obwohl ein Aussagen mit Aristoteles entstand Algebra Angewendet auf Vorschläge mussten bis zum frühen 19. Jahrhundert warten. In einer (nachteiligen) Reaktion auf die 2000 -jährige Tradition von Aristoteles's Syllogismen, John Locke's Aufsatz über das menschliche Verständnis (1690) verwendete das Wort Semiotik (Theorie der Verwendung von Symbolen). Bis 1826 Richard Wasy hatte die syllogistische Logik kritisch mit einem Sympathie für Lockes Semiotik analysiert. George BenthamDie Arbeit (1827) führte zu dem Begriff der "Quantifizierung des Prädikats" (1827) (heutzutage symbolisiert als ∀ ≡ "für alle"). Eine "Zeile", die von angestiftet wurde William Hamilton über einen vorrangigen Streit mit Augustus de Morgan "inspiriert George Boole Um seine Ideen zur Logik aufzuschreiben und sie 1847 als Mal [Mathematical Analysis of Logic] zu veröffentlichen "(Grattin-Guinness und Bornet 1997: xxviii).

Über seinen Beitrag Grattin-Guinness und Bornet Kommentar:

"Booles wichtigste Single -Innovation war [das] Gesetz [xⁿ = x] für Logik: Es wurde festgestellt, dass die mentalen Handlungen der Auswahl der Eigenschaft X und die Auswahl von X immer wieder mit der Auswahl von X einmal entsprechen ... als Folge davon bildete er die Gleichungen x • (1-x) = 0 und x+(1-x) = 1, die für ihn jeweils das Widerspruchsrecht und das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte zum Ausdruck gebracht haben "(S. xxviiff). Für Boole" 1 "war der Universum des Diskurses und "0" war nichts.

Gottlob FregeDas massive Unterfangen (1879) führte zu einem formalen Vorschlag, aber seine Symbolik ist so entmutigend, dass es nur wenig Einfluss hatte, mit Ausnahme einer Person: Bertrand Russell. Zuerst als Student von Alfred North Whitehead Er studierte Freges Arbeit und schlug eine (berühmte und berüchtigte) Emendation in Bezug auf das Problem eines (1904) vor Antinomie Das entdeckte er in Freges Behandlung (vgl. Russells Paradox ). Russells Arbeit führte zu einer Kollatorierung mit Whitehead, die im Jahr 1912 den ersten Band von Principia Mathematica (PM). Hier erschien das, was wir als "moderne" Aussagenlogik betrachten. Insbesondere führt PM nicht und oder das Behauptungssymbol ⊦ als Primitive ein. In Bezug auf diese Begriffe definieren sie die Implikation → (def. *1.01: ~ p ∨ q), dann und (def. *3.01: ~ (~ p ∨ ~ q)), dann Äquivalenz p ← → q ( *4.01: ( P → Q) & (Q → P)).

• Henry M. Sheffer (1921) und Jean Nicod Zeigen Sie, dass nur ein Bindewerk, der "Schlaganfall" | reicht aus, um alle Sätze Formeln auszudrücken.
• Emil Post (1921) entwickelt die Analysemethode der Wahrheitstabelle in seiner "Einführung in eine allgemeine Theorie der elementaren Aussagen". Er bemerkt Nicods Schlaganfall | .
• Whitehead und Russell fügen eine Einführung in ihre Wiederveröffentlichung von PM von 1927 hinzu, was zum Teil eine günstige Behandlung des "Schlaganfalls" hinzugefügt hat.

Berechnungs- und Schaltlogik:

• William Eccles und F. W. Jordan (1919) beschreiben ein "Triggerrelais" aus einem Vakuumrohr.
• George Stibitz (1937) erfindet den binären Addierer mit mechanischen Relais. Er baut dies auf seinem Küchentisch.

Beispiel: Binärer gegeben Bits a_i und B_i und eintragen (c_in_i) ihre Summierung σ_i und Carry-out (c_out_i) sind:

• ( ( a_i Xor b_i ) Xor c_in_i ) = Σ_i
• ( a_i & b_i ) ∨ c_in_i ) = c_out_i;

• Alan Turing baut einen Multiplikator mit Relais (1937–1938). Er muss seine eigenen Staffelspulen von Hand verknüpfen, um dies zu tun.
• Lehrbücher über "Schaltkreise" erscheinen Anfang der 1950er Jahre.
• Willard Quine 1952 und 1955, E. W. Veitch 1952 und M. Karnaugh (1953) entwickeln Kartenmethoden zur Vereinfachung der Aussagenfunktionen.
• George H. Mealy (1955) und Edward F. Moore (1956) Besprechen Sie die Theorie der sequentiellen (d. H. Schaltkreislauf) "Maschinen".
• E. J. McCluskey und H. Shorr entwickeln eine Methode zur Vereinfachung von Propositionsschaltungen (Switching) (1962).

Fußnoten

Verweise

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• Enderton, H. B., 2002, Eine mathematische Einführung in die Logik. Harcourt/Academic Press. ISBN0-12-238452-0
• Goodstein, R. L., (Pergamon Press 1963), 1966, (Dover Edition 2007), Boolsche Algebra, Dover Publications, Inc. Minola, New York, ISBN0-486-45894-6. Betonung des Begriffs der "Algebra der Klassen" mit set-theoretischen Symbolen wie ∩, ∪, ∪, "(nicht), ⊂ (impliziert). Später ersetzt Goldstein diese durch &, ∨, ￢, → (jeweils) in seiner Behandlung von "Satzlogik" S. 76–93.
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• Marvin L. Minsky 1967, Berechnung: endliche und unendliche Maschinen, Prentice-Hall, Inc, Englewood Cliffs, N.J. Kongressbibliothek Katalog Kartennummer 67-12342. Nützlich besonders für die Berechnung und gute Quellen.
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• Patrick unterhält 1957 (1999 Dover Edition), Einführung in die Logik, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN0-486-40687-3 (pbk.). Dieses Buch ist gedruckt und leicht verfügbar.
• Auf seiner Seite 204 bezieht er sich auf seine Axiome E. V. Huntington"Sätze unabhängiger Postulate für die Algebra der Logik", Transaktionen der American Mathematical Society, Vol. 5 91904) S. 288-309.
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• Jean van Heijenoort 1967, 3. Druck mit Emendations 1976, Von Frege nach Gödel: Ein Quellbuch in der mathematischen Logik, 1879-1931, Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts. ISBN0-674-32449-8 (pbk.) Übersetzung/Nachdrucke von Frege (1879), Russells Brief an Frege (1902) und Frege's Brief an Russell (1902), Richards Paradox (1905), Post (1921) können hier gefunden werden .
• Alfred North Whitehead und Bertrand Russell 1927 2. Auflage, Taschenbuchausgabe bis *53 1962, Principia Mathematica, Cambridge University Press, no isbn.In den Jahren zwischen der ersten Ausgabe von 1912 und der 2. Ausgabe von 1927, H. M. Sheffer 1921 und M. Jean Nicod (Kein Jahr zitiert) zu Russells und Whiteheads Aufmerksamkeit, dass das, was sie als primitive Aussagen betrachteten (Connectives), auf ein einzelnes | reduziert werden könnten, heutzutage als "Schlaganfall" oder NAND (nicht und, weder ... noch ....).Russell-Whitehead diskutiert dies in ihrer "Einführung in die zweite Ausgabe" und macht die oben erläuterten Definitionen.
• William E. Wickes 1968, Logikdesign mit integrierten Schaltungen, John Wiley & Sons, Inc., New York.Nein ISBN.Catalog-Kartennummer der Library of Congress: 68-21185.REIGHT DER EINGING DER EINGINGS-METHODEN UND SYNTHESE-Methoden, Referenzen McCluskey 1965. Im Gegensatz zu Supples beginnt Wickes 'Präsentation von "booleschen Algebra" mit einer Reihe von Postulaten einer Wahrheits-Tabelle und leitet dann die üblichen Theoreme von ihnen ab (S. 18ff).

Externe Links

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